用导数研究三次函数样本

用导数研究三次函数

一、知识点解析

1、 定义:

定义1、 形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数, 称为”三次函数”。

定义2、 三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ,

我们把)3412422ac b ac b -=-=?（

,叫做三次函数导函数的判别式。 2、 三次函数图象与性质的探究:

1、 单调性

一般地, 当032≤-ac b 时, 三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在

R 上是单调函数; 当032>-ac b 时, 三次函数

)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。

2、 对称中心

三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称, 且对称中

心为点))3(,3(a

b f a b --, 此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上, 且又

是两个极值点的中点, 同时也是二阶导为零的点。

3、 三次方程根的问题

( 1) 当032≤-=?ac b 时, 由于不等式0)(≥'x f 恒成立, 函数是单调

递增的, 因此原方程仅有一个实根。

( 2) 当△=032>-ac b 时, 由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x , 不妨设21x x <, 可知, ))(,(11x f x 为函数的极大值点, ))(,(22x f x 为极

小值点, 且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增, 在[]

21,x x 上单调递减。

此时:

①若0)()(21>?x f x f , 即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同

侧, 图象均与x 轴只有一个交点, 因此原方程有且只有一个实根。 ②若0)()(21

侧, 图象与x 轴必有三个交点, 因此原方程有三个不等实根。

③若0)()(21=?x f x f , 即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0, 因此, 原方程有三个实根, 其中两个相等。

4、极值点问题

若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x)), 则称函数f(x)在点x 0处取得极大值( 或极小值) , 称点x 0为极大值点( 或极小值点) 。

当0?>时, 三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。

当0?≤时, 三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。

5、 最值问题。

函数

若, 且

, 则: ()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =; 。

6、 过三次函数上一点的切线问题

设点P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点,

则过点P 一定有直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图

象的对称中心, 则过点P 有且只有一条切线; 若点P 不是三次函数

图象的对称中心, 则过点P 有两条不同的切线。

7、 过三次函数外一点的切线问题

设点),(00y x P 为三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 图象外, 则

过点P 一定有直线与)(x f y =图象相切。可能有一条、 两条或三条。( 具体情况分析不作要求)

8、 32()0f x ax bx cx d a =+++>（）类似于二次函数的图像和性质表:

二、经典题型

一、 考查函数的奇偶性和单调性 032>-ac b 032≤-ac b 图像

0)()(21

0)()(21=?x f x f 0)()(21>?x f x f

()0

f x =根的个

数

三实根 两实根 一实根 一实根 与x 轴

的交点 三交点 两交点 一交点 一交点

单调性 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数., 在),(21x x 上为减函数 在R 上为增函

数

极值 有两个极值, 一个极大值1()f x , 一个极小值2()f x

无极值

例1 已知函数f(x)=x3+px+q(x∈R)是奇函数, 且在R上是增

函数, 则( )

A、 p=0,q=0

B、 p∈R,q=0

C、 p≤0,q=0

D、 p≥0,q=0

解析由奇函数以及增函数的定义易知选D

二、考查函数图象的对称性

例2 函数f(x)=x3-3x2+x-1的图象关于( ) 对称

A、直线x=1

B、直线y=x

C、点(1,-2)

D、原点

解析由f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)

成中心对称知选C

例3、 ( 课标全国

, 16)

像关于直线x=-2对称, ____________.

解析: x=-2对称,

解得a=8, b=5,

大值为16。

三、运用函数的性质和数形结合思想解题例 4 已知函数f(x)=ax

3+bx2+cx+d

( )

A、 b∈(-∞,0)

B、 b∈(0,1)

C、 b∈(1,2)

D、 b∈(2,+ ∞) x

解析显然f(0)=d=0, 由f(x)=ax(x-1)(x-2)知a>0, 又

f(x)= ax3-3ax2+2ax比较系数可知b=-3a<0, 故选A

引申试确定的a,b,c,d符号( 答: a>0,b<0,c>0,d=0) 例5( 课标全国Ⅱ卷, 10) 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c, 下列

结论中错误的是( )

α∈R,f(xα)=0

( B) 函数y=f(x)的图像是中心对称图形

( C) 若xα是f(x)的极小值点, 则f(x)在区间( -∞,xα) 单调

递减

( D) 若x0是f( x) 的极值点,

解析: 由三次函数值域为R知f(x)=0有解, A正确; 由性质

可知B正确;由性质可知若f(x)有极小值点,

则f(x)

在( -∞,x

1)上为增函数, , 在( x上为

增函数, 故C错。D正确。选C。

四、考查单调区间、极值、最值的问题

例6( 全国卷Ⅱ文) 已知函数。

( Ⅰ) 设a=2, 求f( x) 的单调区间;

( Ⅱ) 设f( x) 在区间( 2,3) 中至少有一个极值点, 求a的取

值范围。

解析: ( 2) 在( 2, 3) 内有极值, 即

( 2, 3) 内有一个零点, 即可求出

a的取值范围。

五、考查交点个数问题

例7 ( 陕西文20)

( I)

;

( II)

, 直线y=m．．．．

个不同的交点

．．．．．．,

求m的取值范围.

解

,

当时, 由解得或, 由解得

单调减区间为

( 2) 因为

在处取得极大值, 因此

由( 1)

1, 在

-3.

,

点评:

（1）本题是三次函数零点存在性问题的典型变式题, 涉及图象交

导数在研究函数中的应用(含标准答案)

导数在研究函数中的应用 【自主归纳，自我查验】 一、自主归纳 1．利用导函数判断函数单调性问题 函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系 (1)若____ ___，则f(x)在这个区间上是增加的． (2)若____ ___，则f(x)在这个区间上是减少的． (3)若_____ __，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f′(x)． (2)在定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (3)根据结果确定f(x)的单调区间． 3．函数的极大值 在包含 x的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 都_____ x点的函数值，称点0x为函数y＝f(x)的极大值点，其函数 值f( x)为函数的极大值． 4．函数的极小值 在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都_____ x点的函数值，称点0x x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数 值f( x)为函数的极小值．极大值与极小值统称为_______，极大值 点与极小值点统称为极值点． 5．函数的最值与导数 1．函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值点 x指的是：函数在这个区间上

所有点的函数值都_________f( x)． 2．函数y＝f(x)在[a，b]上的最小值点 x指的是：函数在这个区间上 所有点的函数值都_________f( x)． 二、自我查验 1．函数f(x)＝x＋eln x的单调递增区间为() A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．R 2．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________． 3.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x) 在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a， b)内有极小值点() A．1个B．2个 C．3个D．4个 4．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 5.函数ln x =的最大值为（） y x A．1e-B．e C．2e D．10 3 【典型例题】 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】(2015·高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．

三次函数与导数--例题与练习答案

三次函数与导数例题与练习答案 例1.(14全国大纲卷文21,满分12分）函数32()33(0)f x ax x x a =++≠. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2()363f x ax x '=++，2 ()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （ⅰ）当a ≥1时，△≤0，则()0f x '≥恒成立，且()0f x '=当且仅当1,1a x ==-，故此时()f x 在R 上是增函数. （ⅱ）当1a <且0a ≠，时0>?，()0f x '= 有两个根：12x x = = ， 若01a <<，则12x x <, 当2(,)x x ∈-∞或1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在 21(,),(,)x x -∞+∞上是增函数；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<，故()f x 在21(,)x x 上是减函数； 若0，故()f x 在),(21x x 上是增函数； （Ⅱ）当0>a 且0>x 时, 0363)(2 >++='x ax x f ,所以 当0a >时，()f x 在区间（1，2）是增函数. 当0a <时， ()f x 在区间（1,2）是增函数，当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得5 04 a - ≤<. 综上，a 的取值范围是5 [,0)(0,)4 -+∞U . 例2.(14安徽文数 20)（本小题满分13分） 设函数23()1(1)f x a x x x =++--，其中0a >。（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性； （1） 当[0,1]x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. （Ⅰ） ()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2 ()123f x a x x '=+-- 令()0f x '=，得121211,33 x x x x --+= =< 所以12()3()()f x x x x x '=--- 当1x x <或2x x >时，()0f x '<；当12x x x <<时，()0f x '>， 故()f x 在12(,)(,)x x -∞+∞和内单调递减，在12(,)x x 内单调递增 （Ⅱ）因为0a >，所以120,0x x <> （ⅰ）当4a ≥时，21x ≥，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，1]上单调递增， 所以()f x 在 0x =和1x =处分别取得最小值和最大值 （ⅱ）当04a <<时，21x <，由（Ⅰ）知，()f x 在[0，2x ]上单调递增，在[2x ，1] 上单调递减，因此()f x 在213 x x -+==处取得最大值 又(0)1,(1)f f a ==，所以 当01a <<时，()f x 在1x =处取得最小值； 当1a =时，()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值； 当04a <<时，()f x 在0x =处取得最小值。 例4.（14年天津文科19,满分14分）已知函数232 ()(0),3 f x x ax a x R =->∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在 2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ?=，求a 的取值范围 解：（Ⅰ）由已知，有2 ()22(0)f x x ax a '=->

用导数研究三次函数

用导数研究三次函数 一、知识点解析 1定义: 定义1、形如y =ax3?bx2? CX ?d(a =0)的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数：f / (x) = 3ax2 2bx c(a = 0),我们把 2 2 =4b -12ac=4(b -3ac),叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 2 3 2 一般地，当b -3ac二0时，三次函数y = ax bx ?cχ?d(a=0)在R上是单调函数；当b -3ac 0时，三次函数y = ax bx CX d(a 0)在R上有三个单调区间。 2、对称中心 3 2 三次函数f (x) = ax bx CX d (^?-z 0)是关于点对称，且对称中心为点 b b (—I f (—))，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a y= f(x)图象的对称中心在导函数y=∕'O)的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 (1)当.?, =b2 _3ac乞0时，由于不等式「(X)恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 ■ 0时，由于方程f(X)= 0有两个不同的实根x1, X2,不妨设 (2)当厶=b2 _3ac X i ：：：x2, 可知，(χ1,f(χj)为函数的极大值点,(X2, f(x2))为极小值点，且函数y = f(x)在(」：，X1)和(x2, ■--)上单调递增，在"x1,x2 I上单调递减。 此时： ①若f (x1) f (x2) 0 ,即函数y = f (x)极大值点和极小值点在X轴同侧，图象均与X轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若f (χ1) f (χ2) ：：：0 ,即函数y = f (x)极大值点与极小值点在X轴异侧，图象

高中数学新人教A版选修1-1学案附答案第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中3.3.3函数的最大小值与导数

高中数学新人教A 版选修1-1学案附答案 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．函数f (x )在区间[a ，b ]上的最值 如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得． 思考：若函数f (x )在区间[a ，b ]上只有一个极大值点x 0，则f (x 0)是函数f (x )在区间[a ， b ]上的最大值吗？ [提示] 根据极大值和最大值的定义知，f (x 0)是函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值． 2．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最值的步骤 (1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值． (2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)函数的最大值一定是函数的极大值． ( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值． ( ) (3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得． ( ) (4)函数f (x )＝1 x 在区间[－1,1]上有最值． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)× 2．函数f (x )＝x 3 －3x 2 ＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 C [f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2. 由f (－1)＝－2，f (0)＝2，f (1)＝0得f (x )max ＝f (0)＝2.] 3．函数y ＝x －sin x ，x ∈???? ??π2，π的最大值是( ) 【导学号：97792160】 A ．π－1 B.π 2 －1 C ．π D ．π＋1

利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性 一、选择题 1.函数f (x )＝x ln x ，则( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在? ? ???0，1e 上递增 D.在? ? ???0，1e 上递减 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )>0得x >1 e ， 令f ′(x )<0得00. 答案 C 3.已知函数f (x )＝1 2x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 f ′(x )＝3 2x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x ) 在R 上单调递增”的充分不必要条件. 答案 A 4.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )

解析由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1，1]上为增函数，且在区间(－1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢. 答案 B 5.设函数f(x)＝1 2 x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值 范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2) D.(0，3] 解析∵f(x)＝1 2 x2－9ln x，∴f′(x)＝x－ 9 x (x>0)， 当x－9 x ≤0时，有00且a＋1≤3，解得10得 x>1. 答案(1，＋∞) 7.已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)e x，若f(x)在[－1，1]上是单调减函数，则实数a的取值范围是________.

导数研究函数性质

1．导数与导函数的概念 (1)设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数(derivative)，记作f ′(x 0)． (2)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x ) (g (x )≠0)． 5．复合函数的导数 若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a . 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 1．(教材改编)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为 ________． 2．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是________． 3．设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′(π2)sin x ＋cos x ，则f ′(π4)＝________. 4．已知点P 在曲线y ＝ 4e x ＋1 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________． 5．(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．

4导数研究三次函数的性质

4导数研究三次函数的性质 复习目标：掌握三次函数的图象和性质，尤其是利用导数研究单调性、极值情况，以及三次函数 的零点。 复习重点难点：（1）三次函数的图象的四种情况；（2）三次函数的极值情况； 【典型例题】 题型一：三次函数单调性的讨论 例1．已知函数32()2f x ax x x =++在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围. 例2．已知函数f (x )=-x 3＋3x 2＋9x ＋a , （I ）求f (x )的单调递减区间； （II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

题型二：三次函数极值，最值的讨论 例3. 已知a 是实数，函数2()()f x x x a =-； （1）若'(1)3f =，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间[]2,0上的最大值． 例4．已知函数()f x 的导数2()33,f x x ax '=-(0).f b =,a b 为实数，12a <<. （1）若()f x 在区间[1, 1]-上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值； （2）设函数2()(()61)x F x f x x e '=++?，试判断函数()F x 的极值点个数．

【课后作业】 1.过曲线y ＝x 3+x-2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x-1,则切点P 0的坐标为 2．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围． 3．函数f (x )=x 3＋x 2－x 在区间［－2，1］上的最大值和最小值分别是 4.已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为 31812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 5．设函数b x a ax x x f +-+-=223323 1)( (0

导数研究函数的基本问题

函数、导数与不等式 ．(·泰安模拟)已知函数()＝·－()·＋.(是自然对数的底数) ()求函数()的解析式和单调区间；()若函数()＝ ＋与函数()的图象在区间[－]上恰有两个不同的交点，求实数的取值范围． 解：()由已知得′()＝－()＋， ∴′()＝′()－()＋，∴()＝. 又()＝，∴′()＝. 从而()＝－＋. 显然′()＝－＋在上单调递增且′()＝， 故当∈(－∞，)时，′()<； 当∈(，＋∞)时，′()>. ∴()的单调递减区间是(－∞，)，单调递增区间是(，＋∞)． ()由()＝()得＝－. 令()＝－，则′()＝－. 由′()＝得＝. 当∈(－)时，′()<；当∈()时，′()>. ∴()在(－)上单调递减，在()上单调递增． 又()＝，(－)＝＋，()＝－且(－)<()， 故两个图象恰有两个不同的交点时，实数的取值范围是. ．(·北京高考)设函数()＝－＋，曲线＝()在点(，())处的切线方程为＝(－)＋. ()求，的值； ()求()的单调区间． 解：()因为()＝－＋， 所以′()＝(－)－＋. 依题设有(\\(((＝＋，′((＝－，))即(\\(－＋＝＋，,－－＋＝－.)) 解得(\\(＝，＝.)) ()由()知()＝－＋. 由′()＝－(－＋－)及－>知，′()与－＋－同号． 令()＝－＋－，则′()＝－＋－. 所以，当∈(－∞，)时，′()<，()在区间(－∞，)上单调递减；当∈(，＋∞)时，′()>， ()在区间(，＋∞)上单调递增． 故()＝是()在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而()>，∈(－∞，＋∞)．

综上可知，′()>，∈(－∞，＋∞)，故()的单调递增区间为(－∞，＋∞)． ．(·河北五校联考)已知函数()＝－(∈)． ()当＝时，判断函数()的单调区间并给予证明； ()若()有两个极值点，(<)，证明：－<()<－. 解：()()为上的单调递减函数，证明如下： ＝时，()＝－，′()＝－，(′())′＝－，易知′()＝′( )＝－<，从而()为上的单调递减 函数． ()证明：()有两个极值点，(<)， 即′()＝－＝有两个实根，(<)， 由(′())′＝－＝，得＝. 由′( )＝－>，得>>. 又′()＝－<，′()＝－>， 所以<<< . 由′()＝－＝，得＝， ()＝－＝－＝(<<)， 令＝(<<)， 则′＝·<. ′()＝·<， ∴－＝()<()<()＝－. ．(·辽宁葫芦岛模拟)已知＝是()＝＋＋的一个极值点． ()求函数()的单调递减区间； ()设函数()＝()－，若函数()在区间[]内单调递增，求实数的取值范围． 解：()因为()＝＋＋， 所以′()＝－＋， 因为＝是()＝＋＋的一个极值点， 所以′()＝－＋＝，解得＝， 经检验，符合题意，所以＝. 则函数()＝＋＋，其定义域为(，＋∞)． 令′()＝－＋<，解得<<， 所以函数()＝＋＋的单调递减区间为(]． ()因为()＝()－＝＋－， 所以′()＝＋＋. 因为函数()在[]上单调递增，所以′()≥在[]上恒成立，即＋＋≥在∈[]上恒成立，所以

第16课时利用导数研究函数的性质

第16 课时 利用导数研究函数的性质 编者：仇小华 审核：刘智娟 第一部分 预习案 一、知识回顾 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的 条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是 ． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的 条件，但并不 ． 4． 如果不间断的函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决实际问题中经常用到这一结论． 二、基础训练 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 3． 若函数f (x )的导函数为f ′(x )＝－x (x ＋1)，则函数g (x )＝f (log a x )(0

用导数研究函数的恒成立与存在性问题-答案

用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。

3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.

4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．

5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．

导数研究函数的应用.c

导数在研究函数中的应用 函数的单调性与导数 教学目标： 1.了解可导函数的单调性与其导数的关系; 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间. 教学重点： 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 教学难点： 利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 教学过程： 一、创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用. 二、新课讲授 1.问题 如右图(1),它表示跳水运动中高度h 随时 间t 变化的函数高台跳水运动员 2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像,右图(2)表示 的速度v 随时间t 变化的函数 '()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像. 运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像,我们可以发现: (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度h 随时间t 的增加而增加,即()h t 是增函数.相应 地,' ()()0v t h t =>. (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少,即()h t 是减函数.相应地,'()()0v t h t =<. 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如右图,导数' 0()f x 表示函数 ()f x 在点00(,) x y 处的切线的斜率. “左下右上”式的, 在0x x =处,' 0()0f x >,切线是 这时,函数()f x 在0x 附近单调递增; “左上右下”式的, 在1x x =处,' 0()0f x <,切线是 这时,函数()f x 在1x 附近单调递减. 结论: 函数的单调性与导数的关系 在某个区间(,)a b 内,如果 '()0f x >,那么函 数()y f x =在这个区间内单调递增;如果' ()0f x <,那么函数()y f x =在这个区间内单调递减. 说明: )(x f 在某区间内为常数,当且仅当0)('=x f 在该区间内“恒有”之时.否则可能只是“驻点”(曲线在该点处的切线与x 轴平行). 3.求解函数()y f x =单调区间的步骤 (1)确定函数()y f x =的定义域; (2)求导数' ' ()y f x =; (3)解不等式'()0f x >,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间. 三、典例分析 例1 已知导函数'()f x 的下列信息: 当14x <<时,'()0f x >; 当4x >或1x <时,'()0f x <; 当4x =或1x =时,'()0f x =. 试画出函数()y f x =图像的大致形状. 在此区间内单调递增; 解: 当14x <<时,' ()0f x >,可知() y f x =当4x >或1x <时,'()0f x <,可知()y f x =在此区间内单调递减; 当4x =或1x =时,'()0f x =,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”. 综上,函数()y f x =图像的大致形状如上图所示. 例2 判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1)3 ()3f x x x =+ (2)2 ()23f x x x =-- (3)()sin (0,)f x x x x π=-∈ (4)3 2 ()23241f x x x x =+-+ 解: (1)因为3 ()3f x x x =+,所以' 2 2()333(1)0f x x x =+=+> 因此3()3f x x x =+在R 上单调递增,如下图左所示. (2)因为2 ()23f x x x =--,

第07讲(三次函数的导数问题)(原卷版)

第07讲（三次函数的导数问题） 【目标导航】 运用三次函数的图像研究零点问题, 三次函数的单调性问题, 三次函数的极值与最值问题。 【例题导读】 例1、若13 x 3－x 2＋ax －a ＝0只有一个实数根，求实数a 的取值范围． 例2、 已知函数f (x )＝13x 3－k ＋12x 2，g (x )＝13 －kx ，若函数f (x )与g (x )的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 例3、设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，其中a ＞0，若过点(0,2)可作曲线y ＝f (x )的三条不同切线，求实数a 的取值范围． 例4、已知函数f (x )＝14 x 3－x 2＋x . (1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2,4]时，求证：x －6≤f (x )≤x ； (3)设F (x )＝|f (x )－(x ＋a )|(a ∈R )，记F (x )在区间[－2,4]上的最大值为M (a )．当M (a )最小时，求a 的值． 例5、已知函数f(x)＝?????－x 3＋x 2，x<0，e x －ax ，x≥0，其中常数a ∈R . (1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间； (2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；

例6、已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=， ① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）； ② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由； 例7、已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >； （3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72 -，求a 的取值范围． 例8、已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值； (2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； (3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．

(整理)利用导数研究函数的性质.

专题三 利用导数研究函数的性质 1． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分不必要条件． 2． f (x )在(a ，b )上是增函数的充要条件是f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0在有限个点处取到． 3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0并不是f (x )在x ＝x 0处有极值的充分条件 对于可导函数f (x )，x ＝x 0是f (x )的极值点，必须具备①f ′(x 0)＝0，②在x 0两侧，f ′(x )的符号为异号．所以f ′(x 0)＝0只是f (x )在x 0处有极值的必要条件，但并不充分． 4． 如果连续函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．在解决 实际问题中经常用到这一结论． 1． 已知函数f (x )＝ln a ＋ln x x 在[1，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围为__________． 答案 [e ，＋∞) 解析 f ′(x )＝1x ·x －(ln a ＋ln x )x 2＝1－(ln a ＋ln x )x 2，因为f (x )在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a ≥1－ln x 在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x )＝1－ln x ，φ(x )max ＝1，故ln a ≥1，a ≥e. 2． 设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________． 答案 4 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0，即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1 x 3，则g ′(x ) ＝ 3(1－2x ) x 4 ， 所以g (x )在区间????0，12上单调递增，在区间????12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ????1 2＝4，从而a ≥4. 当x <0，即x ∈[－1,0)时，同理a ≤3x 2－1 x 3.

利用导数研究函数的零点

利用导数研究函数的零点 （求导求出极值，画出函数的草图分析） 1.已知曲线C ：32 112132 y x x x = --+，直线:l y a = （1）若直线l 与曲线C 有唯一一个交点，求a 的取值范围；（73a <-或13 6a >） （2）若直线l 与曲线C 有两个不同的交点，求a 的取值范围；（73a =-或13 6a =） （3）若直线l 与曲线C 有三个不同的交点，求a 的取值范围.（76a -<13 6 <） 解：令2 '2(1)(2)y x x x x =--=+-0=得11,x =-或22x = 当12x -<<时，'0y <；当1x <-或2x >时，'0y >. 所以()g x 在(1,2)-为减函数，在(,1)-∞-，(2,)+∞为增函数. 当1x =-时，取得极大值max 13 6 y =；当2x =时， 取得极大值min 73y =- ； （1）当73a <-或13 6a >时，直线l 与曲线C 有唯一一个交点； （2）当73a =-或13 6a =时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点； （3）当713 36 a -<<时，直线l 与曲线C 有三个不同的交点. 2.已知函数3 ()31,1f x x ax a =--≠ （1）函数()y f x =的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围.（-3,1） 解: (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0， ∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a . 由f ′(x )<0，解得－a 0时，f (x )的单调增区间为 (－∞，－a )，(a ，＋∞)，单调减区间为(－a ，a )． (2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1. 由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值 f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，结合如图所示f (x )的图象可知：实数m 的取值范围是(－3,1)． x y (2,-7 6 )(-1,7 3 )f x () = 13?x 3 1 2 ?x 2 2?x + 1 2-1

专题3.3 利用导数研究函数的最值、极值-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第三篇 导数及其应用 专题3.03 利用导数研究函数的极值、最值 【考点聚焦突破】 考点一 利用导数解决函数的极值问题 角度1 根据函数图象判断函数极值 【例1－1】 已知函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( ) A.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) B.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) C.函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) D.函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 【答案】 D 【解析】 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－22时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值. 【规律方法】 由图象判断函数y ＝f (x )的极值，要抓住两点：(1)由y ＝f ′(x )的图象与x 轴的交点，可得函数y ＝f (x )的可能极值点；(2)由导函数y ＝f ′(x )的图象可以看出y ＝f ′(x )的值的正负，从而可得函数y ＝f (x )的单调性.两者结合可得极值点. 角度2 已知函数求极值 【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)当a ＝1 2 时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数. 【答案】见解析 【解析】(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝2－x 2x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝2， 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.

用导数研究三次函数

用导数研究三次函数 一、知识点解析 1、定义： 定义1、形如3 2 (0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”。 定义2、三次函数的导函数为二次函数:)0(23)(2 /≠++=a c bx ax x f ，我们把 )3412422ac b ac b -=-=?（,叫做三次函数导函数的判别式。 2、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性 一般地，当032 ≤-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032 >-ac b 时，三次函数)0(2 3≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。 2、对称中心 三次函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点 ))3(,3(a b f a b -- ，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝ 的对称轴上，且又是两个极值点的中点， 同时也是二阶导为零的点。 3、三次方程根的问题 （1）当032≤-=?ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。 （2）当△=032>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <， 可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在) ,(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。

此时： ①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。 ②若0)()(21时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。 当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。 5、最值问题。 函数 若，且 ，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =； 。 6、过三次函数上一点的切线问题 设点P 为三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 图象上任一点，则过点P 一定有 直线与)(x f y =的图象相切。若点P 为三次函数图象的对称中心，则过点P 有且只有一条切线；若点P 不是三次函数图象的对称中心，则过点P 有两条不同的切线。 7、过三次函数外一点的切线问题 设点 ) ,(00y x P 为三次函数)0()(2 3≠+++=a d cx bx ax x f 图象外，则过点P 一定有 直线与)(x f y =图象相切。可能有一条、两条或三条。（具体情况分析不作要求）

(完整版)利用导数研究函数的单调性(超好复习题型)

利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--=

2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈

3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性.