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河北衡水中学高三上学期期中考试数学理试题

2013～2014学年度上学期期中考试高三年级数学（理科）试卷

本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）

1．平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （）（A

（B

）（C ）4 （D ）12

2．若集合{

}{}

540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ?”的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

3．已知平面向量,m n u r r 的夹角为,6

2,3==，在ABC ?中，22AB m n =+uu u r u r r ，

26AC m n =-uuu r u r r

，D 为BC 中点，则AD =( )

A.2

B.4

C.6

D.8

4．某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（）（A ）9214+π （B ）8214+π （C ）9224+π （D ）8224+π

5．已知等差数列{}n a 中，37101140,4a a a a a +-=-=，记12n n S a a a =+++L ，S 13=( ) A ．78

B ．68

C ．56

D ．52

6．已知双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，以12||F F 为直径的圆与双

曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为（）

A ．

221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -= D ．22

143

x y -=

侧视

正视图

俯视图

7．在△ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足sin cos a B b A =,则2sin cos B C -的最大值是( )

A ．1 B. 3 C. 7 D. 27

8．若函数1()e (0,)ax f x a b b

=-＞＞0的图象在0x =处的切线与圆22

1x y +=相切，则a b +的最大值是（）（A ）4 （B ）22

（C ）2 （D ）2

9. 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>中，12,F F 分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P 使得

122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是( )

A ．1,13?? ???

B ．1,13???

??? C ．10,3?? ???

D ．10,3??

???

10．已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ﹣ABC 的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，

则球O 的表面积为（）

A ．24π B. 32π C. 48π D. 192π

11．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜时，

3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 取值范围是（）

（A ）10,5,5+∞U （]（）（B ）10,[5,5+∞U （））（C ）11,]5,775U （（）（D ）11

,[5,775U （））

12．对于定义域为D 的函数()y f x =和常数c ，若对任意正实数ξ，,x D ?∈使得0|()|f x c ξ<-<恒成立，则称函数()y f x =为“敛c 函数”

．现给出如下函数： ①()()f x x x Z =∈； ②()()112x

f x x Z ??

=+∈ ???

；③ ()2log f x x =； ④()1x f x x -=.

其中为“敛1函数”的有

A ．①②

B ．③④

C ． ②③④

D ．①②③

Ⅱ卷非选择题（共90分）

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）

13. 过点(1,1)-的直线与圆22

24110x y x y +---=截得的弦长为43，则该直线的方程

为。

14已知动圆的圆心C 在抛物线x 2=2py （p ＞0）上，该圆经过点A （0，p ），且与x 轴交于两点M 、N ，则sin ∠MCN 的最大值为．

15.如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一

个定点，且该定点始终落在圆()()2

1225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么b

的取值范围 _____________.

16．已知函数()f x 定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)x f x e x =+，给出下列命题： ①当0x >时，()(1);x f x e x =- ②函数()f x 有2个零点

③()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞U ④12,x x R ?∈，都有12|()()|2f x f x -< 其中正确的命题是

三、解答题（共7个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置） 17．如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于3

，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P.

（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；

（2）设COP θ∠=,求POC ?面积的最大值及此时θ的值。

18. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足11b a =，43b S =. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设11n n n c b b +=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：11

n T ≤<.

19．（12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；

（2）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离．

20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22

221(1)x y a b a b +=＞≥的离心率32e =，且椭圆

C 上一点N 到点Q 03（，）的距离最大值为4，过点3,0M （）的直线交椭圆C 于点.A B 、（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=u u u r u u u r

u u u r

（O 为坐标原点），当3AB ＜时，求实数t 的取值范围.

21．已知函数f （x ）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若x 1∈（0，），x 2∈（2，+∞）且a ∈[，2]时，求证：f （x 2）﹣f （x 1）≥ln2+．

请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。

22. 如图，已知⊙O 的半径为1，MN 是⊙O 的直径，过M 点作⊙O 的切线AM ，C 是AM 的中点，AN 交⊙O 于B 点，若四边形BCON 是平行四边形. （Ⅰ）求AM 的长；（Ⅱ）求sin ∠ANC ．

23.已知函数||)(a x x f -=。

（1）若m x f ≤)(的解集为}51|{≤≤-x x ，求实数m a ,的值。（2）当2=a 且0≥t 时，解关于x 的不等式)2()(t x f t x f +≥+。

2013～2014学年度上学期期中考试

高三年级数学（理科）答案

一、选择题

BAAAD CADBC AC

11. 由(1)()f x f x +=-得(1)(2)f x f x +=-+，因此()(2)f x f x =+，函数周期为2.因函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，

可转化成()y f x =与()log ||a h x x =两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论.当1a >时：得(5)log 51a h =<，即5a >.当01a <<时：得(5)log 51a h -=≥-，即105a <≤

.所以a 取值范围是10,5,5

+∞U （]（）.

12.

①()()f x x x Z =∈；由于函数递增，那么不会存在一个正数ξ，满足不等式。 ②()()112x

f x x Z ??

=+∈ ???

；当x>0,c=2,那么存在x ，满足题意，成立。

③ ()2log f x x =；对于1

x f x x

-=.=1-1x ，x>1,c=3，则可知满足题意。故选C.

二、填空题

13、13410x x y =-+-=或 14、1 15、34,43

????

16. ③④

14. 由题意，设C （x 0，y 0），则⊙C 的方程（x ﹣x 0）2+（y ﹣y 0）2=x 02+（y 0﹣p ）2．把y=0和x 02=2py 0代入整理得x 2﹣2x 0x+x 02+p 2=0．

设M 、N 的横坐标分别为x 1、x 2，则x 1=x 0﹣p ，x 2=x 0+p ．∴|MN|=|x 1﹣x 2|=2p ． ∵|CM|=|CN|=

∴=1﹣∴﹣1≤cos ∠MCN ＜1，

∵0＜∠MCN ＜π∴0＜sin ∠MCN ≤1， ∴sin ∠MCN 的最大值为1故答案为：1

16. 设0x >，则0x -<，故()(1)()x

f x e x f x --=-+=-，所以()(1)x

f x e x -=--+，故①错；

因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，又0,(1)0x f <-=时，0(1)0x f >=时，

，故

()f x 有3个零点，②错；当0x <时，令()(1)0x f x e x =+>，解得10x -<<，当0x >时，

令()(1)0x

f x e x -=--+>

解得1x >，综上()0f x >的解集为(1,0)(1,)-?+∞，③正确；当0x <时，()(2)x

f x e x '=+，

()f x 在2x =-处取最小值为21e

，当0x

>时，()(2)x

f x e x -'=-+，()f x 在2x =处取最大值为21e ，由此可知函数()f x 在定义域上的最小值为21e -，最大值为21e ，而222112()2e e e --=<，

所以对任意的12,x x R ∈，都有12|()()|2f x f x -<，④正确三、解答题 17、

18、（1）∵n a 是n S 和1的等差中项，∴21n n S a =- 当1n =时，11121a S a ==-，∴11a = 当2n ≥时，111(21)(21)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， ∴12n n a a -= ，即

n a a -= 3分 ∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列，

∴12n n a -=，21n n S =- 5分设{}n b 的公差为d ，111b a ==，4137b d =+=，∴2d =

∴1(1)221n b n n =+-?=- 6分（2）111111

()(21)(21)22121

n n n c b b n n n n +===--+-+ 7分 ∴11111111(1...)(1)2335212122121

n n

T n n n n =

-+-++-=-=

-+++ 9分 ∵*n N ∈,∴111

12212

n T n ??=

-< ?+?? 10分 ()()

111

021212121n n n n T T n n n n ---=

-=>+-+- ∴数列{}n T 是一个递增数列 ∴11

n T T ≥=. 综上所述，

n T ≤< 12分 19、解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC ，∴PC⊥AC．（2分）（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC ．作NH⊥AC，交AC 的延长线于H ，连接MH ．

由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN 为二面角M ﹣AC ﹣B 的平面角． ∵直线AM 与直线PC 所成的角为60°， ∴在Rt△AMN 中，∠AMN=60°．在△ACN 中，．

在Rt△AMN 中，．在Rt△NCH 中，．

在Rt△MNH 中，∵

，∴．

故二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为

．（8分）

（3）作NE⊥MH 于E ．∵AC⊥平面MNH ，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC ， ∴点N 到平面MAC 的距离为．

∵点N 是线段BC 的中点，

∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍为

．（12分）

方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC ，∴PC⊥AC．（2分）

（2）在平面ABC 内，过C 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P （0，0，z ），则

．

∵，

且z ＞0，∴，得z=1，∴．

设平面MAC 的一个法向量为=（x ，y ，1），则由

得得∴．

平面ABC 的一个法向量为．．

显然，二面角M ﹣AC ﹣B 为锐二面角，∴二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值为．（8分）

（3）点B 到平面MAC 的距离．（12分）

20、解析：（Ⅰ）∵2222

3,4

c a b e a a -=== ∴22

4,a b = （1分）则椭圆方程为22221,4x y b b

+=即222

44.x y b +=

设(,),N x y 则

22222(0)(3)44(3)NQ x y b y y =-+-=-+-222236493(1)412y y b y b =--++=-+++当1y =-时，NQ 24124,b +=

解得2

1,b =∴2

4a =，椭圆方程是2

214

x y += （4分）（Ⅱ）设1122(,),(,),(,),A x y B x y P x y AB 方程为(3),y k x =-

由22(3),1,4

y k x x y =-???+=?? 整理得2222(14)243640k x k x k +-+-=.

由2

2416(91)(14)0k k k k ?=--+＞，得215

k ＜.

22121222

24364

,.1414k k x x x x k k

-+=?=++ （6分） ∴1212(,)(,),OA OB x x y y t x y +=++=u u u r u u u r 则2

122

124()(14)

k x x x t t k =+=+, []12122

116()()6.(14)

y y y k x x k t t t k -=+=+-=+ 由点P 在椭圆上，得222222222

(24)1444,(14)(14)

k k t k t k +=++化简得222

36(14)k t k =+① （8分）又由2

1213,AB k

x x =+-＜即22

1212(1)()43,k x x x x ??++-??＜将12x x +，12x x 代入得

2422

222

244(364)(1)3,(14)14k k k k k ??-+-??++??

＜化简，得22

(81)(1613)0,k k -+＞则221810,8k k -＞＞, ∴21185

k ＜＜② （10分）

由①，得22

369

9,1414k t k k

==-++ 联立②，解得2

34,t ＜＜∴23t --＜＜或3 2.t ＜＜（12分）

21．解：（I ）由f （x ）=alnx+（a≠0），得：，

∵a≠0，令，∴g（0）=1＞0．

令或，则0＜a ＜2．

(II ）由（I ）得：，

设ax 2

﹣（2a+1）x+a=0（0＜a ＜2）的两根为α，β，则

，得

．

当x ∈（0，α）和（β，+∞）时，，函数f （x ）单调递增；

当x ∈和（2，β）时，，函数f （x ）单调递减，

则f （x 1）≤f（a ），f （x 2）≥f（β），则f （x 2）﹣f （x 1）≥f（β）﹣f （α）=alnβ﹣alnα﹣

（利用

）

令

，x ＞2则

，

则函数h （x ）单调递增， h （x ）≥h（2）=2ln2+， ∴，

∵

，则

，

∴f（x 1）﹣f （x 2）≥ln2+．

22、（Ⅰ）连接BM ，则90MBN ∠=?，因为四边形BCON 是平行四边形，所以BC ∥MN ，因为AM 是O e 的切线，所以MN AM ⊥，可得BC AM ⊥，又因为C 是AM 的中点，所以

BM BA =，得45NAM ∠=?，故2AM =. （5分）

（Ⅱ）作CE AN ⊥于E 点，则2

CE =

，由（Ⅰ）可知5CN = 故10

sin 10

CE ANC NC ∠==. （10分）

23.解：（Ⅰ）由|x ﹣a|≤m 得a ﹣m ≤x ≤a+m ，所以

解之得

为所求． 4分

（Ⅱ）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|，

所以()(2)|22||2|f x t f x t x t x t +≥+?-+--≤ 当t=0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式

解得x ＜2﹣2t 或或x ∈?，即；

综上，当t=0时，原不等式的解集为R ，当t ＞0时，原不等式的解集为． 10分

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

河北省衡水中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试题

河北省衡水中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、设集合{|1},{|1}A x x B x x =>-=≥，则“x A ∈且x B ?”成立的充要条件是（） A ．11x -<≤ B ．1x ≤ C ．1x >- D ．11x -<< 2、已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线2 21x y m -=的离心率为（） A ．2 C 2 D 3、已知,m n 为不同的直线，,αβ为不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．,////m n m n αα?? B ．,m n m n αα?⊥?⊥ C ．,,////m n n m αβαβ??? D ．,n n βααβ?⊥?⊥ 4、一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（） A B C D 5、要得到函数()cos(2)3f x x π=+ 的图象，只需将函数()sin(2)3g x x π=+的图象（） A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2 π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4 π个单位长度 6、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 7、如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管内匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后x 分钟，瓶内液面与进气管的距离为h 厘米，已知当0x =时，13h =，如果瓶内的药

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<