2012江苏高考数学试卷及其答案(理科)

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学Ⅰ

参考公式：

棱锥的体积13

V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．

． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A

B =

▲ ．

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．

3．设a b ∈R ，，117i i 12i

a b -+=-（i 为虚数单位），则

为

▲ ．

4．右图是一个算法流程图，则输出的k 5．函数()f x =

的定义域为

▲ ．

6．现有10个数，它们能构成一个以1等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8

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输出k

的概率是 ▲ ．

7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，

12cm

AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2

2

214x

y

m

m -

=+的离心率

m 的值为 ▲ ．

9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =

=，点E 为 点F 在边CD 上，若2AB

AF =，则AE BF

10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间0111()201

x x ax f x bx x <+-??

=+??+?≤≤≤，

，，，其中a b ∈R ，．若

1322f f ????= ? ?????， 则3a b +的值为 ▲ ． 11．设α为锐角，若4cos 65απ??+

= ??

?，则sin 212απ?

?+ ??

?的值为 ▲ ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至

少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ．

13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的

解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．

14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b

a

的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

结束 （第4题）

D

A B

C

1 1D 1A

1B

（第7题）

（第9题）

15．（本小题满分14分） 在ABC ?中，已知3AB

AC BA BC =．

（1）求证：tan 3tan B A =； （2

）若cos C 求A 的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，

D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；

（2）直线1//A F 平面ADE ．

1A 1C

F D

C

A

E 1B

17．（本小题满分14分）

如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程

221

(1)(0)20

y kx k x k =-

+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指

炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它

的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

（第16题）

18．（本小题满分16分） 若函数()y f x =

在

x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =

的极值点

已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．

19．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy

中，椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为

1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和2e ? ?

?，都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的离心率； （2）设A ，B 是椭圆上位于x

与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P （i ）若12AF BF -=

1AF （ii ）求证：12PF PF +是定值．

（第19题）

20．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b

满足：1n a n *+=

∈N ．

（1）设11n n n

b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2

n

n b a ???????? ???????

是等差数列； （2

）设1n

n n

b b n a *+=

∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．

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数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区．．．．．．．．．．．．．．．．域内作．．．

答．．．

若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延

长至点C ，使BD =

DC ，连结AC ，AE ，求证：E C ∠=∠．

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（第21-A 题）

B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A 的逆矩阵1

13441122-??-??=????-????

A ，求矩阵

A 的特征值．

C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标中，已知圆C 经过点()4

P π

，

，圆心为直线(

)

sin 3ρθπ-

=与极轴的

交点，求圆C 的极坐标方程．

D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）

已知实数x ，y 满足：11

|||2|3

6

x y x y +<-<，，

求证：5

||18

y <．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分） 设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．

23．（本小题满分10分）

设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ?；②若x A ∈，则2x A ?；③若n

P x A ∈e，则2n

P x A ?e．

（1）求(4)f ；

（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．