双曲函数
定义
双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2
cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2
tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]
coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]
sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]
csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]
cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1
和性质 t > 0 对于所有的 t。
参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。
函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。
函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。[3]实变双曲函数
y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。
y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。
y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。
y=cth(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x||x|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1，lim[x->+∞，coth(x)=1]，
lim[x->-∞，coth(x)=-1]。
y=sch(x)，定义域：R，值域：（0，1]，偶函数，最高点是（0，1），函数在（0，+∞）严格单调递减，x轴是其渐近线，lim[x->∞，sech(x)]=0。
y=xh(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x|x≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴，lim[x->∞，csch(x)]=0。
双曲函数名称的变更：sh也叫sinh，ch也叫cosh，th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。
双曲正弦：sh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2
双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2
解析性：shz，chz是全平面的解析函数。
周期性：shz，chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质。
反双曲函数
反双曲函数是双曲函数的反函数.，它们的定义为：
arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）]
arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）]
arcth(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2
arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2
arcsch(x) = ± ln[1 + sqrt(1 - x^2)/ x]
arcxh(x) = ln[1 - sqrt(1 + x^2)/ x]，如果 x < 0
ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x]，如果 x > 0
其中，
sqrt 为 square root 的缩写，即平方根
3三角函数编辑
双曲函数与三角函数有如下的关系：
* sinh x = -i * sin(i * x)
* cosh x = cos(i * x)
* tanh x = -i * tan(i * x)
* coth x = i * cot(i * x)
* sech x = sec(i * x)
* csch x = i * csc(i * x)
i 为虚数单位，即 i * i = -1
ch^2(x) - sh^2(x) =1
cth^2(x) - xh^2(x)=1
th^2(x) + sch^2(x)=1
加法公式
sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)
cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)
tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]
coth(x+y)=（1+coth(x) * coth(y))/(coth(x) + coth(y))
减法公式
sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) - cosh(x) * sinh(y)
cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) - sinh(x) * sinh(y)
tanh(x-y) = [tanh(x) - tanh(y)] / [1 - tanh(x) * tanh(y)]
coth(x-y)=（1-coth(x) * coth(y))/(coth(x) - coth(y))
二倍角公式
sinh（2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)
cosh（2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) - 1 = 2 * sinh^2(x) + 1
tanh（2x) = 2tanh(x)/（1+tanh^2(x))
coth（2x) = （1+coth^2(x))/2coth(x)
半角公式
cosh^2(x / 2） = (cosh(x) + 1） / 2
sinh^2(x / 2） = (cosh(x) - 1） / 2
tanh(x / 2） = (cosh(x)-1）/sinh(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1）
coth(x / 2） = sinh(x)/(coth(x)-1）=(coth(x)+1）/sinh(x)
三倍角公式
sin（3 * x) = 3 * sin(x) + 4 * sin^3(x)
sinh（3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh^3(x)
德莫佛公式
（cosh(x）±sinh(x))^n=cosh(nx)±sinh(nx)
双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn's rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时（包括coth^2(x),tanh^2(x),csch^2(x),sinh(x) * sinh(y））则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如
5导数编辑
（sinh(x))'=cosh(x)
（cosh(x))'=sinh(x)
（tanh(x))'=sech^2(x)
（coth(x))'=-csch^2(x)
（sech(x))'=-sech(x)tanh(x)
（csch(x))'=-csch(x)coth(x)
（arcsinh(x))'=1/sqrt(x^2+1）
（arccosh(x))'=1/sqrt(x^2-1） (x>1）
（arctanh(x))'=1/（1-x^2） (|x|<1）
（arccoth(x))'=1/（1-x^2） (|x|>1）
6不定积分编辑
∫sinh(x)dx=cosh(x)+c
∫cosh(x)dx=sinh(x)+c
∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c
∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c
∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c
∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c
∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c
∫cot h(x)dx=ln|sinh(x)|+c
∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2））+c2
∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2）|+c
∫[1/sqrt(x^2+1）]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1））+c
∫[1/sqrt(x^2-1）]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1）|+c
（sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)
7级数表示编辑
sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+...+z^（2k-1）/（2k-1）！+... (z∈C)
cosh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+...+z^（2k)/（2k)!+... (z∈C)
arcsinh(z)=z-（1/6）z^3+（3/40）z^5-（5/112）z^7+...+(-1）^k[（2k-1）！！
/（2k)!!][z^（2k+1）/（2k+1）]+... (|z|<1）
arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+...+z^（2k-1）/（2k-1）+... (|z|<1）
近似：
z→+∞，sinh(z) ≈ exp(z)/2；cosh(z) ≈ exp(z)/2；tanh(z)→1；
z→ - ∞，sinh(z) ≈ - exp(-z)/2；cosh(z) ≈ exp(-z)/2；tanh(z)→ - 1；
z→0，sinh(z) ≈ z；cosh(z) ≈ 1 + z^2/2；
8实际应用编辑
双曲函数并非单纯是数学家头脑中的抽象，在物理学众多领域可找到丰富的实际应用实例。
阻力落体
在空气中由静止开始下落的小石块既受重力的作用又受到阻力的作用。设小石块的质量为m，速度为v，重力加速度为g，所受空气阻力假定与v2正比，阻尼系数为μ。设初始时刻小石块静止。求其小石块运动速度与时间的关系。
解：
小石块遵循的运动方程为
mdv/dt=mg―μv2 ⑻
这是Riccati方程，它可以精确求解。
依标准变换方式，设
v=（m/μ）（z′/z）⑼
代入⑻式，再作化简，有
z'' ―（gμ /m)z=0 ⑽
⑽式的通解是
z=C1exp（√gμ /m t）+ C2exp（－√gμ /m t）⑾
其中，C1和C2是任意常数。
由于小石块在初始时刻是静止的，初始条件为
v（0）=0 ⑿
这等价于
z′（0）=0 ⒀
因此，容易定出
C2=C1 ⒁
将⒁式代入⑾式，再将⑾式代入⑼式，就可得
满足初始条件的解
v=√mg/μ tanh（√μg/m t) ⒂
我们可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力
的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段t和v的关系是直线。当小石块速度很大时，重力相对于阻力来说可以忽略，阻力快速增加到很大的数值，导致小石块的速度几乎不再增加。此时，小石块加速度接近零，v几乎不随时间而变化。从图1中可以看到，一段时间后，v相不多是一平行于t轴的直线。
导线电容
真空中两条圆柱形无穷长平行直导线，横截面的半径分别为R1和R2，中心线相距为d(d >R1+R2）。试求它们间单位长度的电容。
解：
设这两条导线都带电，单位长度的电荷量分别是为λ和―λ。
我们可以用电像法精确求解。电像法的思路是：
由于在静电平衡情况时，导线是等势体，因而我们可设想用偶极线来取代这两条圆柱形带电导线，适当地选择偶极线的位置，使它们所产生的两个等势面恰好与原来两导线的表面重合。这样就满足了边界条件。这里采用的偶极线是两条无穷长的均匀带电平行直线，它们单位长度的电荷量也分别为λ和―λ。这偶极线便是原来两带电导线的电像。于是就可以计算电势，从而求出电容来。为此先求偶极线的等势面。
以偶极线所在的平面为z-x平面，取笛卡儿坐标系，使偶极线对称地处在z 轴的两侧，它们到z轴的距离都是a。如图2所示。这偶极线所产生的电势便为
φ=φ1+φ2
=（λ/2πε0）In（r1′ / r1）+（―λ/2πε0）In（r2′ / r2）
=（λ/2πε0）In[（r2 / r1）（r1′/ r2′）] ⒃
y
P
r2 r1
R2 ―λ +λ R1 x
O
a a
a2 a1
图2：带电导线与其镜像
式中r1′和r2′分别是偶极线λ和―λ到某个电势参考点的距离。为方便起见，我们取z轴上的电势为零，这样，r1′=r2′= a，于是，⒃式便化为
φ=（λ/2πε0）In（r2 / r1）⒄
由于对称性，平行于z轴的任何一条直线都是偶极线的等势线。所以，我们只须考虑z-y平面内任意一点P（z，y）的电势即可。于是
φ=（λ/4πε0）In{[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2] } ⒅
故偶极线的等势面方程便为
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆
式中
k2 =e4πε0φ/λ ⒇
令
c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21）
则⒆式可化为
（x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22）
这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z 轴上z=c处，其横截面的半径为
R=∣2k/（k2―1）∣a （23）
这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了：
a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24）
R1=∣2k1/（k12―1）∣a （25）
a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26）
R2=∣2k2/（k22―1）∣a （27）
d=a1+a2 （28）
由（24）至（27）式得
a12―R12=a2= a22―R22 （29）
原来两导线表面的方程是
R1：（x―a1）2+y2= R12 （30）
R2：（x+a2）2+y2= R22 （31）
利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为
x2+y2+ a2= 2a1 x （32）
x2+y2+ a2= ―2a2 x （33）
利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为
φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34）
φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35）
于是两导线的电势差便为
U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36）
用已知的量消去未知数，可以得出
U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37）
最后得出原来两导线为l一段的电容为
C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/
2R1R2]2―1] （38）
单位长度的电容为
c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22）/ 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39）
利用反两曲余弦关系式
archx= In[（x+√x2―1）] （40）
对本题的精确解表示作简洁表示
c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41）
最后一式可以在一般手册上查到。
粒子运动
一电荷量为q、静质量为m0的粒子从原点出发，在一均匀电场E中运动，E=Eez 沿z轴方向，粒子的初速度沿y轴方向，试证明此粒子的轨迹为
x=（W0/qE）[cosh（qEy/p0c）―1] （42）
式中p0是粒子出发时动量的值，W0是它出发时的能量。
解：
带有电荷量q的粒子在电磁场E和B中的相对论性的运动方程为
dp/dt=q（E+v×B）（43）
式中v是粒子的速度，p是粒子的动量
p=mv=mv0/√1－v2/c2 （44）
本题运动方程的分量表示式为
dpx=qE
dpy=0
dpz=0 （45）
解之，有
px =qEt+C1
py = C2
pz = C3 （46）
代入t=0时初始条件
px（0）=0
py（0）= p0
pz（0）= 0 （47）
定出积分常数后，可知
px=qEt
py= p0
pz= 0 （48）
粒子的能量为
W=mc2
=√p2c2+m02c4
=√（px2+ py2+ pz2）c2+m02c4
=√q2E2 c2t2+W02 （49）
因dx/dt=qEt/m=qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 （50）
积分得
x=∫[qEc2t/√q2E2 c2t2+W02 ]dt
= [√q2E2 c2t2+W02 －W02]/qE （51）
又由（48）式得
dy/dt=p0/m=p0c2/√q2E2 c2t2+W02 （52）
积分得
y=∫[p0c2 /√q2E2 c2t2+W02 ]dt
=（p0c /qE）arsh（qEct/W0）（53）
或（qEct/W0）= sinh （qEy/ p0c）（54）
在（51）式和（54）式中消去t，有
x=（W0/qE）[√1+ sinh2（qEy/ p0c）－1 ] （55）
利用恒等变换公式
cosh2x―sinh2x=1 （56）
（55）式可以写成
x=（W0/qE）[cosh2（qEy/ p0c）－1 ] （57）
（57）式是一种悬链线。
图3：匀强电场中粒子的悬链线运动轨迹
讨论：
因双曲余弦泰勒级数展开式是
cosh（x）=1+x2/2!+x4/4!+x6/6!+ (58)
当v/c →0时，保留前2项，得
x=（qE/2m v02）y2 （59）
（59）式是抛物线轨迹。《普通物理学》教材用经典牛顿力学求解，普遍会给有这个结果。这表示，非相对论确是相对论在v/c →0时的极限。或者说，（59）式成立的条件是v/c<<1，这也是牛顿力学的适用范围。
非线性方程
如著名的KdV（Korteweg-de Vries）方程的形式为
ux+uux+βuxxx=0 （60）[3]
它是非线性的频散方程，其中β是频散系数。用双曲函数展开法求其某些特殊精确解。
解：
考虑其行波解
u（x，t）=φ（ξ）（61）
其中，
ξ=kx－ωt+ξ0 （62）
KdV方程成为
－ωφξ+kφφξ+k3βφξξξ=0 （63）
记
f=1/（coshξ+r），g=sinhξ/（coshξ+r）（64）
尝试
φ=a0+a1f+a2g （65）
注意存在关系式
df/dξ=－fg
dg/dξ=1－g2－rg
g2=1－2rf+（r2－1）f2 （66）
将（65）式代入（63）式，并在（66）式的帮助下使所得方程中各项只含有f和g的幂次项，且g的幂次项不大于1。合并f和g的同次幂项并取其系数为零，就得到方程（63）对应的非线性代数方程组
－6βk3b1（r2－1）2=0,
－6βk3a1（r2－1）=0,
－2kb1（r2－1）（－6βk2r+ a1）=0,
－k（－6βk2r a1+ a12－b12+ b12r2）=0,
b1（4βk3+ka0－ka0r2+3ka1 r－7βk3 r2+ cr2－c）=0,
ωa1+kb12 r－βk3 a1－ka0a1=0,
－b1（ka1+ωr－βk3r－ka0r）=0 （67）
用计算机代数系统Maple对此超定方程组进行运算，可求得k≠0，ω≠0时的一个非平凡精确解
φ=（ω－βk3）/k+6βk2/（coshξ+1）=0 （68）
其中，k、ω、ξ0为任意常数。
（68）式是孤波解，图4绘出了其函数图像形状（作图时取了β=1/6 k2，ω=βk3）。
图4：KdV方程的孤波解
从以上的讨论中可知，无论是在经典或近代的物理学内容中，还是在正在发展中的物理学内容中，双曲函数起着不可或缺的重要作用。
悬链线
形如y=a cosh(x/a)(a为常数）的函数的图象又叫悬链线，可以由柔软的绳子得到，有点象抛物线，但其实两者差距很大.据说莱布尼兹（Leibniz）于1690年最先解出悬链线方程，惠更斯（Huygens）和伯努利兄弟（Jacob
Bernoulli,Johann Bernoulli）随其后.惠更斯在1691年把悬链线命名为catenary. 悬链线与抛物线有这样的关系：悬链线是直线上滚动的抛物线的焦点的运动轨迹.悬链线的顶点的渐开线是曳物线（tractrix).这条曳物线的渐进线称为悬链线的准线，悬链线绕准线旋转形成的曲面叫做悬链面.
数学证明
设最低点A处受水平向左的拉力H，右悬挂点处表示为C点，在AC弧线区段任意取一段设为B点，则B受一个斜向上的拉力T，设T和水平方向夹角为θ，绳子的质量为m，受力分析有：Tsinθ=mg；Tcosθ=H，
tanθ=dy/dx=mg/H，mg=ρs，，其中s是右段AB绳子的长度，ρ是绳子线重量密度，代入得微分方程dy/dx=ρs/H；利用弧长公式ds=√（1+dy^2/dx^2）*dx；所以s=∫√（1+dy^2/dx^2）*dx; 所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√（1+dy^2/dx^2）*dx/H;.....⑴ 对于⑴设p=dy/dx微分处理得
p'=ρ/H*√（1+p^2）......⑵ p'=dp/dx; 对⑵分离常量求积分∫dp/√（1+p^2）=∫ρ/H*dx 得ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H+C，即asinhp（反双曲正弦）=ρx/H+C 当x=0时，dy/dx=p=0；带入得C=0；整理得asinhp=ρx/H 另祥解：（ln[p+√（1+p^2）]=ρx/H）；p=sh（ρx/H) （1+p^2=e^（2ρx/H)-2pe^（ρx/H)+p^2）；（p=[e^（ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx）；y=ch （ρx/H)* H / ρ（y=H/（2ρ）*[e^（ρx/H)+e^(-ρx/H)]）；令a=H/ρ：y=a*cosh (x/a) （y=a[e^(x/a)+e^(-x/a)]/⑵= a*cosh(x/a））。
三角函数公式与双曲函数
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα
诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。 编辑本段其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系 sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式
对勾函数的几点分析
对勾函数的几点分析 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被形象称为“耐克函数” 奇偶性与单调性 当x>0时，f(x)= x b ax + 有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），即当a b x =的时候 奇函数。 令a b k = ，那么： 增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}； 减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0
双曲函数与三角函数
双曲函数 王希 对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题的回答不太满意，故在此重新撰文。尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。 除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。 我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。 一、发展历史 双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。 时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。 一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。 18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。 19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。 二、函数定义 在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：
在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。 同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图： 具体的定义为 ， ， 。 三、函数性质 和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试(一模)数学试题教师解析版
2021届浙江省温州市高三上学期11月高考适应性测试（一模）数学 试题 一、单选题 1．已知集合{} 15A x x =<<，{} 03B y y =<<，则A B =（） A ．? B ．{} 13x x << C ．{} 05x x << D ．{} 05x x << 答案：B 利用交集的定义可求得集合A B . 解： {}15A x x =<<，{}03B y y =<<，因此，{}13A B x x ?=<<. 故选：B. 2．已知z 为复数，若()1i i z ?+=(i 是虚数单位)，则z = A ．1 B C ． 12 D ． 2 答案：D 先根据复数除法求出复数z ，结合复数模长的求解方法可得模长. 解：因为(1)z i i +=，所以i i(1i)1i 11i 1i (1i)(1i)222z -+====++-+，所以||2 z ==，故选D. 点评：本题主要考查复数的除法及模长，复数模长的求解一般是先化简复数为z a bi =+形式，结 合模长公式z = . 3．设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4228S S =+，则d =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B 由4228S S =+，直接利用等差数列的前n 项和公式求解. 解：因为4228S S =+， 所以 () ()14124282 a a a a +=++，
所以()()11112328a a d a a d ++=+++， 即48d =， 解得2d =， 故选：B. 4．若实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，则2x y -的最小值为（） A ．.1 B ．1- C ．3 D ．3- 答案：D 根据实数x ，y 满足约束条件0320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? ，画出可行域，记目标函数2z x y =-，平移直线 12 2 z y x = -，当直线在y 轴上的截距最大时z 有最小值求解. 解：实数x ，y 满足约束条件0 320x y x x y -≥?? ≤??+-≥? 的可行域如图所示： 记目标函数2z x y =-，平移直线122 z y x =-，当直线经过点(3,3)A 时在y 轴上的截距最大，此时对应的z 具有最小值， 最小值为3233z =-?=-， 故选：D. 5．已知0a >，0b >则“1a b +=”是“22 1 2 a b +≥ ”的（）
双曲函数
双曲函数的作用 双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 Sinh_cosh_tanh 双曲正弦 sh z ＝(e^z-e^(-z))/2 （1） 双曲余弦 ch z ＝(e^z+e^(-z))/2 （2） 双曲正切 th z ＝ sh z /ch z ＝(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) （3） 双曲余切 cth z ＝ ch z/sh z＝(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) （4） 双曲正割 sech z ＝1/ch z （5） 双曲余割 csch z ＝1/sh z （6） 其中，指数函数（exponential Csch_sech_coth function）可由无穷级数定义 e^z＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋...＋z^n/n！＋ (7) 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为ar sh z、ar ch z、ar th z等。 定义 在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。 因为双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。
双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。 射线出原点交双曲线 x2 ? y2 = 1 于点 (cosh a,sinh a)，这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] 其中， e是自然对数的底 e≈2.71828 18284 59045...= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!...+ 1/n! +... e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是: e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!...+ x^n/n! +... 如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 ? y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式 cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 和性质 t > 0 对于所有的 t。 双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数sinhx是奇函数，就是说-sinhx=sinh-x且sinh0=0。 实变双曲函数图像的基本性质 y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称.
高中数学双曲线函数的图像与性质及应用
一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习 课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴） 的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示 的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇 函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲 线的定义． 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；
最新对勾函数详细分析(修订版)
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 4.图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x= 时，取最小值 由奇函数性质知：当x<0时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，在x=时，取 最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）, 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. ②作图如下： 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a.若，图像如下： 1．定义域： 2. 值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x<0时，在x=时，取最小值 5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是
双曲线函数的图像与性质及应用
一个十分重要得函数得图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数得图象、性质与重要得应用,就是高考要求范围内得一个重要得基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校得同学而言,我们务必要系统介绍学习（ab ≠０）得图象、性质与应用。 ２．1 定理:函数（ab ≠0）表示得图象就是以y=ａx 与x=0(y 轴）得直线为渐近线得双曲线。 首先，我们根据渐近线得意义可以理解：a ｘ得值与得值比较,当很大很大得时候， 得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是ａｘ得值;当得值很小很小,几乎为０得时候，ax 得值几乎可以忽略不计，起决定作用得就是得值．从而，函数(ab ≠0)表示得图象就是以ｙ=ａx 与x=０（y 轴）得直线为渐近线得曲线．另外我们可以发现这个函数就是奇函数,它得图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象,系数都就是字母，因此要证明曲线就是双曲线就是很麻烦得，我们通过一个例题来说明这一结论． 例1.若函数就是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b,半焦距c ，渐近线及其焦点,并验证双曲线得定义。 分析：画图，曲线如右所示;由此可知它得渐近线应 该就是与x ＝0 平分线y=x （－,—3)； 就是30o， ｃ==4, ∴ 象就是双曲线,可； 3232(21+== -x x PF PF 所以，函数表示得曲线就是双曲线． （在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”,其实很不准确得．） 2。２五种表现形式 表现 1：函数 （a ＞0，ｂ〉0)得双曲线大概图象如下： 渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与 上函数分别就是单调递增得,在与上函数分别就是单调递减得;在ｘ=处有极大值,在x=处有极小 值；值域就是． 表现 2：函数 （a ＜０,b 〈０）得双曲 线大概图象如下： 渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上 表现1图
双曲函数
双曲函数 双曲函数 在数学中，双曲函数类似于常见的（也叫圆函数的）三角函数。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以次类推目录 定义 介绍 双曲函数 实变双曲函数 复变双曲函数 1、定义 2、性质 反双曲函数 三角函数 恒等式 加法公式 减法公式 二倍角公式 半角公式 三倍角公式 导数 不定积分 级数表示 实际应用 1、阻尼落体 2、导线电容 3、粒子运动 4、非线性方程 悬链线 数学证明 参考文献 展开 定义 介绍
实变双曲函数 复变双曲函数 1、定义 2、性质 反双曲函数 三角函数 恒等式 加法公式 减法公式 二倍角公式 半角公式 三倍角公式 导数 不定积分 级数表示 实际应用 1、阻尼落体 2、导线电容 3、粒子运动 4、非线性方程 悬链线 数学证明 参考文献 展开 编辑本段定义 双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 Sinh_cosh_tanh 双曲正弦 sh z =(e^z-e^(-z))/2 ⑴ 双曲余弦 ch z =(e^z+e^(-z))/2 ⑵ 双曲正切 th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z)) ⑶
cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z)) ⑷ 双曲正割 sch z =1/ch z ⑸ 双曲余割 xh(z) =1/sh z ⑹ 其中，指数函数（exponential Csch_sech_coth function）可由无穷级数定义 e^z=1+z/1！+z^2/2！+z^3/3！+z^4/4！+…+z^n/n！+… ⑺ 双曲函数的反函数（inverse hyperbolic function）分别记为arsh z、arch z、arth z 等。 编辑本段介绍 在数学中，双曲函数类似于常见的三角函数（也叫圆函数）。基本双曲函数是双曲正弦“sinh”，双曲余弦“cosh”，从它们导出双曲正切“tanh”等。也类似于三角函数的推导。反函数是反双曲正弦“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”）以此类推。双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如说定义悬链线和拉普拉斯方程。 双曲函数接受实数值作为叫做双曲角的自变量。在复分析中，它们简单的是指数函数的有理函数，并因此是完整的。 射线出原点交双曲线x^2 y^2 = 1 于点(cosha,sinh a），这里的a被称为双曲角，是这条射线、它关于x轴的镜像和双曲线之间的面积。定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：
对勾函数详细分析
对勾函数的性质及应用 一.对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质： 1. 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 2. 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限, 当0x >时，b y ax x =+ ≥2√ab （当 且仅当b x a = 取等号），即 )(x f 在x=a b 时，取最小值ab 2 由奇函数性质知：当x<0时，)(x f 在x=a b -时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（∞+,a b ），（a b -∞-,）,减区间是（0，a b ），（a b -,0） 1、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b y ax x =+ )0,0(<时，)(x f 在x=a b -时，取最大 值ab 2- 5.单调性：增区间为（0，a b ），（a b -,0）减区间是（∞+,a b ），（a b -∞-,）, 类型二：斜勾函数b y ax x =+)0(
最新对勾函数讲解与例题解析
对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 (一) 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 a>0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 对勾函数的图像（ab 异号）
接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 (二) 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时， 。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： (三) 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 (四) 对勾函数的单调性 (五) 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： (六) 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab ，两边同时加上2ab ，整理得到（a+b)^2≥4ab ，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b ≥2sqrt(ab ）。把ax+b/x 套用这个公式，得到ax+b/x ≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab ），这里有个规定：当且仅当ax=b/x 时取到最小值，解出x=sqrt(b/a ），对应的f(x)=2sqrt(ab ）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab ），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数()01>+=x x x y 最小值的解法 1. 均值不等式 Θ0>x ，∴21≥+ =x x y ，当且仅当x x 1=，即1=x 的时候不等式取到“=”。∴当1=x 的时候，2min =y 2. ?法 0112=+-?+=yx x x x y y X O y=ax
分压电路的动态分析
分压电路的动态分析 分压电路是高中阶段学生必须掌握的一种电路，对分压电路的动态分析也就显得很重要了，因此有必要进行详细地讨论。 图1所示的是分压电路的电路图，其中滑动变阻器的总阻值为R，设滑片左边的部分电阻为x，则滑片右边的部分电阻为，负载电阻为。 首先，我们讨论外电阻随x的变化而变化的规律。由串并联电路知识知： 上式中括号内是数学中提到的“对勾函数”，令 则有： 当且仅当时，等号成立，此时有：。因此： 当时，为增函数； 当时，为减函数。 函数图象如图2所示。 在我们要讨论的物理问题中，。因此，y为增函数，为减函数。我们把这作 为一个非常重要的结论。 结论一：当x增大时，分压电路的外电阻将减小。 由闭合电路欧姆定律可知，干路中的电流将增大。在电路中和x是并联关系，因此它们的电流是按电阻的反比来分配的。负载上的电流 x增大的结果是使上式中的分子I增大，同时使上式中的分母减小，我们将得到 结论二：当x增大时，流过负载的电流增大。 由于负载是定值电阻，由、可知： 结论三：当x增大时，负载两端的电压增大。 结论四：当x增大时，负载消耗的电功率增大。 另外：由P=EI、可知： 结论五：当x增大时，电源提供的电功率和电源内阻上消耗的电功率都将增大。 由和结论一可知： 结论六：当x增大时，电源的效率降低。 总之，我们可以说，当x增大时，负载上的电流、电压、电功率都是增大的，电源提供的总功率也增大，但电源的效率下降了。下面的一道习题作为练习： 练习题：电路如图所示，定值电阻、，电源电动势为E=6V，内阻为，滑动变阻器总阻值为，当滑动触头P从最左端向右滑动过程中，则下更判断错误的是（） A．电源消耗的功率一直减小 B．消耗的功率一直减小 C．消耗的功率一直减小 D．电源内阻r消耗的功率先减小后增大 参考答案：D [参考文献]
三角函数与双曲函数基本公式对照表
圆函数（三角函数） 1.基本性质： sin tan cos x x x = ,cos cot sin x x x = 1sec cos x x = ,1 csc sin x x = tan cot 1x x = sin csc 1x x = sec cos 1x x = 22sin cos 1x x += 《 221tan sec x x +=,221cot csc x x += 2.奇偶性： sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=- 3.两角和差公式 sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±= [ tan tan tan()1tan tan x y x y x y ±±= 4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x = 2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x x x x =-=-=-22tan tan 21tan x x x = - 双曲函数 1.基本性质： sh th ch x x x = ,ch cth sh x x x = 1sech ch x x =,1csch sh x x = - th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x = 22ch sh 1x x -= 221th sech x x -=,221cth csch x x -=- 2.奇偶性： sh()sh x x -=- ch()ch x x -= ~ th()th x x -=- 3.两角和差公式 sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x y x y x y ±±= ± 4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x = 2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x x x x ==-=+ [
对勾函数详细分析.doc
对勾函数的性质及应用 一 . 对勾函数的图像与性质： 1.定义域：（ - ∞， 0）∪（0，+∞） 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 2√ab （当且仅当取等号），即在x=时，取最小值4. 图像在一、三象限 , 当时， 由奇函数性质知：当x<0 时，在 x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）, 减区间是（ 0，），（ ,0 ） 1、对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域： (- ∞,- √ab]U[ √ab,+ ∞) 3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4. 图像在二、四象限 , 当 x<0 时，在 x= 时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（ 0，），（ ,0 ）减区间是（），（） , 类型二：斜勾函数 ①作图如下 1.定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4. 图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（ - ，0），（ 0， +） . ②作图如下： 1. 定义域： 2. 值域： R 3. 奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.
5.单调性：减区间为（ - ，0），（ 0， +） . 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习 1. 函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1. 作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3.求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 a. 若，图像如下： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最大值，当x<0 时，在x=时，取最小值 5.单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习 1. 函数的在区间上的值域为 b.若，作出函数图像： 1．定义域： 2.值域： 3.奇偶性：奇函数. 4.图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当 x<0 时，在 x=时，取最大值 5.单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习 1. 如，则的取值范围是 类型六：函数 . 可变形为，
双曲函数及其几何意义
Hyperbolic functions(双曲函数）and their geometric meaning In mathematics, hyperbolic functions are analogs of the ordinary trigonometric, or circular, functions. The basic hyperbolic functions are the hyperbolic sine "sinh" (/?s?nt?/ or /??a?n/), and the hyperbolic cosine "cosh" (/?k??/), from which are derived the hyperbolic tangent "tanh" (/?t?nt?/ or /?θ?n/), hyperbolic cosecant "csch" or "cosech" (/?ko???k/ or /?ko?s?t?/), hyperbolic secant "sech" (/???k/ or /?s?t?/), and hyperbolic cotangent "coth" (/?ko?θ/ or /?k?θ/),[1] corresponding to the derived trigonometric functions. The inverse hyperbolic functions are the area hyperbolic sine "arsinh" (also called "asinh" or sometimes "arcsinh")[2] and so on. Just as the points (cos t, sin t) form a circle with a unit radius, the points (cosh t, sinh t) form the right half of the equilateral hyperbola. The hyperbolic functions take a real argument called a hyperbolic angle. The size of a hyperbolic angle is the area of its hyperbolic sector. The hyperbolic functions may be defined in terms of the legs of a right triangle covering this sector. Hyperbolic functions occur in the solutions of some important linear differential equations, for example the equation defining a catenary, of some cubic equations, and of Laplace's equation in Cartesian coordinates. The latter is important in many areas of physics, including electromagnetic theory, heat transfer, fluid dynamics, and special relativity. In complex analysis, the hyperbolic functions arise as the imaginary parts of sine and cosine. When considered defined by a complex variable, the hyperbolic functions are rational functions of exponentials, and are hence meromorphic. Hyperbolic functions were introduced in the 1760s independently by Vincenzo Riccati and Johann Heinrich Lambert.[3] Riccati used Sc. and Cc. ([co]sinus circulare) to refer to circular functions and Sh. and Ch. ([co]sinus hyperbolico) to refer to hyperbolic functions. Lambert adopted the names but altered the abbreviations to what they are today.[4] The abbreviations sh and ch are still used in some other languages, like European French and Russian.
双曲函数
定义 双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数： sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2 cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2 tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)] coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)] sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)] csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)] cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1 和性质 t > 0 对于所有的 t。 参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。 函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。 函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。[3]实变双曲函数 y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。
y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。 y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。 y=cth(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x||x|>1}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1，lim[x->+∞，coth(x)=1]， lim[x->-∞，coth(x)=-1]。 y=sch(x)，定义域：R，值域：（0，1]，偶函数，最高点是（0，1），函数在（0，+∞）严格单调递减，x轴是其渐近线，lim[x->∞，sech(x)]=0。 y=xh(x)，定义域：{x|x≠0}，值域：{x|x≠0}，奇函数，函数图像分为两支，分别在Ⅰ、Ⅲ象限，函数在（-∞，0）和（0，+∞）分别单调递减，垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴，lim[x->∞，csch(x)]=0。 双曲函数名称的变更：sh也叫sinh，ch也叫cosh，th也叫tanh，cth也叫coth，sch也叫sech，xh也叫csch。 双曲正弦：sh(z) = [ e^z - e^(-z)] / 2 双曲余弦：ch(z) = [e^z + e^(-z)] / 2 解析性：shz，chz是全平面的解析函数。 周期性：shz，chz是周期函数，周期为2πi，这是完全不同于实变函数中的性质。 反双曲函数 反双曲函数是双曲函数的反函数.，它们的定义为： arcsh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1）] arcch(x) = ln[x + sqrt(x^2 - 1）] arcth(x) = ln[sqrt(1 - x^2) / (1 - x)] = ln[(1 + x) / (1 - x)] / 2 arccth(x) = ln[sqrt(x^2 - 1) / (x - 1)] = ln[(x + 1) / (x - 1)] / 2
2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题含解析
2019-2020学年四川省遂宁市数学高二第二学期期末检测试题 一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．设0,0a b >>33a b 与的等比中项，则11 a b +的最小值为（ ） A ．8 B ． 1 4 C ．1 D ．4 【答案】D 【解析】 33a b 与的等比中项，∴3=3a ?3b =3a +b ，∴a +b=1． a ＞2，b ＞2． ∴ 11a b +=()11a b a b ??++ ???=224b a a b ++≥+=．当且仅当a=b=12时取等号． 故选D ． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 2．在复平面内，复数()13z i i =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 对复数z 进行整理化简，从得到其在复平面所对应的点，得到答案. 【详解】 复数()133z i i i =+=-+， 所以复数z 在复平面对应的点的坐标为()3,1-， 位于第二象限. 故选：B. 【点睛】 本题考查复数的乘法运算，考查复数在复平面对应点所在象限，属于简单题. 3．若()10 1d a x x = +?，10 cos d b x x =?，1 e d x c x =?，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．b a c << D ．c a b <<