(完整版)数学系常微分方程期末试卷A及答案

（A ）

试卷份数 考试 本科 考试科目 常微分方程 第 1 页（共 5页）

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12-13-2学期期末考试

《常微分方程》A 参考答案及评分标准

（数学与计算机科学学院）

制卷 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1．1,1±=±=x y 2．x x 2cos ,2sin

3．xoy 平面

4．充分必要 5．开

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．D 7．C 8．A 9．D 10．D

三、简答题（每小题6分，本题共30分）

11．解 分离变量得

x y x

y

d e d e = （3分）

等式两端积分得通积分

C x

y

+=e e （6分）

12．解 方程化为

x y

x y 21d d += (2分) 令xu y =，则x

u

x

u x y d d d d +=，代入上式，得 u x

u

x +=1d d (4分)

分量变量，积分，通解为

1-=Cx u (5分)

原方程通解为

x Cx y -=2

(6分)

13．解 对应齐次方程

dy y dx x

=的通解为 Cx y = （2分） 令非齐次方程的特解为

x x C y )(= （3分）

代入原方程，确定出

/1

()c x x

=

（4分） 再求初等积分得

C x x C +=ln )( （5分）

因此原方程的通解为

Cx y =+x x ln （6分）

14．解： 由于

x

N

y M y ??==??e ，所以原方程是全微分方程． （2分） 取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

C y y x y

x

y =+??

d 2d

e （4分）

即 C y x y

=+2

e （6分）

15．解： 令dx

y dt

=，则：32dy y x dt =-- 2分

因为01023≠--，又由1

023

λλ-=+得

2320λλ++=解之得121,2λλ=-=-为两相异实根，且均为负 4分

故奇点为稳定结点，对应的零解是渐近稳定的。 6分

四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．解：对应的齐次方程的特征方程为：

012

=-λ （1分） 特征根为：

1,121-==λλ （2分）

故齐次方程的通解为： x

x

C C y -+=e

e 21 （4分）

因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

x

Ax x y e )(1= （6分）

代入原方程，有

x

x x x Ax Ax A e 2

1e e e 2=

-+， （7分） 可解出

4

1

=

A ． （8分） 故原方程的通解为

x

x x x C C y e 4

1e e 21+

+=- （10分）

17．解： 特征方程为 012

1=--=

-λ

λλE A

即 022

=--λλ

特征根为 21=λ，12-=λ （2分） 21=λ对应特征向量应满足

??

????=????????????--0021212

11b a

可确定出 ??

?

???=????

??2111b a （5分） 同样可算出12-=λ对应的特征向量为 ??

?

???-=?

???

??1122b a （8分） 所以，原方程组的通解为

??

????-+??????=???

???--t t t t C C y x e e 2e e 2221 （10分）

五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，本题共20分）

18．证明 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式 ?=-

x

0d )(0e

)()(x s s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x （5分）

)(e

)()(x

0d )(0x p x W x W x s

s p ?='-

由于0)(≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有

0)(>'x W 或 0)(<'x W

故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数． （10分） 19．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，

且任一解的存在区间都是),(∞+-∞． （2分）

显然，该方程有零解0)(≡x y ． （5分）

假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有)()(01

01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ， (8分)

这是因为零解也满足初值条件)()(01

01x y x y '== 0， 于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．

这与)(1x y 是非零解矛盾． （10分）