高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学求函数的定义域与值域的常用法

一：求函数解析式

1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。

例1. 已知2211

()x x x f x x +++=

，试求()f x 。 解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2

()1f t t t =-+，t ≠1。故得：2()1,1f x x x x =-+≠。

说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。

2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。

例2. （1）已知21

()2()345

f x f x x x +=++，试求()f x ；

（2）已知

2

()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111

()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，

消去1f x ?? ???，则得：

()222845333x f x x x x =+--+

。 （2）由条件式，以－x 代x 则得：

2

()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去

()

f x -，则得：

()2543f x x x =-+

。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。 例4. 求下列函数的解析式：

（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；

（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2

x f ；

（3）已知x x

x x x f 1

1)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。

【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。

（2）若能将x x 2+适当变形，用1+x 的式子表示就容易解决了。

（3）设x

x 1

+为一个整体，不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解。 （4）x ，x -同时使得)(x f 有意义，用x -代替x 建立关于)(x f ，)(x f -的两个程

就行了。

【解题过程】⑴设)0()(2

≠++=a c bx ax x f ，由,2)0(=f 得2=c ， 由1)()1(-=-+x x f x f ，得恒等式12-=++x b a ax ，得2

3,21-==b a 。 故所求函数的解析式为22

3

21)(2+-=

x x x f 。

（2）1)1(112)(2)1(2

2-+=-++=+=+x x x x x x f Θ，

又)1(1)(,11,02≥-=∴≥+≥x x x f x x Θ

。 （3）设1,11

,1≠-==+t t x t x x 则，

则1)1()1(111111)1()(2

2222+-=-+-+=++=++=+=t t t t x x x x x x x f t f 所以)1(1)(2

≠+-=x x x x f 。

（4）因为3)(2)(3+=-+x x f x f ①

用x -代替x 得3)(2)(3+-=+-x x f x f ②

解①②式得5

3

)(+=x x f 。

【题后思考】求函数解析式常见的题型有：

（1）解析式类型已知的，如本例⑴，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式)0(2

≠++=a c bx ax y ，顶点式k h x a y +-=2

)(和标根式))((21x x x x a y --=的选择；

（2）已知)]([x g f 求)(x f 的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；

（3）函数程问题，需建立关于)(x f 的程组，如本例（4）。若函数程中同时出现)(x f ，

)1(x f ，则一般将式中的x 用x

1

代替，构造另一程。 特别注意：求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域 二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例3.

求

34

x y x +=-的定义域。

解：由题意知：204x x +>???

≠??

，从而解得：x>－2且x ≠±4.故所求定义域为：

{x|x>－2且x ≠±4}。

例2. 求下列函数的定义域： （1）3

5)(--=

x x

x f ； （2）x x x f -+-=11)( 【题意分析】求函数的定义域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数。

【解题过程】（1）要使函数有意义，则???±≠≤???≠-≥-3

5

,0305x x x x 即，在数轴上标出，即

53,33,3≤<<<--

表示为{}

5x 3,33,3≤<<<--<或或x x x 。

（2）要使函数有意义，则1,1

1

,0101=???≤≥??

?≥-≥-x x x x x 所以即，从而函数的定义域为

{}1x |x =。

【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几

个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的x 的围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“Y ”连接。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。 例

3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f （

u ）的定义域可以确定函数g （x ）的围，

从而解得x ∈I 1，又由g （x ）定义域可以解得x ∈I 2.则I 1∩I 2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

()()(())f x g x y f g

x ==

=

例8 已知

求的定义域.

解：

()3()33f x x g x =≥?≥?

≥*

由

又由于x 2

－4x ＋3>0 ** 联立*、**两式可解得：

991344

99|1344x x x x x -+≤<<≤?-+

?≤<<≤???

??或故所求定义域为或

例9. 若函数f （2x

）的定义域是［－1，1］，求f （log 2x ）的定义域。

解：由f （2x ）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x ≤2，所以f （x ）的定义域为［2－1

，

2］，故log 2x ∈［2－1

，2］4x ≤≤，故定义域为4?

?。 三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的法。 1、分离变量法

例11. 求函数

23

1x y x +=

+的值域。

解：()2112312111x x y x x x +++=

==++++，因为1

01x ≠+，故y ≠2，所以值域为{y|y

≠2}。

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x ，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。 2、配法

例12. 求函数y ＝2x 2

＋4x 的值域。

解：y ＝2x 2＋4x ＝2（x 2＋2x ＋1）－2＝2（x ＋1）2

－2≥－2，故值域为{y|y ≥－2}。 说明：这是一个二次函数，可通过配的法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为

二次函数的函数的值域也可采用此法求解，如y ＝af 2

（x ）＋bf （x ）＋c 。 3、判别式法

例13. 求函数22

23

456

x x y x x ++=++的值域。

解：22

23456x x y x x ++=++可变形为：（4y －1）x 2＋（5y －2）x ＋6y －3＝0，由Δ≥0可解

得：

26267171y ?-+∈???。 说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注

意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次程后，该程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。 4、单调性法 例14. 求函数2

3y x -=

+，x ∈［4，5］的值域。 解：由于函数23y x -=+为增函数，故当x ＝4时，y min ＝2

5；当x ＝5时，y max ＝5

13，

所以函数的值域为513,25?????

?。 5、换元法 例15.

求函数

2y x =+

解：

令0t =≥，则y ＝－2t 2

＋4t ＋2＝－（t －1）2

＋4，t ≥0，故所求值域为{y|y

≤4}。

例3. 求下列函数的值域：

（1）{

}5,4,3,2,1,12∈+=x x y （2）1+=x y

（3）2

211x

x y +-= （4）)25(,322

-≤≤-+--=x x x y 【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数)(x f y =，其值域就是指集合{}A x ),x (f y y C ∈==；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。

【解题过程】

（1）将，1x 2y 5,4,3,2,1x 中计算分别代入+==得出函数的值域为{}1,19,5,73，

。 （2）11,0≥+∴≥x x Θ

，即所求函数的值域为),1[+∞或用换元法，令

)0(1),0(≥+=≥=t t y t x t 的值域为),1[+∞。

（3）<法一>∴++-=+-=,12

1112

22x

x x y Θ函数的定义域为R 。 ]1,1(y ,2x 12

0,1x 12

2-∈∴≤+<

∴≥+∴。 <法二>y x y x yx y x x y -=+?-=+?+-=1)1(1112222

2

]1,1(,0112-∈≥+-=?y y

y

x 得到。

故所求函数的值域为（－1，1]。

（4）<构造法>114,25,4)1(322

2

-≤+≤-∴-≤≤-++-=+--=x x x x x y Θ

习题讲解：

1.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ??

?>---≤-0

),2()1(0

),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )

A.-1

B. 0

C.1

D. 2 答案:C.

【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,

(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,

(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,

所以函数f(x)的值以6为期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算.

2.设函数???<+≥+-=0

,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）

A ),3()1,3(+∞?-

B ),2()1,3(+∞?-

C ),3()1,1(+∞?-

D )3,1()3,(?--∞ 答案：A 【解析】由已知，函数先增后减再增

当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。

当0f x f ，解得313><<-x x 或

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。 3.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是( ) A. 0 B. 2

1

C. 1

D.

25

答案：A 【解析】若x ≠0，则有)(1)1(x f x

x x f +=

+，取21

-=x ，则有： )21()21()21(2

1211)121()21(f f f f f -=--=---

=

+-=（∵)(x f 是偶函数，则)21()21(f f =- ）由此得0)21(=f

于是，

0)21(5)21(]2

121

1[35)121(35)23(35)23(23231)12

3

()25(==+

=+==+

=+=f f f f f f f 4.若1

()21

x

f x a =

+-是奇函数，则a = ． 答案1

2

【解析】解法112(),()()2112x x

x

f x a a f x f x --=+=+-=--- 21121

()21122112122

x x x x x x a a a a ?+=-+?=-==----故 5.已知函数3,1,

(),1,x x f x x x ?≤=?->?

若()2f x =，则x = .

答案3log 2 【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值. 属于基础知识、

基本运算的考查.

由31log 232x x x ≤??=?=?

，1

22x x x >??-=?=-?无解，故应填3log 2.

6.记3()log (1)f x x =+的反函数为1

()y f

x -=，则程1()8f x -=的解x = ．

答案2 【解法1】由3()log (1)y f x x ==+，得1

3y x -=，即1

()31f

x x -=-，于是由

318x -=，解得2x =

【解法2】因为1()8f x -=，所以3(8)log (81)2x f ==+=

三、知识要点

1、奇偶函数定义：

（1）偶函数：一般地，对于函数f （x ）的定义域的任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么f （x ）就叫做偶函数．

（2）奇函数：一般地，对于函数f （x ）的定义域的任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么f （x ）就叫做奇函数．

注意：①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。

③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意一个x ，则－x 也一定是定义域的一个自变量（即定义域关于原点对称）． ④奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =

2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图

象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。 4、判断函数奇偶性的格式步骤：

首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f （－x ）与f （x ）的关系； 作出相应结论：

若f （－x ） = f （x ） 或 f （－x ）－f （x ） = 0，则f （x ）是偶函数； 若f （－x ） =－f （x ） 或 f （－x ）＋f （x ） = 0，则f （x ）是奇函数． 5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域，

（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． （2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． （3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

（4） 函数f （x ）与()x f 1

同奇或同偶．

【典型例题】

一、判断函数的奇偶性

例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误 （1）因忽视定义域的特征致错 1、①

()()

11--=

x x x x f ；②f （x ）=x 2+（x +1）0

错解：①

()()x

x x x x f =--=

11，∴ f （x ）是奇函数

②∵ f （－x ）=（－x ）2+（－x +1）0=x 2+（x +1）0

=f （x ） ∴ f （x ）是偶函数．

分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称．

正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f （x ）是非奇非偶函数． ②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴ f （x ）为非奇非偶函数． （2）因缺乏变形意识或法致错．

2、判断

()21151+

-=

x x f 的奇偶性．

错解：∵ 5x

－1≠0，∴ x ≠0．

f （x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．

∵

()21

51521151+

-=+-=-x x x x f ， ∴ f （－x ）≠f （x ），f （－x ）≠－f （x ），

∴ f （x ）是非奇非偶函数．

分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．

正解：

()()

1521

521151-+=+-=x

x x x f ，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．

()()()()

()

x f x f x x x x x x -=-+-=-+=-+=--1521

55125115215

∴ f （x ）是奇函数．

（3） 因忽视f （x ）=0致错．

3、判断函数()2

244x x x f -+-=的奇偶性． 错解：由

?????≥-≥-040422x x 得x =±2， ∴ f （x ）的定义域为{－2，2}，关于原点对称．

()()()()x f x x x x x f =-+-=--+

--=-222

24444，

∴ f （x ）为偶函数

正解：f （x ）的定义域为{－2，2}，此时，f （x ）=0，∴ f （x ）既是奇函数又是偶函数．

点评：函数f （x ）=0 （x ≠0）是f （x ）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x ）=0 （x ≠0）函数的定义域．

（4）因分段函数意义不清致错 二、函数的奇偶性与单调性的关系

例3、已知：函数()y f x =在R 上是奇函数，而且在(0,)+∞上是增函数， 证明：()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。

证明：设120x x <<，则120x x ->->∵()f x 在(0,)+∞上是增函数。 ∴12()()f x f x ->-，又()f x 在R 上是奇函数。 ∴12()()f x f x ->-，即12()()f x f x <

所以，()y f x =在(,0)-∞上也是增函数。

规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．

例4、()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，

2

()231f x x x =-++，当x<0时，求()f x 解：设0x <，由于()f x 是奇函数，故()()f x f x =--，

又0x ->，由已知有22

()2()3()1231f x x x x x -=--+-+=--+

从而解析式为

222310()00

2310x x x f x x x x x ?-++>?==??+-

例5、（1）已知()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1

2()()f x f x

x +=，试判断()f x 的奇

偶性。

（2）函数()f x 的定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性。

解：（1）∵()f x 的定义域为{|0}x x ≠，且1

2()()f x f x

x += ①

令①式中x 为1x 得：

11

2()()f f x x x +=

②

解①②得

2

21 ()

3

x

f x

x

-

=

，

∵定义域为{|0}

x x≠关于原点对称

又∵

22

2()121

()

3()3

x x

f x

x x

---

-==-

-()

f x

=-

∴

2

21

()

3

x

f x

x

-

=

是奇函数。

（2）∵定义域关于原点对称，

又∵令

x y

==得(0)(0)(0)

f f f

=+则(0)0

f=，

再令y x

=-得(0)()()

f f x f x

=+-，

∴

()() f x f x -=-

所以，原函数为奇函数

（一）函数单调性的定义

1. 增函数与减函数

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，

如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。

如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）>f （x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数。

注意：

①函数的单调性是在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D的任意两个自变量x1，x2；当x1＜x2时，总有f（x1）＜f（x2）或f （x1）＞f（x2）。

2. 函数的单调性的定义

如果函数y＝f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间。

3. 判断函数单调性的法和步骤

利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；

②作差f（x1）－f（x2）；

③变形（通常是因式分解和配）；

④定号（即判断差f（x1）－f（x2）的正负）；

⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。

（二）函数最大（小）值的定义

1. 最大值与最小值

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

那么，称M是函数y＝f（x）的最大值。

一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

（1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；

（2）存在x0∈I，使得f（x0）＝M

那么，称M是函数y＝f（x）的最小值。

注意：

①函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f （x 0）＝M ； ②函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f （x ）≤M （f （x ）≥M ）。

2. 利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的法

①利用二次函数的性质（配法）求函数的最大（小）值 ②利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值 ③利用函数的单调性判断函数的最大（小）值

如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y ＝f （x ）在x ＝b 处有最大值f （b ）；

如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y ＝f （x ）在x ＝b 处有最小值f （b ）。

知识点一：函数的单调性与最值 例1：判断函数4

()f x x x

=+

在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明。 1）题意分析：用定义证明一个分式函数在(0,2)上的单调性

2）解题思路：按照用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤去做即可。

解答过程：4

()f x x x

=+

在区间(0,2)上单调递减。 设1202x x <<<，则12()()f x f x -＝1212

44

x x x x +--

＝2112124()x x x x x x --+＝12

2112

4()x x x x x x --。

已知1202x x <<<，所以210x x ->，1240x x ->，120x x >，所以12()()0f x f x ->，即原函数在(0,2)上单调递减。

解题后的思考：用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配）和定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）。

例2：已知()f x 是奇函数，它在(0)+，

∞上是增函数，且()0f x <，试问1

()()

F x f x =在(0)-，

∞上是增函数还是减函数？并证明你的结论。 1）题意分析：本例比较抽象，没有具体的解析式。简单地说就是已知原函数的单调性，判断倒函数的单调性。

2）解题思路：根据函数的单调性的定义，可以设210x x -<，进而判断

212111

()()()()

F x F x f x f x -=

-

的符号。 解答过程：任取12(0)x x ∈-，，

∞，且210x x -<，则有21()()0x x --->。 ()f x Q 在(0)+，∞上是增函数，且()0f x <，12()()f x f x ∴---<0，

又()f x Q 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，12()()0f x f x ->。

于是212111()()()()F x F x f x f x -=

-1212()()0()()

f x f x f x f x -=>?，

1

()()

F x f x ∴=

在(0)-，∞上是减函数。 解题后的思考：本例是一道抽象性较强的题，它考查了函数性质的综合应用。

例3：已知1

04

x <≤，求函数222()x x f x x -+=的最值。

1）题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间求一个分式函数的最大（小）值；

2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。 解答过程：已知函数式可化为2()2f x x x =+-，先判断函数()f x 在1

04

x <≤上的增减性。

设121

04

x x <<≤

，则 121212121212

()(2)22

()()(2)(2)x x x x f x f x x x x x x x ---=+--+-=，

Q 121

04

x x <<≤，1212020x x x x ∴-<-<，。

12()()0f x f x ∴->，即函数()f x 在1

04x <≤上是减函数。

125

()44f x f ??∴= ???

≥。故所求函数的最小值为254，无最大值。

解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造

辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的。

例4：已知函数()f x 是增函数，定义域为(0)+，∞，且(4)2f =，()()()f xy f x f y =+，求满足()(3)2f x f x +-≤的x 的取值围。

1）题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值围。

2）解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果[]()(3)(3)f x f x f x x +-=-，则必须0x >，30x ->，且(3)0x x ->。

解答过程：由题意，得030(3)0()(3)[(3)]2x x x x f x f x f x x >??->?

?->??+-=-?≤，，，，

解得 34x <≤。所以x 的取值围是34x <≤。

解题后的思考：容易忽视函数的定义域为(0)+，

∞这一隐含条件。 例6：已知()f x 是奇函数，且当0x >时，2

()23f x x x =++，求当0x <时()f x 的解

析式。

1）题意分析：已知函数是奇函数，且知道函数在某个区间上的解析式，求函数在该区间关于原点对称的区间上的解析式。

2）解题思路：利用奇函数的定义域关于原点对称的特点将未知区间通过取相反数过渡

到已知区间。

解答过程：当0x <时，0x ->，所以有2

()23f x x x -=-+，又已知()f x 是奇函数，所以有()()f x f x =--＝223x x -+-。即当0x <时，2

()23f x x x =-+-。

解题后的思考：关键在于利用取相反数、加减期等法将未知区间过渡到已知区间。 六、反函数

1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ?=，若对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ?=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ?=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f x 1

-=，通常情况下，一

般用x 表示自变量，所以记作()x f

y 1

-=。

注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。

（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数； （2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤

（1）解关于x 的程y=f(x)，达到以y 表示x 的目的； （2）把第一步得到的式子中的x 换成y ，y 换成x ；

（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。 3、关于反函数的性质

（1）y=f(x)和y=f -1

(x)的图象关于直线y=x 对称；

（2）y=f(x)和y=f -1

(x)具有相同的单调性；

（3）y=f(x)和x=f -1

(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；

（4）已知y=f(x)，求f -1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f -1

(a)；

（5）f -1

[f(x)]=x;

（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f -1

(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图象上； （7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；

函数定义域、值域经典习题及答案

复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈

⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式

高一初等函数定义域值域

函数 例1、 已知函数f （x ）=3+x + 21+x ， （1） 求函数的定义域； （2） 求f （-3），f （32）的值； （3） 当a>0时，求f （a ），f （a-1）的值。 例2、中哪个与函数y=x 相等（ ）x 3 A 、y=(x )2 B 、y=33 x C 、y=2x D 、y=x x 2 例3、求下列函数的定义域 （1）f （x ）= 741+x (2)f(x)=x -1+ 3+x -1 例4、已知函数f （x ）=x 2+2x （1） 求f （2），f （-2），f （2）+f （-2）的值 （2） 求f （a ），f （-a ），f （a ）+f （-a ）的值 例5、某种笔记本的单价是5元，买x （x ∈{1，2，3，4，5}）个笔记

本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。 例6、画出函数y=|x|的函数图象。 例7、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材，如果矩形木材的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示为x的函数。

1、求下列函数的定义域 （1）f （x ）= 43-x x （2）f （x ）=2x （3）f （x ）= 2 362+-x x （4）f （x ）=14--x x 2、下列那组中的函数f （x ）与g （x ）相等 （1）f （x ）=x-1，g （x ）=x x 2 -1； （2）f （x ）=x 2,，g （x ）=(x )4 （3）f （x ）=x 2，g （x ）=36x 3、已知函数f （x ）=3x 2-5x+2，求f （-2），f （-a ），f （a+3），f （a ）+f （3）的值. 4、已知函数f （x ）=6 2-+x x （1）点（3，14）在f （x ）的图象上吗 （2）当x=4时，求f （x ）的值； （3）当f （x ）=2，求x 的值。

高一人教版必修一 数学函数定义域、值域、解析式题型

高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 （1 ）1 y = （2 ）y = （2）（3） 若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m <<(B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 （一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。 （二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。 （三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

（一） 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。 （二） 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 （三） 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。 （四） 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。 （五） 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=，求()f x （六） 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-

高中数学-函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--

高一数学《函数的定义域值域》练习题

函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。

例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；

必修一 函数的定义域及值域

个性化学科优化学案 辅导科目 数学 就读年级 学生 教师 徐亚 课 题 函数的概念 授课时间 2015年11月28 备课时间 2015年11月25日 教 学 目 标 1、理解函数的概念，明确确定函数的三个要素，会用区间表示函数的定义域和值域；掌握求函数定义域的基本原则。 2、了解函数的三种表示方法，并能选择合适的方法表示函数。 重、难 考 点 求函数的值域问题时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系是确定函数的依据。 教学容 鹰击长空—基础不丢 1．定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的 一个数x ，在集 合B 中 确定的数f(x)和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合的一个 ，记作： 2．函数的三要素 、 、 3．函数的表示法：解析法（函数的主要表示法），列表法，图象法； 4. 同一函数： 相同，值域 ，对应法则 . 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b ∈R ,且a

数学必修一定义域值域知识点总结

数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域.

例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数;

高一函数值域定义域方法总结

函数定义域、值域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆 求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 21)(-= x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -++=21 1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21 -x 无意义， 而2≠x 时，分式21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-3 2 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式 x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ?? ?≠-≥+0 201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域：

数学定义域和值域

函数的有关概念 1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 经典例题透析 类型一、函数概念 1.下列各组函数是否表示同一个函数？ (1) (2) (3) (4) 小结1:相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致(两点必须同时具备) 2.求下列函数的定义域(用区间表示). (1)；(2)；(3). 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3．值域: （先考虑其定义域） 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 1.直接法:由常见函数的值域或不等式性质求出； 2.分离常数法：可将其分离出一个常数； 3.观察法：利用函数的图象的"最高点"和"最低点"，观察求得函数的值域；

4.判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些"分式"函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 5.换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域. 例题详见备课本 5. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 ∵0e x > ∴01y 1y >-+ 解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(- 例3. 求函数1x x y -+=的值域。 解：令t 1x =-，)0t (≥ 则1t x 2+= ∵ 43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y m i n = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞

高一初等函数定义域值域

高一初等函数定义域值 域 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数 例1、 已知函数f （x ）=3+x + 21+x ， （1） 求函数的定义域； （2） 求f （-3），f （32）的值； （3） 当a>0时，求f （a ），f （a-1）的值。 例2、中哪个与函数y=x 相等（ ）x 3 A 、y=(x )2 B 、y=33 x C 、y=2x D 、y=x x 2 例3、求下列函数的定义域 （1）f （x ）= 7 41+x (2)f(x)=x -1+ 3+x -1 例4、已知函数f （x ）=x 2+2x （1） 求f （2），f （-2），f （2）+f （-2）的值 （2） 求f （a ），f （-a ），f （a ）+f （-a ）的值

例5、某种笔记本的单价是5元，买x（x {1，2，3，4，5}）个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y=f（x）。 例6、画出函数y=|x|的函数图象。 例7、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木材，如果矩形木材的一边长为xcm，面积为ycm2，把y表示为x的函数。 x

1、求下列函数的定义域 （1）f （x ）=43-x x （2）f （x ）=2x （3）f （x ）=236 2+-x x （4）f （x ）=14--x x 2、下列那组中的函数f （x ）与g （x ）相等？ （1）f （x ）=x-1，g （x ）=x x 2 -1； （2）f （x ）=x 2,，g （x ）=(x )4 （3）f （x ）=x 2，g （x ）=36x 3、已知函数f （x ）=3x 2-5x+2，求f （-2），f （-a ），f （a+3），f （a ）+f （3）的值. 4、已知函数f （x ）=62 -+x x （1）点（3，14）在f （x ）的图象上吗？

高一数学第五讲--函数的定义域与值域

第五讲 函数的定义域与值域 一、知识归纳： （一）函数的定义域与值域的定义： 函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)│x ∈A}叫做函数的值域。 （二）求函数的定义域一般有3类问题： 1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0； ③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于0 [ 2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类： ①已知f[g(x)]的定义域为x ∈（a,b ）求f(x)的定义域，方法是：利用a0且a,b≠1，k ∈R)

苏教版高一数学必修一函数的定义域和值域

课 题 函数的概念和图像 授课日期及时段 教学目的 1.理解函数及其定义域、值域的概念，并能求函数的定义域、值域 2.能用描点法画函数的图像 3.了解函数的表示方法，重点掌握函数的解析法 4.了解分段函数的概念，掌握分段函数的解析式表达形式和图像的画法 5.理解函数的单调性，掌握判断函数单调性和求函数最值的方法 6.能画单调函数的图像并根据图像判断函数的增减性，求函数的最值 7.理解掌握判断函数的奇偶性的方法 了解映射的定义，明确函数与映射的异同之处 教学内容 1.函数概念是如何定义的，什么是映射？举例说明函数、映射以及它们之间的区别 2.思考：对于不同的函数如：①x x y 22 -=②1-=x y ③1 1+=x y ④()52lg +=x y ⑤x y -=11 的定义域如何确定 3.通常表示函数的方法有： 4.()x f y =的定义域为A x x A ∈21,,。 函数是增函数， 函数是减函数， 函数是奇函数， 函数是偶函数。 讲授新课： 一、函数的判断 例1.<1>下列对应是函数的是 注：检验函数的方法（对于定义域内每一值值域内是否存在唯一的值与它对应） ①x y y x =→: ②12++→x x x

<2>下列函数中，表示同一个函数的是：（ ） 注：定义域和对应法则必须都相同时，函数是同一函数 A.()()()2 ,x x g x x f = = B.()()2,x x g x x f = = C.()()2 4,22--=+=x x x g x x f D.()()33,x x g x x f == 练习： 1.设有函数组：①2,x y x y ==②33,x y x y ==③x x y x y = =,④()() x x y x x y =<>???-=,0011 ⑤x y x y lg 2,lg 2== ⑥10 lg ,1lg x y x y =-= 其中表示同一函数的是 。 二：函数的定义域 注：确定函数定义域的主要方法 (1)若()x f 为整式，则定义域为R. (2)若()x f 是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合 (3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题 例：1.求下列函数的定义域： （1）2 322 ---=x x x y （2）x x y -?-=11

高一数学函数的定义域与值域的常用方法

高一数学求函数的定义域与值域的常用法 一：求函数解析式 1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。 例1. 已知2211 ()x x x f x x +++= ，试求()f x 。 解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2 ()1f t t t =-+，t ≠1。故得：2()1,1f x x x x =-+≠。 说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。 2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。 例2. （1）已知21 ()2()345 f x f x x x +=++，试求()f x ； （2）已知 2 ()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111 ()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立， 消去1f x ?? ???，则得： ()222845333x f x x x x =+--+ 。 （2）由条件式，以－x 代x 则得： 2 ()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去 () f x -，则得： ()2543f x x x =-+ 。 说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。 例4. 求下列函数的解析式： （1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ； （2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2 x f ； （3）已知x x x x x f 1 1)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。 【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。 （2）若能将x x 2+适当变形，用1+x 的式子表示就容易解决了。 （3）设x x 1 +为一个整体，不妨设为t ，然后用t 表示x ，代入原表达式求解。 （4）x ，x -同时使得)(x f 有意义，用x -代替x 建立关于)(x f ，)(x f -的两个程 就行了。 【解题过程】⑴设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，由,2)0(=f 得2=c ， 由1)()1(-=-+x x f x f ，得恒等式12-=++x b a ax ，得2 3,21-==b a 。 故所求函数的解析式为22 3 21)(2+-= x x x f 。

高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法(可编辑修改word版)

函数的定义域与值域的常用方法 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形 式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定 义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法 解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列 出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的 范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u 的范围，即g（x）的范围，再从中 解出x 的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集； 6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在 叙述结论时分别说明； 7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作 为该函数的定义域； （三）求函数的值域 1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示； 2、在函数f：A→B 中，集合B 未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C 是B 的子集；若C＝B， 那么该函数作为映射我们称为“满射”； 3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集； 4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述； 5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

高中数学 函数的定义域与值域教案 新人教版

函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解： 变式训练1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ） A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解： 变式训练2：下列是映射的是………………………………………（ ） (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3：下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………（ ） (A) (B) (C) (D) 变式训练4：如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是…………（ ） (A )（－23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2 1 ） 例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1） 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈［1， （2）设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)-

∴?? ?=+=2244 4b a a ， ?? ?-==1 1b a ，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2：（1）已知f （12+x ）=lgx ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ） ； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1 ）=3x ，求f （x ） 解：(1)令 x 2+1=t ，则x=12 -t ， ∴f（t ）=lg 12 -t ，∴f（x ）=lg 1 2- x （2）设f （x ）=ax+b ，则 3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7. （3）2f （x ）+f （ x 1 ）=3x ， ① 把①中的x 换成 x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ①×2-②得3f （x ）=6x- x 3，∴f（x ）=2x-x 1 . 变式训练3：求满足下列条件的函数解析式： ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值. 解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练：?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数 a= .

高一人教版必修一数学函数定义域、值域、解析式题型

高一人教版必修一数学函数定义域、值域、 解析式题型 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高一函数定义域、值域、解析式题型 一、 具体函数的定义域问题 1 求下列函数的定义域 （1 ）1 y = （2 ）y = （2）（3 ）若函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是（ ） (A)04m << (B) 04m ≤≤ (C) 4m ≥ (D) 04m <≤ 二、 抽象函数的定义问题 （一）已知函数()f x 的定义域，求函数[()]f g x 的定义域 2. 已知函数()f x 的定义域为[0,1]，求函数2(2)f x 的定义域。 （二）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数()f x 的定义域 3. 已知函数(21)f x +的定义域为[1,2]，求函数()f x 的定义域。 （三）已知函数[()]f g x 的定义域，求函数[()]f h x 的定义域 4. 已知函数2(1)f x -的定义域为(2,5)，求函数1()f x 的定义域。 5.已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。

三、 求函数解析式的方法 （一） 配凑法 5 .已知22113(1)x f x x x ++=+，求()f x 的解析式。 （二） 换元法 6.已知(12f x +=+()f x 的解析式。 （三） 特殊值法 7 .已知对一切,x y R ∈，关系式()()(21)f x y f x x y y -=--+且(0)1f =，求()f x 。 待定系数法 8.已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)244f x f x x x ++-=-+，求()f x 。 （四） 转化法 9. 设()f x 是定义在(,)-∞+∞上的函数，对一切x R ∈，均有()(2)0f x f x ++=，当11x -≤≤时，()21f x x =-，求当13x <≤时，函数()f x 的解析式。 （五） 消去法 11.已知函数()f x 21()()x f x x -=，求()f x （六） 分段求解法 12. 已知函数2,()21,()1,0x x o f x x g x x ?≥=-=?-

高一数学函数的定义域值域练习题

高一数学《函数的定义域值域》练习题 8．（2004.湖北理）已知)(,11)11(22 x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为 （ C ） A ． 2 1x x + B ．2 12x x +- C ． 2 12x x + D ．2 1x x +- 9．（2004.湖北理）函数]1,0[)1(log )(2 在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ） A ． 4 1 B ． 2 1 C ．2 D ．4 13．（2004. 重庆理） 函数y = （ D ） A ．[1,)+∞ B ．23(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 18．（2004.湖南理）设函数,2)2(),0()4(.0, 2, 0,0,)(2-=-=-???>≤≤++=f f f x x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为 （ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 20、（2004. 人教版理科）函数)1(log 22 1-= x y 的定义域为（ ） A 、[ )(] 2,11,2Y -- B 、)2,1()1,2(Y -- C 、[)(]2,11,2Y -- D 、)2,1()1,2(Y -- 28、（2004. 人教版理科）设函数?????≥--<+=1 ,141 ,)1()(2 x x x x x f ，则使得1)(≥x f 的自变量x 的 取值范围为（ ） A 、(][]10,02,Y -∞- B 、(][]1,02,Y -∞- C 、(][]10,12,Y -∞- D 、[)[]10,10,2Y - 9．（2006年陕西卷）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文 2,2,23,4.a b b c c d d +++例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（C ） （A ）7,6,1,4 （B ）6,4,1,7 （C ）4,6,1,7 （D ）1,6,4,7 3．（2006年安徽卷）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 1 2f x f x +=，若()15, f =-则()()5f f =__________。 解：由()()12f x f x += 得()() 1 4()2f x f x f x += =+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()11 5(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-= =--+

必修一函数定义域值域及表示教案

第4讲 函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使 这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系 决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 1.()f x 是整式时，定义域是全体实数． 2.()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

高一数学专题练习：函数的定义域、值域(含答案)

高一函数同步练习2（定义域、值域） 一． 选择题 1.函数y=2122 --+-+x x x x 的定义域是（ ） （A ）{x -21-≤≤x } （B ）{x -21≤≤x } （C ）{x x>2} （D ）{R x ∈x 1≠} 2．函数654 2-+--=x x x y 的定义域是 （A ）{x|x>4} (B)}32|{<3} (D) }32|{≠≠∈x x R x 且 3.函数y=122 +-x x 的值域是（ ） （A ）[0，+∞ （B ）（0，+∞） （C ）（-∞，+∞） （D ）[1，+∞ ] 4．下列函数中，值域是（0，+∞）的是 (A)132+-=x x y (B) y=2x+1(x>0) (C) y=x 2+x+1 (D)21x y = 5．)12(-x f 的定义域是[)1,0，则)31(x f -的定义域是 (A) ]4,2(- （B ）??? ??- -21,2 （C ）??? ??61,0 （D ）?? ? ??32,0 6.若函数y=f(x)的定义域为（0，2），则函数y=f(-2x)的定义域是（ ） （A ）（0，2） （B ）（-1，0） （C ）（-4，0） （D ）（0，4） 7．函数y=13+-+x x 的值域是（ ） (A)(0,2) (B)[-2,0] (C)[-2,2] (D)(-2,2) 二．填空题： 1．函数y=1122 -+-x x 的定义域是___________ 2．函数y=x x x --224的定义域为 3．函数y= -2x 2-8x-9, x ∈[0,3]的值域是_______. 4．设函数y=f(x) 的定义域是[0,2], 则f(x-1)的定义域是_______