数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题论文

数学归纳法几种常见方式及其应用中存在的问题

摘要

在处理数学问题时，经常涉及与任意自然数有关的一些命题，这些命题实质上是由无限个n取具体整数时得到的无限个命题组成的，我们往往不能逐一验证，这时，数学归纳法就是我们最常应用的一个有效的推理方法，为什么我们能够相信数学归纳法的证明呢？因为数学归纳法实质上是一种演绎推理法，华罗庚老先生是这样解释数学归纳法原理的：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第K 号命题正确的时候，第K+1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确.”其实，数学归纳法的正确性在我们学到的自然数的公理系统已经得到说明，他是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题.

关键字数学归纳法常见方式及问题无限有限

数学归纳法（Mathematical Induction，通常简称为MI）是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。是用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立。

数学归纳法一般分为以下几种常见的方式：

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n），

（1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立，

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。

（四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n ），Q(n ）， （1）验证n=n0时P(n ）成立； （2）假设P(k ）（k>n0）成立，能推出Q(k ）成立，假设 Q(k ）成立，能推出 P(k+1）成立； 综合（1）（2），对一切自然数n （≥n0），P(n ），Q(n ）都成立。

我们知道数学归纳法是建立在“潜无限”的观念基础上的，它的证明过程是一个有限的过程，但是在逻辑上却能够保证命题对“一切自然数”都成立，这是一种将“无限”化为”有限“，自然数系公理（皮亚诺公理）保证了数学归纳法的合理性，它是与皮亚诺公理等价的一个本原性命题。

现在我们先来看下数学归纳法在证明等式（不等式）成立和数列通项公式成立上的应用。

在等式（不等式）的应用 例一：

证明下面这个公式成立（命题）：

其中 n 为任意自然数。 证明

第一步

第一步是验证这个公式在 n = 1 时成立。我们有左边 = 1，而右边 = 11=+1*（）/21，所以这个公式在 n = 1 时成立。

第二步

第二步我们需要证明如果假设 n = m 时公式成立，那么可以推导出 n = m+1 时公式也成立。证明步骤如下。

我们先假设 n = m 时公式成立。即

（等式 1）

然后在等式等号两边分别加上 m + 1 得到

（等式 2）

这就是 n = m+1 时的等式。我们现在需要根据等式 1 证明等式 2 成立。通过因式分解合并，等式 2 的右边

(1)2(1)(2)(1)(1)[(1)1]

=

2222

m m m m m m m ++++++++== 也就是说

这样便证明了从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。证明至此结丛，结论：对于任意自然数 n ，P(n) 均成立。

例二：

已知m 为正整数，用数学归纳法证明：当1x >-时，(1)1m x mx +≥+. 证：

（1） 当m=1时，原不等式成立，当m=2时，左边=21+2x+x ，右边=1+2x ，因为

2x 0≥，所以左边≥右边，原不等式成立；

（2） 假设当m=k 时，不等式成立，即(1)1k x kx +≥+；

则当m=k+1时，因为1x >-，所以10x +>，于是在不等式(1)1k x kx +≥+两边同乘以1x +得

(1)(1)(1)(1)k x x kx x +?+≥+?+

21(1)1(1)k x kx k x =+++≥++

所以1(1)1(1)k x k x ++≥++.即当m=k+1时，不等式成立. 综合（1）、（2）知，对一切正整数m ，不等式成立.

我们再看一个例子： 例三：

已知数列{}n a 中，1221a 0,1,()n n n a a a a n N +

++===+∈,求证：数列{}n a 的第

41()

t t N ++∈项能被3整除. 证：（1）当t=1时，因为321432101,112,a a a a a a =+=+==+=+=，得543213,

a a a =+=+=能被3整除. （2）假设(1)t k k =≥时，41k a +能被3整除，当1t k =+时，

4(1)1454344k k k k a a a a +++++==+

42414342()()k k k k a a a a ++++=+++

424142412()k k k k a a a a ++++=+++

424132k k a a ++=+

由于41k a +能被3整除，故4(1)1k a ++也能被3整除，由（1）和（2）知，对一切t N +∈，

41t a +能被3整除.

解释

在这两个证明中，归纳推理的过程如下：

首先证明 P(1) 成立，即公式在 n = 1 时成立。 然后证明从 P(m) 成立可以推导出 P(m+1) 也成立。（这里实际应用的是演绎推理法）

根据上两条从 P(1) 成立可以推导出 P(1+1)，也就是 P(2) 成立。 继续推导，可以知道 P(3)成立。

从 P(3) 成立可以推导出 P(4) 也成立。 不断重复推导下一命题成立的步骤。（这就是所谓“归纳”推理的地方） 我们便可以下结论：对于任意自然数 n ，P(n) 成立。

当然在应用，数学归纳法也常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 从 0 以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字 b 的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

1. 第一步，证明当 n = b 时命题成立。

2. 第二步，证明如果 n = m (m ≥ b ) 成立，那么可以推导出 n = m +1 也成立。 只针对偶数或只针对奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面：

1. 第一步，证明当 n = 1 时命题成立。

2. 第二步，证明如果 n = m 成立，那么可以推导出 n = m +2 也成立。 偶数方面：

1. 第一步，证明当 n = 0或2 时命题成立。

2. 第二步，证明如果 n = m 成立，那么可以推导出 n = m +2 也成立。 总之，数学归纳法巧妙的将有限与无限联系起来，把有限蕴含到无限当中，当然在应用数学归纳法药注意的得当，不然就会出现问题，这需要我们引以为戒的。 下面我们看看数学归纳法在应用中存在的一些问题（我们以例子进行说明）：

数学归纳法应用中常见的问题 例1：

若,a b 是两个不相等的正整数，则记max(,)a b 为,a b 中较大的一个，若a b =，则记max(,)a b a b ==.

命题n A ：若a 和b 为任何两个正整数，使得max(,)a b n =，则a b =.

证 （1）当1n =时，命题A 显然为真，因为若max(,)1a b =，由于假设,a b 为正整数，最大值是1的正整数只能是1a b ==；

（2）假定命题k A 为真，即设max(,)a b k =时，a b =为真（其中,a b 为正整数），求证命题1k A +也真，即求证当max(,)1a b k =+时，a b =也真. 现考察两个整数：

1,1a b αβ=-=- （1） 而由于式子

max(,)1a b b =+ （2） 与 max(1,1)a b k --= （3） 显然是等价的，因此，由（1）式得 max(,)max(1,1)a b k αβ=--=

而由归纳法假设k A 为真，则得αβ=，即11a b -=-，所以a b =，又由于（2）式与（3）式得等价性，即证得1k A +为真.

由数学归纳法知，对一切自然数r ，r A 为真，对特殊的n ，当然有n A 为真，所以有a b =.

仔细检查上述证明，发现假设k A 成立，递推到1k A +成立的推导过程是正确的，那么。问题出现在哪里？其实我们仔细，就会发现,αβ是包括零在内的，但我们欲

证得起始数是1，问题就出现在这里.

例二：

求证：所有人的年龄是一样的. 证：当n=1时，命题显然成立.

现设命题对n 成立，即对任何n 个人，其年龄一样，那么可证对任何n+1个人，命题也对.

设将这n+1个人编号，记为1,2，…n ，n+1.于是1,2，…,n-1，n 总共n 个，由归纳法假定，有相同年龄A ；同时2,3…，n ，n+1总共也是n 个，也具有相同年龄B ，于是2,3，…n 和1同为A ，又和n+1同为B.这样，例如编号为2的年龄是A 又是B ，于是A=B.

即假设由()p n 成立，推到(1)p n +也成立.

我们仔细的发觉，发现这是出现矛盾的，但这似乎一连串合理的推论，这到底错在哪里呢？

其实当n=2时，命题是不成立的，因此由n=1成立，推不出n=2成立，即递推中断.

例三:

求证：!

!()!

k n

n C k n k =-

证：当n=1时，命题显然成立.假设当n=k 时，!

1!()!

k k k C k k k =

=-，当n=k+1时，

一方面，11k k C k +=+，这是因为从k+1个元里每次取出k 个元的组合种数，显然为k+1. 另一方面：1(1)!(1)!

1![(1)]!!1!

k k k k C k k k k k +++=

==++-.

因此，对一切自然数n ，这个命题是正确的. 但实际上在证明11k k C k +=+时，丢开了!

1!()!

k k k C k k k =

=-的假设，这充其量只是

把一个特殊值代入欲证的公式加以验证而已，上述证明中更严重的错误还在于，混淆了n 、k 中哪一个变量作为归纳的对象.在这里，我们应该把n 看做常数，对变量k 进行归纳，因为否则，当1k >时，就无法讨论n=1时的情况. 正确的证法是:

当k=1时，1

n C n =；另一方面，

!

1!(1)!

n n n =-，这时命题正确.

现设当k=r 时，命题正确，即!(1) (1)

!()!!

r n

n n n n r C r n r r --+==-，则当k=r+1

时，1(1)...(1)()!

1!(1)(1)!(1)!

r r

n n

n r n n n r n r n C C r r r r n r +---+-===

+++-- （11

r r

n

n n r

C C r +-=+成立的说明：欲求n 个元中每次取出r+1个元的组合种数，可看做先从n 个元中每次取出r 个元的组合种数，然后再从n-r 个元中任选一个元

添加进去，这样，共有n-r 个搭配，因此，总共有组合数（n-r ）r

n C 种，但是必

须去掉重复计算的组合数. 例如

12,,...,r a a a 添加1r a +与1211,,...,,r r a a a a -+添加r a ，这r+1个元所有的组合实际上是同一个组合，因此 1()1

r

r n n

n r C C

r +-=+

由此可以证明结论是正确的.

通过以上一些例子，我对数学归纳法应用中常见的问题进行简单的说明

1、错把欲证的起始数弄错，正确确定数学归纳法的欲归纳的起始数很关键。

2、第二步是整个数学归纳法的递推的依据，起到一个承上启下的作用，相当于一个桥梁，是整个递推过程是否继续下去的关键，若第二步不成立，则递推将中断.

3、形式套用，对第二步的假设设而不用，只是简单的套用形式，将特殊值代入检验.

数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，正是有了它，将有限与无限的联系起来，将有限如何进入到无限具体的给我们展示出来，彭加勒说过：“用于物理科学中归纳总是不可靠的，因为它建立在宇宙具有普遍秩序的信仰上，而这种秩序却是在我们之外的，相反的，数学归纳法即递归证明却必然强加于我们，因为它只是证实了精神本身的特性.

参考文献

[1]张奠宙，张广祥，《中学代数研究》 北京 高等教育出版社 2006. [2]叶立军 《初等数学研究》 上海 华东师范大学出版社 2008. [3]华罗庚 《数学归纳法》 北京 科学出版社 2002.

[4]李浙生 《数学科学与辩证法》 北京 首都师范大学出版社 1995.

毕业论文摘要写作中常见问题及对策

一、毕业论文摘要写作中存在的常见问题 1.摘要信息重复 在毕业论文摘要写作中, 只是简单地重复文中某些部分的语言, 或重复标题, 或重复引言和结论中已有的信息,存在着提供的信息量偏少的问题。这样的摘要不利于读者快速了解论文的主要成果, 信息价值低。如: 例1本文针对高等学校图书馆在服务工作上存在的问题, 提出个人看法及改进意见,具有一定的针对性和可操作性。 例1 摘要写得虽短, 但不是简洁明了的短, 而是对其论文标题《高等学校图书馆服务工作探新》的变相重复的短, 让人读后得不到任何除标题容外的新的、详细的信息, 至于作者的看法怎样, 改进意见又有哪些, 不得而知, 事实上等于没写。 2.与引言混同 在毕业论文摘要写作中, 为数不少的摘要却是对引言的简单重复, 或侧重于叙写论文的研究背景、重要意义, 虽花费了许多笔墨, 却仍未涉及到论文的实质性信息。这种将摘要与引言混同的写法, 显然难以简明、确切地表达出论文的核心容, 抓不住要害, 自然也难以有较高的信息价值。如: 例2作为一个历史人物, 关羽在正史得到的评价并不算高, 寿曾批评他“刚愎而自矜”“, 以短取胜,理数之常也”。经过文学家的提炼刻画《,

三国演义》中的关羽形象,既有受到人民喜爱的精华,也有封建的糟粕,到了戏剧舞台上,关羽则成了一位无瑕疵的完美超人。谁也不曾预料到,在千载以后,关羽居然能压倒群雄,晋升为整个中华民族“护国保民”的神祗, 不但使备、操、权这些三国时代风云人物黯然失色,就连“万世师表”的文圣人孔子也不得不与之平起平坐。 例2 摘要花了200 多字的篇幅, 着重介绍了关羽形象在不同文学样式(小说与戏剧) 、不同时代(古代与现代) 中的变化。而根据标题《论〈三国演义〉与三国戏中的关羽形象及其影响》, 作者对关羽到底是一个怎样的艺术形象以及其对当今社会产生的影响这一核心容应加以阐述, 但作者未能提及。由于摘要是从引言中摘出来的, 所以多是研究关羽形象的背景材料, 具有引言的特点, 而失去了摘要应有的功能, 自然也会影响论文的可读性和引用性。 3.采用第一人称 国家标准GB6447- 86《摘要编写规则》要求, 论文摘要的写作应以第三人称方式对论文的中心容进行客观地叙述。这是因为读者所阅读的就是该篇文章, 接受的就是该作者的观点, 如果摘要仍以“本文”、“笔者”、“作者”、“文章”、“本试验”、“本研究”、“我们”等第一人称及主语出现, 无异于画蛇添足。然而在毕业论文摘要的实际写作中, 这一现象却比比皆是,几乎快成了通病, 如: 例3本文试图通过对高职道德教育出现的新问题进行分析,提出以“三个代表”重要的思想为指导,改革高职院校德育容,运用现代科学技术,构建新型德育教学模式,加强高职道德教育。 例3 摘要中的“本文”, 以及例1 摘要中的“本文”、“个人看法”

《数学归纳法及其应用举例》教案

《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？

浅谈数学归纳法

浅谈数学归纳法 国良 井冈山大学数理学院邮编：343009 指导老师：艳华 [摘要]用数学归纳法证明数学问题时，要注意它的两个步骤缺一不可，第一步是命题递推的基础，第二步是命题递推的依据，也是证明的关键和难点，两个步骤各司其职，互相配合.数学归纳法经历无数数学的潜心研究与科学家们的利用，是数学归纳法得以发展和它为数学问题与科学问题的发现做出了极大的贡献。学好归纳法是科学问题研究的最基础的知识. [关键词]理论依据；数学归纳法；表现形式 1 数学归纳法的萌芽和发展过程 数学归纳法思想萌芽可以说长生于古希腊时代。欧几里德在证明素数有无穷多多个时，使用了反证法，通过反设“假设有有限多个”，使问题变成“有限”的命题，其中证明里隐含着：若有n个素数，就必然存在第n+1个素数，因而自然推出素数有无限多个，这是一种是图用有限处理无限的做法，是人们通过过有限和无限的最初尝试。 欧几里德之后直到16世纪，在意大利数学家莫洛克斯的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它证明了1+2+3+…+（2n-1）=2n,对任何自然数n都成立。不过他并没有对这原则做出清晰的表述。 对数学归纳法首次作出明确而清晰阐述的是法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后来成为“帕斯卡三角形”的数表。他在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，最先准确而清晰的指出了证明过程且只需的两个步骤，称之为第一条引理和第二条引理：

第一条引理 该命题对于第一底（即(n=1)成立，这是显然的。 第二条引理 如果该命题对任意底（对任意n ）成立，它必对其下一底（对n+1）也成立。 由此可得，该命题对所有n 值成立。 因此，在数学史上，认为帕斯卡是数学归纳法的创建人，因其所提出的两个引理从本质上讲就是数学归纳法的两个步骤，在他的著作《论算术三角形》中对此作了详尽的论述。 帕斯卡的思想论述十一例子来述归纳法的，而在他的时代还未建立表示一般自然数的符号。直至十七世纪，瑞士数学家J 。伯努利提出表示任意自然熟的符号之后，在他的《猜度术》一书中，才给出并使用了现代形式的数学归纳法。由此，数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广泛的应用。十九世纪，意大利数学家皮亚若建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，为数学归纳法奠定了理论基础。即：对于正整数N +的子集M ，如果满足：①1∈M;②若a ∈M ，则a+1∈M ；则M=N +. 2 数学归纳法的表现形式 2.1 第一数学归纳法 原理1：设()P n 是一个与正整数有关的命题，如果 （1）当00()n n n N +=∈时，()P n 成立； （2）假设0(,)n k k n k N +=≥∈时命题成立,由此推得n=k+1时，()P n 也成立； 那么，对一切正整数n 0n ≥,()P n 成立。 证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠?，于是由最小数原理，S 中有最小数a ,

研究生论文撰写及答辩中存在的问题及质量管理

研究生论文撰写及答辩中存在的问题及 质量管理 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 研宄生教育是我国高等教育的重要组成部分，培养目标是在13年时间内通过“学好课程、做好论文”两个环节实现的。学位论文是检验研宄生科研能力、创新能力、理论基础、专业知识、学术水平的重要手段，是其培养质量的重要标志。因此，提高研宄生毕业论文的质量，是研宄生在其整个读研期间努力的结果，也是导师导学的效果的具体体现。而学位论文的评阅与答辩是对论文质量进行把关的重要环节及有效手段。文章通过对我院现行研宄生学位论文质量与答辩中存在的问题进行分析，提出了改进措施，希望能有助于迸一步促进研宄生学位论文质量的提高。 一、研究生学位论文存在主要问题 1.在研究中存在浮躁之风。 研宄生学风中存在相当浮躁之风，一方面由于“就业”的压力，外部社会形形色色的诱惑，使部分学子心潮难平；另一方面存在急功近利的思想，这严重影响了学生的研宄精神。主要表现为：1)在研宄中，实验

记录不完整，临毕业前临时“拼凑”实验记录；（2)为了达到理想结果，修改、篡改实验数据或虚假数据；（3)平时不努力，临时抄袭他人研宄内容拼凑毕业论文；（4)不遵守应有的学术规范，发表论文时采用“一稿多投。 2.学位论文选题方面存在的问题。 (1)选题主线不突出，缺少创新意识。研宄课题的选提是否恰当，直接关系到研宄结果文的成与败以及论文质量。选题应是带有问题思考和解决问题探索性的工作，主线必须清晰。论文的题目应该论文的主线而各章节只是分论点或是论据点，导师的作用是导学，帮助研宄生选择适的研宄的方向，并具有理论价值或应用价值的选题，并如果选题存在问题，应该说在很大程度上，是导师导学的作用没有发挥好。 (2)选题不适时机，思路欠清晰。主要表现为对国内外研宄现状掌握不清，复习文献不足，缺少对文献的消化和吸收，为应付检查匆匆选题，没有把握恰当的研宄时机，研宄内义和研宄价值的课题，并把握适当的选题及研宄撰写论文的时机。滞后于科学发展的选题势必失去其研宄价值而不为人们认同;过于超前的选题也因受条件限制无法达到预期成果o (3)文献综述能力较差。资料综述是从学术角度阐

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毕业论文写作中存在的主要问题及解决对策毕业论文写作中存在的主要问题及解决对策 毕业论文的写作是成人高等教弃英语本科专业教学大纲中一个极为重要的综合性实践教学环廿，它是英语专业学生完成本科阶段学习的标志性作业，是对学生学习成果的综合性总结和考査，也是学生取得学士学位资格的重要依据。因此，毕业论文的写作是一个独立的、不可替代的重要的教学环节，它的重要性不言而喻。然而，随着成人高校招生比例的提高、教育投入资金不足、生源层次要求不高等多方而因素，使得成教学生的毕业论文写作水平令人担忧，如何提髙成人教育学院英语专业学生毕业论文写作质量成为当务之急。为了解决这个问题，笔者以常州工学院成教学院英语专业学生为研究对象，分析当前毕业论文中普遍存在的问题，探讨这些问题产生的根源，并尝试提岀提升论文质量的对策。 一、论文写作过程中存在的主要问题 2.学生不重视毕业论文 由于在职的特点，在一左程度上影响了学生对半业论文写作的态度。笔者发现学生对本科毕业论文的认识不足和主观态度不认真。在论文写作过程中，投入的时间极其有限，花费的精力少之又少。在部分学生看来，论文成绩不会影响其毕业，在这种功利之心的支配下, 产生一种应付的心态：另外，一些学生认为自己已是成年人，指导老师不会太严格，老师一龙会让过关的，只要应付一下就行了，这就导致他们在写作过程中出现消极的情绪，毕业论文问题较多。 2.学生盲目选题 选题缺乏科学性，缺乏现实指导意义。学生在选题时往往会根据自己的一时兴趣来左题, 而且学生选题时对课题的了解不够充分，也没有一定的资料积累，只是很表面地根据题目来判断是否自己感兴趣的话题，因此这样盲目选题，导致论文写到一半后发现写不下去了，想要更改课题，或者只能勉为其难，硬着头皮往下写。还有个别学生选题时特别被动，没有自己感兴趣的课题，选题时举棋不泄，最后甚至要求指导教师直接给他命题。 3.学生缺乏撰写论文的相关知识和能力 由于不少学生对如何撰写毕业论文知之甚少，平时又不注重对相关专业课题的思考、钻研，直到要毕业时才匆匆上阵。既不了解毕业论文写作的意义，也不知晓毕业论文的写作过程和毕业论文的基本格式，更谈不上査找资料、运用资料，盲目地选题、垃题，这必然会影响论文的质量。 4.学生论文的书写格式不规范 学生对论文写作环节了解不到位，导致论文的格式不够规范。不少学生把论文的大写、缩写、斜体、字体、标题、序号、列举、着录等都当作枝节小事，无关紧要，完全忽略了这些方而的要求。因此，出现这样那样的问题，如论文的标题空泛，旨意不明，拟写的提纲、摘要、关键词不具备应有的功能；列岀的参考文献不够规范，英结果是学生毕业论文的质量很难达到教学要求。 5.学生语言基本功差 较突出的问题是言语的表达，主要表现在两个方而：（1）学生缺乏一左的理论修养与思辨能力，不会借助相应的理论知识对其论点予以逻辑分析，也不善于以淸晰的思路、严密的论述阐明自己的观点，这就使得论文思路不淸晰，论证层次欠分明。（2）英语语言功底差，用词、语法错误百岀，有的学生不会用英语表达，只好借助电子工具，结果机器翻译的东西，内容可想而知。可见，语言基本功成了影响论文质量的一个非常突出的问题。

数学归纳法及其应用举例1

数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法

前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

企业招聘中存在的问题及策略论文

人力资源招聘是企业获取符合需要的人才的重要手段，是提高人力资源管理效益的重要起点和基础，也是提高企业声誉和知名度的重要途径，能给企业增添新的活力，招聘工作关系到组织的生存与发展，是企业人力资源管理的一项经常性的工作。那么企业人力资源招聘存在哪些问题呢？ 第一，没有制定招聘计划或者招聘计划不科学、不合理 这种情况的出现是由于公司领导对人员招聘工作不够重视、人力资源管理部门的管理水平有限，没有根据公司整体发展战略规划来制定人力资源的战略规划，招聘时不是依据企业的人力资源战略规划制定的招聘计划，而是凭着短期内企业某些岗位有空缺，或者是依据企业领导人的拍脑袋而去招聘的。这样势必引起人员引进时的适应不了工作岗位。 第二，观念意识、文化背景的惯性影响 在我国企业招聘过程中常常表现的唯学历论、职称论、海归论，以及性别歧视、年龄歧视、学历歧视、地域歧视等，甚至一些违法乱纪等不良行为的产生。在很大程度上，这些落后、不良的工作方式或行为与我们长期形成的思想观念和文化背景有着很深的联系，如“万般皆下品、唯有读书高”的封建观以及对西方盲目崇拜的思想等都导致在招聘过程中一些招聘工作者在潜意识中存在一种认为只要是出过国的都是人才的心理偏好；其次，计划经济中的机械招聘模式的负面影响，也致使我们的一些管理者或招聘工作者仍留有一种居高临下的工作方法或长官作风。不难发现这些落后观念和工作模式的形成具有很深的文化背景和时代烙印。而这种负面的惯性影响对现代招聘理念、招聘技术的顺利推进和积极运用所形成负面阻力还未给予足够重视。 第三，落后的现代企业管理制度建设，导致招聘工作具有很强的制度障碍在市场经济中，现代企业管理制度是人力资源开发与管理的华础，现代人力资源的管理与开发更要求与现代企业管理相适应，但我国很多企业都是以经验管理为主。虽然己有很多企业认识到当今人才的重要，管理的重要，但常常由于观念、资金、技术等方面的限制和影响，致使现代企业管理制度一直在大多数企业(特别是中小企业)没有规范的建立起来;在管理上，虽然有些企业各种制度也是比较齐全，但具体运作上由于没有真正理解和掌握，却很难推行;在决策上，虽然

毕业论文写作中存在问题浅析

题目：毕业论文写作中存在问题之浅析姓名： 学院： 专业： 年级： 学号： 指导老师： 二○一二年五月 目录

1、毕业论文写作的基础工作不到位 (2) 1.1对选题不够重视 (2) 1.2写作前的检索文献、资料投入的时间和精力不足 (3) 1.3不能按要求撰写开题报告 (3) 2、毕业论文写作没有遵循毕业论文选题原则 (3) 2.1论文选题不具有主客观条件 (3) 2.2论文选题没有根据所学学科和专业，拘泥于套用学院或系里提供的论文题目 (3) 2.3论文选题没有联系实际，缺乏现实意义 (4) 3、没能根据论题需要收集和处理材料 (4) 3.1材料使用缺乏分析评价，堆砌材料 (4) 3.2无法充分使用材料 (4) 3.3选用他人材料不做文献引用、注释，抄袭现象时有发生 (4) 4、毕业生缺乏撰写专业论文必要的知识和能力 (4) 5、选题中存在的问题 (4) 5.1专业不对口 (5) 5.2脱离自己的工作实际 (5) 5.3选题没有新意 (5) 5.4选题过窄或过小 (5) 6、语言太枯燥，缺乏艺术感染力 (5) 7、格式混乱 (5) 8、指导教师要求不严，指导流于形式 (5) 9、论文普遍缺乏科学性 (6) 10、改进本科学生毕业论文写作的建议 (6) 10.1强化指导教师和学生对毕业论文写作重要性的认识 (6) 10.2通过多种形式对学生毕业论文写作进行针对性辅导 (6) 10.3鼓励学生自主选题 (7) 10.4指导教师切实负起责任，严格要求，精心指导 (7) 10.5科学组织论文答辩程序，严把毕业论文答辩关 (7) 摘要：毕业论文写作是本科院校实现其培养目标的重要教学环节，在提高和检查毕业学生综合运用理论知识，分析和解决问题以及科学研究的能力等

高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思

课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常

毕业论文中存在的问题及解决思路

人文社科学院2012届毕业论文工作小组 毕业论文中存在的问题及解决思路 2011.10.25 问题1：毕业论文题目比较老、比较大，空泛，甚至有些题目完全可以写本书，毕业题目不规范；或者论文题目与专业不相吻合，即不符合专业人才培养方案。 解决思路：老师们今后要根据自己的研究方向来拟定论文题目，题目要具体，范围要小，尽量结合各专业的研究前沿。各教研室主任要清理一些不符合专业培养要求的毕业论文题目，比较老、大、空泛题目。学术委员会的作用没有充分发挥。今后，题目审核要通过学术委员会，答辩后优秀论文和答辩不过关的论文都要由学术委员会来定。 问题2：题目变更比较多，法学的学生几乎全部变更了题目。 解决思路：今后题目拟定可以提前进行，在学生中收集他们感兴趣的题目，然后老师来规范。 问题3：毕业论文的粘贴比较多。如果要查重复率的话，90%的学生毕业论文无法通过。毕业论文字数多，有些学生的论文达到4万字；大多数都在15000字以上。 解决思路：今后，学生的毕业论文8000字到10000字，不能超过10000字，硬性规定，超过10000字，提交答辩前，学术委员会来审查，看是不是自己写的东西。大学几年学习，一定要有学生自己的学习体会。 问题4：大多数学生都没有按照学校要求的进度来完成论文各阶段的工作。有个别学生在答辩时才交第一稿，有个别老师根本没有给学生指导。 解决思路：今后，中期检查为全面检查，凡是中期检查第一稿都没有的学生，推辞答辩；还没有开始论文准备工作的，取消答辩资格。以学院正式文件的形式，通告全院，通知学生。形成制度。 问题5：论文答辩时，答辩老师更多的是在指出学生论文格式、结构方面的错误，这个本应该是指导老师的工作。答辩时涉及论文内容的答辩时长不够。 解决思路：实验室建立一个标准的毕业论文答辩室。每届答辩前，各专业都要举行一次示范答辩，由全体专业老师和毕业学生参加。答辩时注意实质答辩，

浅析毕业论文写作中存在的问题毕业论文

浅析毕业论文写作中存在的问题毕业论文 目录 1、毕业论文写作的基础工作不到位 (2) 1.1对选题不够重视 (2) 1.2写作前的检索文献、资料投入的时间和精力不足 (3) 1.3不能按要求撰写开题报告 (3) 2、毕业论文写作没有遵循毕业论文选题原则 (3) 2.1论文选题不具有主客观条件 (3) 2.2论文选题没有根据所学学科和专业，拘泥于套用学院或系里提供的论文题目 (3) 2.3论文选题没有联系实际，缺乏现实意义 (4) 3、没能根据论题需要收集和处理材料 (4) 3.1材料使用缺乏分析评价，堆砌材料 (4) 3.2无法充分使用材料 (4) 3.3选用他人材料不做文献引用、注释，抄袭现象时有发生 (4) 4、毕业生缺乏撰写专业论文必要的知识和能力 (4) 5、选题中存在的问题 (4) 5.1专业不对口 (5) 5.2脱离自己的工作实际 (5) 5.3选题没有新意 (5) 5.4选题过窄或过小 (5) 6、语言太枯燥，缺乏艺术感染力 (5) 7、格式混乱 (5) 8、指导教师要求不严，指导流于形式 (5) 9、论文普遍缺乏科学性 (6) 10、改进本科学生毕业论文写作的建议 (6) 10.1强化指导教师和学生对毕业论文写作重要性的认识 (6) 10.2通过多种形式对学生毕业论文写作进行针对性辅导 (6) 10.3鼓励学生自主选题 (7) 10.4指导教师切实负起责任，严格要求，精心指导 (7) 10.5科学组织论文答辩程序，严把毕业论文答辩关 (7)

引言：毕业论文的写作，是大学本科教育中不可忽视的一个重要环节。对学生来说，撰写毕业论文是对自己知识水平、综合能力的检测；对教师而言，学生毕业论文质量的优劣，也在很大程度上反映出教学效果的好坏、教学质量的高低。因此，学生写作毕业论文过程中存在的问题，既要引起学生的重视，更应促使教师对自己的教学进行反思，并由此探讨教学改革的新路子，真正把素质教育落到实处。 近年来，在本科生的毕业论文中，高质量的毕业论文总是不多，平时学习成绩差的学生的论文固然难以令人满意，有些成绩好的学生的毕业论文也不尽如人意。这种现象不能不引起人们的深思。考察学生毕业论文的写作过程，我们会发现一些普遍存在的问题。 1、毕业论文写作的基础工作不到位 做好毕业论文写作的基础工作，是毕业论文写作中具有关键作用的第一步，从多年来指导学生毕业论文的实际情况看，写作的基础工作不到位，主要表现在以下几方面： 1.1对选题不够重视 毕业论文的选题方式大体有四种：一是由任课教师将课题交院系，院系将各教师上交的课题汇总后统一公布，由学生自选；二是院系将撰写毕业论文的学生分配给指导教师，指导教师根据自己所从事的课题研究，结合学生的学识、能力和水平拟出毕业论文的研究课题；三是学生参加学校某部门的科研攻关集体或科研小组并开展工作，其研究课题可作为其毕业论文的选题；四是如学生对本专业围的某些问题实实在在下过一番苦功钻研，可由学生自报课题。

数学归纳法的应用习题

第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟) 1．利用数学归纳法证明1 n＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 2n<1(n∈N *，且n≥2)时，第二步 由k到k＋1时不等式左端的变化是 ()． A．增加了 1 2k＋1 这一项 B．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项 C．增加了 1 2k＋1 和 1 2k＋2 两项，同时减少了 1 k这一项 D．以上都不对 解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n 的等差数列，当n＝k时，左端为1 k＋ 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋…＋ 1 2k；当n＝k＋1时， 左端为 1 k＋1 ＋ 1 k＋2 ＋ 1 k＋3 ＋…＋ 1 2k＋ 1 2k＋1 ＋ 1 2k＋2 ，对比两式，可得结论． 答案 C 2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是 ()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确 D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*) 解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确． 答案 B 3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于

()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2 解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分． 答案 C 4．已知S n＝1 1·3＋ 1 3·5＋ 1 5·7＋…＋ 1 (2n－1)(2n＋1) ，则S1＝________，S2＝________， S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________. 解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n 2n＋1 . 答案1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n＋1 5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除． 答案2x2k－y2k能被x＋y整除 6．用数学归纳法证明： 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 n2＜2－ 1 n(n≥2)． 证明：(1)当n＝2时，1＋1 22＝ 5 4＜2－ 1 2＝ 3 2，命题成立． (2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＜2－ 1 k，当n＝k＋1时， 1＋1 22＋ 1 32＋…＋ 1 k2＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 (k＋1)2 ＜2－ 1 k＋ 1 k(k＋1) ＝2－ 1 k＋ 1 k－ 1 k＋1＝2－ 1 k＋1 ，命题成立． 由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立． 综合提高(限时25分钟)

毕业论文写作存在的问题

一、结合我的专业课教学及毕业设计谈一下近几年思考及关注的问题： 居民收入与消费问题是我近几年关注的热点问题：一方面是因为居民收入与消费统计问题与我们的生活比较贴近是学生比较感兴趣的问题，每年都有一些学生选择相关的问题作为毕业论文的选题，另一方面可以通过国外经济统计这门课程介绍有关的分析指标并进行国内外的比较：所以结合外国经济统计这门专题讲座性质的这门课程：收入统计除了介绍有关的分析指标：人均纯收入、人均可支配收入还介绍收入差距的分析方法：洛伦茨曲线与基尼系数，消费统计主要介绍居民消费价格指数的编制消费结构的分析指标恩格尔系数。通过教学及毕业涉及有几个体会： 1、运用统计工具的能力逐年提升：以前学生论文使用描述统计的方法比较普遍，如研究居 民收入差距只是把10年居民收入的数据进行简单描述使用绝对数相对数平均数、用收入比指标或国家公布的基尼系数描述收入的变化，近几年学生在做论文时会选取样本数据，在实际运用中, 根据不同的数据特点基尼系数有多种计算方法, 使用易于统计软件处理的协方差方法计算基尼系数,还能用预测方法对未来居民收入差距进行趋势分析。 2、专业兴趣点有所拓宽：统计专业的学生越来越多的学生对金融、证券方面的知识感兴趣， 一方面是每年都有一部分学生就业取向向这个领域进入，另一方面说明统计分析工具及方法的应用可以拓展到这些领域，所以我们的专业课设置是否也可以拓展一些与金融证劵保险相关的内容 3、选题的大小与深度不当：由于选题的大小不当，经常出现大题目小论文的情况，比如居 民收入差距的研究完全可以侧重某一地区或某一收入群体居民收入的分析与比较，而学生往往面面俱到，研究地区差异、农村与城市差异，职业差异、收入群体差异，结果哪个层次的内容都分析不深，泛泛而谈 4、综合分析的能力有待于提高：分析指标单一，如研究收入差距大多局限于研究城乡收入 差距,有的甚至将城乡差距简单化为城乡收入差距，实际上综合考虑收入、消费、社会保障、教育等各种城乡差距,构筑指标体系,从整体上研究城乡真正差距。研究贫困问题更多是物质层面的贫困，而精神层面的、相对贫困研究的人较少 对策： 1、加强师生交流，将选题与平时教学结合起来：改变学生论文选题的盲目行，在平时教学过程中把自己的研究重点有目的有计划地讲述给学生：基本理论、基本方法、前言问题、热点问题，并与学生进行讨论 毕业论文的写作,是大学本科教育中不可忽视的一个重要环节。对学生来说,撰写毕业论文是对自己知识水平、综合能力的检测;对教师而言,学生毕业论文质量的优劣,也在很大程度上反映出教学效果的好坏、教学质量的高低。因此,学生写作毕业论文过程中存在的问题,既要引起学生的重视,更应促使教师对自己的教学进行反思,并由此探讨教学改革的新路子,真正把素质教育落到实处。 近年来,本科生的毕业论文中,高质量的毕业论文总是不多,平时学习成绩差的学生的 论文固然难以令人满意,有些成绩好的学生的毕业论文也不尽如人意。考察学生毕业论文的写作过程,我们会发现一些普遍存在的问题,这些问题主要表现在以下几个方面: (一)不重视毕业论文,以应付心态对待毕业论文的写作毕业论文的写作时间,一般安排在大四最后一个学期。学生完成毕业论文之时,正值毕业在即之际。学生面对的主要问题是分配、就业。由于就业形势亦不乐观,因此,所有学生都承受着一定的就业压力,他们不得不花大量时间去求职、面试,甚至到用人单位应聘实习。而写作毕业论文期间,学生不用上课,更无需考勤, ,对毕业论文只好匆忙应付,在论文写作过程中投入的时间少,花费的精力也不够,论 1

浅谈数学归纳法及其在中学数学中的应用2

目录 1、数学归纳法---------------------------------------------------------- 3 1.1 归纳法定义-------------------------------------------------------- 3 1.2 数学归纳法体现的数学思想----------------------------------------- 4 1.2.1 从特殊到一般------------------------------------------------ 4 1.2.2 递推思想---------------------------------------------------- 4 2、数学归纳法在中学数学中的应用技巧------------------------------------- 5 2.1 强调------------------------------------------------------------- 5 2.1.1 两条缺一不可------------------------------------------------ 5 2.2 技巧------------------------------------------------------------- 5 2.2.1 认真用好归纳假设-------------------------------------------- 5 2.2.2 学会从头看起------------------------------------------------ 6 2.2.3 在起点上下功夫---------------------------------------------- 7 2.2.4 正确选取起点和过渡------------------------------------------ 8 2.2.5 选取适当的归纳假设形式-------------------------------------- 9 3、数学归纳法在中学数学中的应用 ---------------------------------------- 9 3.1 证明有关自然数的等式--------------------------------------------- 9 3.2 证明有关自然数的不等式------------------------------------------ 11 3.3 证明不等式------------------------------------------------------ 11 3.4 在函数迭代中的应用---------------------------------------------- 12 3.5 在几何中的应用-------------------------------------------------- 14 3.6 在排列、组合中的应用-------------------------------------------- 16 3.7 在数列中的应用-------------------------------------------------- 16 3.8 有关整除的问题-------------------------------------------------- 17

论文答辩一般存在的问题

论文答辩一般存在的问题 通过要求： ◆不在于考核成绩的优良，主要看论文的水平，做的如何 ◆论文要送到学院审核，审核不通过，不能毕业。 格式要求：审查论文时，一看内容；二看格式（和模板格式一模一样） 1、题目是否合适 ①题目范围：题目和内容是否相符 ②题目名字是否通顺 2、摘要 ①论文题目的意义是什么 ②2、3、4、5句话突出你做了什么事 ③最后达到了什么效果 ④摘要的英文翻译不能电脑自动翻译 3、引言 引言的写法是固定的，大约写2页纸；分三个段落来写 ①做的意义 ②做的进展（别人做了什么；我做了什么，做到了什么程度；） ③论文是如何编排的（哪一章干什么） 4、第2章(基础知识) 第二章的内容主要是为你干的工作做准备的，大约10页纸（包括性能指标、方案的选择、芯片资料、用到的新技术、所用的EDA工具等） 2.1 什么样的技术 2.2 什么样的方案，为什么要采用这个方案 2.3 硬件设计（方案实现） 5、第3章（软件硬件放在一起，系统的设计与实现） 分模块介绍各部分的作用和设计思想，软件流程介绍（先硬件后软件） ◆做的实物拍成照片，标注各部分的功能 6、第4章 主要写系统的测试（包括功能测试、性能指标的测试），测试数据的比较和修正，系统的改进 ◆在第2、3、4章后面各总结一下，说明了什么问题 7、结论 结论部分主要突出自己所做的工作和意义（虚的东西不要讲，如：经过长达一年的不懈努力…） 8、致谢 9、参考文献 按照格式要求，参考论文15篇

10、格式上容易出错的地方 ※ 标号的层次： 1 2 3 3.13.2 3.2.13.2.2 1)2) a b 表示空格，不能为其他标点符号 ◆（1）（2）等两个括号的只能放在论文的正文，不能出现在标题上 ※ 图的问题 ① 正文中字体为小四，图中文字看起来要和五号字体差不多 ② 每个图出现以前都要先见文字说明，再引用。 如：交通灯控制电路由××、××…等组成，组成框图如图1所示。 图1 交通灯控制电路组成框图 ◆（图1后面接两个空格，用五号字体；可以用图1、图2、图3…的标法，也可以用图1.1、图1.2、图2.1…的标法） ③ 图最好用白底黑字，当图是黑底白字时，打印出来既不美观也不清楚，建议用彩打。 ④ 仿真图要描述仿真的结果和达到的效果 ⑤ 横竖坐标要有单位，如：s 、ms 等 ※ 表的问题 用三线表的样式，文字的字体用5号字体，表头和表名要放在表的上面 通道号测试数据A B 表1 测试结果分析 理论数据误差分析1.02 1.00 2% ※ 软件的问题 软件代码可以放在附录中，不放没有关系。但是软件流程图一定是要的，而且要对流程图仔细说明。 软件流程图要标准 Y/N ※ 原理图和PCB 图的问题 原理图和PCB 图要放在正文中进行标识，仔细说明