矩阵论第二版答案

矩阵论第二版答案

【篇一：华北电力大学硕士研究生课程考试试题(a卷)

矩阵论答案】

14)

一、判断题（每小题2分，共10分）

1. 方阵a 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。(x)

见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n，后

者小于等于n

?,?,?,?m是线2. 设12

性无关的向量,则 dim(span{?1,?2,?,?m})?m.

正确，线性无关的向量张成一组基

v,v3.如果12 是v 的线性

v?vv12子空间,则也是

的线性子空间.

错误，按照线性子空间的定义进行验证。

a(?)4. n阶?-矩阵是可逆

a(?)的充分必要条件是

的秩是n .

见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数

5. n阶实矩阵a是单纯矩阵的充分且必要条件是a

的最小多项式没有重根. 见书90页。

二、填空题（每小题3分，共27分）

?210???a??021?,??003（6）??则ea的jordan标准型

为?e?0??0?

21e200??0?,3?e?。

【篇二：矩阵论简明教程课后习题与答案解析】mite正定矩阵的充分必要条件是，存在hermite正定矩阵b，使得a=b2。

解：若a是hermit正定矩阵,则由定理1.24可知存在n阶酉矩阵u, 使得

??1??

uhau=?

???

?2

???

, ?i﹥0,i=1, 2, ?,n. ??

??n??

于是

??1?

??

?2??h

a=u?u ????

??n????1??1?????h??2

= u??uu?

????

????n???

2

?

?

??h?u ??n??

令

?1

??b=u?

???

2

?

???h?u ?n??

则a=b2.

反之,当a=b2且b是hermit正定矩阵时,则因hermit 正定矩阵的乘积仍为hermit正定矩阵,故a是hermit 正定的.

14. 设a?cn?n是hermite矩阵，则下列条件等价:（1）a是mermit半正定矩阵。（2）a的特征值全为非负实数。（3）存在矩阵p?cn?n,使得a=pp

解：(1)?(2). 因a是hermit矩阵,则存在酉矩阵u,使得

uhau=diag(?1,?2,?,?n)

令x=uy, 其中y=ek. 则x?0. 于是

xhax=yh(uhau)y=?k≧0 (k=1, 2, ?,n).

(2)?(3).

a=udiag(?1,?2,?,?n)uh=udiag(?1,?2,?,?n)diag(1,?2,?,?n)uh 令p=diag(1,2,?,n)uh, 则a=php . (3)?(1). 任取x?0, 有

xhax=xhphpx=px2≧0.

h

1.求向量x=（1+i，-2,4i，1,0）的1、2、∞范数。

解：x1=?i??2?4i?1?0=7+2, x2=(1?i)(1?i)?(?2)2?4i(?4i)?1=23, x?=max?i,?2,4i,1?=4.

2. 设?1，?2…..?n是一组给定的正数，对任意x=（?1,?2…..?n）t?cn, 规定=

k?1

??k?k

?x=

n

2

。证明x

是cn上的一种向量范数。

解：当x?0时, 有x﹥0; 当x﹦0时, 显然有x=0. 对任意??c, 有

k?1

??k??k

n

2

??

k?1

??kk

n

2

??x.

为证明三角不等式成立,先证明minkowski不等式: 设 1≦p﹤∞, 则对任意实数xk,yk(k=1, 2, ?,n)有

(?xk?yk)≦(?xk)?(?yk)

k?1

k?1

k?1

n

p

1p

n

p

1p

n

1p

证当p=1时，此不等式显然成立. 下设p﹥1, 则有

?xk?yk

k?1

n

p

≦?xkxk?yk

k?1

n

p?1

??ykxk?yk

k?1

n

p?1

对上式右边的每一个加式分别使用h?lder不等式, 并由 (p－1)q=p, 得

?x

k?1

n

k

?yk

p

≦(?xk)(?xk?yk

k?1

n

p

1p

n

1

(p?1)qq

=[(?xk)?(?yk)](?xk?yk)

k?1

k?1

k?1

n

k?11pp

)?(?yk)(?xk?yk

k?1

k?1

p

1p

n

1

(p?1)qq

)

n

p

1p

n

1pq

再用(?xk?yk)除上式两边,即得 minkowski 不等式. k?1

n

1pq

现设任意y=(?1,?2,?,?n)t?cn, 则有

x?y?

?k?k?k

?1

2

n

??k

n

2

=

?(

k?1

n

k?k??k)≦

2

?(

k?1

n

k?k?kk)2

≦

?(kk)?

k?1

n

?(kj

2

=x?y.

3. 设a，b是cn上的两种向量范数，又k1，k2是正常数，证明下列函数是cn上的向量范数。 (1) 函数的非负性与齐次性是显然的,我们只证三角不等式.利用最大函数的等价定义:

max(a, b)=(a?b?a?b)

max(x?ya,x?yb)≦max(xa?ya,xb?yb)

121

≦(xa?xb?ya?yb?xa?x2

12

=(xa?xb?ya?yb?xa?ya?xb?yb)

b

?ya?yb)

=(xa?xb?xa?xb)?(ya?yb?ya?yb)

=max( xa,xb)+max( ya,yb) (2) 只证三角不等式.

k1x?ya+k2x?yb≦k1xa+k1ya+k2xb+k2yb

=( k1xa+k2xb)+( k1ya+k2yb) . 4. am??i?3?5?4i?2?3?1?18?2;

1

1212

af??i?32?52?4i?22?32?1?66; a

22

m?

?15;

a1?列和范数(最大列模和)=7?;a?=行和范数(最大行模和)=9 ;

5. 已知m是cn?n上的矩阵范数，s是n阶可逆矩阵。对任意

a?cn?n，规定

a=s?1as，证明是cn?n上的一种矩阵范数。

m

解：非负性: a≠o时s?1as≠o,于是a?s?1asm＞0. a=o时, 显然

a=0; 齐次性: 设??c, 则?a?s?1(?a)s三角不等式: a?b?s?1(a?b)s 相容性: ab?s?1(ab)s

m

m

??s?1as

m

=?a;

s?1as?s?1bs≦mm

m

?s?1as?s?1bs

s?1as≦m

m

?a?b;

?s?1ass?1bs

s?1bs=ab. m

6. 证明：对cn?n上的任意矩阵范数均有in≧1。

因为in≠o, 所以in＞0.从而利用矩阵范数的相容性得:

in?inin≦inin,即in≧1. 7. 证明cn?n上的m范数与cn上的1、2范数相容。

解：设 a=(aij)?cn?n, x=(?1,?2,?,?n)t?cn, 且 a=aij, 则

?

i,j

ax1???aik?k≦??aikk=?[?k

i

k

ikk

?a

i

i

ik

]≦na?k=am

k

2

?

x1;

2

ax2?

??a

i

k

ikk

?

≦

?[?a

i

k

ik

k]2=

?a[??

k

k

]2

=nax2≦na=a解：利用定理2.12得

m?

x2.

2

10. 设u是n阶酉矩阵，证明?1

u

2

?hu

2

?in

2

?1.

m

m

习题三

?i?i??11???

, 则p?1

=1?2i?1i????1i???, 于是 ea=p??ia

0?

??1?cosa-sina??0?ia???p=???sinacosa??

?

?b0?b1ia?eia

??b0?b1

ia?e?ia

?b1

0=cosa , b1=a

sina .于是

ea=b?0i+b1a=cosa?1

1??a?

???+1asina?

????a???=??

?cosa?sina???sina

cosa???. 后一求法显然比前一种方法更简便, 以后我们多用待定系数法. 设

f(?)=cos?, 或 sin?

则有

??

b0?b1ia?sinia?b0?b1ia?-sinia与??b0?b1ia?cosia

?b0?b1

ia?cosia 由此可得

??

b0?0?与?b0?cosia??

b??isinia?

1a?b1?0故

(i

2asinia)a=??0isinia????isinia

0???=sina 与 (cosia)i=??

?cosia

0??0

cosia???=cosa.

?5.对a=?1?11???310???求得p= ?1?11???310??0?11???1?, p?1=1??033??, p?1

ap=?1??10????3?310??6??642?????6e2t4e2t?3et?e?t2e2t?3 et?e?t?

eat=pdiag(e?t,et,e2t)p?1=1?6??03et?3e?t3et?3e?t

??

?03et?3e?t3et?3e?t

??

???2??

?sin24sin2?2sin12sin2?4sin1?

?1??1

06sin1sina=pdiag(sin(－1),sin1,sin2)p=?0?

6??6sin10?0?

8. 证明：对任意a?cn?n,有：

1ia?ia21

(e?e)]=[(eia?e?ia)]2 2i2

11

=?(e2ia?e?2ia?eo?eo)?(e2ia?e?2ia?eo?eo)

44

(1) sin2a+cos2`a=[

=eo=i

1111

2!4!3!5!

=sina[i－

11

1111

2!4!3!5!

=ea

此题还可用下列方法证明:

???

????1a?1a

?p=epip=e ?

??

10.证明：若a为反对称矩阵，则ea是正交矩阵。

at=－a, 根据第7题的结果得 (ea)t=ea=e?a, 于是有

ea(ea)t=eaea=ea?a=eo=i

习题四

9.求下列矩阵的hermite标准形和所用的变换矩阵s,并求满秩分解：(1) 对a施行初等行变换

t

t

【篇三：矩阵论答案习题 1.1】

1. 解：除了由一个零向量构成的集合???可以构成线性空间外，没

有两个和有限（m）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k?

有无限多个，k∈p数域）.

2. 解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量

的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因

为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.

3. 解：⑴不是，因为当k∈q或r时，数乘k?不封闭；⑵有理域

上是；实数域上不是，因为当k∈r时，数乘k?不封闭.⑶是；⑷是；

⑸是；⑹不是，因为加法与数乘均不封闭.

4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相

应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.

5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因

无零向量）.

6. 解：（1）设a的实系数多项式f?a?的全体为

?f?a??a

amamai?r,

m正整数

?

显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.

（2）与（3）也都是线性空间.

7. 解：是线性空间.不难验证sint，sin

2t，…，sinnt

是线性无关

的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是v中的一个组基.由高等数学中傅里叶（fourier）系数知 ci?

1

?

?

2?

tsinitdt

.

?

?

s?(3, 4)=(3,4)

?

(6, 4)= (9, 8),

?

(1,2) = (3,4) ,

⑷是.

9. 证若?,??v，则

2??????2??2???1?1????1?1????1??1???(1??1?) ??????????????????????

另一方面，

2???????1?1????????1??1???1????? ??????????????????????

因此 ????从而有

???????????????

，

????????? ??????????????????????????????

于是得?

.

10. 解：先求齐次方程组的基础解系

即为解空间v的一组基. 所以， dim v=2.

11. 解：考察齐次式即得线性方程组

k1?k2?0

k1?k2?k3?0

2

k1(x?x)?k2(x?x)?k3(x?1)?0

2

2

(k1?k2)x?(k1?k2?k3)x?k3?0,

k3?0

?k3?0时

由于系数行列式不等于零，那么只有 k1?k2才对 ?x 成立，所以

2

, 上述齐次式

22

x?x, x?x, x?1 线性无关，且任二次多项式

ax?bx?c都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基.令得

2x?7x?3?(k1?k2)x?(k1?k2?k3)x?k3

2

2

k1?3,k2??1,

k3?3, 即坐标为 ( 3, -1, 3 ) .

12. 解：⑴因为 (?1,?2,?3,?4)=(?1,?2,?3,?4)c ,

故 c =(?1,?2,?3,?4)?1(?1,?2,?3,?4)

1

0100

0010

00?1

2

0310

5321

6613

2

0310

5321

6613

t

= 000

1?11

=

1?11

.

⑵

1

x =(?1,?2,?3,?4),

?1

2

0310

5321

6613

,?2,?3,?4)

t

, 则

??1?2?3?

y=c?1

?2?3?4

= 1?11

491

13490?19

?1?13

???

11923272

?1

=

271?3727

013

? = b x

3

?2?4

326

27

⑶如果 x = y , 则有 x= bx ,即得齐次方程组 ( i- b)x=0 , 求其非零解为

x = k (－1, －1, －1, 1 ) ,k∈r ,即为所求 .

t

13. 解： (1) 对k

akl?1，其余的aij?012

n?n?1?.

?1,2,?,n

；l?k,k?1,?,n令fkl

??aij

?，其中

n?n

，则?fkl?为上三角矩阵空间的一组基，维数为

（2）r+中任意非零元素都可作r+的基，dimr+=1. （3）i，a，a2为所述线性空间的一组基，其维数为3.

14. 解：（1）由已知关系式求得

??1???2???3???4

?4?1?8?2??3?2?4??2?1?4?2??1?2?2??2?2?3

??4

于是，由基（i）到基（ii）的过渡矩阵为

?4?8

c??

?1???2

?2?401

1200

0??1? 2??0?

c（2，-1，1，1）t=（11，23，4，-5）t.

15. 解：不难看出，由简单基e11，e12，e21，e22改变为基（i）和基（ii）的过渡矩阵分别为

?2

?1

c1??

?0??1

0122

?2112

1??3?1??2?

?1?2????1??0

1?111

?1211

?1???1?0??1?

，

c2

则有（b1，b 2，b 3，b 4）=（e11，e12，e21，e22）c2 =（a1，a 2，a 3，a 4）c1?1 c 2