3.5群的自同构群

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§8 群的自同构群

给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。

1. 自同构群的定义： ！

定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的

全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构

群。

证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====，

即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。

又因为x M ?∈有

11

()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?==

即1

σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。

·

另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元，

群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是

()S M 的一个子群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作

Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。

`

例1 求Klein 四元群

{}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。

解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ

是双射，因此()()()e

a b c e a b c σσσσ??= ???

，其中

(),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====,

()()()()ac b a bc a c σσσσ====,

.

由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。

{

2.循环群的自同构群

定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个?阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。 因此，一个循环求有多少个生成元就有多少个自同构。例如， |

设G a =<>是由a 生成的循环群，则当k 是小于n 且与n 互素的

正整数时，k

a 也是G 的生成元，即k G a =<>。此时，令

:k G G σ→，()k k a a σ=，则有()i ik k a a σ=，且i j a a ≠时，()()i j k k a a σσ≠，

()()()()()i j i j i j k ik jk i j k k k k a a a a a a a a σσσσ++?====，

即k σ是G 的自同构。由于无限循环群只有2个生成元，n 阶循环群只有()n ?个生成元，所以其自同构群分别为2阶循环群和()n ?阶的群。

例2 （1）求G a =<>，||4a =，4阶循环群的自同构群。

解 (4)2?=，两个生成元为3

,a a ，从而{},Aut G εσ=，其中

232

3e

a a a e a

a a ε??

=

? ??

?是恒等置换，233

2

e a a a e a a a σ??

?= ??

?

。 …

（2）求G a =<>，||5a =，5阶循环群的自同构群。

(5)4?=，4个生成元为234,,,a a a a ，从而{}123,,,Aut G εσσσ=，

其中，ε

是恒等置换，23412

4

3e

a a a a e

a a a a σ??

?= ???， 23423

4

2e a

a a a e

a a

a a σ??

?= ??

?，23434

3

2

e a a a a e a a a a σ??

?= ??

?

。

推论2 无限循环群的自同构群与3阶循环群的自同构群同 构。

证明 由定理2知，这两种群的自同构群都是2阶群，2是素数，所有2阶群都彼此同构，都与2次单位根群同构。

《

注意：定理2说明一件事实，即不同的循环群其自同构群可

以相同。

3. 内自同构群

定理3 设G 是一个群，a G ∈，则

（1）1

:,()a

x axa x G σ-→?∈是G 的一个自同构，称为G 的内自同构；

（2）G 的全体内自同构关于变换的乘法作成一个群，称为 G 的内自同构群，记为Inn G ； （

（3）Inn Aut G G 。

证明 （1）易知a σ是G 的一个双射变换。又

111

()()()()()()a

a a xy a xy a axa aya x y σσσ---===，

所以a σ是G 的一个自同构。

（2）设a σ与b σ是G 的任何两个自同构，则x G ?∈，

1111

()(())()()()()()a b a b a

ab x x bxb a bxb a ab x ab x σσσσσσ----=====， 即有a b ab σσσ=仍是一个内自同构，此表明Inn G 关于变换的乘法封闭。又易知()1

1

Inn a a G σσ--=∈，且e σε=是幺元，

结合律显然成立，所以Inn G 关于变换的乘法作成一个群。 ·

（3）,Aut Inn a G G τσ?∈?∈，x G ?∈。令1()x y τ-=，即()y x τ=，

则1111()()()()()()()()()()a a a x y aya a y a a x a x ττσττσττττττσ----=====，

由x 的任意性有1

()Inn a a G ττστσ-=∈，所以Inn Aut G G 。

注意：设N

G ，则a G ?∈有1aNa N -?，即()a N N σ?，亦

即N 对G 的任何内自同构都保持不变；反之，若G 的一个子群有此性质，则它必是G 的正规子群。这就是说，G 的正规子群就是对的任何内自同构都保持不变的子群：

,()Inn N

G G N N σσ??∈?。

因此，也常称正规子群为不变子群。

'

群的中心： 称(){|,}C G a ax xa x G ==?∈为群的中心，即群G 的中心就是与G 的所有元素都可交换的元素组成的集合。

根据中心的定义，显然有()C G G 。

定理4. .()Inn G G C G ?

证明 利用同态基本定理。 令

:Inn G G ?→，()()a a a G ?σ=?∈，

显然，这样定义的?是满射。由定理3知a b ab σσσ=，即 ()()()ab a b ???=，所以?是满同态。又 【

{}{}{}

(),,(),,Ker a a a a a G a a G a x x a G x G ??εσεσ==∈==∈==∈?∈ {}{}1

,,,,()a axa x a G x G a ax xa a G x G C G -==∈?∈==∈?∈=。

由同态基本定理，有.()Inn G G C G ?

注意：定理4表明，要求G 的内自同构群Inn G ，只需求出

G 的中心()C G ，再作商群()G C G ,即得Inn G ，所以求一个群

的内自同构群相对容易些。但是要求出一个群的自同构群

Aut G ，一般来说是非常困难的。这是因为，在大多数情况

下，一个群本身的性质不能转移到它的自同构群上去。例如，由例1知，交换群的自同构群可以是非交换群，43Aut K S ?；推论2表明，不同构的群它们的自同构群可以同构。 但是，有些群如素数阶循环群的自同构群能够完全确定。

定理4. 设G a =<>是由a 生成的p 阶循环群，p 是素数，则 ；

Aut G 是1p -阶的群，且*,Aut G p Z ?。

这里{}*1,2,

,1p Z p =-，乘法指模p 乘法。

证明 略。

4。正规子群的推广

前面有，正规子群就是对G 的所有内自同构都保持不变的子群，将这一概念推广就得到：

（1）特征子群：对群G 的所有自同构都保持不变的子群叫做

G 的一个特征子群，即Aut G σ?∈都有()N N σ?。

、

例3，任何群G 的中心都是G 的特征子群。

证明 只需证明Aut G σ?∈都有(())()C G C G σ?，亦即

Aut G σ?∈，()x C G ?∈都有()()x C G σ∈。验证：a G ?∈，

111

()()(())(())(())x a x a x a a x σσσσσσσσ---=== 11

(())(())()()a x a x a x σσσσσσ--===，

所以()()x C G σ∈，结论成立。

注意：显然，特征子群一定是正规子群；但反之不成立， 即正规子群不一定是特征子群。

例如，取4{,,,}G K e a b c ==，{,}N e a =，则N

G （4K 是交换

群）。取44:K K σ→，(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则前面例1已验证σ是4K 的一个自同构，对此自同构 ！

(){,}{,}N e b N e a σ=?=，

所以4K 不是特征子群。

（2）全特征子群：设H G ≤。如果H 对G 的所有自同态都保

持不变，即对G 的每个自同态?都有()H H ??，则称H 为G 的一个全特征子群。

例4 证明：循环群G a =<>的子群都是全特征子群。

证明 由于循环群的子群还是循环群，所以可设

s

H a =<>。例:G G ?→是任何自同态，则存在t ，使得 ()t

a a ?=。于是sk a H ?∈，有()()()sk sk t s kt

a a a H ?==∈，所以H 是G 的一个

全特征子群。

注意：显然，全特征子群一定是特征子群；但反之不成

立，即特征子群不一定是全特征子群。 {

例如，群的中心总是特征子群（例3），但不一定是全特征

子群。

例5 有理数域Q 上的2阶线性群2()G GL Q =的中心

{}(),,0,C G A A G A aI a a Q =∈=≠∈（高等代数结论），

则()C G 不是全特征子群。

证明 首先A G ?∈，即A 为有理数域上的2阶满秩方阵，则

行列式||A 是一个有理数。因此可令()

||2n A b A a =?，其中,a b

是奇数，()n A 是与A 有关的一个正整数，由A 唯一确定。

设()||2n B d B c =?，其中,c d 是奇数。则()()

||||||2n A n B bd AB A B ac

+==?， ,bd ac 是奇数，所以()()()n AB n A n B =+。于是令

:G G ?→，1()01n A A ??

→ ???

。 由于

1()1()()1()1()()()()01010

101n AB n A n B n A n B AB A B ???+????????

==== ? ? ???????????， 故?是G 的一个自同态。关于此自同态，取

202()02A I C G ??==∈ ?

??

，则2||42A ==，()2n A =，所以 12()()01A C G ???

=? ???

，这说明()C G 不是全特征子群。

群的自同构群

§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是

()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,. 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自 同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应，

3.5群的自同构群

> §8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： ！ 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构 群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11 ()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 · 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。

注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。 推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 ` 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ 是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====, . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 {

3.5群的自同构群

§8 群的自同构群 给定一个群，可以有各种方式产生新的群。比如，给定 群G 的任何一个正规子群N ，就可以产生一个商群G H ，它就是一种新的群。本节要讲的自同构群也是一种产生新的群 的方法。 1. 自同构群的定义： 定理1 设M 是一个有代数运算的集合（不必是群），则M 的 全体自同构关于变换的乘法作成一个群，称为M 的自同构群。 证明 设,στ是M 的任意两个自同构，则,a b M ?∈，有 ()[()][()()](())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ====， 即στ也是M 的一个自同构。这表明，全体自同构关于变换 的乘法封闭。 又因为x M ?∈有 11()()x x x σσσσ--==，故 111111111()[()()][(()())]()()ab a b a b a b σσσσσσσσσσσσ---------=?== 即1 σ-也是M 的一个自同构。群的定义的第3条成立。 另外，变换的乘法显然满足结合律，且恒等变换就是单位元， 群的定义的第1、2条也成立。所以，M 的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。 注意：前面有M 的全体双射关于变换的乘法作成一个群，记为()S M ，称为M 的对称群。定理1表明M 的自同构群是 ()S M 的一个子群。

推论1 群G （在定理1中取M G =）的全体自同构关于变换的乘法作成一个群。这个群叫作群G 的自同构群，记作 Aut G 。由上面，如果||G n =，则Aut n G S ≤。 例1 求Klein 四元群 {}{}4(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23),,,K e a b c == 的自同构群。 解 4Aut K σ?∈。由于σ是自同构，必有()e e σ=（幺元变成幺元）。又由于σ是双射，因此()()()e a b c e a b c σσσσ??= ??? ，其中 (),(),()a b c σσσ是,,a b c 的全排列。每个全排列不一定都是自同构，但根据4K 的运算特点，可以验证这些全排列都是4K 的自同构。 例如，设(),(),(),()e e a b b a c c σσσσ====，则可以验证它是4K 的自同构: ()()()()ab c c ba a b σσσσ====, ()()()()ac b a bc a c σσσσ====,L . 由于,,a b c 的全排列共有6 个，与3S 同构，因此4K 的全体自同构也有6 个，43Aut K S ?。 2.循环群的自同构群 定理2 （1）无限循环群的自同构群是一个2阶循环群； （2）n 阶循环群的自同构群是一个阶的群，其中()n ? 是欧拉函数（即小于n 且与n 互素的正整数的个数）。 证明 由于在同构映射下，循环群的生成元与生成元相对应， 而生成元的对应关系完全决定了群中其它元素的对应关系。

近世代数学习系列二 群(续)

近世代数学习系列二群 近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。 群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a?b或者就简略记为ab。乘法被要求满足下面三个条件： 1.结合律。a? ( b?c ) = ( a?b ) ?c 2.存在单位元e，对任意元a都有e?a = a?e = a 3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a?a-1 = a-1?a = e 如果这乘法还满足交换律a?b = b?a，则把这群称为加群或Abel群。这时更多地把演算写成加法。群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。显然 ( a-1 ) -1 = a。 在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。有一种结构就有保持这种结构的映射。从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。

S3,S4的自同态和自同构(近世代数)

题目：S3，S4的自同态和自同构学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 姓名： 学号： 指导教师： 时间： 2012年6月17日

摘要 本文讨论了三次对称群S3和四次对称群S4各自所拥有的子群，以及找出S3，S4各自的自同态，自同构，检验各自的子群在自同态和自同构下是否保持不变。 关键词: 对称群，子群，不变子群，自同态，自同构。 一、S 4和S 4 的子群：

假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同态映射存在，我们就说，这个映射是一个同态满射，并说，对于代数运算 和 来说，A与A同态。 假如对于代数运算 和 来说，有一个A到A的同构映射存在，我们就说，对于代数运算 和 来说，A与A同构。 S 3 ={(1),(12),(13),(23),（123），（132）}， S 4 ={(1)， (12),(34),(13),(24)，（14），(23)， (123),(132),(134),(143),(124),(142),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. 其中,在S 3 里，(1)、(12) 、(13) 、(23)的逆元就是它们自己本身, （123）与（132）互为逆元。 在S 4 里，(1) 、(12) 、(34) 、(13) 、(24) 、（14）、(23) 、(12)(34) 、(13)(24) 、(14)(23) 的逆元就是它们自己本身，（123）与（132）互为逆元，(134)与(143)互为逆元, (124)与(142) 互为逆元，(234)与(243) 互为逆元，(1234)与(1432) 互为逆元，(1243)与(1342) 互为逆元，(1324)与(1423) 互为逆元。 S 3的子群有H 1 ={（1）}， H 2 ={（1），（12）}， H 3 ={（1），（13）}， H 4 ={（1），（23）} ， H 5 ={（1），（123），（132）}， H 6=S 3 。 其中H 1和H 6 为S 3 的平凡子群。

循环群的性质研究

淮北师范大学 2012届学士学位论文 循环群的性质研究 学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向高等代数 学生姓名潘帅 学号20081101142 指导教师姓名张波 指导教师职称讲师 2012年4月3日

循环群的性质研究 潘帅 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 设G是一个群，a G ，如果群G中的每一个元素都能写成元素a的乘方的形式，则称G是一个循环群，循环群是近世代数中的一个重要内容，也是一类基本研究明白的群，本文主要讨论了循环群的相关性质及其应用。 文中首先介绍了群的相关基础知识，由此引出循环群的定义和它的相关性质，讨论了循环群及其元素，子群间的关系，然后利用循环群的基础理论讨论了循环群的同态、同构，并给出了循环群的自同构群是交换群的结论。 关键词：循环群，子群，同构，自同构群

Study on the Properties of Cyclic Groups Pan Shuai (School of Mathematical science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000 ) Abstract Let G be a group, a G ∈. If every element can be written the form n a where ∈, then the group is a cyclic group. Cyclic groups is an important content in the n Z+ algebra, also a kind of group was nearly researched understand, this subject mainly discussed the cyclic group related properties and application. The basic knowledge of relevant firstly be introduced in this subject, then drawn out the definitions of circulation and some related properties, discussed the cyclic group and its elements, even the relations between the subgroup, and used the circulation of the foundation of the theory to discuss the circulation about the homomorphism and isomorphism, lastly made us know the conclusions what automorphism group of circulation group is an exchange of group. Keywords：cyclic group, subgroup, isomorphism, automorphism group