数学建模-主成分分析法模板(新)

数学建模主成分分析方法

主 成分分析方法 地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息事实上，这种想法是可以实现的，这里介绍的主成分分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。 一、主成分分析的基本原理 主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。假定有n个地理样本，每个样本共有p个变量描述，这样就构成了一个n×p阶的地理数据矩阵：

111212122212p p n n np x x x x x x X x x x ???=????L L L L L L L （1） 如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性呢要解决这一问题，自然要在p 维空间中加以考察，这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需要进行降维处理，即用较少的几个综合指标来代替原来较多的变量指标，而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。那么，这些综合指标（即新变量)应如何选取呢显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。 如果记原来的变量指标为x 1，x 2，…，x p ，它们的综合指标——新变量指标为z 1，z 2，…，zm （m≤p)。则 11111221221122221122,,......................................... ,p p p p m m m mp p z l x l x l x z l x l x l x z l x l x l x =+++??=+++????=+++?L L L （2）

数学建模-主成分分析法模板

根据主成分分析的方法，分析……的数据。步骤如下： Step 1：为了消除不同变量的量纲的影响，首先需要对变量进行标准化，设检测数据样本共有n 个，指标共有p 个，分别设1X ,2X ,p X ，令ij X (i=1,2,…,n;j=1,2,…,p)为第i 个样本第j 个指标的值。作变换 ) Var(X )E(X X Y j j j j -= (j=1,2,…,p) 得到标准化数据矩阵j j ij ij s x x y -= ，其中∑==i 1i ij j x n 1x ,∑=-=n 1 i 2j ij 2 j )x x (n 1s Step 2：在标准化数据矩阵p n ij )y (Y ?=的基础上计算p 个原始指标相关系数矩阵 ??? ??? ????? ???==?pp 2 p 1p p 22221p 112 11p p ij r r r r r r r r r )r (R ΛM M M M Λ Λ 其中，∑∑∑===----= n 1 k n 1 k 2 j k j 2i k i n 1 k j k j i k i ij )x x ()x x () x x )(x x (r (i,j=1,2,…,p) Step 3：求相关系数矩阵R 的特征值并排序0p 21≥λ≥≥λ≥λΛ,再求出R 的特征值相应的正则化特征向量)e ,,e ,e (e ip i21i i K =，则第i 个主成分表示为各指标k X 的组合∑=?=p 1i k ik i X e Z 。 Step 4：计算累积贡献率确定主成分的数目。主成分i Z 的贡献率为 )p ,,2,1i (w p 1 k k i i Λ=λ λ= ∑= 累计贡献率为 ) p ,,2,1i (p i 1 k k Λ=λ∑=

数学建模各种分析报告方法

现代统计学 1.因子分析(Factor Analysis) 因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。 运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。 2.主成分分析 主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。 主成分分析和因子分析的区别 1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。 2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。 3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。 4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。 5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。在主成分分析中，成分的数量是一定的，一般有几个变量就有几个主成分。 和主成分分析相比，由于因子分析可以使用旋转技术帮助解释因子，在解释方面更加有优势。大致说来，当需要寻找潜在的因子，并对这些因子进行解释的时候，更加倾向于使用因子分析，并且借助旋转技术帮助更好解释。而如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，则可以使用主成分分析。当然，这中情况也可以使用因子得分做到。所以这中区分不是绝对的。 总得来说，主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。(screening the data),b,

数学建模-主成分分析法模板

根据主成分分析的方法，分析 ……的数据。步骤如下： Step 1为了消除不同变量的量纲的影响，首先需要对变量进行标准化，设检测 数据样本 共有n 个，指标共有p 个，分别设X i ,X 2,X p ，令 X j (i=1,2,…,n;j=1,2,…,p)为第i 个样本第j 个指标的值。作变换 X 乂」已心“,…,p ) Var(X j ) Step 2：在标准化数据矩阵Y (y j )np 的基础上计算p 个原始指标相关系数矩阵 R (r j )pp r 11 *2 r 21 r 22 r 1p r 2p r p1 r p2 r pp n (X ki X i )(x kj X j ) 其中，r j k 1 (i j=1 2 -?? p) n n ( I,J=I ,2, ,p) (X ki X i ) (X X j )2 .k 1 k 1 Step 3:求相关系数矩阵 R 的特征值并排序1 2 p 0,再求出R 的特征 值相应的正则化特征向量 e i (e i1 , e i2 , ,e ip ) ， 则第i 个主成分表示为各指标X k p 的组合Z i e ik X k i 1 Step 4：计算累积贡献率确定主成分的数目。主成分 累计贡献率为 (i 1,2, ,p) 得到标准化数据矩阵y j X ij S j 仝，其中X j 2 X j ,S j n i i (X j X j )2 n i i w i i p k k 1 (i 1,2, ,p) 乙的贡献率为

般取累计贡献率达85%~95%的特征值 1, 2 , m 所对应的第1、第2,…, 2 / 5 第m (m W p )个主成分 Step 5:计算主成分载荷，确定综合得分。当主成分之间不相关时，主成分载荷 是主成分 和各指标的相关系数，相关系数越大，说明主成分对该指标变量的代 表性就越好，计算公式为 l j P ( Z i ,xj ... i e j (i,j 1,2, ,p) Step 6:各主成分的得分，确定综合评分函数。得到各主成分的载荷以后，可以 计算各主 成分的得分 m 则第i 个样本的综合得分f i W k Z ik (i=1,2,…,n); k 1 附件中共有28个月的数据，这里仅随机选择 2005年4月的数据来说明利 分析进行水质综合评价的过程(同理可进行其他月份的数据分析)。 调用MATLAB 统计工具箱princomp 函数，格式为： [pc,score,late nt,tsquare]=pri ncomp(i ngredie nts) 其中in gredie nts 指标准化后的样本指标矩阵，pc 是指各主成分关于指标的线性 组合的系数矩阵，score 为各主成分得分，late nt 是方差矩阵的特征值，tsquare 为 Hotelling T 2 统计量。 各种指标的相关系数矩阵: Z i 111 X i l 12 X 2 l 1p X Z 2 1 21 X 1 1 2 2 X 2 2p X p m1X 1 1 m 2X 2 m p X p Z (Z j )n Z 11 Z 12 Z 21 Z 22 Z 1 m Z 2m ，其中z ij 表示第i 个样本第j 个主成分得分, Z n1 Z n2 z nm

主成分分析在数学建模中的应用

第一讲 主成分分析在数学建模中的应用 1.学习目的 1、理解主成分分析的基本思想; 2、会用SAS 软件编写相关程序,对相关数据进行主成分分析; 3、会用SAS 软件编程结合主成分分析方法解决实际问题。 2.学习要求 1、理解主成分分析的基本原理,掌握主成分分析的基本步骤; 2、会用SAS 软件编写相关程序,对相关数据进行分析处理与假设检验; 3、撰写不少于3000字的小论文; 4、 精读一篇优秀论文。 3. 理论基础 3. 1基本思想 在实际问题的研究中,往往会涉及众多的变量。但就是,变量太多不但会增加 计算的复杂性,而且也给合理地分析问题与解释问题带来困难。一般来说,虽然每个变量提供了一定的信息,但其重要性有所不同,而在很多情况下,变量间有一定的相关性,从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人们希望对这些变量加以“改造”,用为数较少的互不相关的新变量来反映原来变量所提供的绝大部分信息,通过对新变量的分析达到解决问题的目的。主成分分析就就是在这种降维的思想下产生的处理高维数据的方法。 3、2 基本原理 (1)、总体的主成分 定义1、设'12(,,)X X X =p …,X 为P 维随机向量,称' i i Z a X =为X 的第i 主成分(i=1,2,… P),如果: (1) ' 1(1,2,);i i a a i ==…,p (2) 当i>1时,' 0(1,2,);i j a a j ==∑…i-1 (3) ''' 1,0(1,) ()max ()j i a a a a j Var Z Var a X ====∑…i-1 定理1、设' 12(,,)X X X =p …,X 就是P 维随机向量,且()D X =∑,∑的特征值为

主成分分析在数学建模中的应用

第一讲 主成分分析在数学建模中的应用 1．学习目的 1.理解主成分分析的基本思想； 2.会用SAS 软件编写相关程序，对相关数据进行主成分分析； 3.会用SAS 软件编程结合主成分分析方法解决实际问题。 2．学习要求 1.理解主成分分析的基本原理，掌握主成分分析的基本步骤； 2.会用SAS 软件编写相关程序，对相关数据进行分析处理和假设检验； 3.撰写不少于3000字的小论文； 4. 精读一篇优秀论文。 理论基础 1基本思想 在实际问题的研究中，往往会涉及众多的变量。但是，变量太多不但会增加计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般来说，虽然每个变量提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人们希望对这些变量加以“改造”，用为数较少的互不相关的新变量来反映原来变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。主成分分析就是在这种降维的思想下产生的处理高维数据的方法。 基本原理 （1）.总体的主成分 定义1.设' 12(,,)X X X =p …,X 为P 维随机向量，称' i i Z a X =为X 的第i 主成分（i=1,2,…P ），如果： (1) ' 1(1,2,);i i a a i ==…,p (2) 当i>1时，' 0(1,2,);i j a a j ==∑…i-1 (3) ''' 1,0(1,) ()max ()j i a a a a j Var Z Var a X ====∑…i-1 定理 1.设' 12(,,)X X X =p …,X 是P 维随机向量，且()D X =∑， ∑的特征值为 120p λλλ≥≥≥≥…，12,,p a a a …,为相应的单位正交特征向量，则X 的第i 主成分为 'i i Z a X = (1,2,).i =…,p

主成分分析训练题

主成分分析在数学建模 中的应用 朱宁 2012年11月13日

第一讲 主成分分析在数学建模中的应用 1．学习目的 1.理解主成分分析的基本思想； 2.会用SAS 软件编写相关程序，对相关数据进行主成分分析； 3.会用SAS 软件编程结合主成分分析方法解决实际问题。 2．学习要求 1.理解主成分分析的基本原理，掌握主成分分析的基本步骤； 2.会用SAS 软件编写相关程序，对相关数据进行分析处理和假设检验； 3.撰写不少于3000字的小论文； 4. 精读一篇优秀论文。 3. 理论基础 3. 1基本思想 在实际问题的研究中，往往会涉及众多的变量。但是，变量太多不但会增加 计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般来说，虽然每个变量提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人们希望对这些变量加以“改造”，用为数较少的互不相关的新变量来反映原来变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。主成分分析就是在这种降维的思想下产生的处理高维数据的方法。 3.2 基本原理 （1）.总体的主成分 定义 1.设'12(,,)X X X =p …,X 为P 维随机向量，称' i i Z a X =为X 的第i 主成分 （i=1,2,…P ），如果： (1) ' 1(1,2,);i i a a i ==…,p (2) 当i>1时，' 0(1,2,);i j a a j ==∑…i-1

(3) ''' 1,0(1,) ()max ()j i a a a a j Var Z Var a X ====∑…i-1 定理 1.设' 12(,,)X X X =p …,X 是P 维随机向量，且()D X =∑，∑的特征值为 120p λλλ≥≥≥≥…，12,,p a a a …,为相应的单位正交特征向量，则X 的第i 主成分为 'i i Z a X = (1,2,).i =…,p 定义 2.我们称1 / p k i i λλ =∑为主成分k Z 的贡献率；又称 1 1 /p m k i k i λλ ==∑∑为主成分 1,,()m Z Z m p <…的累计贡献率。记()ij σ∑=，12(,)p diag λλλΛ=…，其中 12p λλλ≥≥≥…为∑的特征值，12,,p a a a …,是相应的单位正交特征向量，记正交矩阵 12(,,).p A a a a =…,主成分'1(,)p Z Z Z =…，其中'(1,2,).i i Z a i ==…,p 则总体主成分有如 下的性质： 性质1. ()D Z =Λ，即P 个主成分的方差为：()(1,2,)i i Var Z i λ==…,p ，且它们是互不相关的。 性质2. 1 1 p p ii i i i σ λ===∑∑，通常称1 p ii i σ=∑为原总体X 的总方差（或称总惯量）。 性质3.主成分k Z 与原始变量i X 的相关系数(,)k i Z X ρ为 (,)k i ik Z X ρ= (,1,2,)k i =…p 并把主成分k Z 与原始变量i X 的相关系数称为因子负荷量。 性质4. 2 2 11(,)1(1,2,)p p k ik k i k k ii a Z X i λρσ=====∑∑…,p 。 性质5. 2 1 (,)(1,2,).p ii k i k i Z X k σ ρλ===∑…,p 若记2()()i i i i E X Var X μσ==，，即令 *i i i i X X μσ-= = (1,2,)i =…,p 这时标准化后的随机向量***'12(,,)X X X =*p …X 的协方差阵* ∑就是原随机向量X 的相 关阵R 。从相关阵R 出发求主成分，记主成分向量为***'1(,,)p Z Z Z =…，则* Z 有与总体主

数学建模主成分分析方法

主成分分析方法 地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。 变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性， 而且在许多实际问题中， 多个变量之间是 具有一定的相关关系的。 因此，我们就会很自然地想到， 能否在各个变量之间相关关系研究 的基础上，用较少的 新变量代替原来较多的变量， 而且使这些较少的新变量尽可能多地保留 原来较多的变量所反映的信息？事实上， 这种想法是可以实现的， 这里介绍的主成分分析方 法就是综合处理这种问题的一种强有力的方法。 一、主成分分析的基本原理 主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来 看，这是一种降维处理技术。 假定有n 个地理样本，每个样本共有p 个变量描述，这样就构 成了一个nxp 阶的地理数据矩阵： X 21 X 22 lb IO X n1 X n2 如何从这么多变量的数据中抓住地理事物的内在规律性 呢？要解决这一问题，自然要在 维空间中加以考察， 这是比较麻烦的。为了克服这一困难，就需 要进行降维处理， 的几个综合指标来代替原来较多的变量指标， 而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映 原来较多指标所反映的信息，同时它们之间又是彼此独立的。 那么，这些综合指标 (即新变 量)应如何选取呢？显然，其最简单的形式就是取原来变量指标的线性组合，适当调整组合 系数，使新的变量指标之间相互独立且代表性最好。 如果记原来的变量指标为 X 1, X 2,…，X p ,它们的综合指标 (m< p)。贝U Z 1 I 11X 1 1必川， l 21X 1 I 22X 2 川，JpX p Z m l m1 X 1 1 m2 X 2 ， I mp X p ( ?) 在(2)式中，系数|ij 由下列原则来决定： (1) Z i 与 Z j (i 艺ji , j=1, 2,…，m)相互无关； (2) Z 1是X 1 , X 2,…，X p 的一切线性组合中方差最大者； Z 2是与Z 1不相关的X 1, X 2,…，X p 的 所有线性组合中方差最大者； ；Z m 是与Z 1 , Z 2, m-1都不相关的X 1, X 2,…，X p 的所有 线性组合中方差最大者。 这样决定的新变量指标 Z 1, Z 2,…，zm 分别称为原变量指标 X 1, X 2,…，X p 的第一，第二，…, 第m 主成分。其中，Z 1在总方差中占的比例最大， Z 2, Z 3,…，Z m 的方差依次递减。在实际 问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分， 这样既减少了变量的数目， 又抓住了主要矛盾， 简化了变量之间的关系。 从以上分析可以看出，找主成分就是确定原来变量 X (j=1, 2,…，p)在诸主成分zi(i=1, 2,…, m)上的载荷l ij(i=1 , 2,…，m ; j=1, 2,…，p),从数学上容易知道， 它们分别是X 1, X 2,…, X p 的相关矩阵的 m 个较大的特征值所对 应的特征向量。 二、主成分分析的计算步骤 通过上述主成分分析的基本原理的介绍，我们可以把主成分分析计算步骤归纳如下： X 11 X 12 Xi p X 2p II I (1) P 即用较少 新变量指标为 Z 1, Z 2,…，zm l 1p X p Z 2

数学建模 聚类分析因子分析实例

多元统计分析中的降维方法在四川省社会福利中的应用 由于计算机的发展和日益广泛的使用，多元分析方法也很快地应用到社会学、农业、医学、经济学、地质、气象等各个领域。在国外，从自然科学到社会科学的许多方面，都已证实了多元分析方法是一种很有用的数据处理方法；在我国，多元分析对于农业、气象、国家标准和误差分析等许多方面的研究工作都取得了很大的成绩，引起了广泛的注意。在许多领域的研究中，为了全面系统地分析问题，对研究对象进行综合评价，我们常常需要考虑衡量问题的多个指标（即变量），由于变量之间可能存在着相关性，如果采用一元统计方法，把多个变量分开，一次分析一个变量，就会丢失大量的信息，研究结果也会偏差很大。因此需要采用多元统计分析的方法，同时对所有变量的观测数据进行分析。多元统计分析就是一种同时研究多个变量之间的相互关系，经过对变量的综合处理，充分提取变量之间的信息，进行综合分析和评价的统计方法。多元统计分析法主要包括降维、分类、回归及其他统计思想。 一．多元统计分析方法中降维的方法 1.概述 多元统计分析方法是同时对多个变量的观察数据做综合处理和分析。在不损失有价值信息的情况下，简化观测数据或数据结构，尽可能简单地将被研究对象描述出来，使得对复杂现象的解释变得更容易些。同时，采用多元统计分析中的聚类分析或判别分析可以对变量或样品进行分类与分组。根据所测量的特征和分类规则将一些“类似的”对象或变量分组。多元统计分析也可以研究变量间依赖性。即对变量间关系的本质进行研究。是否所有的变量都相互独立?还是一个变量或多个变量依赖于其他变量?它们又是怎样依赖的?通过观测变量数据的散点图，我们可以建立多元回归统计模型，确定出变量之间具体的依赖关系，进而可以根据某些变量的观测值预测另一个或另一些变量的值对事物现象的发展作预测。最后我们需要构造假设，并对所建立的以多元总体参数形式陈述的多种特殊统计假设进行检验。 在多元统计分析方法中数据简化或结构简化，实质上就是数学中的降维方法。多元统计分析中的降维方法主要包括聚类分析、判别分析、主成分分析、因子分析、对应分析和典型相关分析等几种方法。其中主成分分析和因子分析是在作综合评价方面应用最广泛、较为有效的方法。本文主要介绍这两种多元统计分析方法的应用。 2 主成分分析 2.1主成分分析的基本思想 在大部分实际问题中，需要考察的变量多，变量之间是有一定的相关性的，主成分分析就是以损失很少部分信息为代价，保留绝大部分信息的前提下， 将原来众多具有一定线性相关性的p个指标压缩成少数几个互不相关的综合指 标（主成分），并通过原来变量的少数几个的线性组合来给出各个主成分的具有实际背景和意义的解释。由于主成分分析浓缩了众多指标的信息，降低了指标的

主成分分析在数学建模中的应用

第一讲 主成分分析在数学建模中的应用 1．学习目的 1.理解主成分分析的基本思想； 2.会用SAS 软件编写相关程序，对相关数据进行主成分分析； 3.会用SAS 软件编程结合主成分分析方法解决实际问题。 2．学习要求 1.理解主成分分析的基本原理，掌握主成分分析的基本步骤； 2.会用SAS 软件编写相关程序，对相关数据进行分析处理和假设检验； 3.撰写不少于3000字的小论文； 4. 精读一篇优秀论文。 3. $ 4. 理论基础 3. 1基本思想 在实际问题的研究中，往往会涉及众多的变量。但是，变量太多不但会增加 计算的复杂性，而且也给合理地分析问题和解释问题带来困难。一般来说，虽然每个变量提供了一定的信息，但其重要性有所不同，而在很多情况下，变量间有一定的相关性，从而使得这些变量所提供的信息在一定程度上有所重叠。因而人们希望对这些变量加以“改造”，用为数较少的互不相关的新变量来反映原来变量所提供的绝大部分信息，通过对新变量的分析达到解决问题的目的。主成分分析就是在这种降维的思想下产生的处理高维数据的方法。 基本原理 （1）.总体的主成分 定义1.设'12(,,)X X X =p …,X 为P 维随机向量，称' i i Z a X =为X 的第i 主成分（i=1,2,… P ），如果： (1) ' 1(1,2,);i i a a i ==…,p (2) 当i>1时，' 0(1,2,);i j a a j ==∑…i-1 (3) ''' 1,0(1,) ()max ()j i a a a a j Var Z Var a X ==== ∑…i-1

定理 1.设' 12(,,)X X X =p …,X 是P 维随机向量，且()D X =∑，∑的特征值为 120p λλλ≥≥≥≥…，12,,p a a a …,为相应的单位正交特征向量，则X 的第i 主成分为 ; 'i i Z a X = (1,2,).i =…,p 定义 2.我们称1 / p k i i λλ =∑为主成分k Z 的贡献率；又称 1 1 /p m k i k i λλ ==∑∑为主成分 1,,()m Z Z m p <…的累计贡献率。记()ij σ∑=，12(,)p diag λλλΛ=…，其中 12p λλλ≥≥≥…为∑的特征值，12,,p a a a …,是相应的单位正交特征向量，记正交矩阵 12(,,).p A a a a =…,主成分'1(,)p Z Z Z =…，其中'(1,2,).i i Z a i ==…,p 则总体主成分有如 下的性质： 性质1. ()D Z =Λ，即P 个主成分的方差为：()(1,2,)i i Var Z i λ==…,p ，且它们是互不相关的。 性质2. 1 1 p p ii i i i σ λ===∑∑，通常称1 p ii i σ=∑为原总体X 的总方差（或称总惯量）。 性质3.主成分k Z 与原始变量i X 的相关系数(,)k i Z X ρ为 (,)k i ik Z X ρ= (,1,2,)k i =…p 并把主成分k Z 与原始变量i X 的相关系数称为因子负荷量。 性质4. 2 2 11(,)1(1,2,)p p k ik k i k k ii a Z X i λρσ=====∑∑…,p 。 性质 5. 21 (,)(1,2,).p ii k i k i Z X k σ ρλ===∑…,p 若记2()()i i i i E X Var X μσ==，，即 令 *i i i i X X μσ-= = (1,2,)i =…,p . 这时标准化后的随机向量***'12(,,)X X X =*p …X 的协方差阵* ∑就是原随机向量X 的相 关阵R 。从相关阵R 出发求主成分，记主成分向量为***'1(,,)p Z Z Z =…，则* Z 有与总体主

数学建模之主成分分析法

主成分分析 主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中的变异的几个新变量，即所谓主成分，并用以解释资料的综合性指标。 1、主成分分析的应用 （1）我国各地区普通高等教育发展水平综合评价。 （2）投资效益的分析和排序等。 2、主成分分析法的步骤 ①对原始数据进行标准化处理 用12,,,m x x x 表示主成分分析指标的m 个变量，评价对象有n 个，ij a 表示第 i 个评价对象对应于第j 个指标的取值。将每个指标值ij a 转化为标准化指标ij a ，即 ,(1,2,,;1,2,,)ij j ij j a a i n j m s μ-=== 式中：11n j ij i a n μ==∑，21 1()1n j ij j i s a n μ==--∑ 相应地，标准化指标变量为 ,(1,2,,)j j j j x x j m s μ-== ②计算相关系数矩阵R ()ij m m R r ?= 1,(,1,2,,)1 n ki kj k ij a a r i j m n =?==-∑ 其中：1,ii ij ji r r r ==，ij r 是第i 个指标和第j 指标之间的相关系数。 ③计算相关系数矩阵的特征值与特征向量

解特征方程0=-R I λ，得到特征值(1,2,,)i i m λ= 12,0m λλλ≥≥≥≥ ；再求出相对应的特征值i λ的特征向量(1,2,,)i u i m = ，其中12(,,,)T j j j mj u u u u = ,由特征向量组成的m 个新的指标变量为 11112121212122221122m m m m m m m mm m y u x u x u x y u x u x u x y u x u x u x =+++??=+++????=+++? 其中：1y 为第1主成分，2y 为第1主成分，?，m y 为第m 主成分 ④选择p （p ≤m ）个主成分，计算综合评价值。 （1）计算特征值(1,2,,)j j m λ= 的信息贡献率和累积贡献率 用j b 表示主成分i y 的信息贡献率，则有 1(1,2,,)j j m k k b j m λλ ===∑ 用p a 表示主成分12,,,p y y y 的累积贡献率，则有 11p k k p m k k a λλ ===∑∑ 若p a 接近于1（一般p a 的范围为85%—95%）时，则用前p 个指标变量12,,,p y y y 作为p 个主成分，代替原来m 个指标变量，再对p 个主成分进行综合分析。 ⑤计算综合得分 用j b 表示第j 个主成分的信息贡献率，则有 1p j j j Z b y ==∑ 根据综合得分值进行评价。 例题： 高等教育是依赖高等院校进行的，高等教育的发展状况主要体现在高等院校的相关方面。遵循可比性原则，从高等教育的五个方面选取十项评价指标，具体如图1。

最新数学建模之主成分分析法

精品文档主成分分析主成分分析的主要目的是希望用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，通常是将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。即所谓主成能解释大部分资料中的变异的几个新变量， 选出比原始变量个数少，分，并用以解释资料的综合性指标。、主成分分析的应用1）我国各地区普通高等教育发展水平综合评价。（1 ）投资效益的分 析和排序等。（2、主成分分析法的步骤2①对原始数据进行标准化处理xx,,x,a表示第n个，用表示主成分分析指标的m个变量，评价对象有m12ij aa，转化为标准化指标i个评价对象对应于第j个指标的取值。将每个指标值 ijij 即 ??a jij)mj?1,2,,,(i?1,2,,na?;ij s j ??2??，式中：)??a?s(a jjijjij1?nn1?ii?1相应地，标准化指标变量为 nn11 ??x jj)m1,2,,(x?,j?j s j ②计算相关系数矩 阵R R?(r)mmij?n??aa kjki 1k?,(ir?,j?1,2,,m)ij n?1 r?1,r?rr是第i个指标和第j其中：指标之间的相关系数。，ijjiiiij③计算相关系数矩阵的特征值与特征向量 精品文档． 精品文档 ?????0???,(i?1,2,,m)?0?I?R再求解特征方程得到特征值，；m2i1?T),m?u(i1,2,，其中的特征向量出相对应的特征值由特,,,uuu)?(u, iijmjj21j m征向量组成 的个新的指标变量为 xuux??y?ux??m21m112111 ?xx??uy?ux?u?m2m2212122 ?

? ?x?uux??yux??m2mmmm1m21 m yyy 为第1主成分，?，其中：主成分为第1主成分，为第 m12）（≤④选择pp个主成分，计算综合评价值。m?),m(j?1,2, 1）计算特征值的信息贡献率和累积贡献率（j y b用的信息贡献率，则有表示主成分 ij?j )?1,2,?b,m(j jm??k1?k y,,y,ay用的累积贡献率，则有表示主成分p12pp ??k1?k?a pm??k1k?—aa个指标变量85%的范围为）时，则用前95%若接近于1（一般p pp m yy,,,y 个主成分进个主成分，代替原来个指标变量，再对作为pp p12行综合分析。 ⑤计算综合得分b个主成分的信息贡献率，则有用j表示第jp?y?Zb jj1j?根据综合得分值进行评价。例题：高等教育的发展状况主要体现在高等院校的高等教育是依赖高等院校进行的，具体如相关方面。遵循可比性原则，从高等教育的五个方面选取十项评价指标，1图。精品文档． 精品文档 《中国统计年鉴，1995》和《中国教育统计年鉴，1995》除以各地区相应的人xx为每十万人为每百万人口高等院校数；口数得到十项指标值见表1。其中：21xx 为每十万人口高等口高等院校毕业生数；为每十万人口高等院校招生数；43xx为每十万人口高等院校为每十万人口高等院校教职工数；院校在校生数；65xx为平均每所高等院校的在校为高级职称占专职教师的比例；专职教师数；87xx为生均教生数；为国家财政预算内普通高教经费占国内生产总值的比重；109育经费。

数学建模常用模型方法总结

数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析

贝叶斯统计模型时间序列分析模型决策树 逻辑回归

传染病模型 马尔萨斯人口预测模型 微分方程模型 人口预测控制模型 经济增长模型 Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型 差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型数据包络分析 综合评价与决策方法 灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典 NP 问题模型 路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型 神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷