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高中理科数学解题方法竞赛篇(解析几何).doc

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高中数学解析几何问题研究

x 2 y 2

题 1. Let point M movealong the ellipse 9

,and point F be its

right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is. (ellipse 椭圆； focus 焦点； coordinate 坐标 ) （第十四届高二第二试第 18 题）

x 2 y 2

译文：点 M 是椭圆

上一点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P （6，2），那

么 3|MF|-|MP| 的最大值是

，此时点 M 的坐标是.

x 2

y 2 1

在椭圆

解

中，

Q D a

9,b

8 ，则 c 2

1, c 1 ，

G 所以椭圆的右焦点 F 的坐标

c 1

-3

O 1

9 x

a 3 ，

为（1，0），离心率

a 2 9

l : x

右准线

，显然点

x 2

y 2

P （6，2）在椭圆

的外部 . 过点 P 、M 分别作 PG ⊥ l

于 G ，MD ⊥ l

于 D ，

过点 P 作 PQ ⊥MD 于 Q ，由椭圆的定义知，

3|MF|-|MP|=|MD|- |MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3 ，当且仅当点 P 位于线段

MD 上，即点 P 与 Q 点重合时取等号 . 由点 P 位于线段 MD 上，MD ⊥ l

及点 P （6，2），

x 02 4

1 知点 M 的纵坐标为 2，设 M 的横坐标为

x 0

，即 M （

x 0

，2），则有

8 ，解

3 2

x 0

，因此 3|MF|-|MP| 的最大值是 3，此时点 M 的坐标是（ 2 ，2）. 得

评析若设点 M 的坐标为 (x,y) ，则可将 3|MF|-|MP| 表示成 x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将

3|MF|-|MP| 转化为 ||MD|-|MP| ，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程 .

拓展将此题引伸拓广，可得

x 2

y 2 1(a b

定理 M 是椭圆 E ： a 2

b 2

上的动点， F 是椭圆 E 的一个焦点， c

为

椭圆 E 的半焦距， P （ m,n ）为定点 .

a 2

若点 P 在椭圆 E 内，则当 F 是右焦点时， e |MF|+|MP| 的最小值是 c

；当 F

是左焦

a 2

点时， e |MF|+|MP| 的最小值是 c

若点 P 在椭圆 E 外，则

a 2

F 是右焦点，且 0≤m ≤ c ，|n| ≤b 时， e |MF|-|MP| 的最大值是

a 2

F 是右焦点，且 m>

c .

，|n| ≤b 时， |MP|- e

|MF| 的最小值是

a 2

F 是左焦点，且

c ≤m ≤0，|n| ≤b 时， e |MF|-|MP| 的最大值是

a 2

a 2 F 是左焦点，且 m ≤

，|n| ≤b 时， |MP|- e

|MF| 的最小值是 c .

简证 1 、如图 1，作 MN ⊥右准线 l 于 N ，PQ ⊥l 于 Q ，由椭圆定义， |MN|= e

|MF|.

a 2

∴ e |MF|+|MP|=|MN|+|MP| ≥|PQ|=

，当且仅当 P 、M 、Q 三点共线，且 M

a 2

在 P 、Q 之间时取等号 . 如图 2，同理可证 e

|MF|+|MP||=|MN|+|MP|

≥|PQ|= m

c ，

当且仅当 P 、M 、Q 三点共线，且

P M Q

m F

F m

图 1

图 2

M 在 P 、Q 之间时取等号 .

a 2

如图 3， e

|MF|-|MP|=|MN|- |MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|= m

，当且仅当 P

位于线段 MN 上，即 P 与 R 重合时取等号 .

a 2

如图 4，|MP|- e

|MF|=|MP|- |MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|= m

，当且仅当 P 位于直

c 线 MN 上，即点 P 与 Q 重合时取等号 .

m M

N Q

R N

F m x

图 3 图 4

a 2

如图 5， e |MF|-|MP|=|MN|- |MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|= c

，当且仅当 P

位于线段 MN 上，即 P 与 R 重合时取等号 .

a 2

如图 6，|MP|- e |MF|=|MP|- |MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=

，当且仅当 P 位于

N R M

Q N

F O x

图 5

图 6

直线 MN 上，即点 P 与 Q 重合时取等号 .

题 2 已知双曲线 x

关于直线 x-y=1 对称的曲线与直线 x+2y=1 相切，

则 k 的值等于

（）

A 、

B 、 3

C 、

（第十五届高二培训题第 19 题）

解设点 P （x0,y0 ）是双曲线 x 2

y 2

上任意一点，点 P 关于直线 x-y=1 的

对称点为

x x 0

y y 0 1

y y 0

P ’（ x,y ）, 则 2

①，又 x

x 0

②，解①、②联立方程组得

x 0

y 1

y 0 x

③. ∵P 点在双曲线

x 2

k 上，∴

x 0

y 02 k

④. ③代入④，得

( y 1) 2 (x 1) 2

k ⑤，此即对称曲线的方程，由 x+2y=1，得 x=1-2y`, 代入⑤

并整理，得 3 y 2

2 y k 1 0

. 由题意，△ =4-12 （ k-1 ）=0，解得 k= 3

，故选 B.

评析解决此题的关键是求出对称曲线的方程 . 由于对称曲线与直线相切，故由 △=0 便可求得 k 的值 . 拓展关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1 、点（ x0,y0 ）关于 x 轴的对称点是（ x0,-y0 ）. 2、点（ x0,y0 ）关于 y 轴的对称点是（ -x0, y0 ）. 3、点（ x0,y0 ）关于 y=x 的对称点是（ y0,x0 ）. 4、点（ x0,y0 ）关于 y=-x 的对称点是（ -y0,-x0 ）. 5、点（ x0,y0 ）关于 y=x+m 的对称点是（ y0-m,x0+m ）. 6、点（ x0,y0 ）关于 y=-x+n 的对称点是（ n-y0,n-x0 ） .

7、点（ x0,y0 ）关于直线 Ax+By+C=0的对称点是（ x,y ），x,y 是方程组 A

x 0 x 1

y 0 y 1

c 0

A( y 0 y 1 ) B( x 0 x 1 )

的解 .

根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=x+m 对称的曲线的方程是 f(y-m,x+m)=0.

F 1

, F

是双曲线

x 2

的左、右焦点，

A, B

两点在右支上，且与

在同

一条直线上，则

F 1 A F 1B

的最小值是

____________. C

（第四届高二第二试第 15 题）

x 2

双曲线 x

,即 3

解

，如图，

F2x

A, B

在双曲线右支上，

AF 1

AF 2 2 3 ,

BF 1

BF 2 2 3, 故当 AF 2

BF 2 取得最小值时， AF 1 BF 1 也取最小值 . 设

是双曲线对应于 F

的准线，

l , BD

, 垂足为

C, D

，则由双曲线定义可知

AF 2

e AC , BF 2

eBD

，而

BD 2 MN

，其中 MN 是梯形 ACDB 的中位

3 1

2 ，这时，

取得最小值

线，当

ABF 1

时， MN 取最小值

2e MN

4 2 14

3 , 从而

取最小值 3

评析解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现 AF 2

，

即

e( ACBD )

，亦即

2eMN

最小时， F 1

F 1 B

也最小，并能知道 AB F 1F 2

时

最小（这点请读者自己证明） . 本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，

双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用

拓展将本题中的双曲线一般化，便得

x 2 y 2

、

是双曲线 a

A, B

两点在右支上，且与

定理

的左、右焦点，

2b 2

a .

在同一条直线上，则

F 1 A F 1B

的最小值是仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者） .

3 2 12

14 3 用此定理可知本题中的最小值为

题

方程 x 2 2

y 2 2

| x y 3 | 表示的曲线是

( )

A 、直线

、椭圆

、双曲线

、抛物线

（第十二届高二培训题第

23 题）

解法1 由

x 2

y 2 2

| x y

3 |

的两边平方并整理得

2xy 10x 2 y 1 0 . 令 x

u v, y u

，则

2 u v u

v 10 u v 2 u v 1 0

，

整理得

2u 2 8u 8 2v 2 12v 18 9 ，

即 2 u 2 2 2 v 3 2 9

，故已知方程表示双曲线，选 C. x 2 y 22 | x y 3 |

2 2

解法 2 已知方程就是 2 ，由双曲线的第二定

义，可知动点 P x, y

到定点（2，2）的距离与到定直线

x y 3 0

的距离比为 2 ，

因为2 1

，所以选 C.

评析根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方

程或直线方程 . 显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy . 如何消去乘积项便成了问题的关键. 解法 1 表明对称换元是消去乘积项的有效方

法 .

解法 2 从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表

示的曲线是到定点（ 2，2）的距离与到定直线x y30

的距离之比为

的动

点x, y

的轨迹，根据双曲线定义选 C.显示了发现与联想在解题中的作用 .

拓展将此题一般化，我们有下面的

定理若x a 2 y b 2 | Ax By C |

（ A、B、 C、 a、 b 为常数，且 A、 B

不全为零），则

（1）当0

A2 B 2 1时，方程表示

a, b

为一个焦点，直线

Ax By

C 0为相

应准线的椭圆 .

（ 2）当 A2 B2 1时，方程表示a,b

为一个焦点，直线

Ax By C 0

为相应

准线的双曲线 .

（3）当 A2 B2 1 且 Aa Bb c 0 时，方程表示过点a,b

且与直线

Ax By C 0

垂直的直线 .

（4）当 A2 B2 1 且 Aa Bb c

0 时，方程表示a, b为焦点，直线

Ax By C 0

为准线的抛物线 .

读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理 .

，则动点 A x

, x 1

题 5. 已知x

与点 B（ 1， 0）的距离的最小值是

_________.

（第七届高二第一试第 23 题）

x 1

1 0

1 2

解法 1

由已知得

1 2

2 x

2 3

x x

将此式看作以

1, 1 1

, 这表明该二次函数的定

为自变量的二次函数，

1 2

义域是

该函数在 2,

上是增函数，

当

时，

2 2 2

1, AB m i n 1

m i n

2 .

x tan ,

x 1

tan

1 2

2csc2

解法 2

x tan

sin2

令

，则

x 1

1 2 , x

1 tan

1 2 2cot 2 .

x x

tan

tan 2

2csc 2

2cot 2 2

8csc 2

2 4csc 2

8 csc 2

1 7.

1 2

min

当 csc2

，即

8 1

时，

解法 3

设

（ t

）,两式平方并相减，得

B x 2

y 2

4(x 2, y 0), 即动点 A 的轨迹是双曲线

2 y 2

O1 2x

的右半支在 x 轴上方的部分（含点（ 2，0）），由图知 |AB|min=1.

评析所求距离 |AB| 显然是 x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数

的复合函数，在定义域 1,

上的最小值并不好求，解法 1 根据 |AB| ≥0，通过

平方，先求

| AB |

| AB |min

2 ，并将

，再求 |AB|min=

看作一个整体，将原

问题化为求二次函数在 2,

上的最值问题；解法 2 通过三角换元，把求 |AB|min

的问题转化为求关于

csc2

的二次函数在

的最小值问题，整体思想、转化思想

使得问题化繁为简，化生为熟；解法 3 则求出点 A 的轨迹，从图形上直观地

看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用 . 许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前 .

题 6. 抛物线

x 2 上到直线

x y 2 0

的距离最小的点的坐标是

________

．

（第九届高二培训题第 27 题）

解法 1 设抛物线 y

x 2 上的点的坐标是 x, x 2 ，则它到直线

x y 2 0

的距离

是

x x 2

2 (x 1 )

2 2 4

时 d

最小，此时

，当 2 4

. 故所求点的坐标

1 , 1

是

解法 2 如图，将直线

y 2

0 平移至与抛物线

x 2 相切，则此时的切点即

为所求点 . 设切线方程为

x k ，代入 y x 2 ，得

k 0 . 由

o ，即 1

4k 0 ，得

. 解

y=x2 y

x 2

x 1

-2

1 , 1

y x y

-2

4 得

. 故所求点的坐标是

2 4 .

解法 3

设所求点的坐标为 P

x 0

, y 0

，则过点 P 的抛物线的

y y 0 x 0 x

，故 2x 0

1 ，

切线应与直线 x y 2

平行 . 而其切线方程为

x 0

1 y 0 x 0

2 1

故所求点的坐标为 1 , 1

2 .

4 . 2 4 .

评析解法 1 由点线距离公式将抛物线上的任意一点 x, x 2

到直线

x y

2 0

的距离 d

表示成 x

的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何

中的运用 .

解法 2 运用数形结合思想发现与直线 x

y 2 0 平行的抛物线 y x 2

的切线的

切点就是所求点，设切线方程为

后运用方程思想求出

，进而求出切

点坐标 .

解法 3 则设切点为 P x 0 , y

0 ，直接写出过二次曲线f x, y 0 上一点 P x 0

, y 0

的切线方程，由切线与已知直线平行 . 两斜率相等，求出切点坐标 . 解法 2、3 不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.

解法 3 涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：

定理过抛物线 y

ax 2 bx c 上一点 P x 0 , y 0

的切线方程是

y 0 ax x b x

x 0 c

2 0

2 .

证明

设过点 P

x 0 , y 0 的抛物线 y ax 2

bx c

的切线的方程为

y y 0 k x x 0 ①.

y /

2ax b ，

k y / x

x 0

2ax 0 b ，代入①得 y

y 0

2ax 0 b x

x 0 ，

y 0 2ax 0 b x x 0

2 y 0

y y 0

x x 0

②. 点

2 ， 2

ax 0 x b 2

y 0 ax 0

x 0 , y 0 在抛物线

ax 2 bx

上， y 0

ax 02 bx 0

c ， y 0

ax 02

bx 0

，代

y y 0 ax 0 x b x x 0 c

入②，得切线方程为 2

2 .

拓展观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的

, y 2

x 0 x

，

分别换成

y 0 y

，把 x, y 分别换成

x 0

x , y

2 2 便得切线方程 . 事实上，对于一般二次曲线，

有下面的定理 .

定理

过二次曲线

Ax 2

Bxy Cy 2 Dx Ey

F 0 上一点 Ρ x 0 , y 0 的该曲线

Ax xB

x 0

y xy

x E

F 0

的切线方程是

0 2

运用该定理必须注意点 Ρ

x 0

, y

在曲线上 .

例求过点

2,3 的曲线 2x

3xy 4 y 2 4 x 8 y 30

的切线的方程 .

解经验证，点 2,3 在曲线 2x

3xy 4 y

4x 8 y 30

上，根据上面的定理，

所求切线方程为

2 2x 3

2 y 3x

4 3 y 4 2 x 8

3 y

30 0

，即

13 x 22 y 92 0.

题 7

在抛物线

2 4x 上恒有两点关于直线 y kx

3 对称 , 则 k 的取值范围

是.

(

第十五届高二培

训题第 71 题)

解法 1设两点 B

x 1

, y

、C

x 2

, y

关于直线

对称，直线 BC 的方程为

ky m

，将其代入抛物线方程

4x ，得 y

4ky

4m 0

. 若设 BC 的中点

y 1 y 2

y 0

. 因为 M 在直线

kx 3

上，所以

为 M

x 0

, y

，则

k 2k

m 3.

2k 3 2k 2

2k 3

，因为 BC 与抛物线相交于两个不同点，所以

16k 2

16 m

. 再将

的式子代入，经化简得

k 3 2k

，即

k 1 k 2

k 3

0 ，因为 k

k 3

，所以 1 k 0 .

y 1 y 2

8k 3

8k 12 解法 2 由解法 1 ，得 y 1

. 因为

4k ，

y 1 2

y 1 y 2 4k

8k 3

8k 12

1 k 0 .

，所以

，解得

解法 3设 B

x 1

, y

、C

x 2

, y

是抛物线 y

上关于直线

kx 3

对称的两

点，且 BC 中点为 M

x 0

, y 0

因为

4x 1 , y 2 2 4 x

，所以

y 1 2

4 x 2x

，

y 2

y 1 y 1 y 2 4

2 y 0

4, y 0

即 x 2

x 1

kx 0

,所以

，所以 k

. 又 y 0

x 0

2k 3

在抛物线 y

4x 的内部，所以 y

，即

, 因为 M

x 0

, y

2k 2 4

，解得 1 k 0 .

解法 4 设 B 、C 是抛物线 y

上关于直线

对称的两点， M 是 BC

中

点 . 设 M x 0 , y 0 ， B x, y ， C 2x 0

x,2 y 0

y , 则 y

4x ① ，

2 y 0

y 2

4 2x 0 x ②. ①- ②，得 2x y 0 y y 0

2x 0

0 ③. 因为点 M x 0 , y 0 在

直线

kx 3 上，

y 0

kx 0 3

④.④代入③得直线 BC 的方程为

x 0 ,

2x 0

2x kx 0 3 y

kx 0

3 2

2x 0 0

，故直线 BC 的方向向量

为

kx 0 3 ，

同理得直线

的方向向量

x 0 , kx 0 . 因为直线 BC 与直线

3垂

2x 0

直，所以 p v 0

，即 x 0 ,

kx 0

3 x 0 , kx 0 0

，化简得 x 0 2 kx 0 2k

kx 0 3

，得

2k 3

或

（舍去） . 显然

，解得

x 0

2k 3

, y 0

kx 0 3

2k . 因为 M x 0 , y 0 在抛物线 y

的内部，所以

2k 2

4 2k 3

k 3

2k 3 0, ( k

1)(k 2

k 3)

y 0 2

，即

，

又

k 2

k 3

，所以 1 k 0 .

评析定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围 . 这是解析几何中一类常见的问题 . 解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.

解法 1 运用二次方程根的判别式，解法 2 运用均值不等式，解法 3、4 运用抛物

线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于

的不等式，这其中，韦达定

理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于 k 的

不等式起了积极作用 .

练习若抛物线 y

ax 2

上总存在关于直线

对称的两个点，则实数

的取值

范

围

是（）

1 ,

3 ,

1 , 3

A 、

B 、

、 4

、

4 4

答案： B

题 8 抛物线 y

的一条弦的倾斜角是

, 弦长是

4csc 2

, 那么这种弦都经过

一定点 , 该定点是．

（第十三届高二培训

题第 73 题）

解法 1 设弦过点

M (a,0)

，则弦所在的直线是

k( x

，k tan

， 90 ，

y 2 a)

k y 2 y ak

，即

代入抛物线方程，消去 x

得 4

．

(

弦

cot 2

4 16a

1 cot 2

16a

长

)2=

(1 )

tan 2

csc 2 16cot 2

16a

=16 csc

，即 16cot

16a 16csc 2

16 16cot 2

，由此得 a

1 ．

x a

x a 当

90 时，弦所在直线方程为

x a (a

0) ，弦长为 4．由 y 2

4x ，得 y

2 a

或

x a

．又由弦长

4 ，得 a

1 ．

综上，这些弦都经过点（ 1，0）．

解法 2 由题意，对任意都得同一结论，故运用特殊化思想解．

4csc 2

x a (a 0) ，代入

令

，则弦长为

，此时弦所在直线方程为

4x ，得 y 2

4a ， y

2 a

．由题设， 4 a 4，即 a 1 ．所以

时，

弦所在直线方程为

x 1

．

4csc 2

y b x 1 ，得

再令

，则弦长为 4

，设此时弦所在直线方程为

x y 1 b ，代入 y 2

4x 并整理，得 y

4y 4b

4 0

，弦长

1 1 ( y1 y

2 ) 2 4 y1 y2 2 16 4(4b 4) 8

，解得 b

0，所以 4

x 1

时，弦所在直线方程为y x 1．解y x 1

，得定点为（ 1，0）．

评析题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若确定，则以为其倾斜角的弦的长

也确定，变化，则以为其倾斜角的弦的长也变化．但不论怎样变化，这样的弦都

过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．

由题设可知0 ，故解法 1 设弦过点( a,0) ，并分直线的斜率存在与不存在两类

情形，根据弦长是4csc2 ，直接求出 a 1 ．从而说明不论为何值，弦总过定

点（ 1，0）．这是合情合理的常规思维．

然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦

的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法 2 分别令

2 与 4 ，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点

为 (1,0) ，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特

7 3

殊也正确．”至于解法2中为什么令

2 与 4 ，而不令13与

25，

主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．

应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．

拓展原题中弦长 4 csc2 中的 4 恰好为抛物线方程中的2 p

，而答案中的定点

(1,0) 又恰好为抛物线 y2 4x

的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研

究，这并非巧合，而是一个定理 .

定理若抛物线 y 2 2 px ( p 0)

的弦 PQ 的倾斜角为，则 PQ 2p csc2 的充

分必要条件是 PQ经过抛物线的焦点F (

, 0)

2 ．

证明先证必要性 :

由已知，可设 PQ 的方程为y k ( x

a) (k tan , 90 ) ，代入 y2 2 px ，得

k 2 x2

2( k2 a p)x k 2 a 2 0 ①．由已知及弦长公式得

(1 k 2 ) (x1 x2 ) 2 4 x

2② ．将①的两根之和与积代入②，得

1 k

2 2

p csc

p 2apk

，从而得 p 2 csc 4

tan 4

sec

（ p

2ap tan 2 ），

a p

F (

, 0)

时，结论也成立．

解得

2 ，即知 PQ

过焦点

．容易验证当

再证充分性：

k( x

tan

, 90 )

由已知可设

的方程为 ) ( k

y 2

2 px ，得

，代入

4k 2 x 2 4 p( k 2 2) x

k 2 p 2

③，将③的两根之和与积代入②得

PQ 2 p csc 2

．容易验证当

时，结论也成立．

应用该定理，可解决下面的问题：

1．斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2

的焦点，与抛物线相交于 A 、B 两点，求

线段 AB 的长．

2．

是经过抛物线

y 2 4ax (a 0)

焦点 F 的弦，若 PQ

b ，试求△ POQ 的面

积（ O

是坐标原点）．（91 年全国高中联赛题）

3．

是经过抛物线

y 2 4x

焦点 F 的弦， O 是抛物线的顶点，若△

POQ

的面积

为 4，求

的倾斜角

．（98 年上海高考题）

答案： 1. 8 2.

3. 30 或 150

题 9 长为 l (l

的线段 AB 的两端在抛物线

x 2 上滑动，则线段 AB 的中点 M

到 x

轴的最短距离等于.

（第 13 届高二第二试第 20 题）

解设 AB 的中点为 M （

x, y

），点 A 的坐标为（

, y

），由对称性知 B 的坐

( x )2

① ,

( x

② ,

( l )2

标为

, y

，于是有以下关系成立：

③ .

①+② ，得 y x

④，-②，得

2 x ⑤.将④、⑤代入③，得

l 2

l 2 x

1 [

l 2

)

( y

x )(1 4x )

4 x 2 )

4x 2 )

(1 4x

4 ，即

4(1

4 (1

，因为

u x

a 2

(a x

1 4x 2

l (l

0, x 0),

时, u 有最小值 , 当

x a

时 ,

是单调增加的 . 又

当

l 2

1), y 关于 x

是单调增加的 , 所以 , 当

x 0

时 , y

取得最小值 4

评析点 M 到 x

轴的最短距离显然就是点 M 的纵坐标的最小值 . 巧妙利用对称性，设出点 M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关

系式，这又有何用处呢？我们要求的是

的最小值，现在却出现了四个

变量

x 、 y 、、，能否消去

、

从而得到

y f (x)

，再求其最小值呢？果然，可以

、

l 2 x 2 消去，得到

4(1 4x 2 ) ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想

方法） . 若变形为

l 2 4x 2

16x 4

x 2

4 16 x

，再令

，得到

y l 2 4u 16u 2

16u 2

(4 16 y)u l 2 4y

0(u

⑦，则可由方程⑦有非

4 16u

负实数解求出 y

的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂 . 能否用别

的什么方法呢？考虑到 ⑥ 式中的

1 4x

，故将⑥式变形为

1 l 2

l 2

[

1 4x 2

(1 4x ) 1]

⑧，由于1

4x 2 与 1 4x 2

的积是定值，故当

l 2

时, 有 y 最小值 .. 然而，因为

1 4 x 2

2 ，即

1，所以 1 4x 2

l ，

0时，

min

l 2

即 1 4x 2

取不到 l

，故由函数⑧为

x 2

的单调增函数，可知当

4 .

f (x) x

a 2 ( a 0)

0, 则当 x a 时 ,

f ( x)

取得最小值

注：形如

的函数，若

2a ；若

a (

b b0 ), 则

f ( x)

单调递增 ,

f ( x)min

f (a

b) ；若

0 x

b( 0 b , a) f ( x)

则

单调递减， f (x) min

f (a b)

.( 请读者自己证明该结论 )

拓展将此题推广，可得

定理 1 长为l

的线段 AB 的两端在抛物线

2 py( p

上滑动，线段 AB 的中

点 M到x

轴的距离为

，则

0 l 2 p时， d min l 2

;

当8 p

当 l 2p时， d min l

, d max l 2

2 8 p .

证明由题意，直线 AB 的斜率k

存在 . 设

A( x1 ,

2), B( x2,

2 ), M ( x

0 , y0 ),

2 p 2 p 则

x12 x22

AB 2 p 2p

x1 x2

x2 2py

x1 x2 x0

y y0 x0

(x x0 ) y y0

(x x0 )

2p p

，所以直线 AB的方程为p p

，由，2x02

，因为点 M在抛物线的内部，即

x02

消去y

，得 x2 2 x0 x 2 py0 2p ，

所以

（4 2py0 x02） 0

，又

x1 x2 2 ,x0 x1 2 x22 x20

所

p 0 y

，以2

l 1 x

2 | x1 x2 | p

1 p

2 x02 ( x1 x2 )2 4x1x2 2 p2 x02 2 py0 x02

p p . 于是

d y0 p 2 l x02 ,

8( p2 x 2 ) x0

2 p

对求导数，得0

' pl 2

( 2 ) x

[1 )

p2l 2

]

8 p 1 x0 ( 0

0 2 2 2

2 p 4( p x0 )

x02 )2 [2( p 2 2 pl ]

[ 2( p 2

4p( p2 x0 ) x02 ) pl ] .

（1）若0

（抛物线的通径长），令

，得

，易知

，是 d

min

l 2

x 0

AB y 8 p

的唯一极小值点，所以当

（即轴）时，

；

，得

x 0

2 p(l 2 p)

，易知当

x 0 0

时，

（ 2）若

2 p

，令

d x

0 或

l 2 x 0

2 p(l

2 p) l

max

时， d

min

2 .

8 p ；当

l 2

令定理中的 2 p 1 ，由定理的结论（ 1）可知本赛题的答案为 4

此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强 . 这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁 . 用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡 .

此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：

x 2 y 2 1(a b

定理 2

已知 A 、 B 两点在椭圆

a 2

上滑动， |AB| =

，线

段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 d

，则

当 2b 2 l 2a 时， d max a( 2a l )

a 2 a 2

b 2

（ 1）

；

（ 2）当 l

2b 2 时， d max

a 4

b 2 l 2 .

x 2 y

1(a,b 0)

定理 3

已知 A 、B 两点同在双曲线

a 2

b 2

的右（或左）分支上滑

动， |AB| = l ，线段 AB 的中点 M 到 y 轴的距离为 d

，则

当l 2b 2 时， d min

a(2a l )

（ 1）

2 a 2 b 2 ；

2b 2 时， d min

a 4

b 2 l 2

（ 2）当

为证定理 2、3，可以先证

引理在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短 .

ep l

证明设圆锥曲线的极坐标方程为

ecos

，其中 e

表

示圆锥曲线的离心率，

表示焦点 F 到对应准线 l

的距离，设 AB 是圆锥曲线过焦

点 F 的弦，且 A ( 1

), B( 2 ,

) ，

ecos ，所以 | AB | 1

因为

1 ecos

1 ecos(

) 1 2

ep ep

2ep

1 ecos + 1 ecos

= 1 e 2 cos 2 . 当

2 ，即当 AB 与对称轴 x

轴垂直时，

| AB |min

2ep

，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短

下面运用引理证明定理 2 .

a 2 证明（1）不妨设椭圆的右焦点为 F （

c,0

），A 、M 、B 三点到右准线 c 的距

离分别是

t 1、 t 、 t 2，则 t t 1

由椭圆的第二定义知： |AF|=

，

|BF|= et 2 (e c )

a ，

|AF|+|BF|

|AB|= l

，所以 t l

2b 2 ,当 l 2b 2 时，

. 又过焦点的弦最小值为

线段

AB 可以过焦点 F ，当 AB 过焦点 F 时， t

有最小值

，因此

a(2a l ) a( 2a l )

d m a x

2 a 2 b 2

当 l

2b 2 时，

（ 2）

线段 AB 不可能过焦点 F ，但点 M

总可以在过 F 垂直于 x

轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△ AFM 中，设 ∠AMF= ，由余弦定理知

| AF |2 | FM |2 | AM |2

2 | FM || AM |cos

M t x

| FM |2

l 2 cos

在 △BFM

，中，

|BF|2

|FM |

1 l

2 1

l 2

cos

|AF |

| BF |2 2 | FM |2

l 2

，所以

（2|AF| 2

| FM | t

a 2 c

b 2

|FM |

| BF | ） l

，所以

，又

1 2

） l 2

b 2

（2|AF|

|BF|

①，无论线段 AB 在什么位置，不等式①都成

立

又

（2|AF| 2

） l 2

（|AF |

l 2

(t 1 t 2 ) 2

l 2

2 2

, 故

|BF | |BF |）

4e t

l t

2 2

1 2

b 2

a 2

a 4

b 2

l 2

e t

③，当线段 AB 垂

②. 解此不等式，得

直于 x

轴且在焦点 F 的右侧时，不等式 ① 、 ② 、 ③ 都取等号，此时

t min a

a 4

b 2 l

max

a 2

( a 2

a 4

b 2 l 2 ) a

4b 2 l 2

， c

. 仿此亦可证明定理 1、3，不再赘述 .

题 10

动圆 M 过定点 A 且与定圆 O

相切，那么动圆

M 的中心的轨迹是

（）

A 、圆

B 、圆，或椭圆

C 、圆，或椭圆，或双曲线

D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线

（第三届高二第二试第 10 题）

解动圆 M 、定点 A 、定圆 O

, 这三者的位置关系有 5

种可能，如图⑴～⑸：

在情形⑴： A 在圆

上，这时动圆 M 与定圆

相切于 A ，所以 M 点的轨迹是过

O, A

的一条直线 .

在情形⑵： A 与

重合，这时动圆 M 在定圆

的内部，与它内切，所以 M 点的

轨迹是以

为圆心，以定圆

的半径的一半为半径的圆 .

在情形⑶： A 在定圆

的内部但不重合于 O 点，动圆 M 过 A 且与定圆 O 内切，

这时动点 M 与定点 O 、 A 的距离的和是

MA ( R x)

（定值），其

中的 R 、x

分别表示定圆 O 、动圆 M 的半径 . 可知点 M 的轨迹是以 O

、A 为焦点，

R 为长轴长的椭圆 .

在情形⑷： A 在定圆

的外部，动圆M 过 A 且与定圆

外切，这时

MO MA

(R x) x R

（定值） . 可知 M 的轨迹是以 O 、 A 为焦点， R 为实

轴长的双曲线的一支 .

在情形⑸： A 在定圆

的外部，动圆M 与定圆

内切，这时

x ( x

（定值）

. 可知 M 点的轨迹也是以

O, A

为焦点 . R 为

实轴长的双曲线的一支（和情形 4 对应的另一支） .

综上，可知选 D.

评析分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想 . 分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏 . 此题的关键是要搞清全部情形有 5 种，然后再分别求动圆中心的轨迹 . 运用二次曲线的定义大大简化了解题过程 .

应当指出，当点 A 在圆

上时，动圆 M 的中心的轨迹是直线

，但应除去点 O 、

A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除

A, B, C,

而选 D

，这样就更快捷了

2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何

9．解析几何（含解析）一、选择题【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知 24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（） A ．( B ．( C ．( D ．( 【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 【2014，10】已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（） A ． 72 B ．52 C ．3 D ．2 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12 x ± D ．y ＝±x 【2013，10】已知椭圆E ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22 =1189 x y +

高中数学解析几何测试题答案版(供参考)

解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是（） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l

A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22

高考数学考点解析及分值分布

高考数学考点解析及分值分布 1．集合与简易逻辑。分值在5～10分左右（一道或两道选择题），考查的重点是抽象思维能力，主要考查集合与集合的运算关系，将加强对集合的计算与化简的考查，并有可能从有限集合向无限集合发展。简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别。 2．函数与导数，函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线。在高考中，至少三个小题一个大题，分值在３０分左右。以指数函数、对数函数、生成性函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）、反函数问题常常是选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。函数与导数的结合是高考的热点题型，文科以三次（或四次）函数为命题载体，理科以生成性函数（对数函数、指数函数及分式函数）为命题载体，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立问题为设置条件，与不等式、数列综合成题，是解答题试题的主要特点。 3．不等式;一般不会单独命题，会在其他题型中“隐蔽”出现，分值一般在10左右。不等式作为一种工具广泛地应用在涉及函数、数列、解几等知识的考查中，不等式重点考五种题型：解不等式（组）；证明不等式；比较大小；不等式的应用；不等式的综合性问题。选择题和填空题主要考查不等式性质、解法及均值不等式。解答题会与其它知识的交汇中考查，如含参量不等式的解法（确定取值范围）、数列通项或前n项和的有界性证明、由函数的导数确定最值型的不等式证明等。 4．数列：数列是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，所以在历年的高考解答题中都占有重要的地位．题量一般是一个小题一个大题，有时还有一个与其它知识的综合题。分值在20分左右，文科以应用等差、等比数列的概念、性质求通项公式、前n项和为主；理科以应用Sn或an之间的递推关系求通项、求和、证明有关性质为主。数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的工具，三者综合的求解题与求证题是对

高中数学解析几何小题精选(带详解)

解析几何综合练习【学习目标】通过习题的练习，熟练答题技巧，同时进一步巩固所复习的知识点。【重点】基础知识和基本方法的的掌握。【使用说明与学法指导】快速准确的解答所有习题，把答案写到指定位置，并把不会的习题做好标记，以便与老师和同学讨论。时间120分钟，分值150分。【我的疑惑】题号： 1.椭圆22 14 x y m + =的焦距是2，则m =（） A ．5 B ．3 C ．5或3 D ．2 2.两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B C D 3.点()2,1P -为圆()2 2125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为( ) A ．10x y +-= B ．230x y +-= C ．250x y --= D ．30x y --= 4.已知椭圆221(0,0)x y m n m n +=>>的长轴长为10，离心率3 5e =，则椭圆的方程是（） A.2212516x y + =或2211625 x y += B.221169x y + =或22 1916 x y += C.221259x y + =或22 1925 x y += D. 22110025x y +=或22 125100 x y += 5.与直线32:+=x y l 平行，且与圆044222=+--+y x y x 相切的直线方程是( ) A ．05=±-y x B ．052=+-y x C ．052=--y x D ．052=±-y x 6．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（） A B 7．若直线==++=-++a y ax ay x a 则垂直与直线,01202)1(2（） A ．－2 B ．0 C ．－2或0 D ．222± 8．已知直线()11y k x -=-恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=(,0)m n >上，则11 m n +的最小值为（） A.2 B. 12 C.4 D.14 9．椭圆1322=+ky x 的一个焦点坐标为)10(，，则其离心率等于（） A. 2 B. 21 C. 332 D. 2 3 10．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N k 的取值范围是（） A.??????-0,43 B. []+∞???????-∞-,043, C. ?? ????-33,33 D. ??? ???-0,32 11．已知直线1:10l ax y -+=与2:10l x ay ++=,给出如下结论： ①不论a 为何值时,1l 与2l 都互相垂直; ②当a 变化时, 1l 与2l 分别经过定点A(0,1)和B(-1,0); ③不论a 为何值时, 1l 与2l 都关于直线0x y +=对称; ④当a 变化时, 1l 与2l 的交点轨迹是以AB 为直径的圆(除去原点). 其中正确的结论有（） A ．①③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

高中数学解析几何常考题型整理归纳

高中数学解析几何常考题型整理归纳题型一 :圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常考题型 . 22 【例 1】（1）已知双曲线 a x 2－ y b 2＝1（a >0，b >0）的一个焦点为 F （2， 0），且双曲线的渐近线与圆（x － 2）2 ＋y 2＝3 相切，则双曲线的方程为（ 22 A.x2－y2＝1 A. 9 －13＝ 2 C.x 3－y 2＝1 22 （2）若点 M （2，1），点 C 是椭圆 1x 6＋y 7 22 （3）已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0）与抛物线 y 2＝2px （p >0）有相同的焦点 F ，P ，Q 是椭圆与抛物线的交点， ab 22 若直线 PQ 经过焦点 F ，则椭圆 a x 2＋ y b 2＝1（a >b >0）的离心率为 ___ . 答案（1）D （2）8－ 26 （3） 2－ 1 22 解析（1）双曲线 x a 2－y b 2＝1 的一个焦点为 F （2，0），则 a 2＋ b 2＝ 4，① 双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x ， a 由题意得 22b 2＝ 3，② a 2＋b 2 联立①② 解得 b ＝ 3，a ＝1， 2 所求双曲线的方程为 x 2－y 3 ＝1，选 D. （2）设点 B 为椭圆的左焦点，点 M （2，1）在椭圆内，那么 |BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a ，所以 |AM| ＋|AC|≥2a －|BM|，而 a ＝4，|BM|＝（2＋3）2＋1＝ 26，所以（|AM|＋ |AC|）最小＝8－ 26. ) 22 B.x － y ＝1 B.13－ 9 ＝1 2 D.x 2 －y 3＝1 1 的右焦点，点 A 是椭圆的动点，则 |AM|＋ |AC|的最小值为

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习2018高三专题复习-解析几何专题

高中数学椭圆常考题目解题方法及练习 2018高三专题复习-解析几何专题（2）第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数()a 2(大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆. 两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距()c 2. 椭圆的几何性质:以()0122 22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122 22≤≤b y a x ，即 b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题. 2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。 3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： ()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、-- 4. 长轴、短轴： 21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长. 5. 离心率（1）椭圆焦距与长轴的比a c e = ，()10,0<<∴>>e c a （2）22F OB Rt ?,2 22 22 22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率. （3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越

(完整)高中数学解析几何解题方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 A:常规题型方面（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。典型例题给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1 2 1221-=，x y 22 22 2 1-=。两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121 2 0+-- +-=。又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y y y x x - --=·。又k y y x x y x = --=--12121 2 ，代入得2402 2 x y x y --+=。当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2402 2 x y x y --+= 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ；（2）求|||PF PF 13 23 +的最值。

高中数学解析几何练习题

解析几何练习题一选择题 1.椭圆 18 162 2=+y x 的离心率为（） A. 31 B. 21 C. 33 D. 2 2 2.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（） A. 1 2 B.1 C.2 D.4 3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是( ) A 28y x =- B 28y x = C 24y x =- D 24y x = 4.双曲线13 62 2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r=( ) A 3 B 2 C 3 D6 5.已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点。若 FB FA 2=,则k= A. 31 B 32 C 32 D 3 22 6中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（） C 2 D 2 7过点)0,1(且与直线022=--y x 平行的直线方程是（） A 012=--y x B 012=+-y x C 022=-+y x D 012=-+y x 8若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（） A 22(5x y += B 22(5x y += C 2 2 (5)5x y -+= D 2 2 (5)5x y ++=

9若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（） A [-3 ，-1 ] B[ -1 ， 3 ] C [ -3 ，1 ] D （- ∞ ，-3 ] U [1 ，+ ∞ ） 10若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A 45 B 35 C 25 D 15 11.若点O 和点F 分别为椭圆3 42 2y x +的中心和左焦点，点P 为椭圆上点的任意一点，则FP OP ?的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8 12已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA PB ? 的最小值为（） A 4-+ B 3- C 4-+ D 3-+13已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（） A 1x = B 1x =- C 2x = D 2x =- 14设圆C 与圆x 2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为 A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 15已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A 34 B 1 C 54 D 74 16已知椭圆22122:1x y C a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线22 2:14 y C x - =有公共的焦点C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于,A B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则（） A 2a = 132 B 2a =13 C 2 b =12 D 2 b =2 17.在平面直角坐标系xoy 中，直线0543=-+y x 与圆42 2 =+y x 相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于 A. B. D.1

高中数学解析几何知识点总结

高中数学解析几何知识点总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

§0 7. 直线和圆的方程知识要点一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是 )0(1800παα ≤≤. 注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y a x . 注：若23 2--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是23 2--=x y ，但若 )0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. （一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则 1l ∥212k k l =?，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9．圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

高中数学解析几何习题精选

高中数学解析几何习题精选第三部分·解析几何一、选择题： 1、直线3y 3x =+的倾斜角是＿＿＿＿＿＿。 A ． 6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 2、直线m 、l 关于直线x = y 对称，若l 的方程为1x 2y +=，则m 的方程为＿＿＿＿＿。 A ．21x 21y +-= B ．2 1x 21y --= C ．21x 21y += D ．21 x 21y -= 3、已知平面内有一长为4的定线段AB ，动点P 满足|PA|—|PB|=3，O 为AB 中点，则|OP|的最小值为＿＿＿＿＿＿。 A ．1 B ． 2 3 C ．2 D ．3 4、点P 分有向线段21P P 成定比λ，若λ∈()1,-∞-，则λ所对应的点P 的集合是＿＿＿。 A ．线段21P P B ．线段21P P 的延长线 C ．射线21P P D ．线段21P P 的反向延长线 5、已知直线L 经过点A ()0,2-与点B ()3,5-，则该直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。 A ．150° B ．135° C ．75° D ．45° 6、经过点A ()1,2且与直线04y x 3=+-垂直的直线为＿＿＿＿＿＿。 A ．05y 3x =++ B ．05y 3x =-+ C ．05y 3x =+- D ．05y 3x =-- 7、经过点()0,1且与直线x 3y =所成角为30°的直线方程为＿＿＿＿＿＿。 A ．01y 3x =-+ B ．01y 3x =--或1y = C ．1x = D ． 01y 3x =--或1x = 8、已知点A ()3,2-和点B ()2,3--，直线m 过点P ()1,1且与线段AB 相交，则直线m 的斜率k 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 A ．4k 43k -≤≥ 或 B ．43k 4≤≤- C ．51k -< D ．4k 4 3 ≤≤- 9、两不重合直线0n y mx =-+和01my x =++相互平行的条件是＿＿＿＿＿＿。

高中数学解析几何大题专项练习.doc

解析几何解答题 2 2 x y 1、椭圆G：1(a b 0) 2 2 a b 的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2 四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为 5 2. （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m 与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q 为EF的中点，问E、F 两点能否关于过点P（0， 3 3 ）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． 2、已知双曲线 2 2 1 x y 的左、右顶点分别为A1、A2 ，动直线l : y kx m 与圆 2 2 1 x y 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1 (x1, y1 ), P2 ( x2 , y2) . （Ⅰ）求 k 的取值范围，并求x2 x1 的最小值；（Ⅱ）记直线P1A1 的斜率为k1 ，直线P2A2 的斜率为k2 ，那么，k1 k2 是定值吗？证明你的结论.

3、已知抛物线 2 C : y ax 的焦点为F，点K ( 1,0) 为直线l 与抛物线 C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A、 B两点，点 A 关于x 轴的对称点为 D ．（1）求抛物线C 的方程。（2）证明：点F 在直线BD 上； u u u r uu u r 8 （3）设 FA ?FB ，求BDK 的面积。．9 4、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为中点 T 在直线OP 上，且A、O、B 三点不共线． (I) 求椭圆的方程及直线AB的斜率； ( Ⅱ) 求PAB面积的最大值．1 2 ，点 P（2，3）、A、B在该椭圆上，线段AB 的

(完整)十年真题_解析几何_全国高考理科数学.doc

十年真题 _解析几何 _全国高考理科数学真题 2008-21 ．（12 分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为 l 1， l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l 1 uuur uuur uuur uuur uuur 的直线分别交 l 1， l 2 于 A ， B 两点．已知 OA 、、成等差数列，且 BF 与 FA 同向． AB OB （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4 ，求双曲线的方程． 2009-21 ．（12 分）如图，已知抛物线 E : y 2 x 与圆 M : ( x 4)2 y 2 r 2 (r ＞ 0）相交于 A 、B 、C 、D 四个点。（I ）求 r 的取值范围： (II)当四边形 ABCD 的面积最大时，求对角线 A 、 B 、 C 、 D 的交点 p 的坐标。 2010-21 (12 分 ) 已知抛物线 C : y 2 4x 的焦点为 F ，过点 K ( 1,0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D . （Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上； uuur uuur 8 （Ⅱ）设 FAgFB BDK 的内切圆 M 的方程 . ，求 9 1 / 13

2011-20 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ， B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。 2012-20 （12 分）设抛物线 C : x 2 2 py( p 0) 的焦点为 F ，准线为 l ， A C ，已知以 F 为圆心， FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点；（1）若 BFD 90 0 ， ABD 的面积为 4 2 ；求 p 的值及圆 F 的方程；（2）若 A, B, F 三点在同一直线 m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到 m, n 距离的比值。 2013-21 (12 分 ) 2 2 已知双曲线 C ： x 2 y 2 =1 (a ＞ 0， b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，离心率为 3，直线 y a b ＝2 与 C 的两个交点间的距离为6 . (1)求 a ， b ； (2)设过 F 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A ， B 两点，且 | AF | ＝| BF | ，证明： | AF | ， 2 1 1 2 | AB| ， | BF 2| 成等比数列． 2014-20 已知点 A(0，－ 2)，椭圆 E ： x 2 2 3 ， F 是椭圆 E 的右焦点， 2 y 2 =1 (a>b>0) 的离心率为 a b 2 直线 AF 的斜率为 2 3 ， O 为坐标原点 . 3 2 / 13

高中数学解析几何试题与详细解析

高一巩固提高解析几何试题1 1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（）Ａ３０° Ｂ４５° Ｃ６０° Ｄ９０° 2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 3.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）（A ）2 （B ）2 1 （C ）1 （D ）2 7 4. 点Ｍ（４，m ）关于点Ｎ（n, － 3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（）Ａ m ＝－３，n ＝１０Ｂ m ＝３，n ＝１０Ｃ m ＝－３，n ＝５Ｄ m ＝３，n ＝５ 5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ，则点N 的坐标是（） A ．)1,2(-- B ．)3,2( C ． )1,2( D ．)1,2(- 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 8．点),(m n m P --到直线1=+n y m x 的距离为（） A ．22n m ± B ．22n m - C ．22n m +- D ． 22n m + 9．若点),4(a 到直线0134=--y x 的距离不大于3，则a 的取值范围为（） A ．)10,0( B ．]10,0[ C ．]3 31 , 31[ D ．),(+∞-∞ 10. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则必有 A. k 1

高中数学解析几何大题专项练习

解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值；（Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [

3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ．（1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上；（3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、

高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)

圆锥曲线第3讲抛物线【知识要点】一、抛物线的定义平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离相等的点的轨迹叫抛物线，这个定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。注1：在抛物线的定义中，必须强调：定点F不在定直线l上，否则点的轨迹就不是一个抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线。注2：抛物线的定义也可以说成是：平面内到某一定点F的距离与它到定直线l（l F?）的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。注3：抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时，这两者可以相互转化，这是利用抛物线的定义解题的关键。二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有以下四种：（1） px y2 2= （ > p），其焦点为 )0, 2 ( p F ，准线为2 p x- = ；（2） px y2 2- =（0 > p），其焦点为 )0, 2 ( p F- ，准线为2 p x= ；（3） py x2 2= （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F ，准线为2 p y- = ；（4） py x2 2- = （ > p），其焦点为 ) 2 ,0( p F- ，准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点

抛物线的标准方程px y 22±=（0>p ）或py x 22±=（0>p ）的特点在于：等号的一端是某个变元的完全平方，等号的另一端是另一个变元的一次项，抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应：当抛物线的对称轴为x 轴时，抛物线方程中的一次项就是x 的一次项，且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向；当抛物线的对称轴为y 轴时，抛物线方程中的一次项就是y 的一次项，且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质以标准方程 px y 22 =（0>p ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：0≥x ，R y ∈；（2）顶点：坐标原点)0,0(O ；（3）对称性：关于x 轴轴对称，对称轴方程为0=y ；（4）开口方向：向右；（5）焦参数：p ；（6）焦点： )0,2(p F ；（7）准线： 2p x - =；（8）焦准距：p ；（9）离心率：1=e ；（10）焦半径：若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=（0>p ）上一点，则由抛物线的定义，有20p x PF + =；（11）通径长：p 2. 注1：抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22=

历年高考理科数学真题汇编+答案解析(6)：解析几何

历年高考理科数学真题汇编+答案解析专题6 解析几何（2020年版）考查频率：一般为2个小题和1个大题. 考试分值：22分知识点分布：必修2、选修2-1 一、选择题和填空题（每题5分） 1．（2019全国I 卷理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若 22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22 132x y += C ．22 143 x y += D ．22 154x y += 【解析】由题意，设椭圆C 的方程为22 221(0)x y a b a b +=>>. ∵22||2||AF BF =，2||3||AB BF =，又∵1||||AB BF =，12||3||BF BF =. 由椭圆的定义可知，12||||2BF BF a +=，∵13||2a BF =，2||2 a BF =，2||AF a =，1||AF a =. ∵13||||= 2 a AB BF =，∵1AF B ?为等腰三角形，在1AF B ?中，11||1cos 2||3AF F AB AB ∠= =. 而在12AF F ?中，2222221212122 12||||||22 cos 12||||2AF AF F F a a F AB AF AF a a +-+-∠===-， ∵22113 a -=，解得2=3a . ∵2 =2b ，椭圆C 的方程为22132x y +=. 【答案】B 【考点】选修2-1 椭圆 2．（2019全国I 卷理16）已知双曲线C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ?=u u u r u u u u r ，则C 的离心率为

高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ；（ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<>b a ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）.

注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -；（4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；（5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=；（6）准线方程：c a x 2 ± =；（7）焦准距：c b 2 ；（8）离心率： a c e = 且10<

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2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何

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