函数第3节 二次函数与幂函数
1. (2013浙江文7)已知,,a b c ∈R ,函数()2
f x ax bx c =++.若()()()041f f f =>,则
( ).
A. 0a >,40a b +=
B. 0a <,40a b +=
C. 0a >,20a b +=
D. 0a <,20a b +=
2(2014北京文8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用 率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足的函数关系2
p at bt c =++ (a ,b ,c 是常数),如图所示记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可 以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟
B.3.75分钟
C.4.00分钟
D.4.25分钟
函数第4节 指数与指数函数
1.(优质专题四川文8)某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:C )满足函数 关系e
kx b
y += (e = 2.718
为自然对数的底数,,k b 为常数).若该食品在0C 的保鲜时间
是192h 小时,在22C 的保鲜时间是48h ,则该食品在33C 的保鲜时间是( ). A. 16h B. 20h C. 24h D. 21h
2.(优质专题江苏7)不等式2
24x
x
-<的解集为 .
3.(优质专题山东文3)设0.60.6a =, 1.50.6b =,0.61.5c =,则a b c ,,的大小关系是( ). A. a b c <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D. b c a <<
4.(优质专题全国丙文7)已知4
3
2a =,23
3b =,13
25c =,则( ).
A.b a c <<
B.a b c <<
C.b c a <<
D.c a b << 5.(优质专题山东文10)若函数()e x f x (e 2.71828
=是自然对数的底数)在()f x 的定义域上
单调递增,则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为( ). A.()2x
f x -=
B.()2
f x x
=
C.()-3
x
f x =
D. ()cos f x x =
函数第3节 二次函数与幂函数答案
1.分析 根据条件可确定函数图象的开口方向和对称轴,化简即得.
解析 因为()()()041f f f =>,所以函数图象应开口向上,即0a >,且其对称轴为2x =,即22b
a
-
=,所以40a b +=,故选A. 2. 解析 由已知得930.71640.82550.5a b c a b c a b c ++=??++=??++=?,解得0.21.52a b c =-??
=??=-?
,
所以2
2
115130.2 1.525416
p t t t ??=-+-=--+ ???,所以当15 3.754t ==时p 最大,即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
评注 本题主要考查二次函数及配方法求最值,考查学生的计算能力,利用待定系数法求出a ,
b ,
c 是解题关键.
函数第4节 指数与指数函数答案
1.解析 由题意可得22192e 48e b
k b +?=??=??,即11192e 1e
2
b
k
?=?
?=??.
所以当33x =时,()
3
3
33111e e e 192242k b k b y +??
==?=?= ???
.故选C.
2.解析 由题意222
42x x
-<=,根据2x y =是单调递增函数,得2
2x x -<,
即()()22210x x x x --=-+<,故不等式的解集为()1,2-或写成{}12x x -<<均可.
3.C
4. A 解 4
2
3324a ==,233b =,12
33255c ==,又函数
2
3
y x
=在[0,)+∞上是增函数,所以
b a
c <<.故选A.
5.解析 对选项A ,e e 22x x
x
-???= ???,因为e 12>,所以e e 22x
x x -??
?= ???
在R 上为增函数.
故选A.
.. 2016-2017 学年度高一必修一指数函数与幂函数练考卷考试范围:基本不等式;考试时间:100 分钟;命题人:聂老师 题号一二三总分 得分 第 I 卷(选择题) 评卷人得分 一、选择题 1.化简的结果为() A. 5B.C.﹣D.﹣5 【答案】 B 【解析】=== 故选 B 2 .函数 f x a x 0 a 1 在区间 [0 , 2] 上的最大值比最小值大3 ,则a的值为 () A. 1 7 2 B. C. D. 4 3 2 2 2 2 【答案】 C 【解析】试题分析:结合指数函数的性质,当0 a 1 ,函数为减函数.则当 x 0 时, o 1 ,当 x 2 时,函数有最小值 2 2 3 函数有最大值 f (0) a f (2) a ,则1 a , 4 解得 a 2 (负舍) . 2 考点:指数函数的性质. 3.指数函数 f ( x) (a 1)x在R上是增函数,则 a 的取值范围是() A.a 1 B. a 2 C. 0 a 1 D. 1 a 2 【答案】 B 【解析】 试题分析:对于指数函数 x 1 时,函数在R上是增函数,当 0 a 1时,y a ,当 a 函数在 R上为减函数 . 由题意可知:a 1 1 即, a 2 . 考点:指数函数的性质 . 4.若函数f (x) (2m 3)x m23是幂函数,则m的值为()A.1 B.0 C.1 D.2 【答案】 A Word 完美格式
【解析】 试题分析:由题意,得 2m 3 1 m 1 ,解得 . 考点:幂函数的解析式. 5.若幂函数 y (m 2 3m 3) x m 2 的图象不过原点,则( ) A . 1 m 2 B . m 1 m 2 或 C . m 2 D . m 1 【答案】 B 【解析】 试题分析: y (m 2 3m 3)x m 2 是幂函数,则必有 m 2 3m 3 1,得 m 1 1, m 2 2 , 又函数图象不过原点,可知其指数 m 2 0 , m 1 1, m 2 2 均满足满足,故正确选项 为 B. 考点:幂函数的概念 . 【思路点睛】首先清楚幂函数的形式 f (x) x a , a 为常数,说明幂的系数必须为 1,即 可得含有 m 的方程;其次幂函数的图象不过原点,说明指数为负数或者零,即可得含 有 m 的不等式 . 在此要注意, 00 是不存在的, 也就是说指数为零的幂函数图象不过原点 . 6.设 2, 1, 1 ,1,2,3 ,则使幂函数 y x a 为奇函数且在 (0, ) 上单调递增的 a 2 值的个数为 ( ) A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 【答案】 C 【解析】 试题分析:因为 a y x 是奇函数,所以 a 应该为奇数,又在 (0, ) 是单调递增的,所 以 a 0 则只能 1,3 .考点:幂函数的性质 . 7.已知函数 ,若 ,则实数 ( ) A . B . C . 2 D . 9 【答案】 C 【解析】因为 , 所以 .
第8课 幂函数、指数函数及其性质 【考点导读】 1.了解幂函数的概念,结合函数y x =,2y x =,3 y x =,1 y x =,1 2y x =的图像了解它们 的变化情况; 2.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的单调性; 3.在解决实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型. 【基础练习】 1.指数函数()(1)x f x a =-是R 上的单调减函数,则实数a 的取值范围是(1,2). 2.把函数()f x 的图像分别沿x 轴方向向左,沿y 轴方向向下平移2个单位,得到()2x f x =的图像,则()f x =222x -+. 3.函数2 20.3 x x y --=的定义域为___R __;单调递增区间1 (,]2 -∞-;值域1 4(0,0.3]. 4.已知函数1()41x f x a =+ +是奇函数,则实数a 的取值1 2 -. 5.要使1 1 () 2 x y m -=+的图像不经过第一象限,则实数m 的取值范围2m ≤-. 6.已知函数21()1x f x a -=-(0,1)a a >≠过定点,则此定点坐标为1(,0)2 . 【范例解析】 例1.比较各组值的大小: (1)0.2 0.4 ,0.20.2 ,0.2 2 , 1.6 2; (2)b a -,b a ,a a ,其中01a b <<<; (3)131()2,1 21 ()3 . 分析:同指不同底利用幂函数的单调性,同底不同指利用指数函数的单调性. 解:(1) 0.20.200.20.40.41<<=,而0.2 1.6122<<, 0.20.20.2 1.60.20.422∴<<<. (2)01a <<且b a b -<<,b a b a a a -∴>>. (3)111 32 2111()()()223 >>. 点评:比较同指不同底可利用幂函数的单调性,同底不同指可利用指数函数的单调性;另注 意通过0,1等数进行间接分类. 例2.已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a +-+=+是奇函数,求,a b 的值;
§1.4指数运算、指数函数 【复习要点】 1.指数、对数的概念、运算法则; 2.指数函数的概念, 性质和图象. 【知识整理】 1.指数的概念;运算法则:n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2.指数函数的概念, 性质和图象如表: 其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4.会求函数y =a f (x)的单调区间。 5.含参数的指数函数问题,是函数中的难点,应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1]4 3的结果为 ( ) A.5 B.5 C.-5 D.-5 2.将322-化为分数指数幂的形式为 ( ) A .2 1 2- B .3 12- C .2 12 - - D .6 52-
3.下列等式一定成立的是 ( ) A .2 33 1 a a ?=a B .2 12 1a a ?- =0 C .(a 3)2=a 9 D .6 13121a a a =÷ 4.下列命题中,正确命题的个数为 ( ) ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2-a +1)0=1 ③y x y x +=+3 433 4 ④623)5(5-=- A .0 B .1 C .2 D .3 5.化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ???????????????????,结果是 ( ) A .1 1 321122--? ?- ? ?? B .1 132 12--??- ??? C .1 3212-- D .1321122-??- ??? 6 .4 4 等 于 ( ) A .16a B .8a C .4a D .2 a 【例题选讲】 1.设3 2212 ,-==x x a y a y ,其中a >0,a ≠1,问x 为何值时有 (1)y 1=y 2 ? (2)y 1<y 2? 2.比较下列各组数的大小,并说明理由 (1)431.1,434.1,3 21.1 (2)4 316.0- ,2 35 .0- ,8 325.6 (3)5 32 )1(+a ,4 32 )1(+a 3.已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7,43],试确定x 的取值范围. 4.设01a <<,解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++->
一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:
a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-.
实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)
【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.
【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====
指数运算和指数函数 要求层次重点难点幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概 念和运算性质 ②无理指数幂的理 解 ③实数指数幂的意 义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 在理解实数指数幂 的意义的前提下理 解指数函数 指数函数的图象和 性质 C ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ①对于底数1 a>与 01 a <<时指数函 数的不同性质 ②掌握指数函数的 图象和运算性质 ③掌握指数函数作 为初等函数与二次 函数、对数函数结 合的综合应用问题 板块一:指数,指数幂的运算 (一)知识内容 1.整数指数 ⑴正整数指数幂:n a a a a =???,是n个a连乘的缩写(N n + ∈),n a叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数,这样的幂叫做正整数指数幂. ⑵整数指数幂:规定:01(0) a a =≠, 1 (0,) n n a a n a - + =≠∈N. 高考要求 第4讲 指数运算与指数函数 知识精讲
2.分数指数 ⑴ n 次方根:如果存在实数x ,使得n x a =(R,1,N )a n n +∈>∈,那么x 叫做a 的n 次方根. ⑵ 求a 的n 次方根,叫做a 开n 次方,称做开方运算. ① 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.这时, a 的n 表示. ② 当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,它们互为相反数.正数a 的正、负n 0)a >. ⑶正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0 0. n 叫做根指数,a 3.根式恒等式: n a =;当n a =;当n ||a a a ?=?-? 0a a <≥. 4.分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为:1(0)n a a > 0,,,)m m n m a a n m n +==>∈N 且 为既约分数 ⑵负分数指数幂可定义为:1(0,,,)m n m n m a a n m n a - += >∈N 且 为既约分数 5.整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质: ⑴(0,,Q)r s r s a a a a r s +=>∈ ⑵()(0,,Q)r s rs a a a r s =>∈ ⑶()(0,0,Q)r r r ab a b a b r =>>∈ 6.n 次方根的定义及性质:n 为奇数时 a =,n 为偶数时 a =. 7. m n a = m n a - =(0a >,,*m n N ∈,且1n >) 零的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 8.指数的运算性质:r s r s a a a +=,()r r r ab a b =(其中,0a b >,,r s ∈R ) 9.无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数)是一个确定的实数. ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 10.一般地,当0a >,α为任意实数值时,实数指数幂a α都有意义. 对任意实数α,β,上述有理指数幂的运算法则仍然成立.
幂函数与指数函数得区别 1、指数函数:自变量x在指数得位置上,y=a^x(a>0,a不等于1) 性质比较单一,当a>1时,函数就就是递增函数,且y>0; 当0<a<1时,函数就就是递减函数,且y>0、 2、幂函数:自变量x在底数得位置上,y=x^a(a不等于1)、 a不等于1,但可正可负,取不同得值,图像及性质就就是不一样得。 高中数学里面,主要要掌握a=-1、2、3、1/2时得图像即可。其中当a=2时,函数就就是过原点得二次函数。其她a值得图像可自己通过描点法画下并了解下基本图像得走向即可。 3、y=8^(-0、7)就就是一个具体数值,并不就就是函数,如果要与指数函数或者幂函数联系起来也就就是可以得。首先您可以将其瞧成:指数函数y=8^x(a=8),当x=-0、7时,y得值;或者将其瞧成:幂函数y=x^(-0、7)(a=-0、7),当x=8时,y得值。
? 幂函数得性质: 根据图象,幂函数性质归纳如下: (1)所有得幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)当a>0时,幂函数得图象通过原点,并且在区间[0,+ ∞)上就就是增函数、 特别地,当a>1时,幂函数得图象下凸;当0<a<1时,幂函数得图象上凸;(3)当a<0时,幂函数得图象在区间(0,+∞)上就就是减函数、在第一象限内, 当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋 于+∞时,图象在轴x上方无限地逼近轴x正半轴。 指出:此时y=x0=1;定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),特别强调, 当x为任何非零实数时,函数得值均为1,图像就就是从点(0,1)出发,平行于x轴得两条射线,但点(0,1)要除外。 思考讨论: (1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? (2)在幂函数y=xa中,当a就就是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 讲评:(1)在幂函数y=xa中,当a就就是正偶数时,函数都就就是偶函数,在第一象限内就就是增函数。
一、选择题(每小题4分,共计40分) 1.下列各式中成立的一项是 ( ) A .71 7 7)(m n m n = B . 33 39= C .4 343 3 )(y x y x +=+ D .31243)3(-=- 2.化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 ( ) A .a 9- B .a - C .a 6 D .2 9a 3.设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ,则下列等式中不正确... 的是 ( ) A .f (x +y )=f(x )·f (y ) B .) () (y f x f y x f =-) ( C .)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D .)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4.函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y ( ) A .}2,5|{≠≠x x x B .}2|{>x x C .}5|{>x x D .}552|{><
指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1 .根式 ( 1 )根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 ( 2 ).两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ; | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a (注意 a 必须使 n a 有意义)。 2 .有理数指数幂 ( 1 )幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注: 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 ( 2 )有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.
二次函数及指对数运算 1.已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=,且(0)1f =. (1)求()f x 的解析式; (2)求函数()y f x =在区间[1,1]-上的值域; (3)当[1,1]x ∈-时,不等式()2f x x m >+恒成立,求实数m 的范围. 2.如图,已知二次函数y=x 2 +bx+c 过点A (1,0),C (0,﹣3) (1)求此二次函数的解析式; (2)在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10,求点P 的坐标. 3.已知函数f (x )=x 2 +2ax+2,x ∈[﹣5,5]. (1)当a=﹣1时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数a 的取值范围,使y=f (x )在区间[﹣5,5]上是单调函数.
4.计算: 23 log 2 22 8273lg 2lg 52lg2lg5log 9log 3238ππ- ??++?+?++ ??? . 5.计算:(1)()()1 22 3 02 9279.6 1.548--???? ---+ ? ????? ; (2)2 021lg 5lg 2()(21)log 83 -+--+-+ 6.已知函数()()2log 3f x x =-. (1)求()()516f f -的值; (2)求()f x 的定义域; (3)若()0f x ≤,求x 的取值集合. 7.(Ⅰ)设 ()()()()24142x f x x f x x ?+ =???≥? ??? ? ,求)3log 1(2+f 的值; (Ⅱ)已知]1)1()1ln[()(2 2 +---=x m x m x g 的定义域为R ,求实数m 的取值范围
指数运算与指数函数 高考要求 知识梳理 知识点一:有理数指数幂 1. n 次方根概念与表示 一般地,如果n x =a ,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且*N n . n
2.根式概念 式子a n 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 3.根式的性质 ① n a =. ② ||,a n a n ?=??,为奇数为偶数; 4.分数指数幂 正分数指数幂:a m n =√a m n (a >0,m,n ∈N ?,n >1) 负分数指数幂:a ? m n = 1 a m n = √a m n a >0,m,n ∈N ?,n >1) 0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义 5.实数指数幂的运算性质 a r a s =a r+s (a >0,s ∈Q ) (a r )s =a rs (a >0,s ∈Q ) (a b )r =a r b r (a >0,s ∈Q ) 知识点二:指数函数的图像和性质 1.指数函数概念: 形如0(>=a a y x 且1≠a )函数叫指数函数,其中x 是自变量,函数定义域为R . 2.指数函数图象与性质 R
知识点三:指数函数性质的运用(比较大小) 指数函数在第一象限按逆时针方向底数依次增大 考点解析 典型习题一:指数幂(根式)的化简与计算 例1、已知当27=x ,64=y 时,化简并计算 例2、已知 01x <<,且1 3x x -+=,求112 2 x x - -的值. 典型习题二:指数函数的图像问题 例1、已知函数2 ()x f x m -=(0m >,且1m ≠)恒过定点(,)a b ,则在直角坐标系中函数 ||1 ()()x b g x a +=的图象为( ) )6 5 )(41(561 312112 13 2-----y x y x y x
指数运算法则 指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1) ,函数图形下凹,a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单 调递减的函数。指数函数既不是奇函数也不是偶函数。要想使 得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得a的不同大小 影响函数图形的情况。 一、法则 在函数y=a^x中可以看到: (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提 是a大于0且不等于1,对于a不大于0的情况,则必然使得 函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑,同时a 等于0一般也不考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0, 则单调递减。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无 穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y 轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平 直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 (7)函数总是通过定点(0,1) (8)指数函数无界。 (9)指数函数既不是奇函数也不是偶函数。
(10)当两个指数函数中的a互为倒数时,此函数图像是 偶函数。例1:下列函数在R上是增函数还是减函数?说明理由. ⑴y=4^x 因为4>1,所以y=4^x在R上是增函数;⑵ y=(1/4)^x 因为0<1/4<1,所以y=(1/4)^x在R上是减函数1对 数的概念如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那 么数b叫做以a为底N的对数,记作:logaN=b,其中a叫做对 数的底数,N叫做真数. 由定义知:①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特 别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN;以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN. 2对数式与指数式的互化式子名称abN指 数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)loga(M/N)=logaM-logaN. (3)logaM n=nlogaM (n∈R). 二、记忆口决 有理数的指数幂,运算法则要记住。 指数加减底不变,同底数幂相乘除。 指数相乘底不变,幂的乘方要清楚。 积商乘方原指数,换底乘方再乘除。 非零数的零次幂,常值为 1不糊涂。 负整数的指数幂,指数转正求倒数。 看到分数指数幂,想到底数必非负。 乘方指数是分子,根指数要当分母。 看到分数指数幂,想到底数必非负。
(一)指数函数的定义 一般地,函数y =a x (a >0,且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R 。 将a 如数轴所示分为:a <0,a =0,01五部分进行讨论: (1)如果a <0, 比如y =(-4)x ,这时 对于等,在实数范围内函数值不 存在; (2)如果a =0,、 (3)(3)如果a =1,y =1x =1,是个常值函数,没有研究的必要; (4)4)如果01即a >0且a ≠1,x 可以是任意实数。 (四)指数函数性质的简单应用 例 2: 比较下列各题中两个值的大小 : (l)1.72.5,1.73; (2)0.8-01,0.8-02 ; (3)(0.3)-0.3,(0.2)-0.3 (4)1.70.3,0.93.1 解 :(1) 考察指数函数 y =1.7x , 由于底数 1.7>1, 所以指数函数 y =1.7x 在R 上是增函数 因为 2.5< 3, 所以 1.72.5<1.73 (2) 考察指数函数 y =0.8x , 由于底数0<0.8
指数与指数函数 级级: 姓名: 学号: 得分: 一、选择题(每题5分,共40分) 1.(369a )4(639a )4等于( ) (A )a 16 (B )a 8 (C )a 4 (D )a 2 2.下列函数中,定义域为R 的是( ) (A )y=5x -21 (B )y=(3 1)1-x (C )y=1)2 1 (-x (D )y=x 21- 3.已知01,b <0 B .a >1,b >0 C .00 D .0a a 且)的图象经过二、三、四象限,则一定有 A.10<b B.1>a 且0>b C.10<a 且0 y A.a <b <1<c <d B.b <a <1<d <c C.1<a <b <c <d D.a <b <1<d <c 二、填空题(每题5分,共30分) 10.已知函数()14x f x a -=+的图像恒过定点P ,则点P 的坐标是___________ 11.方程96370x x -?-=的解是_________ 12.指数函数x a x f )1()(2-=是减函数,则实数a 的取值范围是 . 13.函数221x x y a a =+-(0>a 且1≠a )在区间]1,1[-上的最大值为14,a 的值是 14.计算:412121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---_______________ 15.若()10x f x =,则()3f =———————— 三、解答题(16/17/19题各5分,18题15分,共30分) 16.设关于x 的方程02 41=--+b x x 有实数解,求实数b 的取值范围。),1[+∞- 17.设0a 522-+x x . 18.已知2()()1 x x a f x a a a -=-- (0>a 且1≠a ). (1)判断)(x f 的奇偶性;(2)讨论)(x f 的单调性;(3)当]1,1[-∈x 时,b x f ≥)(恒成立,求b 的取值范围。 19.若函数4323x x y =-+的值域为[]1,7,试确定x 的取值范围。 指数运算与指数函数 一、知识点 1、根式得性质 (1)当n为奇数时,有(2)当n为偶数时,有 (3)负数没有偶次方根 (4)零得任何正次方根都就就是零2、幂得有关概念 (1)正整数指数幂: (2)零指数幂 (3)负整数指数幂 (4)正分数指数幂 (5)负分数指数幂 (6)0得正分数指数幂等于0,0得负分数指数幂无意义 3、有理指数幂得运算性质 (1) (2) (3) 4、指数函数定义:函数叫做指数函数。 0 <a < 1 a > 1 图象 性质定义域R 值域(0 , +∞) 定点 过定点(0,1),即x= 0时,y = 1 (1)a> 1,当x>0时,y>1;当x< 0时,0 <y<1。 (2)0 <a< 1,当x> 0时,0 ②当两个式子均为正值得情况下,可用作商法,判断,或即可、 四、典型例题 类型一、指数函数得概念 例1、函数就就是指数函数,求得值、 【答案】2 【解析】由就就是指数函数, 可得解得,所以、 举一反三: 【变式1】指出下列函数哪些就就是指数函数? (1);(2);(3);(4); (5);(6)、 【答案】(1)(5)(6) 【解析】(1)(5)(6)为指数函数、其中(6)=,符合指数函数得定义,而(2)中底数不就就是常数,而4不就就是变数;(3)就就是-1与指数函数得乘积;(4)中底数,所以不就就是指数函数、 类型二、函数得定义域、值域 例2、求下列函数得定义域、值域、 (1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a为大于1得常数) 【答案】(1)R,(0,1);(2)R [); (3) ;(4)[1,a)∪(a,+∞) 【解析】(1)函数得定义域为R (∵对一切xR,3x≠-1)、 ∵,又∵3x>0, 1+3x>1, ∴ , ∴ , ∴ , ∴值域为(0,1)、 (2)定义域为R,,∵2x>0,∴即x=-1时,y取最小值,同时y可以取一切大于得实数,∴值域为[)、 (3)要使函数有意义可得到不等式,即,又函数就就是增函数,所以,即,即,值域就就是、 (4)∵∴定义域为(-∞,-1)∪[1,+∞), 又∵ ,∴,∴值域为[1,a)∪(a,+∞)、 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0得条件,第(4)小题中不能遗漏、 举一反三: 【变式1】求下列函数得定义域: (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)R;(2);(3);(4)a>1时,;01时,;0 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①????????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n a a m n N n a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 n 为奇数 n 为偶数 注:如图所示,是指数函数(1)y=a x ,(2)y=b x,(3),y=c x (4),y=d x 的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c 1>d 1>1>a 1>b 1,∴c>d>1>a>b 。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01)x a N a a =>≠且,那么数x 叫做以a 为底,N 的对数,记作log N a x =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 (2)几种常见对数 2(1)对数的性质(0,1a a >≠且):①1log 0a =,②l o g 1a a =,③l o g N a a N =,④l o g N a a N =。 (2)对数的重要公式: 指数函数及其性质 要点一、指数函数的概念: 函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数,其中x 是自变量,a 为常数,函数定义域为R. 要点诠释: (1)形式上的严格性:只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数.像23x y =?,12x y =, 31x y =+等函数都不是指数函数. (2)为什么规定底数a 大于零且不等于1: ①如果0a =,则000x x ?>? ?≤??x x 时,a 恒等于,时,a 无意义. ②如果0a <,则对于一些函数,比如(4)x y =-,当11 ,,24 x x = =???时,在实数范围内函数值不存在. ③如果1a =,则11x y ==是个常量,就没研究的必要了. 要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。 (2)当01a <<时,,0x y →+∞→;当1a >时,0x y →-∞→。 当1a >时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快。 当01a <<时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快。 (3)指数函数x y a =与1x y a ?? = ??? 的图象关于y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 (1) ① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则:0<b <a <1<d <c 又即:x ∈(0,+∞)时,x x x x b a d c <<< (底大幂大) x ∈(-∞,0)时,x x x x b a d c >>> (2)特殊函数 11 2,3, (), ()23 x x x x y y y y ====的图像: 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若0A B A B ->?>;0A B A B -<;0A B A B -=?=; ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断1A B >,或1A B <即可. 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1.函数2 (33)x y a a a =-+是指数函数,求a 的值. 【答案】2 【解析】由2 (33)x y a a a =-+是指数函数, 可得2331,0,1,a a a a ?-+=?>≠? 且解得12, 01,a a a a ==??>≠?或且,所以2a =. 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数: (1)切入点:利用指数函数的定义来判断; (2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变量x . 举一反三: 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数? (1)4x y =;(2)4 y x =;(3)4x y =-;(4)(4)x y =-; (5)1 (21)(1)2 x y a a a =-> ≠且;(6)4x y -=.指数运算和指数函数
指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结
知识讲解_指数函数及其性质_基础