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高考导数题型及解题方法总结

高考压轴题：导数题型及解题方法

一．切线问题

题型1求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。

方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。

题型2过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。

方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。

注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。

例已知函数f（x）=x 3

﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ）

（2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、

（提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--）

题型3求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。

方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；

建立21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x -='-，12212)()(y y x f x x -='-；求出21,x x ，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。

例求曲线2

x y =与曲线x e y ln 2=的公切线方程。（答案02=--e y x e ）二．单调性问题

题型1求函数的单调区间。

求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例已知函数x a x x a x f )1(2

1ln )(2+-+=（1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）

（2）若[]e x ,2∈，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）

题型2已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。

方法1：研究导函数讨论。

方法2：转化为0)(0)('

'≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立问题，方法3：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。

注意：“函数)(x f 在()n m ,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是()b a ,”的区别是前者是后者的子集。

例已知函数2()ln f x x a x =++

2在[)+∞,1上是单调函数，求实数a 的取值范围．（答案[)+∞,0）题型3已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。

方法1：正难则反，研究在某区间的不单调

方法2:研究导函数是零点问题，再检验。

方法3:直接研究不单调，分情况讨论。

例设函数1)(23+++=x ax x x f ，R a ∈在区间??

? ??1,21内不单调，求实数a 的取值范围。（答案：()

3,2--∈a ））三．极值、最值问题。

题型1求函数极值、最值。

基本思路：定义域→疑似极值点→单调区间→极值→最值。

例已知函数12

1)1()(2++-+-=kx x e k x e x f x x ，求在()2,1-∈x 的极小值。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）

题型2已知函数极值，求系数值或范围。

方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。

方法2.转化为函数单调性问题。

例函数1)1(2

1)1(3141)(234+----+=x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数p 值。（答案：1）题型3已知最值，求系数值或范围。

方法：1.直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。

例设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围．（答案：??

? ??

∞-56,）四．不等式恒成立（或存在性）问题。

一些方法

1.若函数()n m x f ,)(值域，a ＞)(x f 恒成立，，则n

a ≥2.对任意()()n m x n m x ,,,21∈∈，)()(21x g x f ≥恒成立。则≥min 1)(x f max 2)(x g 。

3.对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f min 2)(x g 。

4.对(),,1n m x ∈，恒成立)()(11x g x f ≥。转化0)()(11≥-x g x f 恒成立

4.对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥min 1)(x f min 2)(x g 。

5.对()()n m x n m x ,,,21∈?∈?，)()(21x g x f ≥成立。则≥max 1)(x f max

2)(x g 6.对()()n m x n m x ,,,21∈∈，a x x x f x f ≥--2

121)()(成立。则构造函数ax x f x t -=)()(。转化证明)(x t 在()n m ,是增函数。题型1已知不等式恒成立，求系数范围。

方法：(1)分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

（2）讨论法:有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无

极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

（3）数形结合：

（4）变更主元

解题思路 1.代特值缩小范围。2.化简不等式。3.选方法（用讨论法，或构造新函数）。

方法：分离法。

求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。

例函数a x x e x f x +-=)ln ()(2

。在[]e x ,1∈e x f ≥)(恒成立，求实数a 取值范围。（方法：分离法，多次求导答案：[)+∞,0）

方法：讨论法。

有的需构造函数。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。

例设函数f(x)=21x e x ax ---.若当x≥0时f(x)≥0，求a 的取值范围.

（答案：a 的取值范围为1,2?

?-∞ ???

）方法：数形结合。

数形结合解不等式恒成立问题的步骤：（1）不等式等价变形（2）把不等式两端的式子分别看成两个函数（其中一个函数的图像为直线，）。（3）利用导数研究函数的单调性，极值、最值，图像的凹凸性。（4）画出两个函数图像。（5）根据不等式关系和图形的位置关系，列式求解。

例（2017新课标全国卷理科21题第二问）

已知函数()f x 满足1

21()(1)(0)2x f x f e

f x x -'=-+；若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值。解：1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+，令1x =得：(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?=得：221)(x x e x f x +-=，(变形)又21()2

f x x ax b ≥++?b x a e x ++≥)1(，(设函数)设=)(x

g x e ，=)(x

h b x a ++)1(。

(画函数图像)=)(x g x e 的图像是过（0，1）的曲线C，曲线C 随着x 的增大y 值增大且图像下凹。

=)(x h b x a ++)1(的图像是过点（0，b）且斜率为

1+a 的直线L ，如图一。

(列式求解)由b x a e x ++≥)1(，则曲线C 必在直线L 的上方或曲线C 与直线L 相切。

设曲线C 与直线L 的切点为M ),(00y x ，曲线C 在点M ),(00y x 的切线方程为L:)1(000x e x e y x x -+=，切线的斜率为0x e ，在y 轴上的截距为)1(00x e x -。又直线L 的斜率为1+a ，在y 轴上的截距为b ，则有)1(0+=a e

x ，b x e x ≥-)1(00，所以≤+b a )1(0x e ×)1(00x e x -=)1(020x e x -，设=)(0x t )1(020x e x -，R x ∈0，=')(0x t )21(020x e x -，当??? ?

?∞-∈21,0x ，)(0x t '＞0当??

? ??+∞∈,210x ，)(0x t '＜0，故)(0x t 有最大值2)21(e t =，所以，(1)a b +的最大值为2e 。方法：变更主元

例：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上