2019清华大学自主招生试题(含答案)

一、选择题

1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2

11

1-1z z +

-=（ ） (A)0 (B)1 (C)

12 (D)32

2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要

3.设A 、B 是抛物线y=2

x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )

(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22

(C)直线AB 过抛物线y=2

x 焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1

4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =(

)1x y

f xy

++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为

(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数

5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ）

(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=

3

π

，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 23(D)△ABC 23

7.设函数2

()(3)x

f x x e =-，则（ ）

(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>

36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0

e

8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222

()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）

(A)0<2

2

a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=

(C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22

a b +=1122ax by +

9.已知非负实数x,y,z 满足2

2

2

44x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

10.设数列{n a }前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ） （A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列

（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S 11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）

(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁

12.长方体ABCD ?1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）

(A)

13 (B)2

3

(C)2 (D)313.设不等式组||||2

2(1)

x y y k x +≤??

+≤+?所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）

(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=1

2

，则k 的值有2个 (C)若D 为三角形，则0

2

3

(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

=（ ）

(A)0 (B)?15 (C)?

21

2

(D)?292

15.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A ?B)=0.2，则（ ）

(A)P(A)=0.4 (B)P(B ?A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9

16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为

34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为54

17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）

(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种

18.已知存在实数r ，使得圆周2

2

2

x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ）

(A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z ?1|，则（ ）

(A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为

13 (C)z 的虚部的最大值为2

3

(D)z 的实部的最大值为13 20.设m,n 是大于零的实数，a r =(mcosα,msinα)，b r

=(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈

[0,2π)．定义向量12a r 2α2α),12b r 2β2

β

)，记θ=α?β，则

（ ）

(A)12a r ·12a r =a r (B)1122a b ?r r 2

θ (C)112222||4a b θ-≥r r (D)112222||4a b θ+≥r r

21.设数列{n a }满足：1a =6，13

n n n a a n

++=

，则（ ） (A)?n ∈N ?,n a <3

(1)n + (B)?n ∈N ?,n a ≠2015 (C)?n ∈N ?,n a 为完全平方数 (D)?n ∈N ?, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）

（A ）ρ=

1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=1

12sin θ

+

23.设函数2sin ()1x

f x x x π=-+，则（ ）

（A ）()f x ≤4

3

(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心

24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ）

(A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)2

2

2

a b c +> (D)3

3

3

a b c +>

25.设函数()f x 的定义域是(?1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(?δ,δ) (B)()f x 在(?δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(?δ,0)

26.在直角坐标系中，已知A(?1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B ?sin ∠A j P B|≤1

3

，则n 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

27.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则的（ ）

(A)最小值为

45 (B)最小值为2

5

(C)最大值为1 (D)

28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）

(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 (C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ）

(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个

30.设曲线L 的方程为4

2

2

4

2

(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ?{(x,y)∣2

2x y +≤1} (D)L ?{(x,y)∣?12≤y ≤12

} ##Answer##

1.【解析】 2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333

i i i πππππ

-+-- =2

12sin 2sin

cos

333i π

π

π

-?

-22cos()sin()

33sin )22

i i ππππ

-+-+ =cos0sin 0

2sin [cos()sin()]

366

i i πππ+-+-

77)sin()]66i ππ-+-

1sin )6622i i ππ++-=1，选B

2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D

3.【解析】设A(2

11,x x ),B(2

22,x x ),OA OB ?u u u r u u u r =1212(1)x x x x +=0?21

1

x x =-

答案(A),||||OA OB ?

=

≥=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥

,正确；答案(C),直线AB 的斜率为22

2121

x x x x --=21x x +=111x x - 方

程为y-2

1x =(111x x -

)(x-1x ),焦点(0,1

4

)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离

1，正确。选ABD

4.【解析】x=y=0?(0)f =0,y=-x ?()()f x f x -=-,()f x 为奇函数，(A)正确；()f x ≡0，(B)错误；

12x x <，1()f x -2()f x =1()f x +2()f x -=12121x x f x x ??

- ?-??

>0?1()f x >2()f x ?()f x ↓,(C)正确；

()f x =-tan

2

x π

满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C 5.【简解】将直线平移知：斜率为k 直线，与曲线y=()f x 至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方两个区间，先上方后下方三个区间，故()F x 有三个极大值点，两个极小值点。选BC

6.【解析】2R=

sin c C ?正确； 又sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA ?cosA=0或sinB=2sinA ?A=2

π

或

b=2a ; A=

2

π

时，b=, a =,周长为2+，面积为；b=2a 时，

2c =222cos a b ab C +-?a 2

π

,同样有周长为BCD

7.【简解】()f x '=(x+3)(x-1)x

e ,)(

f x f =极大（, )(1)-2f x f e ==极小

（，作出其大致图象，如图

选BD

8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:2

2

2

x y r +=与⊙C:2

2

2

()()x a y b r -+-=交于相异的两点

111(,)P x y 、

222(,)P x y 。0<|OC|<2|r|?0<22a b +<42

r ,(A)错；四边形O 1P C 2P 是菱形?对角线OC 与12P P

垂直且平分，(B)(C)正确；22

a b +=1122ax by +?22221111()()a x b y x y -+-=+?11||||CP OP =，(D)

正确。 总之，选BCD

9.【解析】关于z 的方程2

2

2

24430z z x y +++-=有非负实数解，

0?223

4

x y +≤

,

设x=rcos θ,y=rsin θ,θ∈[0,

2

π

],r ∈

[0,2]

d=r(5cos θ+4sin θ

sin(θ+arctan

54

≥

)-3,设a r =（2,3），b r

d ≥2a b ?r r -3=2||||a b r r cos(,a b r r

,a b r r

)-3,作图知

(,a b r r

)最大值是b r 与OY uuu r 夹角，此时d ≥-3=3。选C

10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n 1a ≠1a ,结论假，q ≠1时，

1

11(1)1n m a q a q q --=-?111n m q q q

--=-常数，也不可能；答案(C),1n n n a S S -=-=m t a a -,满足要求；答案

(D),n a =m S =t a ，并非对所有数列成立。选AC

11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D 12.等体积法，选B

13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD 围成的面积图形

23

k>0时，S 单调增，梯形2P ABC 面积为

28

5

>4，故S=4只有一解，(A)正确；△1P AB 、△34P P D 的面积分别为45、1,都比12大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为1

2

直线，(B)正确；k<0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC 斜率4，(D)正确。选ABD

14.【简解】取AB 的中点D,则OA AB ?u u u r u u u r =OA ×AB ×cos(π-∠OAB)=-AB ×(OA ×cos ∠OAB)=-2

12

AB ,同理

OB BC ?u u u r u u u r =2

12BC -，212OC CA CA ?=-u u u r u u u r ，原式=222129()22

AB BC CA -++=- .选D

15.【简解】设P(AB)=x ，则P(A)=0.2+x ，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5?x=0.2;P(A)=0.4，

(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。选ABC 16.【解析】设△ABC 的重心为G,面积为1，过点G 的直线与三角形边AB 、AC 分别相交于D 、E ，AD=xAB,AE=yAC,则有

1

2

AB ×ACsinA=1,如图 E

D G

B

A

特别的x,y ∈{0,1}时，DE 为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1

当x,y ∈(0,1)时，△ADE 面积S=

12AD ×AEsinA=1

2

xAB ×yACsinA=xy,D 、G 、E 三点共线?存在实数λ，使得DG DE λ=u u u r u u u r ?AG AD -u u u r u u u r =λ(AE AD -u u u r u u u r )?AG u u u r =(1-λ)AD u u u r +λAE u u u r =(1-λ)x AB u u u r

+λy AC u

u u r ,又

AG u u u r

=13AB u u u r

+13AC u u u r ?1(1)3

1

3x y λλ?

-=????=??

，消去λ得到11x y +=3，因11x y +≥?2

3?S

≥

49,等号成立当且仅当x=y=23?DE ∥BC,故S 最小值为4

9

，1-S 的最大值为59；故两面积比值有最小值

45，最大值5

4。选BD 17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A ，从A 逆时针方向的点依次记为

k A (k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为k A -(k=1,2,3,…,7)，△n m A AA -要构成以A 为钝角的钝

角三角形，则n+m ≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C 18.【简解】正数点关于x 轴、y 轴对称，故一定是4的倍数。选ACD 19.【简解】设x=x+yi(x,y ∈R),代入化简得到22

14()3

9x y ++≤，表示以(-13,0)为圆心，以2

3

为半径的圆及其内部，根据图形，选ACD

20. 【解析】12a r ·1

2a r 是一个数值，不是向量，(A)错；

1122a b ?r r

cos 22αβ

sin 22αβ

2αβ-

2θ,(B)正确；

11222||a b -r r

=2)22αβ

+2)22

αβ

=m+n-2

cos

2

αβ

-=

2θ≥

2

θ

)=24θ,(C)正确；

同理(D)正确

选BCD 21.【简解】

13n n a n a n

++=,迭乘得到n a =(n+2)(n+1)n ；3(1)n a n <+?n(n+2)<2

(1)n +,(A)正确；2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完全平方数和立方数，(C)(D)

错误。选AB

22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ=

1

2

11cos()22

πθ-+表示椭圆；(C)

为ρ=1

21

1cos 2

θ

-表示椭圆；(D)为ρ=112cos()2πθ-+表示双曲线。选BC

23.【解析】()f x ≤4

3

?g(x)=24443sin x x x π-+-≥0,1()=g()2g x 极小值=0,(A)正确；|()|f x ≤

5|x|?|sin πx|≤|32

x x x -+|.作图象知成立,(B)正确；x=12

是其一条对称轴，(C)正确；

()()f a x f a x -++不可能为常数，故(D)错误。选ABC

清华北大自主招生模拟试题(数学)

自主招生模拟试题--03 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ?-1,且A k ?+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8 2.若函数1463)(2 3 +++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2 3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】． A.12 B.18 C.24 D.36 4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为)12)(1(2 1 )(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害． 为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8 5.若ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是【 】． A.(0,)+∞ B.51(0, )2+ C.5151(,)22-+ D.51 (,)2 -+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】． A.55 B.89 C.109 D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x = --+--+的最大值为____________. 8.若函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________.

最新完美版清华大学自主招生数学试题

2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

清华大学自主招生保送生考试物理试题

清华大学自主招生保送生 考试物理试题 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

2009 年清华大学自主招生保送生测试 物理试题 考试时间：2009年1月2日上午9：00 说明：考试时间90 分钟，考生根据自己情况选题作答，满分300 分（数学物理化学各100分），综合优秀或单科突出给予A 的认定。 一．单项选择题 1.设理想气体经历一热力学过程，该过程满足 2 1pV 常量。则当气体体积从V1 变化到V2=2V1时，气体的温度从T1变化到____ 。 A 12T B 12T C 1T /2 D 2/1T 2. 两个热力学过程的PV 图如图所示，则两过程中_____。 A.均放热 B.均吸热 C.甲过程放热，乙过程吸热 D.甲过程吸热，乙过程放热 二．填空题

1一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，此系统守恒量有___________ 3.如图，已知AB 间等效电阻与n 无关，则______x R R =。 4. 如图，一个理想单摆，摆长为L ，悬点下距离为a 处有一小钉子。则小球在左右两段振动时的振幅之比_______A A =左 右 。 ， 5. 英国在海拔200m 的峭壁上建了一个无线电收发站（发射塔高忽略不计），发出波长5m 的无线电波。当敌机距此站20km 时，此站接收到加强的无线电信号，反射信号的一束经海拔125m 处的反射。已知此反射海拔为所有加强信号的反射海拔中最小的，则下一个加强信号的反射海拔为_________。 6. 波长为200nm 时，遏止电压为。则波长为500nm 时，遏止电压为________。 C D

近十年清华北大自主招生试题汇总

1.（2007清华） 对于集合2 M R ?（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ?∈?>，使得{}2 P R PP r M ∈?与集合{}(,)0,0x y x y ≥>?是否为开集，并证明你的结论。 2，（2009北大） 已知,cos cos 21x R a x b x ?∈+≥-恒成立，求max ()a b + 3，（2009清华） 已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。求证： 3a b c x y z ++≥。 4，（2006清华） 已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。 5，（2008北大） 实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。求证：12312m a x (,, )m a x (,,)a a a b b b ≤。 6，（2009清华） 试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为 7，（2009清华） x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n x y -+≥ 8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。 9，（2006清华） 设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内

2010清华大学自主招生数学试题

2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβP ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F

近年清华北大自主招生试题[1]

2010年北大自主招生试题（理科） 数学： 1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2(25分) 2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。(25分) 3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0

2019年北京清华大学自主招生数学理科试题Word版

2019年清华大学自主招生数学（理科）试题 1551 -的整数部分为a ，小数部分为b 。 （1）求,a b ；（2）求222ab a b ++ ；（3）求()2lim n n b b b →∞++L L 。 2．（1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥ 。 （2）,,a b c 为正实数，求证： 3a b c x y z ++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列。 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。 4．已知椭圆22 221x y a b +=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ，求证：AQ 2OP ，AR 成等比数列。

5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++L L 。 6．随机挑选一个三位数I （1）求I 含有因子5的概率；（2）求I 中恰有两个数码相等的概率。 7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC = （1）求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形； （2）设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=。 8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数。 9．设1221,,,n a a a +L L 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a +L L 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等。求证：1221,,,n a a a +L L 全部相等当且仅当1221,,,n a a a +L L 具有性质P 。

2013清华北大自主招生测评试题数学自主招生数学与逻辑测评试题.docx

2013 清华北大自主招生 测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题 （考试时间： 90 分钟，总分 100 分） 一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3, z 12 为实数，则 z 1-z 2 的值为 z 2 （ ） A ． 3 B ． 6 C ．3 D ．23 2. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为 （） A ．3 2 B ．3 2 C ． 3 2 D ． 3 2 2 4 8 3. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （ ） 5tan B A 。3 B 。4 C 。5 D 。6 4. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为（ ） A. 1 B. 1 7 7 C. 1 D. 1 P 2 2 D M C A B 5. 设 P 是函数 y=x+ 2 x>2 图像上任意一点，过点 P 分别向直线 y=x 和 y x 轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 6. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每

周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使 用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示） A．43 B． 61 C． 48 D． 61 8124324381 选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分) 7. 设函数f n x =x n1-x2在1 ,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2 （1）求数列 a n的通项公式； （2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立； 2 n+2 （3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7 成16 立。

清华大学2019年自主招生试题及答案

2019清华自主招生试题与答案 (2018清华自主招生)1、如图的电路，闭合开关S ，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，下列说法正确是 C A．电流表读数变小，电压表读数变大B．小电泡L 变暗 C．电容器C 上电荷量减小D．电源的总功率变小 (2018清华自主招生)2、如图，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 C A．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小 C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大 解析：对过程定性分析。斜面倾斜角大于450 3、 (2018清华自主招生)4、如图所示，有三个斜面a，b，c，底边的长分别为L、L 、2L高度分别为2h、h、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，忽略空气阻力，三种情况相比较，下列说法正确的是BD A．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 4W a B．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 2W a C．物体到达底端的动能E ka= 2E kb= 2E kc

D ．物体到达底端的动能 E ka >2E kb >2E kc 解：克服摩擦力做的功 cos W mg x mgx =μθ=μ斜底 则有 ::W 2:1:1c b a W W = 动能定理 k mgx mgx E -μ=高底 则有 E ka >2E kb >2E kc (2018清华自主招生)10、2013 年 12 月 6 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P 点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过 P 点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ，在沿轨道Ⅱ经过Q 点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。对于“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动的过程，若以月球为参考系，且只考虑月球对它的引力作用，下列说法中正确的是 AC A ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度小于经过Q 点时的速度 B ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的机械能小于经过Q 点时的机械能 C ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度 D ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度 1

[高考]清华大学自主招生试题

[高考]清华大学自主招生试题 清学华大年自主招生华华2009 摘要,文中“华华能否擦拭掉华史的华垢～恢华其本面目,”华然有华回答,能来两 或不能。华华华一华～华例华华……并 中英文华合;200分, 1.华文部分;95分, 甲文,白居易的粉华;9分, 1、华解华什华是“白居易华象”。 2、“文章已华行人耳～一度思卿一华然。”一句中的“文章”指的是什华, 3、华至呼华“白舍人行华华”的根据是什华, 4、作者到“打华整部中文史上～大如此呼吸相通～生息相华～写国学与众声 气真很与另相华～心神相交的文人～华是少华有他相匹华者。”作者似乎有感慨～作者感慨的是什华哪 乙文,4年前巴华的邂逅;与奥11分,;略, 1、华具华明文中“如同巴华所期待的那华”指的是什华,体奥 2、下文华巴华华华华后的演华～华华明文中“我”的作用和下文中安奥当?尼克松?华伯的作用分华是什华, 丙文,华史华华;与13分,;略, 1、文中“华华能否擦拭掉华史的华垢～恢华其本面目,”华然有华回答,能或来两 不能。华华华一华～华例华华。并

2、“在押往集中华的火华上～华法华出了令人心的一封明信片。华～不 她揪她她 知道的孩子在哭泣～在华,他要死了华,希望有人去照料一下的孩子她挨她她啊,华明信片华在就在博物华里展出。份"作者华华例子的目的是什华,个 3、如果《中华展年华》要增加一华“城市华华”～华做一华解华。;国个条你个30字以内, 丁文,华华油华华了华,;画气12分,;略, 1、最后华华华华意又是“华方式”的～华理解,怎 2.式微一华出自,的意思是什华,哪它 1 3、文中架上油意思相同的华华有些,;华出,与画哪写两个 4、华华油仍是华华华中魅力存的主流华式。在作者看～原因是什华画画 犹来 甲--丁文,作文 1、下面的华都是原文相华的华华～华华其中的与5～做华华的解华。;个 5分, IT 粉华华华小化气涂众 2、上面四篇文章是华自某一期华华的某一版面～华华华版面华一华～华 明你个个称并 你构的想;800字左右,;45分, 2.英华部分;80分, 1、10华华华～华出一句华～其中一华华～华个将个划从A、B、C、D中华出华华意思与划相近的华。;10分, 2、10华华华华～高中大华华度。;个10分,

清华大学历年自主招生试题汇总

清华大学历年自主招生试题汇总 以下是2014年清华“领军计划”部分面试题： 1、怎么看待单独二孩政策？ 2、谈谈对节假日安排的看法，有什么建议？ 3、怎么看待社会公平？ 以下是2014年清华“自强计划”部分面试题： 结构性参考题目： 提问：在你的同龄人中，当有些同学在为上学、吃饭、治病乃至整个家庭的生计发愁时，另外一些同 学则在享受美味的食品、穿着流行的服装、接受各种优质的教育培训。你如何看待这一现象?你是否认为这是一种社会不公? 追问：你心目中的社会公平是怎样的?是否能够实现?若能实现，简要阐述实现的方法;若不能实现，请说说为什么? 自由提问参考题目： 请讲一个你的经历中体现你“自强”的故事。 你对自己的大学生活有何规划?将来想从事何种职业? 你认为自己的家乡至今仍然贫困的原因是有哪些?应该如何解决? 你曾经遇到过的最大困难是什么?你是如何面对和解决的? 考察点： 主要考察学生的个人理想与社会理想，是否能够独立思考并勇于创新，是否能够采取积极的方式克服 困难与挫折;是否能够保持积极向上的心态等。 以下是清华大学2013年自主招生复试考题： 1.近期上海、南京、杭州等地连续出现“H7N9禽流感”感染病例引起关注，公众非常想知道这方面的 相关信息。假如你是一位新闻发言人，你认为公众需要什么样的信息? 追问:假如你发布信息后，社会出现恐慌，那该怎么办? 2.“人类一思考，上帝就发笑”。请就人类社会发展与大自然的关系发表评论。

追问:基于你的评价，你打算在当下和未来做些什么? 3.请以“我和诺贝尔奖的距离”为题发表一段2分钟的演讲，可准备1分钟。 4.除了当选的10位人物外，举出你认为应该入围“2013‘感动中国’的一位人物”，并阐述理由。 2008年清华大学自主招生考试题目选 语文（此文与原考试选用的文章稍有出入）（语文试题应该算是完整版了）： 关于文学和它的寄主的故事 朱大可 关于文学死亡的话题，已经成为众人激烈争论的焦点。这场遍及全球的争论，映射了文学所面临的生 存危机。但文学终结并非危言耸听的预言，而是一种严酷的现实。本届诺贝尔文学奖，颁发给了多丽丝·莱辛，这位88岁高龄的英国女作家，代表了20世纪最后的文学精神。她是一枚被瑞典皇家委员会发现的化 石，她曾在20世纪中叶成为女权主义文学的激进代表，但其近15年来的作品，却遭到美国评论家哈罗德·布鲁姆的激烈抨击，认为它们只具有四流水准，完全不具备原创的能力。耐人寻味的是，在所有诺贝尔奖项 中，只有文学奖面临着二流化的指责，而造成这种状况的唯一原因，就是文学自身的全球性衰退。这种现 状，验证了20世纪60年代美国批评家关于“文学衰竭”的预言。 返观中国文学的狼藉现场，我们发现，汉语文学的衰退，主要基于以下三个方面的原因：第一，80年代以来活跃的前线作家，大多进入了衰退周期，而新生代作家还没有成熟，断裂变得不可避免。第二，重 商主义对文学的影响，市场占有率成为衡量作家成功与否的主要标准，这种普遍的金钱焦虑，严重腐蚀了 文学的灵魂和原创力，导致整个文坛垃圾丛生。第三，电影、电视、互联网、游戏等媒体的兴起，压缩了 传统文学的生长空间，迫使它走向死亡。 这是我关于文学衰败的基本看法。但我最近才意识到，这种看法其实是错误的。文学的衰败只有一个 主因，那就是文学自身的蜕变。建立在平面印刷和二维阅读上的传统文学，在经历了数千年的兴盛期之后，注定要在21世纪走向衰败。它是新媒体时代所要摧毁的主要对象。新媒体首先摧毁了文学的阅读者，把他们从文学那里推开，进而摧毁了作家的信念，把文学变成一堆无人问津的“废物”。 然而，尽管中国文坛充满了垃圾，但文学本身并不是垃圾，恰恰相反，文学是一个伟大的幽灵，飘荡 于人类的精神空间，寻找着安身立命的躯壳（寄主和媒体）。在可以追溯的历史框架里，文学幽灵至少两 度选择了人的身体作为自己的寄主。第一次，文学利用了人的舌头及其语音，由此诞生了所谓“口头文学” （听觉的文学）；而在第二次，文学握住了人手，由此展开平面书写、印刷及其阅读，并催生了所谓“书 面文学”（文字的文学）的问世。这两种文学都向我们提供了大量杰出的文本。在刻写术、纺织术、造纸 术和雕版印刷术的支持下，经历两千年左右的打磨，书面文学早已光华四射，支撑着人类的题写梦想。 文学还有两个值得关注的寄主，那就是歌曲和戏剧，它们跟传统文学并存，俨然是它的兄弟，照亮了 古代乡村社会的质朴生活。但就叙事和抒情的线性本质而言，它们都是口头和书面文学的变种而已。文学 的寄生形态，从来就是复杂多样的。它们制造了艺术多样性的幻觉。

清华大学2015年自主招生数学试题及答案解析

绝密★启用前 清华大学2015年自主招生考试 数学试题 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23 π,则2 111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥ (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；② ()f x +()f y =()1x y f xy ++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点

6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2,∠C=3 π,且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为 7.设函数2()(3)x f x x e =-,则（ ） (A)()f x 有极小值,但无最小值 (B) ()f x 有极大值,但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根,则b> 36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根,则0

清华大学自主招生考试试题

2010清华大学自主招生考试试题（语文+数学+化学+物理） 数学（共9题）（缺第2题） 1.设1 51 5-+的整数部分为A ，小数部分为B, 1）求A,B 2）求AB B 21A 22+ + 3）求)1(lim 21n n B B B +++++∞ → . 3.(1),1,Y X 0,Y 0,X +∈=+>>N n 证明：122221 X -≥+n n n Y (2)正实数x,y,z,任意打乱顺序后成为a,b,c,求证：3≥++c z b y a x 4.椭圆C ：)0,(1x 22 22>=+b a b y a ，直线l 过点A （-a,0），与C 交于点B ，与y 轴交于点D,过原点的平行于l 的直线与椭圆交于点E 证明：OE AD 2AB 、、成等比数列 5.,sin cos )(,1cos sin t i t t z t t +==+求∑==n k k n z t I 0)( 6.求所有3项的公差为8的自然数数列,满足各项均为素数 7.M 为三位的自然数 1）M 含因子5的概率 2）M 中恰有两位数码相同的概率 8.一个四面体，对边相等。证明：(1)每个面都是锐角三角形 (2)底面与三个斜面的三个二面角的余弦值和为1 9.证明:正整数列1221,,n a a a + 是常数列的充要条件是其满足性质p:对数列中任意2n 项,存在一种方法将这2n 项分为两类(每类n 个数),使得两类数之和相等. 物理 一．不定项选择题（顺序不定） 1.（天体运动）下列说法正确的是： A.卫星运行速度总不超过7.9km/s B.卫星轨道必为圆形 C.卫星运行速度与卫星质量无关 D.？

自主招生考试试题解析——北大清华英语译古诗

北大清华自主招生用英语译古诗给歌曲挑语病 2009年第一天，北京大学、清华大学同时进行2009年保送生暨自主招生笔试、文艺特长生笔试。两校河南考点都设在郑州大学南校区，全省约400名学生参加了笔试。与高考不同，自主招生题目不仅灵活，而且“另类”，让考生们大呼“想不到”。 北大清华自主招生同时开考 1月1日上午9时，清华和北大自主招生、保送生考试同时在郑州大学南校区开考。 清华大学河南考区负责老师丁青青介绍，自2008年11月以来，全国共有1.3万名学生经过中学推荐和自我推荐的方式申请清华大学2009年保送生和自主招生，经过筛选，3000余名学生幸运地走进清华大学保送生与自主招生的考场。其中河南考生190余人。而今年报考北大自主招生的考生，全国超过了1.5万名，最终近4000人参加了考试，其中河南考生近200人。 清华的笔试有两天，1月1日上午进行的是中英文综合，下午文科考生考数学(文)和历史，理科考生考数学(理)和物理。2日上午考理科综合或文科综合。北大的笔试安排在1月1日，上午考语、数、外，下午文科考历史、政治，理科考物理、化学。每个科目分值100分，总分500分。 今年两校自主招生的优惠幅度都高于往年。北大自主招生比例将不再设定5%上限，招生比例预扩为10%左右，获得北大自主招生资格的学生优惠幅度扩大到降分30分以内。2009年清华大学认定的自主招生一般给予30分之内的优惠，对于有特殊潜能的考生，优惠幅度将不受30分限制。 清华：用英语翻译杜甫古诗 我省参加两所国内顶尖高校自主招生测试笔试的考生，都是来自我省各个高中的拔尖学生，不过今年两校的“怪题”却难倒了许多考生。 “清华的语文和英语在同一张卷子上，用英语来翻译古文，我还是头一次做这样的题。”中英文综合考完，来自郑州外国语学校的徐重说，考题里选了《汉书·艺文志》中的一段话，“小说家者流，盖处于稗官，街谈巷语，道听途说者之所造也……”先用中文解释其含义，再用英文概括其大意，并用英文评论其观点。 徐重说，古文他还勉强能翻译，但要再译成英文就太难了，“稗官”这样的词他实在不知道用英语怎么说。 在另一题中，还要求将杜甫的《旅夜书怀》翻译成英文。“把古诗翻译成英语，还要考虑押韵和工整的问题，对中英文的要求太高了。”考试结束，不少考生连连摇头，说很多题“太活”，从来没见过，“考得不好”。 北大：给《青花瓷》挑语病 和清华相比，北京大学的试题则紧扣“流行文化”。语文题中，要求给周杰伦《青花瓷》中的一句歌词“素坯勾勒出青花笔锋浓转淡，瓶身描绘的牡丹一如你初妆……”挑语病。“这首歌很多同学都会唱，但谁也没想过其中的语法有毛病。”来自洛阳一高的冯坤说，这些试题充分体现了北大的自由和人文色彩，看起来非常生活化，但想要答得好很难。

清华大学自主招生试题含答案

一、 选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2 11 1-1z z +-=（ ? ? ? ?） (A)0 (B)1 (C)12 (D)3 2 2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥ (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =( )1x y f xy ++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ? ? ? ?） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C= 3 π ，且sinC+sin(B?A)?2sin2A=0,则有（ ? ?） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC 的面积为 3(D)△ABC 的外接圆半径为3 7.设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ? ? ? ?） (A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值

清华北大自主招生测评试题物理自主招生物理测评试题.docx

清华北大自主招生测评试题物理 自主招生物理测评试题 （考试时间： 90 分钟，总分 100 分）试题说明： 1 、考试中不准使用计算器 2 、计算中，重力加速度一律取g10m / s2 3 、考试时间 90 分钟，试题满分100 分 一、选择题（每小题 4 分，共 48 分。每个小题的四个选项中，至少有 一个正确选项。全部选对的得 4 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得0分） 1、如图所示，电源内阻不能忽略，开关闭合后，灯泡 A 、B 均发光。现将滑动触头向右移动，下列说法正确的是 （A）A 灯变亮、 B 灯变暗 （B ）A 灯变暗、 B 灯变亮 （C）电源路端一定电压增大 （D ）电源的输出功率一定增大 2 、如图所示，质量为m1和 m2的两个小球固定在长为2l 的轻杆两端，m1m2。杆的中点是一水平转轴O ，系统可在竖直面内无摩擦转动，空 气阻力不计。若从杆处于水平位臵由静止释放系统，系统转过900的过程中，以下说法正确的是（重力加速度已知）

（A）该过程中系统机械能守恒 （B ）球m1的机械能守恒 （C）可以求出杆竖直时两球的速率 （D ）可以求出杆竖直时轴O 对杆的作用力大小 第2题图第3题图 3、如图所示，不计重力的正电粒子以一定的水平初速度射入平行金 属板间竖直的匀强电场中，则下列说法正确的是（以下各情况，粒子均 能穿过电场） （A）增大初速度大小，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位移变 大 （B ）滑动触头向上移动，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位 移变大 （C）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的偏转位 移变大 （D ）适当增大两板间距离，其他条件不变，粒子穿过电场的时间变 大 4、粗糙水平面上一物体以一定初速度向前滑行，从开始滑行到停止，物体的运动位移为S，运动时间为t ，运动过程中的加速度大小为a，则下列说法正确的是 （A）运动位移 S 随初速度增大而增大，随质量增大而减小

2015年清华大学自主招生数学试题(领军计划)

2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划） 说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。 1、设复数22cos sin 33z i π π =+，则211 11z z +=--（ ） A.0 B.1 C.1 2 D.3 2 2、设{}n a 为等差数列，,,,p q k l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、设,A B 是抛物线2y x =上的两点，O 是坐标原点，若OA OB ⊥，则（ ） A.||||2OA OB ?≥ B.||||OA OB +≥ C.直线AB 过抛物线2y x =的焦点 D.O 到直线AB 的距离小于等于1 4、设函数()f x 的定义域为(1,1)-，且满足：①()0,(1,0)f x x >∈-； ②()()(),1x y f x f y f xy ++=+,(1,1)x y ∈-。则()f x 为（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5、如图，已知直线y kx m =+与曲线()y f x = 相切于两点，则()()F x f x kx =-有（ ） A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6、ABC ?的三边长分别为,,a b c 。若2,3c C π =∠=，且s i n s i n ()2s i n 20C B A A +--=，则（ ） A.2b a = B.ABC ?的周长为2+ C.ABC ? D.ABC ?7、设函数2()(3)x f x x e =-，则（ ） A.()f x 有极小值，但无最小值 B.()f x 有极大值，但无最大值 C.若方程()f x b =恰有一个实根，则36 b e > D.若方程()f x b =恰有三个不同实根，则36 0b e <<

清华大学自主招生试题数学

2011年自主招生华约数学试题一、选择题 (1) 设复数z满足|z|<1且 15 || 2 z z +=则|z| = ( ) 4321 A B C D 5432 解：由 15 || 2 z z +=得2 5 ||1|| 2 z z +=，已经转化为一个实数的方程。解得|z| =2（舍 去）， 1 2 。 (2) 在正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为P A、PB的中点，且侧面与底面所成二面角 。则异面直线DM与AN所成角的余弦为( ) 1111 A B C D 36812 [分析]本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素。本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等。然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起。 解法一：如图，设底面边长为2 得高为 。如图建立坐标系，则A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0， ) ，则 1111 (,,(,, 222222 M N - ， 31213 (,,),(,, 222222 DM AN =-=-。 设所成的角为θ，则 1 cos 6 DM AN DM AN θ==。

解法二：如图，设底面边长为2 得高为。平移DM 与AN 在一起。即M 移到N ，D 移到CD 的中点Q 。于是QN = DM = AN 。而 P A = PB = AB = 2，所以QN = AN = AQ = ，容易算出等腰ΔAQN 的顶角 1cos 6 ANQ ∠=。 解法三：也可以平移AN 与DM 在一起。即A 移到M ，N 移到PN 的中点Q 。以下略。 (3)过点(-1, 1)的直线l 与曲线相切，且(-1, 1)不是切点，则直线l 的斜率为 ( ) A 2B1C 1D 2 - - 此题有误，原题丢了，待重新找找。 (4)若222cos cos 3 A B A B π+=+，则的最小值和最大值分别为 ( ) 3131A1,B ,C1D ,122222222 - -+ + [分析]首先尽可能化简结论中的表达式22cos cos A B +，沿着两个方向：①降次： 把三角函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个。 解：221cos 21cos 21cos cos 1(cos 2cos 2)222 A B A B A B +++=+=++ 11cos()cos()1cos()2 A B A B A B =++-=--，可见答案是B