2018年清华大学自主招生试题数学Word版含解析
一、选择题
1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2
11
1-1z z +
-=（ ） (A)0 (B)1 (C)
12 (D)32
2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件
(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2
x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )
(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22
(C)直线AB 过抛物线y=2
x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1
4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②
()f x +()f y =(
)1x y
f xy
++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数
5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ）
(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=
3
π
，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为
3
3
(D)△ABC 的外接圆半径为3
3
7.设函数2()(3)x
f x x e =-，则（ ）
(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36
e
(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0 3 6e 8.已知A={(x,y)∣2 2 2 x y r +=}，B={(x,y)∣2 2 2 ()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ） (A)0<22a b +<22 r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22 a b +=1122ax by + 9.已知非负实数x,y,z 满足2 2 2 44x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 10.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ） （A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列 （C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得 n a =m S 11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 12.长方体ABCD ?1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ） (A) 13 (B)2 3 (C)2 (D)313.设不等式组||||2 2(1) x y y k x +≤?? +≤+?所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ） (A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S= 1 2 ，则k 的值有2个 (C)若D 为三角形，则0 3 (D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ?+?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =（ ） (A)0 (B)?15 (C)? 21 2 (D)?292 15.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A ?B)=0.2，则（ ） (A)P(A)=0.4 (B)P(B ?A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9 16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为 34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为54 17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ） (A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种 18.已知存在实数r ，使得圆周2 2 2 x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z ?1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为2 3 (D)z 的实部的最大值为 13 20.设m,n 是大于零的实数，a r =(mcosα,msinα)，b r =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈ [0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量 1 2a r =(2α2α),12b r 2β2β)，记θ=α?β，则（ ） (A)12a r ·12a r =a r (B)1122a b ?r r 2θ (C)112222||4a b θ-≥r r (D)112 222||4 a b θ+≥r r 21.设数列{n a }满足：1a =6，13 n n n a a n ++= ，则（ ） (A)?n ∈N ?,n a <3 (1)n + (B)?n ∈N ?,n a ≠2015 (C)?n ∈N ?,n a 为完全平方数 (D)?n ∈N ?, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ= 1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=1 12sin θ + 23.设函数2sin ()1 x f x x x π=-+，则（ ） （A ）()f x ≤ 4 3 (B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心 24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)2 2 2 a b c +> (D)3 3 3 a b c +> 25.设函数()f x 的定义域是(?1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(?δ,δ) (B)()f x 在(?δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(?δ,0) 26.在直角坐标系中，已知A(?1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点 k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B ?sin ∠A j P B|≤13 ，则n 的 最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 27.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则 ） (A)最小值为 45 (B)最小值为2 5 (C)最大值为1 (D) 最大值为13 28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ） (A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 (C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个 30.设曲线L 的方程为4 2 2 4 2 (22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ?{(x,y)∣2 2x y +≤1} (D)L ?{(x,y)∣?12≤y ≤12 } ##Answer## 1.【解析】 2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333 i i i πππππ -+-- = 2 1 2sin 2sin cos 333i π π π -? -22 cos()sin() 33sin ) 22 i i ππππ -+-+ =cos 0sin 0 2sin [cos()sin()]366 i i πππ+-+- 77)sin()]66i ππ-+- 1 sin )662i i ππ+=1，选B 2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D 3.【解析】设A(2 11,x x ),B(2 22,x x ),OA OB ?u u u r u u u r =1212(1)x x x x +=0?21 1 x x =- 答案(A),||||OA OB ? =2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥ 2 2 ,正确；答案(C),直线AB 的斜率为 222121 x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-2 1x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误； 答案(D)，原点到直线AB ：(11 1 x x - )x-y+1=0的距离 1，正确。选ABD 4.【解析】x=y=0?(0)f =0,y=-x ?()()f x f x -=-,()f x 为奇函数，(A)正确；()f x ≡0，(B) 错 误 ； 12 x x <， 1()f x -2()f x =1()f x +2()f x -=12121x x f x x ?? - ?-?? >0?1()f x >2()f x ?()f x ↓,(C)正确； ()f x =-tan 2 x π 满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C 5.【简解】将直线平移知：斜率为k 的直线，与曲线y=()f x 至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故()F x 有三个极大值点，两个极小值点。选BC 6.【解析】2R= sin c C =?正确； 又 sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA ?cosA=0或 sinB=2sinA ?A=2π或b=2a ; A=2 π 时，a 周长为 b=2a 时，2 c =222cos a b ab C +-?a 2 π,同样有周长为选BCD 7.【简解】()f x '=(x+3)(x-1)x e ,36 )(3)f x f e =-=极大（, )(1)-2f x f e ==极小 （，作出其大致图象，如图 选BD 8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:2 2 2 x y r +=与⊙C:2 2 2 ()()x a y b r -+-=交于相异的两点111(,)P x y 、222(,)P x y 。0<|OC|<2|r|?0<2 2 a b +<42 r ,(A)错；四边形O 1P C 2P 是菱形 ?对角线 OC 与 12 P P 垂直且平分，(B)(C)正确； 22a b +=1122ax by +?22221111()()a x b y x y -+-=+?11||||CP OP =，(D)正确。 总之，选BCD 9.【解析】关于z 的方程2 2 2 24430z z x y +++-=有非负实数解，0?22 34 x y +≤ , 设x=rcos θ,y=rsin θ,θ∈[0, 2 π ],r ∈ [0,2] d=r(5cos θ+4sin θ sin(θ+arctan 54 ≥ )-3,设a r =（2,3），b r ) d ≥2a b ?r r -3=2||||a b r r cos(,a b r r ,a b r r )-3,作图知 (,a b r r )最大值是b r 与OY uuu r 夹角，此时d ≥。选C 10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n 1a ≠1a ,结论假， q ≠1时，1 11(1)1n m a q a q q --=-?1 11n m q q q --=-常数，也不可能；答案(C),1n n n a S S -=-=m t a a -,满足要求；答案(D),n a =m S =t a ，并非对所有数列成立。选AC 11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D 12.等体积法，选B 13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD 围成的面积图形 23 k>0时，S 单调增，梯形2P ABC 面积为 28 5 >4，故S=4只有一解，(A)正确；△1P AB 、△34P P D 的面积分别为45、1,都比12大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为1 2 的直线，(B)正确； k<0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC 的斜率4，(D)正确。 选ABD 14.【简解】取AB 的中点D,则OA AB ?u u u r u u u r =OA ×AB ×cos(π-∠OAB)=-AB ×(OA ×cos ∠ OAB)=-212AB ,同理OB BC ?u u u r u u u r =2 12BC -，212OC CA CA ?=-u u u r u u u r ，原式=222 129()22 AB BC CA -++=- .选D 15.【简解】设P(AB)=x ，则P(A)=0.2+x ，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5?x=0.2;P(A)=0.4，(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。选ABC 16.【解析】设△ABC 的重心为G,面积为1，过点G 的直线与三角形边AB 、AC 分别相交于D 、E ，AD=xAB,AE=yAC,则有 1 2 AB ×ACsinA=1,如图 E D G B A 特别的x,y ∈{0,1}时，DE 为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1 当x,y ∈(0,1)时，△ADE 面积S= 12AD ×AEsinA=1 2 xAB ×yACsinA=xy,D 、G 、E 三点共线?存在实数λ，使得DG DE λ=u u u r u u u r ?AG AD -u u u r u u u r =λ(AE AD -u u u r u u u r )?AG u u u r =(1-λ)AD u u u r +λAE u u u r =(1- λ)x AB u u u r +λy AC u u u r ,又AG u u u r =13AB u u u r +13AC u u u r ?1(1)3 1 3x y λλ? -=????=?? ，消去λ得到11x y +=3，因11x y + ≥ ?23?S ≥49,等号成立当且仅当x=y=23?DE ∥BC,故S 最小值为 49，1-S 的最大值为59；故两面积比值有最小值45，最大值5 4 。选BD 17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A ，从A 逆时针方向的点依次记为k A (k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为k A -(k=1,2,3,…,7)，△n m A AA -要构成以A 为钝角的钝角三角形，则n+m ≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C 18.【简解】正数点关于x 轴、y 轴对称，故一定是4的倍数。选ACD 19.【简解】设x=x+yi(x,y ∈R),代入化简得到22 14()3 9x y ++≤ ，表示以(-1 3 ,0)为圆心，以2 3 为半径的圆及其内部，根据图形，选ACD 20. 【解析】12a r ·1 2a r 是一个数值，不是向量，(A)错； 1122a b ?r r cos 22αβ sin 22αβ 2αβ- 2θ,(B)正确； 11222||a b -r r =2)22αβ +2)22 αβ =m+n-2 cos 2 αβ -= cos 2θ≥ (1-cos 2θ )=24 θ,(C)正确； 同理(D)正确 选BCD 21.【简解】 13n n a n a n ++=,迭乘得到n a =(n+2)(n+1)n ；3(1)n a n <+?n(n+2)<2(1)n +,(A)正确；2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完 全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB 22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ= 1 2 11cos()22 πθ-+表 示椭圆；(C)为ρ=1 21 1cos 2 θ -表示椭圆；(D)为ρ=112cos()2πθ-+表示双曲线。选BC 23.【解析】()f x ≤43?g(x)=2 4443sin x x x π-+-≥0,1()=g()2 g x 极小值=0,(A)正确； |()|f x ≤5|x|?|sin πx|≤|32x x x -+|.作图象知成立,(B)正确；x=1 2 是其一条对称轴， (C)正确；()()f a x f a x -++不可能为常数，故(D)错误。选ABC 24.【简解】A+B> 2π?A>2π-B ?sinA>sin(2π-B)=cosB,tanA>tan(2 π -B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，一定有2 2 2 a b c +>，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但3 3 0.50.90.854+=<1，(D)错误。总之，选ABC 25.【解析】根据导数定义，对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时，| ()(0) f x f x --1|<ε?x(1-ε)+1<()f x ()f x '>0,(B)正确；对于函数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC 26.【解析】将所有的|sin ∠A i P B ?sin ∠A j P B|，按从小到大排序，共有2 n C 个，其中最小者不大于13，最大为2，于是2 13 n C ≥2,n 的最小值为4.选B 27.【 解 析 】 设 x=rcos θ ,y=rsin θ , θ ∈ [0, 2 π].2x+y=1?r=12cos sin θθ+ =rcos θ+r=cos 12cos sin θθθ++,记作T ；去分母 得到Tsin θ+(2T-1)cos θ =1,sin(θ+arctan 21T T - )=1 ≤ T ≥45,等号成立当且仅当θ+arctan 21T T -=θ+arctan 34=2π ，(A)正确；当θ=0时T=2，θ=2 π 时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC 28.【简解】黑球先放好，放白球，选A 29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有3 5C 种方法，如选了123；在确定不重复用的数字，有1 3C 种方法，如选3；对数字3安排有1 5A 种方法，余下的对数字1安排有2 4 C 种方法，剩下的两位安排2；有35C 13C 15A 2 4C =900.选C 30.【简解】解方程得到221y x =--，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B) 正确；2 2 x y +1≤1有-2≤x ≤2 条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tan θ,θ∈(-2π , 2 π),2 y =-21sec 4θ+sec θ-34,当sec θ=2时，2max y =14，-12≤y ≤ 1 2 ,(D)正确。选ABD 自主招生模拟试题--03 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ?-1,且A k ?+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8 2.若函数1463)(2 3 +++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2 3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】． A.12 B.18 C.24 D.36 4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为)12)(1(2 1 )(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害． 为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8 5.若ABC ?的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则 sin cot cos sin cot cos A C A B C B ++的取值范围是【 】． A.(0,)+∞ B.51(0, )2+ C.5151(,)22-+ D.51 (,)2 -+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】． A.55 B.89 C.109 D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x = --+--+的最大值为____________. 8.若函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________. 2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F 2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成； 4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9 【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】 8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】 1.（2007清华） 对于集合2 M R ?（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0,0P M r ?∈?>，使得{}2 P R PP r M ∈?与集合{}(,)0,0x y x y ≥>?是否为开集，并证明你的结论。 2，（2009北大） 已知,cos cos 21x R a x b x ?∈+≥-恒成立，求max ()a b + 3，（2009清华） 已知,,0x y z >，a 、b 、c 是x 、y 、z 的一个排列。求证： 3a b c x y z ++≥。 4，（2006清华） 已知a ，b 为非负数，44M a b =+，a+b=1，求M 的最值。 5，（2008北大） 实数(1,2,i i a i b i ==满足123a a a b b b ++=++，122313122313a a a a a a bb b b bb ++=++，123123min(,,)min(,,)a a a b b b ≤。求证：12312m a x (,, )m a x (,,)a a a b b b ≤。 6，（2009清华） 试求出一个整系数多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++…，使得()0f x =有一根为 7，（2009清华） x>0,y>0,x+y=1,n 为正整数，求证：222112n n n x y -+≥ 8，（2007北大） 已知22()5319653196f x x x x x =-++-+，求f(1)+f(2)+…＋f(50)。 9，（2006清华） 设正三角形1T 的边长为a ，1n T +是n T 的中点三角形，n A 为n T 除去1n T +后剩下三个三角形内 2010年北大自主招生试题（理科） 数学： 1.AB为正五边形边上的点，证明：AB最长为（根5+1）/2(25分) 2.AB为y=1-x^2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值。(25分) 3.向量OA与OB已知夹角，|OA|=1，|OB|=2，OP=tOA，OQ=（1-t）OB，|PQ|在t0是取得最小值，问当0 2010年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβP ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F 交大附中自主招生试卷 第一部分 1. 已知 13x x +=-，求3311000x x ++. 2. 11(1) x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和. 3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S . 4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +. 5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值. 6. DE 为?BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，?BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长. 7. 在直角坐标系中，正ABC ?，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =， 求M 的横坐标. 8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径. 9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（ 12 m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值. 10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ?=，求ADE S ?的最值，并证明结论. 第二部分（科学素养） 1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）. 2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+- （1）14 b = ；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分） 3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分） 4. 附加题（25分） （2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221 w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=??+++=??+++=??+++=? （4 points ） Compute 98∞ （6 points ）Solve the 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization. The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to x 2013 清华北大自主招生 测评试题 数学 自主招生数学与逻辑测评试题 （考试时间： 90 分钟，总分 100 分） 一、选择题：本大题共 6 小题．每小题 6 分，共 36 分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 z 1,z 2 为一对不相等的共轭复数，且 z 1 = 3, z 12 为实数，则 z 1-z 2 的值为 z 2 （ ） A ． 3 B ． 6 C ．3 D ．23 2. 若点 P 在曲线 y=-x 2 -1上，点 Q 在曲线 x=1+y 2 上，则 PQ 的最小值为 （） A ．3 2 B ．3 2 C ． 3 2 D ． 3 2 2 4 8 3. 在 ABC 中，三边和三角满足 a cos B-b cos A= 3 c 则 tan A = （ ） 5tan B A 。3 B 。4 C 。5 D 。6 4. 如图，在正四棱锥 P-ABCD 中，∠ APC =60 °，则二面角 A-PB-C 的平面角的余弦值为（ ） A. 1 B. 1 7 7 C. 1 D. 1 P 2 2 D M C A B 5. 设 P 是函数 y=x+ 2 x>2 图像上任意一点，过点 P 分别向直线 y=x 和 y x 轴作垂线，垂足分别为 A 、B ，则 PA PB = （ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 6. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用一种，且每 周都是从上周没使用的三种密码中等可能的随机选用一种，设第一周使 用 A 密码，则第七周也使用 A 密码的概率为（）（用最简分数表示） A．43 B． 61 C． 48 D． 61 8124324381 选择题答题处： 1.() 2.() 3.() 4.()5.()6.( )二、解答题 (每题 16 分,共 64 分) 7. 设函数f n x =x n1-x2在1 ,1上的最大值为 a n n=1,2,3, 2 （1）求数列 a n的通项公式； （2）求证：对任何正整数 n n 2 ，都有 a n1成立； 2 n+2 （3）设数列 a n的前 n 项和为S n，求证：对任意正整数 n ，都有S n<7 成16 立。 2019年清华大学自主招生数学（理科）试题 1551 -的整数部分为a ，小数部分为b 。 （1）求,a b ；（2）求222ab a b ++ ；（3）求()2lim n n b b b →∞++L L 。 2．（1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥ 。 （2）,,a b c 为正实数，求证： 3a b c x y z ++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列。 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论。 4．已知椭圆22 221x y a b +=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P ，求证：AQ 2OP ，AR 成等比数列。 5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1n f s s s s =+++L L 。 6．随机挑选一个三位数I （1）求I 含有因子5的概率；（2）求I 中恰有两个数码相等的概率。 7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC = （1）求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形； （2）设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=。 8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数。 9．设1221,,,n a a a +L L 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a +L L 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等。求证：1221,,,n a a a +L L 全部相等当且仅当1221,,,n a a a +L L 具有性质P 。 2018年四川师大附中自主招生数学试卷 一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（5分）如图，若数轴上的两点A、B表示的数分别为a、b，则|a﹣b|+|b|等于（） A．a B．a﹣2b C．﹣a D．b﹣a 2．（5分）如果|m+1|+（n﹣2018）2＝0，那么m n的值为（） A．﹣1B．1C．2018D．﹣2018 3．（5分）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图如下，那么小正方体个数为（） A．5个B．6个C．7个D．8个 4．（5分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣1，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后小李从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为x，则小李得到的x值使分式的值为0的概率是（） A．B．C．D． 5．（5分）已知a2+b2＝6ab且a＞b＞0，则的值为（） A．B．±C．2D．±2 6．（5分）将边长分别为1、1、2、3、5的正方形依次选取2个、3个、4个、5个拼成矩形，按下面的规律依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④．若继续选取适当的正方形拼成矩形，那么按此规律，矩形⑧的周长应该为（） A．288B．220C．178D．110 7．（5分）若对所有的实数x，x2+ax+a恒为正，则（） A．a＜0B．a＞4C．a＜0或a＞4D．0＜a＜4 8．（5分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（） A．7B．11C．12D．16 9．（5分）如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cos∠CGD＝（） A．B．C．D． 10．（5分）一次函数y＝﹣kx+4与反比例函数的图象有两个不同的交点，点（﹣，y1）、（﹣1，y2）、（，y3）是函数图象上的三个点，则y1、y2、y3的大小关系是（） A．y2＜y3＜y1B．y1＜y2＜y3C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1 11．（5分）如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）→（1，0）→（1，1）→（1，2）→（2，1）→（3，0）→……，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（） A．886B．903C．946D．990 12．（5分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②当x≥1时，y随x 的增大而减小；③2a+b＝0；④b2﹣4ac＞0；⑤＜1，其中正确的个数是（） 本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！ == 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ == 2018年高校自主招生的推荐信(个人陈述)如何写 当你们在自主招生的时候，需要推荐信，那么自我推荐信应该怎么写呢?下面小编整理了一些方法，供大家参考，希望对你们有帮助。 2018年高校自主招生的推荐信(个人陈述)如何写 在写自我推荐信之前首先要对自己有一个清晰的认知，你可以想想这些问题： 自己的兴趣爱好是什么，有哪些特长，有哪些缺点? 高中三年参加过哪些学生工作和社团活动? 在高中阶段做过什么研究课题? 参加过什么竞赛?得了什么奖? 高中三年的成绩是平稳还是有起伏，期末考和一模二模成绩如何? 单科成绩有没有特别突出的? 感兴趣的专业是什么?想要报考哪所学校? 有哪些特征跟想报考的高校、专业比较符合? 高校自主招生申报材料中《个人陈述》是一项非常重要的内容。如果把申报材料中的“获奖情况”、“学业成绩”比作硬件的话，那么，“个人陈述”则是软实力。个人陈述具有十分重要的意义和作用：1、通过个人陈述，了解考生个性特质;2、通过个人陈述，了解考生对所报院校的认知程度;3、通过个人陈述，了解考生对所报专业的认知程度;4、通过个人陈述，了解考生在科学探究和时间能力所显示出的发展潜质;5、通过个人陈述，了解考生的情商以及语言表达能力。 不同院校写作个人陈述的具体要求会有所不同，但“万变不离其中”，总 的目的、内容、要求则大同小异。例如：201X年清华大学自主招生对个人陈述 提出的具体要求是：“你的人生理想是什么?迄今为止你对此做了怎样的准备? 清华对你实现人生理想有何帮助?”。西南财经大学自主招生对个人陈述提出的具体要求是：“举例说明你曾经做过的印象最深刻的、有较大意义的事件，包 括目的或任务、情景、经过以及结果等;举例说明你在非课堂情景中，曾经尝试过或发现过的新方法、新发明或做出的新探索;说明你的特长，为什么报考财经类大学(内容包括自身成长经历及体会、个性特长及取得的成果、进入大学后的努力方向及设想等)。这些内容都是高校自主选拔“具有学科特长，具有发展潜质”优秀人才目的要求的体现。 从个人陈述的结构上讲，个人陈述主要包括四个方面内容的板块：(一)考 生的个性特点、兴趣爱好、学科特长是什么;(二)报考XX大学、XX专业的理由 是什么即对所报大学的认知、对所报专业的认知;(三)科学探究、社会实践活动的表现、作用、收获是什么?(四)进入大学后的设想、规划是什么? 从个人陈述的效果上讲，四个方面相辅相成，每个版块各自相对独立，可 以各自单独成篇，但又是统一的整体，彼此相互衔接，相互关联，相互渗透， 相互补充。写作这些内容基本要求就是：(1)要有真情实感，谨防老套、做作。因为是自己亲身经历的必然真实，富有真情实感才能打动人;(2)要注重细节， 谨防大而化之、粗枝大叶。因为关键的内容细节最能说明问题，最能感染人;(3)语言表述要简洁明了，准确、生动，富有个性。因为审核老师的时间和精力是 有限的，简洁明了是对审核老师的尊重，更是自己语言表达能力的展现。准确、生动而又富有个性化的语言表达，能给审核老师或评委老师留下深刻印象，赢 得好评。 从个人陈述的后果上讲，个人陈述并不是仅仅提供给审核老师一看了之的事，不但直接影响报考申请能否获得通过，而且即使通过后还会有“后顾之忧”。一般来讲，在后边的自主招生面试中，考官或评委会针对考生个人陈 述中的内容或存在的问题，提出质疑、提出问题要求考生“答辩”。因此，考 生必须认真、用心地写好自己的个人陈述，并要为面试中被提问、被质疑做好 积极的思想准备。 了解推荐信(个人陈述)的作用 无论是哪所高校，都希望通过自主招生选拔到优秀人才。他们需通过考生 的个人陈述对考生有个全面的认知，大致掌握考生的整体状况，如：该生的学习能力、爱好特长、性格特点、未来规划等。与此同时，考生既然选报了这所高校，该高校自然也希望考生能给校方一个充分的理由―――是什么原因使你 选报我校?所以，自荐信所要做的就是把你―――完完全全的陌生人介绍给高校的初审老师。某大学就在自主招生《个人陈述撰写建议》中表示：“我们希 望能够通过个人陈述来从各个角度全面地了解每一个申请者。个人陈述是你充 分展现自我的机会，它可以充分反应你的个性和才智。一篇真诚而生动的个人 陈述会让你很快在所有的申请者中脱颖而出!” 绝密★启用前 清华大学2015年自主招生考试 数学试题 一、选择题 1.设复数z=cos 23π+isin 23 π,则2 111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)32 2.设数列{}n a 为等差数列,p,q,k,l 为正整数,则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2 x 上两点,O 是坐标原点,若OA ⊥OB,则( ) (A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥ (C)直线AB 过抛物线y=2 x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1 4.设函数()f x 的定义域为(-1,1),且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；② ()f x +()f y =()1x y f xy ++,x 、y ∈(-1,1),则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数 5.如图,已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点,则F(x)=f (x)?kx 有（ ） (A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点清华北大自主招生模拟试题(数学)
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