怎么求1→n→1连续自然数的和

怎么求1→n→1连续自然数的和

我们要求１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１，有什么简单的方法吗？大家来看下面这个具体例子。

求１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１

要计算这个和一般的方法将其看成两个等差数列，然后根据本节中学到的等差数列求和公式：Ｓ＝(（首项＋末项）×项数)/２，求和。

即１＋２＋３＋４＋５＝(（１＋５）×５)/２＝１５,４＋３＋２＋１＝(（４＋１）×４)/２＝１０

把他们相加便得出所求的和为１５＋１０＝２５

要问除了这个方法求和外，还有什么简捷的方法吗？大家仔细观察，如果大小搭配，易的：１＋２＋３＋４＋５＋４＋３＋２＋１＝５２＝２５

我们在观察一例

１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝？

同理可得：１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝７２＝４９

这样一来我们就德：１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１的和等于中间最大自然数的平方，即：１＋２＋３＋…＋（ｎ－１）＋ｎ＋（ｎ－１）＋…＋３＋２＋１＝ｎ２

连续自然数的和

题目描述 对一个给定的自然数M，求出所有的连续的自然数段，这些连续的自然数段中的全部数之和为M。例子：1998+1999+2000+2001+2002 = 10000，所以从1998到2002的一个自然数段为 M=10000的一个解。 输入格式 包含一个整数的单独一行给出M的值（10 <= M <= 2,000,000）。 输出格式 每行两个自然数，给出一个满足条件的连续自然数段中的第一个数和最后一个数，两数之间用一个空 格隔开，所有输出行的第一个按从小到大的升序排列，对于给定的输入数据，保证至少有一个解。样例输入 样例输出 试验程序： multimap> Continuation(int n) { multimap> mm; vector temp,nn; int i,j,k; for(i=1;i<=n/2;i++) { k=i; temp.clear(); temp.push_back(i); for(j=i+1;j<=(n/2+1);j++) { k+=j; temp.push_back(j);

if(k==n) { nn.push_back(*temp.begin()); nn.push_back(*(--temp.end())); mm.insert(pair>(temp.size(),nn)); nn.clear(); break; } else if(k>n) break; } } return mm; } 主函数调用为： #include"stdafx.h" #include"example24_apply_offer2.h" void main() { multimap> cc; multimap>::iterator pos; vector kk; vector::iterator kkpos; cc=Continuation(10000); for(pos=cc.begin();pos!=cc.end();++pos) { for(kkpos=(pos->second).begin();kkpos != (pos->second).end();++kkpos) cout<<*kkpos<<" "; cout<

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1)

(完整)2018四年级希望杯考前100题word版

第16届希望杯考前训练100题 学前知识点梳理 主要针对“希望杯”全国数学邀请赛进行考前特训，主要学习内容有： 1.整数的四则运算，运算定律，简便运算。 2.基本图形，图形的拼组（分、合、移、补），图形的变换，折叠与展开。 3.角的概念与度量，长方形、正方形的周长和面积，平行四边形、梯形的概念和周长计算。 4.整除概念，数的整除特征，带余数除法，平均数。 5.几何计数（数图形），找规律，归纳，统计，可能性。 6.数谜，分析推理能力，数位，十进制表示法。 7.生活数学（钟表，时间，人民币，位置与方向，长度，质量的单位）。 8.应用题（植树问题、年龄问题、鸡兔同笼、盈亏问题、行程问题）。 考前100题选讲 1.计算：8×27×25。 2.计算：9+98+987+9876。 3.计算：2-4+6-8+10-12+…-48+50。 4.计算:2017×2016+2016×2014-2015×2016-2015X2017。 1

5.计算:15÷7+68÷14。 6.已知999999÷（a÷2)=142857，求a 7.某数被27除，商是8，余数是5，求这个数。 8.定义：A*B=（A+3)×（B-2)，求15*17。 9.除法算式△÷7=12……□中，余数最大是多少？ 10.有5个连续偶数之和恰好等于4个连续奇数之和，如4+6+8+10+12=7+9+11+13。请写出一个符合要求的式子。 11.将36表示成三个大于1的自然数的乘积（不考虑三个自然数的相乘顺序）。共有几种不同的表示方法？

12.用数字2，0，1，7可以组成多少个不重复的三位数？ 13.用2295除以一个两位数，丽丽在计算的时候错把这个两位数的十位数字和个位数字写反了，得到的结果是45，则正确的结果应该是多少？ 14.如果把某个除法算式的被除数152写成125，则商会比原来的结果小3，且余数不发生变化，求余数？ 15.2017和某个小于100的自然数的和正好等于两个连续自然数之积，求这个小于100的自然数。 16.某两位数的十位数字与个位数字互换后，新数比原数大36，求原来的两位数。 17.abc是一个三位偶数，已知b是c的三倍，且b=a+c，求abc。 18.在乘法运算15×16×17×18×19×20×21×22×23×24×25的计算结果中，最后有多少个连续的0？

自然数平方和公式的推导与证明

※自然数之和公式的推导 法计算1，2，3，…，n，…的前n项的和： 由 1 + 2 + … + n-1 + n n + n-1 + … + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ … +（n+1）+（n+1） 可知 上面这种加法叫“倒序相加法” ※等差数列求和公式的推导 一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即 1、思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？ 思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。 我们用两种方法表示： ① ② 由①+②，得

由此得到等差数列的前n项和的公式 对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。 2、除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍） 当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： = = = = 这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次 函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同 点是第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

自然数平方和公式的推导与证明（一） 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 一、设：S=12+22+32+…+n2 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题另设：S 1 的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题， 第一：S =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，1 (n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即 =2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1) S 1 =12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为： 第二：S 1 =12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中： S 1 22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2) 12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2 = (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n =22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n =4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3 ) 由(2)+ (3)得： =8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4) S 1 由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n 即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1] = n(2n2+3n+1)

连续自然数的立方和

连续自然数立方和的公式 “图形法“ 早在公元100年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》中就曾经用非 常简单的方法推导过这个公式。 奇数列1，3，5，7，9，11，13，…有一个性质，很容易验证： 请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端： 第1个等式左端，结束于第1个奇数； 第2个等式左端，结束于第3个奇数； 第3个等式左端，结束于第6个奇数； 第4个等式左端，结束于第10个奇数； 第5个等式左端，结束于第15个奇数； …… 结果发现，这些奇数的序数1，3，6，10，15，…原来是“三角形数”，它的每一项等于从1开始的连 续自然数的和。第1项是1，第2项是1＋2＝3，第3项是1＋2＋3＝6，第4项是1＋2＋3＋4＝10，第5 项是1＋2＋3＋4＋5＝15，……第n项是1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)/2。即，第n个等式左端，结束于第n(n ＋1)/2个奇数。 然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和： 右端是连续自然数的立方和13＋23＋33＋…＋n3。 左端是连续奇数的和。我们知道，求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方。现在，求到第n(n＋1)/2个奇数，当然等于[n(n＋1)/2]2。 这样就得到求连续自然数立方和的公式： 这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的 宠爱有关。图形数是自然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏。

“列表法” 这里再介绍一种列表法，同样可以推出这个公式，并且更简单，更好理解。 第一步：列一个表，在第一行填入一个因数1、2、3、4、5，在第一列填入另一个因数1、2、3、4、5。 第二步：在右下方的空格里分别填入对应的两个因数的积。 显然，所有乘积的和等于 这5块依次是：

求连续自然数平方和的公式

求连续自然数平方和的公式 前面，在“求连续自然数立方和的公式”一中，介绍了用列表法推导公式的过程。这种方法浅显易懂，有它突出的优越性。在“有趣的图形数”一文中，也曾经用图形法推出过求连续自然数平方和的公式： 12＋22＋32…＋n 2＝6 ) 12)(1(++n n n 这里用列表法再来推导一下这个公式，进一步体会列表法的优点。 首先，算出从1开始的一些连续自然数的和与平方和，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… 1＋2＋3＋…＋n 1 3 6 10 15 21 …… 12＋22＋32＋…＋n 2 1 5 14 30 55 91 …… 然后，以连续自然数的平方和为分子，连续自然数的和为分母，构成分数 A n ＝n n ++++++++ 3213212 222， 再根据表中的数据，算出分数A n 的值，列出下表： n 1 2 3 4 5 6 …… A n 1 35 37 3 311 313 …… 观察发现，A n 的通项公式是3 1 2+n 。 既然A n ＝n n ++++++++ 3213212222，而它的通项公式是3 1 2+n ，于是大胆猜想 n n ++++++++ 3213212222＝3 1 2+n 。 因为分母1＋2＋3＋…＋n ＝2 ) 1(+n n ， 所以 2)1(3212222+++++n n n ＝31 2+n 。 由此得到 12＋22＋32…＋n 2＝ 2)1(+n n ×312+n ＝6 ) 12)(1(++n n n 。 即 12＋22＋32…＋n 2＝ 6 ) 12)(1(++n n n 。

用数学归纳法很容易证明等式的正确性，这样就轻而易举地推出了求连续自然数平方和的公式。 这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的杰作，关键之处是他运用了“猜想—证明”的思路。联想到当年著名文学家胡适也曾经有过“大胆假设，小心求证”的名言。看来，无论数学也好，文学也好，追求真理的道路是相通的。 这件事对我们教师有什么启示吗？有，那就是：切莫轻视了对学生观察、类比和猜想能力的培养，这往往是培育创新思维的有效途径。

7.连续数问题

杭州青少年活动中心11年春季五年级“1+1”数学俱乐部练习 (7)《连续数问题》 教室；学号 ；姓名 ；成绩 [讨论2]在2至2011这2010个数中，与1234相加时，至少有一个数位发生进位的数有多少个？ [讨论3].三个小于5000连续自然数，它们从小到大依次是9、10、11的倍数，这三个连续自然数中（除10外），是11的倍数的最大是多少？ [讨论4]. 已知三个连续自然数，它们都小于2011，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除，那么最小的一个自然数是多少？ [讨论5]在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和13的数共有多少个？ [讨论6]有15位同学，每位同学都有一个编号，依次是1至15号.1号的同学写了一个五位数，2号的同学说："这个数能被2整除"，3号的同学说："这个数能被3 整除"；4号的同学说："这个数能被4整除"；……15号的同学说："这个数能被15整除".1号的同学一一作了验算，只有编号连续的两位同学说的不对，其他同学都说得对. （1）说得不对的两位同学的编号个是多少？ （2）这个五位数最小是多少？ [讨论1]有些数既能表示成3个连续自然数量的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和。请你在700至1000之间找出所有满足上述条件的数。 试一试：把105分成10个连续自然数的和，这10个自然数分别是多少？

【小试身手】 1.★84分拆成2个或2个以上连续自然数的和，有几种？分别是多少？ 2.★三个连续自数数的后面两个数的积与前面两个数的积之差是114 ，那么这三个数的和是多少？ 3.★★在15个连续自然数中最多有多少个素数，最少有多少个素数？ 4.★★有四个连续自然数，它们都小于2005，第一个数（四个数中最小的数）是5的倍数；第二个数是7的倍数；第三个数是9的倍数；第四个数（四个数中最大的数）是11的倍数。请问这四个数中最小的数是多少。 5.★★★已知三个连续自然数，它们都小于3000，其中最小的能被11整除，中间的能被16整除，最大的能被21整除。写出这样的最小的三个连续自然数。 6.★★★甲有三个连续自然数，从小到大依次分别能被17，15，13整除，写出一组这样的三个连续自然数。 7.★★★有10个连续的两位数，按从小到大的顺序从左到右排成一行，其中每一个两位数的两个数字的和都能被它所排的序号整除(即序号n能整除第n个两位数的数字和)。那么，这10个两位数中，最大的两位数的两个数字的和是多少？

小五奥数-连续自然数

在数字问题中，连续自然数（包括连续偶数，连续奇数，连续质数）是一类的数列。它与自然数的性质、运算性质有着广泛的联系，可以提出很多问题，是课外活动及数学竞赛中常见的题目。 在1~1999这1999个数中，有个数与4567相加时，至少有一个数位上发生进位。 试一试 在2~2007这2006个数中与1234相加时，至少有一个数位上发生进位的数有个。 三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么，符合条件的最小的三个 连续自然数是

试一试 有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个自然数的和。例如30满足以上要求，30=9+10+11=6+7+8+9=4+5+6+7+8.请在700至1000之间找出所有满足上述条件要求的数。（提示;3个连续自然数之和可被3整除，4个连续自然数之和可被2整除，5个连续自然数之和可被5整除。） （1）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？ （2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的数字之和能被4整除？ 有15位同学，每位同学都有编号，他们是1到15号，1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号整数，1号作了一一验证，只有编号相邻的两个同学话说的不对。问：（1）说的不对的两位同学，他们编号是哪两个连续自然数。 （2）如果告诉你，1号写的是五位数，请求出这个数。

试一试 在1、2、……、1994这1994个数中选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么，这样的数最多能选出个。 在15个连续自然数中最多有多少个质数？最少有多少个质数？ 试一试 五个连续自然数，每个数都是合数，这五个连续自然数的和最小是 用1到9这9个数字组成三个3位数（每个数字都要用到），每个数都是4的倍数，这三个三位数中最小的那个三位数最大的数是多少？

推导自然数立方和公式两种方法

推导213)1(21??????+=∑=n n k n k 的两种方法 通化市第一中学校 刘天云 邮编 134001 方法一：拆项累加相消求和 已知：)12)(1(6 112++= ∑=n n n k n k 而)]2)(1()1()3)(2)(1([4 1)2)(1(++--+++=++k k k k k k k k k k k 则：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1 )3)(2)(1(41)]2)(1([ 所以：∑∑∑∑====--++=n k n k n k n k k k k k k k 1 1121323)]2)(1([ )1(2 12)12)(1(613)3)(2)(1(41+?-++?-+++=n n n n n n n n n 2)1(21?? ????+=n n 另外：∑=+++= ++n k n n n n k k k 1)3)(2)(1(4 1)]2)(1([还可以作如下证明： )2)(1(432321++++??+??n n n )(6323433++++=n C C C )3)(2)(1(4 1643+++==+n n n n C n 方法二：构造群数列推导 构造奇数列，并按第n 群中含有个奇数的方式分群，即 1 / 3，5 / 7，9，11 / 13，15，17，19 / …… 我们用两种方法研究前n 群的所有数的和. 1、第n 群最末一个数是数列的第)1(2 1+n n 项，而且该项为 11)1(2 122)1(21 -+=-+?=+n n n n a n n

那么，第n 群最初一个数是数列的第1)1(2 1+-n n 项，而且该项为 111)1(21221)1(21 +-=-?? ????+-?=+-n n n n a n n 所以，第n 群的n 个数的和为：322)]1()1[(2 1n n n n n n =-+++-. 则前n 群的所有数的和可记作∑=n k k 13. 2、前n 群所有数的和为该奇数列的前)1(21+n n 项的和，即2 )1(21??????+n n 因此：2 13)1(21??????+=∑=n n k n k

自然数平方和

这里的自然数指的是不包含0的传统自然数。 1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=? （n^2表示n×n＝n2为了好打字） 一、推导 1、直接推导： 1+2+3+4+……+n=(1+n)*n/2 + + 2+3+4+……+n=(2+n)*(n-1)/2 + + 3+4+……+n=(3+n)*(n-2)/2 + + . . . . (i+1)+……+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,……,n-1) || || S = (2*n^3+3*n^2+n-2S)/4 两边求一下得所求S 此法较为直观正规 2、用其他的公式推导： 容易证明1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +...+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+2)(数学归纳法易证，而左式可写成 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + ... + nxn)+(1+2+...+n) 于是 1x1 + 2x2 + ... + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1) 3、二项式推导： 2^3=1^3+3*1^2+3*1+1 3^3=2^3+3*2^2+3*2+1 4^3=3^3+3*3^2+3*3+1 ....... (n+1)^3=n^3+3*n^2+3^n+1 sum up both sides substract common terms: (n+1)^3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1==> solve for b b=1^2+2^2+...+n^2 此法需要较强的基本功，属奥妙之作 4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）

涉及三个连续自然数的整除问题

涉及三个连续自然数的整除问题 陕西省小学教师培训中心王凯成赵熹民 题1 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。 题2 有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。 题1、题2都是涉及三个连续自然数的整除问题。如何解决这类问题呢？ 例1见题1 解：能够被5整除数的特征是：个位数字是0或5。以中间数的个位数字是0或5为突破口。 谁乘以7的个位数是1或6呢？只有□3×7或□8×7的个位数是1或6。 100÷7=14……2，因为14＞13，用23试验。 23×7=161, 161－1=160是5的倍数，160－1=159是3的倍数。 故159、160、161是符合条件的一组数。 在100至200之间还有没有其它符合条件的三个连续自然数呢？ 3、5、7的最小公倍数是105，而100＜159+105k＜200与100＜161+105k＜200的k只能取0，故159、160、161是唯一符合条件的一组数。 例2 见题2 0或5。 解：能被 随便取一个数试验。 88×19=1672，因最小的数要被3整除，但3不整除1670，调整，给1672增加190的若干倍(因1672+190m，仍然能被19整除)，1672+190=1862，3整除1860，但17不整除1861。再调整，给1862增加190×3=570的若干倍(因1862+570k能被19整除，而1860+570k能被15整除)。 1862+570=2432，此时恰好17整除2431。 故2430、2431、2432是符合条件的一组数。 由15、17、19的最小公倍数是4845知：2430+4845k、2431+4845k、2432+4845k (k=0,1,2，……) 是符合条件的任意一组数。 例3 有大于400的三个连续自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出一组这样的三个连续自然数。 解：由被5整除数的特征知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6(为什

自然数平方和公式推导

我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形： 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 …… n n …… n 这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和 接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n 这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用 如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢 注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的： 1 1 1 (1) 2 2 2 (2) 3 3 3 (3) 4 4 4 (4) …… n n n …… n 这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2 而我们补上的数字是哪些呢？ 1 1 1 …… 1 (n-1)个的1 2 2 …… 2 (n-2)个的2 3 …… 3 (n-3)个的3 ……… n-1 又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，

最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于 (12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2] 将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得 T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2 =S(n-1)/2+(n-1)*n/4 =S(n-1)/2+n2/4-n/4 也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n) =n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4 =n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……① 因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2 可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到 S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2 3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4 3S(n)=n3+3n2/2+n/2 S(n)=n3/3+3n2/6+n/6 上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6 另外一种经典的方法

前n个自然数的平方和及证明

帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 － 1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。

五年级期中考试数学试题

五年级期中考试数学试题 一、填空。(30分)(每空1分) 1.已知两个数的积是1 2.8，其中一个乘数是2，另一个乘数是()。 2.1～20的自然数中奇数有()个，偶数有()个，质数有()个，合 数有()个，()既不是质数又不是合数。 3.5.4是1.8的()倍，0.48是()的24倍。 4.327至少加上()，才是2的倍数，至少减去()，才是5的倍数。 5.在15、18、20、30、45这五个数中，是3的倍数是()。有因 数5的数是()，既是3的倍数，又是5的倍数有()。 6.在三位数42的“”中可以填上()、()、()和()后组成的数都 是3的倍数。 7.一个平行四边形面积是38平方厘米，底是9.5厘米，高是()。 8.一个平行四边形的底扩大3倍，要让面积不变高应该()。 9.9.925保留一位小数约是()，2.445保留两位小数约是()。 10.一个平行四边形的面积是50平方厘米，和它等底等高的一个三角形面积是()。 11.一个两位小数取近似值是 5.8，那么这个两位小数最大是()，最小是()。 12.把1.2111…,1.212121…,1.211这三个数按从小到大的顺序 排列 ()<()<() 13.根据2072÷37=56直接写出得数 207.2÷37=()2.072÷0.037=()2072÷0.37=()

二、下列说法对吗?请你来当小法官。(5分)(对的涂“A”，错的涂“B”) 1.两个连续奇数的积一定是合数。() 2.一个数的倍数总比这个数的因数大。() 3.5是因数，15是倍数。() 4.长方形的面积和平行四边形的面积相等。() 5.是轴对称图形。() 三、火眼金精(把正确答案的序号涂黑)(10分) 1.一个质数() A没有因数B只有一个因数C只有2个因数D有3个因数 2.下面各组数中，三个连续自然数都是合数的是() A13、14、15B7、8、9C14、15、16 3.既是2的倍数，又是5的倍数的最大三位数是() A、999 B、995 C、990 D、950 4、与36相邻的两个偶数是() A、35和37 B、34和38 C、36和38 D、34和36 5.一个奇数如果()，结果是偶数。() A加上一个偶数B乘1C加上一个奇数D除以1 6.一个不等于0的数除以0.75，商一定()这个数。 A大于B等于C小于 7.下面各数中是9的倍数的是()。 A3B6C9 8.计算7.5÷0.016时必须先把被除数和除数同时扩大()倍。

自然数的和,平方和,立方和

For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+

∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n

一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件

一个正整数能够表示成两个正整数平方和的充分必要条件 在上面第1楼的帖子中，证明了这样一个定理： 第1楼帖子中定理 正整数 M 能表示成两个整数平方和的充分必要条件是：M 的素因子分解式中，所有形为 14-n 的素因子的冪指数都是偶数。 注意，这个定理中说的是“整数平方和”，不是“正整数平方和”，所以，像 22039+=， 2 2 0749+= ，2 2 021441+= 这样的两整数平方和，都算是符合定理要求的。 如果我们希望把上面这种带 0 的整数平方和的例子排除在外，把定理中的“整数平方和”改为“正整数平方和”，那么，定理又会是怎么样的呢？ 为了证明这样的定理，下面先证明一个引理。 引理 若有 222z y x =+ ，其中 z y x ,, 都是正整数，1),(=y x ， 则必有正整数 q p , ，1),(=q p ，而且 q p , 一奇一偶，使得 2 2 q p z += 。 证 y x , 不会都是奇数，否则 22y x + 是形为 24+n 的数，不可能等于 2z 。又因为 1),(=y x ，y x , 也不会都是偶数，所以 y x , 必定一奇一偶，不妨设 x 是奇数，y 是 偶数，这时 z 显然也是奇数，而且 x z > ，1),(=z x 。 因为 x z , 都是奇数，x z > ，所以 2 x z + ， 2 x z - 显然都是正整数。 这时有 2 2 22 2 2 )2 (2 2 )2 )( 2 (y y x z x z x z == -= -+ 。 因为 y 是偶数，所以 2 y 是整数。又因为 1),(=z x ，所以 1)2,2( =-+x z x z ，所以2)2(y 中的任何一个素因子，或者全部在 2x z + 中，或者全部在 2x z - 中。由于 2 )2 (y 中 的素因子的幂次都是偶数，所以 2 x z + ， 2 x z - 中的素因子的幂次也都是偶数，可见 2 x z + ， 2 x z - 都是完全平方数。 设 2 x z p += ，2 x z q -= ，因为 2 x z + ， 2 x z - 都是完全平方数，所以 q p ,都是正整数，而且有 z x z x z q p =-+ += +2 2 2 2 ，x x z x z q p =-- += -2 2 2 2 。

三个连续的自然数总和是150

一、（43分） 1、三个连续的自然数总和是150，这三个连续的自然数分别是（）（）（）。 2.（）54÷5，要使商是三位数，（）里最小能填几( ). 1.小明6分钟走了358米，每分钟大约走（）米。 2.一个数除以6，商是32，余数最大是（），这时被除数是（）。 3.被除数与除数的和是320，商是7，被除数是（）。 4.甲书架有76本书，乙书架有44本书，从甲书架拿( )本书放到乙书架上，两个书架的书一样多。 5.甲乙两数的平均数是91，甲数是80，乙数是（）。 6.要使664÷（）的商是三位数，（）里最大填（）。 7.妈妈今年39岁，她出生于（）年。 8.阳阳每天早上六点起床，她应该晚上（）时睡觉才睡足9小时。 9.纺织工人晚上11时30分上班，第二天上午7时30分下班。他们工作了（）小时。 10.某超市促销活动于6月13日举行，6月25日结束，本次促销活动共经历了（）天。 11.一页书有21行，每行28个字，一页大约有（）个字。 12.一个正方形花圃的周长是80米，这个花圃的面积是（）。 13.一条长12米，宽6米的走廊，要在地面铺面积是4平方分米的方砖。需要（）块这样的方砖。 14.一个长方形，如果长增加4厘米，面积就增加32平方厘米，如果宽增加1厘米，那面积就增加9平方厘米，这个长方形原来的面积是（）。 15.在（）里填上适当的单位。 一张邮票的面积是6（）课桌的面积约42（） 小华家住房面积是98（）黑板的周长是8（） 一个果园的面积约15（）中国的领土面积大约是960万（）18.680平方厘米=（）平方分米（）平方厘米 5日=（）时17时是下午（）时 19.小李叔叔身高178厘米，写成小数是（）米。 20.与7.5相邻的两个一位小数分别是（）、（）。 21.小民读一个数时，由于粗心没有看到小数点，结果读成了四万一千零九，读原来小数时也要读出一个零，这个小数时（），读作（）。 22.一个游泳池长25米，小明有了2个来回，他共游了（）米。 23.三（1）班参加语文兴趣小组的有18人，参加数学小组的有16人，其中有5人两个兴趣小组都参加了，三（1）班共有（）人参加兴趣小组。 24. + =80 = + + =（）=（） 25. - =40 = + + + + =（）=（） 26.丽丽的今年7岁，爷爷的年龄是她的9倍，明年爷爷的年龄是她的（）倍。 27.用5个边长是1厘米的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（），面积

【最新】苏教版五年级数学下册期中试卷及答案

苏教版五年级（下）期中数学试卷 一、填空． 1．在讲“数的整除”时，我们所指的数，一般是指，不包括． 2．在6÷12=0.5 91÷13=7 8÷5=1…3 25÷7=3…4，这三个式子里，能整除的式子 是，能除尽的式子有个，不能整除的算式有个． 3．在28=2×2×7这个形式中，每个质数都是的因数，叫做这个合数的．4．a?a?a也可以写作“a3“，读作，表示． 5．在横线上填上合适的单位名称． 一只乒乓球的体积约15 ； 一台冰箱的所占空间约是1.5 ； 一间教室占地面积约48 ； 一个墨水瓶的容积约是60 ． 6．5.7升= 立方分米= 立方厘米． 7．写出符合下列要求且互质的两个数（各写出一组即可） 两个都是合数；一个质数和一个合数． 8．在20的所有约数中，最大的一个是，在15的所有倍数中，最小的一个 是． 9．按照自然数能否被2整除，可以把自然数分为． 10．请你按照下面的要求分别写出一个数： 能同时被2、3和5整除最小的三位数；能同时整除6和8的最大的数．11．在括号里填上适当的质数： 20= + = + = + + ． 12．一个正方体的底面周长是16厘米，它的表面积是平方厘米，体积是 立方厘米． 13．正方体棱长扩大3倍，则表面积扩大倍，体积增加倍． 14．10和12的最大公因数是，最小公倍数是， 比较这两个数的乘积和最大公因数与最小公倍数的积，我发现． 二、判断题． 15．任何一个自然数都至少有两个约数．．（判断对错） 16．最小的质数是1．．（判断对错） 17．在五个连续的自然数中，必有一个是5的倍数．．（判断对错） 18．输液瓶里装了500毫升的药液，输液瓶的容积就是500毫升．．（判断对错）19．表面积相等的两个长方体，体积也一定相等．（判断对错）． 20．长方体的6个面只能是长方形，不可能是正方形．． 21．有公约数1的两个数叫做互质数．．（判断对错） 22．两个数的公约数一定比这两个数都小．．（判断对错） 三、单一选择题． 23．全体非零的自然数按约数的个数分（） A．质数和合数B．奇数和偶数 C．质数、合数和1 D．上面三种都不对 24．下面（）个一样的小正方体可以拼成一个大正方体． A．4 B．9 C．16 D．64 25．既能整除15，又能整除30的数是（） A．15 B．30 C．60 D．90 26．6和7都是42的（）

自然数平方数列和立方数列求和公式

自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1