基于BP神经网络的非线性函数拟合

基于BP神经网络的非线性函数拟合

摘要：本文建立BP神经网络对一个多输入多输出系统的二元非线性函数进行拟合，仿真实验表明：在样本数据充足且不含噪声的情况下，训练的精度越高，逼近的效果越好；数据不充足且不含噪声时，训练精度的高低在一定范围内对于网络性能没有决定性的影响，网络性能主要取决于初始化；不管训练数据是否充足，若含有噪声，训练精度过高会使网络泛化能力降低。

0引言

作为当前应用最为广泛的一种人工神经网络，BP网络在函数逼近、模式识别、数据压缩、智能控制等领域有着非常广泛的应用。BP网络由大量简单处理单元广泛互联而成，是一种对非线性函数进行权值训练的多层映射网络，结构简单，工作状态稳定，具有优良的非线性映射能力，理论上它能够以任意精度逼近任意非线性函数。BP神经网络通过学习能够存储大量输入输出样本中蕴含的映射关系，只需提供足够的样本模式对BP网络进行训练，而无需事先了解数学方程。本文采用BP神经网络解决下列函数拟合问题。

函数逼近：设计一个神经网络拟合下列多输入多输出函数：

y1=2+x1RP1.5-1.5sin(3x2); y2=x2sin(x1)+x1cos(x2); 1< x1, x2<5 产生200个数据，其中100个用来训练网络，另外100个用于网络模型的测试。1BP神经网络结构和算法

一个典型的3层BP神经网络结构如图1所示，包括输入层、隐含层和输出层。各层

神经元之间无反馈连接，各层内神经元之间无任何连接。其中隐含层的状态影响输入输出之间的关系，及通过改变隐含层的权系数，就可以改变整个多层神经网络的性能。BP 神经网络的学习过程由正向传播和反向传播组成。在正向传播中，输入的样本从输入层经过隐含层之后，传向输出层，在逐层处理的过程中，每一层神经元的状态只对下一层神经元的状态产生影响。在输出层把现行输出和期望输出进行比较，如果现行输出不等于期望输出，则进入反向传播过程。反向传播过程中，误差信号从输出层向输入层传播，并对每个隐含层的各个神经元的权系数进行修改，使误差不断减少，直至达到精度要求。BP 算法的实质是求取误差函数最小值问题，通过多个样本的反复训练，一般采用非线性规划中的最速下降方法，按误差函数的负梯度方向修改权系数。

隐含节点

图1 典型3层BP神经网络结构图

2用于函数拟合的BP神经网络模型的建立

为建立函数拟合的BP神经网络模型，一般要考虑以下几步：

(1) 样本数据的产生

为简单起见，在x1，x2均属于[1,5]区间内选择均匀分布的200个数据点分别作为训练和测试样本。如图2所示。

x1

x 2

图2 数据样本

(2) 数据预处理

通常需要将样本数据归一化，由于这里的数据变化范围不大，所以暂不考虑对数据的归一化。 (3) 网络结构的选择

①网络层数：理论证明，在不限制隐层节点数目的情况下，单隐层BP 网络可以实现任意非线性映射。但本题中，仿真表明采用两个隐层更为合适。

②输入输出层节点数：本题中，所拟合的函数为两个输入变量，两个输出变量。所以BP 网络输入层设置两个节点，输出层也设置两个节点。

③隐层节点数：隐含层节点数目的选择是一个十分复杂的问题, 到目前为止, 还没有用数学公式来明确表示应该怎样确定隐含层的节点数目。节点数目太少, 不能很好的表达样本数据种所蕴含的规律; 但隐含层节点太多又导致学习训练时间太长, 误差也不一定最佳，还可能出现“过度吻合”的问题，使得泛化能力降低。本题中隐层节点的选取主要采用试凑的办法。如前所述，这里设置两个隐层，第一层节点设置分为3和30两种，第二层节点设置分为2和20两种，以便于对比。

④神经元的传递函数：隐层采用单极性sigmoid函数“tansig”，输出层采用

线性传递函数“purelin”。

(4) 训练及仿真

采用批训练方法，一批数据即为全部100个训练样本。输入x1，x2∈[1.2，4.8]，输出y1∈[1.8660，14.0105]；y2∈[-7.9795，4.9380]。

通过对100个样本进行一次整体学习后，再统一修改一次网络的权。学习算法采用学习率可变的动量BP算法（traingdx）。训练目标为网络输出与样本输出之间的均方误差（mse），训练精度可根据需要设定。BP网络训练完成以后，即可用于仿真。将测试数据输入网络，得到的网络输出与样本输出进行比较，即可分析网络的泛化能力。当然，通过网络仿真的数据需要经过适当的反归一化变换才能够与测试样本的输出直接进行比较。

(5) 测试及仿真

为检验所训练出的网络是否满足要求，需要对其进行仿真测试。测试数据的输入x1，x2∈[1.4，5.0]，输出y1∈[2.1587，14.5593]；y1∈[-8.0943，5.3798]。

3模型仿真及验证

按前述方法用下面的指令创建神经网络:

net= newff ([1.2 4.8；1.2 4.8],[3，2，2] , {'tansig', 'tansig', 'purelin'}, 'traingdx',

'learngdm' );

待拟合的函数图形化结果如图3所示。图3(a)为y1，y2的三维视图，图3(b)为y1的二维投影视图，图3(c)为y2的二维投影视图。

x1

待拟合的曲面y1x2

y 1

x1

待拟合的曲面y2

x2

y 2

图 3(a) 待拟合函数的三维视图

x1

y 1

平面x2=3截曲面y1所得的曲线在x1-y1面上的投影

x2

y 1

平面x1=3截曲面y1所得的曲线在x2-y1面上的投影

图 3(b) 待拟合函数y1的投影视图

x1

y 2

x2

y 2

图 3(c) 待拟合函数y2的投影视图

图 3 待拟合的函数图形化结果

首先采用学习率可变的动量BP 算法（其训练函数为'traingdx'），取不同的隐含层得到

的训练结果如图4，测试结果如图5：

1）隐含层为3，2，epochs=30000,goal=0.001;

2

3

4

5

1

2

3

4

5

5

10

15

x1

BP网络训练输出曲面y1

x2

y

1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

-10

-5

5

x1

BP网络训练输出曲面y2

x2

y

2

图4(a) 网络训练输出曲面

2

3

4

5

1

2

3

4

5

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.15

x1

网络训练误差曲面

x2

输

出

误

差

2

3

4

5

1

2

3

4

5

-0.2

-0.1

0.1

0.2

x1

网络训练误差曲面

x2

输

出

误

差

图4(b) 网络训练输出误差曲面

基于BP神经网络的曲线拟合

神经网络实验报告 基于BP网络的曲线拟合 学院：控制学院 姓名：李嘉頔 学号:09423021 2015年6月

一、实验目的 ⑴掌握BP神经网络的权值修改规则 ⑵利用BP网络修改权值对y=sin(x)曲线实现拟合 二、实验要求 人工神经网络是近年来发展起来的模拟人脑生物过程的人工智能技术，具有自学习、自组织、自适应和很强的非线性映射能力。在人工神经网络的实际应用中，常采用BP神经网络或它的变化形式，BP神经网络是一种多层神经网络，因采用BP算法而得名，主要应用于模式识别和分类、函数逼近、数据压缩等领域。 BP网络是一种多层前馈神经网络，由输入层、隐层和输出层组成。层与层之间采用全互连方式，同一层之间不存在相互连接，隐层可以有一个或多个。BP算法的学习过程由前向计算过程和误差反向传播过程组成，在前向计算过程中，输入信息从输入层经隐层逐层计算，并传向输出层，每层神经元的状态只影响下一层神经元的状态。如输出层不能得到期望的输出，则转入误差反向传播过程，误差信号沿原来的连接通路返回，通过修改各层的神经元的权值，使得网络系统误差最小，最终实现网络的实际输出与各自所对应的期望输出逼近。 三、实验内容 3.1训练数据导入 要对BP网络进行训练，必须准备训练样本。对样本数据的获取，可以通过用元素列表直接输入、创建数据文件，从数据文件中读取等方式，具体采用哪种方法，取决于数据的多少，数据文件的格式等。 本文采用直接输入100个样本数据的方式，同时采用归一化处理，可以加快网络的训练速度。将输入x和输出y都变为-1到1之间的数据，归一化后的训练样本如下图： 3.2网络初始化

根据系统输入输出序列，确定网络输入层节点数为1，隐含层节点数H 为20，输出层节点数为1。初始化输入层、隐含层和输出层神经元之间的连接权值ij w ， jk v ，初始化隐含层阈值0t ，输出层阈值1t ，给定学习速率0a ，1a 和u ，给定算法 迭代次数inum 和最大可接受误差error ，同时给定神经元激励函数sigmoid 。 3.3前向输出计算 根据输入变量x ，输入层和隐含层间连接权值ij w 和隐含层阈值0t ，计算隐含层输出P ： ) )((∑=-?=n i j i ij j t x w u f P 10l j ,...,,21=其中n 为输入层节点数，本实验中取1；l 为隐含层节点数，本实验中取20；f 为隐含层激励函数，该函数可设置为多种形式，本实验中所选函数为： x e x f -+= 11 )(根据隐含层输出P ，隐含层和输出层间连接权值jk v 和输出层阈值1t ，计算BP 神经网络预测输出k Q ： ∑=-=l j k jk j k t v P Q 11m k ,...,,21=其中m 为输出层节点数，本实验中取1。 3.4权值修正 根据网络预测输入Q 和期望输出y ，计算网络预测误差e ： k k k Q y e -=BP 神经网络采用梯度修正法作为权值和阈值的学习算法，从网络预测误差的负梯度方向修正权值和阈值。在本实验采用的sigmoid 激励函数下，隐含层和输出层间连接权值和输出层阈值更新公式为： k j jk jk e P a u v v 1*+=m k l j ,...,,;,...,,2121==k k k e u t t *+=11m k ,...,,21=输入层和隐含层间连接权值和输出层阈值更新公式为： ∑=*-+=m k k jk i j j ij ij e v u x P P a w w 101)(l j n i ,...,,;,...,,2121==∑=*-+=m k k jk j j j j e v u P P a t t 1 0001)(l j ,...,,21=

神经网络建模及Matlab中重要的BP网络函数

神经网络建模及Matlab中重要的BP网络函数一、神经组织的基本特征 1．细胞体是一个基本的初等信号处理器，轴突是信号的输出通路，树突是信号的输入通路。信号从一个神经细胞经过突触传递到另一个细胞。 2．不同的神经元之间有不同的作用强度，称为联接强度。当某细胞收到信号时，它的电位发生变化，如果电位超过某一阈值时，该细胞处于激发态，否则处于抑制状态。 3．两神经元之间的联接强度随其激发与抑制行为相关性的时间平均值正比变化，也就是说神经元之间的联接强度不是一成不变的。这就是生物学上的Hebb律。

∑t j ij t S w )(二、人工神经元的M-P 模型（McCulloch 、Pitts,1943） 1．构造一个模拟生物神经组织的人工神经网络的三要素： （1）．对单个神经元给出定义； （2）．定义网络结构：决定神经元数量及连接方式； （3）．给出一种方法，决定神经元之间的联接强度。 2．M-P 模型 其中，t 表示时间 S i (t)表示第i 个神经元在t 时刻的状态，S i (t)=1表示处于激发态，S i (t)=0表示处于抑制态 w ij 表示第j 个神经元到第i 个神经元的联接强度，称之为权，可正可负 表示第i 个神经元在t 时刻所接收到的所有信号的线性迭加。 μi 表示神经元i 的阈值, 可以在模型中增加一个S k (t)=1神经元k ，并且w ik =-μi ,则阈值可归并到和号中去。 注： 1．M-P 神经元虽然简单，但可以完成任何计算。 2．神经元的状态可以取[0，1]中的连续值，如用以下函数代替θ(x): ???<≥=-=+∑0 0011x x x t S w t S i j j ij i )() )(()(θμθ

神经网络在数据拟合中的应用

神经网络在数据拟合中的应用 [摘要] 相对于回归分析等方法，神经网络在拟合曲线的平滑度、精度等方面具有优势。本文通过两个实例，介绍了用BP人工神经网络来进行数据拟合处理的方法。表明采用神经网络方法进行数据拟合处理具有实用和精确的特点。 [关键词] 曲线拟合BP网络 引言 在科研生产中，我们经常会处理这样一些数据，它们的特点是：有一组输入，并且有一组对应的输出，但由于受到各种确定和随机因素的影响，我们难于找到输入输出之间的对应关系，更无法用函数关系来表示对应关系。大多数情况下，人们用数学上的曲线拟合来解决这个问题，例如一元线性回归分析，二次曲线拟合等方法。但是实际中大多数对应关系很复杂，难于拟合或者拟合出的残差较大，而且这种曲线拟合方法难以处理具有多个输入多个输出的情况。 神经网络方法在处理这样的数据时具有优势。具有偏差和至少一个S 型隐含层加上一个线性输出层的BP人工神经网络能够逼近任何有理函数。我们可以利用BP人工神经网络来进行数据拟合处理，能够得到平滑的曲线，不会出现数据有极值点的现象。 一、BP人工神经网络的结构 BP网络是典型的多层网络，分为输入层，隐含层，输出层，层与层之间采用全互联方式，同一层神经元之间不存在相互连接，如图1： 图1BP网络结构 二、BP人工神经网络在频率特性校正中的应用 我们以感应线圈的灵敏度-频率特性数据为例，说明BP网络的设计。为了纠正频率响应特性，需要找 到灵敏度-频率特性之间的对应关系，但由于物理变化过程十分复杂，很难找到它们之间的函数表达式，于是用BP人工神经网络拟合灵敏度-频率特性曲线，输入矩阵是一组频率数值，用T表示，输出矩阵是对应的灵敏度数值，用V 表示。 1.选取神经元数：输入矩阵T有6个数据，是一个列向量，则输入层有一个神经元，如图1，是一个16×6矩阵；是偏差向量，隐含层的激活函数；是输出层的向量，是输出层的偏差；输出层的激活函数；A2即V为输出目标矢量，有6个数据，输出层一个神经元。关键在于如何选取隐含层的神经元数。一般而言

粒子群算法在神经网络非线性函数拟合中的应用【精品文档】(完整版)

粒子群算法在神经网络非线性函数 拟合中的应用 一、本文研究和解决的问题 在自动控制问题中，系统辨识的目的是为了建立被控对象的数学模型。多年来，控制领域对于复杂的非线性对象的辨识一直未能很好的解决，神经网络所具有的非线性特性和学习能力使其在系统辨识方面有很大的潜力。为解决具有复杂的非线性、不确定性和不确知对象的辨识问题开辟了一条有效的途径。基于神经网络的系统辨识是以神经网络作为被辨识对象的模型，利用其非线性特性，可建立非线性系统的静态或动态模型。理论上，多层前馈神经网络能够以任意精度逼近任意非线性映射。 但传统神经网络学习算法中存在的收敛速度慢、容易陷入局部最优等缺点，于是设计了基于标准粒子群算法的神经网络非线性函数拟合系统。 二、传统的BP神经网络 BP 神经网络即采用误差反向传播算法的网络，是一种至今仍然最为流行的前馈型神经网络模型。BP 神经网络有很强的非线性映射能力，它能学习和存贮大量输入-输出模式映射关系，而无需事先了解描述这种映射关系的数学方程。只要能提供足够多的样本模式对供给网络进行学习训练，它便能完成由n 维输入空间到m 维输出空间的非线性映射。BP 学习算法属于误差修正型学习，其关键在于根据误差修正输出层和隐含层的连接权值。其学习的基本实现方法是基于最小平方误差准则和梯度下降优化方法来确定权值调整法则。 BP网络建模特点： 非线性映照能力：神经网络能以任意精度逼近任何非线性连续函数。在建模过程中的许多问题正是具有高度的非线性。 并行分布处理方式：在神经网络中信息是分布储存和并行处理的，这使它具有很强的容错性和很快的处理速度。 自学习和自适应能力：神经网络在训练时，能从输入、输出的数据中提取出规律性的知识，记忆于网络的权值中，并具有泛化能力，即将这组权值应用于一般情形的能力。神经网络的学习也可以在线进行。 数据融合的能力：神经网络可以同时处理定量信息和定性信息，因此它可以利用传统的工程技术（数值运算）和人工智能技术（符号处理）。 多变量系统：神经网络的输入和输出变量的数目是任意的，对单变量系统与多变量系统提供了一种通用的描述方式，不必考虑各子系统间的解耦问题。

人工神经网络及其数据拟合中的应用

人工神经网络及其数据拟合中的应用

人工神经网络及其数据拟合中的应用 摘要 本文将讲述人工神经网络及其数据拟合中的应用。人工神经网络是在现代神经科学的基础上提出和发展起来的，旨在反映人脑结构及功能的一种抽象数学模型。它在模式识别，图像处理，智能控制，组合优化，金融预测与管理通信机器人以及专家系统等领域得到广泛的应用。文章首先介绍人工神经元和人工神经网络的数学结构，然后介绍神经网络的建立、训练与泛化的概念以及MATLAB语言的神经网络工具箱在解决这些问题中的应用。通过实际例题来巩固这些知识点。 关键词：人工神经网络拟合径向基结构MATLAB

一、神经网络基础知识 1.1人工神经元模型 （i ）一组连接（对应于生物神经元的突触） ，连接强度由各连接上的权值表示，权值为正表示激活，为负表示抑制。 （ii ）一个求和单元，用于求取各输入信号的加权和（线性组合） 。 （iii ）一个非线性激活函数，起非线性映射作用并将神经元输出幅度限制在一定范围内（一般限制在(0,1)或（-1,1）之间）。 此外还有一个阈值 以上作用可分别以数学式表达出来： 式中n x x x ,,21为输入信号， 为神经元k 之 权值， 为线性组合结果， 为阈值， 为激活函数又称为传输函数， 为神经元k 的输出。 常用的传输函数有：Sigmoid 函数和对数Sigmoid 函数。 在神经元中，权值和传输函数是两个关键的因素。权值的物理意义是输入信号的强度，多个神经元则是连接强度。神经元的权值应该通过神经元对样本点反复的学习过程而确定，这个过程称为训练。 1.2神经网络结构 从连接方式上可将其划分为前馈型网络和反馈型网络。 （i ）前馈型网络 各神经元接受前一层的输入，并输出给下一层，没有反馈。结点分为两类，即输入单元和计算单元，每一计算单元可有任意个输入，但只有一个输出（它可耦合到任意多个其它结点作为其输入） 。通常前馈网络可分为不同的层，第i 层的输入只与第 1 ? i 层输出相连，输入和输出结点与外界相连，而其它中间层则称为隐层。 （ii ）反馈型网络 所有结点都是计算单元，同时也可接受输入，并向外界输出。 1.3神经网络结构工作方式 神经网络的工作过程主要分为两个阶段： 第一个阶段是学习期，此时各计算单元状态不变，各连线上的权值可通过学习来修改；第二阶段是工作期，此时各连接权固定，计算单元状态变化，以达到某种稳定状态。 从作用效果看，前馈网络主要是函数映射，可用于模式识别和函数逼近。反馈网络按对能量函数的极小点的利用来分类有两种：第一类是能量函数的所有极小点都起作用，这一类主要用作各种联想存储器；第二类只利用全局极小点，它主要用于求解最优化问题。 所以我们知道，神经网络要解决的问题是通过已知数据，反复训练神经网络， 得到加权量和阀值，使得神经网络的计算输出信号 与实际期望输出信号 误差最小 。一种较适合的方式就是使得误差的平方和最小，即 ∑==-==p j k k k k k j kj k v y u v x w u 1 ) (,,ψθkp k k w w w ,...,,21k u k θ(.)ψk y i y

神经网络

第一节、神经网络基本原理 1. 人工神经元( Artificial Neuron )模型 人工神经元是神经网络的基本元素，其原理可以用下图表示： 图1. 人工神经元模型 图中x1~xn是从其他神经元传来的输入信号，wij表示表示从神经元j 到神经元i的连接权值，θ表示一个阈值( threshold )，或称为偏置( bias )。则神经元i的输出与输入的关系表示为： 图中yi表示神经元i的输出，函数f称为激活函数( Activation Function )或转移函数( Transfer Function ) ，net称为净激活(net activation)。若将阈值看成是神经元i的一个输入x0的权重wi0，则上面的式子可以简化为：

若用X表示输入向量，用W表示权重向量，即： X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ] 则神经元的输出可以表示为向量相乘的形式： 若神经元的净激活net为正，称该神经元处于激活状态或兴奋状态(fire)，若净激活net为负，则称神经元处于抑制状态。 图1中的这种“阈值加权和”的神经元模型称为M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也称为神经网络的一个处理单元( PE, Processing Element )。 2. 常用激活函数 激活函数的选择是构建神经网络过程中的重要环节，下面简要介绍常用的激活函数。 (1) 线性函数( Liner Function ) (2) 斜面函数( Ramp Function ) (3) 阈值函数( Threshold Function )

图2 . 阈值函数图像 以上3个激活函数都是线性函数，下面介绍两个常用的非线性激活函数。 (4) S形函数( Sigmoid Function ) 该函数的导函数： (5) 双极S形函数

神经网络误差函数大全

关于误差函数的深入研究姓名：李宏成 学号：6720130345

摘要 我写这篇文章的目的意在补充老师上课中遗留的一些问题以及我自身对神经网络中误差函数的一些看法。文章涉及到hebb学习规则中误差函数推导过程，非线性传输函数中误差函数推导过程以及感知机的误差函数证明。如有不足之处，敬请谅解。

1.Hebb 学习规则中误差函数的推导过程 首先，在推导过程中我们首先要问问自己为什么我们要选择最小二乘？有许多东西都可以被优化，为什么我们要选择这样的指标（()() ∑=-= m i T P W T W F 1 2 ）？ 其次，理论的推导过程是以有监督hebb 学习规则为前提，采用的传输函数是类似于线性联想器的purelin 函数。此函数为一过原点且斜率为1的直线，因此整个系统的输出结果就可以直接认为是该系统的净输入。 在这里，我们先定义如下几个基本参数 m 表示训练的样本数目 p 表示输入变量 a 表示实际输出 w 表示权值参数 于是()a p ,就构成了一个训练样本，更一般的() () ()( )p a p i i ,表示第i 列训练样本集。所以， 我们可以用如下表达式来表述成我们所预想的结果： ()n n p w p w p w p a +++=...1100 （1.1） 为了突出权值在实际输出函数()p a 中的作用和更具有真实性质，以上式（1.1）子我们可以改写成： ()B p w p w p w p a n n w ++++=...1100 （1.2） 其中B 是一个偏置项，你可以把偏置项看成是对未建模事物产生的效应的一种估测。我们举个例子，购买房屋时我们主要是考虑房子每平米的价格，地理位置等主要特征（这里所指的权值），也许房子还有其它的特征比如说朝向，楼层高度，是否有电梯等因素。 用矩阵形式表示（1.2）可以改写成： () ()()()()i i T i i i n i i w b p W b p w p a +=+∑==1 （1.3） 现在我们假设偏置项() i b 服从均值为0，方差为2 ?的高斯分布，那么它的概率密度函数可以表示为： () () ()() ()()()( )? ?? ? ? ?--=???? ??-=22 222exp 212exp 21σσπσσπi T i w i i p W p a b b f （1.4） 观察等式（1.4）的右半部分，我们不难看出输出项() i w a 服从均值为() i T P W ，方差为2 ?的高 斯分布。这里假设不同输入对应的偏置项() i p 是彼此独立同分布的，这意味着它们都服从均值和方差完全相同的高斯分布。现在我们定义一个似然性函数： ()()()() ??? ? ? ?--=???? ??-=22 222exp 21 2exp 21σσπσσπP W p a B W L T w （1.5）

神经网络在数据拟合方面的应用分析

神经网络在数据拟合方面的应用 摘要 本文将讲述人工神经网络及其数据拟合中的应用。人工神经网络是从信息处 理角度对人脑神经元网络进行抽象，建立某种简单模型，按不同的连接方式组成不同的网络。它在模式识别、智能机器人、自动控制、预测估计、生物、医学、经济等领域得到广泛的应用。本文主要研究神经网络在数据拟合中的应用，通过对背景、基础知识及其神经网络的相关理论，推出神经网络的发展历程及其模型，最后得出神经网络在数据拟合中的算法的设计与实现。本文通过实例介绍了用神 经网络来进行数据拟合处理的方法。 关键词：人工神经网络; 拟合; 径向基结构; MATLAB

Abstract This paper will describe the application of artificial neural network and its data fitting. Artificial neural network is a kind of simple model, which is based on the information processing point of view of the human brain neural network to establish a simple model. The different connection ways form different networks. It is widely used in pattern recognition, intelligent robot, automatic control, prediction and estimation, biology, medicine, economy and so on. This paper studied the neural network in the data fitting application. By the background, basic knowledge and neural network theory, we introduced the development process of neural network and its models, and finally we got the design and implementation of algorithm of neural network in data fitting. This paper introduced the method of using neural network to fit the data through an example. Key Words:Curve fitting; Surface fitting; Least-squares method; Engineering applications

Matlab神经网络工具箱函数.

MATLAB 神经网络工具箱函数 说明:本文档中所列出的函数适用于 MATLAB5.3以上版本, 为了简明起见, 只列出了函数名, 若需要进一步的说明,请参阅 MATLAB 的帮助文档。 1. 网络创建函数 newp 创建感知器网络 newlind 设计一线性层 newlin 创建一线性层 newff 创建一前馈 BP 网络 newcf 创建一多层前馈 BP 网络 newfftd 创建一前馈输入延迟 BP 网络 newrb 设计一径向基网络 newrbe 设计一严格的径向基网络 newgrnn 设计一广义回归神经网络 newpnn 设计一概率神经网络 newc 创建一竞争层 newsom 创建一自组织特征映射 newhop 创建一 Hopfield 递归网络 newelm 创建一 Elman 递归网络 2. 网络应用函数

sim 仿真一个神经网络 init 初始化一个神经网络 adapt 神经网络的自适应化 train 训练一个神经网络 3. 权函数 dotprod 权函数的点积 ddotprod 权函数点积的导数 dist Euclidean 距离权函数normprod 规范点积权函数negdist Negative 距离权函数mandist Manhattan 距离权函数linkdist Link 距离权函数 4. 网络输入函数 netsum 网络输入函数的求和dnetsum 网络输入函数求和的导数5. 传递函数 hardlim 硬限幅传递函数hardlims 对称硬限幅传递函数purelin 线性传递函数

tansig 正切 S 型传递函数 logsig 对数 S 型传递函数 dpurelin 线性传递函数的导数 dtansig 正切 S 型传递函数的导数dlogsig 对数 S 型传递函数的导数compet 竞争传递函数 radbas 径向基传递函数 satlins 对称饱和线性传递函数 6. 初始化函数 initlay 层与层之间的网络初始化函数initwb 阈值与权值的初始化函数initzero 零权/阈值的初始化函数 initnw Nguyen_Widrow层的初始化函数initcon Conscience 阈值的初始化函数midpoint 中点权值初始化函数 7. 性能分析函数 mae 均值绝对误差性能分析函数 mse 均方差性能分析函数 msereg 均方差 w/reg性能分析函数

bp神经网络详解

学习是神经网络一种最重要也最令人注目的特点。在神经网络的发展进程中，学习算法的研究有着十分重要的地位。目前，人们所提出的神经网络模型都是和学习算法相应的。所以，有时人们并不去祈求对模型和算法进行严格的定义或区分。有的模型可以有多种算法．而有的算法可能可用于多种模型。不过，有时人们也称算法为模型。 自从40年代Hebb提出的学习规则以来，人们相继提出了各种各样的学习算法。其中以在1986年Rumelhart等提出的误差反向传播法，即BP(error BackPropagation)法影响最为广泛。直到今天，BP算法仍然是自动控制上最重要、应用最多的有效算法。 1．2．1 神经网络的学习机理和机构 在神经网络中，对外部环境提供的模式样本进行学习训练，并能存储这种模式，则称为感知器；对外部环境有适应能力，能自动提取外部环境变化特征，则称为认知器。 神经网络在学习中，一般分为有教师和无教师学习两种。感知器采用有教师信号进行学习，而认知器则采用无教师信号学习的。在主要神经网络如BP网络，Hopfield网络，ART网络和Kohonen网络中；BP网络和Hopfield网络是需要教师信号才能进行学习的；而ART网络和 Kohonen网络则无需教师信号就可以学习。所谓教师信号，就是在神经网络学习中由外部提供的模式样本信号。 一、感知器的学习结构 感知器的学习是神经网络最典型的学习。 目前，在控制上应用的是多层前馈网络，这是一种感知器模型，学习算法是BP法，故是有教师学习算法。 一个有教师的学习系统可以用图1—7表示。这种学习系统分成三个部分：输入部，训练部和输出部。 图1-7 神经网络学习系统框图

BP神经网络与多项式拟合曲线

BP 神经网络与多项式拟合曲线 摘要 首先介绍了曲线拟合的原理及其在曲线拟合中的应用。接着讨论了BP 神经网络的原理，研究了非线性拟合的在MATLAB 中仿真过程 通过比较可以看出利用神经网络进行非线性拟合具有拟合速度快、拟合精度高的特点。 关键词：曲线拟合；BP 神经网络；MATLAB 0 引言 在实际工程应用和科学实践中，为了描述不同变量之间的关系，需要根据一组测定的数据去求得自变量x 和因变量y 的一个函数关系)(x f y =，使其在某种准则下最佳地接近已知数据。 曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。从一组实验数据(i i y x ,) 中寻求自变量x 和因变量y 之间的函数关系)(x f y =来反映x 和y 之间的依赖关系，即在一定意义下最佳地逼近已知数据。应用曲线拟合的方法揭示数据之间内在规律具有重要的理论和现实意义。 1 多项式曲线拟合 1.1 曲线拟合原理 最小二乘法原理：对给定的数据点（i i y x ,）（N i ,...,2,1 =），在取定的函数类 φ中，求函数φ∈)(x f ，使误差i i y x f -)(（N i ,...,1,0=）的平方和最小，即 [] ∑=-N i i i y x f 0 2 )(取到最小值。从几何意义上讲，就是寻求与给定点（i i y x ,） （N i ,...,2,1=）的距离平方和为最小的曲线)(x f y =。函数)(x f 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x f 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。拟合函数和标志数据点之间的垂直距离是该点的误差。对该数据点垂直距离求平方，并把平方距离全加起来，拟合曲线应是使误差平方和尽可能小的曲线，即是最佳拟合。 1.2 最小二乘法曲线拟合

神经网络实例--对正弦函数拟合

%利用神经网络工具箱对一个正弦函数进行拟合，源码如下： clc clear close all %----------------------------------------------- %产生训练样本与测试样本 P1=1:2:200; %训练样本，每一列为一个样本 T1=sin(P1*0.1); %训练目标 P2=1:2:200; %测试样本，每一列为一个样本 T2=sin(P2*0.1); %测试目标 %------------------------------------------------ %归一化 [PN1,minp,maxp,TN1,mint,maxt] = premnmx(P1,T1); PN2=tramnmx(P2,minp,maxp); TN2=tramnmx(T2,mint,maxt); %------------------------------------------- %设置网络参数 NodeNum = 20; %隐藏节点数 TypeNum = 1; %输出维数 TF1='tansig'; TF2='purelin'; %判别函数（缺省值） net=newff(minmax(PN1),[NodeNum TypeNum],{TF1 TF2}); %------------------------------------------------------ %指定训练参数 net.trainFcn='trainlm'; net.trainParam.show=20; %训练显示间隔 net.trainParam.lr=0.3; %学习步长-traubgd，traubgdm net.trainParam.mc=0.95; %动量项系数-traingdm，traingdx net.trainParam.mem_reduc=1; %分块计算Hessian矩阵（仅对Levenberg-Marquardt算法有效） net.trainParam.epochs=1000; %最大训练次数 net.trainParam.goal=1e-8; %最小均方误差 net.trainParam.min_grad=1e-20; %最小梯度 net.trainParam.time=inf; %最大训练时间 %------------------------------------------------------- %训练 net=train(net,PN1,TN1); %训练 %-------------------------------------------------- %测试 YN1=sim(net,PN1); %训练样本实际输出 YN2=sim(net,PN2); %测试样本实际输出 MSE1=mean((TN1-YN1).^2); MSE2=mean((TN2-YN2).^2);

基于BP神经网络的非线性函数拟合

基于BP神经网络的非线性函数拟合 摘要：本文建立BP神经网络对一个多输入多输出系统的二元非线性函数进行拟合，仿真实验表明：在样本数据充足且不含噪声的情况下，训练的精度越高，逼近的效果越好；数据不充足且不含噪声时，训练精度的高低在一定范围内对于网络性能没有决定性的影响，网络性能主要取决于初始化；不管训练数据是否充足，若含有噪声，训练精度过高会使网络泛化能力降低。 0引言 作为当前应用最为广泛的一种人工神经网络，BP网络在函数逼近、模式识别、数据压缩、智能控制等领域有着非常广泛的应用。BP网络由大量简单处理单元广泛互联而成，是一种对非线性函数进行权值训练的多层映射网络，结构简单，工作状态稳定，具有优良的非线性映射能力，理论上它能够以任意精度逼近任意非线性函数。BP神经网络通过学习能够存储大量输入输出样本中蕴含的映射关系，只需提供足够的样本模式对BP网络进行训练，而无需事先了解数学方程。本文采用BP神经网络解决下列函数拟合问题。 函数逼近：设计一个神经网络拟合下列多输入多输出函数： y1=2+x1RP1.5-1.5sin(3x2); y2=x2sin(x1)+x1cos(x2); 1< x1, x2<5 产生200个数据，其中100个用来训练网络，另外100个用于网络模型的测试。1BP神经网络结构和算法 一个典型的3层BP神经网络结构如图1所示，包括输入层、隐含层和输出层。各层

神经元之间无反馈连接，各层内神经元之间无任何连接。其中隐含层的状态影响输入输出之间的关系，及通过改变隐含层的权系数，就可以改变整个多层神经网络的性能。BP 神经网络的学习过程由正向传播和反向传播组成。在正向传播中，输入的样本从输入层经过隐含层之后，传向输出层，在逐层处理的过程中，每一层神经元的状态只对下一层神经元的状态产生影响。在输出层把现行输出和期望输出进行比较，如果现行输出不等于期望输出，则进入反向传播过程。反向传播过程中，误差信号从输出层向输入层传播，并对每个隐含层的各个神经元的权系数进行修改，使误差不断减少，直至达到精度要求。BP 算法的实质是求取误差函数最小值问题，通过多个样本的反复训练，一般采用非线性规划中的最速下降方法，按误差函数的负梯度方向修改权系数。 隐含节点 图1 典型3层BP神经网络结构图 2用于函数拟合的BP神经网络模型的建立 为建立函数拟合的BP神经网络模型，一般要考虑以下几步： (1) 样本数据的产生 为简单起见，在x1，x2均属于[1,5]区间内选择均匀分布的200个数据点分别作为训练和测试样本。如图2所示。

BP神经网络拟合函数

BP神经网络用于函数拟合的实验 一、实验目的 本实验要求掌握前向型神经网络的基本工作原理及利用反向传播确定权系数的方法，并能在MATLAB仿真环境下设计相应的神经网络，实现对非线性函数的逼近与拟合，并分析影响函数拟合效果的相关因素。 二、实验要求 设计神经网络的基本结构与激励函数，实现对非线性函数y=sin(x)的逼近与拟合，并分析影响函数拟合效果的相关参数（包括激励函数的选择sigmoid、线性函数、权系数的初值、步长的大小、训练样本的多少等），并对比实验效果。 三、实验步骤 1. 确定神经网络的结构 本次实验采用前向型BP神经网络，神经元分层排列，每一层的神经元只接受前一层神经元的输入。输入模式经过各层的顺序变换后，得到输出层输出。各神经元之间不存在反馈。 该实验神经网络含输入层和输出层两层神经元，其中输入层含六个神经元，输出层含一个神经元。输入信号传输到输入层，在输出层得到拟合结果。 2.确定采用的激励函数、拟合方法 选择激励函数为sigmoid的函数，因其便于求导，且值域在（0,1）之间，具有较好的收敛特性。 拟合方法采用梯度下降法，该方法使试验数值沿梯度方向增加有限步长，避免了盲目搜索，提高搜索效率。 3.训练流程 1）初始化各参数 2）开始训练 3）计算误差 4）计算广义误差 5）调整连接权系数，直到误差小于设定值 6）编写程序实现对非线性函数y=sin(x)的逼近与拟合

算法流程图如图4.1所示。 四、实验结果及分析 通过BP网络学习逼近sin(x)函数的实验发现，不同的初值对逼近效果有较大影响。权系数初值随机选取时，多次运行程序，得到一组较好的拟合结果（见图1），其权系数为w1 =[-2.9880,-1.9267,-1.3569,-1.5064,-0.6377,-2.3899] w2=[2.0316,2.1572,-1.1427,-1.3108,-0.6328,-1.8135]，阈值yw1 =[-11.3291,-4.0186,-6.6926,-7.6080,-0.5955,-2.1247]，yw2 =-0.4377。

BP神经网络详细讲解

PS：这篇介绍神经网络是很详细的，有一步一步的推导公式！神经网络是DL（深度学习）的基础。 如果对神经网络已经有所了解，可以直接跳到“三、BP算法的执行步骤“ 部分，算法框架清晰明了。 另外，如果对NN 很感兴趣，也可以参阅最后两篇参考博文，也很不错！ 学习是神经网络一种最重要也最令人注目的特点。在神经网络的发展进程中，学习算法的研究有着十分重要的地位。目前，人们所提出的神经网络模型都是和学习算法相应的。所以，有时人们并不去祈求对模型和算法进行严格的定义或区分。有的模型可以有多种算法．而有的算法可能可用于多种模型。不过，有时人们也称算法为模型。 自从40年代Hebb提出的学习规则以来，人们相继提出了各种各样的学习算法。其中以在1986年Rumelhart等提出的误差反向传播法，即BP(error BackPropagation)法影响最为广泛。直到今天，BP算法仍然是自动控制上最重要、应用最多的有效算法。 1．2．1 神经网络的学习机理和机构 在神经网络中，对外部环境提供的模式样本进行学习训练，并能存储这种模式，则称为感知器；对外部环境有适应能力，能自动提取外部环境变化特征，则称为认知器。 神经网络在学习中，一般分为有教师和无教师学习两种。感知器采用有教师信号进行学习，而认知器则采用无教师信号学习的。在主要神经网络如BP网络，Hopfield网络，ART网络和Kohonen 网络中；BP网络和Hopfield网络是需要教师信号才能进行学习的；而ART网络和Kohonen网络则无需教师信号就可以学习。所谓教师信号，就是在神经网络学习中由外部提供的模式样本信号。 一、感知器的学习结构 感知器的学习是神经网络最典型的学习。 目前，在控制上应用的是多层前馈网络，这是一种感知器模型，学习算法是BP法，故是有教师学习算法。 一个有教师的学习系统可以用图1—7表示。这种学习系统分成三个部分：输入部，训练部和输出部。

神经网络学习算法的过拟合问题及解决方法

神经网络学习算法的过拟合问题及解决方法 李俭川　秦国军　温熙森　胡茑庆 (国防科技大学机电工程与自动化学院　长沙,410073) 摘要　针对反向传播学习算法及其改进算法中出现的过拟合问题,探讨了三种解决方法:调整法、提前停止法和隐层节点自生成法,并用实例对三种方法进行了验证和比较。其中,调整法和提前停 止法针对一个较大的网络可以解决过拟合问题,而隐层节点自生成法的提出既能避免过拟合问 题,又能获得最少神经元网络结构。这三种方法有效地解决了在神经网络学习过程中的过拟合问 题,提高了网络的适应性。它们不仅适合于函数逼近,而且可以推广到其他网络结构等应用领域。关键词　神经网络　计算机　BP 算法　过拟合　均方误差　自生成　故障诊断 中图分类号　T H 165.3神经网络已经在模式分类、机器视觉、机器听觉、智能计算、自动控制、故障诊断、信息处理、地震勘探、通信、雷达和声纳等领域有着十分广泛的应用前景,并随着计算机技术和信号处理技术的发展而发展。应用神经网络必须解决两个问题:模型和算法。现有的神经网络模型已达上百种[1] ,应用最多的是Hopfield 神经网络、多层感知器、自组织神经网络、概率神经网络以及它们的改进型。自Rumellhart D E,H inton 和Williams 提出误差反向传播算法(即BP 算法),解决了神经网络在引入隐层节点后的学习(或训练)问题后,已经发展了许多的改进学习算法[1],如快速下降法、共轭梯度法、一维搜索法及Lev enberg -Mar quardt 法等,其收敛速度很快,能满足实时性要求,但也存在着一些问题。1　学习算法及其过拟合问题 BP 算法及其改进算法是目前应用最广泛的学习算法,尽管不能证明这类算法能象单层感知器一样收敛,但是对许多问题的解决是成功的[2]。实际上,BP 算法是把一组样本的输入输出问题,变为一个非线性优化问题,它使用了优化技术中最普通的一种梯度下降法,用迭代运算求解权值并相应于学习记忆问题,加入隐层节点可使优化问题的可调参数增加,这样可得到更精确的解。要应用学习算法对网络进行训练,首先需要确定网络的结构,即输入、输出层神经元数目和隐层数及其神经元数目。 如何适宜地选取隐含层神经元的数目还没有确定的规律可以指导,但是,隐含层神经元数目是否合适对整个网络是否能够正常工作具有重要的甚至是决定性的意义。隐含层神经元数第22卷第4期2002年12月 振动、测试与诊断Jo ur nal of Vibr ation,M easur em ent &Diag no sis V o l.22No.4 D ec.2002 国家自然科学基金资助项目(编号:59775025)。 收稿日期:2001-07-09;修改稿收到日期:2001-12-03。

本科毕业论文---基于bp神经网络的字符识别算法的实现正文

一、原始依据（包括设计或论文的工作基础、研究条件、应用环境、工作目 的等。） 工作基础：了解C++的基本概念和语法，熟练使用Visual C++6.0软件。 研究条件：BP神经网络的基本原理以及图像处理的基本常识。 应用环境：基于BP神经网络的图片图像文件中的字符识别。 工作目的：掌握基于Visual C++6.0应用程序的开发。 了解人工智能的基本概念并掌握神经网络算法的基本原理。 掌握Visual C++6.0中的图片处理的基本过程。 二、参考文献 [1]人工智能原理及其应用，王万森，电子工业出版社，2007. [2]VC++深入详解，孙鑫，电子工业出版社，2006. [3]人工神经网络原理, 马锐，机械工业出版社，2010. [4]Visual C++数字图像处理典型案例详解，沈晶，机械工业出版社，2012. [5]Application of Image Processing to the Characterization of Nanostructures Manuel F. M. Costa，Reviews on Advanced Materials Science,2004. 三、设计（研究）内容和要求（包括设计或研究内容、主要指标与技术参数，并根据课题性质对学生提出具体要求。） 1、掌握C++的基本概念和语法。 2、掌握二维神经网络的基本原理。了解BP神经网络的基本概念。 3、完成Visual C++中对于图像的灰度、二值化等预处理。 4、完成基于样本的神经网络的训练以及图像中数字的识别，并对其性能进 行统计和总结，分析其中的不足。 指导教师（签字） 年月日 审题小组组长（签字） 年月日

神经网络算法详解

神经网络算法详解 第0节、引例 本文以Fisher的Iris数据集作为神经网络程序的测试数据集。Iris数据集可以在https://www.sodocs.net/doc/5a6616514.html,/wiki/Iris_flower_data_set 找到。这里简要介绍一下Iris数据集： 有一批Iris花，已知这批Iris花可分为3个品种，现需要对其进行分类。不同品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度会有差异。我们现有一批已知品种的Iris花的花萼长度、花萼宽度、花瓣长度、花瓣宽度的数据。 一种解决方法是用已有的数据训练一个神经网络用作分类器。 如果你只想用C#或Matlab快速实现神经网络来解决你手头上的问题，或者已经了解神经网络基本原理，请直接跳到第二节——神经网络实现。 第一节、神经网络基本原理 1. 人工神经元( Artificial Neuron )模型 人工神经元是神经网络的基本元素，其原理可以用下图表示： 图1. 人工神经元模型 图中x1~xn是从其他神经元传来的输入信号，wij表示表示从神经元j到神经元i的连接权值，θ表示一个阈值( threshold )，或称为偏置( bias )。则神经元i的输出与输入的关系表示为：

图中yi表示神经元i的输出，函数f称为激活函数 ( Activation Function )或转移函数( Transfer Function ) ，net称为净激活(net activation)。若将阈值看成是神经元i的一个输入x0的权重wi0，则上面的式子可以简化为： 若用X表示输入向量，用W表示权重向量，即： X = [ x0 , x1 , x2 , ....... , xn ] 则神经元的输出可以表示为向量相乘的形式： 若神经元的净激活net为正，称该神经元处于激活状态或兴奋状态(fire)，若净激活net 为负，则称神经元处于抑制状态。 图1中的这种“阈值加权和”的神经元模型称为M-P模型 ( McCulloch-Pitts Model )，也称为神经网络的一个处理单元( PE, Processing Element )。 2. 常用激活函数 激活函数的选择是构建神经网络过程中的重要环节，下面简要介绍常用的激活函数。 (1) 线性函数 ( Liner Function ) (2) 斜面函数 ( Ramp Function ) (3) 阈值函数 ( Threshold Function )