3.12 判断三角形的形状
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3．12 判断三角形的形状
1．三角形形状的判定方法：
①化边为角；
②化角为边.
2．通过正弦、余弦定理实施边角转换.
3．通过三角变换探索角的关系，符号规律.
【典型例题】
例1．在ΔABC 中，满足?????=++=++2
cot cot cot 2sin sin sin 222222C B A C B A 试判断ΔABC 的形状. 例2．在ΔABC 中，已知)
sin(sin )cos(tan B C A B C B -+-=，试判断ΔABC 的形状. 例3．在ΔABC 中，B C C A tan 2tan 2tan 2tan 3==且，求证：ΔABC 是锐角三角形. 例4．在ΔABC 中，满足.2tan b
a b a B A +-=- （1）试判断ΔABC 的形状.
（2）当a = 10，c =10时，求2tan A
的值.
【基础训练】
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1．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B = sin 2C ，则ΔABC 是____________.
2．在ΔABC 中，a 4+b 4+c 4－a 2b 2－b 2c 2－a 2c 2 = 0，则ΔABC 是_____________.
3．在ΔABC 中，cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A ) = 1，则ΔABC 是_____________.
4．在ΔABC 中，tan A tan B > 1，则ΔABC 是_____________.
5．在ΔABC 中，sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2，则ΔABC 是_____________.
【拓展练习】
1．已知tan A + tan B + tan C > 0，则ΔABC 是
（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．任意三角形 2．在ΔABC 中，B A b a tan tan 22
=，则ΔABC 是
（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角
形 3．在ΔABC 中，已知13
12cos sin =+A A ，则ΔABC 的形状是___________. 4．在ΔABC 中，已知cos B cos C = 2cos 1A -，则ΔABC 的形状是___________.
5．在ΔABC 中，已知a cos A = b cos B ，则ΔABC 的形状是___________.
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6．在ΔABC 中，已知sin A sin B+sin A cos B +cos A sin B +cos A cos B =2,则ΔABC 的形状是_________.
7．在ΔABC 中，已知C
c B b A a cos cos cos ==，则ΔABC 的形状是___________. 8．在ΔABC 中，已知B A B A C cos cos sin sin sin ++=
，则ΔABC 的形状是___________. 9．在ΔABC 中，分别根据下列条件，判断三角形的形状.
（1）2lg sin lg lg lg -==-B c a (B 为锐角).
（2）sin A = 2cos C sin B .
（3）A 、B 、C 成A ·P ，a ，b ，c 成G ·P .
实用文档 （4）a cos B + b cos C + c cos A = b cos A + c cos B + a cos C .
（5）.4
3sin sin ,2333==-+-+B A c c b a c b a 且
（6）).sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+
正弦余弦定理判断三角形形状专题
例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 例２：在△ABC 中，若Ｂ= 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 例3：在△ABC 中，已知 22 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 例5：在△ABC 中，（1）已知a －b=ccosB －ccosA ，判断△ABC 的形状． （2）若b=asinC,c=acosB,判断△ABC 的形状． 例6：已知△ABC 中，5 4 cos = A ，且3:2:1)2(::)2(=+-c b a ，判断三角形的形状． 例7、△ABC 的内角A 、 B 、 C 的对边abc,若abc 成等比数列，且c=2a ，则△ABC 的形状为（ ） ∴△ABC 为钝角三角形。 例8 △ABC 中，sinA=2sinBcosC,sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ABC 的形状为（ ） 例9△ABC 中A 、B 、C 的对边abc ，且满足（a 2+b 2）sin(A-B)=(a 2-b 2)sinC,试判断△ABC 的形状。 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 1、 在三角形ABC 中，三边a 、b 、c 满足::1)a b c =，试判断三角形的形状。 所以三角形为锐角三角形。 3、在△ABC 中，已知sin sin B C ＝cos 22A 试判断此三角形的类型.故此三角形是等腰三角形. 4、(06陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ ABC 为( ) A 、三边均不相等的三角形 B 、直角三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、等边三角形 5、在ABC ?中，设,,,BC a CA b AB c === 若,a b b c c a ?=?=? 判断ABC ?的形状。 6、在△ABC 中，cos cos b A a B =试判断三角形的形状 故此三角形是等腰三角形. 7、在ABC ?中，如果lg a lg c -=lgsin B =-B 为锐角判断此三角形的形状。 故此三角形是等腰直角三角形。 巩固练习：在ABC ?中，若 22 tan :tan :,A B a b =试判断ABC ?的形状。 ABC ∴?为等腰三角形或直角三角形。
(完整版)解三角形三类经典题型
解三角形三类经典类型 类型一 类型二 类型三 判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一 判断三角形形状 2 2 2 例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C 由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2 c 2 三角形为等腰直角三角形. 例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状. 解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120 A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1 二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形 2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2) 0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状. cosB cosC 解：⑴由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 例3:在厶ABC 中，已知 tan A tan B 2 ，试判断厶ABC 的形状. b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB sin B cos A ■ 2 A sin A ■ 2 - sin B ,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B ??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A a 2 a 2 ,2 c b 法2：由已知得sinAcosB sin B cos A 2 a 2 结合正、余弦定理得 b 2 2ac b b 2 2 2 c a a 2 b 2 B i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.
利用平面向量判断三角形形状练习题专题
利用平面向量判断三角形形状 1．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ?=u u u r u u u r ，则三角形ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．上述均不是 【答案】B 【解析】 【分析】 取BC 中点D ，利用GO GD DO =+u u u r u u u r u u u r 代入计算，再利用向量的线性运算求解． 【详解】 如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ， 则G 在AD 上，1 3 GD AD = ，OD BC ^， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ?=+?=?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111()()()53326 GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =?=?=?+?-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<， 由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形． 故选：B ． 2．若O 为ABC ?所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -?-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则 ABC ?的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形
三角形的形状的判定
三角形的形状的判定 浙江奉化江口中学（315504）毛显勇 在三角函数及向量应用中,有关三角形的形状的判定，在教材中既没有直接的例题，也没有相应的练习题和习题，而此类型的题又是经常碰到的，所以教师不能只作一些范例的讲解，而应对知识作一种较全面的归纳和分析,再分不同的类型选择例题作专题讲解。这样，既把所学知识连成一片，又巩固了知识，使所学的内容前后联系，扩大应用范围，达到融会贯通。 1、复习三角形中有关知识： 1.1角的关系：A+B+C=ππ=?C -(A+B)、 2 22B A C +-=π 或A+B=π-C 、2 22C B A -=+π 1.2边的关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 1.3边角关系：同一个三角形中，大边对大角，小边对小角。 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===。 余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=， B ac c a b cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=。 三角形面积：S=21C ab sin =21A bc sin =21B ca sin 1.4三角形的分类：按角分：锐角Δ，直角Δ，钝角Δ。 按边分：等腰Δ，等边Δ。 其它：斜三角形，等腰直角三角形，等等。 2、三角形形状的判定： 在ΔABC 中，三内角A 、B 、C 所对的三边长为a 、b 、c 。 2.1若 a=b 或cosA=cosB 、tanA=tanB 、sinA=sinB ? A=B 则三角形是等腰三角形； 2.2若2 22c b a =+ 则C 是直角，三角形是直角三角形； 22b a +<2c 则C 是钝角，三角形是钝角三角形； 222c b a >+ 则C 是锐角，若a 、b 、c 中c 最大，则三角形是锐角三角形。 2.3若 cosAcosBcosC>0, 则A 、B 、C 都是锐角，三角形是锐角三角形； cosAcosBcosC=0, 则A 、B 、C 中必有一个是直角，三角形是直角三角形； cosAcosBcosC<0, 则A 、B 、C 中必有一个是钝角，三角形是钝角三角形。 2.4若a ?b =0?a ⊥b ，则三角形是直角三角形。 3、举例应用：
判断三角形形状的常用方法
判断三角形形状的常用方法 判定三角形的形状，在数学竞赛中经常出现，这类试题灵活多变，解决这类问题，要根据题目的特点，选用恰当的方法，它往往将代数、几何、三角等知识之间的联系，用到的数学思想方法较多，具有一定的技巧，本文结合近几年的各类数学竞赛题，介绍判定三角形形状的一些常用技法，供读者参考。 一、配方法 例 1. （2001年初二“希望杯”第二试）若?ABC 的三边长是a 、b 、c ，且满足 a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，则?ABC 是（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 解：由条件a b c b c b c a c a c a b a b 444224442244422=+-=+-=+-，，，三式相加得 a b c a b b c c a 4442222220++---= 配方得： 12 022*******[()()()]a b b c c a -+-+-= 因为a 、b 、c 是三角形的边长，所以 a b b c c a 222222000-=-=-=，， 得a b c BC ==，?A 为等边三角形，故选D 。 例 2. （2002年河南省初二数学竞赛）?ABC 的三边为a 、b 、c ，且满足a b c a b c 222325215++=?+..，则?ABC 是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 以上答案都不对 解析：初看本题很难入手，先化简条件等式，即去分母化简整理得： 44138120222a b c ac bc ++--= 到此思路已经明朗，配方得 423022()()a c b c -+-= 所以a c -=0且230b c -= 得c a b a ==，32 所以?ABC 是等腰三角形，故选B 。 二、因式分解 例 3. （2002年太原市初中数学竞赛）已知a 、b 、c 为三角形的三边，且满足a ab ac bc b bc ba ca 2200+--=+--=，，则?ABC 是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形
由平面向量的数量积判断三角形形状
由平面向量的数量积判断三角形形状 河北 张军红 由平面向量的数量积定义及其几何意义可知数量积是数与形的结合点，利用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，从而较容易判断三角形的形状。本文总结如下： 例1：在△ABC 中，AB a =，BC b =，且0a b ?>，则△ABC 是什么三角形（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C. 钝角三角形 D.等腰直角三角形 解：0AB BC ?>，即│AB │·│BC │cos(π－B)>0，∴cosB<0∴△ABC 是钝角三角形 例2：以O(0,0)，A(a,b)，B(b+a,b －a)为顶点的三角形的形状是（ ） A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解∵OA =(a,b)，AB =(b,－a),∴()0OA AB ab b a ?=+-=∴OA ⊥AB 又∵│AB │=22b a +，│OA │=22b a +，∴│AB │=│OA │所以△ABC 为等腰直角三角形 说明：向量如果用坐标表示，应用数量积的坐标运算，先看AB 、BC 、AC 是否有一对垂直。 例3：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-=则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：原式可化为()0CB OB OA OC OA -+-=即()0CB AB AC += 结合图可知平行四边形ABCD 为菱形, 所以△ABC 为等腰三角形 例4：若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足0OB OC CO CO OA BC ++=，则△ABC 的形状为（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：原式可变为()0OC OB OC OA BC -+=∴0OC CB OA BC += 即()00CB OC OA CB AC -=∴=∴CB AC ⊥∴△ABC 为直角三角形 说明：以上两例式子中都含与三角形无关的O ，应先通过向量知识使式子中不含有O ，再通过数量积求解。 例5：已知AB 、AC 是非零向量且满足(AB －2AC ) ⊥AB ，(AC －2AB ) ⊥AC ，则△ABC 的形状是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等边三角形 D.等腰直角三角形 解：(AB －2AC ) ⊥AB (AB －2AC ) ·AB =0即AB ·AB －2AC ·AB =0 AB AC +C B A
判断三角形形状
判断三角形形状 解三角形是高考考察的重要内容，借助三角变换、正余弦定理和向量解与三角形有关的问题是高考命题的新趋势。而判断三角形形状也是高考命题的重点． 一、运用三角函数的公式判断三角形形状 例1．在△ABC中，sinBsinC＝cos2 ，则此三角形是（）． A.等边三角形 B.三边不等的三角形 C.等腰三角形 D.以上答案都不对 解析：利用倍角公式和两角和（差）公式化简判断． 解：选C．∵sinBsinC＝cos2 ，∴sinBsinC＝， ∴2sinBsinC＝1+cosA，∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴2＝1-cos（B+C），∴2sinBsinC＝1- cosB cosC+ sinBsinC，∴sinBsinC +cosB cosC=1，∴cos（B-C）=1，∴在△ABC中，B-C=0，∴B=C，∴△ABC是等腰三角形． 2.设A、B、C是△ABC的三个内角，且tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，那么△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析：利用二次函数的韦达定理和正切的两角和公式化简判断． 解：选A. ∵tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根，∴，∵tan（A+B）= = = ，∴tanC=- tan（A+B）=-，∴△ABC是钝角三角形． 点评：1．运用三角函数公式进行化简，其中往往用三角形内角和定理A＋B＋C＝π通过诱导公式转化为一个角．然后通过这个角的值判断三角形的形状． 2．而三角形内角和定理A＋B＋C＝π一方面可转化角， 如sinA=sin（B+C），cosA=-cos（B+C），sin =cos ，cos =sin ，另一方面可判断三个内角的范围不能超出（0，）。 二、运用正弦定理和余弦定理判断三角形形状
判定三角形形状的十种方法
判定三角形形状的十种方法 数学考试和数学竞赛中，常有判断三角形形状的题目，这类题目涉及的知识面广，综合性强，它沟通了代数、几何、三角等方面的知识联系。解题思路不外是从边与边、边与角之间的关系考虑，从而达到解题的目的。 1、若有a=b或(a-b)(b-c)(c-a)=0, 则△ABC为等腰三角形。 2、若有(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0, 则△ABC为等边三角形。 3、若有a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形； 若有a2+b2＝c2，则△ABC为直角三角形； 若有a2+b2＜c2，则△ABC为钝角三角形。 4、若有（a2-b2）（a2+b2-c2）=0， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形。 5、若有a=b且a2+b2=c2， 则△ABC为等腰直角三角形。 以上是从三角形的边与边之间的关系考虑的。 6、若有sin2A+sin2B=sin2C或sinA=sinB, 则△ABC为直角三角形或等腰三角形。 7、若有cosA＞0，或tanA＞0,(其中∠A为△ABC中的最大角) 则△ABC为锐角三角形。
8、若有cosA＜0，或tanA＜0,(其中∠A为△ABC中 的最大角), 则△ABC为钝角三角形。 9、若有两个（或三个）同名三角函数值相等（如 tanA=tanB）,则△ABC为等腰三角形（或等边三角形）。 10、若有特殊的三角函数值，则按特殊角来判断，如 cosA=，b=c,则△ABC为等边三角形。 以下就一些具体实例进行分析解答： 一、利用方程根的性质： 例1：若方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一 个相同的根，且a、b、c为一个三角形的三条边，则此三 角形为（） （A）锐角三角形；（B）钝角三角形； （C）以c为斜边的直角三角形；（D）以a为斜边的直角 三角形； (“缙云杯”初中数学邀请赛) 解：将两个方程相减，得：2ax-2cx+2b2=0,显然a≠c，否则b=0，与题设矛盾，故x= ,将两个方程相加， 得2ax+2cx+2b2=0，∵x≠0,否则b=0，与题设矛盾， ∴x=-（a+c），∵两个方程有一个相同的根， ∴ =-（a+c），即b2+c2=a2，故△ABC是以a为斜边 的直角三角形，故应选（D） 二、利用根的判别式