数学物理方法习题总稿-csy
数学物理方法习题
习题一
1．把下列复数分别用代数、三角式和指数式表示出来： （1）i -; (2).
11i
i
-+;
(3). 1; (4). 1i
e
+;
(5).1cos sin i αα-+; (6) 3
()z z x iy =+
2、下列式子在复平面上各具有怎样的几何意义？并作图表示出来. (1) ||2z =; (2) ||3z ≤;
(3)1
Re 2
z ≥; (4) ||||z a z b -=- (a b 、皆为复实数）; (5) ||Re 1z z +≤; (6) 1
|
|11
z z -≤+; (7) 1
Re 2z
=; (8) 1Im 2z <<;
(9) 0arg
4
z i z i π
-<<+; (10) |2||2|5z z ++-=. 3、计算下列各式：
（1 （2）i
i ；
（3 （4
（5a b （、皆为实常数）
； （6）2
1)(1)n
n i i ++-（； （7）cos cos 2cos3cos n ????+++???+（?为实数）
习题二
1、
设
,
z x iy =+试证：
|sin |z =
和
|s |co z =
2、
计算下列各式:
（1）sin()a ib +和s()co a ib +（其中a b 、为实数，用三角函数和双曲函数表出结果）； （2）2
2
;ch z sh z - （3）(1);Ln - 一1 一
（4）cos ix 和sin ix （x 为实数）； （5）chix 和shix （x 为实数）； （6）sin ||iaz ib z e -（a b 、为实常数）。 3、解方程：
（1）sin 2z =； （2） 2.tgz =
习题三
1、 若一实函数在区域G 内解析，试证该实函数必为实数。
2、 试讨论下列函数的可导性和解析性，并在可导区域求其导数： （1）212;z z ω=-- （2）1z
ω=
（3）Im Re ;z z z ω=- （4）||.w z =
3、设函数3222()()f z my mx y i x lxy =+++是全平面上的解析函数，试确定m n l 、、的值。
4、已知下列各解析函数()f z 的实部u 或虚部v ，求该解析函数：
(1)sin ;x u e y = (2)(cos sin ),(0)0;x u e x y y y f =-=
(3)22,(2)0;y v f x y ==+ (4)22
222
,()0;()
x y u f x y -=∞=+ (5)2
2
,(0)0;u x y xy f =-+= (6)3
2
3,(0)0;u x xy f =-= (7)3
2
2
3
632,(0)0;u x x y xy y f =+--= (8)4
2
2
4
6,(0)0;u x x y y f =-+= (9)222sin 2,()0;2cos 22
y y
x u f e e x π
-=
=+- (10)ln ,(1)0;u f ρ== (11),(1)0.u f ?==
5、由极坐标下柯希—里曼条件，证明极坐标下的拉普拉斯方程：
222
11()0.u u ρρρρρ????+=???
习题四
指出下列多值函数的支点及其阶数，能否画出里曼面？（a b 、为复常数）
（1 （2 （3）;Lnz （4）().Ln z a - 一2 一
习题五
1、已知复势1
()2f z z i
=
-+，试画出其等温网。
2、已知流线族的方程为：y
x
=常数，求复势。
3、已知等势族的方程为：22x y +=常数，求复势。
4、已知电力线为与实轴详相切于原点的圆族，求复势。
5、在圆柱||z R =的外部的平面静电场的复势为()2ln R
f z i z
σ=，求柱面上的电荷密度。 6、有两个平行而均匀带电的线电荷，每单位长度所带的电量分别是＋q 和－q ，两线相距2a ，
求这个平面静电场的复势、电力线和等势线。
习题六 1、计算积分120
()i
x y ix dz +-+?
的值，积分路线为自原点到1i +的直线段。
2、计算积分
||c
z dz ?的值，其中积分路线是：
（1）连接－1与1的直线段； （2）连接－1与1且中心在原点的上半圆周； （3）连接－1与1且中心在原点的下半圆周。 3、求积分
1
11
dz z -?，积分路径为：
（1）沿||1z =的上半半圆周； （2）沿||1z =的下半圆周。 4、求积分
20
Re i
zdz +?
的值，积分路径为：
（1）沿直线段从0到2 ，再沿直线段从2到2i +；（2）沿直线段(2)(01).z i t t =+≤≤
5、计算下列积分： （1）
||11;z dz z =? （2）||11
;||z dz z =? （3）
||11||;z dz z =? （4）||11||.||z dz z =?
6、计算积分
||1.(21)(2)z z dz z z =+-?
一3 一
7、计算积分2
sin
4,1
c
z
dz c z π
-?
为：
（1）1
||;2
z =
(2)|1|1;z -= (3) || 3.z = 8、计算积分2,1iz
c e dz c z +? 为：
（1）||1;z i -= (2)||2;z =
(3) ||||z i z i ++-= 8、计算下列积分： （1）
||2cos ;z z dz z =? （2）2||2sin ;z z
dz z =?
（3）22||21;1
z z dz z =-+? （4）2||21;23z dz z z =-+? （5）2||2||;z z z e dz z =? （6）22||21;(16)z dz z z =+? (7) 3||2.z
z e dz z =?
习题七 1、 幂级数
()
k
k k a z b ∞
=-∑，试验证逐项求导或逐项积分并不改变幂级数的收敛半径。
2、 求下列幂级数的收敛圆：
（1）11();k
k z i k ∞
=-∑ （2）1();k k z k ∞
=∑
（3）1!();k k z k k ∞=∑ （4）1
(3).k k
k k z ∞
=-∑
3、在指定的点z b =的领域内，把下列函数展成泰勒级数：
（1）Arctgz 在0;z = （2）2
2sin cos ,z z 、在0z =；
（3
;z i = （4）Lnz ，在;z i = （5）1
1z
e
-，在0z = （求出前四项）； （6）(1)z
ln e +，在0t =（求出前四项）； （7）1
(1)z
z +，在0z = （求出前四项）.
4、在奇点z b =的领域内或在指定的环域内，把下列函数展成罗朗级数：
（1）12
z
z e ，在0z =的领域内； （2）
2
1
(1)
z z -，在1z =的领域内； （3）1
(1)
z z -，分别在0z =和1z =的领域内；（4）1
1z e -，在1||z <<∞内；
一4 一 （5）
2
1()
z z i -，在以i 为中心的各圆环域内；（6）(1)(2)
(3)(4)z z z z ----，在5||z <<∞内； （7）2132z z -+，分别在1||2z <<和2||z <<∞内；（8）1cos z
z -，在0z =的领域内；
（9）1
sin z
，在0z =的领域内； （10）ctgz ，在0z =的领域内；
（11）
1
(2)(3)
z z --，分别在||2,z <2||3z <<和3||z <<∞内；
（12）
(1)(2)
z
z z --，分别在||1,z <1||2z <<和2||z <<∞内；
（13）
2
1
(1)(2)
z z --，分别在||1,z <1||2z <<和2||z <<∞内； （14）
222
1(1)z z -，分别在0||1z <<和1||z <<∞内；
5、将上题的函数在z =∞的领域内展成罗朗级数。
习题八
1、 判断下列奇点（包括z =∞点）的性质。如果是极点，确定其阶数：
（1）
221z a + （a 为实数）； （2）2cos z
z （3）2cos az coabz z -（,a b 为常数）； （4）2
sin z
z ； （5）2sin 1;z z z - （6）11
1z
e z --； （7）1sin z
； （8）2
sec z 。
2、设z b =点分别为函数()f z 和()g z 的m 阶和n 阶极点，问z b =分别为下列函数的何种性质的点？
（1）()();f z g z （2）
()
;()
f z
g z （3）()().f z g z + 3、确定下列函数的奇点（包括z =∞点），求出函数在各奇点上的留数：
（1）;1x e z + （2）
2;(1)(2)z
z z -- （3）22z e z a + （a 为实常数）； （4）3()z
ze z a -（a 为实常数）；
（5）351;z z - （6）2
22
;(1)
z z +
一5 一 （7）11;z
e
- （8）2;(1)
n
n
z z + （9）
21;1n z + （10）2
1
;(1)
z e - （11）24
1;z e z
- (12）1sin .n
z z 4、求下列复函的积分：
（1）3||ln ;1z z dz z =? （2）1
||2;z z e dz =?
（3）
||2
2;1
sin 2
z z dz z =-?
（4）22
1(1)(1)c dz z z +-? （c 为圆22
220x y x y +--=）
习题九
1、 计算下列实函定积分： （1）22
1
(01);(1cos )I dx
x π
εε=
<<+?
（2）2220
(0);sin I dx x
π
ααα=>+?
（3）22
cos (||1);12cos x
I dx x π
εεε
=
<-+?（4）2
2
01
;1cos I dx x π
=+? （5）220
;n
I cos xdx π
=
?
（6）2220
cos 2(||1);12cos x
I dx
x π
εεε=<-+?
（7）220
sin (0);cos x
I dx
a b a b x
π
=
>>+?
（8）20
1
(||1).1sin I dx
a a x
π
=<+?
2、计算下列广义积分的积分主值： （1）241;1x I dx x -∞
∞
+=
+? （2）2
2220;(9)(4)
x I dx x x ∞=++? （3）42
1
(0);I dx a x a
∞
=
>+?
（4）26
1
;1
x I dx x ∞
+=+?
（5）2
222
(0);()
x I dx a x a ∞
=
>+?
（6）22221
(0,0);()()
I dx
a b x a x b ∞
-∞=>>++?
（7）22().1m
n
x I dx m n x ∞
-∞=<+?
3、计算下列实函数定积分（混合型）； （1）4
cos (0);1mx I dx m x ∞
=
>+?
（2）222
cos (0,0);()mx
I dx
m a x a ∞
=>>+?
一6 一 （3）2222
cos (0,0);()()x
I dx a b x a x b ∞
=
>>++?
（4）222
sin (0,0);()mx
I dx
m a x x a ∞
=
>>+?
（5）22
sin ;x
I dx x ∞
=
?
（6）22sin ;(1)x x I dx x ∞-∞=+?
（7）22sin (0,0);2x mx
I dx m a x a ∞
-∞=
>>+? （8）1222sin cos ,420
420x x x x
I dx I dx x x x x ∞∞-∞-∞==++++?? （9）33sin ;x
I dx x
∞
-∞=? （10）4
4sin .x I dx x ∞-∞=?
习题十
1、 求下列原函数的像函数：
（1）2
sin t 和2cos ;t （2）sin t
e t λω-和cos t e t λω-；
（3）sh t ω和c ;h t ω （4
（5）sin(2);t - sin(2)(2).t H t -- 2、求下列常微分方程的初值问题：
（1）'''''''''
()3()3()()6,(0)0,(0)0,(0)0;t y t y t y t y t e y y y -?+++=?===? '''
()9()30,
(0)3,(0)0;y t y t cht y y ?+=?==?
（3）'''2'
()2()(),(0)0,(0)0;t
y t y t y t t e y y ?-+=?==? （4）'2'2()2()2()10,()2()()7,(0)1,(0)3;t
t
y t y t z t e z t y t z t e y z ?++=?-+=??==?
（5）222''2
'()()sin ,(0)0,(0)0;n a T t T t A t l T T πω?+=???==?
（6）''22
'
()(),(0)3,(0)0();T t a T t g T T g ω?+=?==?为常数 （7）''22()()(),(0)0;T t a T t g t T ω?+=?=? （8） ''22'
()()(),
(0)(0)0.
T t a T t g t T T ω?+=?==? 3、电动势为E 的直流电流源通过电阻R 对电容C 充电，求充电电流()i t .
4、电动势为E 的直流电流源通过电感L 和电阻R 对电容C 充电，求充电电流()i t .
5、求解RC 交流电路，其方程为：
001()()sin ,(0)0.t i t R i t dt E t c i ω?
+=???=?
? 一7一
6、反射性元素E 1蜕变为元素E 2，元素E 2又蜕变为元素E 3，元素E 3又再蜕变为元素E 4，元素E 4不再蜕变。元素E 1、E 2 、E 3、E 4的原子数分别为N 1(t )、N 2(t ) 、N 3(t )、N 4(t )，其变化规律分别为''11121122()(),()()(),N t C N t N t C N t C N t =-=-'32233()()(),N t C N t C N t =-
'433()()N t C N t =，其中C 1、C 2、C 3、C 4均为常数，设蜕变前只有元素E 1，其原子数为N 0，
求N 4(t )。
7、厄密方程'''()2()()0y t ty t y t λ-+=里的λ应取怎样的数值才有可能使方程的解退化为多项式？
8、拉盖尔方程'''()(1)()()0ty t t y t y t λ+-+=里的λ应取怎样的数值才有可能使方程的解退化为多项式？
9、用拉普拉斯变换求下列积分： （1）220
cos ();tx
I t dx x a ∞=+? （2）0sin ();tx I t dx x
∞=? （3）20
sin ();(1)
tx
I t dx x x ∞
=
+?
（4）2
20sin ().tx I t dx x ∞=? 10、设()f t 是以T 为周期的周期函数，且()f t 在一个周期上分段连续，试证明()f p =
1
()1T
pT pT
f t e dt e ---?
，并用此公式验证sin t ω的拉氏换式为
2
2
p ω
ω
+。
习题十一
把下列周期函数()f x 展成傅里叶级数： 1、 在(,)l l -这个周期上，
0(,0),
()1
(0,).
l f x l -?=?
? 2、 在(,)ππ-这个周期上，
(,0),
2
()(0,).
2
x f x x ππππ+?--??=?
-???
3、 在(0,)T 这个周期上，()3
x f x =。 4、 (,)ππ-这个周期上，
cos (,0),
()cos (0,).
x f x x
ππ--?=?
?
5、 在(,)ππ-这个周期上，2()f x x =。在本题答案中令0x =，看看能得出什么结果。
一8一
6、在(,)ππ-这个周期上，2()f x x x =+。由本题答案证明：
22221
11111.6
234k k π
∞
===++++???∑
7、在(0,)π这个周期上，()1sin 2
x
f x =-。 8、在(,)ππ-这个周期上，
0(,),2()cos (,),220(,).2f x x ππππππ?
--??
?
=-??
???
9、在(,)l l -这个周期上，()(0)x
f x e λλ=>。 10、在(1,1)-这个周期上，
(1,0),1()1(0,),211(,1).2
x f x ??-?
?
=??
?-??
11、在(0,)l 这个周期上，()cos
[1()]2
x
l
f x H x l π=--。 12、在(,)ππ-这个周期上，()sin ().f x ax a =为非整数 13、在(,)ππ-这个周期上，()cos ().f x ax a =为非整数 14、在(,)ππ-这个周期上，()().f x shax
a =为非整数
15、在(,)ππ-这个周期上，()().f x chax a =为非整数
16、在(0,)l 这个周期上，
sin (0,),2
()sin (,).2
l x l
f x l x l l ππ???=?
?-??
习题十二
把下列定义在有限区间上的函数()f x 分别展成一般、正弦和余弦傅里叶级数。 1、()1
(0,)f x π=
2、()(1)
(0,).x f x a l l
=-
一9一
3、2()(0,).f x x π=
4、3
()(0,).f x x
π=
5、(0,),2
()(,).
2
l x f x l l x l ?
??=??-??
6、()cos (0,).f x x π=
7、()sin (0,).f x x π=
8、()sin 2(0,).f x x π=
9、2
()(0,).f x x x l =+ 10、()(0,)
().f x ax
a π=可为整数也可为非整数
11、在(0,)2
l 上，()cos
;f x x l π
=在(,)2
l
l 上，()0.f x = 12、函数(),(0,)f x x x l =∈，根据(0)0f =和'
()0f l =的条件，把()f x 展成傅里叶级数。
习题十三
1、短形波()f x ，在(,)22
T T
-
这个周期上， 0(,),22()(,),220(,).22T f x H T ττττ?
--??
?
=-??
???
试把它展成复数形式的傅里叶级数。
2、锯齿波()f x ，在(0,)T
这个周期上，()H
f x x T
=，试把它展成复数形式的傅里叶级数。 3、二元函数(,)f x y xy =定义在0,0x y ππ<<<<上。试分别根据边界条件 （1）(0,0)(,)0;f f ππ== （2）''(0,0)(,)0f f ππ==下
把(,)f x y 展成三角形式的二重傅里叶级数。
习题十四
1、把单个锯齿脉冲()f t 展成三角形式的傅里叶积分：
一10一
(0),()(0),0().t f t kt t T T t
2、把下列脉冲()f t 展成三角形式的傅里叶积分：
0(0),(0),()(0),0().
t h T t f t h t T T t
=?
<
4、分别在(0)0f =和'(0)0f =的边界条件下，把(),(0,)(0)x f x e x λλ-=∈∞>展成三角形式的傅里叶积分。
5、分别在(0)0f =和'(0)0f =的边界条件下，把(0),
()0
()
h
t T f t T t <
的傅里叶积分。
6、把振幅随时间衰变的振动函数sin (),0()t
f t t t
Ω=
>Ω为常数，展成傅里叶积分。
习题十五 1、求()t δ和()t δτ-的像函数。
2、电量为1q 的点电荷位于空间1M 点，而电量为2q 的点电荷位于空间2M 点，求空间中的电荷密度分布。
3、一条两端固定的弦线，在0t =时，有冲量k 瞬间作用于弦线上的0x 点，求此冲量作用后弦线上各点的位移和初速度。[设弦线上的x 点在t 时刻偏离平衡位置的横向位移为
(,).u x t ]
4、证明以下δ函数的性质： （1）1
()();||
ax x a δδ=
（2）''()();x x δδ-=- （3）()0;x x δ= （4）()()(0)();f x x f x δδ=
（5）'
()();x x x δδ=- （6）2
2
1
()[()()](0).2x a x a x a a a
δδδ-=
-++>
一11一
1、如图选取x —x+dx 段弦，试推导弦的自由横振动方程。
2、一均匀细弦在阻尼介质中振动，每单位长度的弦所受的阻力为(,)t f x t Ru =-；（比例常数R 称为阻力系数）．试推导弦在该阻尼介质中的横振动方程。
3、试推导匀质细圆锥杆的纵振动方程。
4．一匀质锥形细杆，杆的横截面积S 与其到锥顶的距离成正比．试推导杆的纵振动方程．
5、一长为l 的柔软均匀重绳，上端固定在以匀角这ω转动的竖直轴上．由于转速较小，弦的平衡位置为竖直线．试推导此绳相对于竖直线的横振动方程。
6．一长为l 的柔软均匀轻绳，上端固定在以匀角速ω转动的竖直轴上．当转速较大时，由于惯性离心力的作用，此弦的平衡位置可认为在水平面上．试推导该弦相对于水平线的横振动方程。
7、一水平放置的均匀弦线，在不能忽略重力作用的情况下，推导弦的横振动方程． 8．一均匀细杆，上端固定在天花板上，杆身竖直．分别取水墙放置时的平衡位置作为纵向位移u 的坐标原点和竖直放置时的新的平衡位置作为纵向位移v 坐标原点，推导出该杆的纵振动方程．（提示：取竖直放置时的新的平衡位置作为纵向位移v 的坐标原点时泛定方程是齐次的．）
9、一匀质细导线，通有恒定的直流电流，其电流密度为j ，设导线的电阻率为r ，试推导该导线的热传导方程．
一12 一
10．上题中若设电流强度为I ，每单位长导线的电阻为R ，写出该导线内的热传导方程．
11、混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速率正比于当时尚储存着的水化热密度Q ，即
dQ
Q dt
β=-，试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。设初始时刻水化热密度为Q 。 12．试推导均匀圆杆的扭转振动方程．设圆杆横截面半径为R ，切变模量为N ．
1、两端固定长为l 的均匀弦，弦中的张力为0T T0，在0x x =点施以横向力0F 沿坐标u 的正方向拉弦，稳定后放手任其自由振动．写出该弦作横振动的初始条件．
2、长为l 的均匀杆，两端受拉力0F 的作用，写出杆作纵振动的边界条件。
3、长为l 的均匀杆，0x =端固定，x l =端受力0F 的作用而伸长．在t ＝0时刻，突然撤去此力，写出该杆作纵振动的初始条件．
4、长为l 的均匀杆，两端受压力的作用，杆长度变为(12)l ε-后处于静止状态．在t=0时刻，突然撤去压力，写出该杆作纵振动的初始条件．
5、长为l 的均匀杆，两端有恒定的热流强度为0q 的热流进入，写出杆的热传导问题的边界条件．
6、两端固定长为l 的均匀弦，在t=0时刻用尖锤敲击弦上0x 点，其冲量为K ，写出该弦作横振动的定解条件．
7、写出静电场中两种不同电介质界面上的衔接条件．其介电常数分别为εI 和εII
，电势分别为u I 和u II
。
8、一根杆由横截面积相同但材料不同的两段连接而成。其扬氏模量分别为Y I
和Y II
，密度分别为ρI 和ρII
．写出杆纵振动的衔接条件．
9．一根粗细均匀的导热杆由两段不同材料构成，其导热系数、比热、密度分别为k I
、
C I 、ρI 、k II 、C II 、ρII 。初始温度为0u ，两端保持零度．试列出该杆热传导问题的定解
问题．
10．半径为R 而表面熏黑的金属长圆柱体，受阳光照射．阳光的方向垂直于柱轴，热流强度为M ，写出该圆柱体的热传导问题的边界条件．
习题十八
1．把下列二阶线性偏微分方程化为标准形式：
（1）20;xx xy yy x y au au au bu cu u +++++=（2）23260;xx xy yy x y u u u u u --++=
一13 一
（3）4520;xx xy yy x y u u u u u +++= （4）0;xx yy u yu +=； （5）0;xx yy u xu += （6）2
2
0;xx yy y u x u +=
（7）222440.x xx yy x y u e u y u --=
2．化简下列二阶线性常系数偏微分方程： （1）0;xx yy x y u u u u u αβγ++++= （2）21
0;xx y x u u u u a
αβ---= （3）0;yy x y c b b
u u u u a a
-+
++= （4）3420;xy x y u u u u +++=； （5）22220.xx xy yy x y au au au bu cu u +++++=
习题十九
1．求解一无限长弦线的自由振动．设弦的初始位移为()x ?，初始速度为'()a x ?-． 2．求解无限长理想传输线上的电压和电流的传播情况．设传输线上的初始电压分布为
c o s A k x cos kx ． 3．在
G R
C L
=的条件下求元限长传输线电报方程的通解． 4．一无限长弦线上的x=x 。点在t=0时刻受到一尖锤的打击，其冲量为I ．求解其后的弦的振动．
5．求解非常长的细圆锥匀质杆的纵振动．设杆上初始位移分布为()x ?，初始速度分布为()x ψ。
6．半无界杆的端点（x ＝0）受到纵向力()sin F t A t ω=的作用，求解该杆的纵振动． 7．求半无限长理想传输线电报方程的解．端点（x=0）通过电阻R 相接，初始电压分
布为cos A kx ，cos kx ．
试问该传输线在什么情况下端点没有反射（即所谓“匹配”）？
8．半无界弦的初始位移和初始速度均为零，其端点作微小振动，边界条件为
0|sin x u A t ω==，求解该半无界弦的横振动．
9．在一水平放置的弦的x ＝0处悬挂一质量为M 的载荷，有一行波(,)()x u x t f t a
=-从x ＜0的区域向悬挂点行进，求该问题的反射波和透射波． 10．平面偏振的平面光波沿x 轴行进而垂直地投射于两种介质的分界面上，入射光波的电场
一14 一
强度1
0sin ()n E E t x a
ω=-
。1n 是第一种介质的折射率，a 为真空中的光速。求此问题的反射光波和透射光波。（提示：在介质分界面上E 连续，E
x
??连续。）
习题二十
1、演奏琵琶时把弦的某一点向旁边拨开一个小距离，然后放开让其振动。设弦长为l ，被拨开的点在弦长的
1
n 处（0n 为正整数），拨开的距离为h 。试求解弦的横振动． 2、一长为l 两端固定的弦处于静止状态。用细棒敲击弦上x0点，其冲量为I ，求解弦的振动。
习题二十一
1、两端固定长为l 的均匀弦，弦中张力为0T ．在0x x =点施以横向力0F 拉弦，稳定后放手任其振动。求解弦的振动情况．
2、两端固定的弦，用宽为2δ的平面锤敲击弦上0x 点，在00x x δδ-+—之间使弦得到一初速度0v 。求解弦的振动．在本题答案中令0δ→，并将其与习题二十第2小题的结果进行比较．
3、两端固定长为l 的均匀弦，弦中张力为0T ．在同一时刻，用细棒同时敲击弦上1x 点和2x 点，其冲量分别为1I 和2I ．求解敲击后弦的振动情况．
4、一长为l 的均匀杆，两端受压，从而长度缩为(12)l ε-，求解放手后杆的振动情况。
5、长为l 的均匀杆，一端固定，另一端受拉力0F 的作用而伸长，稳定后突然放手让其
振动。求解该杆的纵振动．
6．长为l 的理想传输线，远端开路．先把传输线充电到两线间的电位差为0v ，然后把近端短路，求解传输线上的电压(,)v x t ．
7、长为l 的均匀杆，上端固定在电梯的天花板上，杆身竖直，下端自由。电梯匀速下降，速度为0v ，在t=0针刻电梯突然停住．求解其后的杆的振动情况．（提示：杆身竖直，杆上各点处于新的平衡位置．取此新的平衡位置为纵向位移v 的坐标原点，则v 的振动方程是齐次的．由于是匀速下降，此时0|0t v ==．）
8、上题若取杆水平放置时的旧平衡位置作为纵向位移u 的坐标原点，则u 的泛定方程是非齐次的．在上题情况下求解(,)u x t ．
9．长为l 的均匀细杆，静止地处于平衡位置，其一端（x ＝0）固定，另一端受纵向力
一15 一
()\0s i n F t F t ω=-的作用．求解它在此谐变力作用下的振动．
10、一长为l 的均匀细杆，两端保持零度，其初始温度分布为02|()t b
u x l x l
==
-．求杆上的温度变化情况．
11、长为l 柱形细管，x=0端开放，x=l 端封闭。管外空气中含有某种气体；其浓度为
0N ．管外气体向管内扩散．求解管内该气体的浓度变化情况．
12、求解薄膜的恒定表面浓度的扩散问题。薄膜的厚度为l ，杂质从两面进入薄膜．由于薄膜外面含有大量的杂质分子，而且杂质分子进人薄膜比杂质在薄膜中扩散要快得多，因此可认为薄膜表面的杂质浓度与薄膜外面的杂质浓度0N 一样．求解杂质在薄膜中的扩散情况．
13．把上题改为限定源扩散问题．薄膜表层已含有一定量的杂质，在薄膜的表层，每单位表面积的杂质分子数为0Φ，此预先淀积在表层的杂质分子向薄膜内部扩散．求解薄膜内杂质分子浓度的变化情况．［提示：000|(0)().t N x x l δδ==Φ-+Φ-〕
14．一长为l 的均匀细杆，其初始温度为0u ，两端保持温度分别为1u 和2u ，求杆上温度的变化情况．
15、一长为l 的均匀细杆，其初始温度为0u , x ＝0端温度为A t 度,x=l 端保持为零度，求
解该杆的热传导问题．
16．一长为l 的轻弹簧，上端（x ＝0）固定，下端（x ＝l ）轻轻地挂上质量为m 的物体，
求解其后弹簧的纵振动．（可设a =
Y 相当于杨氏模量，ρ为单位体积弹簧的质量．弹
簧本身的重量可忽略．）
17．求解矩形区域0＜x ＜a ，0＜y ＜b 内的拉氏方程，使其满足边界条件
000|0,|0,|s i n ,|0.
x x y y b u u u B x u a
π
======== 18、求解矩形区域0＜x ＜a ，0＜y ＜b 内的拉氏方程，使其满足边界条件
00|(),|0,|0,|0.x x a y y b u Ay b y u u u =====-===
19．求解带状区域0＜x ＜a ，0＜y ＜∞内的拉氏方程，使其满足条件
000|0,|0,|,|0.x x a y y u u u u u ===→∞====
20．求解带状区域0＜x ＜a ，0＜y ＜∞内的拉氏方程，使其满足
00|0,|0,|(1),|0.x x a y y x
u u u A u a
===→∞===-=
21．在圆内区域求解0u ?=，使其满足边界条件0|cos u A ρ?==。 22．在国内区域求解0u ?=，使其满足边界条件0|sin u A B ρ?==+.
—16 一
23．在圆外区域求解0u ?=，使其满足边界条件：①|cos ,|0;a u A u ρρ?=→∞==②
0.|cos ,|a u
A u u ρρ?ρ
=→∞?==?
24、半圆形薄板，上下板面绝热，边界直径上的温度保持零度，圆周上的温度保持为0u 求板上的稳定温度分布．
25、半圆形薄板，上下板面绝热，边界直径上与外界元热交换，圆周上的温度保持为
0u ．求板上的稳定温度分布．
26．圆心角为900的四分之一圆的薄板，上下板面绝热，边界半径上的温度保持零度，圆周上的温度保持为0u 求板上的稳定温度分布。
27．上题的圆心角改为0?，求板上的稳定温度分布．
28．在以R 1，R 2分别为内外半径的两同心圆所围成的环城中求解拉氏方程面0u ?=，使之满足边界条件1212|(),|()R R u f u f ρρ??====．
29．长为l 的理想传输线，一端（x=0）接交流电源0sin E t ω,另一端短路．求解线上的稳定振荡，并计算出输入阻抗．
30．长为l 的传输线．一端接交流电源0sin E t ω，另一接接于元件R 0，L 。和C 。（三元件串接）．求解传输线上的稳定振荡，并讨论在什么条件下不存在反射波（此时叫做匹配）．
习题二十二 1、一长为l 两端固定的弦，在弦上0x 点受谐变力0sin f t ρω作用而振动．求其受迫振动情况．
2、一长为l 两端固定的弦在线密度(,)()sin F x t x t ρω=Φ的横向力作用下振动．求解该弦的振动情况，并讨论发生共振的条件．
3、一长为l 的均匀细导线，通有电流密度为j 的稳定的直流电流．设导线的电阻率为r ，导线上的初始温度为0u 。在两端温度保持为零度的条件下，求解导线上的温度变化．
4、在圆域ρ＜a 内求解4u ?=-，使之满足边界条件|0a u ρ==。 5．在圆域ρ＜a 内求解u xy ?=-，使之满足边界条件|0a u ρ==． 6、在矩形域0,22
b b
x a y <<-
<<内求解2u ?=-，使之满足边界条件0,,
22
|0;|
0x a b b
y u u ==-==。
7、在矩形域0,22
b b
x a y <<-
<<内求解2u x y ?=-，使之满足边界条件
数学物理方法综合试题及答案
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y -
数学物理方法期末考试规范标准答案
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
数学物理方法习题答案[1]
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
数学物理方法典型习题
典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题
数学物理方法试题
嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u
2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32
数学物理方法填空题答案
1. 复数1i e -的模为 ，主辐角为 弧度。 2. 函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。 3. ln1=_________. 4. =ix e _________。 5. ln(1)i --=23(21)(2),0,1,2,2 n n n π-++=±±L 。 6.复数 =-)4ln(),2,1,0()12(4ln Λ±±=++k i k π。 7. 复数=i cos 2/)(1-+e e 。 8. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部xy y x y x v +-=22),(， 则实部=),(y x u c xy y x +--22/)(2 2 。 9. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部(,)v x y x y =+且(0)1f =，则解析函数为 z zi +。 10. 积分 dz z z z ?=12sin =______ . 11. 求积分=?=1cos z dz z z _________ 12. 2000 |2009|3(2011)z z dz --=-=?? 0 。 13. 设级数为∑∞ =1n n n z ,求级数的收敛半径_______________。 14.设级数为)211n n n n z z + ∑∞=（， 求级数的收敛区域 。
15. ) 3)(2(1)(--=z z z f 在3||2<
数学物理方法习题
数学物理方法习题 第一章： 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、 2、 3、 4、 5、 第二章： 1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1） （2） ; 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 3、计算数值（和为实常数，为实变数） 4、函数 将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？ （1） （2） 5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。 （1） ； （2） 6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。 第三章： 1、计算环路积分： 3r ?= 0r ??= ()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 21()0 r ?=()0A ???= 0; 2 Z a Z b z z -=--=0arg 4z i z i π -<<+1Re()2 z =1;1i i e ++a b x sin5i i ?sin sin() iaz ib z a i b e -+1 W z = z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+== =(00) f υ==22 x y +=
2、证明：其中是含有的闭合曲线。 3、估计积分值 第四章： 1、泰勒展开 （1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1） 在区域展成洛朗级数。 （2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开； ②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 第五章： 1、计算留数 （1） 在点。 （2） ，在点； （3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）； 2211132124sin 4(1).(2).11sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-????? 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? l 0ξ=222i i dz z +≤? ln z 0 z i =1 1z e -0 0z =21 1z z -+1z =1 ()(1)f z z z = -01z <<1 ()(3)(4)f z z z = --0z =0z =521 (1);(2)(1)sin cos z z z z -+2 (1)(1)z z z -+1,z =±∞3 1sin z e z -0z =31 cos 2z z -
数学物理方法试题
数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分）
1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解：
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
《数学物理方法》复习题
《数学物理方法》复习题 一、单项选择题 【 】1、函数()f z 以b 为中心的罗朗（Laurent ）展开的系数公式为 11 () .2()k k f A C d i b γ ζζπζ+= -? ()().! k k f b B C k = 1().2k f C C d i b γζζπζ= -? 1 ! () .2()k k k f D C d i b γ ζζπζ+=-? 【 】2、本征值问题()()0,(0)0,()0X x X x X X l λ''+===的本征函数是 A ．cos n x l π B ．sin n x l π C ．(21)sin 2n x l π- D ．(21)cos 2n x l π- 【 】3、点z =∞是函数cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 【 】4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 【 】5、设函数()f z 在单连通区域D 内解析，C 为D 内的分段光滑曲线，端点为A 和B ，则积分 ()C f z dz ? A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关 【 】6、 条件1z <所确定的是一个 A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】7、条件210<-
数学物理方法试卷(全答案).doc
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
数学物理方法习题及解答
2. 试解方程：()0,044>=+a a z 444244 00000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+-+ （2） y = （3） 求复数2 ?? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==-+ ?????=-===+=±± 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ???而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求
数学物理方法复习题.doc
《数学物理方法》复习题 一、单项选择题 【 】 1、函数 f (z) 以 b 为中心的罗朗（ Laurent ）展开的系数公式为 1 A. C k 2 i 1 C. C k 2 i ? ? f ( ) d B. C k f (k ) (b) ( b) k 1 k ! f ( ) k ! f ( ) b d D . C k 2 i ? ( b)k 1 d 【 】 2、本征值问题 X ( x) X (x) 0, X (0) 0, X (l ) 0 的本征函数是 A ．cos n x B ．sin n x C ． sin (2n 1) x D ． cos (2n 1) x 】 3、点 z l l 2l 2l 【 是函数 cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 【 】 4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 【 】5、设函数 f ( z) 在单连通区域 D 内解析， C 为 D 内的分段光滑曲线， 端点为 A 和 B ， 则积分 ( ) f z dz C A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关 【 】6、 条件 z 1 所确定的是一个 A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】 7、条件 0 z 1 2 所确定的是一个 A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】 8、 积分 ? zcosz 2dz |z| 1 A ． 1 B ． 1 C ． 1 2 D ． 0 2 【 】 9、函数 f ( z) 1 在 z 1 2 内展成 z 1 的级数为 1 z A ． 2 n B 1 n 0 ( z 1) n 1 ． n 0 z n 1 【 】 10 、 点 z 0 是函数 1 f ( z) sin z C ． ( z 1)n D ．z n n 0 2n 1 n 0 1 的
【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)
福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z
数学物理方法试卷答案
《数学物理方法》试卷答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ??? ??=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ C ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ． 0=?Γ dS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ B ） A ．) cos , (2 x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2 x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2 x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u .
二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题??? ? ? ????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是(x t cos sin 2). 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()43 41()(1)(2'''=-++x y x x y x x y 的任一特解=y （ )21 (2 3 x J 或0). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1 ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2 )( ,sin 2)(2 12 1ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ )s i n )(1(2)cos sin 1(223 x x dx d x x x x x x ππ-=- ）. 三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 00, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???? ???==>? ????==≤≤?? 解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得
【】数学物理方法试卷(全答案)
嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 |
4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分） ￥ 三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2
数学物理方法习题及解答
2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求