相似三角形难题易错题一.填空题(共
2小题)
1.如图所示,已知AB ∥EF∥CD ,若AB=6 厘米,CD=9 厘米.求EF.
2.如图,?ABCD 的对角线相交于点O,在AB 的延长线上任取一点E,连接OE 交BC 于点F.若AB=a ,AD=c ,BE=b,则BF= _________ .
二.解答题(共17小题)
3.如图所示.在△ABC 中,∠BAC=120 °,AD 平分∠BAC 交BC 于D.求证:.
4.如图所示,?ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,E 为AD 延长线上一点,OE 交CD 于F,EO 延长线交AB 于G.求证:.
1
5.一条直线截△ABC 的边BC、CA 、AB(或它们的延长线)于点D、E、F.求证:.
6.如图所示.P为△ABC 内一点,过P 点作线段DE,FG,HI 分别平行于AB ,BC 和CA ,且DE=FG=HI=d ,AB=510 ,BC=450,CA=425 .求d.
7.如图所示.梯形ABCD 中,AD ∥BC,BD ,AC 交于O 点,过O 的直线分别交AB ,CD 于E,F,且EF∥BC.AD=12 厘米,BC=20 厘米.求EF.
2
WORD格式
8.已知:P 为?ABCD 边BC 上任意一点,DP 交AB 的延长线于Q 点,求证:.
9.如图所示,梯形ABCD 中,AD∥BC,MN ∥BC,且MN 与对角线BD 交于O.若AD=DO=a ,BC=BO=b ,求MN .
10.P 为△ABC 内一点,过P 点作DE,FG,IH 分别平行于AB ,BC,CA(如图所示).求证:.
4
11.如图所示.在梯形ABCD 中,AB∥CD,AB <CD.一条直线交BA 延长线于E,交DC 延长线于J,交AD 于F,交BD 于G,交AC 于H,交BC 于I.已知EF=FG=GH=HI=IJ ,求DC:AB .
12.已知P 为△ABC 内任意一点,连AP,BP,CP 并延长分别交对边于D,E,F.
求证:(1)(2)三者中,至少有一个不大于2,也至少有一个不少于2.
13.如图所示.在△ABC 中,AM 是BC 边上的中线,AE 平分∠BAC ,BD⊥AE 的延长线于D,且交AM 延长线于F.求证:EF∥AB .
5
WORD格式
14.如图所示.P,Q 分别是正方形A BCD 的边A B ,BC 上的点,且BP=BQ ,BH⊥PC 于H.求证:QH⊥DH .
15.已知M 是Rt△ABC 中斜边B C 的中点,P、Q 分别在A B 、AC 上,且PM⊥QM .求证:
2 2 2
PQ =PB +QC
.
16.如图所示.在△ABC 中,∠ACB=90 °,CD⊥A B 于D,AE 平分∠CAB ,CF 平分∠BCD.求证:EF∥B C .
17.如图所示.在△ABC 内有一点P,满足∠APB= ∠BPC=∠CPA.若2∠B=∠A+∠C,求证:2
PB =PA?PC.
△P AB∽△PBC.)
(提示:设法证明
7
WORD格式
18.已知:如图,△ABC 为等腰直角三角形, D 是直角边BC 的中点,E 在AB 上,且AE :EB=2:1.求证:CE⊥A D .
19.如图所示,△ABC 中,M 、N 是边BC 的三等分点,BE 是AC 边上的中线,连接AM 、
AN ,分别交B E 于F、G,求BF:FG:GE 的值.
20.在△ABC 中,∠A ∶∠B∶∠C=1∶2∶4.求证
1
AB +
1
AC =
1
BC
提示:要证明如 1
a + 1
b =
1
c
几何题的常用方法:①比例法:将原等式变
为
a+b
ab =
1
c
或a+b
a =
b
c
,
故构造成以a+b、b 为边且与
a、c 所在三角形相似的三角形。②通分法:将原等式变
为 c
a + c
b = 1,
利用相关定理将两个个比通分即: c
a =
m
d
,c
b
=
n
b
,且m + n = d,则原式成立。
9
2013初中相似三角形难题易错题
参考答案与解析
一.填空题(共2小题)
1.如图所示,已知AB ∥E F∥C D ,若AB=6 厘米,CD=9 厘米.求EF.
考点:平行线分线段成比例.
题:计算题.
专
A B ∥E F∥C D,利用平行线分线段成比例的定
分析:由于BC 是△ABC 与△DBC 的公共边,且
理,可求EF.
解答:解:在△ABC 中,因为E F∥A B ,
所以EF:AB=CF :CB①,
同样,在△DBC 中有EF:CD=BF :CB②,
①+②得EF:AB+EF :CD=CF :CB+BF :CB=1③.
设EF=x 厘米,又已知AB=6 厘米,CD=9 厘米,代入③得
x:6+x:9=1,
解得x= .
故EF= 厘米.
算.
点评:考查了平行线分线段成比例定理,熟练运用等式的性质进行计
2.如图,?ABCD 的对角线相交于点O,在AB 的延长线上任取一点E,连接O E 交BC 于
B F= .
点F.若AB=a ,AD=c ,BE=b,则
考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
专
题:计算题.
分析:首先作辅助线:取AB 的中点M ,连接O M ,由平行四边形的性质与三角形中位线的性质,即可求得:△EFB∽△EOM 与OM 的值,利用相似三角形的对应边成比例即可求
得BF 的值.
O M,
解答:解:取AB 的中点M ,连接
∵四边形ABCD 是平行四边形,
10
∴AD ∥B C,OB=OD ,
∴OM ∥A D∥B C,OM= AD= c,
∴△EFB∽△EOM ,
∴,
∵AB=a ,AD=c ,BE=b ,
∴ME=MB+BE= AB+BE= a+b,
∴,
∴BF= .
故答案为:.
相似三角形的判定与性质等知识.解此题的关键是准
点评:此题考查了平行四边形的性质、
确作出辅助线,合理应用数形结合思想解题.
二.解答题(共
17小题)
3.如图所示.在△ABC 中,∠BAC=120 °,AD 平分∠BAC 交BC 于D.求证:.
考点:相似三角形的判定与性质;等边三角形的判定.
题:证明题.
专
D引DE∥A B ,交AC 于E,因为AD 平分∠BAC(=120°),所以∠BAD= ∠E AD=60 °.若分析:过
△ADE 为正三角形,从而AE=DE=AD ,利用△CED ∽△CAB ,引DE∥A B ,交AC 于E,则
.
可实现求证的目标
D引DE∥A B ,交AC 于E.
解答:证明:过
∵AD 是∠BAC 的平分线,∠BAC=120 °,
∴∠BAD= ∠CAD=60 °.
又∠BAD= ∠EDA=60 °,
所以∴△ADE 是正三角形,
∴EA=ED=AD .①
由于DE∥A B ,所以△CED∽△CAB ,
∴= = =1﹣.②
,
由①,②得=1﹣
11
从而+ = .
点评:本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质,考查了相似三角形的判定,考查了等边三角形的判定,考查了角平分线的性质,本题中求证△CED∽△CAB 是解题的关键.
4.如图所示,?ABCD 中,AC 与BD 交于O 点,E为A D 延长线上一点,OE 交CD 于F,EO 延长线交AB 于G.求证:.
考点:相似三角形的判定与性质;平行四边形的性质.
题:证明题.
专
段
“集中”到一个三角形中来求证.
线
各
线使
分析:应利用平行四边形的性质,通过添加辅助
解答:证明:延长CB 与EG,其延长线交于H,如虚线所示,构造平行四边形AIHB .在△EIH 中,由于DF∥I H ,
∴= .
∵IH=AB ,∴= ,
== =1+ .①
=﹣
从而,﹣
在△OED 与△OBH 中,
∠DOE= ∠BOH,∠OED= ∠OHB ,OD=OB ,
∴△OED≌△OBH (AAS ).
从而DE=BH=AI ,
∴=1.②
=2.
由①,②得﹣
,此题的
点评:此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握
关键是延长CB 与EG,其延长线交于H,如虚线所示,构造平行四边形AIHB .这是此题的突破点,也是一个难点,因此属于一道难题.
12
5.一条直线截△ABC 的边BC、CA、AB (或它们的延长线)于点D、E、F.
求证:.
考点:三角形的面积.
专题:证明题.
分析:连接BE、AD,并把线段之比转化为两三角形面积之比,然后约分即可求证.
解答:证明:如图,连接BE、AD ,
∵△BDE 与△DCE 等高,∴= ,
∵△DCE 与△ADE 等高,∴= ,
∵△ADF 与△BDF 等高,∴= ,
∵△AEF 与△BEF 等高,∴= ,
∴= ,
∴? ? = ? ? =1.
点评:此题考查学生对三角形面积的理解和掌握,解答此题的关键是连接BE、AD ,并把线
初中数学相似三角形经典练习难题易错题 )解详附( 相似三角形难题易错题 一.填空题(共2小题) 1.如图所示,已知AB∥EF∥CD,若AB=6厘米,CD=9厘米.求EF.
于BC,连接OE交OABCD的对角线相交于点,在AB的延长线上任取一点E2.如图,?._________,AD=cBE=b,则BF=点F.若AB=a, 小题)二.解答题(共17.求证:BC于DBACBAC=120°,AD平分∠交中,3.如图所示.在△ABC∠. ,交FCD于OEADEOBDACABCD.如图所示,4?中,与交于点,为延长线上一点,..求证:G于AB延长线交 EO. .求证:F、E、、BC、CAAB(或它们的延长线)于点D5.一条直线截△ABC的边 . 和ABHI分别平行于,BCPP为△ABC内一点,过点作线段DE,FG,6.如图所示..求d.AB=510,且DE=FG=HI=d,,BC=450,CA=425CA
,ABOACBC∥,BD,交于O点,过的直线分别交ADABCD7.如图所示.梯形中,.EF厘米.求BC=20厘米,AD=12.BC∥EF,且F,E于 CD. 8.已知:P为?ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于Q点,求证: . .若OMN与对角线BD交于,ABCD中,AD∥BCMN∥BC,且9.如图所示,梯形.BC=BO=b,求MNAD=DO=a,
(如图所示).BCIH,分别平行于AB,,CAFGDEPABC为.10P△内一点,过点作,.求证: 11.如图所示.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB<CD.一条直线交BA延长线于E,交DC延 长线于J,交AD于F,交BD于G,交AC于H,交BC于I.已知EF=FG=GH=HI=IJ,求DC:AB. F,.并延长分别交对边于D,EBP.已知12P为△ABC内任意一点,连AP,,CP 三者中,至少有一个不大于(2)求证:(1) ,也至少有一个不少于2.2
相似三角形 一.解答题(共30小题) 1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC. 2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G. (1)求证:△CDF∽△BGF; (2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长. 3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC. 求证:△ABC∽△FDE. 4.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s 的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?
(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由. 5.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP. 6.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似? 7.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.
8.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似? 9.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似. 10.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.
初中数学 易错题专题 一、选择题(本卷带*号的题目可以不做) 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千M/小时,逆流航行时(m-6)千M/小时,则水流速度( ) A 、2千M/小时 B 、3千M/小时 C 、6千M/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,图像有一个交点 B 、1±≠m 时,肯定有两个交点 C 、当1±=m 时,只有一个交点 D 、图像可能与x 轴没有交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b