三角形中的主要线段练习题
13.3三角形中的主要线段
知识回顾:：
你们现在看到的是什么图形？
目标解读:：
1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念。
2.能正确地画出一个三角形的角平分线、中线、高线，并会用符号语言表述三角形的角平分
线、中线的有关数量关系。
3.逐步提高观察能力、语言表达能力以及基本作图能力。
基础训练:
1．判断
（1）三角形的一条内角平分线是一条线段（ ）
（2）三角形三条中线、三条角平分线、三条高线都在三角形的内部（ ）
（3）如果三角形一条高和它的一条边重合，则这个三角形中有一个内角是直角。（ ）
（4）三角形的高是一条垂线。（ ）
2．填空题
（1）如图，图中有___个三角形，分别是________；∠B 是△ABD 中______边的对角，又
分别是△ABE 、△ABD 中______ ________边的对角；△ACE 中∠C 的对边是________；AD
是哪些三角形的边________。
（2）如图，在△ABC 中AB ⊥BC ，BD ⊥AC ，则△ABC 的三条高分别是________，点B
到AC 所在直线的距离是________。
（3）如图，以AD 为高的三角形分别是________。
（4）三角形中线，角平分线，高线中有可能位于三角形外部的是________，此时三角形是
________。
（5）△ABC 的三边a=4.8，b=2a ，c=b-1.9，△ABC 的周长________.
（6）三角形周长是36cm ，三边a ：b ：c=2：3：4.则a=________,b________, c=________.
（7）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，和ACD 面积相等的三角形是____
_。
2(3)题图 2(7)题图
3．△ABC 的周长是8，三边a 、b 、c 间存在关系a=b+1、b=c+1，求三边长。
2(2)题图 2(1)题图
4．已知：△ABC中，AC边中线是BM，AB与BC的差是2。求：△ABM和△BCM的周长差。
5．已知：△ABC中，BC=5cm，点A到BC边距离是2cm，求：△ABC的面积。
6．如图，在△ABC中，
（1）画出AC边中线BD；
（2）画出∠C的平分线CE；
（3）画出△CED的边ED和边EC上的高
6题图
7、下列说法中正确的个数有（）
①三要线段首尾顺次相接近所组成的图形叫三角形。
②三角形的角平分线、中线、高都是线段。
③只有一条高在三角形内部的在三角形是钝角三角形。
④三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
8、三角形是（）
A、连结任意三点组成的图形
B、由三条线段组成的图形
C、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形
D、以上均不对
9.下列判断：
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；
②三角形的中线、角平分线、高线都是线段；
③一个三角菜有三条角平分线、三条中线和三条高线；
④三角形的中线是通过经过顶点和对边中点的直线，其中正确的是（）
A、①②③④
B、②③④
C、①④
D、②③
10.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A、直角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、不能确定
能力拓展:
11.已知：如图在△ABC中，BC边上的高是（）
A. AD
B. BE
C. CF
12.在△ABC中，∠A=50°，∠B和∠C的平分线相交于O，则∠BOC=（）
A.65°
B.115°
C.130°
D.100°
初中数学三角形有关的线段讲解及习题
11.1 与三角形有关的线段 1．三角形 (1)定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． (2)构成：如图所示，三角形ABC 有三条边，三个内角，三个顶点． ①边：组成三角形的线段叫做三角形的边． ②角：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． ③顶点：相邻两边的公共端点是三角形的顶点． (3)表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC . 注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示． (4)分类： ①三角形按角分类如下： 三角形????? 直角三角形锐角三角形 钝角三角形 ②三角形按边的相等关系分类如下： 破疑点 等边三角形和等腰三角形的关系 等边三角形是特殊的等腰三角形，即等边 三角形是底边和腰相等的等腰三角形． 【例1】 如图所示，图中有几个三角形，分别表示出来，并写出它们的边和角．
分析：根据三角形的定义及构成得出结论． 解：图中有三个三角形，分别是：△ABC，△ABD，△ADC. △ABC的三边是：AB，BC，AC，三个内角分别是：∠BAC，∠B，∠C； △ABD的三边是：AB，BD，AD，三个内角分别是：∠BAD，∠B，∠ADB； △ADC的三边是：AD，DC，AC，三个内角分别是：∠ADC，∠DAC，∠C. 2．三角形的三边关系 (1)三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a＋b＞c，c＋b＞a，a＋c＞ b. 三角形两边的差小于第三边，用字母表示为：c－b 《三角形的三条主要线段》典型例题 例1 如图，ABC ?中AE 是角平分线，且?=∠?=∠78,52C B ，求AEB ∠的度数． 例2 在Rt ABC ?中，?=∠90BAC ，AD 是ABC ?的高，找出图中相等的角． 例3 如图，AD 是ABC ?的高，AE 是ABC ?的角平分线，AF 是ABC ?的中线，给出图中所有相等的角和相等的线段． 例4 作出ABC ?中CB 边上的高，AB 边上的中线，AC 边上的角平分线． 参考答案 例1 分析：已知?=∠?=∠78,52C B ，可求得?=∠50BAC ，所以?=?=∠252 50BAE ，故可求出AEB ∠． 解：因为?=∠?=∠78,52C B ，由三角形内角和等于180°可求得?=∠-∠-?=∠50180C B BAC ． 又因为AE 平分BAC ∠，所以?=∠25BAE ． 由三角形内角和等于180°，得 ?=?-?-?=∠-∠-?=∠1032552180180BAE B AEB ． 说明：BAC ∠不要写成A ∠． 例 2 分析：根据题意可知，图中有三个直角三角形，分别是Rt ABC ?、Rt ABD ?、Rt ADC ?，根据“直角三角形的两个锐角互余”可以得出三组互为余角的角，再根据“同角（或等角）的余角相等”可以找出相等的角． 解：∵在Rt ABC ?中，?=∠90BAC ∴?=∠+∠90B C （直角三角形的两个锐角互余） 又∵在Rt ABD ?中，?=∠90BDA ，∴?=∠+∠90B BAD ∴C BAD ∠=∠（同角的余角相等） 同理可得：B CAD ∠=∠． 例3 分析：三角形的角平分线、中线、高线常常用一些数学关系式（即数学中的符号语言）来体现，这样明确、方便．（其中“?”表示由左边可以推出右边，同时由右边也可以推出左边） AE 是ABC ?的角平分线?BAC CAE BAE ∠=∠=∠2/1 AF 是ABC ?的中线?BC CF BF 2/1== AD 是ABC ?的高??=∠=∠?⊥90CDA BDA BC AD 解：相等的角有：CAE BAE CDA BDA ∠=∠?=∠=∠,90 相等的线段有：CF BF = 例4 分析：作三角形的高线可以用三角尺的直角作垂线，值得注意的是：是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线．作三角形的角平分线、中线，可以分别用量角器、直角测量作图．另外，任意三角形的中线、角平分线和锐角 3. 三角形中几条重要线段 【知识与技能】 领会三角形中的高、角平分线、中线的知识，会应用它们解决实际问题. 【过程与方法】 经历探究三角形中的高、角平分线、中线的过程，掌握其应用方法，培养空间观念. 【情感与态度】 在互动交流中形成几何推理意识，感悟几何学逻辑推理的价值. 【教学重点】 重点是应用三角形中的高、角平分线、中线的概念. 【教学难点】 难点是画钝角三角形的高线. 一、创设情境，探究新知 1.动手操作. 问题：过三角形ABC三个顶点分别作它们对边的垂线. 【教学说明】在黑板上画出锐角、直角、钝角三角形各一个，要求学生在练习本上画图，并请一些同学上讲台“演示”. 教师提问：三角形中的三条垂线是否能交在一点？ 导入高的定义： 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段,叫做三角形的高线，也叫做三角形的高. 2.动手折叠. 教师要求：请同学们用折纸的方法得到三角形的高. 注意：钝角三角形的三条高的交点在三角形外面，直角三角形三条高的交点在三角形直角的顶点上，锐角三角形三条高的交点在三角形内部. 二、操作感知，形成概念 【合作交流1】 交流内容：折纸，感悟三角形角的平分线. 交流方法：用剪刀剪出一块任意三角形，然后对折一个内角. 引出三角形的角平分线定义： 在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 学生活动：在折纸讨论的基础上，认识角平分线定义，发现三角形三条角平分线交于一点，且交点在三角形内部. 【合作交流2】 交流内容：画三角形的中线. 画图方法： （1）画一个锐角三角形，一个直角三角形，一个钝角三角形. （2）寻找出三边的中点.（用刻度尺） （3）把顶点与它们对边的中点连接. 学生活动：动手画图，发现画出来的三条线段交于一点. 引出中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线. 三角形三条中线的交点是三角形的重心. 教师提问：要取三角形一边的中点，除了用刻度尺来确定，还有别的方法吗？ 三、随堂练习，巩固深化 1.不一定在三角形内部的线段是（） A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.三角形的中位线 2.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（） 3.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠ DBC=________. 与三角形有关的线段（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： ?? ?? ?? ?? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 要点二、三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的的差小于第三边. 要点诠释： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 要点三、三角形的高、中线与角平分线 1．三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝90°. 注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)； 要点诠释： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2．三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔABC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝ 2 1 BC. 13.3三角形中的主要线段 知识回顾:： 你们现在看到的是什么图形？ 目标解读:： 1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念。 2.能正确地画出一个三角形的角平分线、中线、高线，并会用符号语言表述三角形的角平分 线、中线的有关数量关系。 3.逐步提高观察能力、语言表达能力以及基本作图能力。 基础训练: 1．判断 （1）三角形的一条内角平分线是一条线段（ ） （2）三角形三条中线、三条角平分线、三条高线都在三角形的内部（ ） （3）如果三角形一条高和它的一条边重合，则这个三角形中有一个内角是直角。（ ） （4）三角形的高是一条垂线。（ ） 2．填空题 （1）如图，图中有___个三角形，分别是________；∠B 是△ABD 中______边的对角，又 分别是△ABE 、△ABD 中______ ________边的对角；△ACE 中∠C 的对边是________；AD 是哪些三角形的边________。 （2）如图，在△ABC 中AB ⊥BC ，BD ⊥AC ，则△ABC 的三条高分别是________，点B 到AC 所在直线的距离是________。 （3）如图，以AD 为高的三角形分别是________。 （4）三角形中线，角平分线，高线中有可能位于三角形外部的是________，此时三角形是 ________。 （5）△ABC 的三边a=4.8，b=2a ，c=b-1.9，△ABC 的周长________. （6）三角形周长是36cm ，三边a ：b ：c=2：3：4.则a=________,b________, c=________. （7）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，和ACD 面积相等的三角形是____ _。 2(3)题图 2(7)题图 3．△ABC 的周长是8，三边a 、b 、c 间存在关系a=b+1、b=c+1，求三边长。 2(2)题图 2(1)题图 b a c A B C 11.1与三角形有关的线段习题 一、基础梳理 1.三角形定义：由不在 的三条线段，首尾 所组成的图形叫做三角形； 练习：根据你的理解，下列的图形是三角形有哪些？ 2.三角形的表示：如图1所示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作 ，三角形的三边 分别是 ，三个顶点是 ，三个内角是 ； 3.三角形的分类： ?? ??? 三角形，每一个内角都 90○； 按角分 三角形，有一个内角 90○； 三角形，有一个内角 90○； 注：等腰三角形是 条边相等的三角形；等边三角形是 条边相等的三角形。那么等 边三角形是否属于等腰三角形呢？ 。 ? ? ? 三角形，三边 ； 按边分 三角形 ??? 两边 ； 三边 ；（ 三角形） 二、练一练 1、图中有 个三角形？分别是： 。 2、图中以E 为顶点的三角形是： 。 3、 图中以∠D 为角的三角形是： 。 4、图中以AB 为边的三角形是： 。 三、议一议 右图中由A 点至B 点，有 条路线。那条路线最近？ 根据是： 这样三角形的三边之间存在着这样的不等关系： 于是有：（得出的结论） 。 新知运用：下列长度的三条线段能否组成三角形？ ① 3，4，11 （ ） ② 2，5，6 （ ） ③ 3，5，8 （ ） 四、（学习教材P64例子，仿照例子再完成下面的习题。） 例1 用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形。 （1） 如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2） 能围成有一边唱为4cm 的等腰三角形吗？为什么？ 练习：一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍，求各边的长； ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.（要有完整的过程） 五、想一想 小曾同学有两根长度为40cm 、90cm 的木条，他想钉一个三角形的木框，那他第三根应 该如何选择？下列的几根木条有适合的吗？ （40cm ，50cm ，60cm ，90cm ，130 cm ） 三角形中的主要线段 【教学目标】 1．认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题； 2．认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题； 3．认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题； 【教学重点】 认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形 【教学难点】 画出三角形的高线、中线与角平分线。 【教学过程】 一、预习导学 预习教材，并尝试完成自主预习案 二、情境引入 与三角形有关的线段，除了三条边还有哪些呢？通过折纸引出高、角平分线、中线等概念。 三、新知探究合作交流 探究一：三角形高的概念及画法 画法：什么是三角形的高，怎样画三角形的高，怎样画三角形的高？一个三角形有几条高？小组讨论交流回答，老师点评。 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，如图：ＡＤ是△ABC的边ＢＣ上的高线。 练习：分别画出钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的三条高，它们所在的直线交于一点吗？ 同一个小组的成员分工协作完成，教师巡视评价 探究二：三角形中线及角平分线的概念及画法 活动： 1．三角形的中线及其画法 2．三角形的角平分线及其画法 教师指导出三角形的中线的定义及角平分线的定义，然后依照三角形的教学过程，安排学 生画一画，并相应地提出类似的问题 学生动手操作，然后交流、探讨，师生共同归纳总结。 探究三：综合应用 1．三角形的角平分线是（）。 A．直线B．射线C．线段D．以上都不对 2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；?②直角三角形只有一条高线； ③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）。 A．1个B．2个C．3个D．4个 3．课件展示图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段。 4．（选做）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm 两部分，求三角形各边的长。 与三角形有关的线段练习题 11.1.1 三角形的边 1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是() 2.以下列各组线段的长为边长，能组成三角形的是() A．2，3，5 B．3，4，5 C．3，5，10 D．4，4，8 3.下列说法正确的有() ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①②B．①③④C．③④D．①②④ 4.如图，图中共有________个三角形，在△ABE中，AE所对的角是________，∠ABE所对的边是________；在△ADE中，AD是________的对边；在△ADC中，AD是________的对边． 5．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b满足|a－3|＋(b－2)2＝0. (1)求c的取值范围； (2)若第三边长c是整数，求c的值． 11．1.2三角形的高、中线与角平分线 11．1.3 三角形的稳定性 1．桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构，这是利用三角形的________性． 2．如图，在△ABC中，AB边上的高是________，BC边上的高是________；在△BCF中，CF边上的高是________． 第2题图第3题图 3．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线．已知∠ABC＝80°，则∠DBC＝________°. 4．若AE是△ABC的中线，且BE＝4cm，则BC＝________cm. 5．如图，BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，则△ABD和△BCD的周长差是________． 第5题图第6题图 6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，S△ABC＝4cm2，则S△ABD＝________cm2. 7．如图，AD，CE是△ABC的两条高．已知AD＝5，CE＝4.5，AB＝6. (1)求△ABC的面积； (2)求BC的长． 与三角形有关的线段测试题 一、选择题 1、△ABC的三条边长分别是a、b、c，则下列各式成立的是（） A．a＋b=c B．a＋b>c C．a＋b C．两点确定一条直线D．垂线段最短 8、如图，△ABC中，∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法中不正确的是（） A．BC是△ABE边AE上的高B．BE是△ABD的中线 C．BD是△EBC的角平分线D．∠ABE=∠EBD=∠DBC 9、下列判断正确的是（） （1）平分三角形内角的射线叫三角形的角平分线； （2）三角形的中线、角平分线都是线段； （3）一个三角形有三条角平分线和三条中线； （4）三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线． A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（3）（4） C．（3）（4）D．（2）（3） 10、如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定矩形门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是（） A．两点之间线段最短B．矩形的对称性 C．矩形的四个角都是直角D．三角形的稳定性 二、填空题 11、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交的成的角中有一个角是50°，则∠BAC等于________度． 《三角形中的主要线段》教案 教学目标 知识与技能 1．经历折纸、画图等实践过程，认识三角形的中线、角平分线、高． 2．会画出任意三角形的中线、角平分线、高，通过画图了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高会交于一点． 过程与方法 1．通过折纸、画图等实践活动丰富学生对所学内容的理解和体验，同时发展他们的空间观念． 2．注重学生在具体活动中的参与程度以及与同伴之间交流的情况． 情感、态度与价值观 在学生充分进行操作、思考和交流过程中，激发学生的求知欲． 重点难点 重点 了解三角形的中线、角平分线、高的概念，会画出三角形的中线、角平分线、高．难点 了解三角形三条中线、三条角平分线、三条高会交于一点． 教学设计 情景一 复习回顾：上节课我们学习三角形按角分为哪几类？ 学生回顾思考，并举例回答： 1．锐角三角形2．直角三角形3．钝角三角形 情景二 1．(1)什么是三角形的中线？ (2)如何画出三角形的中线？ 学生阅读教材相关内容，明确三角形中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． 在课本第78页图12-13中，D是BC的中点，那么线段AD是BC边上的中线. 2.探索： 在一块质地均匀的三角形硬纸板上，画出它的三条中线.观察这三条中线是否交于一点.如果这三条中线交于一点，用笔尖托住这个交点，观察硬纸板能否保持平衡. 相关结论： 三角形三条边的中线交于一点，这点称为三角形的重心． 情景三 1．复习用量角器或折纸的办法画出或折出一个角的平分线． 学生在纸上利用量角器画出任意一个角的平分线，或用折纸的办法得到角的平分线．2．在一张薄纸上任意画出一个三角形，你能设法画出它的一个内角平分线吗？ 学生可利用在1中的折纸的办法得到，也可通过量角器画出． 3．三角形角平分线定义． 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 学生观察、阅读、体会角平分线定义的含义，它是一条线段，而角的平分线是一条射线．4．每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个： 毎个学生拿出准备好的三角形利用量角器画出它们的角平分线． (1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗？ (2)你能用折纸的办法得到它们吗？ 学生先独立完成，然后小组内互相交流，最后小组派代表演示． (3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系？ 5．三角形的三条角平分线是否交于一点？动手试一试. 学生讨论后举手回答． 三角形的三条角平分线交于一点． 情景四 1.什么是三角形的髙？ 理高的概念． 2.三角形的三条高（或所在的直线）交于一点吗？ 八年级数学上册：三角形中几条重要线段练习 (―)填空 1.图中有几个三角形？分别把它们用符号写出来? 3?已知：如图.Zl=Z2 4 AF=FC I ZD=ZE=900r判断?AD 是-ABC的BC边上的高() ②BF是MEC的中线() ③AB是￡DAC的角平分线() ④CE是MBC中AC边上的高() ⑤CE既是UBC的高也是AAEC的高() 4.在图上分别画出二ABC中AC边上的高 5 ?在匕ABC中过顶点A画出该ZABC的中线、角平分线和高 2 ?已知：如图在ZABC中，AE是中线AD是角平分线F AF是高完成下面填空: 1 ①BE = ② /BAD= ③ ZAFB= 1 - =90 （二）选择： 1.下列各组数分别为三条线段的长.以三条线段为边能构成三角形的星（） A. 6, IO r 3 B.6,9,3 C.6,2,3 D.6,8,3 2.如果线段a,b,c育绛成三角形,另吆它们的长度比可能是（） A. 2:3:5 B . 3:4:8 C.1:2:4 D.4:5:6 提高拓展题 （―）填空题： 1. ^ABC的三边3=4?8 , b=2a , b比C大：L9 ,则SBC的局长为________ 2.等腰三角形的两边长分别为25Cm和12Cm ,耳吆它的第三边长为____________ 3.等腰三甬形的两边长分别为25Cm和13 与三角形有关的线段（基础）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法； 2. 理解并会应用三角形三边间的关系； 3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用； 4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用． 【要点梳理】 要点一、三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点诠释： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】 2．三角形的分类 (1)按角分类： ???????? 直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点诠释： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边， 三角形的三种重要线段集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 三角形的三种重要线段 精讲精练 1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（） A．B．C．D． 2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定 3.给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心 （2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 （3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 （4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有（） A．一个B．两个C．三个D．四个 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则： ①AD是△ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ABE的边上的高； ②AD既是的边上的中线，又是边 上的高，还是的角平分线． 5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= °． 6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度．7．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE 的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积= cm2．8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设 △ADC的面积为S 1，△ACE的面积为S 2 ，若S △ABC =6，则S 1 ﹣S 2 的值 为． 9．如图，A、B、C分别是线段A 1B，B 1 C，C 1 A的中点，若△ABC的面积是 1，那么△A 1B 1 C 1 的面积． 10．如图，G是△ABC的重心，AG⊥GC，AC=4，则BG的长 为． 11．如图，点G是△ABC的重心，且△ABC的面积为9cm2，则△ABG的面积为cm2． 12．如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1=55°，求∠2的度数． 13．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积是多少？ 14．已知：点A、B在平面直角坐标系中的位置如图所示，求△AOB的面积． 15．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠ BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数． 16．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°． （1）如图1，若AB∥ON，则 ①∠ABO的度数是； ②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时， x= ． 7.1与三角形有关的线段习题 画龙点睛 1.AD是△ABC的高，可表示为，AE是△ABC的角平分线，可表示为，BF是△ABC的中线，可表示为 . 2.如图7-1-3，AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ = 1 2 ∠；E在 AC上，且AE=CE,则BE是△ABC的；CF是△ABC的高，则∠ =∠ =900，CF AB. 3.如图7-1-4,AD是△ABC的中线,AE是△ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC= ;若∠BAC=600,则∠CAE= . 4.如图7-1-5,以AD为高的三角形共有 . 慧眼识金 1.三角形的一条高是一条……………………………（） A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线 2.下列各组线段中能组成三角形的是…………………（） A.a=6,b=8,c=15 B.a=7,b=6,c=13 C.a=4,b=5,c=6 D.a= 1 2 ,b= 1 4 ,c= 1 8 3.下列说法中，正确的是………………………………（） A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部 C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段 D.三角形的中线在三角形的内部 4.下列图形具有稳定性的是………………………………（） A.正方形 B.梯形 C.三角形 D.平行四边形 5.如图7-1-6，AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,AD、CE交于点O,OF⊥CE,则下列说法中正确的是………………………………………………………（） A.OE为△ABD中AB边上的高 B.OD为△BCE中BC边上的高 C.AE为△AOC中OC边上的高 D.OF为△AOC中AC边上的高 6.某同学把一块三角形玻璃打碎成如图7-1-7所示的三块，现在要到玻璃店去配一块完 C A B E F 图7-1-3 A B D E C 图7-1-4 A B D 图7-1-5 A B C F E O 图7-1-6 三角形的三种重要线段-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角形的三种重要线段 精讲精练 1．以下是四位同学在钝角三角形ABC中画BC边上的高，其中画法正确的是（）A．B．C．D． 2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定 3.给出以下判断：（1）线段的中点是线段的重心 （2）三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心 （3）平行四边形的重心是它的两条对角线的交点 （4）三角形的重心是它的中线的一个三等分点 那么以上判断中正确的有（） A．一个B．两个C．三个D．四个 4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE=ED=DC，∠1=∠2，则： ①AD是△ABC的边上的高，也是的边BD上的高，还是△ABE的边上的高； ②AD既是的边上的中线，又是边上的高，还是的角平分线． 5.如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠ DBC= °． 6．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是度． 7．如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC 的面积为18cm2，则△BEF的面积= cm2． 8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD=2BD，BE=CE，设△ADC的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S△ABC=6，则S1﹣S2的值为． 9．如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积． 八年级数学^三角形中几条重要线段练习(含答案) (―)填空 1.图中有几个三角形？分别把它们用符号写出来? 3?已知：如图.Zl=Z2 4 AF=FC I ZD=ZE=900r判断?AD 是-ABC的BC边上的高() ②BF是MEC的中线() ③AB是￡DAC的角平分线() ④CE是MBC中AC边上的高() ⑤CE既是UBC的高也是AAEC的高() 4.在图上分别画出二ABC中AC边上的高 5 ?在匕ABC中过顶点A画出该ZABC的中线、角平分线和高 2 ?已知：如图在ZABC中，AE是中线AD是角平分线F AF是高完成下面填空: 1 ①BE = ② /BAD= ③ ZAFB= 1 - =90 （二）选择： 1.下列各组数分别为三条线段的长.以三条线段为边能构成三角形的星（） A. 6, IO r 3 B.6,9,3 C.6,2,3 D.6,8,3 2.如果线段a,b,c育绛成三角形,另吆它们的长度比可能是（） A. 2:3:5 B . 3:4:8 C.1:2:4 D.4:5:6 提高拓展题 （―）填空题： 1. ^ABC的三边3=4?8 , b=2a , b比C大：L9 ,则SBC的局长为________ 2.等腰三角形的两边长分别为25Cm和12Cm ,耳吆它的第三边长为____________ 3.等腰三甬形的两边长分别为25Cm和13 11．1《与三角形有关的线段》教学设计 参赛选手： 教材分析: 在学本节以前，学生已经学习了线段、角以及相交线、平行线等知识，他们的空间观念得到了进一步发展。现在学习三角形的相关知识，就有了更为充实的基础和准备。通过学习，可以丰富和加深学生对三角形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础。 教学目标： 知识与能力：认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、角、顶点，能用符号语言表示三角形。 过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系。 情感态度与价值观：懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题。 重难点分析： 教学重点：三角形三边关系的探究和归纳三角形边角关系是平面几何中的几何形态问题。 在突出重点时，主要在学生已有知识经验（两点之间线段最短）的基础上，大胆提出猜想：三角形两边之和大于第三边.利用课前准备好的小木棒，让学生动手操作，体验思考、实验和归纳的过程，加深对三边关系的理解和记忆.此外，教学中还可辅以几何画板进行动画演示，对实验过程进行直观的演示.教师在学生小组动手操作过程中进行个别的指导，在动画演示过程中进行讲解，以明确学生的认识. 教学难点：三角形三边关系的应用。三角形的三边关系不仅涉及到几何的重要容，而且同不等式有机结合，这给学生理解三角形的三边关系带来了很大的难度.学生往往能够记住这些结论，但是在实际应用时，缺乏灵活的分析和判断能力.另通过学生对三角形三边关系的实际例子的分析和操作，实现对三边关系的判断过程的把握，从而提高利用不等关系解决实际问题的能力. 教学过程 一、创设情境，导入新课（多媒体图片引入） 第9章多边形 9.1.1认识三角形 【教学目标】 知识与能力 1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念. 2.会将三角形按角分类. 3.理解等腰三角形、等边三角形的概念.过程与方法 不等式的解集；通过数轴直观表示不等式的解集。体会数形结合的思想，并懂得如何在实际问题中运用它。 情感态度与价值观 通过自主探究体会到不等式与方程的类似与不同之处，感受不等式解法的实际应用，进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。 【教学重点】 三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念. 【教学难点】 三角形的外角. 【教学过程】 一、引入新课 在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题. 本章我们将学习三角形的基本性质. 二、新知探究 1．三角形的概念： (1)什么是三角形呢? 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.如图：AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点.(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC. (2)三角形的内角，外角的概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC. 每个三角形有几个内角? 三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻. B 与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系? 练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来. B C (2)指出△ADC的三个内角、三条边. 学生回答后教师接着问：∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么? (3)有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗?AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗? (4)∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD的外角，对吗? (5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角. 2．三角形按角分类. 让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点?并用量角器或三角板加以验证. 1 2 3 第一个三角形三个内角都是锐角；第二个三角形有一个内角是直角；第三个三角形有一个内角是钝角. 所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形. 三角形按角分类可分为： 锐角三角形(三个内角都是锐角) 直角三角形(有一个内角是直角) 钝角三角形(有一个内角是钝角) 3．等腰三角形、等边三角形的概念：让学生观察以下三个三角形，它们的边各有什么特点? 1 经过观察，测量可知：第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等(AB＝AC)；第三个三角形的三边都相等. (1)等腰三角形：两条边相等的三角形叫等腰三角形. 相等的两边叫做等腰三角形的腰，如上图(2)AB、AC是这个等腰三角形的腰. (2)等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形) 问：等边三角形是不是等腰三角形? [等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等边三角形] 三角形按边来分，可分为： 三边都不相等的三角形 只有两边相等的三角形 等边三角形 三、知识梳理 l、三角形的概念，一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角，六个外角，和三角形一个内角相邻的外角有2个，它们是对顶角，若一个顶点只取一个外角，那么只有3个外角. 与三角形有关的线段 在教学中，我注重学生自我探究新知、自主动手实践和合作交流的学习习惯养成。 二.教学内容分析 学生已学习了角的平分线，线段的中点，垂线和三角形的有关概念及边的性质等，本节课在此基础上进一步认识三角形。为今后学习三角形的内切圆及三心等知识埋下了伏笔。 三.说教学目标： (1) 通过观察、画、折等实践操作、想像、推理、交流等过程，认识三角形的高线、角平分线、中线; (2) 会画出任意三角形的高线、角平分线、中线，通过画图、折纸了解三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线会交于一点。 (3) 经历画、折等实践操作活动过程，发展学生的空间观念，推理能力及创新精神。 四.教学难点分析： 教学重点：三角形的高线、角平分线、中线的概念，动手画、折三角形的三条高线、角平分线、中线自主发现它们分别交于一点。 教学难点：探究三角形的三条高线、角平分线、三条中线交于一点的过程及中线的应用。 五.教学课时：1 课时 六.教学过程分析： (一) 、出示教学目标;情景引入课程 (二) 、学生自学，回忆旧知，深化提高 1、(事先让学生准备三个三角形的纸片) 给出一个三角形ABC请你回忆作出三角形ABC的高。 提问：(1)你用什么方法作出三角形的高? (2) 高有几条? (3) 你能用折纸的方法找出你准备好的三角形的高吗? (4) 你发现用折纸折出的高与你用三角板画出的高一致吗?(5)你发现三角形的三条高有何特点? 请同学们拿出已准备好的其中一个三角形纸片，回答以上问题。 2、动手实践，探究新知 三角形的角平分线的教学 ①事先在黑板上画一个三角形？ABC问学生如何画一个角的平分线，比如画/A 的平分线? 学生大约估计到另外两个三角形纸片的作用，于是把问题一提出就要让学生能感知并有一种意识去动手实践，主动探究。我认为能做到这一点就是教学的成功所在。学生利用手上的三角形纸片边操作边与组内其他组员讨论。能引起争论，这是本节课的成功之处。因为这节课理论是可行的，但实际做起来却不一定行。比如，用量角器去画一个角的平分线就存在一个很大的测量误差等。这样自然引入了三角形的角平分线概念。并提问：(1)三角形有几条角平分线? (2)你发现三角形的三条角平分线有何特点? 设计意图：使学生通过画、折等实践操作活动理解三角形的角平分线概念，并培养学生动手操作能力，自主探索、合作交流，发现三角形的三条角平分线交于一点的规律，体现了知识的获得不是教师传授的，而是学生自己探索得到的。 (三) 学习小组合作探究 1、三角形的中线的教学 在已画的？ABC的/ A的角平分线AD的基础上提出问题：点D是否是BC的中点?那么什么是线段的中点呢?你有什么方法得到线段的中点呢? 设计意图：由三角形的角平分线自然过渡到三角形的中线，并为下面画三角形的中北师大版七年级数学下 第四章 《三角形的三条主要线段》典型例题
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