高中数学任意角的三角函数-

《任意角的三角函数》教案

一、教材分析

“任意角的三角函数”是人民教育出版社（A 版）普通高中标准实验教科书数学必修4

第一章第二节的内容，是第一章“任意角和弧度制”的后继内容。

1、主要教学内容：

?????????=?+=?+=?+符号；域和函数值在各象限的、三种三角函数的定义

、公式一义弦、余弦、正切）的定、任意角三角函数（正知识结构图：利用单位圆理解任意角的三角函数3tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(:2;1)(απααπαα

παk k k 2、教材的地位与作用：“任意角的三角函数”是高中数学十分重要的内容，本节是三角函数第一章第二节第一课时，主要学习任意三角函数的定义，它是这一章也是整个三角函数部分的重要基础知识，在教材内容结构上起到一个承上启下的作用，对三角函数的整体学习也至关重要。同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。最后对任意角的三角函数的探究过程中，使学生经历了观察、归纳、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，提高了他们探究问题、分析问题、解决问题的能力，帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，为以后的学习奠定了扎实的基础。所以这个内容要认真探讨教材，精心设计过程。

二、学情分析

1、知识基础：在初中时，学生已经学了“锐角三角函数”为本节理解三角函数的几何意义有帮助，以及在本章第一节“任意角与弧度制”的内容中学生用坐标不仅找出来任意角与象限角，而且还了解了它们的含义与性质，对角的范围和表示方法有所了解，学习了弧度制，学生能够把以前所学过的角度都在弧度制下表示出来。

2、能力基础：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，相对于初中学生来说已经相对成熟，能在教师的引导下独立的解决问题。

3、习惯情况：班级学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好的应用数形结合解决问题，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

三、教学重难点

1、重点：①任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法；②终边相同角的诱导公式（一）；

2、难点：从函数角度理解以实数为自变量的任意角的三角函数，以及单位圆、有向线段的应用。

四、教学目标

1、知识与技能目标：

借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义：

①能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示锐角三角函数；

②能用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标来表示任意角的三角函数；

③知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

2、渗透数学的思想方法：

①学生的积极参与，亲身经历，通过观察，利用几何画板让同同学们进一步理解任意角在坐标系中的几何样貌，体验坐标的优越性，数形结合思想的运用；

②老师引导学生回忆初中锐角三角函数的知识内容，提出猜想，运用几何画板，验证任意角的几何性质，提出单位圆的思想，感受计算机科技工具的快捷方便性，培养学生利用多媒体解决问题的方法；

③推导任意角的三角函数的过程类似于数学建模的过程，它贯穿了解析几何的始终，通过适当的建立坐标系与构造单位圆的方法，回忆以往三角函数的性质带入坐标系中，让学生有一种回忆旧知的习惯。总结规律，掌握方法，为后面三角函数的诱导公式等学习提供示范。

3、情感态度与价值观：

①通过培养学生主动探究、合作交流的过程，加强了学生团队协作意识，感受探索的乐趣和成功的喜悦；

②养成实事求是的科学态度和锲而不舍的精神；

③激发学生的学习兴趣、增强数学应用和创新意识，体会数学的美感，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；

④应用多媒体、几何画板等教学，提高学生的活跃性，让知识具有科学依据。

五、教学教法

1、教法：数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义？进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学。

2、学法：在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳法、自主探究法、总结

反思法。同时学生具备一定的自学能力，教学中通过学生对已掌握的知识进行拓展,既培养学生从现有知识探索新知识的能力,又提高了学生解决问题的数学思想与数学意识。

六、教学准备

1、常规媒体（黑板）；

3、“几何画板”、ppt 课件制作。

（为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维。）

七、教学程序

1、设立情景、引入课题

A 、提问形式：上节课已经学习了角的推广，我们推广到了任意角，那么任意角给你留下印象最深的是什么？

（预测答案：1、一个角可以表示出无数个角[补充：这些角就是在直角坐标系中与它终边相同的角，也就是相差360度整数倍是吧]；

2、角度可以是正角、负角、零角；

3、能够用角度表示它对应的弧长[补充：那么这个就是用弧度制来度量是

吧，这样一个角就可以弧度数来表示它]

4、如果把角放在直角坐标系中，当它终边一圈一圈转时，可以看见一种

周而复始的现象[演示几何画板：以原点为顶点，x 轴非负半轴为始点，绕着顶点转动，角周而复始的现象，补充：其实最关键的是这个角是由旋转生成的]）

任意角的三角函数多媒体展示图片让学生举出实例函数？圆周运动引入：任意角转动??

????→???→?)()(α（圆周运动时生活一个非常重要的运动，函数是数学当中用来刻画客观世界变化规律的一个数学模型，那就产生了这样一个问题：任意角的这种圆周运动应该用什么样的函数来刻画它呢？）

2、启发诱导，探索新知

A 、 【启发诱导】：在初中我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为

自变量，以比值为函数值的函数。上节课老师给大家布置了一个课后作业就是

去复习锐角三角函数的定义，初中学的三角函数是在什么图形中定义的？（直

角三角形），那么现在我们的角放在直角坐标系里面，我们要定义三角函数是

不是同样需要一个直角三角形？

B 、 【学生探索】：

现在同学们结合所学的知识在纸上用直角坐标系来表示出锐

角三角函数，老师等一下要抽同学来展示自己的成果。（抽同学将成果贴在黑

板上，并讲解自己的思路。）

（总结补充：设锐角α的顶点与原点O 重合，始边以x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P(x,y),它与原点的距离

022>+==y x r OP ，根据初中学过的三角函数我们有：x

y r x r y ===αααtan ,cos ,sin 。） （1）锐角三角函数定义：

A 、【老师启发】： 【问题1】这个就是锐角三角函数，它反映的是直角三角形中边角的关系，那么锐

角三角函数它是不是真的函数呢？从高中函数定义这个角度你能不能解释一下呢？

（预测回答1：r

y =αsin 是函数，因为每一个y 都有唯一的x 与之对应（那这就涉及到一个问题了：这里自变量是（α）谁是函数值呢（y ））

（预测学生纠正：函数值应该是r

y ） 【问题2】那么按照高中函数的定义你怎么来解释它就是函数？

（预测答案2：y 取一个值时都有唯一的α与之对应）

（预测学生纠正：应该是取定一个α值，有唯一的r

y 与它对应的） B 、【老师总结】：唯一确定的定任取r

y ?→?α（那么只要满足这样一个关系就是一个函数是吧，于是x y r x ==ααtan ,cos 同理） 2

2y x r +=

(2)、单位圆思想：

A 、【老师启发】：（任取α，r

y 这个比值是唯一确定，那这个比值是不是和P 点的位置有关呢（是的）这个比值是随着P 点的变化而变化吗？那我角给定的情况下会不会改变它的比值呢？（不会），为什么（因为角给定了，sin(α)是定的所有比值是不变的））（几何画板播放）当角α给定时，P 在终边上运动，坐标变化，但是比值不变，这是为什么呢？依据是

什么（相似），所以有了相似的比可以保证我们的

r

y 这个比值并不是随着终边上点的位置变化而变化的，只要角给定了这个比值也是给定了的。既然 r y 这个比值与点在终边上的位置无关，那这个点可以在终边上位置随意取吧（可以），那么一般我们取什么地方比较好呢（r=1），那r=1时有什么好处？是不是直接可以写出：

???????===?→?????

?????====x y x y x y r x r y r ααααααtan cos sin tan cos sin 1 那么此时x 、y 对应的几何含义是什么？如果把x 、y 看成一个点P(x,y)这个点是一个怎样的点？

B 、【老师总结】：P(x,y)是单位圆与角α终边的交点。当角α是锐角时，就可以得到一个结论 x

y x y ===αααtan ,cos ,sin ,找到了这个边和角的关系。 （3）、利用单位圆与锐角三角函数的定义，定义任意角的三角函数：

A 、【老师引导】：而且我们发现当α是锐角的时候，r

y =αsin 就是一个函数，是以角为自变量，y 为函数值得一个函数，那我们能不能用它来刻画整个圆周运动呢？刚才呢角是锐角的时候，我们找到了这些量之间的关系，那如果这个角是钝角呢？这个关系还有没有呢？（几何画板）我把它变为钝角，大家发现钝角现在不好放在直角三角形中了，但是给你一个角是不是依然有一个x 、y 与它对应啊？（是），那如果我把它变成第三象限角，是不是仍然有个x 、y 与它对应啊？（是），也就是无论角怎么改变，那么就有一个结论，任给一个角都有一唯一的x 、y 与它对应是吧（是），利用之前锐角三角函数的定义，那同样我们也可以说明，就把这个y 叫做α的正弦，x 就叫它的余弦：

;tan tan )3(;

cos ,cos )2(;

sin ,sin )1(),,(x

y x y x x y y y x P ===αααααααααα，即的正切，记做叫做即的余弦，记做叫做即的正弦，记做叫做那么：边与单位圆交于点是一个任意角，它的终设任意角三角函数定义：

那么这三个以角为自变量，以坐标或者坐标的比值为函数值的函数，我们就把它称作是任意角的三角函数。

那么从函数的角度分析一下，函数应该有个三要素，那这些函数的定义域是什么呢？ （预测答案：因为它是任意角，所有它的定义域应该是()+∞∞-,）也就是实数R 。 那吗？中R x y ∈=ααtan （r

y 是个比值，所有x ≠0）那也就是说对点P 的位置有要求是吧（OP 不能与x 轴垂直）也就是角α不能落在y 轴上，那么对角α也应该是有条件的α≠Z k k ∈+π，π2，可以看出，当α=)(2

Z k k ∈+ππ时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标x 等于0，所以tan α=r

y 无意义。

B 、【 老师总结】： 。π，π且其中，，即的正切，记做叫做，其中即的余弦，记做叫做其中即的正弦，记做叫做那么：

边与单位圆交于点是一个任意角，它的终设任意角三角函数定义：

Z k k R x

y x y R x x R y y y x P ∈+≠∈=∈=∈=2

tan tan )3(;cos ,cos )2(;

,sin ,sin )1(),,(αααααααααααααα

对于确定的α，上述三个值都是唯一确定的，所以正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，所以我们将它们统称为三角函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数。

3、随堂练习，巩固新知

例1（1）、任给一个角，“口算”它的三角函数值：(配合几何画板解决问题)

)4

(tan 13cos )1(270sin π）（π-==-=αo （2）如果角α的正弦值为sin α=-1,你能写出其中的一个角吗？

（270度，应为sin α=y=-1就是单位圆与Y 轴的交点在y 轴的负半轴上，所以点p 的坐标为（-1、0）所以角α的终边是y 轴的负半轴，α=270度）

推广：其实还有没有啊（有……）很多很多，能不能表示啊？

就是α=）π（πR k k ∈+22

3 （那为什么他们的正弦值都为-1呢，（因为他们的终边都相同，都是y 轴的负半轴）那对于任意的角α，只要与它终边相同的角的正弦值都相同吗？（几何画板演示）），我们就可以表示为：ααsin )2sin(=+πk ，那么对于余弦值，正切值也一样吗（几何画板演示）。总结结论：由三角函数定义，可以知道终边相同的角的同一三角函数的值相等

.

,tan )2tan()(,

cos )2cos(,

sin )2sin(Z k k k k ∈=+=+=+其中π公式一ππαααααα （由公式一可知，三角函数值有“周而复始”变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，所以利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π（或0~360度）角的三角函数值。）

探究（p13）符号判定，形象记忆

那么刚刚所给的角都是特殊的角，如果我任取一个角，如391.11度，那这个角有些特点还是可以把握的，比如说，这个角终边现在这里，那么这个角的正弦值、余弦值、正切值的符号你能确定吗？根据什么来确定呢？（象限）为什么根据象限就可以判定它的符号呢？假设这个点在第一象限呢？

（预测答案：因为在第一象限，x 、y 的值都是正的，于是比值也是正的，而：x

y x y ===αααtan ,cos ,sin ，所以这个角的正弦、余弦、正切值也都是正的）其实根据坐标的符号就可以断定三角函数值得符号有没有道理啊？（有）

那么总结不同象限的函数值，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：

（同好得正、异号得负）

sin α= y/r ：上正下负横为0 cos α=x/r ：左负右正纵为0 tan α=y/x ：交叉正负

－ y － ＋ ＋ x － y ＋ － ＋ x ＋ y － － ＋ x

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

（设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求. 要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键. ）现在我们就应用这个道理大家算算看：

变式练习：

例2、不求值你是否能判断下列三角函数值的符号？

)6

11tan()54cos()5050sin(π- 例3、已知角α的终边过点)2

3,21(-P ，求α的正弦、余弦、正切值？（几何画板）

（因为r=1所以可以看做是单位圆与α的终边的交点那么x y x y ===αααtan ,cos ,sin ） （那么通过刚才的这些例题，就是为了巩固三角函数定义的认识）

4、形成测试，评价回授

思考题：一个质点从点（1、0）出发，在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，若经过弧长为x ，试用x 表示质点所在位置P 点的坐标。（配合几何画板质点运动讲解）

（这样来看，三角函数确实能够很好的表示圆周运动是吧）

课堂练习（p15题3）

填表：

处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义。

强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、π/2 、π、3π/2 等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值。

（设计意图：及时安排自学例题、自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终。）

5、小结

（1）利用单位圆定义三角函数的定义：

锐角三角函数与解直角三角形直接相关，初中我们是利用直角三角形边的比值来表示其锐角的三角函数．通过今天的学习，我们知道任意角的三角函数虽然是锐角三角函数的推广，但它与解三角形已经没有什么关系了．我们是利用单位圆来定义任意角的三角函数，借助直角坐标系中的单位圆，我们建立了角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，进而利用单位圆上点的坐标或坐标的比值来表示圆心角的三角函数．你能再回顾一下我们是如何借助单位圆给出任意角三角函数的定义吗？

师生活动：在学生给出定义之后，教师进一步强调用单位圆定义三角函数的优点。

（2）公式一、三角函数符号：

今天我们不仅学习了任意角三角函数的定义，还接触了定义的一些应用．你能不能归纳一下，今天我们利用定义解决了哪些问题？

师生活动：在学生回顾与总结的基础上，教师有意识地引导学生体会定义应用过程中所蕴含的数形结合思想。

6．布置作业

教科书P.20习题1.2A组第1，2，3（1）、（3），4（1）、（3），5，6（1）、（2）、（3），7（1）、（3），8（1）、（3），9题．

设计意图：根据本节课所涉及到的三角函数定义应用的几个方面，从教科书中选择作业题．试图通过作业，让学生进一步理解三角函数的概念，并从中评价学生对三角函数概念理解的情况．

八、板书设计

九、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。

任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 （第课时） 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点：1．任意角三角函数的定义；2．同角三角函数关系式；3．诱导公式。 难点：1．正确选用三角函数关系式和诱导公式；2．公式的理解和应用。 2．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；3．掌握同角三角函数的基本关系式；4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的，射线旋转开始的位置叫做角的始边，旋转终止的位置叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2．弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意：1sin 表示1弧度角的正弦，2sin 表示2弧度角的正弦，它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α，则 r l = α （l 为这角所对的弧长，r 为半径）。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的，这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度，1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ，扇形面积为S ，圆心角大小为α弧度，半径为r ， 则 αr l = ，α22 1 21r lr S == 。 3．角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角（始边也相同），则 αβ+??=360k （也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈） 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

任意角的三角函数一

. 1.2.1 任意角的三角函数（一）2015.12 【预习案】 目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 特别地，r =1时，sin= ___ ,cos= ___ ,tan= _____ （）. 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8、三角函数在坐标轴上的取值情况 角 0 90180270360 弧度数 sin cos tan

【课堂案】 例1、已知角的终边经过点P(-3,4),求角的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角的终边经过点P(12,-5),求角的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角的终边经过点P(6m,-8m)，其中m0，求角的三角函数值. 强化3：已知角的终边在直线y = 3x上，求角的三角函数值。 例 2.确定下列三角函数值的符号. (1) cos 250(2)sin(- ) (3) tan(-672) (4)tan3 强化：1.若角的终边过点(-3，-2)则( ) A.sin tan0 B. cos tan0 C.sin cos0 D.sin cos0 强化：2. 若sin0,tan0则是第象限角? 反之成立吗?

强化：3.设是三角形的一个内角，则sin,cos, tan, tan中，哪些可以取负值？

强化2、 2cos +tan(- 7 )+cos 2 13 +sin 3 2 4 6 2 巩固案】 1、角 的终边上有一点P （a ,a ） ， a 0，则sin 的值是（ ） 2、已知角 的终边经过点 p （—1, 3 ）,则sin + cos 的值是（ ） 已知角 的终边上一点P （- 3,m ），且sin = 2m ，求cos 的值. 5、若cos 0,tan 0则在( ) 6、若sin cos 0 ，则 在（ ） A. 第一、四象限 B. 第一、三象限 7、下列命题中，正确命题的个数是（ ） （1）终边相同的角的同名三角函数的值相同 （3）若sin 0则 是第一、二象限的角 （2）终边不同的角的同名三角函数的值不等 4）若 是第二象限的角,且 p （x,y ）是其终边 A.第一象限 B.第一、二象限 C.第三象限 D. 第四象限 上一点，则 cos = -x 例 3、求值： (1) sin1485 (2)cos 9 强化 1、(1)cos1140 (2)tan 19 (3)sin(-1050) (4)tan(-31) 3、 已知角的终边经过点 P （ x ,1）,且 cos = 25 5 则x 的值是（ 4、 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限

任意角的三角函数知识点复习

任意角的三角函数 任意点到原点的距离公式：d = x 2+y 2 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐 标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么 sin y r α= ；cos x r α=；tan y x α=； 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 求解三角函数值 一般角：利用三角函数的定义 特殊角：先化为0至360度之间的角 ) Z (tan )2tan()Z (cos )2cos() Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 例1已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三角函数值。 练：已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。 例2．求下列三角函数的值： （1）9cos 4π （2）11tan()6 π - ，

练： .____________tan600o 的值是 D 3.D 3.C 3 3 .B 33.A -- 例3．确定下列三角函数值的符号： （1）cos 250 ； （2）sin()4π-； （3）tan(672)- ； （4）11tan 3 π ． 练： 确定下列三角函数值的符号 (1)cos250?; (2)sin()4 π -; (3)tan(672)?-; (4)tan 3π. 例4 若θ是第二象限角，则( ) A.sin 2 θ ＞0 B.cos 2 θ ＜0 C.tan 2 θ ＞0 D.cot 2 θ＜0 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交 与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .

任意角的三角函数定义

任意角的三角函数定义 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同 名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222 2>+=+=y x y x r （图示见P13略） 2．比值 r y 叫做的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做的余弦 记作： r x = αcos 比值x y 叫做的正切 记作： x y = αtan 比值 y x 叫做的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作： x r =αsec 比值 y r 叫做的余割 记作： y r =αcsc 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名 三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例 子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数

④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号 应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： αααtan cos sin ===y y y )(2 Z k k R R ∈+≠π πα αααcsc sec cot ===y y y ) ()(2) (Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ παπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 解：13)3(2,3,22 2=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos=1313 2 23 cot=32 213 csc=3 13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ 2 3π ⑷ 2 π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当=2 π 时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0 sec 2π不存在 csc 2 π =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x x x x y tan tan cos cos + =的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4） 第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一） 【三维目标】： 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。 【教学重点与难点】： 重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析： 重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略： 教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备： 为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维． 七、教学过程 （一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义 问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

三角函数最全知识点总结

三角函数、解三角形 一、任意角和弧度制及任意角的三角函数 1.任意角的概念 (1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角． ①正角：按__逆时针__方向旋转形成的角． ②负角：按__顺时针__方向旋转形成的角． ③零角：如果一条射线__没有作任何旋转__，我们称它形成了一个零角． (2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，或{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． (3)象限角：角α的终边落在__第几象限__就称α为第几象限的角，终边落在坐标轴上的角不属于任何象限. 象限角 轴线角 2．弧度制 (1)1度的角：__把圆周分成360份，每一份所对的圆心角叫1°的角__. (2)1弧度的角：__弧长等于半径的圆弧所对的圆心角叫1弧度的角__. (3)角度与弧度的换算： 360°＝__2π__rad,1°＝__π 180__rad,1rad＝(__180 π__)≈57°18′. (4)若扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α，则此扇形的弧长l＝__|α|·r__， 面积S＝__1 2|α|r 2__＝__1 2lr__.

3．任意角的三角函数定义 (1)设α是一个任意角，α的终边上任意一点(非顶点)P的坐标是(x，y)，它与 原点的距离为r，则sinα＝__y r__，cosα＝__ x r__，tanα＝__ y x__. (2)三角函数在各象限的符号是： (3)三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的__正弦__线、__余弦__线和__正切__线． 4．终边相同的角的三角函数 sin(α＋k·2π)＝__sinα__， cos(α＋k·2π)＝__cosα__， tan(α＋k·2π)＝__tanα__(其中k∈Z)， 即终边相同的角的同一三角函数的值相等．

巩固练习_任意角的三角函数_基础

【巩固练习】 1．角θ的终边经过点12? ? ? ??? ，那么tan θ的值为（ ） A ．12 B ．- C ． D ．2．若角0420的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ） A ．34 B ．34- C ．34± D ．3 3．下列三角函数值结果为正的是（ ） A ．cos100° B ．sin700° C ．2tan 3π??- ??? D ．9sin 4π??- ??? 4．化简0sin 390的值是（ ） A ． 12B ．12-C ．5．若42π π θ<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．sin θ＞cos θ＞tan θ B ．cos θ＞tan θ＞sin θ C ．sin θ＞tan θ＞cos θ D ．tan θ＞sin θ＞cos θ 6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α α -=，则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ） A ．22 B ．6 C ．6 D ．4 8．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10．若α为第二象限角，则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11．已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ，则cos α=。 12．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin α=。

必修四任意角的三角函数(一)(附答案)

任意角的三角函数(一) [学习目标] 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义.2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等． 知识点一 三角函数的概念 1．利用单位圆定义任意角的三角函数 如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： (1)y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； (3)y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数． 2．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考 角α三角函数值的大小与角α终边上的点P 离原点距离的远近有关吗？ 答案 角α的三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)． 思考 三角函数在各象限的符号由什么决定？ 答案 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r 总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．

任意角的三角函数练习题及答案详解

任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋6 π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋2 3π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是（ ） A 3 B －３ C ±3 D 5 8.在△ABC 中，若最大的一个角的正弦值是 ，则△ABC 是（ ） A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等边三角形 9．若α是第四象限角，则 是（ ） A 第二象限角 B 第三象限角 C 第一或第三象限角 D 第二或第四象限角 10．已知sin α=4 5 ，且α为第二象限角，那么tan α的值等于 （ ）

任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)

任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ） A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中，角 3πα+ 的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ） 3.若5sin 13α=- ，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??，则 sin(12)α?-=（ ） A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ） A ．sin 0>θ B ．cos 0<θ C ．tan 0>θ D ．sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.已知tan 2α ，其中α为三角形内角，则cos α=（） A. 5 - D.

二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3，则 sin β=_________． 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度． 15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54，5 3-)． (1)求 sin α的值． (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的 半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）． （1）求θ关于x 的函数关系式； （2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为 9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最 大值？

任意角的三角函数一

【预习案】 目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8、三角函数在坐标轴上的取值情况 y o x y o x y o x

【课堂案】 例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数 课前复习： 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解： 任意点到原点的距离公式： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为(0)r r == >，那么 （1）比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等 于0，所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义： 设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出： 当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 （Ⅳ） （Ⅲ）

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式同步测试(含答案)

任意角的三角函数及同角三角函数的基本关系式同步测试 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．已知的正弦线与余弦线相等，且符号相同，那么的值 为（） A． B． C． D． 2．若为第二象限角，那么的值（） A．正值 B．负值C．零 D．不能确定 3．已知的值（） A．-2 B．2 C． D．－ 4．函数的值域是（） A．{－1，1，3} B．{－1，1，－3} C．{－1，3} D．{－3，1} 5．已知锐角终边上一点的坐标为（则= （）

A． B．3 C．3－ D．－3 6．已知角的终边在函数的图象上，则的值为（）A． B．－ C．或－ D． 7．若那么2的终边所在象限为（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象 限 D．第四象限 8．、、的大小关系为（） A． B． C． D． 9．已知是三角形的一个内角，且，那么这个三角形的形状 为（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．不等腰的直角三角形 D．等腰直角三角形

10．若是第一象限角，则中能确定为正值有（） A．0个 B．1个 C．2 个 D．2个以上 11．化简（是第三象限角）的值等于（） A．0 B．－ 1 C． 2 D．－2 12．已知，那么的值为（） A． B．－ C．或－ D．以上全错 二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 13．已知则 . 14．函数的定义域是_________. 15．已知，则=______. 16．化简 .

三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．已知 求证：. 18．若, 求角的取值范围. 19．角的终边上的点P和点A（）关于轴对称（）角的终边上的点Q与A关于直线对称. 求 的值. 20．已知是恒等式. 求a、b、c 的值.

任意角的三角函数练习题及标准答案详解

任意角的三角函数练习题及答案详解

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任意角的三角函数 一、选择题 1．以下四个命题中，正确的是( ) A ．在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等 B ．｛α｜α＝k π＋ 6π，k ∈Z ｝≠｛β｜β＝-k π＋6 π ，k ∈Z ｝ C ．若α是第二象限的角，则sin2α＜0 D ．第四象限的角可表示为｛α｜2k π＋ 2 3 π＜α＜2k π，k ∈Z ｝ 2．若角α的终边过点(-3，-2)，则( ) A ．sin α tan α＞0 B ．cos α tan α＞0 C ．sin α cos α＞0 D ．sin α cot α＞0 3．角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ． 2 2 B ．- 2 2 C ．± 2 2 D ．1 4.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42 x ，则sin α的值为（ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.使lg （cos θ·tan θ）有意义的角θ是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一、二象限角或终边在y 轴上 6.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α 是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 7. 已知集合E=｛θ|cos θ＜sin θ，0≤θ≤2π｝，F=｛θ|tan θ＜sin θ｝，那么E ∩F 是区间( )

(精心整理)任意角的三角函数一

目标： 1.初步掌握任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； 2.初步从任意角三角函数定义认识函数值的符号。 1、 初中时在直角三角形中如何定义一个锐角的正弦、余弦、正切？ 2、 写出下列特殊锐角的正弦,余弦和正切值 3、课本如何定义的任意角的三角函数？ 4、三角函数定义：设α是一个任意角，在它的终边上任取一点P （y x ,），它与原点的距离 r = ，则 )._____( tan ____,cos ____,sin ===ααα 特别地，r =1时，)._____(tan ____,cos ____,sin ===ααα 5、任意角的三角函数在各个象限的符号有什么规律? 6 、三角函数在各象限的符号 αsin αcos αtan 7、终边相同的角有什么关系？他们的三角函数有什么关系？ 8 y o x y o x y o x

例1、已知角α的终边经过点P(4,3-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化1: 已知角α的终边经过点P(5,12-),求角α的正弦,余弦和正切值. 强化2：已知角θ的终边经过点P )8,6(m m -，其中0≠m ，求角θ的三角函数值. 强化3：已知角α的终边在直线x y 3=上，求角α的三角函数值。 例2.确定下列三角函数值的符号. (1) 250cos (2))4 sin(π - (3) )672tan( - （4）tan π3 强化：1.若角α的终边过点（-3，-2）则（ ） A.0tan sin >αα B.0tan cos >αα C.0cos sin >αα D.0cos sin <αα 强化：2. 若0tan ,0sin ><θθ则θ是第 象限角? 反之成立吗? 强化：3.设α是三角形的一个内角，则2 tan ,tan ,cos ,sin α ααα中，哪些可以取负值？ 例3、求值：

任意角的三角函数(一)解读

任意角的三角函数(一) ------陈少漫 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 2、过程与方法 初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情态与价值 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于 用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了 正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 二、教学重、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 三、学法与教学用具 任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系. 另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密， 这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了. 教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器 四、教学设想 第一课时任意角的三角函数（一） 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,

任意角的三角函数公开课教案(精.选)

任意角的三角函数（第一课时） 教学目标 1．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义（包括定义域、正负符号判断）；了解任意角的余切、正割、余割函数的定义. 2．经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验. 3．培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点，渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观. 4．培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 一、重点、难点、关键 重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、（正负）符号判断法. 难点：把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键：如何想到建立直角坐标系；六个比值的确定性（α确定，比值也随之确定）与依赖性（比值随着α的变化而变化）. 二、教学过程 [执教线索： 回想再认：函数的概念、锐角三角函数定义（锐角三角形边角关系）——问题情境：能推广到任意角吗？——它山之石：建立直角坐标系（为何？）——优化认知：用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展：对任意角研究六个比值（与角之间的关

系：确定性、依赖性，满足函数定义吗？）——自主定义：任意角三角函数定义——登高望远：三角函数的要素分析（对应法则、定义域、值域与正负符号判定）——例题与练习——回顾小结——布置作业] （一）复习引入、回想再认 开门见山，面对全体学生提问： 在初中我们初步学习了锐角三角函数，前几节课，我们把锐角推广到了任意角，学习了角度制和弧度制，这节课该研究什么呢？ 探索任意角的三角函数（板书课题），请同学们回想，再明确一下： （情景1）什么叫函数？或者说函数是怎样定义的？ 让学生回想后再点名回答，投影显示规范的定义，教师根据回答情况进行修正、强调： 传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量，自变量x的取值范围叫做函数的定义域. 现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数 f（x）和它对应，那么就称映射?：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作： f（x），x∈A ，其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域. （情景2）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习

高考数学总复习教案：任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数 (对应学生用书(文)、(理)40～41页) 页 考情分析 考点新知 ① 了解任意角的概念；了解终边相同的角的意义. ② 了解弧度的意义，并能进行弧度与角度的互化. ③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切． ① 能准确进行角度与弧度的互化. ② 准确理解任意角三角函数的定义，并能准确判断三角函数的符号. 1. (必修4P15练习6改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限． 答案：四 解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，可知θ的终边只能位于第四象限． 2. 角α终边过点(－1，2)，则cos α＝________． 答案：－5 5 3. 已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 答案：1或4 4. 已知角α终边上一点P(－4a ，3a)(a<0)，则sin α＝________． 答案：－3 5 5. (必修4P15练习2改编)已知角θ的终边经过点P(－x ，－6)，且cos θ＝－5 13，则sin θ＝____________，tan θ＝____________． 答案：－1213 12 5 解析：cos θ＝ －x x2＋36＝－513，解得x ＝5 2.sin θ＝－6? ?? ?－52 2 ＋（－6）2＝－1213，tan θ＝12 5.

优秀教案----任意角的三角函数(1)

第一课时任意角的三角函数的定义 知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 过程与方法： 1理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式 2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一 教学难点：任意角三角函数的定义． 一．复习引入 思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ ——————————————第 1 页（共6页）——————————————

——————————————第 2 页 （共 6页）—————————————— 结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦，余弦，正切依次为：,,a b a sinA cosA tanA c c b = = = 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数 思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合 ,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线, 垂足为M ,则线段O M 的长度为a ,线段M P 的长度为b . 则sin M P b O P r α= =; cos O M a O P r α= = ; tan M P b O M a α==. 思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? 根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P 取在使线段O P 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin M P b O P α= =; cos O M a O P α= =; tan M P b O M a α= =. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,圆. 上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.