2006年考研数学一真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）

一、填空题

（1）0ln(1)

lim

1cos x x x x

→+=

-. （2）微分方程(1)

y x y x

-'=的通解是 .

（3）设∑是锥面22z x y =+（01z ≤≤）

的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

++-=?? .

（4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = .

（5）设矩阵2112A ??

=

?-??

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B =

16 .

（6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则

{}max{,}1P X Y ≤= .

二、选择题

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的

增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则

（A ）0.dx y <

（C ）0.y dy ?<<

（D ）0.dy y

【 】

（8）设(,)f x y 为连续函数，则

1

4

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ?

?等于

（A ）

2210

(,).x x

f x y dy -??

（B ）

2210

(,).x f x y dy -??

（C ）

2210

(,).y y

f x y dx -?

?

（C ）

2210

(,).y f x y dx -?

?

【 】

（9）若级数

1

n

n a

∞

=∑收敛，则级数

（A ）

1

n

n a

∞

=∑收敛. （B ）

1

(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

（C ）

11

n n n a a ∞

+=∑收敛.

（D ）

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. 【 】 （10）设(,)f x y 与(,)x y ?均为可微函数，且1(,)0y x y ?≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约

束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是 （A ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. （B ）若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. （C ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. （D ）若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.

【 】

（11）设12,,,,a a a L 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是 （A ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关. （B ）若12,,,,a a a L 线性相关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关.

（C ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性相关.

（D ）若12,,,,a a a L 线性无关，则12,,,,Aa Aa Aa L 线性无关. 【 A 】 （12）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2

列得C ，记110010001P ??

?

= ? ???

，则

（A ）1

.C P AP -= （B ）1

.C PAP -=

（C ）.T C P AP =

（D ）.T

C PAP = 【 B 】

（13）设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有 （A ）()().P A B P A ?> （B ）()().P A B P B ?>

（C ）()().P A B P A ?=

（D ）()().P A B P B ?= 【 】

（14）设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ，且

12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<

（A ）1 2.σσ< （B ）1 2.σσ>

（C ）1 2.μμ<

（D ）1 2.μμ> 【 】

三 解答题 15 设区域D=

(){}22,1,0x y x y x +≤≥,计算二重积分22

11D

xy

I dxdy x y +=++??

。

16 设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== 。 求: (Ⅰ)证明lim n x x →∞

存在,并求之 。

(Ⅱ)计算2

1

1lim n x n x n x x +→∞

?? ???

。 17 将函数()2

2x

f x x x =+-展开成x 的幂级数 。

18 设函数

()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且(

22

z f

x y =+满足等式

22220z z

x y

??+=?? (Ⅰ)验证()()

0f u f u u

'''+

=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式. 19 设在上半平面D=

(){},0x y y >内,数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的

t>0都有

()()2,,f tx ty t f x y =.

证明: 对L 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有()()2

,,0yf x y dx xf x y dy -=??

20 已知非齐次线性方程组

1234123412

341

4351331

x x x x x x x x ax x x bx +++=-??

++-=-??++-=?有个线性无关的解 Ⅰ证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A = Ⅱ求,a b 的值及方程组的通解

21 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T

T

αα=--=-是线

性方程组A x =0的两个解, (Ⅰ)求A 的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q 和对角矩阵A,使得T

Q AQ A =.

22 随机变量x 的概率密度为()()21

,1021

,02,,4

0,x x f x x y x F x y ?-<

令其他为二维随机变量

(X,Y)的分布函数.

(Ⅰ)求Y 的概率密度()Y f y (Ⅱ)1,42F ??

-

???

23 设总体X 的概率密度为()()01,0112010x F X x θ

θθθ<

=-≤<<

12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,1n x x x 中小于的个数,求θ

的最大似然估计.

题解 高数 一、填空题 （1）0

ln(1)

lim

1cos x x x x

→+-= 2

2

1ln(1),1cos 2

x x x x +-Q ::

（0x →当时） （2）微分方程(1)y x y x

-'=

的通解是(0)x

y cxe x -=≠，这是变量可分离方程。 （3）设∑是锥面22(01)x y Z +≤≤Z=的下侧，则

23(1)2xdydz ydzdx z dxdy π∑

++-=

??

补一个曲面221

:1

x y z ?+≤∑?=?1上侧

,

2,

3(1)P x Q y R z ===-

1236P Q R x y z

???++=++=??? ∴

1

6dxdydz ∑

∑Ω

+=??

?????（Ω为锥面∑和平面1∑所围区域）

6V =（V 为上述圆锥体体积）

623

π

π=?=

而1

23(1)0dydz ydzdx z dxdy ∑?++-=??

（∵在1∑上：1,0z dz ==）

（4）,1,0,4502x y z d ++==

点(2)到平面3的距离

2

2

2

32412

502

345

d ?+?=

=

==++

二、选择题

（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0f x '>，()0f x ''>，x V 为自变量x 在0x 处的增量，y V 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分。若0x >V ，则[A]

(A)(B)(C)0(D)0dy y y dy y dy dy y <<<<<<<

()0,()f x f x '>因为则严格单调增加 ()0,()f x f x ''>则是凹的

0,0x dy y ><

2

2

1

2211000

(8)(,)(cos ,sin )[C]

(A)(,)(B)(,)x x x

f x y d f r r rdr f x y dy f x y dy πθθθ--????

??40

设为连续函数,则等于

2222110

(C)(,)(D)(,)y y y

f x y dx

f x y dx --?

?

?

1

111

111

1

1

(9)[D]

()()(1)()()()

2n n n n n n n n n n n n n n n a A a B a a a C a a D a ∞

=∞

∞

==∞

∞

∞

+++===-+∑∑∑∑∑∑Q 若级数收敛,则级数

收敛

收敛

收敛

收敛

也收敛

00000000000000000(10)(,)(,)(,)0,(,)(,)0y x y x y x y x y f x y x y x y x y f x y x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x ???'≠=''''≠''''≠≠设与均为可微函数,且已知(,)是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是[D]

(A)若(,)=0,则(,)=0(B)若(,)=0,则(,)0(C)若(,)0,则(,)=0(D)若(,)0,则(,00000000000000000(,)(,)

(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)

(,)0

(,)(,)(,)(,)0,(,)(,)(,)(,)0x x x y y y y y x

y x y y x y f x y x y f x y x y f x y x y x y f x y f x y x y x y f x y x y x y f x y λλ?λ?λ????λ??≠+'''?+=?

'''+=??'

=?'''''≠∴=-='''≠)0

构造格朗日乘子法函数F=F =F =F =今代入(1)得今00,(,)0

[]

y f x y D '≠则故选

三、解答题

{}

2222

22

1

21

2022

202

1(15)(,)1,0,1:0

11ln(1)ln 21122

D

D

D

xy

D x y x y x I dxdy

x y xy

dxdy x y r I dxdy d dr r x y

r ππππθ-

+=+≤≥=++=++===+=+++??

??

??

??Q 设区域计算二重积分解

{}{}{}2111

12121(16)0,sin (1,2,)(1)lim (2)lim():(1)sin ,01,2sin ,0,lim ,n

n n n n n x n n n

n n n n n n n n x x x x n x x

x x x x n x x x x x x x A π+→∞

+→∞+→∞

<<===∴<≤≥=≤≥∴=L Q 设数列满足求

证明存在,并求之

计算解因此当时单调减少

又有下界，根据准则1,存在递推公式两边取极限得

sin ,0A A A =∴=

2

1

sin (2)lim(),n x n n n x x ∞→∞原式=为"1"型

Q 离散型不能直接用洛必达法则

2

201

1

sin lim ln()0sin lim()t t

t

t t

t t e t

→→=先考虑

23232

03

30

011(cos sin )

1110()0()lim 26cos sin sin 1262lim

lim 226

2

t t t t t t t t t t t t t t t

t t t t

t t

e

e

e e

e →→→????--+--+????-????-????-

=====g g

2(17)()2x

f x x x x =+-将函数展开成的幂极数

()(2)(1)21x A B

f x x x x x ==+-+-+解:

2(1)(2)2,

32,

3

A x

B x x

x A A ++-====

令 11,

31,

3

x B B =-=-=-令

21111111

()3(2)3(1)33[1()]

(1)2

f x x x x x =-=--+---

g g g g

10001111()(1)(1),132332

n n n

n n n n n n x x x x ∞∞∞

+===??=--=+-

（18）设函数()(0,)f u +∞在内具有二阶导数，且22Z f

x y =+满足等式

22220z z

x y

??+=??

（I ）验证

()

()0f u f u u

'''+

= （II ）若(1)0,(1)1f f '== 求函数()f u 的表达式 证：（I ）

22

22

2

2

2

2

z

z

f x y f x y x

y

x y

x y

??''=+=+??++

()

()

22

2

22

2

2

2

2

2

2

222

x x y x y z

x

f x y

f x y

x

x y x y +-

+?'''=+++?++

()

()

2

2

22

22

32

22

22x y f x y

f x y

x y x y ''

'=+++++

()

()

22

2

2

2

2

2

32

222

2

2z

y x f x y

f x y

y

x y x y ?''

'=+++?++同理

222222

222

2

()

()

()0f x y z z f x y

x y x y

f u f u u

'+??''

+=+=??+'''∴+

=代入得成立

（II ）令(),;dp p dp du f u p c du u p u

'==-=-+??则

ln ln ,()c

p u c f u p u

'=-+∴==

22(1)1,1,()ln ||,(1)0,0()ln ||f c f u u c f c f u u '===+===Q

由得于是

（19）设在上半平面{}(,)|0D x y y =>内，函数(,)f x y 具有连续偏导数，且对任意0t >都有2

(,)(,)f tx ty t

f x y -=

证明：对D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，

都有

(,)(,)0L

yf x y dx xf x y dy -=??

证：把2

(,)(,)f tx ty t f x y t -=两边对求导

得：(,)(,)2(,)x y xf tx ty yf tx ty tf x y ''+=- 令 1t =，则(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 再令 (,),(,)P yf x y Q xf x y ==-

所给曲线积分等于0的充分必要条件为

Q P

x y

??=?? 今

(,)(,)x Q

f x y xf x y x

?'=--?

(,)(,)y P

f x y yf x y y

?'=+? 要求

Q P

x y

??=??成立，只要(,)(,)2(,)x y xf x y yf x y f x y ''+=- 我们已经证明，Q P

x y

??∴=??，于是结论成立。

线代

(5) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|= .

-1 2

解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得

|B||A-E|=|2E|=4,

计算出|A-E|=2,因此|B|=2.

(11)设α1,α2,…,αs都是n维向量，A是m?n矩阵，则（）成立.

(A) 若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.

(B) 若α1,α2,…,αs线性相关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.

(C) 若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.

(D) 若α1,α2,…,αs线性无关,则Aα1,Aα2,…,Aαs线性无关.

解: (A)

本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.

若α1,α2,…,αs线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,…,c s使得

c1α1+c2α2+…+c sαs=0,

用A左乘等式两边,得

c1Aα1+c2Aα2+…+c s Aαs=0,

于是Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.

如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:

1. α1,α2,…,αs 线性无关? r(α1,α2,…,αs )=s.

2. r(AB)≤ r(B).

矩阵(Aα1,Aα2,…,Aαs)=A( α1, α2,…,αs ),因此

r(Aα1,Aα2,…,Aαs)≤ r(α1, α2,…,αs ).

由此马上可判断答案应该为(A).

(12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0

P= 0 1 0 ,则

0 0 1

(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1.

(C) C=P T AP. (D) C=PAP T.

解: (B)

用初等矩阵在乘法中的作用得出

B=PA,

1 -1 0

C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1.

0 0 1

(20)已知非齐次线性方程组

x1+x2+x3+x4=-1,

4x1+3x2+5x3-x4=-1，

a x1+x2+3x3+bx4=1

有3个线性无关的解.

① 证明此方程组的系数矩阵A 的秩为2. ② 求a,b 的值和方程组的通解.

解:① 设α1,α2,α3是方程组的3个线性无关的解,则α2-α1,α3-α1是AX =0的两个线性无关的解.于是AX =0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A )≥2,从而r(A )≤2.

又因为A 的行向量是两两线性无关的,所以r(A )≥2. 两个不等式说明r(A )=2.

② 对方程组的增广矩阵作初等行变换:

1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1

(A |β)= 4 3 5 -1 -1 → 0 –1 1 –5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A )=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:

1 0

2 -4 2 → 0 1 -1 5 -

3 . 0 0 0 0 0 得同解方程组

x 1=2-2x 3+4x 4， x 2=-3+x 3-5x 4，

求出一个特解(2,-3,0,0)T 和AX =0的基础解系(-2,1,1,0)T ,(4,-5,0,1) T

.得到方程组的通解:

(2,-3,0,0)T +c 1(-2,1,1,0)T +c 2(4,-5,0,1)T

, c 1,c 2任意.

(21) 设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和都为3,向量α1=(-1,2,-1)T , α2=(0,-1,1)T

都是齐次线性方程组AX =0的解.

① 求A 的特征值和特征向量.

② 求作正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得

Q T

AQ =Λ.

解:① 条件说明A (1,1,1)T =(3,3,3)T ,即 α0=(1,1,1)T

是A 的特征向量,特征值为3.又α1,α2都是AX =0的解说明它们也都是A 的特征向量,特征值为0.由于α1,α2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A 的特征值为3,0,0.

属于3的特征向量:c α0, c ≠0.

属于0的特征向量:c 1α1+c 2α2, c 1,c 2不都为0.

② 将α0单位化,得η0=(

33,33,3

3)T

. 对α1,α2作施密特正交化,的η1=(0,-

22,22)T , η2=(-36,66,6

6)T

. 作Q =(η0,η1,η2),则Q 是正交矩阵,并且

3 0 0

Q T AQ =Q -1

AQ = 0 0 0 . 0 0 0

概率

（6）

9

1 （13）C （14）A （22）

随机变量X 的概率密度为????

?????<≤<<-=其他,020,4

1

01,21

)(x x x f X ，令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量

）

（Y X ,的分布函数。 （Ⅰ）求Y 的概率密度；（Ⅱ）)4,2

1(-F 解：

（Ⅰ）???

????≤<≤<≤<=≤=≤=y y y y y X P y Y P y F Y 4,141,)2(10,)1(0,0)()()(2

式式

??=+

=≤

≤-=-y

y

y dx dx y X y P 0

43

4121

)()1(式； ?

?+=+

=≤

≤-=-y

y dx dx y X y P 0

1

4

1

214121

)()2(式。 所以：????

?????<≤<<==其他,041,81

10,83

)()('y y

y y y F y f Y Y

这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y 进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。

（Ⅱ）

)

4,2

1(-F )

2

1

2()22,21()4,21()4,21(2-≤≤-=≤≤--≤=≤-≤=≤-≤=X P X X P X X P Y X P

41

212

1

1

==

?-

-dx 。

（23）

设总体X 的概率密度为???

??≤≤-<<=其他,021,110,),(x x x f θθθ，其中θ是未知参数（0<θ<1）。

n X X X Λ,,21为来自总体的简单随机样本，记N 为样本值n x x x Λ,,21中小于1的个数。求

θ的最大似然估计。

解：

对样本n x x x Λ,,21按照<1或者≥1进行分类：pN p p x x x Λ,,21<1，

pn pN pN x x x Λ,,21++≥1。

似然函数?

??≥<-=++-其他，,01

,,,1,,)1()(2121pn pN pN pN p p N n N x x x x x x L ΛΛθθθ，

在pN p p x x x Λ,,21<1，pn pN pN x x x Λ,,21++≥1时，

)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，

01)(ln =---=θθθθN n N d L d ，所以n

N

=最大θ。

2006年考研数学三真题与答案

2006年考研数学三真题 一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)。 【答案】 【解析】 【方法一】记因为 且故。 【方法二】而 为有界变量，则原式。 综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算(2)设函数在的某领域内可导，且则 。 【答案】。 【解析】本题主要考查复合函数求导。 由知

综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数的导数 (3)设函数可微，且则在点处的全 微分。 【答案】 【解析】因为 , 所以。 综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—多元函数微积分学—偏导数、全微分 (4)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足 ，则___________。 【答案】2。 【解析】 因为，所以。 综上所述，本题正确答案是。 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质

线性代数—矩阵—矩阵的线性运算 (5)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布， 则___________。 【答案】。 【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。 事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出 综上所述，本题正确答案是。 【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布(6)设总体的概率密度为 为总体的随机简单样本，其样本方差为则_______。 【答案】 【解析】 综上所述，本题正确答案是。 【考点】概率论—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的

大学历年考研真题-2006年全国硕士研究生入学统一考试(数三)试题及答案

2006年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简 单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006考研数学三真题及答案解析

2006年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006考研数二真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 (2) 设函数2 301sin ,0 (),0x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在0x =处连续，则a = (3) 广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? (4) 微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 (5) 设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则 x dy dx == (6) 设2112A ?? = ?- ?? ,E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+,则B = . 二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0, f x f x x '''>>为自变量x 在点0x 处的 增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应增量与微分，若0x >，则( ) (A)0dy y << (B)0y dy << (C)0y dy << (D)0dy y << (8) 设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0 ()x f t dt ?是( ) (A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数 (C)在0x =间断的奇函数 (D)在0x =间断的偶函数 (9) 设函数()g x 可微，1() (),(1)1,(1)2,g x h x e h g +''===则(1)g 等于( ) (A)ln 31- (B)ln 31-- (C)ln 21-- (D)ln 21- (10) 函数212x x x y c e c e xe -=++满足的一个微分方程是( ) (A)23x y y y xe '''--= (B)23x y y y e '''--= (C)23x y y y xe '''+-= (D)23x y y y e '''+-=

2006数学三考研试题和答案

2006年数学三试题分析、详解和评注 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()322e .f '''= （3 微分(1,2d z （4） （5）{P （6）的简（7）0处的(C) d 0y y ?<<. (D) d 0y y

（9）若级数 1n n a ∞ =∑收敛，则级数 (A) 1n n a ∞ =∑收敛 . （B ） 1 (1) n n n a ∞ =-∑收敛. (C) 11 n n n a a ∞ +=∑收敛. (D) 1 1 2n n n a a ∞ +=+∑ 收敛. [ ] （10）设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常 数，则该方程的通解是 （Ａ）[]12()()C y x y x -. （Ｂ）[]112()()()y x C y x y x +-. （Ｃ）[]12()()C y x y x +. （Ｄ）[]112()()()y x C y x y x ++ [ ] （11）设(,)(,)f x y x y ?与均为可微函数，且(,)0y x y ?'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ?=下的一个极值点，下列选项正确的是 (A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. [ ] （12）设12,,,s αααL 均为n 维列向量，A 为m n ?矩阵，下列选项正确的是 (A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. [ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2 列得C ，记110010001P ?? ? = ? ??? ，则

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '=,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{} max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006考研数学三真题及答案

2006考研数学三真题及答案 一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1） ()11lim ______. n n n n -→∞+??= ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且 ()() e f x f x '=， ()21 f =，则 ()2____. f '''= （3）设函数()f u 可微,且 ()1 02f '= ,则 ()22 4z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ?? = ? -??，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间 []0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤= _______. （6）设总体X 的概率密度为 ()()121,,, ,2x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简 单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2019年考研数学三真题及解析

2006年考研数学（三）真题 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121 ,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样 本，其样本方差为2S ，则2____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2006年考研数学二真题答案解析

2006年全国硕士研究生入学考试数学（二）解析 一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 15 y = 4sin 11lim lim 5 5x x x x y x →∞→∞+ ==- （2）设函数2 30 1sin , 0(),0 x t dt x f x x a x ?≠?=??=? ? 在x =0处连续，则a = 13 2200()1 lim ()lim 33 x x sm x f x x →→== （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞ = +? 12 2222220 1 (1)11 11 0(1)2 (1)2(1) 22 xdx d x x x x +∞+∞ +∞ += =-? =+ =+++? ? （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是x y cxe -=)0(≠x （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 x dy dx ==e - 当x =0时，y =1， 又把方程每一项对x 求导，y y y e xe y ''=-- 01 (1)1x x y y y y y e y xe e y e xe ==='' +=-=- =-+ (6) 设A = 2 1 ,2B 满足BA =B +2E ,则|B |= . -1 2 解:由BA =B +2E 化得B (A -E )=2E ,两边取行列式,得 |B ||A -E |=|2E |=4, 计算出|A -E |=2,因此|B |=2. 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点x 0处的增量，0()y dy f x x ?与分别为在点处对应增量与微分,若0x ?>，则[A] （A ）0dy y <

2006年全国考研数学二真题及答案.doc

2006年考研数学二真题 一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） 。 (1)曲线的水平渐近线方程为_________ 【答案】。 【解析】 故曲线的水平渐近线方程为。 综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点 及渐近线 (2)设函数在处连续，则_________ 。 【答案】。 【解析】. 综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 。 (3)反常积分_________ 【答案】。 【解析】

综上所述，本题正确答案是 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 。 (4)微分方程的通解为__________ 【答案】，为任意常数。 【解析】 即，为任意常数 综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程 。(5)设函数由方程确定，则__________ 【答案】。 【解析】等式两边对求导得 将代入方程可得。 将代入，得. 综上所述，本题正确答案是。 【考点】高等数学—一元函数微分学—复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 (6)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足， 。 则___________ 【答案】2。 【解析】

因为，所以。 综上所述，本题正确答案是。 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质，行列式按行(列)展开定理 二、填空题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的 四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (7)设函数具有二阶导数，且，为自 变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 (A)(B) (C)(C) 【答案】A。 【解析】 【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图 由图可得 【方法二】

2006年考研数学一真题及参考答案

2006年全国硕士研究生入学考试数学（一） 一、填空题 （1）0ln(1) lim 1cos x x x x →+= -. （2）微分方程(1) y x y x -'=的通解是 . （3）设∑是锥面22z x y =+（01z ≤≤） 的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑ ++-=?? . （4）点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离z = . （5）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = 16 . （6）设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 {}max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的 增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 （A ）0.dx y <

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学三真题及解析

2016年考研数学（三）真题 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______. n n n n -→∞ +??= ? ?? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()()e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()102 f '=,则() 2 24z f x y =-在点(1,2)处的 全微分( ) 1,2d _____. z = （4）设矩阵 2112A ??= ? -?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足 2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则{}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞L 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0 x 处对应的 增量与微分，若0x ?>，则

(A) 0d y y <

2006年考研数学三真题及解析

2006年考研数学(三)真题 、填空题：1 — 6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上 (2)设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且f '(x ) = e f (x ), f(2)=1，则f "'(2)= _____________ 1 f(u)可微且「(0)=?,则Z = f (4x 2 -y 2 )在点(1,2)处的全微分dz (4)设矩阵A = '2 1 , E 为2阶单位矩阵，矩阵 B 满足BA=B + 2E ，贝U B = 厂 1 2丿 勺 (5)设随机变量X 与丫相互独立，且均服从区间 b,3 ］上的均匀分布，则 p{max (X,Y}兰1 = ________ 1 I (6) 设总体X 的概率密度为f x e*：::x ，川，X n 为总体X 的简单随机样本，其 样本方差为S 2，则ES 2 = ___________ . 二、选择题：7— 14小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的 字母填在题后的括号内 . (7) 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f (x) ? 0, f (x) ? 0 , 为自变量x 在点x 0处的增量， 逍与dy 分别为f (x)在点X 。处对应的增量与微分，若 x ?0,则 (8)设函数f x 在x = 0处连续，且lim 1^=1，则 t h 2 (1) lim (3)设函数 ,2 (A) 0 :: dy ： -y . (B) 0 ： y < dy . (C) y ■■■ dy < 0 . (D) dy ：： y ：： 0 (A) f 0 =0且仁0存在 (B) f 0 =1且f_ 0 存在 (C) f 0 =0且f 0存在 (D) f 0 二 1且f 0 存在 []

2006考研数一真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 0ln(1) lim 1cos x x x x →+= -. (2) 微分方程(1) y x y x -'=的通解是 . (3) 设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑ ++-=?? . (4) 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d = . (5) 设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = . (6)设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 {} max{,}1P X Y ≤= . 二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A)0.dx y << (B)0.y dy << (C)0.y dy << (D)0.dy y << (8) 设(,)f x y 为连续函数，则 1 40 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθ? ?等于( ) (A) (,).x f x y dy ?? (B) (,).dx f x y dy ? ? (C) (,).y f x y dx ? ? (D) (,).f x y dx ? ? (9) 若级数 1n n a ∞ =∑收敛，则级数( ) (A) 1 n n a ∞ =∑收敛. (B) 1 (1) n n n a ∞ =-∑收敛.

1989考研数三真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点12 2,π π??+ ???处的切线方程是__ _ . (2) 幂级数 n n ∞ =的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组 1231231 230,0,0 x x x x x x x x x λλ++=?? ++=??++=? 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为 ()00sin 0212 ,x ,F x A x, x ,,x , π π ? ? ?? 则A =__________,6P X π? ?<=??? ? . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不 等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ . 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()232x x f x ,=+-则当0x →时 ( ) (A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( ) (A) ()()f x dx f x '=? (B) ()()df x f x =? (C) ()()d f x dx f x dx =? (D) ()()d f x dx f x =? (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( ) (A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例

2006数学三考研试题和答案

2006数学三考研试题和答案

2006年数学三试题分析、详解和评注 一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim 1. n n -+??= （()f x ， ()2f （（B （[]0,3{P （为()()121,,, ,2 x n f x e x X X X -=-∞<<+∞为总体X 的简单随机样 本，其样本方差为2 S ，则2 2. ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>， x ?为自变量x 在点0 x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在 点0 x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

[ ] （13）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记 110010001P ?? ?= ? ??? ，则 C =C =（2 2 μ> 三 （15）（本题满分7分） 设()1sin ,,0,0 1arctan x y y y f x y x y xy x π-=->>+,求 (Ⅰ) ()() lim ,y g x f x y →+∞ =；

2006考研数学二真题及答案解析

2006年数学（二）考研真题及解答 一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1)xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B E =+，则B = . 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 （A ）0.dy y <

2006考研数三真题及解析

dz 2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题：1-6 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上. 1 n n 1 (1) n lim _________ (2) 设函数 f x ( )在x 2的某领域内可导,且 f x e f x , f 2 1 , 则 f 2 ______ (3) 设函数 f (u ) 可微,且 f 0 ,则 z f 4x 2 y 2 在点(1,2)处的全微 分 1,2 _____ 2 1 (4) 设矩阵 A , E 为2阶单位矩阵,矩阵 E 满足 BA B 2E ,则 B _________ 1 2 (5) 设随机变量 X 与Y 相互独立,且均服从区间0,3 上的均匀分布,则 P max X Y , 1 _________ (6) 设总体 X 的概率密度为 f x e x x ,x x 1, 2 ,......x n 为总体 x 的简单随 机样本,其样本方差 S 2 ,则 E S 2 =__________ 二、选择题：9-14 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 设函数 y f x ( ) 具有二阶导数，且 f (x ) 0, f ( )x 0 ， x 为自变量 x 在 x 0 处的增量， y 与dy 分别为 f (x ) 在点 x 0 处对应的增量与微分，若 x 0，则( ) (A)0 dx y . (B)0 y dy . (C) y dy 0. (D) dy y 0.

f h 2 (8)设函数f x 在x0处连续,且lim0 h 2 1,则( ) h (A) f 0 0且f ' 0 存在(B) f 0 1且f ' 0 存在 (C) f 0 0且f ' 0 存在(D) f 0 1且f ' 0 存在 (9)若级数a n 收敛,则级数( ) n1 (A) a n 收敛( B) 1n a n 收敛 n 1 n1 a n a n 1 收敛 (C) a n a n 1 收敛(D) n 1 n 1 2 (10)设非齐次线性微分方程y P x y ( ) Q x( ) 有两个的解y 1 x , y 2 x ,C 为任意常数,则 该方程通解是( ) (A)C y 1 x y 2 x (B) y 1 x C y 1 x y 2 x (C)C y 1 x y 2 x (D) y 1 x C y 1 x y 2 x (11)设f x y , 与x y , 均为可微函数,且y x, y0 ,已知x0, y 0 是f x,y在约束 条件x, y0 下的一个极值点,下列选项正确的是( ) (A) 若f x x0 , y 0 0,则f y x0 , (B) 若f x x0, y 0 0,则

2005年考研数学三真题与解析

2005年考研数学（三）真题 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）极限1 2sin lim 2 +∞ →x x x x = . （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为______. （3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=) 0,1(dz ________. （4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y, 则 }2{=Y P =______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a= ， b= . 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(2 3 恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设σd y x I D ??+= 221cos ,σd y x I D ??+=)cos(222,σd y x I D ??+=2223)cos(,其中 }1),{(22≤+=y x y x D ，则 (A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>. (C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ ] （9）设,,2,1,0 =>n a n 若 ∑∞ =1 n n a 发散， ∑∞ =--1 1 ) 1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是 (A) ∑∞ =-11 2n n a 收敛， ∑∞ =1 2n n a 发散 . （B ） ∑∞ =1 2n n a 收敛， ∑∞ =-1 1 2n n a 发散. (C) )(1 21 2∑∞ =-+n n n a a 收敛. (D) )(1 212∑∞ =--n n n a a 收敛. [ ] （10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是