高职高专高等数学教案设计

高等数学教案

系部：基础部

任课教师：

教师职称：

授课对象：大一

课程学时： 120 学年学期： 60

第 1次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分

§1不定积分的概念

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、正确理解原函数，不定积分的概念；

2、熟悉基本积分公式。 教学方法、手段：

讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点：

重点：原函数，不定积分的概念； 难点：利用积分公式求函数的积分。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配

一、引入新课

通过实例（变速直线运动（课件展示））的分析和讲解，知其速度是路程函数)(t s s =对时间t 的导数，即速度)()(t s t v '=。反过来，如果已知变速直线运动物体的速度函数)(t v v =，如何求出物体的路程函数)(t s s =，使得它的导数)(t s '等于已知的速度函数)(t v 。

这是我们这节课所要讲解的重点。 说明：从数学的观点来看，它的实质是：已知函数)(t v v =，求一个函数)(t s s =，使得)()(t v t s ='。这就是与求导数相反的问题。 通过对此例题的讲解，引出此节课要讲的不定积分的概念。

二、讲授新课

1、原函数的概念

定义3.1 设函数)(x f y =在某区间上有定义，若存在函数)(x F ，使得在该区间任一

点处，均有 [])()(x f x F ='或x x f x F d )()(d =

则称)(x F 为)(x f 在该区间上的一个原函数。 设计思路：通过几个例子加以说明，加强学生对于原函数概念的理解，为不定积分概念的学习做铺垫。

2、不定积分的概念

不定积分的概念（课件展示），强调不定积分的重要性。

说明：根据不定积分的定义可知，求函数)(x f 的不定积分，只需求出)(x f 的一个原函

数再加上一个常数C 即可。 值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。例如：at at ='??? ??221，有 C at atdt +=?221；x x cos )(sin '=，有?+=C x xdx sin cos ；2331x x ='???

??，

有C x dx x +=?3231。

注意：求不定积分时，不要忘记在一个原函数后面再加任意常数C ，否则求的只是一

（5分钟）

（20分钟）

（25分钟）

个原函数，不是所有的原函数，即不定积分。通常把求不定积分的方法称为积分法。 提问：积分运算与微分运算有什么样的关系？

小结：

① x x f x x f x f x x f d )(]d )([d )(]d )([=='??或，此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消。 ② ??+=+='C x F x F C x F x x F )()(d )(d )(或，此式表明，先求导数（或求微分）再求积分两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数C 。对这两个式子，要熟练运用。 2、基本积分公式 课件展示：基本积分公式。

说明：求不定积分就是求导数的逆运算。

结合例题加以分析讲解基本的积分公式，加深学生对于积分公式的记忆，常用的积分

公式着重讲解。

强调：以上13个公式是积分法的基础，必须熟记，不仅要记住等式右端的结果，还要熟悉左端被积分函数的形式。 三、课堂演练

练习题：

1、求下列各式的不定积分。

（1）dx x ?2；（2）?xdx sin ；（3）?dx e x ；（4）dx x ?-2

11。

2、已知曲线上任意一点切线的斜率为x 2，且该曲线过)5,1(点，求曲线方程。

四、课堂小结

本次课程的内容有：原函数的定义，不定积分的概念，基本积分公式。

（20分钟）

（15分钟）

（5分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题： P71: 5.1, 1

课后总结分析：

第 2次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分

§2不定积分性质

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、正确理解不定积分的性质，掌握性质求简单函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。

教学重点、难点：

重点：不定积分的性质；

难点：会利用性质求函数的不定积分。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配

一、引入新课

提问：上次课程我们学了不定积分的概念，引入实例，通过实例的求解，引入不定积分性质的话题，初步分析不定积分的性质。

二、讲授新课

1、不定积分的性质 1. 积分对于函数的可加性，即 []()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±???，

可推广到有限个函数代数和的情况，即 ????±±±=±±±x x f x x f x x f x x f x f x f n n d )(d )(d )(d )]()()([2121 。

设计思路：给出几个例题，让学生们练习不积分的可加性，加强学生对性质的理解。 2. 积分对于函数的齐次性，即

)0 ( d )(d )(??≠=k x x f k x x kf 。 说明：利用不定积分的基本积分公式和性质，就可以求一些简单函数的不定积分。

2、典型例题

例1求下列各式的不定积分： （1）dx x ?3； （2）dx x ?2； （3）dx e x x ?3。

讲解：略 例2求dx x x x ?-+)21cos 3(。 讲解：略

例3求dx x

x ?-2

)12(。

讲解：略

例4求dx

x x ?+2

2

1。 （15分钟）

（25分钟）

5分钟学生消

化以上所讲

的知识。

（10分钟）

（5分钟）

（5分钟） （5分钟）

例5求dx x ?2

cos 2。

例6求dx x x

?

-2

sin cos 122。 例7 求dx x

x ?

22cos sin 1。

说明：不定积分性质运用，理解比较困难，这种加强例、习题的讲解和练习，帮助学生掌握不定积分的性质。

（5分钟）

（5分钟）

（10分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题：

P71 5.1 2.（2） （4） （6）.

课后总结分析：

第 3 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分

§3第一换元积分法

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、熟练掌握第一换元积分法；

2、会利用第一换元积分法求简单函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。

教学重点、难点：

重点：第一换元积分法；

难点：会用第一换元积分法求函数的不定积分。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配

一、引入新课 引入一个例子，通过例题的讲解；

提问：你能通过例子总结一下不定积分的积分方法吗？

二、讲授新课

1、第一换元法的概念

给出不定积分?xdx 2cos ，计算了它的原函数， 注意：x 2cos 为复合函数。 分析此不定积分： 通过观察在积分表中没有此公式，只有C x xdx +=?sin cos ，若将公式改写为员??=)2(2cos 212cos x xd xdx 。令x u 2=，

则上式变为

1111

cos2cos2(2)cos sin sin 22222xdx xd x udu u C x C ===+=+???。 这种先凑微分形式，再作代换的积分方法，叫做第一换元积分法。

说明：第一换元积分法，又称凑微分法。

设计思路：讲练结合，给出例题，让学生们利用第一换元积分法求函数的不定积分，

加强对上方法的理解和运用。 2、利用第一换元法求函数不定积分的步骤。 提问：通过以上对第一换元法例题的讲解，同学们总结一下第一换元法求函数的不定积分的步骤是什么？

小结：

（1）先凑微分，即?'dx x x f )()]([?? 凑微分 ?)]([)]([x d x f ??；

（15分钟）

（20分钟）

（20分钟）

（2）变量代换后积分，令)(x u ?=，?)()]([x d x f ??，

令)(x u ?= C u F du u f +=?)()(；

（3）最后回代， C u F du u f +=?)()( 回代 C )]([+x F ?。 其中，第一步凑微分是关键，因而第一换元法又常称为凑微分法。

设计思路：给出例题，根据所讲的求积分的步骤，求函数的不定积分，加强对此步骤的应用。

三、课堂练习

例1 求下列函数的不定积分。

（1）?+dx x 1

31

；（2）dx e x ?-12；（3）?dx xe x 2

2；

（4）dx x x ?-2

1；（5）dx x a ?+2

21

；

（6）?x x dx ln ；（7）dx x e x

?3； （8）?xdx tan ；（9）?xdx 2cos ；（10）?xdx 3sin 。 四、课堂小结

本次课程的内容有：第一换元积分法的概念；不第一换元积分法求不定积分的步骤

5分钟学生消化以上所讲的知识。

（25分钟）

（5分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题：

P76: 5.2 1.（2） （6） （8）

课后总结分析：

第 4次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分

§4第二换元积分法

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、熟练掌握第二换元积分法；

2、会利用第二换元积分法求函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。

教学重点、难点：

重点：第二换元积分法；

难点：会用第二换元积分法求函数的不定积分。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配

一、引入新课 回顾第一换元法。 说明：第一换元法是先凑微分，再用新变量u 替换)(x ?。但是有些积分是不容易凑微分的，需要新的积分方法。

给出例子dx x ?+1

1

，分析、解答此问题。

分析：在基本积分公式中，没有类似被积函数的公式，这就不能直接积分；也找不到

合适的凑微分的部分，第一换元法就不能用。如果先去掉根号，可令t x =，则tdt dx t x 2,2==。 解 11211dx tdt t x =++??

=C t t dt t dt t t ++==??

? ??+-=+-+??1ln 2211121112 22ln 1x x C =-++ 设计思路：通过例题讲解，引出第二积分法这一求解不易凑微分的求解积分的方法。

二、讲授新课 1、第二换元法的概念 从以上例题的解法，可以看出，这种先换元，再积分，称为第二换元积分法。

2、第二换元积分法的步骤

第二换元积分法的步骤如下：

（1）先换元，令)(t x ?=，即

[]dt t t f t x dx x f )()()()(???'=??换元；

（20分钟）

（10分钟）

（25分钟）

（2）再积分，即?'dt t t f )()]([?? 积分 C t F +)(； （3）最后回代，)(1x t -=?，即

C t F +)( )(1x t -=? 回代 C x F +-)]([1?。

强调：运用第二换元积分法的关键是选择合适的变换函数)(t x ?=。对于)(t x ?=，要求单调可微，且0)(≠'t ?，其中)(1x t -=?是)(t x ?=的反函数。

说明：（1）第一换元法先凑微分再换元；第二换元法是先换元再积分。

（2）第二换元法常用的代换有幂代换和三角代换，当被积函数含有n b ax +时，可作幂代换令n b ax t +=；当被积函数含有22x a -，22x a +，2

2a x -等表达式时，可作

三角代换，分别令t a x sin =，t a x tan =，t a x sec =。

三、典型例题

例1 求下列函数的不定积分。

（1）?-+dx x x x 21

；（2）dx x x ?+31；

（3）)0(22>-?a dx x a 。 讲解：略

点评：上述类型的习题，由于第一换元积分等方法不易求解，可根据第二积分换元法的解题步骤，逐次解答。 四、课堂小结

本次课程的内容有：第二换元积分法的概念；第二换元积分法求不定积分。

5分钟学生消化以上所讲的知识。

（20分钟）

（10分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题：

P78:5.2 1.2..3.4

课后总结分析：

第 5 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分

§5分部积分法

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、熟练掌握分部积分法；

2、会利用分部积分法求函数的不定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。

教学重点、难点： 重点：分部积分法；

难点：会用分部积分法求函数的不定积分。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配

一、课前复习

学生阅读教材内容，复习第二换元积分法； 巩固学生们对上节课所学知识的理解，并复习上节课所学的知识点。

二、讲授新课

通过对第一换元积分法和第二换元积分法的理解，这节课学习一种新的积分方法。

1、分部积分法

设函数)(x u u =，)(x v v =都是连续可微函数，根据乘积微分公式，得vdu udv uv d +=)(，

移项得vdu uv d udv -=)(，两边积分得 ??-=vdu uv udv

上式，称为分部积分公式。

说明：（1）分部积分法是与乘积微分法则相对应的，也是一种基本积分法；

（2）如果计算?udv 比较困难，而?vdu 容易计算时，可利用分部积分公式，把求?udv

的问题转化为求?vdu 。

（3）利用分部积分法求不定积分，有时需要多次使用分部积分公式才能得出结果。

典型例题：

求?dx e x x 2，?xdx e x

sin ？ 讲解：略 说明：分部积分的方法是不定积分常用的方法，通过例题讲解加深学生对于分部积分方法的理解，要求学生熟练运用分部积分方法。 2、利用分部积分公式，u 和dv 选取的规律

强调：利用分部积分法求不定积分时，有时多次使用分部积分公式，所求积分再次出现，于是得到一个关于所求不定积分的方程，解此方程便可得所求不定积分。

（15分钟）

（25分钟）

（25分钟）

在使用分部积分公式时，u 和dv 的选取具有一定的规律性。

现归纳如下：

（1）n x x e dx ?，sin n x xdx β?，cos n

x xdx β?，可设n u x =； （2）arcsin n x xdx ?，arctan n x xdx ?，ln n

x xdx ?，可设arcsin u x =，arctan x ，ln x ； （3）sin x e xdx αβ?，cos x

e xdx αβ?，设哪个函数为u 都可以。 注意：此积分方法需要学生人熟练掌握，这是求不定积分的一种重要的方法。

三、典型例题 例1 求下列函数的不定积分。 （1）?xdx x cos ；（2）?dx e x x 2；（3）3ln x xdx ?

；

（4）?xdx e x sin ；（5）?xdx ln 。

讲解：略 说明：分部积分法是求不定积分常用的方法，同学们在课后需加强练习。

四、课堂小结

分部积分法是求不定积分的一种比较重要的方法，希望学生课后多加练习课后习题。

（20分钟）

（10分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题：

P82 5.3 1. （1） （2） （3）

课后总结分析：

第 6 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分

§6本章小结

授课类型（请打√）

理论课□ 研讨课□ 习题课□ 复习课√□ 其他□

教学目的：

1、巩固复习本章的知识点，加强学生对本章内容的理解和运用； 教学方法、手段：

讲授法，板书，课件展示。

教学重点、难点：

重点：正确理解本章的知识点；

难点：会运用本章的知识点求解函数的不定积分。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配

一、知识点复习

1、原函数的概念。（课件展示）

注意：原函数不是唯一的；

2、不定积分的概念。（课件展示）

说明：求不定积分的问题就是求导数的反问题。

提问：求一个函数的不定积分，有哪几种方法？ 3、第一换元积分法（课件展示） 说明：第一换元积分法又称凑微分法。 求一个函数的不定积分，一般的步骤如下：

（1）使用凑微分法，利用微分形式不变性，“凑”成一个在基本积分公式中的函数求出不定积分。如果不能使用凑微分法，再考虑下一步；

（2）如果遇到二次根式或有理函数，那么就用第二换元积分法或有理函数的积分法。

如果前面两个方法都不能用，再考虑下一步； （3）如果没有二次根式，遇到两个不同类型的函数乘积，那么就用分部积分法。 简单的说，求函数不定积分的基本原则是，被积函数有根号时用第二换元积分法消去根号，被积函数无根号，遇到两个不同类型的函数乘积用分部积分法。

4、第二换元积分法（课件展示）

小结：用第二换元积分法计算不定积分?dx x f )(，关键是要选择合适的变换)(t x ?=，使得新的被积函数)())((t t f ??'具有原函数)(t G ，再从)(t x ?=中得出反函数)(1

x t -=?，代入)(t G ，即得)(x f 的原函数。如果被积函数中含有被开方因式为一次式的根式m

b ax +时，令t b ax m =+，可以消去根号，从而求得积分。如果被积函数中含有被开方因式为二次式的根式的情况，一般地说，可进行三角代换，当被积函数含有22x a -，可进行代换 （10分钟）

（5分钟）

（10分钟）

（10分钟）

t a x sin =；当被积函数含有2

2

x a +，可进行代换t a x tan =；当被积函数含有2

2

a x -，

可进行代换t a x sec =。它还是第二换元法的重要组成部分。但在具体解题时还要有具体分析，有时用凑微分法更好。

5、分部积分法（课件展示）

强调：不定积分?dx x f )(求的是)(x f 的一切原函数，而)(x f 的任何两个原函数之间相差一个常数。也正是由于这个缘故，才会出现同一函数的两个原函数在形式上有很大的差异。但是，不管所求原函数的形式如何，其导数都必须是被积函数。 二、典型例题 例1 利用第一换元积分法求下列函数的不定积分。

（1）?+dx x 1

31

；（2）?dx xe x 22；（3）dx x x ?-21； （4）?x x dx ln ；（5）dx x

e

x

?

3； 讲解：略

点评：本部分习题考察学生对于第一换元积分法的运用。

例2利用第二换元法求下列函数的不定积分

（1）?-+dx x x x 21

；（2）dx x

x ?+31；（3）)0(22>-?a dx x a 。 点评：本部分内容考察学生对于第二换元法的运用。 例3利用分部积分法求下列函数的不定积分 （1）?xdx x cos ；（2）?dx e x x 2；

（3）3ln x xdx ?

；

点评：本部分内容考察学生对于分部积分法的运用。

（10分钟）

（20分钟）

（15分钟）

（10分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题：

复习题五 P82. 3. 4 . 5.

课后总结分析：

第7次课 学时 2 授课题目（章，节） 第六章 不定积分

§1定积分的概念及性质

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、正确理解定积分的概念；

2、会利用积分的概念求函数的定积分。 教学方法、手段：

讲授法，板书，课件展示。

教学重点、难点： 重点：定积分；

难点：会用定积分的概念求函数的定积分。

教学内容及过程设计

补充内容和

时间分配 一、引入新课

给出一个实例曲边梯形的图形，求曲边梯形的面积。

上述问题的讲解和分析，求曲边梯形面积， 总结：可按以下四个步骤进行： （1）分割：。 （2）取近似： （3）求和： （4）取极限：

由此可见，求曲边梯形的面积可以归结为求和式的极限。

设计思路：通过例题的分析和讲解，吸引学生们的学习兴趣，引出定积分的概念。 二、讲授新课 1、定积分的概念

课件展示：定积分的概念。 注意：

（1）所谓和式极限∑=→??n

i i i x x f 1

0)(lim ξ存在，是指其极限值与],[b a 的分割和点i ξ的取法

均无关。

（2）定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即

???==b

a b

a b

a du u f dt t f dx x f )()()(。

（3）和∑=?n

i i i x f 1)(ξ通常称为)(x f 的积分和。

（20分钟）

（20分钟）

x x

y x o

x

（4）如果函数)(x f 在],[b a 上的定积分存在，就说)(x f 在区间],[b a 上可积。

（5）闭区间上的连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的。

（6）定积分定义中要求积分限b a <，为此，补充如下规定：

①当b a =时，0)(=?b

a dx x f ； ②当

b a >时，??-=a

b b a dx x f dx x f )()(。 2、定积分的几何意义

从以上所讲的概念和上面的图形中，可知：在区间],[b a 上，当0)(≥x f 时，积分

?b

a dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =、两条直线a x =、

b x =与x 轴所围成的曲边梯形的面积，即

A dx x f b a =?)(，

在区间],[b a 上，若0)(

a dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =、两条直线a x =、

b x =与x 轴所围成的曲边梯形（在x 轴下方）面积的相反数，即

A dx x f b a -=?)(。

在区间],[b a 上，若)(x f 有正有负，则?b

a

dx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =在x 轴的上方部分和x 轴的下方部分“带号面积”（规定：位于x 轴下方的图形的带号面积为负，其绝

对值等于该图形的面积；位于x 轴上方的图形的带号面积为正，其数值等于该图形的面积）

的代数和。如上图，有

312)(A A A dx x f b

a --=?。

3、定积分的性质 根据以上对定积分概念及定积分几何意义的讲解，总结得出定积分的如下性质。 课件展示：定积分的性质。

注意：不论b a <，还是b a >，积分中值公式都成立。

设计思路：讲练结合，通过例题的讲解，习题的练习，让学生们利用定积分的性质求函数的定积分，加强学生们对定积分及定积分的性质的理解。

三、课堂练习

练习题： 1、 用定积分的定义计算dx x ?1

2。

（15分钟）

（15分钟）

（10分钟）

1)(A -3

)(A - y x o

2

)(A +

2、 估计定积分dx x 1

2

14的值。

四、课堂小结

本次课程的内容有：定积分的概念；定积分的几何意义；定积分的性质。

（10分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题：

P87. 6.1 1. 3.

课后总结分析：

第 8 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第六章 定积分

§2定积分基本公式

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、会求变上限积分的导数；

2、正确理解牛顿—莱布尼兹公式。 教学方法、手段：

讲授法，板书。

教学重点、难点：

重点：牛顿莱布尼兹公式； 难点：会求变上限积分的导数。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配 一、课前复习

同学们阅读教材内容，复习定义计算定积分的方法。 二、讲授新课

1、变上下限的定积分

课件展示：变上下限的定积分的概念。

给出一个曲边梯形的图形，分析该图形，通过对图形的进一步讲解，加深学生们对变上下限的定积分概念的理解和运用。

说明：在几何上，当0)(≥x f 时，变上限的定积分)(x Φ表示右侧邻边可以变化的曲边

梯形的面积，这时)(x Φ又称为面积函数。 2、微积分基本公式

课件展示：牛顿-莱布尼兹公式。

板书；给出例题，让学生们利用牛顿-莱布尼兹公式求函数的定积分。

根据学生们做题的情况，总结出以下注意事项。

注意：（1）当被积函数含有绝对值或分段函数时，应利用定积分的可加性分别计算各小区间上的定积分。

（2）在利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分时，一定要满足公式所要求的条件，否则

就会出现错误的结果。例如：2111

1

1

1

2-=-

=--?x dx x

，产生错误的原因在于

21

x

在]1,1[-上是

（10分钟）

（25分钟）

（35分钟）

y

x

a x )(x f y =

b )(x Φ

无界的，即不满足公式的条件，故不能使用牛顿-莱布尼兹公式。

典型例题： 例1. 讲解：略 例2. 讲解：略

点评：牛顿-莱布尼兹公式是计算定积分常用的方法之一，需要学生熟练掌握，通过例题的讲解，加强学生对于公式的运用。 三、课堂演练 练习题：

例1 已知?=x

a tdt x F sin )(，求)(x F '。

例2 已知?=Φx

dt t x 02cos )(，求)(x Φ在1=x 处的导数。

例3 已知?-=Φ2

2

)(x a t

dt e x ，求)(x Φ的导数。

三、课堂小结

本次课程的内容有：变上下限的定积分，微积分的基本公式。

（15分钟）

（5分钟）

思考题、作业题、讨论题： 作业题： P90: 6.2.2.3

课后总结分析：

第 9次课 学时 2 授课题目（章，节） 第四章 定积分

§3定积分的计算方法

授课类型（请打√）

理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□

教学目的：

1、了解定积分的换元积分法和分部积分法；

2、掌握换元积分法和分部积分法求函数的定积分。 教学方法、手段： 讲授法，板书。

教学重点、难点：

重点：定积分的换元积分法和分部积分法；

难点：会运用换元积分法和分部积分法求函数的定积分。

教学内容及过程设计

补充内容和时间分配 一、课前复习

课件展示：曲边梯形的图形，利用图形讲解上节课所学习的主要的内容。

设计思路：给出一些习题，让学生们通过做练习，加强对上节课所学知识的理解和运用。

课件展示：上节课所学习的主要知识点。 二、讲授新课 1、定积分的换元法

课件展示：定积分的换元法。

注意：在使用定积分换元公式时，用)(t x ?=进行代换的同时，积分上下限应同时换成新变量t 的积分上下限。

设计思路：通过例题的讲解，让学生们练习，加强理解求定积分的换元法。 2、定积分的分部积分法

老师带领学生们复习前面所学习的不定积分的分部积分法，通过以前所学习的不定积分的分部积分法，推导出定积分的分部积分法。

课件展示：定积分的分部积分法。

设计思路：给出例题，学生们相互讨论，并回答老师的提问，以便能熟练掌握定积分的分部积分法。 三、典型例题

例1 利用换元法求下列函数的定积分。

（1）dx x

x ?--1145；

（2）dx x a a

?-022； （3）dx x x ?20

cos sin π；（4）?++4

1

1

22dx x x 。

例2利用分部积分法下列函数的定积分。

（1）dx xe x ?1

0；（2）dx x ?3

0arctan ；（3）?1

0dx e x 。

（15分钟）

（20分钟）

（20分钟）

5分钟学生消化以上所讲的知识。

（20分钟）

四、课堂小结

（10分钟）采用师生互动的形式，回顾本节课所学习的主要内容：定积分的换元法，定积分的

分部积分法。

思考题、作业题、讨论题：

作业题：

P9 3: 1.（1） (2）（6）

课后总结分析：

高数课本课后必做习题

《高等数学》（同济六版）基础复习教材基础练习题范围完整版（数学二） 2015-03-17 文都-汤家凤 第一章函数与极限 习题1—5（P49） 1（1）~（（14） 习题1—6（P56） 1（1）~（6）、2（1）~（4）、4（1）~（5） 习题1—7（P59） 4（1）~（4） 习题1—8（P64） 3（1）~（4）、4 习题1—9（P69） 3（1）~(7)、4（1）~（6） 习题1—10（P74） 1、2、3、5 总习题一（P74） 2、3（1）（2）、9（1）~（6）、10、11、12、13。 第二章导数与微分 习题2—1 5、6、7、8、9（1）~（6）、11、13、14、15、16、17、18、19、20 习题2—2 2（1）~（10）、3（1）~（3）、5、6（1）~（10）、7（1）~（10）、8（1）~（10）、10（1）~（2）、11（1）~（10）、13、14 习题2—3 1（1）~（12）、3（1）~（2）、4、10（1）~（2） 习题2—4 1（1）~（4）、2、3（1）~（4）、4（1）~（4）、5（1）~（2）、6、7（1）~（2）、8（1）~（4） 习题2—5 2、3（1）~（10）、4（1）~（8） 总习题二 1、2、3、6、7、8（1）~（5）、9（1）~（2）、11、12（1）~（2）、13、14。 第三章微分中值定理与导数的应用 习题3—1 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 习题3—2 1（1）~（16）、2 习题3—3 1、3、4、5、7、10（1）~（3） 习题3—4 1、2、3（1）~（7）、5（1）~（5）、6、8（1）~（4）、9（1）~（6）、10（1）~（3）、12、13、14 习题3—5 1（1）~（10）、2、4（1）~（3）、8、9、10、16

高职高专高等数学第一章教案

第一章 函数、极限、连续 教学要求 1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。 2.理解数列极限、函数极限的定义。 3.掌握极限的四则运算法则。 4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。 5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。 6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点 函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 函数 一、函数的定义与性质 1.集合； 2.邻域； 3.常量与变量； 4.函数的定义； 5.函数的特性。 二、初等函数 1.反函数； 2.复合函数； 3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质 1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ? 2集合的表示法： 列举法 12{,, ,}n A a a a = 描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系: 若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ?；若A B ?且A B,≠ A B 则称是的真子集；若A B ?且B A ?，则A B =。

4常见的数集 N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ??? 5例 {1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C = 不含任何元素的集合称为空集, 记作? 例如, 2 {,10}x x R x ∈+==? 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ?B ? {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ?B ?{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ?{x ∣x ∈A 且x ?B} 4) 补（余）?S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律 (1) A ?B= B ?A , A ?B =B ?A (2)（A ?B )?C =A ?(B ?C) , (A ?B)= A ?(B ?C) (3)（A ?B ) ? C =(A ? C )?(B ? C) （A ? B ) ? C =(A ? C ) ? (B ? C) (4) (),()c C C c c c A B A B A B A B ?=??=? 注意A 与B 的直积A ?B ?{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ?R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R} 表示xoy 面上全体点的集合, R R ?常记为2 R 7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+ 点a 的去心δ邻域记做0 ()U a δ ，0(){0}U a x x a δδ=<-<。 注意：邻域总是开集。 8常量与变量: 在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的. x δ δ

高等数学上册教案

高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word

word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

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授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解）

p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

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目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集：

高等数学教案

高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学教案

教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C );

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数

第十一章 无穷级数 教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函 数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 ： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。 教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；

高职高等数学课件

高职高等数学课件 (二)高职高等数学教育虽重要，但没引起足够重视。 高职教育是高等教育的重要组成部分，《高等数学课程对高职生素质培养的重要性》中阐述了高等职业教育的目标、人才规格决定了高等数学教育不容忽视的重要地位，并针对高职教育现状与高职生特点，结合高等数学特质与素质教育的功能，说明了高等数学课程的重要性，但由于客观与某些人的主观臆断，以高等数学课程为代表的公共课并没有得到足够重视。鉴于此，在此呼吁高等数学日后教育教学的改革方向是增强师资力量、提高教师素养、改革教学方法提高学生学习兴趣等。 (三)高职高等数学的教学有待改革。 虽然高职教育在整体趋势上是积极进取的，是逐渐适应这个社会发展的，但面临社会的发展与生源的紧缺、就业率有待提高的紧迫局势，高职院校仍然在教学上面临着诸多困难。郭倩茹在《浅谈高职院校中高等数学教学的现状及问题解决策略》一文中，认为高职院校中高等数学教育的教材编制不合理，与高职教育不适应;高等数学教学没高职特色，与专业脱轨;评价机制落后，考核体系陈旧。与此同时，在描述高等数学教育现状的同时，提出了诸如规范教材与专业接轨、活跃课堂气氛、构建评价、考核新体系等。最后，强调高职院校一定要以学生的特点作为教育的先决条件，因材施教。这正是教育工作者所要考虑的，也是我国高职院校培养人才的目标与宗旨，一切为了学

生，为了学生的一切。 二、高职高等数学教学中存在问题的成因 (一)高等数学不被重视。 大多数高职院校偏重于职业技能的培养和实践活动的开展，作为专业基础课的高等数学学时时多时少，只是专业教学计划里专业课的替补而已。这在综合性的职业院校不常见，但在专业系别少的管理不严格的小职业院校是家常便饭，这无形中也造成了高等数学可有可无的尴尬境地。 (二)高职教师知识更新跟不上，教学方法与教学手段单一，教学态度不积极、忽略学生的德育教育与职业生涯规划导向等。 有些高职院校是中专合并等形式转轨而成或新成立的，万事在摸索前进。大部分教师还停留在原来的教学步伐上，高职教育的先进理论知识不够，年纪大一点的教师甚至根本不关心高职教育的改革与发展，混退休的大有人在。一些教师虽然胜任课程知识的讲解，但不求创新，教学方法单一，教学手段传统，而且对学生的德育与职业生涯规划引导、管理漠不关心，认为只是班主任与学生管理人员的责任，这在某种程度上疏忽了学生课上的教育与管理，这也是教学质量不高的原因之一。 (三)学生入学的数学基础整体较差，学习动力不足，缺乏学好数学的信心。 随着高职院校的扩大招生，高职学生数学基础整体较差。中学的数学知识点繁多、灵活多变且有很大的连续性，这让中学基础差的学

大学高等数学教材

大学高等数学教材 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高数同济7版教案第一章函数与极限

广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限

（一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y.

第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)

第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 、OM 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7 a b c

－4 2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么a a a 0 = 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数 λ，使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =AB ，b =AD ，试用a 和b 表示向量MA 、MB 、MC 和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→ → ==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以 2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

高职《高等数学》教学大纲

《高等数学》课程教学大纲一、课程基本信息

二、课程内容与基本要求 1．理解函数的定义；了解分段函数、基本初等函数、反函数、复合函数的概念；会建立简单实际问题的函数模型。 2．了解极限的描述性定义，了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质；会用两个重要极限公式求极限，掌握极限的四则运算法则。理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类；会用函数的连续性求极限。 3．理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数描述一些简单的问题；熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式；熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数一阶导数的求法；了解高阶导数的概念；了解可导、可微、连续之间的关系。 4．了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理；会用洛必达法则求极限；掌握利用一阶导数判断函数的单调性、极值和最值的方法；会用二阶导数判断函数图形的凹向及拐点，能描绘简单的函数图形。 5．了解原函数、不定积分的概念及性质；掌握不定积分的基本公式；会用换元法和分部积分法求不定积分。 6．理解定积分的概念及其性质，了解定积分的几何意义，了解变上限的定积分的性质；熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法和分部积分法。 三、学时分配表

四、对学生能力培养的要求 高等数学是各专业必修的一门重要基础课程，它对培养、提高学生的思维素质，创新能力，科学精神，治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。在授课中应紧密结合实际问题，分析一些代表性的专业相关问题，并建立数学模型。 本大纲所列内容为基本内容，它们是根据课程的基本要求和实用够用的原则规定的，是学生必须掌握的最低限度的基本知识，学生在规定教学时数内能够掌握和了解。 对理论教学内容的深浅程度，采用两个层次，即：对原理性和概念性内容采用“理解”和“了解”两个层次，对于运算性和应用性的内容采用“掌握”和“了解”两个层次。教师要求学生按不同层次理解教学内容的深度和广度。

同济版高等数学教案定积分

第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 1

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 2 的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程