中考数学专题复习：四边形综合

中考数学专题复习：四边形综合

1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF．

（1）求证：△EGF≌△EDF；

（2）求证：BG＝CD；

（3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长．

2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE 交AD延长线于点F．

（1）求证：四边形AECF为矩形；

（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求tan∠OEC的值．

3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤5．

（1）若G，H分别是AB，DC中点，则四边形EGFH是______________（E、F相遇时除外，写出图形名称）；

（2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值；

（3）若G，H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值．

4．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点M为射线DC上的动点，射线AM交BD于E，交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q．

（1）当BE＝2DE时，求DM的长．

（2）当M在线段CD上时，若CQ＝3，求MF的长．

（3）①当DM＝2CM时，作点D关于AM的对称点N，求tan∠NAB的值．

②若BE＝4DE，直接写出△CQE与△CMF的面积比_________________．

5．阅读材料：

平面直角坐标系中点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的折线距离，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|，其中的“+”是四则运算中的加法，例如点P（1，2）的折线距离[P]＝|1|+|2|＝3．

【解决问题】

（1）已知点A（﹣2，4），B（+，﹣），直接写出A、B的折线距离[A]，

[B]；

（2）若点M满足[M]＝2，

①当点M在x轴的上方时，且横坐标为整数，求点M的坐标；

②正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），当正方形EFGH上

存在点M时，直接写出t的取值范围．

6．如图所示，已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC，BD的交点，连接CE，DG．

（1）求证：△DOG≌△COE；

（2）若DG⊥BD，正方形ABCD的边长为2，线段AD与线段OG相交于点M，且∠OMD ＝75°，求CE的长；

（3）在（2）的条件下，把正方形OEFG绕点O旋转，直接写出点B到点F的最短距离．

7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°．点P从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作PM⊥BC于点M，连接PQ、QM．

（1）请用含有t的式子填空：AQ＝，AP＝，PM＝；

（2）是否存在某一时刻使四边形AQMP为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由；

（3）当t为何值时，△PQM为直角三角形？请说明理由．

8．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，M 是AB 的中点，过B 作BD ∥AC ，交CM 的延长线于点D ．求证：AC ＝BD ；

【尝试应用】（2）在（1）的情况下，在线段CM 上取点E （如图2），已知BE ＝AC ＝

，CE ＝2，EM ＝4，求tan D ；

【拓展提高】（3）如图3，菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且CP ＝2AP ，点E 为线段DP 上一点，BE ＝BC ．若PE ＝2，PD ＝3，求菱形ABCD 的边长．

9．如下图所示，解答问题．

例1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 已知：如图，在△ABC 中，AD ＝DB ，BE ＝EC ，AF ＝FC ． 求证：AE 、DF 互相平分． 证明：连接DE 、EF ．

请写出完整的解题过程．

【拓展】如图②，设图①中的AE 与DF 的交点为G ，连接CD ，分别交AE 、EF 于点H 、K ． （1）

＝__________．

（2）若四边形FGHK 的面积为3，则四边形ADEF 的面积为__________．

10．如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．

（1）当m＝1时，求PE的长；

（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△PAB≌△PEB？请说明理由；

（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．

11．如图1，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，点F在边AD上，EF⊥BD，垂足为G．

（1）如图2，当矩形ABCD为正方形时，求的值；

（2）如果＝，AF＝x，AB＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数定义域；

（3）如果AB＝4cm，以点A为圆心，3cm长为半径的⊙A与以点B为圆心的⊙B外切．以点F为圆心的⊙F与⊙A、⊙B都内切．求的值．

12．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是_______；

位置关系是__________；

（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；

（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长．

13．在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到△ADE，旋转角为α（0°＜α＜180°），点B的对应点为点D，点C的对应点为点E．

（1）如图，当α＝60°时，连接BD、BE，并延长BE交AD于点F，则BE＝__________；

（2）当α＝90°时，请画出图形并求出BE的长；

（3）在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE．当∠DAG ＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请猜想四边形AEBC的形状并说明理由．

14．（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系__________，位置关系__________；

（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG 绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．

15．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEEG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；

（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明；

（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝6，试求边AB长的最小值．

参考答案1．（1）证明：∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴△ABE≌△GBE，

∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，

∵∠A＝∠D＝90°，

∴∠EGF＝∠D＝90°，

∵EA＝ED，

∴EG＝ED，

在Rt△EGF和Rt△EDF中，

，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）；

（2）证明：由折叠性质可得，AB＝BG，

∵AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，

∴BG＝DC．

（3）解：由折叠可知AB＝GB，

由（1）知Rt△EGF≌Rt△EDF，

∴GF＝DF，

又∵∠C＝90°，AB＝CD，FD＝CF，

∴GB＝2GF，BF+GF＝3GF，

∵BF2＝BC2+CF2，

∴（3GF）2＝64+GF2，

∴GF＝2，

∴CD＝2GF＝4．

2．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AE⊥BC，

∴四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，

∵在菱形ABCD中，AD＝AB＝BC＝5，AO＝CO，

∴∠OEC＝∠OCE，

由（1）知，四边形AECF为矩形；

∴∠AEC＝90°，

∵AE＝4，

∴BE＝＝3，

∴CE＝3+5＝8，

∴tan∠OEC＝tan∠ACE＝＝＝．

3．解：（1）∵矩形ABCD，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠GAE＝∠HCF，

∵G，H分别是AB，DC中点，

∴AG＝CH，

∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，∴AE＝CF，

∴△AGE≌△CHF（SAS），

∴GE＝FH，∠AEG＝∠CFH，

∴∠GEF＝∠EFH，

∴GE∥FH，

∴四边形EGFH是平行四边形，

故答案为：平行四边形；

（2）连接GH，如图：

∵矩形ABCD，G，H分别是AB，DC中点，

∴四边形GBCH是矩形，

∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴GH＝BC＝4，AC＝＝5，

由①知四边形EGFH是平行四边形，

当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，

∴5﹣2t＝4，解得t＝，

∴四边形EGFH为矩形，则t＝；

（3）∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，∴AE＝CF，

∴四边形EGFH的对角线EF的中点即是AC中点，

若四边形EGFH为菱形，则对角线垂直，且GH必经过AC中点，

过AC的中点O作GH⊥AC交BC于G，交AD于H，如图：

∵AB+GB＝AE＝CF＝CD+DH＝t，

∴CG＝AH，

而由矩形ABCD可得AD∥BC，

∴∠FAH＝∠ECG，

∵AE＝CF，

∴AF＝CE，

∴△AHF≌△CGE（SAS），

∴GE＝FH，∠AFH＝∠CEG，

∴∠HFE＝∠FEG，

∴GE∥FH，

∴四边形EGFH为平行四边形，

又GH⊥AC，

∴四边形EGFH为菱形，

此时，以B为原点，BC所在直线为x轴，建直角坐标系，

则A（0，3），C（4，0），

∴直线AC解析式为y＝﹣x+3，线段AC的中点O（2，），

∵GH⊥AC，且GH过O（2，），

∴GH解析式为y＝x﹣，

令y＝0得x＝，

∴G（，0），

∴AB+BG＝，

∴t＝．

4．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥CD，

∴△ABE∽△MDE，

∴＝，

∵BE＝2DE，AB＝8，

∴＝＝2，

∴DM＝AB＝4；

（2）∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝AB＝8，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠ADE＝∠CDE＝45°，AD∥BC，∴∠EAD＝∠F，

又∵DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE（SAS），

∴∠EAD＝∠ECM，

∵CQ⊥CE，

∴∠ECQ＝90°＝∠BCD，

∴∠ECM＝∠QCF，

∴∠F＝∠QCF，

∴CQ＝FQ，

又∵∠F+∠CMQ＝∠QCF+∠MCQ＝90°，

∴∠CMQ＝∠MCQ，

∴CQ＝MQ，

∴CQ＝MQ＝FQ＝MF＝3，

∴MF＝6；

（3）①a、当点N在正方形内部时，延长AN交BC于点G，如图1所示：∵DM＝2CM，CD＝8，

∴CM＝CD＝，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝AB＝8，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠DAF＝∠F，△MCF∽△ABF，

∴＝＝，

∴CF＝BF，

∴CF＝AB＝4，

∴BF＝AB+CF＝12，

由对称的性质得：∠GAF＝∠DAF，

∴∠GAF＝∠F，

∴AG＝FG，

设BG＝x，则AG＝FG＝12﹣x，

在Rt△ABG中，由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，

即82+x2＝（12﹣x）2，

解得：x＝，

∴BG＝，

∴tan∠NAB＝＝＝；

b、当点N在正方形外部时，连接AN、MN，延长AB交MN于点G，如图2所示：由得出的性质得：∠N＝∠ADC＝90°，AN＝AD＝8，∠AMN＝∠AMD，

同上得：∠BAM＝∠AMD＝∠NMA，

∴AG＝MG，

设NG＝x，则AG＝MG＝16﹣x，

在Rt△ANG中，由勾股定理得：AN2+NG2＝AG2，

即82+x2＝（16﹣x）2，

解得：x＝6，

∴NG＝6，

∴tan∠NAB＝＝＝；

综上所述，tan∠NAB的值为或；

②过E作EP⊥CD于P，如图3所示：

则EP∥BC，

∴△DEP∽△DBC，

∴＝＝，

∵BE＝4DE，

∴BD＝5DE，

∴＝＝＝，

∴DP＝EP＝BC＝，

∵AB∥CD，

∴△MDE∽△ABE，

∴＝＝＝，

∴DM＝AB＝2，＝，

∴CM＝CD﹣DM＝8﹣2＝6，AM＝＝＝2，

∴EM＝AM＝，

∵AB∥CD，

∴△MCF∽△ABF，

∴＝＝＝，

∴MF＝3AM＝6，

同（2）得：CQ＝MQ＝FQ＝MF＝3，

∴EQ＝EM+MQ＝+3＝，

∴△CQE与△CMF的面积比＝＝＝，

故答案为：．

5．解：（1）∵点A（﹣2，4），B（+，﹣），

∴[A]＝|﹣2|+|4|＝2+4＝6，[B]＝|+|+|﹣|＝++﹣＝2；

（2）①∵点M在x轴的上方，其横坐标为整数，且[M]＝2，

∴x＝±1时，y＝1或x＝0时，y＝2，

∴点M的坐标为（﹣1，1）或（1，1）或（0，2）；

②∵正方形EFGH的两个顶点坐标分别为E（t，0），F（t﹣1，0），

∴EF＝1，

若M（﹣1，1）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤﹣1≤t，

∴﹣1≤t≤0，

若M（1，1）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤1≤t，

∴1≤t≤2，

若M（2，0）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤2≤t，

∴2≤t≤3，

若M（﹣2，0）在正方形EFGH上时，

∴t﹣1≤﹣2≤t，

∴﹣2≤t≤﹣1，

综上所述：t的取值范围为﹣2≤t≤0或1≤t≤3．

6．解：（1）∵正方形ABCD与正方形OEFG，对角线为AC、BD，∴DO＝OC，

∵DB⊥AC，

∴∠DOA＝∠DOC＝90°，

∵∠GOE＝90°，

∴∠GOD+∠DOE＝∠DOE+∠COE＝90°，

∴∠GOD＝∠COE，

∵GO＝OE，

∴在△DOG和△COE中，DO＝CO，∠GOD＝∠COE，GD＝OE，∴△DOG≌△COE（SAS）；

（2）∵四边形ABCD为正方形，故∠ODM＝45°，故OD＝，

∵∠OMD＝75°，

∴∠DOG＝60°，

∵DG⊥BD，故∠ODG＝90°，

∴∠OGD＝30°，

∴OG＝2OD＝2，

∴DG＝＝＝，

∵△DOG≌△COE（SAS），

∴CE＝DG＝；

（3）正方形OEFG绕点O旋转，当点O、B、F共线且点B在OF之间时，点B到点F 的距离最短，

由（2）知，在正方形OEFG中，OG＝2，则OF＝OG＝4，

而OB＝OD＝，

故OF﹣OB＝4﹣．

故B到点F的最短距离为4﹣．

7．解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，∴AQ＝t，

∵∠C＝90°，AC＝10，∠A＝60°，

∴∠B＝30°，

∴AB＝2AC＝20，

∴AP＝AB﹣BP＝20﹣2t，

∵PM⊥BC，

∴∠PMB＝90°，

∴PM＝＝t．

故答案为：t，20﹣2t，t；

（2）存在，理由如下：

由（1）知：AQ＝PM，

∵AC⊥BC，PM⊥BC，

∴AQ∥PM，

∴四边形AQMP是平行四边形，

当AP＝AQ时，平行四边形AQMP是菱形，

即20﹣2t＝t，

解得t＝，

则存在t＝，使得平行四边形AQMP成为菱形．

（3）当△PQM为直角三角形时，有三种可能：

①当∠MPQ＝90°时，此时四边形CMPQ为矩形，

在Rt△PAQ中，∠A＝60°，

∴∠APQ＝90°﹣∠A＝30°，

∴AP＝2AQ，即20﹣2t＝2t，

解得：t＝5；

②当∠MQP＝90°时，由（2）知MQ∥AP，

∴∠APQ＝∠MQP＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AQP＝90°﹣∠A＝30°，

∴AQ＝2AP，

即t＝2（20﹣2t），解得：t＝8．

③当∠PMQ＝90°时，此种情况不存在．

综上所述：当t为5或8时，△PQM为直角三角形．

8．解：（1）∵M是AB的中点，则AM＝BM，

∵BD∥AC，∴∠ABD＝∠A，

∵∠AMC＝∠BMD，∴△AMC≌△BMD（AAS），∴AC＝BD；

（2）过点B作BH⊥CD于点H，

由（1）得，CM＝DM＝CE+EM＝6，

∴BE＝AC＝BD＝，

则EH＝HD＝5，

在Rt△BDH中，BH＝＝＝3，

∴tan D＝；

（3）连接CE，延长DP交CB的延长线于点F，交AB于点G，

∵AG∥CD，

∴△CPD∽△APG，

∴，即AG＝CD＝AB，

即点G是AB的中点，

由（1）知，△AGD≌△BGF（AAS），

∴AD＝BF，PD＝2PG＝1+2＝3，GD＝GF，

∴BE＝BF＝BC，

∴∠CEF＝90°，

设菱形ABCD的边长为x，

在Rt△DEC中，CE2＝CD2﹣ED2＝x2﹣1，

∵PD＝2PG＝1+2＝3，则PG＝1.5，则DG＝PD+PG＝4.5，则DF＝2DG＝9，∴EF＝PD﹣DE＝9﹣1＝8，

在Rt△CEF中，CE2＝CF2﹣EF2，即x2﹣1＝4x2﹣82，

解得x＝（负值已舍去），

故菱形ABCD的边长为：．

9．证明：连接DE、EF，

则DE是△ABC的中位线，故DE∥AC，且DE＝AC＝AF，

故四边形DAFE为平行四边形，

∴AE、DF互相平分；

【拓展】（1）解：同理可得，四边形DFCE为平行四边形，则KD＝KC，DF＝EC＝BE，∵DG＝BE，FG＝EC，

∴DG＝FG＝EC，

∵DF∥BC，

∴△DHG∽△CHE，

∴＝，即DH＝HC，

设DH＝x，则HC＝2x，CD＝DH+HC＝3x，则CK＝CD＝x，

故＝，

故答案为；

（2）解：设△HKE的面积为a，

∵DH＝x，HK＝x，则△DHE的面积为2a，

∵G是DF的中点，

+S△EHK，

∴S△DHE+S△DHG＝S

四边形GFKH

即2a+S△DHG＝3+a，故S△DHG＝3﹣a，

∵K是平行四边形DFCE的对角线的交点，故K是EF的中点，

+S△DGH，

同理S△DHE+S△EHK＝S

四边形GFKH

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合 (含答案) 2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合 1.如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的 延长线于G。 1) 证明：因为 AD∥BC，所以∠DGE＝∠XXX，∠GDE ＝∠BCE。又因为 E 是 DC 的中点，即 DE＝CE，所以 △DEG≌△CEB（AAS），从而 DG＝BC。 2) 解：当 F 运动到 AF＝AD 时，FD∥BG。 3) 解：结论：FH＝HD。因为 GE＝BG，又因为△ABG 为等腰直角三角形，所以 AE ⊥ BG。由于 FD∥BG，所以 AE ⊥ FD。又因为△AFD 为等腰直角三角形，所以 FH＝HD。

2.如图，在矩形ABCD中，过 BD 的中点 O 作 EF⊥BD，分别与 AB、CD 交于点 E、F。连接 DE、BF。 1) 证明：因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AB∥CD。因 此∠DFO＝∠BEO，又因为∠DOF＝∠EOB 且 OD＝OB，所 以△DOF≌△BOE（AAS），从而 DF＝BE。因此四边形BEDF 是平行四边形。又因为 EF⊥BD，所以四边形 BEDF 是 菱形。 2) 解：因为 DM＝AM，DO＝OB，所以 OM∥AB，AB ＝2OM＝8.设 DE＝EB＝x，在直角三角形 ADE 中，有 x^2＝ 4^2+（8﹣x）^2，解得 x＝5.因此 ON＝BE＝5√2. 3.(1) 如图1，四边形 EFGH 中，FE＝EH， ∠EFG+∠EHG＝180°，点 A，B 分别在边 FG，GH 上，且 ∠AEB＝∠FEH，求证：AB＝XXX。 2) 如图2，四边形 EFGH 中，FE＝EH，点 M 在边 EH 上，连接 FM，EN 平分∠FEH 交 FM 于点 N，∠ENM＝α， ∠FGH＝180°﹣2α，连接 GN，HN。

中考数学压轴题专项训练：四边形的综合(含答案)

2020年数学中考压轴题专项训练：四边形的综合 1．如图，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，且AB＝AD+BC，E是DC的中点，连结BE并延长交AD的延长线于G． （1）求证：DG＝BC； （2）F是AB边上的动点，当F点在什么位置时，FD∥BG；说明理由． （3）在（2）的条件下，连结AE交FD于H，FH与HD长度关系如何？说明理由． （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DGE＝∠CBE，∠GDE＝∠BCE， ∵E是DC的中点，即DE＝CE， ∴△DEG≌△CEB（AAS）， ∴DG＝BC． （2）解：当F运动到AF＝AD时，FD∥BG． 理由：由（1）知DG＝BC， ∵AB＝AD+BC，AF＝AD， ∴BF＝BC＝DG， ∴AB＝AG， ∵∠BAG＝90°， ∴∠AFD＝∠ABG＝45°， ∴FD∥BG． （3）解：结论：FH＝HD． 理由：由（1）知GE＝BG，又由（2）知△ABG为等腰直角三角形，所以AE⊥BG， ∵FD∥BG，

∴AE⊥FD， ∵△AFD为等腰直角三角形， ∴FH＝HD． 2．如图，在矩形ABCD中，过BD的中点O作EF⊥BD，分别与AB、CD交于点E、F．连接DE、BF． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若M是AD中点，联结OM与DE交于点N，AD＝OM＝4，则ON的长是多少？ （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠DFO＝∠BEO， ∵∠DOF＝∠EOB，OD＝OB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴DF＝BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形． （2）解：∵DM＝AM，DO＝OB， ∴OM∥AB，AB＝2OM＝8，

中考数学专题复习：四边形综合

中考数学专题复习：四边形综合 1．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在四边形ABCD内部，延长BG交DC于点F，连接EF． （1）求证：△EGF≌△EDF； （2）求证：BG＝CD； （3）若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长． 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE 交AD延长线于点F． （1）求证：四边形AECF为矩形； （2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求tan∠OEC的值．

3．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中0≤t≤5． （1）若G，H分别是AB，DC中点，则四边形EGFH是______________（E、F相遇时除外，写出图形名称）； （2）在（1）条件下，若四边形EGFH为矩形，求t的值； （3）若G，H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，与E，F相同的速度同时出发，若四边形EGFH为菱形，求t的值． 4．如图，已知正方形ABCD，AB＝8，点M为射线DC上的动点，射线AM交BD于E，交射线BC于F，过点C作CQ⊥CE，交AF于点Q． （1）当BE＝2DE时，求DM的长． （2）当M在线段CD上时，若CQ＝3，求MF的长． （3）①当DM＝2CM时，作点D关于AM的对称点N，求tan∠NAB的值． ②若BE＝4DE，直接写出△CQE与△CMF的面积比_________________．

中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题(含答案)

中考数学一轮复习《四边形》综合复习练习题（含答案） 一、单选题 1．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） A ．七边形 B ．八边形 C ．九边形 D ．十边形 2．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形BCD E 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（ ） A ．0αβ-= B ．0αβ-< C ．0αβ-> D ．无法比较α与β的大小 3．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝65°，则∠AED ′等于（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 4．若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．6 5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A ．当ABCD 是矩形时，90BAC ∠=︒ B ．当ABCD 是菱形时，AB B C ⊥ C ．当ABC D 是正方形时，AC BD = D ．当ABCD 是菱形时，AB AC =

6．如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．67.5︒ D ．775︒. 7．如图，要拧开一个边长为()=6mm a a 的正六边形，扳手张开的开口b 至少为（ ） A ．43mm B ．63mm C ． 42mm D ． 12mm 8．如图，菱形ABCD 中，∠BAD = 60°，AB = 6，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF ，若点G 恰好为CD 边的中点，则AE 的长为（ ） A ．34 B ．214 C 3154 D ．39．以下说法不正确的是（ ） A ．平行四边形是抽对称图形 B ．矩形对角线相等 C ．正方形对角线互相垂直平分 D ．菱形四条边相等 10．陈师傅应客户要求加工4个长为4cm 、宽为3cm 的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（ ）

2020年中考数学专题《四边形》复习综合训练及答案解析

2020年中考数学总复习《四边形》专题 一、选择题 1.下列命题中，不正确的是（）. A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形． A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 3.如图，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 4.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（） A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 15或16或17 5.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（） A. AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D. AC=BD

6.如下图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB长为（） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 7.如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（） A. 7 个 B. 8个 C. 9个 D. 11个 8.如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于O点.若图中 ∠1,∠2,∠3,∠4的角度和为220°,则∠BOD的度数为( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,则与该菱形面积相等的正方形的边长是（） A. 6cm B. 5cm C. cm D. 7.5cm 10.能够铺满地面的正多边形组合是（） A. 正三角形和正五边形 B. 正方形和正六边形 C. 正方形和正五边形 D. 正五边形和正十边形 二、填空题

中考数学一轮复习：四边形综合训练(全国通用,含答案)

中考数学一轮复习：四边形 综合训练 一、单选题 1．如图，在平行四边形OABC 中，对角线相交于点E ，OA 边在x 轴上，点O 为坐标原点，已知点()4,0A ，3,1E ，则点C 的坐标为（ ） A ．()1,1 B ．()1,2 C ．()2,1 D ．()2,2 2．如图，在平行四边形ABCD 中，ABC ∠的平分线BF 分别与AC 、AD 交于点 E 、 F ，3AB =，2FD =，则EF FB 的值为（ ） A ．25 B ．3 8 C ．37 D ．35 3．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点，G ，H 分别是BD ，AC 的中点，AB ，CD 满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形.（ ） A ．A B CD = B ．AB //CD C ．AC B D = D ．AD BC = 4．如图，在锐角△ABC 中，延长BC 到点D ，过点O 作直线MN ∥BC ， MN 分别交∠ACB 、∠ACD 的平分线于E ，连接AE 、AF ，在下列结论中：①OE ＝OF ；②CE ＝CF ；③若CE ＝12，则OC 的长为6；④当AO ＝CO 时，四边形AECF 是矩形．其中正确的是（ ）

A ．①④ B ．①② C ．①②③ D ．②③④ 5．如图，在正方形ABCD 中，6AB =，点M 在CD 边上，且210AM =AEM △与ADM △关于所在的直线AM 对称，将ADM △按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ） A ．213 B ．25 C ．2 D ．456．如图，在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点 E ．若B F =6，AB =5，则AE 的长为（ ） A 7 B ．27 C ．8 D ．10 7．如图，已知平行四边形ABCD ，CD ＝3cm ，依下列步骤作图，并保留作图痕迹： 步骤1：以B 为圆心，BE 长为半径画弧①，分别交AB ，BC 于点E ，F ； 步骤2：以A 为圆心，以BE 长为半径画弧②，交AD 于点G ； 步骤3：以G 为圆心，以EF 长为半径画弧③，弧②和弧③交于点H ，过H 作射线，交BC 于点M ．则下列叙述不正确的是（ ）

2020年中考数学压轴题专题讲解：四边形综合题(含答案)

备战2020年中考数学压轴题专题讲解：四边形综合题1．如图，四边形ABCD是菱形，120 BAD ∠=?，点E在射线AC上（不包括点A和点)C，过点E的直线GH交直线AD于点G，交直线BC于点H，且// GH DC，点F在BC的延长线上，CF AG =，连接ED，EF，DF． （1）如图1，当点E在线段AC上时， ①判断AEG ?的形状，并说明理由． ②求证：DEF ?是等边三角形． （2）如图2，当点E在AC的延长线上时，DEF ?是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由． 2．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD =，180 B D ∠+∠=?，E，F分别是边BC， CD上的点，且 1 2 EAF BAD ∠=∠，则BE，EF，DF之间的数量关系是EF BE DF =+． （2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF 之间的数量关系是什么？请说明理由． （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处）北偏西30?的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70?的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50?的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 连线的夹角70 EOF ∠=?，试求此时两舰艇之间的距离．

3．将一个等边三角形纸片AOB放置在平面直角坐标系中，点(0,0) B．点C、D O，点(6,0) 分别在OB、AB边上，// DC OA，CB=． ()I如图①，将DCB ?沿射线CB方向平移，得到△D C B '''．当点C平移到OB的中点时，求点D'的坐标； II如图②，若边D C''与AB的交点为M，边D B''与ABB () ∠'的角平分线交于点N，当BB'多大时，四边形MBND'为菱形？并说明理由． III若将DCB () ''，连接AD'，边D C''的中点为P，连接?绕点B顺时针旋转，得到△D C B AP，当AP最大时，求点P的坐标及AD'的值．（直接写出结果即可）． 4．如图（1），在ABC ⊥于点D，20 =， BC cm BAC ∠=?，AD BC ?中，AB AC =，90 =．点P从点B出发，在线段BC上以每秒2cm的速度向点C匀速运动，与此同10 AD cm 时，垂直于AD的直线t从点A沿AD出发，以每秒1cm的速度沿AD方向匀速平移，分

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》 1．如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ． （1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是 ； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 ； （2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由． （3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）． 2．如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（不与C ，D 两点重合），连接BE ，过点C 作CH ⊥BE 于点F ，交对角线BD 于点G ，交AD 边于点H ，连接GE ， （1）求证：△DHC ≌△CEB ； （2）如图2，若点E 是CD 的中点，当BE ＝8时，求线段GH 的长； （3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，当的值为时， 的值 为 ．

3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）． （I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标； （Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标； （Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG． （1）求证：GD＝EG． （2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积． （3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．

中考数学四边形专题训练50题含参考答案

中考数学四边形专题训练50题含答案 (单选、填空、解答题) 一、单选题 1．如图，已知1234290∠+∠+∠+∠=︒，那么5∠的大小是（ ） A ．60︒ B ．70︒ C ．80︒ D ．90︒ 2．在▱ABCD 中，∠A ，∠B 的度数之比为4∠5，则∠C 的度数为( ) A ．60° B ．80° C ．100° D ．120° 3．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 作O E AB ⊥，垂足为E ，则BE 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若1AB =，2AC =，则矩形AEFC 的面积为（ ） A ．2 B C ． D ．32 5．已知∠ABCD 相邻两个内角的比为2：3，则其中较大的内角是（ ） A ．60° B ．72° C ．120° D ．108°

6．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE △）的面积为（ ） A ．6 B ．7.5 C ．10 D ．20 7．如图，在矩形ABCD 中，6cm,8cm AB BC ==，点E 是BC 的中点，点F 是边CD 上一动点，当AEF △的周长最小时，则DF 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图，在四边形ABCD 中，110C ∠=︒，与BAD ∠，ABC ∠相邻的外角都是120°，则α∠的值为（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 9．如图，点 E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点 F ．若38CDE ∠=︒，则BFC ∠的度数为( ) A ．71︒ B ．72︒ C ．81︒ D ．82︒ 10．在平行四边形ABCD 中，点 E 在DC 边上，连接AE ，交BD 于点 F ，若DE ∠EC =3：2，则∠DEF 的面积与∠BAF 的面积之比为（ ）

2021年中考复习数学压轴题：四边形 综合专题练习

2021年中考数学压轴题专题练习：四边形综合复习 1、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线 于点F，连接CF． （1）求证：△BDE≌△FAE； （2）求证：四边形ADCF为矩形． 2、如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证： （1）EA是∠QED的平分线； （2）EF2=BE2+DF2． 3、如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G． （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值． 4、已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，

连接FH 、HE 、BG 、FG ． （1）求证：FG=EH ． （2）若EG 平分∠AEH ，FH 平分∠CFG ，FG//AB ，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF 的度数． 5、如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接DE ，将DE 绕着点E 逆时针旋转90°，得到EG ，过点G 作GF ⊥CB ，垂足为F ，GH ⊥AB ，垂足为H ，连接DG ，交AB 于I ． （1）求证：四边形BFGH 是正方形； （2）求证：ED 平分∠CEI ； （3）连接IE ，若正方形ABCD 的边长为，则△BEI 的周长为 ． 6、如图，正方形CD AB 的边长为1，点E 为边AB 上一动点，连结C E 并将其绕点C 顺时针旋转90得到CF ，连结DF ，以C E 、CF 为邻边作矩形CFG E ，G E 与D A 、C A 分别交于点H 、M ，GF 交CD 延长线于点N ． （1）证明：点A 、D 、F 在同一条直线上； （2）随着点E 的移动，线段D H 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由； （3）连结F E 、MN ，当//F MN E 时，求AE 的长．

2020年九年级中考数学复习专题训练：《四边形综合 》(含答案)

中考数学复习专题训练：《四边形综合》 1．问题发现： （1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC 边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P； 问题探究： （2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4，BD＝DE ＝2，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值． 问题解决： （3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C 处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．

2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE ＝x，EG＝y． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值． 3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H． （1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE． （2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．

2023年春九年级数学中考复习《四边形综合》专题复习训练(附答案)

2023年春九年级数学中考复习《四边形综合》专题复习训练（附答案） 1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AFB，连接EF．下列结论：①BE⊥BF；②△ABC 的面积等于四边形AFBD的面积；③当BE＝CD时，线段DE的长度最短．其中正确的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 2．如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（） A．0个B．1个C．2个D．3个 3．BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE； ②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确结论是（） A．①③B．②③C．①④D．②④ 4．如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，连接CE，连接AE并延长交BC于点G，过点E作EF⊥CE交AD于点F，EH⊥BE交AB于点H，连接CF、HF，下列说法中正确的个数为（）

①∠EAF＝∠EF A；②当∠FCD＝∠HFE时，HF∥BD；③DF+DC＝DE；④S△AEF＝S +S△AHF． △BEH A．1个B．2个C．3个D．4个 5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF．有以下结论：①△AMN∽△BME；②AN＝EN；③BE+DF ＝EF；④当AE＝AF时，，则正确的结论有（） A．4个B．3个C．2个D．1个 6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①；②四边形PECF的周长为4； ③△APD一定是等腰三角形；④AP⊥EF且AP＝EF；⑤EF的最小值为； 其中结论正确的个数是（） A．2B．3C．4D．5 7．在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB 的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（）

中考专题09 四边形综合篇(原卷版)

专题08 四边形综合 知识回顾 1.平行四边形的性质： ①边的性质：两组对边分别平行且相等。 ②角的性质：对角相等，邻角互补。 ③对角线的性质：对角线相互平分。即对角线交点是两条对角线的中点。 ④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。 ⑤面积计算：等于底乘底边上的高。等底等高的两个平行四边形的面积相等。 2.平行四边形的判定： ①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形 ②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。 符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形． ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB，∴四边行ABCD是平行四边形 ④对角线相互平行的四边形是平行四边形。 ∵OA=OC，OB=OD，∵四边行ABCD是平行四边形 3.矩形的性质： ①具有平行四边形的一切性质。 ②矩形的四个角都是直角。 ③矩形的对角线相等。 ④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。 ⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.矩形的判定： （1）直接判定： 有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。 （2）利用平行四边形判定：

①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。 ②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。 5.菱形的性质： ①具有平行四边形的一切性质。 ②菱形的四条边都相等。 ③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。 ④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。 ⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。 6.菱形的判定： （1）直接判定： 四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形 （2）利用平行四边形判定： ①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。 ②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。 7.正方形的性质： ①具有平行四边形的一切性质。 ②具有矩形与菱形的一切性质。 所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。 正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。 8.正方形的判定： （1）利用平行四边形判定： 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（定义判定） （2）利用菱形与矩形判定： ①有一个角是直角的菱形是正方形。 ②对角线相等的菱形是正方形。

2021年中考数学第三轮专题复习：四边形的综合练习

2021年中考数学第三轮专题复习：四边形的综合练习 1、如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的 对角线BD上． （1）求证：BG＝DE； （2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长． 2、如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC 的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2． （1）求线段CE的长； （2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG． 3、如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连结AG，作DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F，设=k． （1）求证：AE=BF． （2）连结BE，DF，设∠EDF=α，∠EBF=β．求证：tanα=ktanβ． （3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S 1和S 2 ，求的最 大值．

4、如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF=AB． （1）求证：EF⊥AG； （2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？ （3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S △PAB =S △OAB ，求△PAB周长的最小值． 5、如图，在矩形ABCD中,AB= 2cm,∠ADB =30°. P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB--BC运动，在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是23cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动.过点P作PN⊥AD，垂足为点N.连接PQ，以PQ，PN 为邻边作▱PQMN.设运动的时间为x(s)，▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2). (1)当PQ⊥AB时，x= ； (2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时，直接写出x的值. 6、在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E． （1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；

2024年中考数学专题复习：四边形综合

2024年中考数学专题复习：四边形综合 一、选择题（本大题共10道小题） 1. (2023绵阳)如图,在边长为3的正方形ABCD 中,∠CDE ＝30°,DE ⊥CF,则BF 的长是( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 2. (2023•芜湖模拟)如图所示,四边形ABCD 是正方形,G 是BC 上的一点,DE ⊥AG 于点E,BF ∥DE 且交AG 于点F.若3AB ＝5EF,则S 阴影:S 正方形ABCD 的值为( ) A.5:9 B.3:5 C.17:25 D.16:25 3. (2023·包头中考)如图,在△ABC 中,AB ＝AC,△DBC 和△ABC 关于直线BC 对称,连接AD, 与BC 相交于点O,过点C 作CE ⊥CD,垂足为C,与AD 相交于点E,若AD ＝8,BC ＝6,则2OE ＋AE BD 的值为( ) A.43 B.34 C.53 D.54 4. (2023·湖北武汉)七巧板是大家熟悉的一种益智玩具,用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块,正好制成一副七巧板(如图②),已知AB=40cm,则图中阴影部分的面积为( ) A.25cm 2 B.3100cm 2 C.50cm 2 D.75cm 2 5. (2023·重庆中考)如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,M 是边AD 上一点,连接OM,过点O 作ON ⊥OM,交CD 于点N.若四边形MOND 的面积是1,则AB 的长为( )

A.1 B. 2 C.2 D.2 2 6. (2023·广西玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形: a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c则正确的是( ) A.仅① B.仅③ C.①② D.②③ 7. (2023绍兴)如图,菱形ABCD中,∠B＝60°,点P从点B出发,沿折线BC－CD方向移动,移动到点D停止.在△ABP形状的变化过程中,依次出现的特殊三角形是( ) 第17题图 A.直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B.直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D.等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 8. (2023春•西城区校级期中)四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,点M,N,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.有下列四个推断: ①对于任意四边形ABCD,四边形MNPQ都是平行四边形; ②若四边形ABCD是平行四边形,则MP与NQ交于点O; ③若四边形ABCD是矩形,则四边形MNPQ也是矩形; ④若四边形MNPQ是正方形,则四边形ABCD也一定是正方形. 所有正确推断的序号是( ) A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 9. (2023·湖北随州)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具,如图,在正方形纸板ABCD 中,BD为对角线,E,F分别为BC,CD的中点,AP⊥EF分别交BD,EF于O,P两点,M,N分别为BO,DC 的中点,连接AP,NF,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板,则在剪开之前,关于该图形,下列说法:①图中的三角形都是等腰直角三角形;②四边形MPEB是菱形;③四边形PFDM的面积占 正方形ABCD面积的1 4 .正确的有( )

中考数学《四边形的综合题》专项练习题及答案

中考数学《四边形的综合题》专项练习题及答案 一、单选题 1．若菱形ABCD的周长是16，∠A=60° ，则对角线BD的长度为（）A．2B．2√3C．4D．4√3 2．如图，将矩形纸片右侧部分的四边形ABCD沿线段AD翻折至四边形AB′C′D的位置．若 ∠DAB=56°,则∠1的度数是（） A．34∘B．56∘C．58∘D．68∘ 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B、D在反比例函数y═ k x（k＞0）的图象上，对角线AC与BD相交于坐标原点O，若点A（﹣1，2），菱形的边长为5，则k的值是（） A．4B．8C．12D．16 4．如图，在∠ABC中，∠C=40 ° ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（）. A．140°B．210°C．220°D．320° 5．如图，在∠ ABCD中，∠B是锐角，点F是AB边的中点，AE∠BC于点E，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，AD＝2，AB＝√6，则AE长为()

A．2B．√5C．32√2D．32√3 6．如图，在∠ABCD中，AE平分∠BAD，交CD边于E，AD=3，EC=2，则DC的长为（） A．1B．2C．3D．5 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm.若以点B为圆心，以4cm长为半径作∠B，则下列选项中的各点在∠B外的是（） A．点A B．点B C．点C D．点D 8．如图，在∠ABCD中，BE平分∠ABC交DC于点E，若∠A=60°，则∠DEB的大小为（） A．130°B．120°C．115°D．110° 9．如图,已知∠ABC与∠CDA关于点O成中心对称,过点O任作直线EF分别交AD,BC于点E,F,则下则结论:①点E和点F,点B和点D是关于中心O的对称点;②直线BD必经过点O;③四边形ABCD 是中心对称图形;④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等;⑤∠AOE与∠COF成中心对称.其中正确的个数为（） A．2B．3C．4D．5 10．一个正多边形的内角和是1440°，则它的每个外角的度数是（） A．30°B．36°C．45°D．60°

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题

2021年中考九年级数学专题复习过关训练：四边形综合型压轴题 1、如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O． （1）求证：BO=DO； （2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长． 2、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M． 求证：AM⊥DF． 3、在⊥ABCD中，P是AB边上的任意一点，过P点作PE⊥AB，交AD于E，连结CE，CP．已知⊥A=60°；

（1）若BC =8，AB =6，当AP 的长为多少时，⊥CPE 的面积最大，并求出面积的最大值． （2）试探究当⊥CPE ⊥⊥CPB 时，⊥ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？ 4、已知：如图9，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是E 、 F ． (1)求证：EF=AE–BE ；(2)连接BF ，如果 BF AF AD DF ，求证：EF=EP ． 5、如图，在⊥ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF=BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．

6、如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD . （1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求tan ADP ∠的值. 7、如图1，2,已知四边形ABCD 为正方形,在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD (或延长线) 于E ，作PF ⊥DC (或延长线)于F ，作射线BP 交EF 于G . （1）在图1中,设正方形ABCD 的边长为2, 四边形ABFE 的面积为y , AP =x ，求y 关于x 的 函数表达式． （2）结论GB ⊥EF 对图13，图14都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图14证明：△FGC ∽△PFB ．

九年级数学中考复习专题：四边形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)

九年级数学中考复习专题： 四边形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（一）1．综合与实践 问题情境 在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，点E是边上一点，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG． 数学思考 （1）连接GD，求证：△ABE≌△ADG； （2）连接FC，求∠FCD的度数； 实践探究 （3）如图②，当点E在BC的延长线上时，连接AE，以AE为边在BC的上方作正方形AEFG，连接FC，若正方形ABCD的边长为4，CE＝2，则CF的长是． 2．如图，正方形ABCD的边长是2厘米，E为CD的中点，Q为正方形ABCD边上的一个动点，动点Q以每秒1厘米的速度从A出发沿A→B→C→D运动，最终到达点D，若点Q运动时间为x秒． （1）当x＝1时，S△AQE＝平方厘米；当x＝时，S△AQE＝平方厘米．（2）在点Q的运动路线上，当点Q与点E相距的路程不超过厘米时，求x的取值范围． （3）若△AQE的面积为平方厘米，直接写出x值．

3．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交C于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG． （1）求证：四边形ECFG是菱形； （2）连结BD、CG，若∠ABC＝120°，则△BDG是等边三角形吗？为什么？（3）若∠ABC＝90°，AB＝10，AD＝24，M是EF的中点，求DM的长． 4．如图1，正方形ABCD沿GF折叠，使B落在CD边上点E处，连接BE，BH．（1）求∠HBE的度數； （2）若BH与GF交于点O，连接OE，判断△BOE的形状，说明理由； （3）在（2）的条件下，作EQ⊥AB于点Q，连接OQ，若AG＝2，CE＝3，求△OQR 的面积． 5．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF． （1）求证：BD、EF互相平分； （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．

专题28 四边形综合-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)

专题28 四边形综合【知识要点】 四边形之间的从属关系 特殊四边形的性质与判定： 【考查题型】

考查题型一四边形综合 典例1．（浙江温州市·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR 的长为（） A．14B．15 C．D． 【答案】A 【提示】连接EC，CH，设AB交CR于点J，先证得△ECP∽△HCQ，可得 1 2 PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可 求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可设AC＝a，则BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可证得四边形 ABQC为平行四边形，由此可得AB＝CQ＝10，再根据勾股定理求得 AC=BC= 求得4 CJ=，进而可求得CR的长． 【详解】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J， ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形， ∴∠ACE＝∠BCH＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°， ∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，

∴点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上， ∵DE ∥AI ∥BH ， ∴∠CEP ＝∠CHQ ， ∵∠ECP ＝∠QCH ， ∴△ECP ∽△HCQ ， ∴ 1 2 PC CE EP CQ CH HQ ===， ∵PQ ＝15， ∴PC ＝5，CQ ＝10， ∵EC :CH ＝1:2， ∴AC :BC ＝1:2， 设AC ＝a ，则BC ＝2a ， ∵PQ ⊥CR ，CR ⊥AB ， ∴CQ ∥AB ， ∵AC ∥BQ ，CQ ∥AB ， ∴四边形ABQC 为平行四边形， ∴AB ＝CQ ＝10， ∵222AC BC AB +=， ∴25100a =， ∴a = ∴AC =BC = ∵11 22 AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅， ∴4CJ =， ∵JR ＝AF ＝AB ＝10， ∴CR ＝CJ ＋JR ＝14， 故选：A ．