2010年数学建模a题参考答案(权威)

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲2410

所属学校（请填写完整的全名）：吉林工程技术师范学院

参赛队员(打印并签名) ：1. 于家浩

2.

3.

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：

日期： 2010 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

题目储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

本文分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。

关键词：积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，我们可以采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

然而许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

我们采用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题，并解决以下两个问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

(b) 小椭圆油罐截面示意图 α 油 油浮子 出油管

油位

探针 注油口 水平线 2.05m

17cm 0.4m

1.2m 1.2m 1.78m (a) 小椭圆油罐正面示意图

图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图 油 油浮

子 出油

管 油位探测装

置 注油口 检

查口 地平线 2m 6m 1m 1m 3 m

油位图1 储油罐正面示意图

油位探针

（1）向罐内注入的油量数都是通过流量计来完成，是准确的；

（2）罐内的储油量只有通过加油机加油流出，并且加油机的计量误差在允许的范围内；（3）不计外部环境的变化对内部油量所产生的影响。

（4）浮标的大小相对于溶剂来说可以忽略。

（5）储油罐中油的密度是均匀的，不考虑水汽、重油等因素的影响。

（6）储油罐的厚度可以忽略。

（7）设注油期间油量无损耗。

（8忽略出油管、检查口、注油口以及油位探针对油位高度的影响。

部分假设在题中给予说明

三、问题的分析

问题一是利用小椭圆型储油罐模型研究变位对罐容表的影响。在无变位的情况下，储油罐的储油量就是对小椭圆型储油罐进行积分；在变为后，要分三步计算油的体积，第一步，在油平面未到达右端底部时，可以沿垂直于油面和地面的方向截得三角形切面，以油面到椭圆原点的距离为L，求出三角形面积，然后再积分；第二步，当油平面到达右端底部之后，可以用先前的结果减去虚拟部分的结果；第三步，当油平面上升到左端的上沿后，储油量为总体积减去上部空余部分的体积，空余部分的体积和第一步的算法相同。

问题二是一个求实际储油罐变位参数的问题，由于平位时储油罐内液体的体积是一个比较规则的立体图形，因此可以用三重积分的方法求出平位时不同高度时液体体积的理论值，即罐容表的理论值，然后再利用积分的方法求出罐内液体体积与纵向偏移角度、横向偏移角度的关系,建立一个体积与变位参数的关系模型，用这个关系模型求出的相关数据和题中给出的数据进行对比，利用最小二乘法实际的变位参数。

四、符号说明

符号表示含义单位h油位高度m

V油位高度为h的两端冠球体储油量总和3m

V油位高度为h时圆柱体的储油量3m

1

V油位高度为h时的储油总量3m

L 贮油罐中间圆柱形的长度m

剩余的符号在解题的过程中说明

五、模型的建立与求解

第（1）题

（一）首先建立罐体未变位时罐容表标定值模型

设油位高度为h，截面作对应的面积为S，对应的罐容表的标定值为V

图1-1储油罐横截面坐标系 图1-2整个储存罐的坐标表示 正常时高度是已知的，只需求出截面的储油面积： 2222222222arcsin 2222arcsin 2224h b b V S L

a

L b y dy

b h b aL y b y b y b

b b aL h b b h b b bh h b π--=?=?--??=-+??-????--=-++????

? 0.89,0.6, 2.45a m b m L m === 带入得到体积V 的公式：

249*0.860.60.6*(* 1.20.18sin()0.09)620.6

h h V h h a π--=-++

（二）建立罐体变位时罐容表标定值模型 见

如图1-4

图1-4 变位时的储存罐的坐标表示

L 表示油平面到椭圆的中心o 的距离，L 可以为负数； a 为长半轴，b 为短半轴；

α为倾斜角（4.1o ）

； 先表示出投影三角形的面积，然后再对Y 轴积分；

22

2222

22

2

2222

202

1,tan 11()2tan 2tan 1()2tan 1()tan 0.89,0.6, 2.45, 4.1MATLAB vpa V 6.9754(0.2136925L 1.06ABC a b L b

o b AB a y L BC AC

a b S AB a y L a b dV a y L dy

a b V a y L dy a

a b L α

ααααα?-=--===--=--=--=====??--?则有：

将代入并用积分得到公式，将其用语

句化为小数可得：

32

22

22228L arcsin(0.3333925L )0.007911(925L )0.5933925L 0.5933925L )L L L ???--?-+?--???-

图1-5 V 与外部虚拟部分的关系

图1-6 标高h 与L 的关系

下面分别计算三种情况下的V 函数，即V 关于h 的数学模型模型： 为方便输入，一些复杂的表达式由字母代替 ①0

3

2

6.9753[0.2136 1.068sin(0.333)0.007911]V m n a m m =?-??-?

②0.1469

()

()

()

()

3

222

3

2226.97530.2136 1.068sin 0.33330.0079110.59336.97530.2136 1.068sin 0.33330.0079110.5933V m n a m m m n n n p q a p p p q q q ??=?--?+?- ?

??

??

-?--?+?- ?

??

③ 1.17

()

3

226.97530.2136 1.068sin 0.33330.0079110.59332V abL r s a r r r s π??

=-?--+? ?

??

其中 2

2

2

9250.60.4tan 9250.6 2.05tan 9251.2 2.05tan m n n h p q q h r s s h

ααα=-=--=-=+-=-=+-

罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值如表1。

表1：变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值

高度/m 容积/L 高度/m 容 积/L 高度/m 容 积/L 高度/m

容 积/L 0.01 3.5380 0.31 630.1550 0.61 1841.8820 0.91 3112.4600 0.02 6.2710 0.32 665.5850 0.62 1885.1330 0.92 3151.4020 0.03 9.9820 0.33 701.5320 0.63 1928.7240 0.93 3190.3330 0.04 14.7640 0.34 737.9800 0.64 1972.5660 0.94 3229.1200 0.05 20.7080 0.35 774.9620 0.65 2015.4560 0.95 3266.9230 0.06 27.8610 0.36 812.3540 0.66 2058.7600 0.96 3304.6320 0.07 36.3250 0.37 849.9700 0.67 2102.1940 0.97 3342.0310 0.08 46.1540 0.38 888.2460 0.68 2145.7160 0.98 3378.7240 0.09 57.4070 0.39 926.8420 0.69 2190.0650 0.99 3415.0080 0.10 70.1430 0.40 965.6660 0.70 2232.5120 1.00 3451.2140 0.11 84.4350 0.41 1004.9580 0.71 2275.6870 1.01 3486.4320 0.12 100.2660 0.42 1044.7620 0.72 2319.1350 1.02 3521.2250 0.13 117.7600 0.43 1084.8500 0.73 2362.3410 1.03 3555.4440 0.14 136.9320 0.44 1124.9720 0.74 2405.4020 1.04 3589.1290 0.15 157.8320 0.45 1165.4910 0.75 2448.4360 1.05 3622.2550 0.16 180.2680 0.46 1206.3620 0.76 2491.3850 1.06 3654.5060 0.17 204.3410 0.47 1247.2300 0.77 2534.1380 1.07 3686.2140

0.18 228.9180 0.48 1288.5640 0.78 2576.7220 1.08 3717.0120

0.19 254.8880 0.49 1330.1220 0.79 2619.2560 1.09 3747.4820

0.20 281.8650 0.50 1371.8880 0.80 2661.5380 1.10 3776.8250

0.21 309.7630 0.51 1413.6820 0.81 2704.1520 1.11 3805.5080

0.22 338.5420 0.52 1456.2130 0.82 2745.6210 1.12 3833.3290

0.23 368.1490 0.53 1498.1450 0.83 2788.0020 1.13 3860.1200

0.24 398.5630 0.54 1540.6520 0.84 2828.8520 1.14 3885.9250

0.25 429.8720 0.55 1583.6720 0.85 2870.1360 1.15 3910.6660

0.26 461.5910 0.56 1626.3860 0.86 2911.2650 1.16 3934.2850

0.27 494.2300 0.57 1669.2700 0.87 2952.0810 1.17 3956.4690

0.28 527.2400 0.58 1712.3230 0.88 2992.5580 1.18 3977.0180

0.29 560.9870 0.59 1755.4250 0.89 3032.6030 1.19 3996.9020

0.30 595.2520 0.60 1798.6320 0.90 3072.5700 1.20 4013.3450 正常情况下的容积：

高度/m 容积

/L

高度

/m

容积

/L

高度

/m

容积

/L

高度

/m

容积

/L

高度

/m

容积

/L

0.01 5.3 0.25 620.4 0.49 1578.1 0.73 2617.5 0.97 3559.6

0.02 14.9 0.26 656.0 0.50 1621.0 0.74 2660.0 0.98 3593.6

0.03 27.4 0.27 692.2 0.51 1664.1 0.75 2702.3 0.99 3627.0

0.04 42.0 0.28 728.9 0.52 1707.2 0.76 2744.5 1.00 3659.9

0.05 58.6 0.29 766.0 0.53 1750.5 0.77 2786.4 1.01 3692.1

0.06 76.8 0.30 803.5 0.54 1793.8 0.78 2828.1 1.02 3723.5

0.07 96.6 0.31 841.5 0.55 1837.3 0.79 2869.6 1.03 3754.3

0.08 117.7 0.32 879.9 0.56 1880.8 0.80 2910.8 1.04 3784.4

0.09 140.0 0.33 918.6 0.57 1924.3 0.81 2951.8 1.05 3813.6

0.10 163.6 0.34 957.8 0.58 1967.9 0.82 2992.5 1.06 3842.0

0.11 188.2 0.35 997.2 0.59 2011.5 0.83 3033.0 1.07 3869.6

0.12 213.9 0.36 1037.1 0.60 2055.1 0.84 3073.1 1.08 3896.2

0.13 240.5 0.37 1077.2 0.61 2098.7 0.85 3112.9 1.09 3921.9

0.14 268.1 0.38 1117.6 0.62 2142.3 0.86 3152.4 1.10 3946.6

0.15 296.5 0.39 1158.3 0.63 2185.8 0.87 3191.5 1.11 3970.1

0.16 325.8 0.40 1199.3 0.64 2229.4 0.88 3230.3 1.12 3992.5

0.17 355.8 0.41 1240.5 0.65 2272.9 0.89 3268.6 1.13 4013.6

0.18 386.6 0.42 1282.0 0.66 2316.3 0.90 3306.6 1.14 4033.3

0.19 418.1 0.43 1323.7 0.67 2359.6 0.91 3344.2 1.15 4051.5

0.20 450.3 0.44 1365.7 0.68 2402.9 0.92 3381.3 1.16 4068.1

0.21 483.1 0.45 1407.8 0.69 2446.1 0.93 3417.9 1.17 4082.8

0.22 516.5 0.46 1450.1 0.70 2489.1 0.94 3454.1 1.18 4095.2

0.23 550.6 0.47 1492.6 0.71 2532.1 0.95 3489.8 1.19 4104.9

0.24 585.2 0.48 1535.3 0.72 2574.9 0.96 3524.9 1.20 4110.1 变位前后的相对误差值

高度/m 误差

值/L

高度

/m

误差值

/L

高度

/m

误差值

/L

高度

/m

误差值

/L

高度

/m

误差值

/L

0.01 1.8 0.25190.5 0.49247.9 0.73255.2 0.97217.5 0.028.7 0.26194.4 0.50249.1 0.74254.6 0.98214.9 0.0317.4 0.27198.0 0.51250.4 0.75253.9 0.99212.0 0.0427.3 0.28201.6 0.52251.0 0.76253.1 1.00208.7 0.0537.9 0.29205.0 0.53252.4 0.77252.3 1.01205.6 0.0649.0 0.30208.3 0.54253.2 0.78251.4 1.02202.3 0.0760.2 0.31211.4 0.55253.6 0.79250.3 1.03198.9

0.08 71.5 0.32 214.3 0.56 254.4 0.80 249.3 1.04 195.2 0.09 82.6 0.33 217.1 0.57 255.0 0.81 247.7 1.05 191.4 0.10 93.5 0.34 219.8 0.58 255.5 0.82 246.9 1.06 187.5 0.11 103.8 0.35 222.3 0.59 256.0 0.83 245.0 1.07 183.4 0.12 113.6 0.36 224.7 0.60 256.4 0.84 244.2 1.08 179.2 0.13 122.8 0.37 227.2 0.61 256.8 0.85 242.8 1.09 174.4 0.14 131.2 0.38 229.4 0.62 257.1 0.86 241.1 1.10 169.7 0.15 138.7 0.39 231.5 0.63 257.1 0.87 239.4 1.11 164.6 0.16 145.5 0.40 233.6 0.64 256.8 0.88 237.7 1.12 159.1 0.17 151.5 0.41 235.6 0.65 257.4 0.89 236.0 1.13 153.5 0.18 157.7 0.42 237.3 0.66 257.5 0.90 234.0 1.14 147.4 0.19 163.2 0.43 238.9 0.67 257.5 0.91 231.7 1.15 140.9 0.20 168.4 0.44 240.7 0.68 257.2 0.92 229.9 1.16 133.8 0.21 173.3 0.45 242.3 0.69 256.0 0.93 227.6 1.17 126.3 0.22 178.0 0.46 243.8 0.70 256.6 0.94 225.0 1.18 118.2 0.23 182.4 0.47 245.4 0.71 256.4 0.95 222.9 1.19 107.9 0.24 186.6

0.48

246.7

0.72

255.7

0.96

220.3

1.20

96.8

最大误差257.5L ，平均误差199L 。

第（2）题

第一步：求冠球体在液面高度为h 的储油量公式

把以0R 为半径，以r 为底面半径的球缺放入空间直角坐标系Oxyz ，球心为M(0,r ，-m)，如图2-1所示：

图2-1 空间直角坐标系Oxyz

则球面方程为：2222

0()()x y r z m R +-++=

有球心坐标可知，R 、r 、m 之间有关系式： 2220R r m -= 设液面高度为h ，弓形ACB 的面积为0S ,则储油量为：

0000

h

V S dy =?

而201122

S PA AB m θ=

- 由于球体在坐标平面Oxz 的投影为：

222

20()()x z m R y r ++=-- 则 220()PA R y r =--

在Rt AhP ?中，2222()Ah AP m r y r =-=-- 所以2222()AB Ah r y r ==--

又知

22

22022

22

01()2sin 2()()2arcsin

()AB r y r R y r PA r y r R y r θθ--==----=--那么 故得：22

22

2200

22

0()[()]arcsin ()()

r y r S R y r m r y r R y r --=------- 因此可得一端冠球体在液面高度为h 时的储油量为：

222222000

2200()()arcsin ()()h r y r V R y r m r y r dy R y r ??--????=-----????--????

? 而两端冠球体的出油量总和为：0002V V =

第二步：建立中间圆柱体在液面高度为h 的储油量公式

设圆柱体的半径为R ，长为L ，(其中R=1.5m ，L=8m)液面在ABCD 时的液面高为h ，其容积为1V ,作出如图平面直角坐标系

Oxy

图2-2圆柱体储存罐的平面直角坐标系 则有方程

222()x y R R +-= 即 22()x R y R =-- 设弓形AOB 的面积为S,则： 2200

22()h

h S xdy R y R dy ==--??

则中间圆柱体油罐在液面高度为h 时的储油量为1V S L =

实际储油罐的储油量为01V V V =+

根据上述实际储油罐的储油量计算公式，用matlab 求解，其中，公式中的积分用数值积分的复化梯形公式计算，复化梯形公式的步长为0.0001，最后得到实际储油罐无变位的罐容表标定值，如表二所示。

表2：实际储油罐无变位的罐容表标定值

/h m 30/V m 31/V m 3/V m /h m 30/V m 31/V m 3/V m 0.1

0.0159

0.5784

0.5943

1.6 4.6266 30.67253 35.29913

0.2 0.0739 1.619067 1.692967 1.7 5.0578 33.06013 38.11793

0.3

0.1790 2.943067 3.122067 1.8 5.4787 35.426 40.9047 0.4 0.3312 4.482267 4.813467 1.9 5.8847 37.75933 43.64403 0.5 0.5289 6.194933 6.723833 2.0 6.2713 40.04827 46.31957 0.6 0.7692 8.051333 8.820533 2.1 6.6345 42.28053 48.91503 0.7 1.0487 10.028 11.0767 2.2 6.9701 44.44293 51.41303 0.8 1.3635 12.10573 13.46923 2.3 7.2746 46.52067 53.79527 0.9 1.7095 14.26813 15.97763 2.4 7.5447 48.49733 56.04203 1.0 2.0824 16.5004 18.5828 2.5 7.7779 50.35373 58.13163 1.1 2.4777 18.78933 21.26703 2.6 7.9721 52.0664 60.0385 1.2 2.8907 21.12267 24.01337 2,7 8.1266 53.6056 61.7322 1.3 3.3169 23.48853 26.80543 2.8 8.2419 54.9296 63.1715 1.4 3.7514 25.87613 29.62753 2.9 8.3217 55.97027 64.29197 1.5 4.1895 28.2744 32.4639 3.0 8.3790 56.54867 64.92767

第三步：建立罐内储油量与油位高度以及纵向倾斜角α、横向倾斜角β之间的函数关系式

基本思路如下：

对于储油罐中间圆柱体部分：设游浮子所测出的油位高度为h ，则油面上各点的高度可表示为(2)tan h y α--,即CD=(2)tan h y α--

图2-4 倾斜后油罐坐标表示 图2-5 倾斜时侧面的截面面积

在图2-5中，m DP =，r=1.5m,所以阴影部分的面积可以利用上面求平位油罐液体体积模型时的方法求出为222*arccos(/)S r m r m r m =--

两边球冠的液体体积可以根据上面求无变位油罐液体体积模型是方法近似求出为

222222102200()()arcsin ()()a r y r V R y r m r y r dy R y r ??--????=-----????--????

? 求(),V h α 求(),V h β

(),,V V h αβ=

MATLAB 编程求,αβ

求出样本值 误差分析

这种求解方法存在误差，但是由于两边球冠的体积两边部分误差可抵消，因此误差较小，所以这种求解方法理论上是可行的。

对于左边的球冠，12*tan()a H α=+，而右边球冠：16*tan()a H α=-

在这里分三种情况积分求出倾斜后液体体积： (1)当06tan h α<≤时： 12222222222tan 022000()(*arccos )()arcsin ()()H a m r y r r m r m dy R y r m r y r dy

r R y r α+??--????--+-----????--????

??

(2)当6tan 1.5h α<≤时： 82220

(*arccos )m r m r m dy r

--?12222220220

0()()arcsin ()()a r y r R y r m r y r dy R y r ??--????+-----????--????? +22222220220

0()()arcsin ()()a r y r R y r m r y r dy R y r ??--??

??-----????--????

?

（3）当32*tan() 1.5a h ->> 82220

(*arccos )m r m r m dy r

--?12222220220

0()()arcsin ()()a r y r R y r m r y r dy R y r ??--????+-----????--????

? +22222220220

0()()arcsin ()()a r y r R y r m r y r dy R y r ??--????-----????--????

?

下面我们研究横向偏移的情况，其侧面的界面图如图所示

图2-6 横式倾斜截面图

图2-6中油罐显示高度为H ，实际高度为h ，H>r,由几何关系很容易看出：

cos h r

H r

β-=-，()cos h H r r β=-+

而当油位高度h 比半径r 低的时候，有

cos r h

r H

β-=

-，即()cos h H r r β=-+ 这个h 实际上就是只考虑纵向偏移时的游标显示值，因此只需要将h 的表达式代入到纵向偏移函数式中，就找到了体积V 与,,h αβ的关系，建立出罐体变位后标定变容表的数学模型即罐内储油量与油位高度及变位参数的数学模型。 第四步：

下面利用已建立的储油量与油位高度及变位参数的函数关系，并结合给出的实际数据，反过来对α、β进行求解。因为实际储油罐的储油量初值未知，因此附件2中的D 列所给储油量数据不准确，所以用非线性最小二乘法求参数,αβ，即在参数解空间中找到参数 ,αβ，使得302

201

(,)()i i i T V V αβ==?-?∑最小。即 (,)min (,)T T αβαβ=。其中，i

V ?表示了不同高度1,i i h h +之间对应的理论储油量差，而0i V ?表示了附件2中出油量值。 在04,05αβ≤≤≤≤ 这个范围内以步长为0.01用遍历搜索算法求出α、β的局部

最优解，求解过程通过Matlab 编程实现，程序见附录（2）。最后得到变位参数的局部最优解为α=2.17 ，β=4.22 。

将α、β的值代入到前面建立的模型中，得到实际体积与显示高度的关系，通过这个关系建立出变位后的罐容表标定，如表3所示。

表3：变位后的罐容表

高度/m 实际体积/3m 高度/m 实际体积/3m 高度/m 实际体积/3m

0.1 0.3534 1.1 19.2033 2.1 46.7198 0.2 1.0524 1.2 21.8786 2.2 49.2776 0.3 2.1952 1.3 24.6126 2.3 51.7343 0.4 3.6654 1.4 27.3893 2.4 54.0707 0.5 5.3882 1.5 30.1929 2.5 56.2655 0.6 7.3215 1.6 33.0082 2.6 58.2953 0.7 9.4337 1.7 35.8199 2.7 60.1318 0.8 11.6991 1.8 38.6124 2.8 61.7398 0.9 14.0957 1.9 41.3704 2.9 63.0668 1.0 16.6033 2.0 44.0784 3.0 64.8804

六、模型的检验与误差分析

问题一：

1、在无变位情况下：

对给出的数据做三次拟合，得到h=0:0.01:1.2对应的120组数据，和理论值对比分析，得到平均误差为3.2%。 2、在有变位情况下：

同样对进油的数据做三次拟合，得到h=0:0.01:1.2对应的120组数据，和理论值对比分析，得到平均误差为1.8%。

因为对数据做了三次拟合，在h 较小时，拟合值和原数据值误差较大，导致累积误差增大，平均误差也会增大。由理论值和数据值的对比图形可以看出，二者吻合的比较好，所以我们只取中间80个值做误差分析，得到无变位情况下的平均误差为2.8% ，有变位情况下的平均误差为1.5%。 问题二：

1、在无变位情况下：

给出的数据中，显示的油量容积不是真实值，而是假设没有变位情况下的值，我们可以根据这个值验证无变位情况的数学模型。同样用多项式拟合的方法，得到平均误差为0.3%。 2、在有变位情况下：、

利用有变位下的数学模型和求得的α，β值，验证第二次出油时的相对误差。先求出对应每个显示高度的实际值V0，让后用上一项减去下一项，得到实际的相对误差，和注入油量作比较 ，画出散点图，如图十：利用两者的差值求出平均误差：0.03% 说明我们的模型比较理想。

00.51

1.52

2.5

0.05

0.1

0.15

0.2

0.250.3

0.35

高度/m

临近差值/m 3

图十

红点表示利用模型求出值的上下两项的差值，蓝点为注油量，即实际的差值。

七、模型评价与优化

我们建立的数学模型是基于实际图形的积分计算，但是对于第二问有位偏时候积分比较复杂，我们采用近似积分和数值积分的方法，存在一定的误差。考虑到外界环境已经内部因素如储油罐壁厚等因素，理论值和实际测量值难免有一定的误差，但是误差都在可接受的范围内。我们做出的罐容表的值都是对不同情况积分的理论值，没有添加调谐系数，这样更能直观的反应理论和实际测量之间的误差关系。为了更好的优化，还可以采用拉格朗日近似积分法，差值算法等方法，为了和给出的测量值吻合，也可以适当的在理论值前边加上一个系数。对于两个方向的位偏立体不规则图形的近似积分法，还有很多的研究空间。

参考文献：

[1]刘来福杨淳黄海洋等，数学建模方法与分析，北京，机械工业出版社，2009.5

[2]张传义包革军张彪，工科数学分析（下册），北京，科学出版社，2001.9

[3]王文波，数学建模及其基础知识详解，武汉，武汉大学出版社，2006.5

[4]郑阿奇曹弋，MATLAB实用教程，北京，电子工业出版社，2007.8

[5]姜健飞胡良剑唐俭，数值分析及其MATLAB实验，北京，科学出版社，2004.6

[6]蒲延炳，常见卧式油罐罐表，四川石油财经学院

[7]高恩强（山东昌邑麻纺厂）丰培云（莱芜钢铁总厂供销处），卧式倾斜安装圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算

附录：

（1）第一问中变位后一次性计算h=0:0.01:1.2对应容积的算法

h=0:0.01:1.16;

k=size(h,2);

for i=1:k

m(i)=9-25*(0.6-0.4*0.071681-h(i))^2;

n(i)=0.6-0.4*0.071681-h(i);

p(i)=9-25*(0.6+2.05*0.071681-h(i))^2;

q(i)=0.6+2.05*0.071681-h(i);

if 0<=h<0.1469

f(i)=6.9753*(0.2136*m(i)^(1/2) - 1.068*n(i)*asin(0.33333*m(i)^(1/2)) - 0.0079111*m(i)^(3/2));

else

f(i)=6.9753*(0.2136*m(i)^(1/2) - 1.068*n(i)*asin(0.33333*m(i)^(1/2)) - 0.0079111*m(i)^(3/2) + 0.59333*n(i)^2*m(i)^(1/2) -

0.59333*n(i)*m(i)^(1/2)*(n(i)^2)^(1/2))-6.9753*(0.2136*p(i)^(1/2) -

1.068*q(i)*asin(0.33333*p(i)^(1/2)) - 0.0079111*p(i)^(3/2) +

0.59333*q(i)^2*p(i)^(1/2) - 0.59333*q(i)*p(i)^(1/2)*(q(i)^2)^(1/2));

end

end

（2）第二问中利用模型计算α、β值的M文件

k=size(h);

c=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1. 8,1.9,2.0,2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,3.0,3.1,3.2,3.3,3.4,3.5,3.6,3 .7,3.8,3.9,4.0];

d=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1. 8,1.9,2.0,2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,3.0,3.1,3.2,3.3,3.4,3.5,3.6,3 .7,3.8,3.9,4.0];

e=0;

f=0;

y1(1,1)=0;

for j=1:41

for m=1:41

for i=1:k

v(i)=f3(h(i),c(j),d(m));

end

sum=0;

for n=2:k

v1(n-1)=v(n-1)-v(n);

sum=sum+(v1(n-1)-v0(n-1))^2;

end

y1(j,m)=sum;

end

end

smin=y1(1,1);

for j=1:41

for m=1:41

if (y1(j,m)-smin)<0

smin=y1(j,m);

e=j;

f=m;

end

end

end

e

f

调用f3函数

function [f3]=f3(h,c,d)

a=c*pi/180;

b=d*pi/180;

h1=1.5-(1.5-h)*cos(b);

h2=(1.5+h)*cos(b)-1.5;

if 0

y=0:0.00001:(h1/tan(a)+2);

m=1.5-h1+(y-2)*tan(a);

f=2.25.*acos(m./1.5)-m.*sqrt(2.25-m.^2);

t1=trapz(y,f);

y1=0:0.00001:(h1+2*tan(a));

f1=(0.390625-y1.^2+3.*y1).*asin(sqrt((3*y1-y1.^2)./(0.390625+3.*y1-y1.^2))) -0.625.*sqrt(3.*y1-y1.^2);

t2=trapz(y1,f1);

f3=t1+t2;

end

if 6*tan(a)

y=0:0.0001:8;

m=1.5-h1+(y-2)*tan(a);

f=2.25.*acos(m./1.5)-m.*sqrt(2.25-m.^2);

t3=trapz(y,f);

y1=0:0.0001:(h1+2*tan(a));

f1=(0.390625-y1.^2+3.*y1).*asin(sqrt((3*y1-y1.^2)./(0.390625+3.*y1-y1.^2))) -0.625.*sqrt(3.*y1-y1.^2);

t4=trapz(y1,f1);

y2=0:0.0001:(h2-6*tan(a));

f2=(0.390625-y2.^2+3.*y2).*asin(sqrt((3*y2-y2.^2)./(0.390625+3.*y2-y2.^2))) -0.625.*sqrt(3.*y2-y2.^2);

t5=trapz(y2,f2);

f3=t3+t4+t5;

end

if 1.5

y=0:0.0001:8;

m=1.5-h2+(y-2)*tan(a);

f=2.25.*acos(m/1.5)-m.*sqrt(2.25-m.^2);

t6=trapz(y,f);

y1=0:0.0001:(h2+2*tan(a));

f1=(0.390625-y1.^2+3.*y1).*asin(sqrt((3*y1-y1.^2)./(0.390625+3.*y1-y1.^2))) -0.625.*sqrt(3.*y1-y1.^2);

t7=trapz(y1,f1);

y2=0:0.0001:(h2-6*tan(a));

f2=(0.390625-y2.^2+3.*y2).*asin(sqrt((3*y2-y2.^2)./(0.390625+3.*y2-y2.^2))) -0.625.*sqrt(3.*y2-y2.^2);

t8=trapz(y2,f2);

f3=t6+t7+t8;

end

12年全国数学建模大赛A题获奖作品

承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理. 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会,可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示,在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）: 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）: 所属学校（请填写完整的全名）: 参赛队员(打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名): 日期: 年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）:

编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）: 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）: 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:

基于统计分析的葡萄酒评价模型 摘 要 本文针对葡萄酒评价问题, 指出了两组评酒员评价结果差异, 给出了更可信的小组,根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量确定了酿酒葡萄的分级, 然后建立了酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的回归方程组, 得出了酿酒葡萄和葡萄酒理化指标对葡萄酒质量影响的方程, 最后论证了葡萄酒质量不能完全用这两种理化指标评价. 问题一:首先对两组评酒员打分数据进行预处理,采用了两个独立样本的非参数统计方法进行Mann-Whitney U 检验,证明了两组评酒员评价结果存在显著差异,并通过比较两组打分样本的方差,异常值点等离散型度量,认为第二组的评价结果更加合理. 问题二:首先选取能代表所有葡萄理化指标的变量,利用聚类分析法验证了所选变量具有代表性,然后通过主成分分析得出每种葡萄的理化指标综合得分,依据综合得分将酿酒红葡萄分为3类、白葡萄分为5类,并根据每一类中葡萄所酿造的酒的质量确定该类葡萄的等级. 问题三:应用SPSS 软件,利用回归分析方法建立了酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的回归方程组. 问题四:首先利用Matlab 软件对酿酒葡萄和葡萄酒理化指标运用功效系数法进行无量纲量的转换,综合考虑这两方面因素,得到一个关于量化指标的综合指数,最后将葡萄酒质量作为因变量,量化综合指数作为自变量,利用回归分析方法建立两者的联系,得到回归方程为121317105.001.010*302.9171.10N N N M +-+=-,证明了葡萄酒质量不能完全用这两种理化指标评价. 关键词: Mann-Whitney U 检验 聚类分析 主成分分析 回归分析 功效系数法

2016年数学建模国赛A题

2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）

系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。

2012年数学建模A题优秀论文

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：S55001 所属学校（请填写完整的全名）：郑州科技学院 参赛队员(打印并签名) ：1. 刘超 2. 赵芬芳 3. 尹峰 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：闫天增 日期： 2012 年 9 月 10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

葡萄酒的评价 摘要 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。本文通过对27种红葡萄酒和28种白葡萄的理化指标数据进行分析，采用显著性差异分析法、可靠度分析、因子分析法、相关系数分析、主成分分析法以及聚类分析法，借助统计软件SPSS和数学软件MATLAB，分析了两组评酒员的评价结果有无显著性差异和可信度，给出了酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系，建立了基于酿酒葡萄理化指标和葡萄酒质量的聚类分析模型确定了葡萄酒质量的影响因素，最后通过补充相关信息，建立基于分析模型确定了葡萄酒质量的影响因素。 针对问题一，首先对所有样品的10位评酒员打分的加权平均值进行显著性差异检验，显著性水平取为0.05，通过两组评酒员分别对红葡萄酒和白葡萄酒的显著性检验得出两组评酒员的评价结果有明显差异，最后运用可靠性分析，得到两组评酒员的评价结果的可靠度，结果表明第二组评酒员的评价结果更加可信。 针对问题二，以第二组评酒员的评价结果作为相应葡萄酒样品的质量指标，根据酿酒葡萄理化指标对比葡萄酒的质量利用SPSS软件进行聚类分析，得到酿酒葡萄的聚类树状图，从而将酿酒葡萄分成5个等级。 针对问题三，对葡萄酒的理化指标进行主成分分析，得到葡萄酒的主要成分，然后将每一个主成分与酿酒葡萄的理化指标进行多元回归分析，根据SPSS软件运行结果得出主成分与酿酒葡萄的理化指标的相关性。 针对问题四，利用因子分析分别给出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响因素，将附件3中4个表格里的每张样品中所含各种芳香物质求和作为样品中的芳香指标与葡萄酒的理化指标一并进行因子分析，比较前后两者结果中由样品中的芳香指标导致的影响差异来确定不能只用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量，还需要结合感官指标，感官指标是评价葡萄酒质量的最终及最有效的指标。 关键词：理化指标主成分分析法可信度分析显著差异聚类分析芳香物质

2012年数学建模A题范文

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

2012年数学建模大赛A题解题思路

首先纠正一下对于数学建模的看法，数学建模重要的是一种数学思想，即使是没有牢固的数学根底，一样可以在建模的赛场上大放异彩。 下面先把试题读一下，个人认为的重点词汇已经标出出来。（不要盲目听从任何人所谓的专家建议） A题葡萄酒的评价 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒 员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡 萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒 葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某 一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的 和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？ 附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格） 附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格） 附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格） 解题思路： 1、众所周知，对于同一事物的评价，如果大家的意见越一致，那么评 价的可信度就越高。所以对于问题1的解题思路也就清晰明了了。

我们可以通过离散度（所谓离散程度，即观测变量各个取值之间的 差异程度。它是用以衡量风险大小的指标。）这一概念来对每一组评 酒员作出的评估作出风险分析。显而易见的是若风险评估的值越高，这组评酒员的评价就存在问题了。若风险评估值大小相当，这说明 这两组评酒员是没有明显差异的。 2、题目中要求对葡萄作出评级。看起来似乎没有思路，那么我们可以 动一下我们的小脑筋。既然对于评级我们没有参考标准，那么我们 可以参考评酒员的评价。即使用逆向思维，从评酒员的评分发出， 那么大体上葡萄的分级基本上就能确定下来，根据确定先来的葡萄 分级进行逆推，就可以得出结论。 3、对于这个问题，最直观也是最基本的思路就是看两者之间的趋势。 （作出两者的趋势图）。通过对趋势图的直接观察，两者之间的大体 关系即可确定，然后根据曲线拟合的方法可得出两者间的函数关系。 4、对于问题4的这中学术中称之为白痴型问题，大家肯定一眼就能得 出结论，那就是肯定能用理化指标来评价葡萄酒的质量。但这里有 个前提，就是先分析葡萄和葡萄酒理化指标之间的关系，显然这是 解题的关键。对于这种大量数据的问题，只要通过计算机实现，基 本上不要考虑认为分析，因为在浪费大量时间的前提下基本上不会 得出结论。言归正传，谈一下解题的关键点或者是捷径，可以通过 附件一种的数据来作出评价。至于具体的方法，因为只是初步的讲 解还未作出具体判断。估计会在后续的评论中作出判断。 谢谢大家，小马过河预祝大家考出理想成绩。

2019数学建模国赛a题答案

中国大学生数学建模竞赛： 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2018年，来自全国34个省/市/区(包括香港、澳门和台湾)及美国和新加坡的1449所院校/校区、42128个队（本科38573队、专科3555队）、超过12万名大学生报名参加本项竞赛。 赛事设置： 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争。 指导原则 指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，提高竞赛质量，扩大国际交流，促进科学研究。 规模与数据 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。同学可以向该校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系。 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞

赛。2014年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1338所院校、25347个队（其中本科组22233队、专科组3114队）、7万多名大学生报名参加本项竞赛。 比赛时间 2017年比赛时间是9月14号20:00到9月17号24:00，总共76小时，采取通讯方式比赛，比赛地点在各个高校。比赛时间全国统一的，不可以与老师交流，可以在互联网查阅资料。 同学们在比赛期间应该注意安排时间，以免出现时间不够用的情况。 组委名单 注：第五届专家组任期两年（2010-2011）。2011年底任期届满后，组委会对专家组进行了调整，并决定此后不再对外公布专家组成员名单。 第五届组委会成员名单（2010-2013）及下属专家组成员名单 第四届组委会成员名单及下属专家组成员名单 第一、二、三届组委第一、二、三届组委会成员名单及下属专家组成员名单引各赛区组委会各赛区联系方式列表引 [注1] 各赛区联系人请注意：若本赛区联系e-mail地址发生变化，请通知全国组委会进行修改。 [注2] 全国已成立赛区的有28个省、市、自治区，国内尚未成立赛区的区域组成联合赛区，其他（境外参赛学生）组成国际赛区，共30个赛区。

数学建模A题

2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3：

2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）： 竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 数学课程的成绩分析 摘要 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。 问题一针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel工具得出各门功课的平均值、方差

进行比较分析。 问题二针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，可以运用平均数、方差进行 比较。并对两专业的数学成绩进行T检验，进一步分析其有无显著性差异。 问题三针对各班高数成绩和线代、概率论成绩进行散点图描述建立一元回归线性模型，然后对模 型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。 关键词：平均值方差 T检验一元回归线性模型置信区间 残差 excel matlab 一、问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？ （3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？ （4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习方面的看法。 二、模型假设 1.假设附件中所给的数据为学生真实考试成绩（由于数据的来源要符合真实可靠的原则）； 2.每位学生的成绩之间是相互独立的； 3.同一个专业不同班之间学生的成绩是相互独立的； 4.假设显著性水平是a=0.05; 三、符号约定 X：甲专业高数平均成绩 Y：乙专业高数平均成绩 ：回归系数 ：回归系数 四、问题分析 问题一分析：比较两个专业成绩是否有明显差异可以通过分别求出各自的成绩平均值以及方差等方法，并画出柱状图来形象表示。 问题二分析：比较两个专业数学水平可以在平均值与方差的基础上进行T检验，从而得出结论。 问题三分析:根据处理后的数据分析高数成绩对其他两科的影响，首先根据数据画出散点图进行模型建立，再用matlab进行回归分析，求出回归系数并分析模型的残差，对模型进行改进直至得到较为满意的模型；并根据模型对问题进行分析得出结论。

2006年全国数学建模A题题目和优秀论文赏析

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题:出版社的资源配置 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。 某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。 资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。 本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。 [附录] 附件1：问卷调查表； 附件2：问卷调查数据（五年）； 附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）； 附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）； 附件5：9个分社人力资源细目。

出版社的资源优化配置 摘要 本文针对出版社资源分配问题，在满足利润最大化的追求目标的前提下，以量化分析为基础，对出版社的资源进行优化合理的分配。 首先，对题目给出的海量数据进行分析，提取有用的信息，以学科为基本单位，从市场满意度，市场占有率和经济效益三项指标来综合考虑总的效益。根据盈利和销售额的同一性，预测出06年的实际销售额。利用层次分析法，确定了三项指标的权重，将所得数据归一化得到最后的分社的综合排名。 其次，根据出版社人力资源的限制，考虑到每年有限的工作能力问题，求的各分社的工作能力的最小值。而对于各分社计划销量过多与实际销量，为了资源的有效利用，降低申请书号的浪费，又对申请书号进行了校正，得到校正后的有效书号。最后应用贪心算法对06年实际分配到的书号做出了分配。

2012年数学建模A题资料

（一）葡萄酒观察方法 1 酒液总体观察 1.1 澄清度观察 衡量葡萄酒澄清程度的指标有透明度、浑浊度等，与之相关的指标还有是否光亮、有无沉淀等。优良的葡萄酒必须澄清、透明(色深的红葡萄酒例外)、光亮。 a.澄清：是衡量葡萄酒外观质量的重要指标。澄清表示的是葡萄酒明净清澈、不含悬浮物。通常情况下，澄清的葡萄酒也具有光泽。 b.透明度：表示的是葡萄酒允许可见光透过的程度。 红葡萄酒如果颜色很深，则澄清的葡萄酒也不一定透明。 c.浑浊度：表示的是葡萄酒的浑浊程度，浑浊的葡萄酒含有悬浮物。葡萄酒的浑浊往往是由微生物病害、酶破败或金属破败引起的。浑浊的葡萄酒其口感质量也差。 d.沉淀：指的是从葡萄酒中析出的固体物质。沉淀是由于在陈酿过程中，葡萄酒构成成份的溶解度变小引起的，一般不会影响葡萄酒的质量。 1.2 颜色观察 葡萄酒的颜色受酒龄影响，新红葡萄酒由于源于果皮花色素苷的作用，通常颜色鲜艳，为紫红色和宝石红色，带紫色色调；在葡萄酒的成熟过程中，丹宁逐渐与游离花色素苷等结合而使成年葡萄酒带有黄色色调。瓦红或砖红色为成年红葡萄酒的常有的颜色，而棕红色则为在瓶内陈酿10年以上的红葡萄酒的颜色。因此，可根据颜色，判断葡萄酒的成熟状况。 葡萄酒的颜色和口感的变化存在着平行性，颜色和口感之间必须相互协调平衡。颜色的深浅反应葡萄酒的结构、丰满度以及尾味和余味。如在红葡萄酒中，颜色的深浅与丹宁的含量往往正相关。如果红葡萄酒颜色深而浓，几乎处于半透明状态，多数情况下它必然醇厚、丰满、丹宁感强。相反，色浅的葡萄酒，则味淡、味短。当然，如果较柔和，具醇香，仍不失为好酒。例如瓦红色的红葡萄酒，必须与浓郁的醇香和柔顺的口感同时存在，否则表明该酒是人工催熟条件下陈酿而未能表现出最佳感官质量。 带紫色的新葡萄酒往往口味平淡、瘦弱、尖酸、粗糙；褐色过重的成年葡萄酒，氧化过重、老化。 1.3 浑浊度观察 观察葡萄酒有无下列情况：略失光，失光，欠透明，微混浊，极浑浊，雾状混浊，乳状混浊； 1.4 沉淀观察 观察葡萄酒有无下列情况：有无沉淀，沉淀类型：纤维状沉淀，颗粒状沉淀，絮状沉淀，酒石结晶，片状沉淀，块状沉淀。 2 酒液表面观察 2.1 流动性观察 如果葡萄酒不正常，则其流动性差；如倒时无声，无气泡，呈油状。 --灰腐病危害的葡萄酿的酒； --酒发生了由乳酸菌引起的油脂病。 2.2观察液面方法 方法A：用食指和姆指捏着酒杯的杯脚，将酒杯置于腰高，低头垂直观察葡萄酒的液面。或者将酒杯置于品尝桌上，站立弯腰垂直观察。 方法B：如果葡萄酒透明度良好，也可从酒杯的下方向上观察液面。 正常葡萄酒的液面标准 a. 葡萄酒的液面呈圆盘状； b. 葡萄酒的液面洁净、光亮、完整； c. 透过圆盘状的液面，可观察到"珍珠"，即杯体与杯柱的联接处。表明葡萄酒具有良好的透明性。

2012数学建模A题葡萄酒答案

图一的两组红葡萄酒的平均值、和标准差 第二组红葡萄酒 标准差平均值标准差酒样品1 9.638465 酒样品1 68.1 9.048634 酒样品2 80.3 6.307843 酒样品2 74 4.027682 酒样品3 80.4 6.769211 酒样品3 74.6 5.541761 酒样品4 68.6 10.39444 酒样品4 71.2 6.425643 酒样品5 73.3 7.874713 酒样品5 72.1 3.695342 酒样品6 72.2 7.728734 酒样品6 66.3 4.595892 酒样品7 71.5 10.17895 酒样品7 65.3 7.91693 酒样品8 72.3 6.634087 酒样品8 66 8.069146 酒样品9 81.5 5.739725 酒样品9 78.2 5.072803 酒样品10 74.2 5.51362 酒样品10 68.8 6.014797 酒样品11 61.7 7.91693 酒样品11 61.6 6.168018 酒样品12 53.9 8.924996 酒样品12 68.3 5.012207 酒样品13 74.6 6.703233 酒样品13 68.8 3.910101 酒样品14 73 6 酒样品14 72.6 4.812022 酒样品15 58.7 9.250225 酒样品15 65.7 6.429965 酒样品16 74.9 4.254409 酒样品16 69.9 4.483302 酒样品17 79.3 9.381424 酒样品17 74.5 3.02765 酒样品18 59.9 6.871034 酒样品18 65.4 7.089899 酒样品19 69.4 6.25744 酒样品19 72.6 7.426679 酒样品20 78.6 5.103376 酒样品20 75.8 6.250333 酒样品21 77.1 10.77497 酒样品21 72.2 5.95912 酒样品22 77.2 7.11493 酒样品22 71.6 4.926121 酒样品23 85.6 5.699903 酒样品23 77.1 4.976612 酒样品24 78 8.653837 酒样品24 71.5 3.27448 酒样品25 69.2 8.038795 酒样品25 68.2 6.613118 酒样品26 73.8 5.593647 酒样品26 72 6.44636 酒样品27 73 7.055337 酒样品27 71.5 4.527693 图二两组白葡萄酒的平均值、和标准差 第一组白葡萄酒第二组白葡萄酒 干白品种平均值标准差干白品种平均值标准差 酒样品1 82 9.60324 酒样品1 77.9 5.087021 酒样品2 74.2 14.1798 酒样品2 75.8 7.00476 酒样品3 85.3 19.10817 酒样品3 75.6 11.93687 酒样品4 79.4 6.686637 酒样品4 76.9 6.488451 酒样品5 71 11.24475 酒样品5 26.1 5.126185 酒样品6 68.4 12.75583 酒样品6 75.5 4.766783 酒样品7 77.5 6.258328 酒样品7 74.2 1.212265 酒样品8 71.4 13.54991 酒样品8 72.3 5.578729 酒样品9 72.9 9.631545 酒样品9 80.4 10.30857 酒样品10 74.3 14.58348 酒样品10 79.8 8.390471

2012年全国数学建模A题参考答案

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题葡萄酒的评价 确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。每个评酒 员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡 萄酒的质量。酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒 葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。附件1给出了某 一年份一些葡萄酒的评价结果，附件2和附件3分别给出了该年份这些葡萄酒的 和酿酒葡萄的成分数据。请尝试建立数学模型讨论下列问题： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信？ 2. 根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。 3. 分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。 4．分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？ 附件1：葡萄酒品尝评分表（含4个表格） 附件2：葡萄和葡萄酒的理化指标（含2个表格） 附件3：葡萄和葡萄酒的芳香物质（含4个表格） 答案仅供参考： 1. 分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异 根据表1计算的各取样点葡萄质量综合评分结果, 结合当地气象资料,

进行相关普查和回归分析, 挑选出 相关性显著, 并通过0. 01显著性检验的11个因子, 果实着色期平均最低气温(Tn45 )、果实着色期平均日较差 (D45 )、果实着色期平均相对湿度(U45 )、果实着色期降水量(R 45 )、果实着色期水热系数(K 45 )、全生育期平均 相对湿度(Ug )、全生育期降水量(Rg )、全生育期水热系数(Kg )、7~ 8月份降水量(R 7- 8 )、日照时数( S7- 8 )、水 热系数(K 7- 8 )。利用DPS3. 01 数据处理系统对这些影响因素进行因子分析, 并进行倾斜旋转( promax rotation)得到11种影响酿酒葡萄品质气象因子结构如表5。 表5表明, 11种影响酿酒葡萄综合品质的因子可归纳为5类因子(F 1 ~ F 5 ), 而F1对葡萄综合品质的贡献 率可以达到88. 3%, 前3类因子累计贡献率可达96. 8%。 将表5前3个因子的构成提取出来, 结果列入表6。 表6表明: 影响酿酒葡萄的主要气象因子是R45、K 45、Rg、K g、R 7~ 8、K 7~ 8, 其次是D 45、U45、Ug、U7~ 8; 再次是 TN45。因此, 可以说, 影响酿酒葡萄综合品质的因素主要是果实着色期、全生育期和7 ~ 8月份的降水量和水 热系数, 其中降水量起主导作用。果实着色期日较差和全生育期平均相对湿度对酿酒葡萄综合品质的形成也 2期张晓煜等: 酿酒葡萄品质评价及其对气象条件的响应 743 有重要影响, 影响相对较小的是果实着色期的最低气温。这些研究结

2008年数学建模竞赛题目(A题)

2008年数学建模竞赛题目(A题)

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题数码相机定位 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。

图 1 靶标上圆的像 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC 边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

图3 靶标的像 请你们： （1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面； （2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786； （3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

2014全国大学生数学建模a题

2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛a题 摘要 2013年嫦娥三号成功发射，标志着我国航天事业上的又一个里程碑，针对嫦娥三号软着陆问题，分别建立着陆前轨道准备模型和软着陆轨道模型，建立动力学方程，以燃料最省为目标进行求解。 问题一： 在软着陆前准备轨道上利用开普勒定律、能量守恒定律以及卫星轨道的相关知识，利用牛顿迭代法分别确定了近月点和远月点的速度分别为 1.6925km/s、1.6142km/s，位置分别为（19.91W，20.96N），（160.49E,69.31S）。 问题二： 在较为复杂的软着陆阶段，因为相对于月球的半径，嫦娥三号到月球的表面的距离太小，如果以月球中心建立坐标系会造成比较大的误差，因此选择在月球表面建立直角坐标系，在主减速阶段的类平抛面上建立相应的动力学模型，求出关键点的状态和并设计出相应的轨道，接下来通过利用灰度值阀值分割方法和螺旋搜索法对粗避障阶段和精避障阶段的地面地形进行相应的分析，找出安全点，然后调整嫦娥三号的方向以便安全降落，最后在落地时通过姿态发动机调整探测器的姿态，使之可以平稳的落到安全点上，在以上的各个阶段都可以以燃料最省为最优指标，从而建立非线性的最优规划的动力学模型，并基于该动力学模型可以对各个阶段的制导率进行优化设计由此就可以得到各个阶段的最优控制策略， 问题三： 最后针对所设计的轨道和各个阶段的控制策略进行了误差分析和灵敏度分析。对系统误差和偶然误差都做了解释；通过灵敏度分析发现，嫦娥三号在近月点的位置对结果的影响最大。 关键字牛顿迭代法，灰度值阀值分割，螺旋搜索法，灵敏度分析

一、问题重述 嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。 嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。 根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应的速度大小和方向。 （2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。 （3）对于所设计设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。 二、问题分析 对于问题一，本文通过查找资料，发现嫦娥三号的运行轨道正好符合开普勒定律第一定律，其次根据开普勒第二定律和能量守恒定律，我们可以得出位于近月点以及远月点的速度大小以及方向，然后利用卫星轨道的相关知识，以月球赤道为平面建立空间直角坐标系，根据嫦娥三号的绕行轨道和赤道平面的的夹角计算出近月点和远月点的位置。 对于问题二，本文分为六段建立模型考虑问题，因为嫦娥三号距离月球地面的位置相对月球半径来说太小，所以我们在月球表面建立直角坐标系，根据的要求要在主减速阶段要求到达预订着陆点上方，利用抛物线相关知识建立精确动力学模型，用最优化方法求出结果，得到相应的再该阶段的控制策略。其次在粗避障和精避障阶段，利用距离地面2400米和100米的高程图，使用图像灰度值阀值分割方法和螺旋搜索法，将图中的不同高度的地面进行分割，分两次缩小安全点的位置，然后再最后下落过程中启动小型姿态发动机来进行水平调以便整最终安全着陆。 针对问题三我们从多个方面出发回归整个建模过程，对一些误差进行了分析，得到了减少误差的方法。

数学建模A题优秀论文

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：河南科技大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

城市表层土壤重金属污染分析 摘要 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。城市工业、经济的发展，污水排放和汽车尾气排放等均能引起城市表层土壤重金属污染。而重金属污染对城市环境和人类健康造成了严重的威胁，因此对城市表层土壤重金属污染的研究具有重大意义。 对于问题1，先用MATLAB软件对所给数据进行处理，插值拟合得出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图；再用内梅罗综合污染指数评价法建立模型进行求解。首先用EXCEL对数据进行分析，得出各区的8种重金属的平均浓度；然后结合MATLAB软件求出各 各种元素之间及其与海拔之间的相关系数矩阵和相关度；然后结合第一问给出的空间分布图和区域散点图，参照主要重金属含量土壤单项污染的指数，分析得出各重金属污染的主要原因主要来自工业区、主干道路区和生活区。 对于问题3，由上述问题的分析可以认为重金属的分布是连续的，物质的扩散从高浓度向低浓度进行。在模型一数据处理基础上建立遍历搜索模型，结合MATLAB软件求出重金属空间分布中的极值点即可能的污染源，得出极值点后再结合《国家土壤环境质量标准》通过MATLAB软件对极值点进行筛选，得出8种重金属元素的主要污染源。 对于问题4，对所建立的模型进行分析，找出了各个模型的优缺点。然后分析影响城市地质演化模型的因素，为更好地研究城市地质环境的演变模式，从动态和多元的角度出发，还应搜集采样点的长期动态数据和岩石、土壤、大气、水和生物等因素的相关信息，分别建立动态动态传播模型和城市地质环境的综合评价预测模型。 关键词：梅罗综合污染指数评价法污染等级相关矩阵遍历搜索模型污染源 一、问题重述 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自

2013年数学建模a题

车道被占用对城市道路通行能力影响的研究 摘要 关键词：排队论车辆-速度模型 1 问题重述 车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，就可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。 车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。 问题1：根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。 问题2：根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。 问题3：构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。 问题4：假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。 2 问题分析 2.1 问题1的分析 在一定的间段内，任何车辆通过道路的最大交通体数量。（辆/ (h 车道) 首先对视频1的信息进行提取，先数出事故未发生的时候，单位时间内通过的车辆，在数出发生事故之后单位时间内通过的车辆，注意，一定要在红灯变成绿灯之后的时候，也就车流量处于饱和的时候提取出事故前与事故后的车辆数。对于这一点我们需要进行数据补足，然后通过查找资料定义实际道路通行能力函数，找出基本通行能力，实际通行能力最大交通量，以及设计通行能力之间的函数关系。在计算的时候注意的条件，当实际交通条件与“理想”条件不同时，本研究中所采取的处理方法是计算交通量时按换算系数将不同类型的车辆换算出标准车，建立车速—通行量的的模型。最后得到函数运行的结果后，将结果用图形的形式描述事故所处的横断面积实际通行能力的变化过程。

2010年全国数学建模A题答案

储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，需要采用流量计和油位计来测 量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。需要定期对罐容表进行重新标定。在求解过程中，我们对于罐体无变位、罐体产生纵向变位、罐体在水平和纵向都产生变位三种情况，利用解析几何的方式计算出体积与变位参数之间的关系，同时应用契比雪夫多项式对体积值进行近似多项式展开用以对标高和出油量的关系进行拟合表示，得到较为满意的效果。 第一问、(1)针对无变位情况，我们计算得到椭圆油罐容积表达式为： abl v b h v b h v b h V ??????-+---+=arcsin )(12 2' π椭，利用契比雪夫多项式方法在提高拟合精 度的前提下用5阶多项式拟合处标高和容量之间的函数关系；(2)对于纵向变位的情况，当椭圆型罐体发生变位纵向变位角度O =1.4α时,我们利用体积等效思想，讲上述罐内不规则油量容积的计算转为(1)中规则油容进行计算，利用附件 (1)中数据利用最小二乘拟合方法算出油位高度的真实值，继而利用拟合多项式： 408.5976 -H 395.774852.5322H -13.2498H 1.1361H - 0.0320H 2345++=椭变V 进行间隔为1cm 的此罐容表进行标定，得出的表标定值如下： 1cm 2cm 3cm 4cm ??? 118cm 119cm 120cm 0L 0L 0L 0L ??? 4017.26L 4050.08L 4082.80L 第二问、(1)利用第一问中等体积的思想，我们同样可以对纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β时进行数学模型的建立。(2)在模型的建立过程中得到一个关于浮游子高度H 和偏转角α、β以及等效高度h 之间的一个表达式，从而利用 最小二乘拟合确定变位参数α、β。(3)利用已给数据求得表达式： ααηtan 2tan 10++-=+h R z ， 继而再次利用拟合拟合多项式得出间隔为10cm 值： 10cm 20cm 30cm ??? 280cm 290cm 300cm 1352.17 2223.85 3082.13 ??? 60303.88 60690.98 61807.31 利用附表（2）中的数据进而进行模型正确性与可靠性的检验。 关键词：储油罐 罐容表 变位 契比雪夫公式 等效高度 最小二乘拟合