导数压轴题之极值点偏移归纳总结

极值点偏移问题

一、问题指引

极值点偏移的含义

众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为

2

2

1x x +，则刚好有02

12

x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则2

2

1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<

，则称为极值点左偏；若2

2

1x x m +>，则称为极值点右偏.

如函数x e x x g =

)(的极值点10

=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2

2

1x x +的左边，我们称之为极值点左偏. 以函数函数2x y =为例，极值点为0，如果直线1=y 与它的图像相交，交点的横坐标为1-和1，我

们简单计算：

02

1

1=+-.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移.

当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2

2

10x x x +=

，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2

2

10x x x +=，求证：0)('0>x f .

二、方法详解

(一)基本解法之对称化构造

例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数()e x

f x x -=，已知()()12f x f x =，12x x ≠，证明122x x +>．

再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1）1x ，2x 的范围()1201x x <<<； （2）不等式()()()21f x f x x >->；

（3）将2x 代入（2）中不等式，结合()f x 的单调性获证结论． 小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：

step1：求导，获得()f x 的单调性，极值情况，作出()f x 的图像，由()()12f x f x =得1x ，2x 的取值范围（数形结合）；

step2：构造辅助函数（对结论()1202x x x +><，构造()()()02F x f x f x x =--；对结论()2

120x x x ><，

构造()()2

0x F x f x f x ??

=- ???

），求导，限定范围（1x 或2x 的范围），判定符号，获得不等式；

step3：代入1x （或2x ），利用()()12f x f x =及()f x 的单调性证明最终结论． 下面给出第（3）问的不同解法

【解析】法一：()(1)x

f x x e -'=-，易得()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，x →-∞时，

()f x →-∞，(0)0f =，x →+∞时，()0f x →， 函数()f x 在1x =处取得极大值(1)f ，且1

(1)f e

=,

如图所示.

由1212()(),f x f x x x =≠，不妨设12x x <，则必有1201x x <<<， 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则21

()(1)(1)(1)0x x x

F x f x f x e e

+'''=++-=

->，所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=，也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立.

由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈，所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +>

法二：欲证122x x +>，即证212x x >-，由法一知1201x x <<<，故122,(1,)x x -∈+∞，又因为()f x 在

(1,)+∞上单调递减，故只需证21()(2)f x f x <-，又因为12()()f x f x =，故也即证11()(2)f x f x <-，

构造函数()()(2),(0,1)H x f x f x x =--∈，则等价于证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立. 由22

1()()(2)(1)0x x x H x f x f x e e

--'''=+-=

->，则()H x 在(0,1)x ∈上单调递增，所以()(1)0H x H <=，即已证明()0H x <对(0,1)x ∈恒成立，故原不等式122x x +>亦成立.

法三：由12()()f x f x =，得1212x x

x e x e --=，化简得21

2

1

x x x e

x -=

…①， 不妨设21x x >，由法一知，121o x x <<<.令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入①式，得1

1

t

t x e x +=，反解出11t t x e =

-，则121

221t t x x x t t e +=+=+-，故要证：122x x +>，即证：221

t t

t e +>-，又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0t t t e +-->…②，构造函数()2(2)(1),(0)t

G t t t e t =+-->，

则()(1)1,()0t

t

G t t e G t te '''=-+=>，

故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=，从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，

()(0)0G t G >=，即证②式成立，也即原不等式122x x +>成立.

法四：由法三中①式，两边同时取以e 为底的对数，得221211ln

ln ln x x x x x x -==-，也即21

21

ln ln 1x x x x -=-，从而2

212121212122212111

1

1

ln ln ()

ln ln 1x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x +-++=+==---， 令2

1(1)x t t x =

>，则欲证：122x x +>，等价于证明：1ln 21

t t t +>-…③， 构造(1)ln 2

()(1)ln ,(1)11

t t M t t t t t +==+>--，则22

12ln ()(1)t t t M t t t --'=-， 又令2

()12ln ,(1)t t t t t ?=-->，则()22(ln 1)2(1ln )t t t t t ?'=-+=--，由于1ln t t ->对(1,)

t ?∈+∞恒成立，故()0t ?'>，()t ?在(1,)t ∈+∞上单调递增，所以()(1)0t ??>=，从而()0M t '>，故()M t 在

(1,)t ∈+∞上单调递增，由洛比塔法则知：1

111(1)ln ((1)ln )1

lim ()lim

lim lim(ln )21(1)x x x x t t t t t M t t t t t

→→→→'+++===+='--，

即证()2M t >，即证 式成立，也即原不等式122x x +>成立.

【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的.

【类题展示】已知函数2

)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点21,x x .证明：122x x +<.

法二：参变分离再构造差量函数，由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，

故可整理得：

()()

()()

1

2

122

2

122211x

x x e x e a x x ---==--，设()()()

221x

x e g x x -=-，则()()12g x g x =

那么()()()

2

3

21'1x

x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 递增． 设0m >，构造代数式：()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-??

+--=

-=+ ?+??

设()2111

m

m h m e m -=

++，0m >则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=． 因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有

()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--?->=????????，

而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->?->整理得：122x x +<． 法三：参变分离再构造对称函数

由法二得()()()

221x x e g x x -=-，构造()()(2),((,1))G x g x g x x =--∈-∞，利用单调性可证，此处略.

法五：利用“对数平均”不等式

参变分离得：2

22211)1()2()1()2(2

1--=--=x e x x e x a x x ，由0>a 得，2121<<

将上述等式两边取以e 为底的对数，得22

221211)

1()

2(ln )1()2(ln

x x x x x x +--=+--，

化简得：21212

221)]2ln()2[ln(])1ln()1[ln(x x x x x x -=-------，

故2

121212221)]

2ln()2[ln(])1ln()1[ln(1x x x x x x x x ---------=

)2()2()]

2ln()2[ln()1()1(])1ln()1[ln()]1()1[(21212

221222121x x x x x x x x x x ------+-------+-= 由对数平均不等式得：22122222

1212[ln(-1)-ln(-1)]2

(1)(1)(1)(1)x x x x x x >----+-，

121212[ln(2-)-ln(2-)]22222x x x x x x >----+-（）（）（）（）

，

从而122212122(2)2

1(1)(1)22x x x x x x +->

+-+--+-（）（）1212122212122(2)[4()]2(1)(1)4()x x x x x x x x x x +--+++-=+-+--+

12122212122(2)2

1(1)(1)4()

x x x x x x x x +-+-=

++-+--+

等价于：12122212122(2)20(1)(1)4()x x x x x x x x +-+->

+-+--+12

22121221

(2)[](1)(1)4()

x x x x x x =+-+-+--+ 由22

1212(1)(1)0,4()0x x x x -+->-+>，故122x x +<，证毕.

(二) 含参函数问题可考虑先消去参数

【例2】已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个零点12,x x ，

试证明：2

12.x x e ?>

【解析】法一：消参转化成无参数问题：

ln ()0ln ln x f x x ax x ae =?=?=，12,x x 是方程()0f x =的两根，也是方

程ln ln x x ae =的两根，则12ln ,ln x x 是x x ae =，设1122ln ,ln u x u x ==，()x

g x xe -=，则12()()g u g u =，从而2

121212ln ln 22x x e x x u u >?+>?+>，此问题等价转化成为例1，下略.

法二：利用参数a 作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设12x x >，

∵1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，∴12121212ln ln (),ln ln ()x x a x x x x a x x +=+-=-，

∴

12

12

ln ln x x a x x -=-，欲证明212x x e >，即证12ln ln 2x x +>.

∵1212ln ln ()x x a x x +=+，∴即证12

2

a x x >

+，

∴原命题等价于证明

121212ln ln 2

x x x x x x ->-+，即证：1122122()ln x x x x x x ->+，令12

,(1)x t t x =

>，构造2(1)

ln ,1

)1(t t g t t t -=-

>+，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数：

12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x =

=?=设2121,,(1)x x x t t x <=>，则11

2111

ln ln ln ,ln ln tx t x x tx t t x x +==?=， 反解出：1211ln ln ln ln ,ln ln ln ln ln 111

t t t t

x x tx t x t t t t =

==+=+=---， 故2

12121ln ln 2ln 21

t x x e x x t t +>?+>?>-，转化成法二，下同，略. 【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。

【类题展示】设函数2

1

()2ln (0)f x a x a ax a x

=-

->，函数()f x '为()f x 的导函数，且1122(,()),(,())A x f x B x f x 是()f x 的图像上不同的两点，满足12()()0f x f x +=，线段AB 中点的横坐标

为0x ，证明：0 1.ax >

【解析】∵120121212x x ax x x a a +>?

>?>-，又依题意21

()()0f x a x

'=-≥， 得()f x 在定义域上单调递增，所以要证01ax >，只需证2122

()()()f x f x f x a

-=>-，

即222()()0f x f x a -+<……①，不妨设12x x <，注意到1()0f a =，由函数单调性知，有1211,x x a a

<>，

构造函数2

()()()F x f x f x a

=-+，则32224(1)()()()(2)ax F x f x f x a x ax -'''=--=--，

当1x a ≥

时，()0F x '≤，即()F x 单调递减，当1x a >时，1

()()0F x F a

<=，从而不等式①式成立，故原不等式成立.

【类题展示】已知函数()(0)ax f x x e a =->，若存在1212,()x x x x <，使12()()0f x f x ==，求证：

1

2

x ae x <.

再证12x ae x <.∵111222ln x ax ax x ax x ==，而120x e x <<<，2ln 1x >，∴1122ln 1

x ax ae ae x x =<=.证毕. 【类题展示】已知函数x

ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x .

【解析】因为函数()f x 有两个零点12,x x ，所以???==)

2()1(2

1

21x x ae

x ae x ，

由)2()1(+得：)(2121x x e e a x x +=+，要证明122x x +>，只要证明12()2x x

a e e +>，

由)2()1(-得：1

2

12()x x x x a e e -=-，即1212x x x x a e e -=-，即证12

1

212()2x x x x e e x x e e

+->-211)(2

12121>-+-?--x x x x e e x x ， 不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t

t e >>，因此只要证明：1

21

t t e t e +?>-01)1(2>+--?t

t e e t ， 再次换元令x t x e t

ln ,

1=>=，即证2(1)

ln 0(1,)1

x x x x --

>?∈+∞+

构造新函数2(1)()ln 1

x F x x x -=-+，0)1(=F ，求导2'

22

14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=-=>++，得)(x F 在),1(+∞递增，所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证. (三) 对数平均不等式

我们熟知平均值不等式：,a b R +∈

2

112a b a b +≤≤+ 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是a b =.

（2）我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：

ln ln a b

a b

--

那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式：,?>≠a b a b ln ln 2

a b a b

a b -+-＜＜

以下简单给出证明：

不妨设a b >，设a bx =

，则原不等式变为：2(1)1,

ln 1x x x x -?><<+【例3】设函数()(),x

f x e ax a a R =-+∈其图象与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12x x <.

（Ⅰ）求实数a 的取值范围；

（Ⅰ

）证明：0(()f f x ''<为函数()f x 的导函数）；

【解析】（Ⅰ）()x f x e a '=-，x R ∈，当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，不合题意

当0a >时，易知，ln x a =为函数()f x 的极值点，且是唯一极值点， 故，min ()(ln )(2ln )f x f a a a ==-

当min ()0f x ≥，即20a e <≤时，()f x 至多有一个零点，不合题意，故舍去；

当min ()0f x <，即2a e >时，由(1)0f e =>，且()f x 在(,ln )a -∞内单调递减，故()f x 在(1,ln )a 有且只有一个零点；由2

2

(ln )2ln (12ln ),f a a a a a a a a =-+=+- 令212ln ,y a a a e =+->，则2

10y a

'=-

>，故2212ln 1430a a e e +->+-=->

所以2

(ln )0f a >，即在(ln ,2ln )a a 有且只有一个零点.

（Ⅰ）由（Ⅰ）知，()f x 在(,ln )a -∞内递减，在(ln ,)a +∞内递增，且(1)0f e =>

所以121ln 2ln x a x a <<<<，因为111()0x f x e ax a =-+=，222()0x

f x e ax a =-+=

121211x x e e a x x ==--，即1211

1211

x x e e x x --=--

，所以1212(1)(1)1ln(1)ln(1)x x x x ---=

>---所以1212()0x x x x -+<

，要证：0f '<

，只须证a <

ln a <

11ln(1)x x <--

22ln(1)x x <--

所以1212ln(1)(1)x x x x <+---

，所以121212ln(()1)x x x x x x -++<+-因为1212()0x x x x -+<，所以1212ln(()1)ln10x x x x -++<=

，而120x x +->

所以121212ln(()1)x x x x x x -++<+-

0f '< 【类题展示】已知函数()ln x

f x x a

=+（a R ∈），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y ++=垂直.

（1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；

（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明： 2

12?x x e >.

试题解析：（1）依题意得()()

2ln

x a

x

x f x x a +-+'=，所以()()2

1111a f x a a +==++'，又由切线方程可得()11f '=，即

111a =+，解得0a =，此时()ln x f x x =， ()2

1ln x

f x x -'=，

令()0f x '>，即1ln 0x ->，解得0x e <<；令()0f x '<，即1ln 0x -<，解得x e > 所以()f x 的增区间为()0,e ，减区间为(),e +∞ 所以()()20162017f f >，即

ln2016ln2017

20162017

>，2017ln20162016ln2017>， 2017201620162017>.

（2）证明：不妨设120x x >>因为()()120g x g x ==所以化简得11ln 0x kx -=， 22ln 0x kx -= 可得()1212ln ln x x k x x +=+， ()1212ln ln x x k x x -=-.

要证明2

12x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，也就是()122k x x +>

因为1212

ln ln x x k x x -=

-，所以即证

121212ln ln 2

x x x x x x ->-+ 即112212ln

x x x x x x ->+，令

12x t x =，则1t >，即证()21ln 1

t t t ->+. 令()()21ln 1

t h t t t -=-+（1t >），由()

()()()2

22114011t h t t t t t -=-=+'>+

故函数()h t 在()1,+∞是增函数，所以()()10h t h >=，即()21ln 1

t t t ->

+得证.所以2

12x x e >.

【类题展示】已知函数2

()ln (2).f x x ax a x =-+- （I ）讨论()f x 的单调性； （II ）设0a >，证明：当10x a <<

时，11

()()f x f x a a

+>-； （III ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0()0f x '<. 【解析】（I ）（II ）略，

（III ）由12()()0f x f x ==22

111222ln (2)ln (2)0x ax a x x ax a x ?-+-=-+-=

2212121212ln ln 2()()x x x x a x x x x ?-+-=-+-1212221212

ln ln 2()

x x x x a x x x x -+-?=

-+-

故要证12001

()02x x f x x a

+'

> 221212121212121212

1

ln ln 2ln ln 2()2x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++?>=

--+-+-121212

ln ln 2x x x x x x -?<+-.

根据对数平均不等，此不等式显然成立，故原不等式得证. (四)极值点偏移之一题多解 【例4】已知()21ln 2

f x x x mx x =--，m ∈R ．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：212e x x >（e 为自然对数的底数）． 解法一：齐次构造通解偏移套路

证法1：欲证2

12e x x >，需证12ln ln 2x x +>．

若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个零点．又()ln f x x mx '=-，所以，1x ，2x 是方程

()0f x '=的两个不同实根．于是，有1122ln 0ln 0

x mx x mx -=??-=?，解得1212ln ln x x m x x +=+． 另一方面，由1122

ln 0ln 0x mx x mx -=??-=?，得()2121ln ln x x m x x -=-，从而可得21122112ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+．

于是，()()22

21211112221

1

1ln

ln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ??+ ?-+??+=

=--．

又120x x <<，设21x t x =

，则1t >．因此，()121ln ln ln 1

t t x x t ++=-，1t >． 要证12ln ln 2x x +>，即证：

()1ln 21

t t t +>-，1t >．即：当1t >时，有()21ln 1

t t t ->+．设函数

()()21ln 1t h t t t -=-+，1t ≥，则()()()()

()()2

22

212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++， 所以，()h t 为()1.+∞上的增函数．注意到，()10h =，因此，()()10h t h ≥=．

于是，当1t >时，有()21ln 1

t t t ->+．所以，有12ln ln 2x x +>成立，2

12e x x >． 解法二 变换函数能妙解

证法2：欲证2

12e x x >，需证12ln ln 2x x +>．若()f x 有两个极值点1x ，2x ，即函数()f x '有两个零点．又

()ln f x x mx '=-，所以，1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根．显然0m >，否则，函数()f x '为

单调函数，不符合题意．由()11121222

ln 0

ln ln ln 0x mx x x m x x x mx -=??+=+?

-=?，

解法三 构造函数现实力

证法3：由1x ，2x 是方程()0f x '=的两个不同实根得ln x m x =

，令()ln x

g x x

=，()()12g x g x =，由于()2

1ln x

g x x -'=

，因此，()g x 在()1,e ↑，()e,+∞↓． 设121e x x <<<，需证明2

12e x x >，只需证明()2

12e 0,e x x >∈，只需证明()212e f x f x ??> ???，即()222e f x f x ??

> ???

，即()222e 0f x f x ??

-

> ???

．来源： 微信公众号 中学数学研讨部落 即()()()()2e 1,e h x f x f x x ??=-∈ ???，()()()22221ln e 0e x x h x x --'=>，故()h x 在()1,e ↑，故()()e 0h x h <=，即()2e f x f x ??

< ???．令1x x =，则()()2211e f x f x f x ??=<

???

，因为2x ，()2

1e e,x ∈+∞，

()f x 在()e,+∞↓，所以2

21

e x x >，即212e x x >．

解法四 巧引变量（一）

证法4：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由1122ln 0ln 0x mx x mx -=??-=?得112

2

1122e e e t

t t t

t t m t m t -?=?=?=?

，设

120k t t =-<，则1e e 1

k k k t =-，2e 1k k t =-．欲证2

12e x x >，

解法五 巧引变量（二）

证法5：设()11ln 0,1t x =∈，()22ln 1,t x =∈+∞，则由1122ln 0ln 0x mx x mx -=??-=?得112

2

1122e e e t

t t t

t t m t m t -?=?=?=?，设()1

20,1t k t =∈，则1ln 1k k t k =-，2ln 1

k t k =-．欲证212e x x >，需证12ln ln 2x x +>，即只需证明122t t +>，即

()()()1ln 21212ln ln 01

1

1

k k k k k k k k k +-->?

()()21ln 0,11

k g

k k k k -=-

?+，()()()

2

2101k g k k k -'=>+，故()g k 在()0,1↑，因此()()10g k g <=，命题得证．

【类题展示】已知函数2

()(2)ln f x x a x a x =---，若方程()f x c =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：

12

(

)02

x x f +'>.

欲证：12(

)0()22x x a f f +''>=，结合()f x '的单调性，即证：1222

x x a

+> 等价于证明：221122

12112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>

+--1

112212122

2

2

22ln 1x x x x x x x x x x --?<=++ 令1

2,(01)x t t x =

<<，构造函数22()ln ,(01)1

t g t t t t -=-<<+，求导由单调性易得原不等式成立，略. 法二：接①后续解:由①得：1

1212122

()()(2)()ln

0x x x x x a x x a x +-----=

构造函数2(1)

()ln ,(01)1

t m t t t t -=-

<<+，求导由单调性易得()0m t <在(0,1)t ∈恒成立， 又因为120,0a x x >-<，故12

()02

x x f +'>成立

.

法三：接④后续解：视1x 为主元，设2222222

2222()4()1

()ln ln ,()0()()

x x x x x g x x x g x x x x x x x x --'=--=-=>+++ 则()g x 在2(0,)x x ∈上单调递增，故2()()0g x g x <=，再结合120,0a x x >-<，故12

()02

x x f +'>成立. 法四：构造函数()()(),(0)222

a a a

h x f x f x x =--+<<

， 则2

4()()()022()()

22

a a x h x f x f x a a x x '''=---+=>+-， 从而()h x 在(0,)2a

上单调递增，故()(0)0h x h >=，即()()22

a a f x f x ->+

对(0,)2

a x ∈恒成立，从而()(),(0)2

a

f x f a x x >-<<

，则211()()()f x f x f a x =>-， 由21,(,)2a x a x -∈+∞，且()f x 在(,)2a

+∞单调递增， 故21x a x >-，即1222x x a +>，从而12()02

x x f +'>成立.

三、跟踪训练

1、已知函数()()()2a x

g x xe

a R -=∈， e 为自然对数的底数.

（1）讨论()g x 的单调性；

（2）若函数()()2

ln f x g x ax =-的图象与直线()y m m R =∈交于A B 、两点，线段AB 中点的横坐标为

0x ，证明： ()00f x '<（()f x '为函数()f x 的导函

（2）∵()()(

)

()222ln ln 2(0)a x

f x xe

ax x a x ax x -=-=+-->，∴()()()211+-=-

'x ax f x x

，

当0a ≤时， ()()0,f x y g x >'=在()0,+∞上单调递增，与直线y m =不可能有两个交点，故0a >． 令()0f x '≥，则10x a <≤

；令()0f x '<，则1x a >，故()y g x =在10,a ?? ???上单调递增，在1,a ??+∞ ???

上单调递减．不妨设()()12,,,A x m B x m ，且121

0x x a

<<<， 要证()00f x '<，需证010ax ->，即证()01221211222x x x x x f x f x a a a a ??>

?+>?>-?<- ???

， 又()()12f x f x =，所以只需证()112

f x f x a ??

<- ???，即证：当1

0x a

<<时， ()20f x f x a ??

--> ???

．设()()()()2ln 2ln 22F x f x f x ax ax ax a ??=--=--+- ???，

则()()()2

211

2022ax a F x a ax x x ax --=

-+=-<--'，∴()()2F x f x f x a ??=-- ???在10,a ?? ???上单调递减， 又12110F f f a a a a ??????

=--= ? ? ???????，故()()20F x f x f x a ??=--> ???

，原不等式成立．

2、已知函数()()2

ln f x x x ax x a a R =+-+∈在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求a 的取值范围.（2）设()f x 的两个极值点为12,x x ，证明2

12x x e >.

试题解析：（1）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以方程()0f x '=在()0,+∞有两个不同根.即方程ln 20x ax +=在()0,+∞有两个不同根.

转化为，函数()ln x

g x x

=与函数2y a =-的图象在()0,+∞上有两个不同交点 又()2

1ln x

g x x

-'=

，即0x e <<时， ()0g x '>， x e >时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,e 上单调增，在(),e +∞上单调减，从而()()1

=g x g e e

=极大.

又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时，()g x →-∞，在x →+∞时， ()0g x →，所以由()g x 的图象，

要想函数()ln x

g x x =

与函数2y a =-的图象在()0,+∞上有两个不同交点， 只需102a e <-<，即

1

02a e

<<- （2）由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =， 22ln x ax =，

设120x x >>，作差得， ()1

122

ln

x a x x x =-，即1212

ln x

x a x x =-.原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +> ()122a x x ?+> ()1212122ln x x x x x x -?>+，令12x t x =，则1t >，()()121212221ln ln 1

x x t x t x x x t -->?>++， 设()()21ln 1t g t t t -=-+， 1t >，()()()

2

2

101t g t t t +'-=>，∴函数()g t 在()1,+∞上单调递增，∴

()()10g t g >=，即不等式()21ln 1

t t t ->

+成立，故所证不等式2

12x x e >成立.

3、已知函数()()2

ln 2,g x x ax a x a R =-+-∈. (1)求()g x 的单调区间；

(2)若函数()()()2

12f x g x a x x =++-， 1212,()x x x x <是函数()f x 的两个零点， ()f x '是函数()

f x 的导函数，证明： 1202x x f +??

<

???

'. 【解析】试题分析：（1）先求函数导数，根据导函数是否变号进行讨论，当0a ≤时， ()0g x '>， ()g x 递增，当0a >时，导函数有一零点，导函数先正后负，故得增区间为10,

a ?

? ???，减区间为1,a ??

+∞ ???

；（2）

利用分析法先等价转化所证不等式：要证明1202

x x f +??<

???'，只需证明121212

ln ln 20x x x x x x --<+- 12(0)x x <<，即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明12112

2

21ln 1x x

x x x x ??

- ?

??>+，再令()120,1x t x =∈，构造函

数()()1ln 22h t t t t =+-+，利用导数研究函数()h t 单调性，确定其最值： ()h t 在()0,1上递增，所以

()()10h t h <=，即可证得结论.

试题解析：(1) ()g x 的定义域为()0,+∞， ()()1

22g x ax a x

-'=+- 当0a ≤时， ()0g x '>， ()g x 递增

当0a >时， ()()()()()22212111

22ax a x x ax g x ax a x x x -+-++-'+=-+-==

()()10,0,x

g x g x a '<递增； ()()1

,0,x g x g x a

'><递减 综上：∴当0a >时， ()g x 的单调增区间为10,a ?? ???，单调减区间为1,a ??

+∞ ???

当0a ≤时， ()g x 的单调增区间为()0,+∞

即

证明

()1212122ln ln x x x x x x ->-+，即证明()12112

2

21ln *1x x

x x x x ??- ?

??>+

极值点偏移问题的两种常见解法之比较

极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x

高三导数压轴题题型归纳

导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)＝e x －ln(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷） (1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. (1)解 f (x )＝e x －ln(x ＋m )?f ′(x )＝e x －1x ＋m ?f ′(0)＝e 0－1 0＋m ＝0?m ＝1， 定义域为{x |x >－1}，f ′(x )＝e x －1 x ＋m ＝ e x x ＋1－1 x ＋1 ， 显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明 g (x )＝e x －ln(x ＋2)，则g ′(x )＝e x －1 x ＋2 (x >－2)． h (x )＝g ′(x )＝e x －1x ＋2(x >－2)?h ′(x )＝e x ＋1 x ＋22>0， 所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根， 又g ′(－12)＝1e －13 2 <0，g ′(0)＝1－1 2>0， 所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间??? ?－1 2，0内， 设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝e t －1 t ＋2＝0????－12g ′(t )＝0，g (x )单调递增； 所以g (x )min ＝g (t )＝e t －ln(t ＋2)＝1 t ＋2＋t ＝ 1＋t 2 t ＋2>0， 当m ≤2时，有ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)， 所以f (x )＝e x －ln(x ＋m )≥e x －ln(x ＋2)＝g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。 （1）121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f =

极值点偏移问题

2016版导数分类提高 第八讲极值点偏移一(纯偏型) 课类：技巧与方法课型：体验式 主讲：江海桃 电话：微信：dh 一、学习目标 1了解极值偏移的两种类型 2?掌握两种极值偏移的处理方法 二、学习过程 【定义】什么是极值点偏移？ 我们知道二次函数f(X)的顶点就是极值点x o，若f(X)=C的两根的中 点为凶X2，贝侧好有西X2=X o，即极值点在两根的正中间，也 2 2 就是极值点没有偏移；而函数g(X)二的极值点X o=1刚好在两根的中 e 点X1 X2的左边，我们称之为极值点左偏。 2

【分类】 【分类一】按极值点的偏移来分 分为两类：左偏乞4>X0 ；右偏d^Vx。. 2 2 【分类二】按极值点偏移的处理方法分 分为两类：纯偏移，非纯偏移. 【类型一】纯偏移型 纯偏移的处理策略为：构造函数F(x) f(x) f(2X o x)或 是F(x) f(X。x) f(x° x). 例题1.已知函数f(x) xe x(x R). (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当x>1 时，f(x)>g(x);

(3)若X i X2，且f( X i)=f( X2),证明：X I+X2>2. 练习.已知函数f (X) ln X ax2(2 a)x . (1)讨论f(X)的单调性； (2)设 a 0，证明：当0 X -时，f (丄X) f (- X)； a a a (3)若函数y f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横 坐标为X o, 证明：f (X o)V 0. 例题2.已知函数f(x) - Xre x. 1 x (1)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：若X i X2，且f( X i)=f( X2)时，则X i+X2<0. 练习.已知函数f(x) e x ax a,a R ,其中图像与x轴交于A( X i,0) , B (X2‘0),且 X-I x2. (i)求a的取值范围; (2)证明：f'C, X i X2)0 ； (3)设点C在函数y f(x)的图像上，且ABC为等腰直角三角形，记 t，求

高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令

高考导数压轴题型归类总结材料

导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x .

所以当33= x 时，)(x g 有最小值9 3 2)33(- =g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12 122x a x x +=，∴12 1 112 1 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴ 021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当2 3 a ≠ 时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论： ①a 若＞ 3 2 ，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数 ②a 若＜3 2 ，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： 所以)(x f .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数

导数压轴题题型(学生版)

导数压轴题题型 引例 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知. （I ）讨论的单调性； （II ）当时，证明对于任意的成立. 1. 高考命题回顾 例1.已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. ()2 21 ()ln ,R x f x a x x a x -=-+ ∈()f x 1a =()3 ()'2 f x f x +＞[]1,2x ∈

例2.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()2 21x f x x e a x =-+-有两个零点. (I)求a 的取值范围； (II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<.

例3.（本小题满分12分） 已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++ =- (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{ ()min (),()(0)h x f x g x x => ， 讨论h （x ）零点的个数 例4.(本小题满分13分) 已知常数,函数 (Ⅰ)讨论在区间 上的单调性; (Ⅱ)若存在两个极值点且 求的取值范围.

例5已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0.

例6已知函数)(x f 满足21 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=- (1)求)(x f 的解析式及单调区间； (2)若b ax x x f ++≥2 2 1)(，求b a )1(+的最大值。 例7已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 ln ()1a x b f x x x = ++()y f x =(1,(1))f 230x y +-=a b 0x >1x ≠ln ()1x k f x x x >+-k

高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版0001

导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题， 内容主要包 括函数零点个数的确定、 根据函数零点个数求参数范围、 隐零点问题及零点存在 性赋值理论 .其形式逐渐多样化、综合化 . 、零点存在定理 例1【. 2019全国Ⅰ理 20】函数 f(x) sinx ln(1 x),f (x)为f (x)的导数．证明： 1) f (x)在区间 ( 1, 2 )存在唯一极大值点； 2) f (x) 有且仅有 2 个零点． 可得 g'(x)在 1, 有唯一零点 ,设为 2 则当x 1, 时,g x 0；当 x ,2 时,g'(x) 0. 所以 g(x) 在 1, 单调递增,在 , 单调递减 ,故g(x) 在 2 值点 ,即 f x 在 1, 存在唯一极大值点 . 2 (2) f x 的定义域为 ( 1, ). (i )由( 1)知, f x 在 1,0 单调递增 ,而 f 0 0,所以当 x ( 1,0)时, f'(x) 0,故 f x 在 ( 1,0)单调递减 ,又 f (0)=0 ,从而 x 0是 f x 在( 1,0] 的唯 一零点 . 【解析】( 1)设 g x f x ,则 g x 当x 1, 时, g'(x)单调递减,而 g 2 1 1 sinx 2 1 x 2 cosx ,g x 1x 0 0,g 0, 2 1, 存在唯一极大 2

, 时, f '(x) 0.故 f (x) 在(0, )单调递增,在 , 单调递 22 3 变式训练 1】【2020·天津南开中学月考】已知函数 f (x) axsin x 2(a R), 且 在, 0, 2 上的最大值为 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)判断函数 f(x)在( 0，π)内的零点个数，并加以证明 【解析】 (1)由已知得 f(x) a(sin x xcosx) 对于任意的 x ∈(0, )， 3 有 sinx xcosx 0,当 a=0 时,f(x)=- ，不合题意； 2 当 a<0时,x ∈(0,2 ),f ′(x)从<0而, f(x)在(0, 2 )单调递减， 3 又函数 f(x) ax sin x 2 (a ∈ R 在) [0, 2 ]上图象是连续不断的， 故函数在 [0, 2] 上的最大值为 f(0) ，不合题意； 当 a>0时,x ∈(0, 2),f ′(x)从>0而, f(x)在(0, 2 )单调递增， 3 又函数 f(x) ax sin x (a ∈R 在) ［0, ］上图象是连续不断的， 33 故函数在［0, 2 ］上上的最大值为 f( 2)=2a- 23= 23，解得 a=1， 3 综上所述 ,得 f(x) xsinx 3(a R),； (2)函数 f(x) 在(0, π内)有且仅有两个零点。证明如下： 从而 f x 在 0, 没有零点 . 2 ( iii ) 当 x , 时 , f x 0 , 所 以 f x 在 单调递减.而 2 2 f 0, f 0 ,所以 f x 在, 有唯一零点 . 2 2 ( iv )当 x ( , ) 时,ln x 1 1,所以 f (x) <0,从而 f x 在( , ) 没有零点 . 减.又 f (0)=0 , f 1 ln 1 22 0 ,所以当x 0,2 时,f(x) 0. 综上, f x 有且仅有 2个零点. ii )当 x 0,2 时,由(1)知,f'(x)在(0, )单调递增 ,在 单调递减 ,而 f ' (0)=0 2 0 ,所以存在 ,2 ,使得 f'( ) 0,且当x (0, ) 时, f'(x) 0 ；当 x

导数的极值点偏移问题

导数极值点偏移问题 如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0 极值点左移：0212x x x >+，22 1x x x += 处切线与x 轴不平行 极值点右移：0212x x x <+，2 2 1x x x +=处切线与x 轴不平行 由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020' 21' =?? ? ??+x f x x f 。当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>?? ? ??+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即 ()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数

()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得 到0212x x x <+。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。 做题步骤： （1）求极值点0x ； （2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移； （4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论； （5）若极值点求不出来，由' 0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤.

(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性; （2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 ① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2 a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)2 a x ∈- +∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证12 2 x x a +>， (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证：12 x x ( )()02 f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++（*） 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得：

导数压轴题7大题型归类总结

导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 设a> 0,函数g(x)= (a A2 + 14)e A x + 4?若E 1、E 2 € [0 , 4],使得|f( E 1) - g( E 2)| v 1 成立, 求a 的取值范围.

二、交点与根的分布 三、不等式证明 （一）做差证明不等式 LL期嗨敕门划=1扣 M】求的单调逼减区创！ <2)^7 I >-1 r求证1 I ----- + x+ 1 W；的宦义域为(一4 +—=—-1 = ■―? x + 1 T t 4-1 I ■丈0 山厂w" 阳=」耳+ 1?二的中说逆减区簡为①，车呵一 ⑵国小由⑴得_虫(一1, ?时” /r Ct)>O f *庄曰① #8)时./'(XXO ?II /+(0) = 0 z.t>- 1 时.f骑)Wf(Qh ?〔耳口仇in(.T + h t T, I I x >X<^> = lnU + 1)+ ------ 1 t则K C<)* ----- -------- =------- -| r+1 立*1 {x+1)- G + I广/. — !< c<0时.X W Y O T ?A0时., JJ x F?h = <) 」?T A—l时、* S) (0)t UP \a(j[ + I M---------- 1MQ X + 1 ；.+1) ) ------- ,:心一1时t I------------- < ln{x + n^j. （二）变形构造函数证明不等式

Ehl&￡ /I U li 故)白 )替换构造不等式证明不等式 >=/U ) “川理k C 1；/< <6 N 实出氓I:的崗散丿I + 20> I 沟申求齡./i (2JfiF(x) = /(.r)r-g(x> nt,护订} > 0 3r hH(f > [}). I J J //(:>- 2/0-^ . ft Injr". tl 中 i 堆fiU |他①5)的必人饥为hie' * = m 叫z ?削灯育公共恵?且在谆戍坯的也皱丹匸， %、b 、曲求占的E 大fh /(X) K (r K ). v = /Ol 存佥共C <^ r ()i 牡的岗绥翎同 ；In u J - 3

导数压轴题双变量问题题型归纳总结

导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 22 12110t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 () 21 10 Q x x x '= ==<， 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()() 20Q x Q x >=，即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于1x （或2x ）的一元函数来处理．应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．此乃主元法.

导数压轴题题型归纳

VIP免费欢迎下载 导数压轴题题型归纳 1.高考命题回顾 例1已知函数f(x)= e x- ln(x+ m).( 2013全国新课标n卷) (1)设x = 0是f(x)的极值点，求 m，并讨论f(x)的单调性; ⑵当m<2时，证明f(x)>0. 例 2 已知函数 f(x)= x2+ ax+ b,g(x)= e x(cx + d)，若曲线 y= f(x)和曲线 y= g(x)都过点 P(0,2), 且在点P处有相同的切线 y= 4x+2 (2013全国新课标I卷) (I)求 a, b, c, d 的值 (n)若 x>-2 时, f(x)

VIP免费欢迎下载 2.在解题中常用的有关结论探 (1)曲线y4(x)在X%处的切线的斜率等于f (x0)，且切线方程为y=f'(x o)(x-x o)+f (x o)。 ⑵若可导函数y￡(x)在X =x0处取得极值，则f'(X o)=0。反之，不成立。 ⑶ 对于可导函数f(X)，不等式f -(x) ￥牡y勺解集决定函数f(x)的递增(减)区间。 ⑷函数f(x)在区间I上递增(减)的充要条件是：?爵 f (x)逮(切恒成立(fix)不恒为0). (5)函数f (X)(非常量函数)在区间I上不单调等价于f(x)在区间I上有极值，则可等价转化为方程f'(x)m在区间I上 有实根且为非二重根。(若 f (x)为二次函数且I=R，则有△ > 0 )。 (6) f(x)在区间I上无极值等价于f(x)在区间在上是单调函数，进而得到f-(x)翅或f'(X)<在I上恒成立 (7)若 , f (X)次恒成立，则 f (x)min 次；若0$ , f (X) <0 恒成立，则f(X)max <0 (8)若玄目，使得f(X0):，则f(X)max ；若3 X0 弓，使得 f (X D)却，则f(x)min 哎. (9)设f (x)与g(x)的定义域的交集为D,若灯X亡D f(x)》g(x)恒成立, 则有〔f(X)- g(x)]min >0

专题1.1 初识极值点偏移(解析版)-20届高考压轴题讲义(解答题)

一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则 2 21x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若2 21x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f . 三、问题初现，形神合聚 ★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x . 所以)2()2(x h x h -<+， 所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21，即421>+x x .学科&网 ★已知函数x x f ln )(=的图象1C 与函数)0(2 1)(2≠+=a bx ax x g 的图象2C 交于Q P ,，过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点N M ,，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？

导数压轴题双变量问题题型归纳总结

导数压轴题双变量问题题型 归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=???+=?? ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ?>. 令()0,1t = ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()1 2ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 22 121 10t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -===-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则 () 2 21 10Q x x x '= ==<， 所以函数()Q x 在()20,x 上单调递减，()()2 0Q x Q x >=，即证2ln ln x x -. 由上述分析可知0F ' <.

高中数学压轴题系列——导数专题——极值点偏移

高中数学压轴题系列——导数专题——极值点偏移 1.（2010?天津）已知函数f（x）=xe﹣x（x∈R） （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，证明：当x＞1时，f（x）＞g（x）； （Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明x1+x2＞2． 【分析】（1）先求导求出导数为零的值，通过列表判定导数符号，确定出单调性和极值． （2）先利用对称性求出g（x）的解析式，比较两个函数的大小可将它们作差，研究新函数的最小值，使最小值大于零，不等式即可证得． （3）通过题意分析先讨论，可设x1＜1，x2＞1，利用第二问的结论可得f（x2）＞g（x2），根据对称性将g（x2）换成f（2﹣x2），再利用单调性根据函数值的大小得到自变量的大小关系． 【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x令f′（x）=0，解得x=1 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表 所以f（x）在（﹣∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数． 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=． （Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）e x﹣2 令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）e x﹣2 于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x 当x＞1时，2x﹣2＞0，从而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以F′（x）＞0， 从而函数F（x）在[1，+∞）是增函数． 又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1时，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）． （Ⅲ）证明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），则x1=x2=1．与x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．与x1≠x2矛盾． 根据（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨设x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2）， 则g（x2）=f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），从而f（x1）＞f（2﹣x2）． 因为x2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（﹣∞，1）内是增函数， 所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．

导数之极值点的偏移

导数之极值点的偏移 基础内容讲解： 一、极值点偏移的含义 单峰函数()x f 顶点的横坐标0x 就是极值点。如果对定义域内的任意自变量x 都有()()x x f x f －＝02成立。说明函数()x f 的图像关于直线0x x ＝对称，故在0x 两侧()x f 的图像的升降走势相同。若()x f ＝a 存在两个根1x 与2x ，则有2 2 10x x x ＋＝成立，此时极值点不偏移。反之极值点偏移。如果2210x x x ＋＜ ，则极值点左偏；如果2 210x x x ＋＞，则极值点右偏。 二、极值点偏移的判定定理 对于可导函数()x f y ＝在区间D 上只有一个极值点0x ，方程()0＝x f 在区间D 上的解分别为21x x 、。其中21x x ＜ （1）、若0221＞＋?? ? ??'x x f ，当22 10x x x ＋＜时，极小值点左偏，当2210x x x ＋＞时，极大值点右偏； （2）若0221＞＋??? ??'x x f ，当2210x x x ＋＜时，极大值点左偏，当 2210x x x ＋＞时，极小值点右偏； 三、极值点偏移的用处

函数存在两个零点时关于零点间不等式的证明。 四、极值点偏移的用法 例一、已知函数()x x x f ln ＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个点 ()11y x A ，，()22y x B ，。求证：2211 e x x ＜ 变式练习一、已知函数()x x f ln ＝和()ax x g ＝，若存在两个不相同的实数21x x 、满足()()11x g x f ＝，()()22x g x f ＝。求证： （1）、e x x 221＞＋ （2）、221e x x ＞ 例二、已知()x x x f ln －＝，若存在两个不相同的正实数21x x 、满足 ()()21x f x f ＝。求证：()()021＜＋x f x f '' 变式练习二、已知函数()x x x f ln 2＝的图像与直线m y ＝交于不同的两个 点()11y x A ，，()22y x B ，。求证：e x x 2 22 21＞＋ 变式练习三、已知，＞＞0a b 且b ln ln －＝－a b a a b 。 求证：（1）、1＞－＋ab b a （2）、2＞＋b a （3）、211 ＞＋b a 变式练习四、已知函数()ax x x f －＝ln 2，若21x x 、（21x x ＜）是()x f 的两个零点，求证：032x 21＜＋?? ? ??'x f 例三、已知函数()x x x f －＝ln ，设021＞＞x x ，求证： ()()12 1212 2 2 11 ＜－－－＋x x x f x f x x x 变式练习五、已知函数()x mx x x x f －－＝22 1 ln 有两个极值点21x x 、（21x x ＜），求证：221e x x ＞

导数压轴题之极值点偏移归纳总结

极值点偏移问题 一、问题指引 极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为 2 2 1x x +，则刚好有02 12 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则2 2 1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +< ，则称为极值点左偏；若2 2 1x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g = )(的极值点10 =x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2 2 1x x +的左边，我们称之为极值点左偏. 以函数函数2x y =为例，极值点为0，如果直线1=y 与它的图像相交，交点的横坐标为1-和1，我

们简单计算： 02 1 1=+-.也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移. 当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点. 二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2 2 10x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2 2 10x x x +=，求证：0)('0>x f . 二、方法详解 (一)基本解法之对称化构造 例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数()e x f x x -=，已知()()12f x f x =，12x x ≠，证明122x x +>． 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1）1x ，2x 的范围()1201x x <<<； （2）不等式()()()21f x f x x >->；