椭圆中常见最值问题
椭圆中的常见最值问题
1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。
例1、椭圆19
252
2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的
最大值时，P 点的坐标是 。P （0，3）或（0，-3）
例2、已知椭圆方程122
22=+b
y a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点，2
1,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。
分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤
当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤
2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。
例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15
92
2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动
点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。
3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。
例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15
92
2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则
||||1PF PA +的最小值是 ，此时P 点坐标为 。||||1PF PA +的最大
值是 ，此时P 点坐标为 。
分析：||||||||||2121AF PF PF PF PA ++≤+，当P 是2AF 的延长线与椭圆的交点时取等号。||||||||||2121AF PF PF PF PA -+≥+，当P 是2AF 的反向延长线与椭圆的交点时取等号。
4、椭圆上的点P 到定点A 的距离与它到椭圆的一个焦点F 的距离的e
1倍的和||1
||PF e
PA +的最小值（e 为椭圆的离心率），可通过
e d
PF =|
|转化为d PA +||（d 为P 到相应准线的距离）最小值，取得最小值的点是A 到准线的垂线与椭圆的交点。
例5、已知定点)3,2(-A ，点F 为椭圆112
162
2=+y x 的右焦点，点M 在该椭圆
上移动，求||2||MF AM +的最小值，并求此时M 点的坐标。
例6、已知点椭圆19
252
2=+y x 及点)0,3(),2,2(-B A ，),(y x P 为椭圆上一个动点，
则||5||3PB PA +的最小值是 。
5、以过椭圆中心的弦的端点及椭圆的某一焦点构成面积最大的三角形是短轴的端点与该焦点构成的三角形。
例7、过椭圆122
22=+b
y a x （222,0c b a b a +=>>）的中心的直线交椭圆于B
A ,两点，右焦点)0,(2c F ，则2ABF ?的最大面积是 。
例8、已知F 是椭圆22525922=+y x 的一个焦点，PQ 是过原点的一条弦，求PQF ?面积的最大值。
6、椭圆上的点与椭圆二焦点为顶点的面积最大的三角形是椭圆的短轴的一个端点与椭圆二焦点为顶点的三角形。
例9、P 为椭圆122
22=+b
y a x （222,0c b a b a +=>>）一点，左、右焦点为
)0,(1c F -)0,(2c F ，则21F PF ?的最大面积是 。
7、椭圆上的点与椭圆长轴的端点为顶点的面积最大的三角形是短轴的一个端点和长轴两个端点为顶点的三角形。
例10、已知A 是椭圆22525922=+y x 的长轴一个端点，PQ 是过原点的一条弦，求A PQ ?面积的最大值。
8、椭圆上的点到坐标轴上的定点的距离最大值、最小值问题可利用两点间的距离公式及椭圆方程联立化为求函数最值问题。
例11、设O 为坐标原点，F 是椭圆19
252
2=+y x 的右焦点，M 是OF 的中点，
P 为椭圆上任意一点，求||MP 的最大值和最小值。
例12、椭圆中心在原点，长轴在x 轴上，2
3
=e ，已知点)23,0(P 到这个椭
圆上的最远距离是7，求椭圆方程。
9、椭圆的焦点到椭圆上的距离最近和最远点是椭圆长轴的两个端点。
ex a r +=1)|(|a x ≤为x 的增函数，ex a r -=2)|(|a x ≤为x 的减函数，a x ±=时，22,r r 分别取得最大值c a +和最小值c a -。
例13、椭圆19
252
2=+y x 上的点到右焦点的最大值 ，最小值 。
10、椭圆上的点到定直线的距离最近及最远点分别是与定直线平行的椭圆的两条切线的切点。
例14、已知椭圆8822=+y x ，在椭圆上求一点P ，是P 到直线04:=+-y x l 的距离最小，并求最小值。
11、椭圆上的点到与它的两个焦点连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。范围大于等于00，小于它的短轴的一个端点和二焦点的连线的夹角。
分析：?=+a PF PF 2||||21||||21PF PF 2a ≤?
2
2
221222121222122221221||||22||||2||||244||||24||||cos a c a PF PF c a PF PF PF PF c a PF PF c PF PF -≥
--=--=-+=θ 等号成立的条件：a PF PF ==||||21，即P 点为短轴的端点。
例15、已知椭圆C ：122
22=+b
y a x )0(>>b a ，两个焦点为22,F F ，如果C 上
有一点Q ，使021120=∠QF F ，求椭圆的离心率的取值范围。
例16、如图所示，从椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 上一点M 向x 轴作垂线，恰
好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴的端点A 短轴的端点B 的连线AB 平行于OM 。
（1）求椭圆的离心率
（2）设Q 为椭圆上任意一点，2F 为椭圆的右焦点，求21QF F ∠的范围。 （3）当AB QF ⊥2时，延长2QF 与椭圆交于另一点P ，若PQ F 1?的面积为
320，求此椭圆方程。
12、椭圆上的点与它长轴的两个端点的连线的最大夹角是它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。范围为大于2
π
，小于它的短轴的一个端点和长轴的二端点的连线的夹角。
例17、已知椭圆C ：122
22=+b
y a x )0(>>b a ，长轴的两个端点为A 、B ，如
果C 上有一点Q ，使0120=∠AQB ，求椭圆的离心率的取值范围。
13、点P 在椭圆上，ny mx u +=（n m ,为常数）的最大值或最小值分别是直线0=-+u ny mx 与椭圆相切时u 的值。
例18、已知点),(y x P 在125
1442
2=+y x 上的点，则y x u +=的取值范围是 。 14、点P 在椭圆上，n
x m
y u --=
（n m ,为常数）的最大值或最小值分别是直线m n x u y +-=)(与椭圆相切时的斜率。
例19、点),(y x P 在椭圆4)2(422=+-y x 上，则x
y
的最大值 ，最小值 。
例20、点),(y x P 在椭圆192522=+y x 上，则4
6
-+=y x t 的最大值 ，最小
值 。
15、x
b y x
a x y sin cos 00--=
的最大值或最小值是直线00)(y x x k y +-=与椭圆
??
?==θ
θ
sin cos b y a x 相切时切线的斜率。 例21、求x
x
y cos 24sin 3--=
的最大值、最小值
16、椭圆的平行弦、过定点弦等弦长最值问题及有关弦长的最值问题：
例22、求直线1+=kx y 被椭圆14
22
=+y x 所截得弦长的最大值。
例23、N M Q P ,,,四点均在椭圆上，椭圆方程为：12
22
=+x y ，F 为椭圆在y
轴正半轴的焦点，已知FQ PF ,共线，FN MF ,共线，且021=?PF PF ，求
四边形PMQN 面积的最小值。
17、利用方程元的范围求有关最值问题：
例24、已知椭圆方程为1y 2
22
=+x ，求过点P （0，2）的直线交椭圆于不
同两点A 、B ，PB PA λ=
，求λ的取值范围。），（]33
1
[∈λ
18、其它有关最值
例24、P 为椭圆：122
22=+b y a x )0(>>b a 上一动点，若A 为长轴的一个端点，
B 为短轴的一个端点，当四边形OAPB
面积最大时，求P 点的坐标。
例25、已知椭圆13122
2=+y x 和直线09:=+-y x l ，在l 上取一点M ，经过点
M
且以椭圆的焦点21,F F 为焦点作椭圆，当M 在何处时所作椭圆的长轴最短，
并求此椭圆方程。
例26、设椭圆122
22=+b
y a x )0(>>b a 的两个顶点为)0,(),,0(a B b A ，右焦点为F ，
且F 到直线AB 的距离等于它到原点的距离，求离心率的取值范围。
例27、已知椭圆C ：)0(1
22
22>>=+b a b
y a x ，21,F F 为其左右焦点，P 为椭圆C 上一点，x PF ⊥2轴，且21F PF ∠的正切值为4
3
（1）求椭圆C 的离心率。
（2）过焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于点N M 、，若MN F 1?面积的最大值为3，求椭圆C 的方程。
解：c x =代入)0(122
22>>=+b a b
y a x 得：a b y 2±=
又21F PF ∠的正切值为43
，所以),(2a b c P ，即
4
32432222=-?=ac c a ac b
注意到10<<
a c ，所以2
1=a c （2）设),(),,(2211y x N y x M ，过焦点2F 的直线l 的方程为c my x +=，代入椭圆方程得：
096)43(134)(1)(2222
2222222
=-++?=++?=++c mcy y m c
y c c my b y a c my 4
39,4362
2
2122
1+-=+-=+m c y y m mc y y 2122121214)(|||)||(|22
1
1y y y y c y y c y y c S MN
F -+=-=+?=? 16249112)43(4464336)436(2
422
22222222+++=++=+++-=m m m c m m c m c m mc c 6
1
1
)1(91
121
)1(6)1(911222
2
22222
++++=+++++=m m c
m m m c
设1
1)1(92
2++
+=m m u ，12
+=m t ，则)1(19≥+=t t t u 由于)(t u 在),1[+∞上是增函数，所以10)1(=≥u u ，1=u 时取等号，即0
=m 时取等号，此时有22
36
101
121
c c S MN F =+≤?，又MN F 1?面积的最大值为3， ???==?=?=∴3
2
1332b a c c
故椭圆C 的方程为：
13
4
2
2
=+
y x
高中数学椭圆中的常见最值问题
椭圆中的常见最值问题 1、椭圆上的点P 到二焦点的距离之积||||21PF PF 取得最大值的点是椭圆短轴的端点，取得最小值的点在椭圆长轴的端点。 例1、椭圆19 252 2=+y x 上一点到它的二焦点的距离之积为m ，则m 取得的 最大值时，P 点的坐标是 。P （0，3）或（0，-3） 例2、已知椭圆方程122 22=+b y a x （222,0c b a b a +=>>）p 为椭圆上一点， 21,F F 是椭圆的二焦点，求||||21PF PF 的取值范围。 分析：22221))((||||x e a ex a ex a PF PF -=-+=，)|(|a x ≤ 当a x ±=时，min 21||||PF PF =222b c a =-，当0=x 时，2max 21||||a PF PF = 即≤2b ||||21PF PF 2a ≤ 2、椭圆上到的椭圆内一个定点的距离与它到焦点距离之差取得最大值或最小值的点是这个定点与焦点连线延长线或反向延长线与椭圆的交点,最大值、最小值分别是定点到该焦点的距离和其相反数。 例3、已知)1,1(A ，1F 、2F 是椭圆15 92 2=+y x 的左右焦点，P 为椭圆上一动 点，则||||2PF PA -的最大值是 ，此时P 点坐标为 。||||2PF PA -的最小值是 ，此时P 点坐标为 。 3、椭圆上到椭圆内定点的距离与它到椭圆的一个焦点的距离之和取得最小值或最大值的点是另一焦点与定点连线的延长线或反向延长线与椭圆的交点。 例4、已知)1,1(A ，1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 为椭圆上一动点，则
与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1 ?定义法 2 2 例1。P(-2, 3 ),F2为椭圆——=1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求丨MP| + | MF 2 |的最大值 25 16 和最小值。 分析：欲求丨MP| + | MF 丨的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 | MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。 解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 -| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。因为 2a=10, | PF 1 | =2所以(| MP| + | MF |) ma>=12, (| MP | + | MF | ) min =8 2 2 X y 结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 a b 一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为2a - | PR |。 2 2 例 2： P(-2,6),F 2为椭圆— -L 25 16 M ，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。 MF |连接PF 1并延长交椭圆于点 皿仆则M 在M 1处时| MP | - | MF I 取最大值| PF 1 |。二| MP | + | MF |最大值是10+ , 37，最小值是,41 2 2 x y 结论2:设椭圆一2 - =1的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x o ,y o )为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， a b 则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF 1 |，最小值为 PF ?。 2. 二次函数法 2 2 例3?求定点A(a,0)到椭圆务'￡ =1上的点之间的最短距离。 a b 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示| PA |，转化为x,y 的函数，求最小值。 1 1 解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y 2 =(x-a) 2+1- x 2 = (x_ 2a)2+1d 由椭圆方 =1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求| MP | + | MF |的最大值和 最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于 解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | M 1 M 2
2018届高中数学专题05解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题特色训练新人教A版选修2_1
专题05 解密与椭圆双曲线抛物线概念有关的最值问题 一、选择题 1．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中】已知点P 是抛物线2 2y x =上的一个动点，则点 P 到点()0,2A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A . 9 2 B . 5 C . 2 D . 172 【答案】D 2．【吉林省舒兰一中2017-2018学年高二上学期期中】如图，已知椭圆 22 13216 x y +=内有一点()122,2,B F F 、是其左、右焦点， M 为椭圆上的动点，则1MF MB +的最小值为（ ） A . 42 B . 62 C . 4 D . 6 【答案】B 【解析】() 122MF MB a MF MB +=-- 2 2BF a ≥-→ 822262==当且仅当2,,M F B 共线时取得最小值2故答案选B
3．【北京朝阳垂杨柳中学2016-2017学年高二上学期期中】已知经过椭圆 22 12516 x y +=右焦点2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1AF B 的周长等于（ ） A . 20 B . 10 C . 16 D . 8 【答案】A 【解析】因为椭圆的方程为 22 12516x y +=，所以由椭圆的定义可得1212210,210AF AF a BF BF a +==+==， 1ABF ∴?周长为112220AF BF AF BF +++=，故选A . 4．【内蒙古自治区太仆寺旗宝昌一中2016-2017学年高二下学期期中】设为定点，动点满 足 |，则动点的轨迹是（ ） A . 椭圆 B . 直线 C . 圆 D . 线段 【答案】D 5．【福建省闽侯第六中学2018届高三上学期第一次月考】已知椭圆： 22 2 1(02)4x y b b +=<<，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若22BF AF +的最大值为5，则b 的值是（ ） A . 1 B 2 C . 3 2 D 3【答案】D 【解析】试题分析：由椭圆定义，得2248AB AF BF a ++==，所以当线段AB 长度达最小值时， 22BF AF +有最大值．当AB 垂直于x 轴时， 22 2min ||222 b b AB b a =?=?=，所以22BF AF +的最大 值为285b -=，所以2 3b =，即3b = D ． 考点：1、椭圆的定义及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 【方法点睛】（1）涉及椭圆上的点与两焦点的距离时，要注意联想椭圆的定义，要结合图形看能否运用定
破解椭圆中最值问题的常见策略(新)
破解椭圆中最值问题的常见策略 第一类：求离心率的最值问题 破解策略之一：建立c b a ,,的不等式或方程 例1：若B A ,为椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0 120=∠AQB ，求此椭圆 离心率的最小值。 分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。 ：b y 故点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。 第二类：求点点（点线）的最值问题 破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法） 例3：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值。
分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。解：（1）略（2）直线AP 的方程是x －3y +6=0。 设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是 2 6+m 。 于是 2 6+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2。 设椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+,由于－6≤m ≤6, ∴当x =2 9 时,d 取得最小值15 破解策略之四：利用椭圆定义合理转化 例4：定长为d d b a ≥?? ???22 的线段AB 的两个端点分别在椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 上移动，求AB 的中点M 到椭圆右准线l 的最短距离。 解：设F 为椭圆的右焦点，如图作AA l '⊥于A'，BB'⊥l 于B'，MM'⊥l 于M'，则 ()e d e AB BF AF e e BF e AF BB AA MM 2221 212 ||/// = ≥ +=???? ??+= += 当且仅当AB 过焦点F 时等号成立。故M 到椭圆右准线的最短距离为 d e 2。 点评：22b a 是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，d b a ≥22 是AB 过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种 烦琐的运算过程。 第五类：求线段之和（或积）的最值问题 破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。 例7：若椭圆 13 4 22=+ y x 内有一点()1,1P ，F 为右焦点，椭圆上的点M 使得||2||MF MP +的值最小，则点M 的 坐标为 A ．26(,1)3 ± B ．26( ,1)3 C ．3(1,)± D ．3(1,) 提示：联系到1 2 e = 将||2MF 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答案。选B 。思考：将题中的2去掉会怎样呢？ 破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 例8：如图，在直线09:=+-y x l 上任意取一点M ，经过M 点且以椭圆13 122 2=+y x 的焦点作椭圆，问当M 在何
椭圆的常见题型及解法一
椭圆的常见题型及其解法(一) 椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助. 一、椭圆的焦半径 椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。 1.公式的推导 设P （ ， ）是椭圆上的任意一点， 分别是椭圆的左、右焦点，椭圆 ，求证，。 证法1： 。 因为，所以 ∴ 又因为，所以 ∴ ， 证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知 11 PF e d ，又 ，所以，而 。 ∴ ， 。
2.公式的应用 例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4， 0）的距离成等差数列，则 12 x x + . 解：在已知椭圆中，右准线方程为 25 4x = ，设A 、B 、C 到右准线的距离为 ， 则、、。 ∵ ， ， ，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。 ∴，即，。 例2.12,F F 是椭圆22 14x y + =的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求 的最大值和最 小值。 解：设 ，则1020332,2.PF x PF x =+ =-2 12034.4 PF PF x ?=- P Q 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ?的最大值为4，最小值为1. 变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。 解：由已知可得 ，所以直线AB 的方程为 ，代入椭圆方程得 设 ，则 ，从而 变式练习2. 设Q 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为 直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。
押题第37道 椭圆中与面积有关的取值范围问题(原卷版)
【押题背景】 取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围. 【押题典例】 典例1 已知椭圆C： 22 22 x y a b +=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2 2 9 2 y ? += ?? 过点F2． （1）求椭圆C的方程； （2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值． 【答案】（1） 22 1 84 x y +=；（2）． 【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0）， 又因为 2 1 2 OE F P =，所以P点坐标为(2，所以12 2a PF PF =+= 则a=b＝2，因此椭圆的方程为 22 1 84 x y +=； （2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为() 42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0， 所以x P x A 2 2 84 12 k k -- = + ，所以x A 2 2 42 12 k k -- = + ， 直线l2的方程为y 1 k =-（x﹣3），所以点D坐标为 1 4 k ?? ? ?? ， 押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题
破解椭圆中最值问题的常见策略
破解椭圆中最值问题的常见策略
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破解椭圆中最值问题的常见策略 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现,在各种题型中均有考查，其中以解答题为重,在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题,也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。 第一类:求离心率的最值问题 破解策略之一:建立c b a ,,的不等式或方程 例1：若B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴两端点,Q 为椭圆上一点，使0120=∠AQB , 求此椭圆离心率的最小值。 分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x ,的取值进行求解离心率的最值。 解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A -，则a x y k a x y k BQ AQ -= += ,, 利用到角公式及0 120=∠AQB 得：0120tan 1=-++ -- +a x y a x y a x y a x y （a x ±≠）， 又点A 在椭圆上,故2222 2y b a a x -=-，消去x ， 化简得2232c ab y =又b y ≤即b c ab ≤2 232 则4 2 2 2 3)(4c c a a ≤-，从而转化为关于e 的高次不等式 04432 4≥-+e e 解得 13 6 <≤e 。 故椭圆离心率的最小值为3 6 。（或222233()ab c a b ≤=-，得：303b a <≤,由21()b e a =-, 故 13 6 <≤e ）(注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立c b a ,,之间的关系。常用椭圆上的点),(y x 表示成 c b a ,,，并利用椭圆中y x ,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。 破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围 例2：已知椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使 12F Q F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
高中数学与椭圆有关的最值问题
与椭圆有关的最值问题 圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。 1．定义法 例1。P(-2,3),F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值 和最小值。 分析：欲求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 ︱MF 2︱=2a-︱MF 1︱, F 1为椭圆的左焦点。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1延长PF 1 交椭圆于点M 1,延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知 –︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1 22a=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论1：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意 一点，则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱,最小值为2a –︱PF 1︱。 例2：P(-2,6),F 2为椭圆 116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2 ︱的最大值和最小值。 分析：点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小，求最大值方法同例1。 解：︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+2a-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1，则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+ 37 ，最小值是 41。 结论2：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点， 则︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为2a+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 2.二次函数法 例3．求定点A(a,0)到椭圆122 22=+b y a x 上的点之间的最短距离。 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示︱P A ︱，转化为x,y 的函数，求最小值。
椭圆中四边形面积最值问题一例刘向阳
椭圆中四边形面积最值问题一例 -------教学设计 扬中市第二高级中学刘向阳 一、引入问题背景： 生活中我们经常要研究最优解的问题。在解析几何中，运动是曲线的灵魂，在形的运动中必然伴随着量的变化，而在变化中，往往重点变量的变化趋势，由此产生圆锥曲线中的中的最值问题等.本课重点是借助对常见的面积问题的研究提炼出解决此类问题的思想方法和基本策略，并能进行简单的应用. 二、教学内容分析： 解决椭圆最值问题，不仅要用到椭圆定义、方程、几何性质，还常用到函数、方程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强，联系性广,策略性要求高.其基本的思想是函数方程思想、化归思想和数形结合思想，基本策略主要是代数和几何两个角度分析. 由于圆锥曲线是几何图形，研究的量也往往是几何量，因此借助几何性质，利用几何直观来分析是优先选择；但几何直观往往严谨性不强，难以细致入微，在解析几何中需要借助代数的工具来实现突破. 几何方法主要结合图形的几何特征，借助椭圆的定义以及平面几何知识寻找存在“最值”的位置;代数方法主要是将几何量及几何关系用代数形式表示,建立目标函数，从而转化为函数的最值问题，再借助函数、方程、不等式等知识解决问题. 三、学生学习情况分析： 椭圆的最值问题的解决，涉及的知识面广，需要综合运用平面几何、代数、不等式等相关知识，还需要较强的运算技能和分析问题解决问题的能力. 在本课的学习中，学生可能存在的问题有：知识的联系性和系统性较弱，难以调动众多的知识合理地解决问题；运算能力不强，算得慢，易算错，影响问题解决的执行力；问题解决的策略性不强，就题论题，对问题的数学本质认识模糊等现象.再加上学生对复习课的认识比较片面，对复习课缺乏新鲜感。 由于椭圆的最值问题涉及到图形运动和数量变化，学生往往缺乏对问题的直觉把握和深切的感受，教学中可通过几何画板直观的呈现数、式、形的联动变化，使学生逐步形成多元联系的观点。
(完整版)微专题-圆锥曲线中的最值问题(解析版)
专题30 圆锥曲线中的最值问题 【考情分析】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。 江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展 【备考策略】 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲 线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞ 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为7 3．抛物线y=-x 2 上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是 43 4．已知抛物线y 2 =4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12 +y 2 2 的最小值是 32 . 5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||2PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程； （Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?u u u r u u u r 的最小值. 解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支， 所求方程为：22 x y 122 －＝ （x >0） （Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0， 此时A （x 02 x 2－），B （x 020 x 2－，OA OB ?u u u r u u u r ＝2
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转
椭圆中的最值问题
椭圆中的最值问题 邢志平 本文提供了解决椭圆中最值问题的三个方向：几何化、代数化、三角化，这三个方向在解决其它圆锥曲线中最值问题时也可用。 1. 几何化方向 画出图形，利用几何图形的性质按几何思路借助解析方法求解。 例1. 已知点、B（2，0），在椭圆上求一点P，使|AP|+2|BP|最小，则P点坐标为___________。 解根据题意，知B为椭圆的右焦点，A为椭圆内一点。 因为， 所以。 由椭圆第二定义，知， 即， 所以， 这样，问题就转化为求一点P到A点及L的距离和的最小值。 过A作AN⊥L于N，交椭圆于P点，P即为所求。所以 P点坐标为。
例2. 已知椭圆上一动点P，与圆上一动点Q，及圆 上一动点R，求|PQ|+|PR|的最大值。 解如图1，连结PF 1、PF 2 及F 1 R、F 2 Q，所以得到△PRF 1 及△PQF 2 ，根据题意可知， 圆心恰好为椭圆的两个焦点。 在三角形中 |PR|<|PF 1|+|F 1 R|， |RQ|<|PF 2|+|F 2 Q|， 所以， 即。 当P、F 1、R与P、F 2 、Q都共线时， ， 所以 |PQ|+|PR|的最大值是6。 在问题转化过程中常利用椭圆的两个定义。 2. 代数化方向 先求出变量的函数表达式（或目标函数）然后用适当的代数方法（如：配方、均值不等式、函数单调性等）加以解决。
例3. 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆的长轴长的最小值为___________。 解在椭圆上取一点P（x，y），。 当P点在短轴顶点时，|y|最大为b， 所以。 又， 所以。 先利用面积与高的函数关系式，确定面积的最大值，再找出长轴长与已知等式函数关系式利用不等式求最值。 例4. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率，已知点P（0， ）到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于的点的坐标。 分析本题是一道“动中求静”的综合问题，必须用函数观点分析。 解从可推出a=2b，于是可设椭圆方程为
椭圆最值问题常考题型分析
椭圆最值问题常考题型分析 在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（122MF MF a +=）及三角形三边关系. ◆典例剖析 例1、已知点)3,2(-P ，2F 为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求2MF MP +的最大值和最小 值。 解：设椭圆左焦点为1F ，∴︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+ a 2-︱MF 1︱， 连接PF 1，延长PF 1交椭圆于点M 1，延长F 1P 交椭圆于点M 2由三角形三边关系知–︱PF 1︱≤︱MP ︱-︱MF 1︱≤︱PF 1︱当且仅当M 与M 1重合时取右等号、M 与M 2重合时取左等号。 ∵a 2=10, ︱PF 1︱=2所以（︱MP ︱+︱MF 2︱）max =12, （︱MP ︱+︱MF 2︱）min =8 结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2， P(x 0，y 0)为椭圆内一点，M(x ，y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为a 2–︱PF 1︱。 例2、已知点P(-2,6），F 2为椭圆116 252 2=+y x 的右焦点，点M 在椭圆上移动，求︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值和最小值。 解：由题可知点P 在椭圆外，PF 2交椭圆于M ，此点使︱MP ︱+︱MF 2︱值最小（求最大值方法同例1）。 ︱MP ︱+︱MF 2︱=︱MP ︱+a 2-︱MF 1︱连接PF 1并延长交椭圆于点M 1， 则M 在M 1处时︱MP ︱-︱MF 1︱取最大值︱PF 1︱。 ∴︱MP ︱+︱MF 2︱最大值是10+37，最小值是41。 结论：设椭圆122 22=+b y a x 的左右焦点分别为F 1、F 2, P(x 0,y 0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则 ︱MP ︱+︱MF 2︱的最大值为a 2+︱PF 1︱，最小值为PF 2。 ◆针对训练 练1、已知1F 是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，P 是椭圆上的动点，点)1,1(A ，则1PF PA +的最小值是 练2、椭圆 13 422=+y x 的左焦点为F ，直线m x =与椭圆交于A ，B 两点，求FAB ?周长的最大值.
椭圆中最值问题习题2013.08.04
椭圆中最值问题 1.已知椭圆的焦点坐标是12(10)(10)F F --，，，过点2F 垂直与长轴的直线交椭圆与P Q ，两 点，且||3PQ =. （1）求椭圆的方程 （2）过2F 的直线与椭圆交与不同的两点M N ，，则1F MN ?的内切圆面积是否存在最大值？若存在，则求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设椭圆的方程是22 221(0)x y a b a b +=>>， 由交点的坐标得：1c =，---------------（1分） 由||3PQ =，可得2 23b a =----------------（2分） 解得23a b ==，---------------（3分） 故椭圆的方程是22 143 x y +=-----------（4分） （2）设1122()N()M x y x y ，，，，不妨设1200y y ><， 设1F MN ?的内切圆半径是R ，则1F MN ?的周长是48a =， 1111 ()42 F MN S MN F M F N R R ?=++=， 因此1F MN S ?最大，R 就最大-----------------------（6分） 11212121 ()2 F MN S F F y y y y ?= -=- 由题知，直线l 的斜率不为0，可设直线l 的方程为1x my =+， 由22114 3x my x y =+???+=??得，22(34)690m y my ++-=，--------------（8分） 解得221222361361 3434 m m m m y y m m -++-++==++， 则212122 1121()234 AMN m S AB y y y y m ?+=-=-=+-----------------（9分）
与椭圆有关的最值问题的例析
与椭圆有关的最值问题的例析 例：设椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 3 ，过点(1,0)C -的直线交 椭圆E 于两点A 、B ，满足2CA BC = 。求当A O B ?面积达到最大值时直线l 和椭圆E 的方 程。 解：3 e = 得2223 b a = ，又直线过点(1,0)C -，设椭圆方程为22 23(0),x y t t +=>直 线方程为1my x =+。 由2223,1, x y t my x ?+=?=+?得22(23)420.m y m y t +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122 2 42,.2323m t y y y y m m -+==++ 2CA BC = ，122.y y ∴=-则122284,.23 23 m m y y m m -= = ++ 122 166 32 23 2 2AO B m S y y m m m ?∴=-== ≤ ++ 当且仅当32m m = ，即2 m =± 时，A O B ?面积取得最大值，此时直线l 的方程为 102 x y + +=或10.2 x y -+= 由2 32 m = 代入122 223 t y y m -= +得10t =，∴椭圆方程为22 2310.x y += 例：已知椭圆22 2 1(1)x y a a +=>，直线l 过点(,0)A a -，(,)(0)B a ta t >交椭圆于M ，直线 O M 交椭圆于N 。 （1）用,a t 表示A M N ?的面积.S （2）若[]1,2t ∈，a 为定值，求S 的最大值。 解：（1）设直线l 的方程为(),2 t y x a = +代入 222 1x y a +=得222 (4)40a t y aty +-=，解得 0y =或22 4.4 at y a t =+
圆锥曲线的范围最值问题
圆锥曲线的最值、范围问题 与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意． 一、利用圆锥曲线定义求最值 借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理． 【例1】已知(40),(2)A B ，，2是椭圆22 1259 x y + =内的两个点,M 是椭圆上的动点,求MA MB +的最大值和最小值． 【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论A M B 、、三点是否共线,总有 MA MB AB +>,故取不到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村 的作用． 【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化． 【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知P 为抛物线 x y 42=上一个动点,Q 为圆1)4(22=-+y x 上一个动点,当点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和最小时,点P 的横坐标为（ ）
A ． 8179- B ．8 9 C ．817 D ．17 【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点P 到点Q 的距离与点P 到准线距离之和的最小值就是点P 到点Q 的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值. 【解析】设P 到抛物线准线的距离为d ,抛物线的焦点为F ,圆心为C ,则 ()()min min 171PQ d PQ PF CF r +=+=-= ,故选A. 二、单变量最值问题转化为函数最值 建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量． 【例2】已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成 等腰直角三角形,直线01=++y x 与以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆的方程. （2）设P 为椭圆上一点,若过点)0,2(M 的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和T ,且满足OP t OT OS =+(O 为坐标原点),求实数t 的取值范围. 【分析】（1）由题意可得圆的方程为222)(a y c x =+-,圆心到直线01=++y x 的距离 = d a c =+2 1； 根据椭圆)0(1:22 22>>=+b a b y a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 三角形, b=c, c b a 22==代入*式得1b c ==,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由
圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值、范围问题 圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题． (2)两种解法 ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解． [典例] (2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点． (1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 的面积的最大值． [思路演示] 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2 ＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0. 设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1 椭圆问题中最值得关注的基本题型 ［题型分析?高考展望］椭圆问题在高考中占有比较重要的地位，井且占的分值也较多?分析历年的高考试题，在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题，所以我们对椭圆知识必须系统的学握?对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解. 常考题型精析 题型一利用椭圆的几何性质解题 例1如图，焦点在x轴上的椭圆乎+豊=1的离心率吗，F、力分别是椭圆 的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，求諾?斎的最大值和最小值. 点评熟练学握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本，利用离心率和椭圆的范围可以求解范围问题、最值问题，利用&、b. c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程. x2 v2 变式训练1 (2014 ?课标全国I )已知点力(0, -2),椭圆￡：臣(日">0)的离心率为半，F是椭圆F的右焦点，直线SF的斜率为罟，0为坐标原点. (1)求F的方程； (2)设过点力的动直线/与F相交于只0两点，当△0%的面积最大时，求/的方程. 题型二直线与椭圆相交问题 例2 (2015 -山东)在平面直角坐标系"如中，已知椭圆。臣+口=1(曰>6>°)的离心率左、右焦点分别是斤，怠以斤为圆心、以3为半径的圆与以尺为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； x 2 2 ⑵设椭圆F：爲+話=1, P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆F于儿 8两点，射线〃交椭圆F于点0. (i )求器的值； (ii)求面积的最大值. 点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立，转化为一元二次方程，由判别式范围或根与系数的关系解决?求范围或最值问题，也可考虑求“交点"，由'‘交点”在椭圆内（外），得出不等式，解不等式. 巧用定义求椭圆中四类最值问题 聂文喜 圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。 一、的最值 若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e 是C的离心率，求的最小值。 例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。 分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》 一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。 二、的最值 若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。 例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。 解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0） 图1 由椭圆的第一定义得： 可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。 故的最大值为，最小值为。 三、的最值 若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。 例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。 解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为 图2 根据椭圆的第二定义有：，即 可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。 故的最小值为10。 四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆 上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。 解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M” 图3 则 当且仅当AB过焦点F时等号成立。 故M到椭圆右准线的最短距离为。 评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。椭圆问题中最值得关注地基本题型
巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)