北师大版九年级数学第一章三角函数全章导学案
C B
C
B
锐角三角函数（1）
学习目标：
（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦的意义，能够正确应用sinA 、表示直角三角形中两边的比；
（2）通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
学习重点与难点
1．重点：正弦概念及其应用．
2．难点：理解正弦的意义，并用它来表示两边的比。
一、预习案
1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB
2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC
3、归纳直角三角形中存在的边角关系：
二、探究案
1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
C
B
A
思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ；
如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；
结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值
思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？
结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值
2.从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当 ∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于1
2
，是一个固定值；?当 ∠A=45°时，∠A
的对边与斜边的比都等于
2
，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
3.探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么
''
''
BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？
结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比
斜边c
对边a b
C
B 正弦函数概念：
规定：在Rt △BC 中，∠C=90，
∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．
在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，
记作sinA ，即sinA= =
a
c
． sinA ＝
A a A c ∠=∠的对边的斜边 例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=
；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ．
三、学习收获
1、学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？
2、还有哪些困惑？
四、训练案
1. 在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A ?的对边与斜边的比都是 ．
2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A ?的 ，?记作 ，
(2)13
5
3C
B A
(1)
3
4C
B
A
3.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．
4．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚
A ．4
3
B ．34
C ．53
D ．54
5．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）
6． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=2
3，则边AC 的长是( )
A ．
B ．3
C ．4
3 D ．
7．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于
（ ）A ．a b B ．b
a C
D
五、作业布置
1. 独立完成导学案
2. 认真整理课堂笔记
3. 及时整理错题本
C
B A
斜边c 对边a
b C B
A 锐角三角函数（2）
学习目标：
1.感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。
2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 【学习重点】理解余弦、正切的概念。
【学习难点】熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算。
一、预习案
1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？
2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。 已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） A
B ．23
C
D
3、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，
且AB ＝5，BC ＝3．则sin ∠BAC= ；sin ∠ADC= ． 4、?在Rt △ABC 中，∠C=90°，当锐角A 确定时， ∠A 的对边与斜边的比是 ， ?现在我们要问：
∠A 的邻边与斜边的比呢？ ∠A 的对边与邻边的比呢？ 为什么？
二、探究案
1.一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也
是一个固定值？
如图：Rt △ABC 与Rt △A`B`C`，∠C=∠C` =90o ，∠B=∠B`=α，
那么与有什么关系？
类似于正弦的情况，
如图在Rt △BC 中，∠C=90°，当锐角A 的大小确定时，
把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=
A 的邻边斜边=a
c
；
A
B
C
D
B C
∠A的邻边b
∠A的对边a 斜边c
C
B A
6
C
B A
把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=
A A ∠∠的对边的邻边=a
b
．
例如，当∠A=30°时，我们有cosA=cos30°= ；
当∠A=45°时，我们有tanA=tan45°= ．
锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是A 的函数．同样地，cosA ，tanA 也是A 的函数．
2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=?6，sinA=3
5
，
求cosA 、tanB 的值．
三、学习收获
1、学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点， 学会了什么？
2、还有哪些困惑？
四、训练案
1.在
中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）
A ．
．
．
．
2. 在中，∠C ＝90°，如果cos A=45 那么的值为（）
A ．35
．54
．34
．43
3、如图：P 是∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 则cos α＝_____________.
五、作业布置
1. 独立完成导学案
2. 认真整理课堂笔记
3. 及时整理错题本
锐角三角函数（3）
学习目标：
1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对
应锐角度数。
2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习重点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式
【学习难点】30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程
一、预习案
一个直角三角形中，
一个锐角正弦是怎么定义的？
一个锐角余弦是怎么定义的？
一个锐角正切是怎么定义的？
二、探究案
1.两块三角尺中有几个不同的锐角？
它们分别是多少度？
你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？．
3.求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°．（2）cos45
sin45
?
?
-tan45°．
4.如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90，，A的度数．
（2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB a．
三、学习收获
1、学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，
学会了什么？
2、还有哪些困惑？
四、训练案
（一）、选择题
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=3
5，AB=15，则AC的长是（）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A ．sin 260°+cos 260°=1
B ．sin30°+cos30°=1
C ．sin35°=cos55°
D ．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A ．2
B ．1
4．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1
2 ，那么（ ）
A ．0°<∠A ≤60°
B ．60°≤∠A<90°
C ．0°<∠A ≤30°
D ．30°≤∠A<90°
5．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 21
，则△ABC 的形
状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，
AC=4，设∠BCD=a ，则tana?的值为（ ）．
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
7．当锐角a>60°时，cosa 的值（ ）．
A ．小于12
B ．大于12
C ．大于 3
2 D ．大于1
8．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=12，则sinA+tanA 等于（ ）．
A
．
311
..
6222
B C D
+
+
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高
是?则∠CAB等于（）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（）．
A．1 B．0 C．1
2 D．
3
2
11．若（ 3 tanA-3）2+│2cosB- 3 │=0，则△ABC（）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
（二）、填空题
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13．
cos45sin30
1
cos60tan45
2
?-?
?+?
的值是__ _____．
14．已知，等腰△ABC?的腰长为4 3 ，?底为30?°，?则底边上的高为______，?周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=5
2，则cosA=________．
五、作业布置
1. 独立完成导学案
2. 认真整理课堂笔记
3. 及时整理错题本
锐角三角函数（4）
学习目标：
让学生熟识计算器一些功能键的使用
【学习重点】运用计算器处理三角函数中的值或角的问题
【学习难点】知道值求角的处理
一、预习案
1.求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°; （2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）
2cos60
2sin302
?
?-
; （4）
sin45cos30
32cos60
?+?
-?
-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°tan30°
（6）
sin 45tan 30tan 60?
?-?
+cos45°·cos30°
二、探究案
1用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值
三、学习收获
1、学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点， 学会了什么？
2、还有哪些困惑？
四、训练案
1.已知α为锐角,当α
tan 12
-无意义时,则tan(α+15°)-tan(α-15°)的值
为 .
2.（2008宿迁）已知α为锐角，且2
3
)10sin(=
?-α，则α等于（ ） A ．?50 B ．?60 C ．?70 D ．?80 3.（2008泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ）
A ．
24
7
B ．
C ．724
D ．1
3
5.在Rt △ABC 中，点C 为直角顶点，则下列式子中不一定成立的是（ ） A ．sinA ＝sinB B ．cosA ＝sinB C ．sinA ＝cosB D ．sin(A+B)＝sinC
五、作业布置
1. 独立完成导学案
2. 认真整理课堂笔记
3. 及时整理错题本
利用三角函数解决实际问题（1）
学习目标：
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 【学习重点】直角三角形的解法．
【学习难点】三角函数在解直角三角形中的灵活运用
一、预习案
1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？
(1)边角之间关系
a b A b a A c b A c a A ====
cot ;tan ;cos ;sin b a
B a b B c a B c b B =
===cot ;tan ;cos ;sin
如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.
(2).三边之间关系a 2 +b 2 =c 2
(勾股定理)
(3).锐角之间关系∠A+∠B=90°． （4）锐角三角函数间的关系：
以上几点正是解直角三角形的依据．
二、探究案
1. 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个
长6m 的梯子，
的对边 的邻边 ； 的邻边 的对边 ； 斜边 的邻边
； 斜边 的对边 α α α α α α α α α α ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠ = ∠ = cot
tan cos sin
问:(1)用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)
(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子
2. 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且
∠B =30o，解这个三角形．
三、学习收获
1、学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，
学会了什么？
2、还有哪些困惑？
四、训练案
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________?其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2、在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形．
3、在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC
的平分线AD=43，解此直角三角形。
4、Rt△ABC中，若sinA=4
5
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
5、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
6、在△ABC中，∠C=90°，sinA=3
5
，则cosA的值是（）
A．3
5
B．
4
5
C．
916
.
2525
D
五、作业布置
1. 独立完成导学案
2. 认真整理课堂笔记
3. 及时整理错题本
利用三角函数解决实际问题（2）
学习目标：
1.使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
2.逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3.渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识
【学习重点】将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】实际问题转化成数学模型
一、预习案
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：
二、探究案
1. 仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
斜边
的邻边A A ∠=
cos 斜边
的对边A A ∠=
sin
2.2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P
点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)
三、学习收获
1、学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，
学会了什么？
2、还有哪些困惑？
四、训练案
1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?
五、作业布置
1. 独立完成导学案
2. 认真整理课堂笔记
3. 及时整理错题本
利用三角函数解决实际问题（3）
船有触礁的危险吗？
学习目标：
1.复习直角三角形中的边角关系，熟练掌握特殊角的三角函数值，进一步体会方向角、仰角、俯角的含义。
2.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会应用三角函数知识解决实际问题的过程.
3.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
4.了解此类实际问题的题型特点，会解含有三角函数的方程．
一、预习案
1.如图：写出直角三角形ABC中边角关系：
1）.三边关系：
2）.两锐角间的关系：
3）.边与角之间的关系：
a).锐角三角函数：
b).同脚之间的三角函数关系：
2.
3.方向角的定义
方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正北
或正南为始边，旋转到观察目标所成的锐角，方向角也
称象限角．如图，目标方向线OA、OB、OC 的方向角分
别为北偏东______°、南偏东______°、北偏西______°.
二、探究案
1.利用三角函数知识解决实际问题：
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗
礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A岛南偏
西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的
南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险
吗?（与同伴交流你是怎么想的? 怎么去做?）
2.如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).现在你能完成这个任务吗?
3.某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已
知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地
面?(结果精确到0.01m).
三、学习收获
1、学生通过本节课的学习，自己归纳本节的知识要点，学会了什么？
2、还有哪些困惑？
四、训练案
1.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,
且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,
钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶
AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多
少土石方(结果精确到0.01m3 ).
3.如图，有一斜坡AB长40m，坡顶离地面的高度为20m,求此斜坡的倾斜角.
4.有一建筑物,在地面上A点测得其顶点C的仰角为300,向建筑物前进50m至B处,又测得C的仰角为450,求该建筑物的高度(结果精确到0.1m).
5.如图,燕尾槽的横断面是一个等腰梯形,其中燕尾角∠B=550,外口宽AD=180mm,燕尾槽的尝试是70mm,求它的里口宽BC(结果精确到1mmm).
五、作业布置
1. 独立完成导学案
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
新北师大版九年级数学下册《一章 直角三角形的边角关系 2 30°,45°,60°角的三角函数值》教案_9
1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 教学分析： 本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值. 三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力. 课题 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值 教学目标 (一)教学知识点 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. (二)思维训练要求 1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力. 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. (三)情感与价值观要求 1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯. 2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. 教具重点 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.比较锐角三角函数值的大小. 教学难点 进一步体会三角函数的意义. 教学方法 自主探索法 教学准备 一副三角尺 多媒体演示 教学过程 Ⅰ.回顾与思考。 [师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，请同学们回顾正弦，余弦，及正切的相关概念。
北师大版初三数学下册《特殊角的三角函数》
1.2 《30°, 45°, 60°角的三角函数值》导学案 华阳九年制学校：王利祥 【使用说明及学法指导】 1.先学习课本第8至9页内容，然后开始做导学案； 2.用红色笔将重难疑点勾画岀来； 3?针对预习自学及合作探究找出疑惑 点，组内外“兵教兵”，相互讨论交流，答疑解惑 【学习目标】1.能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 2.能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 【重难点】熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有 30°、45°、60°角的三角函数的 运算式 教学过程: 由此发现：在直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦均与 _________ 和 ____ 边有关，正切只与 ________ 边有关。 2.如图：P 是/ 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4）， 贝U cos = ________ ， sin = _________ ，tan = __________ . （二）、设问导读（自学课本第8至9页的内容，完成下面的问题 ） 1、请阅读思考课本第 9页探究内容，会求并熟记30 °、45°、60。角的正弦值、余弦值、 正切值并填写特殊角的三角函数值表，总结记忆口诀。 0"-\^三角函数 锐角a 正弦sin a 余弦cos a 正切tan a 30° 45° 60° 2、记忆口诀: （一）温故互 查: 要求1. 认真复习旧知识 2 .课前用时 1 ?如图所示，在 Rt A ABC 中，/ C = 90° 5 sin A ― ) ，cos A -— ) 斜边 斜边 tan A ( ) ；sin B ( A 的邻边 斜边 cosB （ ） 斜边 tan B （ ） A 的邻边 3 科
九年级数学北师大版《锐角三角函数》单元测试题及答案解析
九年级数学《锐角三角函数》单元测试题及答案 一、填空题：（30分） 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，2a=b ，则tanA=______，sinA=_______。 2．sin55°、cos36°、sin56°的大小关系是____<____<____。 3．在△ABC 中，∠C=90°，如果 31tan =A ，则cosB=_______。如果03cos 42=-A ，是∠A=______度。 4．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是_________。 5．如图6-29，某飞机于空中A 处探测得地面目标C ，此时飞行高度AC=h 米，从飞机上看到地面控制点B 的俯角为α，则飞机A 到控制点B 的距离是__________米。 6、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cosA ＝ ，sinB ＝ ，tanB ＝ 。 7、直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sinA ＝ 。 8、已知tan α＝ 12 5，α是锐角，则sin α＝ 。 9、cos 2(50°＋α)＋cos 2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)＝ ； 10、如图1，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东 60°的方向上，则原来A 的坐标为 .（结果保留根号）． （1） （2） （3） 1136cm ，则一底角的正切值为 . 12、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面 米高。 13、如图2，在坡度为1：2 的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。 14、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=3 3，AB ＝8cm ，则△ABC 的面积为______ 。 15、如图3，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为a 米，此时，梯子 x O A y B
九年级数学锐角三角函数知识点与典型例题
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA=， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 2、取值范围
2．如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点， ?= ∠4 3 sin AOC 求AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 5B ．25 C ．12 D ．2 2．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B .45 C .34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ． 2． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ， 和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ） A ． 12 B ．32 C ．35 D ．4 5 D C B A O y x 第8题图
九年级数学三角函数全章知识点整理
初中三角函数整理复习 二 特殊角的三角函数：sia 30\ cos45。、tan60° 归纳结果 练习：求下列各式的值 (1) sia 30°+cos30° (2) V2sia 45°-lcos30° ⑶ cosset +ta60Man30° 三?"籍角三角形主要依据 (1)勾股定理：a2+b2=C 2 (2)锐角之间的关系：zA+zB=90。 G)边角之间的关系: 4 ZA 的对边 sin A = —— -------- 斜边 厶的对边 tanA 二乙4的邻边 例题评析: 例1、在“ABC 中，zC 为直角,zA 、zB 、zC 所对的边分别为a 、b 、c , 且b 二血 二后，解这个三角形. 例2、在拦ABC 中,zC 为直角,zA. zB 、zC 所对的边分别为a 、b 、c ,且b= 20 Z^=35° ,解这个三角形（精确到0.1）. 一 ?三角函数定义。 siaA= ZA 的对边 斜边 f cosA= ZA 的邻边A _ZA 的对边 斜边' ZA 的邻边 cos A = ZA 的邻边 斜边
例3、在RtMBC中,a=104.0 , b二20.49 ,解这个三角形. 例4、在“ABC中，zC为直角，AC=6 , ZB4C的平分线AD二4巧,解此直角三 角形。 四?仰角、俯角 当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角. 例1 如图（6-16）,某飞机于空中A处探测到目标C ,此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角c（二16。31',求飞机A到控制点B距离（精确到1 米） AC 解：在RfABC中sinB二乔 AC 1200 /. AB= = 0.2843 =4221（米） 答：飞机A到控制点B的距离约为4221米.
北师大版高中数学必修四《三角函数》单元复习测试题1及答案解析.docx
第一章三角函数单元测试 一.选择题（60分） 1.将－300o 化为弧度为（） A ．－ B ．－ C ．－ D ．－ 2.如果点位于第三象限，那么角所在象限是（） Ａ.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．下列选项中叙述正确的是（） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．锐角是第一象限的角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．终边不同的角同一三角函数值不相等 4．下列函数中为偶函数的是（） A ． B ． C ． D ． 5已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（） . . 6．函数的单调递减区间（） 43 π ； 53π；76π；74π；)cos 2,cos (sin θθθP θsin ||y x =2sin y x =sin y x =-sin 1y x =+sin()y A x B ω?=++0,0,||2 A π ω?>> < 4=A 1ω=6 π ?= 4=B 3sin(2)6 y x π =+
A B ． C ． D ． 7．已知是三角形的一个内角,且,则这个三角形( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．不等腰的直角三角形D ．等腰直角三角形 8．等于（） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 9．若角的终边落在直线 y =2x 上，则sin 的值为（） A. B. C. D. 10．函数y=cos 2 x –3cosx+2的最小值是（） A ．2 B ．0 C ． D ．6 11．如果在第三象限，则 必定在（） A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限 C ．第三或第四象限D ．第二或第四象 12．已知函数在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数 的解析式为（） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（20分） 13、已知角α的终边经过点P(3，)，则与α终边相同的角的集合是______ 14．、、的大小顺序是 5,12 12k k π πππ??- + ??? ?()k Z ∈511,1212k k ππππ??++???? ()k Z ∈,36k k ππππ??-+????()k Z ∈2,63k k ππππ??++???? ()k Z ∈α3 2 cos sin = +αα)2cos()2sin(21++-ππαα15±12 ±4 1 α2 α )sin(φ?+=x A y 3 π=x x y 23 sin 2=)23sin(2π+=x y )23sin(2π-=x y x y 3sin 2 1=31tan 2tan 3tan
高考数学三角函数公式
高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα
(完整版)九年级数学下学期三角函数练习题
九年级数学下学期三角函数测试卷 班级： 姓名： 座号： 成绩： 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC = 1，AB = 4 ， 则sinA 的值是 A ．15 15 B ．41 C ．3 1 D ． 4 15 2．当锐角α>30°时，则cosα的值是 A ．大于 1 2 B ．小于12 C 3 D 33．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一边同时施工，现在从AC 上取一点B ，使得∠ABD ＝145°，BD ＝500米，∠D ＝55°，要使A 、C 、 E 在一条直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是 A ．500sin55°米 B ．500cos55°米 C ．500tan55°米； D ．o 55tan 500米 4. 如图1，在Rt △ABC 中，ACB ∠90=o ，CD ⊥AB 于D ，若3BC =，4AC =， 则tan BCD ∠的值为 （ ） Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 5. 在△ABC 中，90C ∠=o ，2B A ∠=∠，则cos A 等于（ ） Ａ． 3 2 Ｂ． 12 3 Ｄ． 3 3 6. 如图2所示，旗杆AB 在C 处测得旗杆顶的仰角为30o ， 向旗杆前进12m 到达D ，在D 处测得A 仰角为45o ， 则旗杆的高AB 等于（ ）m ． Ａ．12 Ｂ．14 Ｃ．16 Ｄ．18 7. 在△ABC 中，90C ∠=o ，12 sin 13 A =，周长为45，CD 是斜边A B 上的高，则CD 的长是（ ） Ａ．56 13 Ｂ．126 13 Ｃ．7 6 13 Ｄ．17 12 8.△ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2 |tan 32sin 30B A +=（），则△ABC 是（ ） A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰（不等边）三角形 D ．等边三角形 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ 图1 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ 图2
高中数学三角函数公式大全
高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
九年级数学锐角三角函数(学生讲义)
锐角三角函数与解直角三角形 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记 为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所 对的边AB 记为c ，叫做斜边． B a b c
锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 sin A a A c ∠ == 的对边 斜边 ； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A b A c ∠ == 的邻边 斜边 ； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即 tan A a A A b ∠ == ∠ 的对边 的邻边 . 同理sin B b B c ∠ == 的对边 斜边 ；cos B a B c ∠ == 的邻边 斜边 ；tan B b B B a ∠ == ∠ 的对边 的邻边 ． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能
写成， ， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A， tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成
北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结及典型习题(超级详细)
北师大版九年级数学 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 知识点： 1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c （勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 34
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 解直角三角形的定义 1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 222(注意：2(1)(2)1:m 3OC 、OD 的方向向角。 所以,OA 、北偏东30南偏西60 例1：已知在Rt ABC △中，3 90sin 5 C A ∠==°，，则tan B 的值为（ ） A ．43 B ．45 C ．54 D ． 34 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RT ΔABC 中，∠C=90°，则sin a A c = ，tan b B a =和222a b c +=；由3s i n 5A =知，如果设3a x =，则5c x =，结合222a b c +=得4b x =；∴44 tan 33 b x B a x ===， 所以选A ．
例2 ：104cos30sin 60(2)2008)-??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 104cos30sin 60(2)2008)-??+-- =13412222 ??? ?+--= ???， 故填3 2． 1. A ．8米 2. 一架5A ．5sin 40° 3. 线，∠ABC 是（ ） A C ． 4. 铅直高度BC A ． 米C ．15米 D ． 5．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，∠EDC ∶∠EDA=1∶3，且AC=10，则DE 的长度是（ ） A ．3 B ．5 C ．25 D ．2 2 5
高三数学知识点总结三角函数公式大全
2014高三数学知识点总结：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是为大家整理的三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)²] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°) /2]}
北师大版三角函数知识点及例题
三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,180 π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： x y O — + + — + y O — + + —
（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系： α α cos sin =tan α 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为： 奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 降幂公式： 1+cos α=2 cos 22α cos 2α2 2cos 1α += 1-cos α=2 sin 22α sin 2α2 2cos 1α -= 8正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
高中三角函数公式大全
高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
锐角三角函数1北师大版
107A 图2A B C 图1C B 第一章 直角三角形的三边关系1.1锐角三角函数（第一课时） 教学重点：1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系．2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 一．正切的定义，表示方法 问题1：(1)在图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？ 问题1： 如图，小明想通过测 量B 1C 1及AC 1，算出它们的比， 来说明梯子的倾斜程度；而 小亮则认为，通过测量B 2C 2 及AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ (1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系？ (2)1 11AC C B 和222AC C B 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置如果改变B 2在梯子上的位置 呢？ 由此你能得出什么结论？ 结论： 在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的 的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切(tan gent)，记作： ，即ta n A ＝ ． 注意：1．tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”． 2．tan A 表示一个比值，没有单位。 3．tan A 不表示“tan ”乘以“A ”． 4．初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切． 练习： 1.判断正误：如图 (1), tan A ＝BC:AC 如图 (2), tanA ＝BC:AB 如图 (2), tanB ＝10:7
C D B A 如图 (2), tan A ＝AC:BC 2.填空: 1.tan =AC:BC tan =BC: 2.如图, ∠C=90°CD ⊥AB. tan ∠ACD= , tanB= 3.在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝20cm ，求tan A 和tan B 的值． 思考：1. 思考：现在如果改变∠A 的大小，∠A 的对边与邻边的比值会改变吗？ 2．∠B 的正切如何表示？它的数学意义是什么？ 3．前面我们讨论了梯子的倾斜程度，课本图1－3，梯子的倾斜程度与tan A 有关系吗？ 1．在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大原来的2倍，则锐角A 的正切值（ ） A 、扩大2倍 B 、缩小2倍 C 、扩大4倍 D 、没有变化 2．在Rt △ABC 中，∠C=90o，AC=3，AB=5，则tanB=( ) A.54 B.53 C.34 D.4 3 3.在Rt △ABC 中，∠C=90o，tanA ·tanB 的值（ ） A ．等于1 B.大于1 C.小于1 D.不确定 4.如图所示:在坡度为1:2的 山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离是5m,斜坡上相 邻两树间的坡面距离是( )米. 5. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,求tanA. 6.在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,求 tanA.
(完整)初三数学三角函数
初中数学 三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C b A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
αcot - 3 1 3 3 0 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角铅垂线 水平线 视线 视线俯角 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α
北师大版九年级数学第一章三角函数全章导学案
C B C B 锐角三角函数（1） 学习目标： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦的意义，能够正确应用sinA 、表示直角三角形中两边的比； （2）通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 学习重点与难点 1．重点：正弦概念及其应用． 2．难点：理解正弦的意义，并用它来表示两边的比。 一、预习案 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 3、归纳直角三角形中存在的边角关系： 二、探究案 1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？
C B A 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 2.从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当 ∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是一个固定值；?当 ∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 3.探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么 '' '' BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？ 结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比
高中数学-三角函数公式大全
新课程高中数学三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：2 2y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r = αsec 余割：y r = αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。 商数关系：αααcos sin tan = ，α α αsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ -2 、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、和差化积公式 2cos 2 sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ …⑴ 2 sin 2 cos 2sin sin β αβ αβα-+=- …⑵
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