4.第8课时 一次不等式与一次不等式组

第二单元 方程(组)与不等式(组)

第8课时 一次不等式与一次不等式组

点对点·课时内考点巩固20分钟

1. (2019广安)若m ＞n ，下列不等式不一定．．．成立的是( ) A ．m ＋3＞n ＋3 B ．－3m ＜－3n C.m 3＞n

3 D ．m 2＞n 2 2. (2019长春)不等式－x ＋2≥0的解集为( ) A. x ≥－2 B. x ≤－2 C. x ≥2 D. x ≤2

3. (2019大连)不等式5x ＋1≥3x －1的解集在数轴上表示正确的是( )

4. (2019天门)不等式组?

????x －1＞0

5－2x ≥1的解集在数轴上表示正确的是( )

5. (2019常德)小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了．”则这本书的价格x (元)所在的范围为( )

A. 10＜x ＜12

B. 12＜x ＜15

C. 10＜x ＜15

D. 11＜x ＜14

6. (2019重庆B 卷)某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为( )

A. 13

B. 14

C. 15

D. 16

7. 某种出租车的收费标准是：起步价10元(即行驶距离不超过3 km 都需付10元车费)，超过3 km 以后，每增加1 km ，加收2.4元(不足1 km 按1 km 计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费22元，设此人从甲地到乙地经过的路程的最大值是( )

A. 11 km

B. 8 km

C. 7 km

D. 5 km

8. (2019聊城)若不等式组?????x ＋13

＜x 2－1

x ＜4m 无解，则m 的取值范围为( ) A. m ≤2 B. m ＜2 C. m ≥2 D. m ＞2

9. (2019株洲)若a 为有理数，且2－a 的值大于1，则a 的取值范围为________．

10. (2019铜仁)如果不等式组?

????x ＜3a ＋2

x ＜a －4的解集是x ＜a －4，则a 的取值范围是________．

11. (2019包头)已知不等式组?

????2x ＋9＞－6x ＋1

x －k ＞1的解集为x ＞－1，则k 的取值范围是________．

12. (人教七下P 124第1(4)题改编)不等式x ＋16≥2x －5

4

＋1的解集是________．

13. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打________折．

14. 解不等式组：????

?3（x ＋1）＞x －1，x ＋92＞2x .

15. (2019广西北部湾经济区)解不等式组：????

?3x －5＜x ＋1，3x －46≤2x －13，

并利用数轴确定不等式组的解集．

第15题图

点对线·板块内考点衔接

20分钟

1. (2019宿迁)不等式x －1≤2的非负整数解有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. (2019衡阳)不等式组?

????2x ＞3x

x ＋4＞2的整数解是( )

A. 0

B. －1

C. －2

D. 1

3. (2019南充)关于x 的不等式2x ＋a ≤1只有2个正整数解，则a 的取值范围为( ) A. －5＜a ＜－3 B. －5≤a ＜－3 C. －5＜a ≤－3 D. －5≤a ≤－3

4. 不等式组????

?2（x ＋3）－2≥0x ＋12＞x －1的最大整数解是( )

A. －1

B. 2

C. 1

D. 0

5. 不等式组????

?5x ＋2＞3（x －1）x －72≤1－x 的所有非负整数解的和是( )

A. 6

B. 5

C. 2

D. 0

6. 已知不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7的最小整数解是方程2x －ax ＝3的解，则a ＝________．

7. (2019宜宾)若关于x 的不等式组?????x －24

＜

x －132x －m ≤2－x 有且只有两个整数解，则m 的取值范围是________． 8. (2018菏泽)一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是________．

第8题图

9. (2019赤峰)某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话：

(1)结合两人的对话内容，求小明原计划购买文具袋多少个？

(2)学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，两次购买奖品总支出不超过400元，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元，经过沟通，这次老板给予8折优惠，那么小明最多可购买钢笔多少支？

10. (2019聊城)某商场的运动服装专柜对A ，B 两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售，已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：

(1)问A ，B 两种品牌运动服的进货单价各是多少元？

(2)由于B 品牌运动服的销量明显好于A 品牌，商家决定采购B 品牌的件数比A 品牌件数的3

2倍多5件，

在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B 品牌运动服？

参考答案

第8课时一次不等式与一次不等式组

点对点·课时内考点巩固

1. D

2. D【解析】解不等式－x＋2≥0，移项得－x≥－2，再将系数化为1，两边同时除以－1，得x≤2.故选D.

3. B

4. C【解析】解不等式x－1＞0，得x＞1，解不等式5－2x≥1，得x≤2，∴不等式的解集为1＜x≤2，在数轴上表示如选项C.

5. B【解析】根据题意，得三个不等式x≥15，x≤12，x≤10，∵小明说这三个人都说错了，∴上述的三个不等式应为x＜15，x＞12，x＞10，取其不等式的公共部分，可知这本书的价格所在范围为12＜x＜

15.

6. C 【解析】设他答对的题的个数为x ，则答错或不答的题的个数为(20－x )，可列不等式为10x －5(20－x )＞120，解得x ＞44

3

，∵x 为非负整数，∴x 至少为15.

7. B 【解析】设此人从甲地到乙地经过的路程为x km ，依题意得：2.4(x －3)＋10≤22，解得x ≤8.∴此人从甲地到乙地经过的路程的最大值为8 km.

8. A 【解析】解不等式x ＋13＜x

2－1得x ＞8，又∵x ＜4m ，且不等式无解，∴4m ≤8，解得m ≤2.

9. a ＜1 【解析】∵a 为有理数，且2－a 的值大于1，∴2－a ＞1，解得a ＜1. 10. a ≥－3 【解析】由不等式组的解集为x ＜a －4，∴3a ＋2≥a －4，解得a ≥－3.

11. k ≤－2 【解析】不等式组?

????2x ＋9＞－6x ＋1①

x －k ＞1 ②，解不等式①得，x ＞－1.解不等式②得，x ＞1＋k .∵

不等式组的解集为x ＞－1，∴1＋k ≤－1，解得k ≤－2.

12. x ≤54 【解析】不等式两边同时乘12，得2x ＋2≥6x －15＋12，解得x ≤5

4

.

13. 8.8 【解析】设可打x 折，要保持利润率不低于10%，则500×x

10－400≥400×10%，解得x ≥8.8.

14. 解：令????

?3（x ＋1）＞x －1①x ＋92＞2x ②，

解不等式①，得x ＞－2. 解不等式②，得x ＜3.

∴不等式组的解集为－2＜x ＜3. 15. 解：????

?3x －5＜x ＋1 ①，3x －46≤2x －13 ②，

解不等式①，得x ＜3. 解不等式②，得x ≥－2.

因此不等式组的解集是－2≤x ＜3.

在数轴上表示如解图．

第15题解图

点对线·板块内考点衔接

1. D 【解析】解不等式x －1≤2，得x ≤3，∴其非负整数解有0，1，2，3，共4个．

2. B 【解析】解不等式2x ＞3x 得x ＜0；解不等式x ＋4＞2得x ＞－2，∴不等式组的解集为－2＜x ＜0，则它的整数解为－1.

3. C 【解析】解不等式2x ＋a ≤1，得x ≤1－a 2.∵不等式只有2个正整数解，∴这2个正整数解只能是

1和2.∴2≤1－a

2

＜3.解得－5＜a ≤－3.故选C .

4. B 【解析】解不等式2(x ＋3)－2≥0，得x ≥－2，解不等式x ＋1

2＞x －1，得x ＜3，∴该不等式组的

解集为－2≤x ＜3，最大整数解为2.

5. A 【解析】解不等式5x ＋2＞3(x －1)，得x ＞－5

2，解不等式x －72≤1－x ，得x ≤3，∴不等式组的解

集为－5

2

＜x ≤3.∴不等式组的非负整数解为0、1、2、3，和为6.

6. 7

2 【解析】解不等式5(x －2)＋8＜6(x －1)＋7，得x ＞－3，则x ＝－2为不等式的最小整数解，将x ＝－2代入2x －ax ＝3，即－2×2＋2a ＝3，解得a ＝7

2

.

7. －2≤m ＜1 【解析】?????x －24＜x －13 ①2x －m ≤2－x ②，解不等式①得，x ＞－2；解不等式②得，x ≤m ＋23

.∵不等

式组有且只有两个整数解，∴两整数解为－1，0，∴0≤m ＋2

3

＜1，∴0≤m ＋2＜3.∴－2≤m ＜1.

8. 15 【解析】设y ＝3x －2，把y ＝127代入可得x ＝43，当y ＝43时由于小于100返回，最终输出结果也是127，把y ＝43代入继续计算可得x ＝15，同理把y ＝15代入继续计算可得x ＝173，∵17

3不是整数，

∴最小正整数是15.

9. 解：(1)设小明原计划购买文具袋x 个，根据题意，得：

10x －8.5(x ＋1)＝17， 解得x ＝17.

答：小明原计划购买文具袋17个；

(2)设小明可购买钢笔y 支，则签字笔可买(50－y )支，根据题意，得： 8×0.8y ＋6×0.8(50－y )≤400－8.5×(17＋1)， 解得y ≤43

8，则y 可取的最大整数为4.

答：小明最多可购买4支钢笔．

10. 解：(1)设A ，B 两种品牌运动服的进货单价分别是x 元、y 元，

根据表格数据可列方程组?

????20x ＋30y ＝10200

30x ＋40y ＝14400，

解得?

????x ＝240

y ＝180.

答：A ，B 两种品牌运动服的进货单价分别为240元和180元； (2)设购进A 品牌运动服m 件，则购进B 品牌运动服(3

2m ＋5)件，

根据题意得240m ＋180(3

2m ＋5)≤21300，

解得m ≤40，

∴32m ＋5≤3

2

×40＋5＝65. 答：最多能购进65件B 品牌运动服．

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9.1.2不等式的性质(第一课时)

9.1.2 不等式的基本性质 内容解析：它承接了等式的性质，让学生第一次经历不等式的等价变形，也经历了从“数”的大小关系到“式”的大小关系的转折，不等式的性质是解不等式的重要依据，因此它是不等式解法的核心内容之一，是本章的基础。 生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，让学生对数量关系的变形有一个完整的认识，形成一个知识体系。 教学目标 知识与能力：1.探索并掌握不等式的基本性质； 2. 运用不等式的基本性质将不等式变形。 方法与过程：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提 高学生的辨别能力. 情感态度与价值观：通过大家对不等式性质的探索，培养学生的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点：掌握不等式的基本性质并能正确运用将不等式变形 教学难点：不等式基本性质3的运用 教学方法：类推探究法 学法：自主探索与合作交流 学情分析： 学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力。 不等式性质3缺少生活经验的依据，已有知识经验对性质3造成负迁移，导致学生不理解运用性质3时“为什么要改变不等号的方向”；在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”。本设计运用分组讨论合作交流的方式，使学生对不等式性质2、3经历猜测、验证、纠错、归纳、完善的充分的思考过程，自发生成。 教学过程 复习回顾，导入新课 等式的基本性质 等式的基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式. 等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式. 不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. 新课讲授 探究1： （1）提问1：类比等式的性质，你发现不等式有哪些性质么？ 如果5＞ 3 那么5+2 ____3+2 , 5 -2____3-2 如果-1< 3, 那么-1+3____3+3, -1- 3____3 - 3 你能总结一下规律吗？

高中数学《基本不等式》优质课教学设计

《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过

不等式5课时作业

第5课一元二次不等式应用题分层训练 1.某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的2倍, 那么明、后两年每年的平均增长率至少 是．（精确到0.1％）. 2．要在长为800米,宽为600米的一块长方形地面上进行绿化,要求四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,要求草坪的面积不小于总面积的一半,则花卉带宽度x的范围为 . 3.已知半圆的半径为1,其内接等腰梯形的一条 底边与半圆的直径重合,则当x= 时,梯形的周长最长. 考试热点 4.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理, 实行征收附加税政策, 已知某种酒每瓶70元, 不加收附加税时, 每年大约销售100万瓶; 若政府征收附加税, 每销售100元要征税R元(叫做税率R%), 则每年的销售量将减少10R万瓶, 要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于112万, R应怎样确定? 5.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量 为a千瓦时,本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k),该地区电力成本价为0.3元/千瓦时,(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式. (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证 电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价－成本价)).拓展延伸 6.已知汽车刹车到停车所滑行的距离s (m)与速度v (km/h)的平方及汽车的总重量a(t)的乘积成正比, 设某辆卡车不装货物以50km/h行驶时, 从刹车到停车滑行了20m , 如果这辆车装载着与车身相等重量的货物行驶, 并与前面的车辆距离为15m , 为了保证在前面车辆紧急停车时不与前面车辆相撞, 那么最大车速是多少? (假定卡车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁1s , 答案精确到1km/h . ) 本节学习疑点：

基本不等式教案第一课时

第 周第 课时 授课时间：20 年 月 日（星期 ） 课题: §3.4 2 a b + 第1课时 授课类型：新授课 【学习目标】 1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程； 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件 【板书设计】

【教学过程】 1.课题导入 2 a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据 中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风 车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不 等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关 系。 2.讲授新课 1．问题探究——探究图形中的不等关系。 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角 形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。 2．总结结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导。 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2 22)(2b a ab b a -=-+ 当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+

人教版高中数学教案：第6章：不等式,教案,课时第 (8)

第八教时 教材：不等式证明三（分析法） 目的：要求学生学会用分析法证明不等式。 过程： 一、介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。 二、 例一、求证：5273<+ 证： ∵052,073>>+ 综合法： 只需证明：22)52()73(<+ ∵21 < 25 展开得： 2021210<+ ∴521< 即： 10212< ∴10212< ∴ 521< ∴2021210<+ 即： 21 < 25（显然成立） ∴22)52()73(<+ ∴5273<+ ∴5273<+ 例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：3 1332 122)()(y x y x +>+ 证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+ 即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++ 即：3322222)(3y x y x y x >+ 只需证：xy y x 32 22> + ∵xy xy y x 3 2 222>≥+成立 ∴ 3 133 2 12 2)()(y x y x +>+ 证二：（综合法）∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+ 2333366)(2y x y x y x +=++> ∵x > 0，y > 0， ∴3 1332 122)()(y x y x +>+ 例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0 证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c )2 = 0 展开得：2 222c b a ca bc ab ++-=++ ∴ab + bc + ca ≤ 0 证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0 故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c )2 即证：0222≥+++++ca bc ab c b a 即：0])()()[(2 1 222≥+++++a c c b b a （显然） ∴原式成立 证三：∵a + b + c = 0 ∴- c = a + b ∴ab + bc + ca = ab + (a + b )c = ab - (a + b )2 = -a 2 -b 2 -ab = 0]4 3)2[(2 2≤+ +-b b a 例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指 横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。 证：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为π2l ，截面积为2 2?? ? ??ππl ， 周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为24?? ? ??l

3.4基本不等式(第一课时)

3.4 基本不等式： 2b a a b + ≤（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析 （一）教材的地位和作用 本节课是人教版《数学》必修5第三章第四节（第一课时），基本不等式是高中数学中一个非常重要的不等式，它是解决一些简单的最大（小）值问题的最基本也是最重要的方法。在前几节课刚刚学习了不等式的性质、一元二次不等式、二元一次不等式组与线性规划问题，这些内容为本节课打下了坚实的基础，同时基本不等式的学习为今后解决最值问题提供了新的方法。 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. （二）教学目标 1. 通过实例探究，引导学生从几何图形中获得重要不等式，并通过类比的和代换的思想得到基本不等式，让体会数形结合的思想，经历从特殊到一般的思维过程，进一步提高学生学习数学、研究数学的兴趣； 2. 从结构、形式等方面进一步认识基本不等式； 3. 经历由实际问题推导出基本不等式，在回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数学、运用数学的过程。 （三）教学重点与难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度认识基本不等式。 难点：在几何背景下抽象出基本不等式的过程；使用基本不等式解决求最值问题时的条件的认识。 二、学生学情分析： 在初中阶段，学生学习了平方、开方、勾股定理、圆、射影定理等概念，高中阶段学生学习了基本初等函数及其性质，加上刚学过的不等关系与不等式的性质，学生对不等式有了初步的了解和应用，但本节内容，变换灵活，应用广泛，条件有限制，考察了学生属性结合、转化化归等数学思想，对学生能灵活应用数

《2.1-等式性质与不等式性质》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)

【新教材】等式性质与不等式性质 教学设计（人教A版） 等式性质与不等式性质是高中数学的主要内容之一，在高中数学中占有重要地位，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应，有着重要的实际意义.同时等式性质与不等式性质也为学生以后顺利学习基本不等式起到重要的铺垫. 课程目标 1. 掌握等式性质与不等式性质以及推论，能够运用其解决简单的问题． 2. 进一步掌握作差、作商、综合法等比较法比较实数的大小． 3. 通过教学培养学生合作交流的意识和大胆猜测、乐于探究的良好思维品质。 数学学科素养 1.数学抽象：不等式的基本性质； 2.逻辑推理：不等式的证明； 3.数学运算：比较多项式的大小及重要不等式的应用； 4.数据分析：多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）； 5.数学建模：运用类比的思想有等式的基本性质猜测不等式的基本性质。 重点：掌握不等式性质及其应用．

难点：不等式性质的应用． 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 一、情景导入 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、轻与重、不超过或不少于等.举例说明生活中的相等关系和不等关系. 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本37-42页，思考并完成以下问题 1.不等式的基本性质是 2.比较两个多项式（实数）大小的方法有哪些 3.重要不等式是 4.等式的基本性质 5.类比等式的基本性质猜测不等式的基本性质 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1、两个实数比较大小的方法 作差法{a?a>0?a>a a?a=0?a=a a?a<0?a

不等式13课时作业

第13课 基本不等式的应用(1) 分层训练 1.如果log 3m+log 3n ≥4, 那么m+n 的最小值是 ( ) A. 4 B. 43 C. 9 D. 18 2.已知正数x , y 满足x+2y=1 , 则y x 2 1+的最小值为_____________ 3.已知x>0 , y>0 , 且15 2=+y x , 则lgx+lgy 的 最大值为_________ 4.将一段圆木制成横截面是矩形的柱子, 若使横截面面积最大, 则横截面的形状是________ 5.周长为l 的矩形的面积的最大值为_________ , 对角线长的最小值为___________ . 考试热点 6.某种汽车购车时费用为10万元, 每年的保险、养路、汽油费用共9千元, 汽车的年维修费逐年以等差数列递增, 第1年为2千元, 第2年为4千元, 第3年为6千元, ……则这种汽车使用几年后报废最合算? (即汽车的年平均费用最低) 7.如图, 电路中电源的电动势为E , 内电阻为r , R 1为固定电阻, R 2是一个滑动变阻器, R 2调至何值时, 其消耗的电功率P 最大? 最大电功率是多少? (P=I 2R) 拓展延伸 8.投资生产某种产品, 并用广告方式促销, 已知生产这种产品的年固定投资为10万元, 每生 产1万件产品还需投入18万元, 又知年销量W(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为W= 1 1 ++x kx (x ≥0), 且知投入广告费1万元时, 可多销售2万件产品. 预计此种产品年销售 收入M(万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费用)的150%与年广告费用50%的和. (1)试将年利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数; (2)当年广告费为多少万元时, 年利润最大? 最大年利润是多少万元? 本节学习疑点：

高中数学 3.4 基本不等式(第1课时)练习

【成才之路】2015版高中数学 3.4 基本不等式（第1课时）练习 一、选择题 1．函数f(x)＝x x ＋1的最大值为 ( ) A.2 5 B ．1 2 C.2 2 D ．1 [答案] B [解析] 令t ＝x (t≥0)，则x ＝t2， ∴f(x)＝x x ＋1＝t t2＋1. 当t ＝0时，f(x)＝0； 当t>0时，f(x)＝1t2＋1t ＝1t ＋1t . ∵t ＋1t ≥2，∴0<1t ＋1t ≤1 2. ∴f(x)的最大值为1 2. 2．若a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则 ( ) A ．ab≤1 2 B ．ab≥1 2 C ．a2＋b2≥2 D ．a2＋b2≤3 [答案] C [解析] ∵a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2， ∴b ＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab ＝a(2－a)＝－a2＋2a ＝－(a －1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故A 、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a ＋4 ＝2(a －1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选C. 3．设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是 ( ) A.1 2 B ．a2＋b2 C ．2ab D ．a [答案] B [解析] 解法一：∵0＜a ＜b ，∴1＝a ＋b ＞2a ，∴a ＜1 2， 又∵a2＋b2≥2ab ，∴最大数一定不是a 和2ab ，

∵1＝a ＋b ＞2ab ， ∴ab ＜14， ∴a2＋b2＝(a ＋b)2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12， 即a2＋b2＞12.故选B. 解法二：特值检验法：取a ＝13，b ＝23，则 2ab ＝49，a2＋b2＝59， ∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大． 4．(2013·湖南师大附中高二期中)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小 值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．14 [答案] B [解析] 根据题意得3a·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝12时“＝”成立．故选B. 5．设a 、b ∈R ＋，若a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值等于 ( ) A ．1 B ．3 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 1a ＋1b ＝12??? ?1a ＋1b (a ＋b) ＝1＋12??? ?b a ＋a b ≥2，等号在a ＝b ＝1时成立． 6．已知x>0，y>0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则 a ＋ b 2cd 的最小值是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 [答案] D [解析] 由等差、等比数列的性质得 a ＋ b 2cd ＝x ＋y 2xy ＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·x y ＋2＝4.当且仅当x ＝y 时取等号，∴所求最小值为4. 二、填空题

不等式第5课时

第5课时一元二次不等式应用题 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．学会建立一元二次不等式及二次函数模型解决实际问题 2．体会由实际问题建立数学模型的过程和方法 【课堂互动】 精典范例 例1．用一根长为100m的绳子能围成一个面积大于600m2的矩形吗? 当长、宽分别为 多少米时, 所围成矩形的面积最大? 【解】 见书． 例２. 某小型服装厂生产一种风衣, 日销货量x件与货价P元/件之间的关系为P=160－2x , 生产x件所需成本为C=500+30x元. 问: 该厂日产量多大时, 日获利不少于1300元？ 见书． 例3：汽车在行驶中, 由于惯性的作用, 刹 车后还要继续向前滑行一段距离才能停住, 我们称这段距离为“刹车距离”, 刹车距离是 分析事故的一个重要因素. 在一个限速为40km / h的弯道上, 甲、 乙两辆汽车相向而行, 发现情况不对, 同时 刹车, 但还是相碰了, 事后现场勘查测得甲车 的刹车距离略超过12m , 乙车的刹车距离略 超过10m , 又知甲、乙两种车型的刹车距离s ( m )与车速x ( km / h )之间分别有如下关系: s甲= 0.1x+0.01x2, s乙=0.05x+0.005x2, 问甲、乙 两车有无超速现象? 【解】 见书． 听课随笔

思维点拔： 解应用题的步骤： 1．审题 2．解题（设，列，解，答） 3．回顾（变量范围与实际情况要一致） 追踪训练 1．制作一个高为20cm 的长方体容器，其底面矩形的长比宽多10cm ，并且容器的容积不得少于40003cm ，则底面矩形的宽至少应为 10 ㎝． ２．某工厂的三年产值的年增长率情况依次为：第一年至少为a%,第二年至少为b%,第三年至少为c%,则这三年的年平均增长率 ３．某渔业分司年初用98万元购买一艘捕鱼船, 第一年各种费用12万元, 以后每年都增加4万元, 每年捕鱼收益50万元. (1)问第几年开始获利? (2)若干年后, 有两种处理方案: ①年平均获利最大时, 以26万元出售该渔船; ②总纯收入获利最大时, 以8万元出售该渔船, 问哪种方案最合算? (提供公式: a>0 , x>0时, x+x a ≥2a (当且仅当x=x a 时取等号) 略解:（１）设第n 年开始获利,则可得到：04920<+-n n ,解后知第３年开始获利． （２）方案一：７年净获利110元． 方案二：10年净获利110元． 故方案一最合算． 【选修延伸】 分段函数模型 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元, 但每生产100台时又需可变成本0.25万元, 市场对此商品的年需求量为500台, 销售收入函数为R(x)=5x －21x 2 (万元) (0≤x ≤5). 其中x 是产品售出的数量(单位: 百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量为多少时, 企业所得的利润最大? (3)年产量为多少时, 企业才不亏本? 略解：（１）设利润为y ，则 ?????>-≤≤-+-=)5(412)50(5.075.45.02x x x x x y （２）当且仅当419=x 时，y 的最大值为32345万元． （３）由0>y ，解得 485625.2175.4≤≤-x 即481.0≤≤x 答：略． 思维点拔： 不要忽视对x>5的讨论，故建立的是一个分段函数的模型。 听课随笔 【师生互动】

人教版初一数学下册不等式的性质第一课时

不等式的性质 第 1 课时 【教学目标】 1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，掌握不等式的性 质； 2、初步体会不等式与等式的异同； 【教学重点与难点】难点：正确运用不等式的性质。重点：理解并掌握不等式的性质。 【教学过程】 一、复习引入 等式的基本性质1：在等式两边加上(或减去)同一个数或(式子)，结果仍相等． 等式的基本性质2：在等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 等式的这些性质适用于不等式吗？不等式有哪些性质呢？ 二、预习导学 知识点一不等式的性质1 思考：用“〉”或“V”填空，并总结其中的规律： (1)5>3, 5+2___3+2 , 5－2___3－2 ; (2)-1<3, -1+2___3+2 , -1 －3___3－ 3 ; 观察上面的不等式，当不等式两边加上(或减去)相同的数时，不等号的方向是否发生变化？(不变) 你能举例检验一下刚才你的结论是否正确吗？ 归纳 不等式的性质 1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子) ，不等号的方向不变. 如果a> b，那么a±:> bic 知识点二不等式性质 2 与3 思考：用“〉”或“V”填空，并总结其中的规律： (3)6> 2, 6 _____ 2 >5,6 &5) ______ 2X(-5); (4)-2<3, (-2) 6X 3X , (-2) (-X) _3X(-6 ) 当不等式两边乘同一个正数时, 不等号的方向是否改变？ (不变) 而乘同一个负数时,不等号的方向是否改变？ (改变) (5)6>2, 6 吃_____ 2 2, 6-( - 2) ______ 2 ( - 2)

2021高考数学一轮复习课时作业35基本不等式理(含答案及解析)

高考数学一轮复习： 课时作业35 基本不等式 [基础达标] 一、选择题 1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋a b ≥2，故只须a 、b 同号即可，∴①③④均可以． 答案：C 2．[2020·北京101中学统考]“a >0”是“a ＋2 a ≥22”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：当a >0时，由基本不等式易得a ＋2a ≥22成立；当a ＋2a ≥22时，得 a 2 －22a ＋2 a ≥0即 a －22 a ≥0，所以a >0，所以“a >0”是“a ＋2 a ≥22”的充要条件，故选C 项． 答案：C 3．[2019·湖北荆门一中期中]函数f (x )＝x 2＋4 |x | 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 解析：f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥4，当且仅当x ＝±2时取等号，所以f (x )＝x 2＋4 |x | 的最 小值为4，故选B 项． 答案：B 4．[2020·陕西西安铁路一中月考]下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a ≥4 B．a 2＋b 2 ≥4ab

C.ab ≥ a ＋b 2 D ．x 2 ＋3x 2≥2 3 解析：若a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错误．取a ＝1，b ＝1，则a 2＋b 2 <4ab ，故B 错 误．取a ＝4，b ＝16，则ab < a ＋b 2 ，故C 错误．由基本不等式可知选项D 正确． 答案：D 5．[2019·山东烟台期中]已知x ，y ∈R 且x －2y －4＝0，则2x ＋14y 的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．256 解析：∵x －2y －4＝0，∴x －2y ＝4，∴2x ＋14y ≥22x －2y ＝8，当且仅当x ＝2，y ＝－1 时等号成立，∴2x ＋14 y 的最小值为8，故选B 项． 答案：B 6．[2019·北京通州区期中]设f (x )＝ln x,0p C ．p ＝r q 解析：∵00，b >0，且a ＋b ＝1，则14a ＋1 9b 的最小值为( ) A.1 25 B ．5 C. 25 36 D ．25 解析：由已知得，14a ＋19b ＝（14a ＋19b ）·(a ＋b )＝14＋19＋b 4a ＋a 9b ≥13 36＋2 b 4a ·a 9b ＝25 36 ，当且仅当a ＝35，b ＝25时取等号，所以14a ＋19b 的最小值为25 36 ，故选C 项． 答案：C

高中数学基本不等式(第一课时)教案

课题:§3.4 2a b +≤（第1课时） 数学组 2009-3-18 授课类型：新授课 教学目标： 1、知识与技能目标：（12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标：（1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标（1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 教学重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式。 教学难点：2 a b +≤ 求最值的前提条件。 教学过程： 一、创设情景，引入新课 1.勾股定理的背景及推导 赵爽弦图 引导学生从赵爽弦图中各图形的面积关系得到勾股定理，了解勾股定理的背景。 2.(1)问题探究——探究赵爽弦图中的不等关系 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，比较4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的不等式？ 引导学生从面积关系得到不等式：a 2+b 2≥ 2ab ，当直角三角形变为等腰直角三角形，即正 方形EFGH 缩为一个点时，有222a b ab += （2）总结结论：一般的，如果)""(2R,,2 2号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a

（3）推理证明：作差法 二、讲授新课 1.思考：如果用222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足什么条 件？ 2 a b +(0,0>>b a )，当且仅当b a =时取等号。 2.推理证明：作差法 3.(1)探究:(课本P98) 如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。 引导学生发现： 2 a b +CD,得到 2a b +(0,0>>b a ) 几何意义：半弦长不大于半径长。 (2),a b 的几何平均数，称2 a b +为正数,a b 的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 三、例题讲解 例1:若0>x ，求1y x x =+ 的最小值。 变1：若0x >，求123y x x =+的最小值。 变2：若0,0a b >>，求b a y a b =+的最小值。 变3：若3x >，求13 y x x =+-的最小值。 例2：若01x <<，求(1)y x x =-的最大值。 变：若102x <<，求(12)y x x =-的最大值。 设计意图：发现运算结构，应用基本不等式求最值，把握基本不等式成立的前提条件 四、课时小结 1.知识要点：（1）基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数两方面的意义 2.思想方法技巧：（1）数形结合思想 （2）换元法、作差法 （3）配凑等技巧 五、作业 自编的练习

高中数学课时作业：基本不等式

课时作业38 基本不等式 一、选择题 1．下列不等式一定成立的是( C ) A ．lg ? ?? ?? x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1 sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1 x 2＋1 >1(x ∈R ) 解析:对选项A,当x >0时,x 2 ＋1 4－x ＝? ????x －122≥0,所以lg ? ?? ??x 2＋14≥lg x ；对选项 B,当sin x <0时显然不成立；对选项C,x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |,一定成立；对选项D,因为x 2＋1≥1,所以0<1 x 2＋1 ≤1.故选C. 2．若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( D ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2,＋∞) D ．(－∞,－2] 解析:∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ? ????当且仅当2x ＝2y ＝12，即x ＝y ＝－1时等号成立, ∴2x ＋y ≤12,∴2x ＋y ≤1 4,得x ＋y ≤－2. 3．已知a ＋b ＝t (a >0,b >0),t 为常数,且ab 的最大值为2,则t ＝( C ) A ．2 B ．4 C ．2 2 D ．2 5 解析:∵a >0,b >0,∴ab ≤(a ＋b )24＝t 24,当且仅当a ＝b ＝t 2时取等号．∵ab 的最大值为2,∴t 2 4＝2,t 2＝8.又t ＝a ＋b >0,∴t ＝8＝2 2.

4．已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ,则f (x )在? ??? ?? 12，3上的最小值为( D ) A.1 2 B.4 3 C ．－1 D ．0 解析:f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0,当且仅当x ＝1 x ,即x ＝1时取等 号．又1∈??????12，3,所以f (x )在???? ?? 12，3上的最小值是0. 5．已知x ,y 为正实数,且x ＋y ＋1x ＋1 y ＝5,则x ＋y 的最大值是( C ) A ．3 B.72 C ．4 D.92 解析:∵x ＋y ＋1x ＋1y ＝5,∴(x ＋y )[5－(x ＋y )]＝(x ＋y )·? ?? ??1x ＋1y ＝2＋y x ＋x y ≥2＋2＝4,∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0,∴1≤x ＋y ≤4, ∴x ＋y 的最大值是4,当且仅当x ＝y ＝2时取得． 6．(吉林长春外国语学校质检)已知x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,若2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,则实数t 的取值范围是( B ) A ．(－∞,－8)∪(3,＋∞) B ．(－8,3) C ．(－∞,－8) D ．(3,＋∞) 解析:∵x >0,y >0,且3x ＋2y ＝xy ,可得3y ＋2x ＝1,∴2x ＋3y ＝(2x ＋3y )3y ＋2 x ＝13＋6x y ＋6y x ≥13＋2 6x y ·6y x ＝25,当且仅当x ＝y ＝5时取等号．∵2x ＋3y >t 2＋5t ＋1恒成立,∴t 2＋5t ＋1<(2x ＋3y )min ,∴t 2＋5t ＋1<25,解得－80,不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( A ) A ．a ≥1 5 B ．a >15 C ．a <15 D ．a ≤1 5

基本不等式第一课时

基本不等式（第一课时） 授课教师：浙江省温州市第十四高级中学陈芝飞 教材：人教版高中数学必修5第三章 一、教学目标 1．通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得基本不等式，培养学生用数学的眼光观察世界的素养------数学抽象与直观想象。 2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，培养学生用数学思维分析世界的素养----逻辑推理论与数学运算。 3．通过“赵爽弦图”的引入传播数学文化，感受数学魅力；从直观猜想到严格论证体现数学的理性精神；通过不同角度理解基本不等式，发现数学的和谐美、对称美、简洁美。 4．借助例题尝试用基本不等式解决简单的最值问题，引导学生领会运用基本不等式 2b a a b + ≤的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略． 二、教学重点和难点 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式 2b a a b + ≤的证明过程． 难点：在探究基本不等式的过程中培养学生的数学核心素养，并能应用基本不等式求最大值与最小值． 三、教学过程： 1．由形及数，发现新知 师：先给大家展示一幅图。（展示北京国际数学家大会会标） 问题1：同学们见过这个图形吗？它告诉我们什么信息？ 师：这个是什么图形？你感觉它像什么呀？ 这是由四个全等的直角三角形所围成的一个正方形，颜色的明暗使它看 上去像一个“风车”，代表中国人民热情好客。这种像“风车”一样的图标是2002年8月20—28在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、形数统一、代数和几何是紧密结合、互不可分的．

不等式第8课时

第3课时 【学习导航】 知识网络 学习要求 1.了解线性规划相关概念，掌握简单线性规划求解方法 . 2.培养学生的数学应用意识和数形结合的能力． 【课堂互动】 自学评价 １．线性条件与线性约束条件 ２．目标函数与线性目标函数： ３．可行域： ４．线性规划： 【精典范例】 例1．在约束条件410432000 x y x y x y ì+ ????+ ?í?3???3?? 下, 求P=2x+y 的最大值与最小值. 【解】 变式１．在例１条件下，求P=2x+y+20的最大值与最小值 变式２．在例１条件下，求P=2x-y 的最 求P=4x+3y 的最 约束条件下求目标函数的最大值或最小值的求解步(2)作出直线l 0:ax+by=0；0使其过最优解对应点；(4)解相求出最优解从而求出目标函数 最值． 2.线性规划问题主要借助于图形求解，故作图要尽可能地准确，尤其对于l 0的斜率与平面区域边界线的斜率大小关系要搞清．从而准确地确定最优解对应点的位置． ３. 最优解有时会有无数个． 追踪训练一 1. 已知222x y x y ì￡???￡í??+ ??? , 则目标函数Z=x+2y 的最大值是___________ . ２．已知1224a b a b ì-? ??í?? ?? , 则4a －2b 取值范围是__________ ３．给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则a 值为 ( ) A.41 B. 53 C. 4 D. 35 学习札记

例 2.设变量x , y 满足条件???????>>∈≤+≤+0 ,0,11 410 23y x Z y x y x y x , 求S=5x+4y 的最大值. 思维点拔： 求整点最优解的方法： (1)作网格线法(特殊点可验证处理)求出的整数点逐一代入目标函数，求出目标函数的最值． (2)作网格线，确定整点，然后设作l 0让其平移确定最优整点解，再求最值． 追踪训练二 设变量x , y 满足条件238 27,x y x y x y N ì+ ?? ?+ í?????? , 求S=3x+2y 的最值. 学习札记

人教版初一数学下册不等式的基本性质第一课时

“不等式的性质”的教学设计 汤岗子学校崔艳 一、课标分析 数学新课程标准提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。笔者在认真学习领会新课程标准的基础上，在《不等式的性质》教学设计中大胆探索归纳式学习方法、勇于实践探究式教学方法，以取得更好的教学效果。 二、教材分析 （1）本节内容是七年级下第九章《不等式和不等式组》中的重点部分，是不等式的第一节课，由于学生是第一次接触不等式，故此节课应该是在加深对不等式的认识的基础上，着重探究不等式的性质，了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念。 （2）不等式的性质是后继深入学习一元一次不等式组以及解决与不等式有关问题的基础和依据。教材中列举了不等式的三条基本性质定理,这三条性质不等式的最基本、也是最重要的性质，不仅要掌握它们的内容、理解掌握它们成立的条件、把握它们之间的联系,还要对这些性质进行拓展探究。 （3）不等式的性质是培养学生数学能力的良好题材，学习不等式，要经常用到观察、分析、归纳、猜想、迭代的思想，还要综合运用前面的知识解决不等式中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。本节内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。

（4）本章的知识定位与传统教材有些不同，在这套教材中，前面已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容，现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了，但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同，相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大，并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程，让学生体会建立不等关系及学习一元一次不等式和一元一次不等式组的意义，并且关注学生学习习惯的养成与“数学化”能力等方面的发展，渗透函数、方程、不等式思想。 因此，“不等式的性质”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它在利用不等式的观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 三、学生分析 从学生的知识上看，学生已经学过等式的定义、性质，并掌握了等式的运算规律等，接下来的任务是通过类比、猜测、验证的方法来探索不等式的性质，掌握不等式的性质，并初步体会不等式与等式的异同。 从学生现有的学习能力看，通过小学对等式的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习上看，学生头脑中虽有一些不等式性质的的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给不等式的性质以数学描述？如何“定性”“定量”地描述不等式的性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。不等式的性质是学生从已经学习的等式中比较容易类比的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过

不等式第7课时

第2课时 学习要求 1.理解二元一次不等式组表示平面区 域的含义，并能准确地作出二元一次 不等式组表示的平面区域，还能处理 一些逆向问题． 2.学会解决一些简单的整点问题．【课堂互动】 自学评价 １．不等式组表示的平面区域 . ２．整点：. 【精典范例】 例1．画出下列不等式组所表示的区域 (1) 21 24 y x x y ì? ?? í? +>?? (2) 4380 x y x y ì> ?? ? > í? ?+-0 听课随笔

2.如图所示阴影部分可用二元一次不等式组表示 ( ) A.1220y x y ì???í?-+ ?? B.1220 y x y ì???í?-+ ?? C.02240x y x y ì￡??? ?í??-+ ??? D.02240 x y x y ì￡??? ?í??-+ ??? 例3利用平面区域求不等式组 230236 035150x y x y x y ì-->??? +-<í??--< ??? 的整数解. 思维点拔： 方法一：(1)画区域(2)求交点(3)通过定x 的范围来确定整数x(4)再通过x 的整数值来定y 的整数值． 方法二：(1)画区域(2)打网格线(3)特殊点验证． 追踪训练二 在坐标平面上, 不等式组 13||1y x y x ì???í??+??所表示的平面区域内整数点个数为 ( ) A.１ B. ２ C. ３ D. ４ x 听课随笔 【师生互动】