二次函数及根的分布-
二次函数
教学目标：
1．掌握二次函数的图像及性质
2．能够求出二次函数在某个区间上的最值
3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点：
重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用
知识要点：
二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
设2()(0)f x ax bx c a =++≠，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a
=-2, 当a >0时，抛物线开口向上
若-
∈b
a m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-?b
a
m n 2[]，
当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b
a
=-
2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时
???
????
+<-+≥-=)
)((212)())((212)()(21max
如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ??
?
?
?
?
???
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
当a <0时
???
?
?????
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+??
???
??，，如图如图212212910
典型例题
一、求二次函数在闭区间上的值域
（一）正向型
已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决
这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动．
1．轴定区间定
例1．
已知函数2
()2tan 1,[1f x x
x x θ=+-∈-，当6
πθ=-时，求函数f(x)的最大值与最小值．
解析：6πθ=-时， 24()(3
f x x =-
所以3x =时，min
4
()
;1
3
f x x =-=-时，max
()
3
f x =
．
2．轴定区间动
例2．求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值． 解析：对称轴2x =
（1）当2t <即2t >时，()2
min
43y f t t t ==-+； （2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min
21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2
min
12y f t t t =+=-
3．轴动区间定
例3．求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值． 解析：函数
4)2(2
2a a x y +
--=图象的对称轴方程为2a x =，应分12
1≤≤-a
，12
- ，12 >a 即22≤≤-a ，2-a 这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）2- () (1) f x f =- （2）a ≤-22≤；由图可知max ()() 2 a f x f = （3）2>a 时；由图可知max () (1) f x f = ∴???? ???>≤≤--<-=2 ,)1(22,)2(2,)1(a f a a f a f y 最大 ；即???????>-≤≤--<+-=2 ,122,42 ,)1(2a a a a a a y 最大 4．轴动区间动 例4．已知24()(0),y a x a a =->，求2 2 (3) u x y =-+的最小值． 解析：将2 4()y a x a =-代入u 中，得 ① ，即 时， ② ，即 时， 所以 （二）逆向型 已知二次函数在某区间上的最值，求函数在区间中的参数值． 例5．已知函数2 ()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值． 解析：2 ()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不合题意． （2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+ 由814a +=，得3 8a =； （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=，得3a =-． 综上知3 8a =或3a =-． 例6．已知函数2 ()2 x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ， n 的值． 解析：方法一：讨论对称轴中1与,,2 m n m n +的位置关系． ①若 ，则max min () ()3() ()3f x f n n f x f m m ==?? ==? 解得 ②若12 m n n +≤<，则max min ()(1)3() ()3f x f n f x f m m ==??==?，无解 ③若12m n m +≤<，则 max min ()(1)3()()3f x f n f x f n m ==?? ==?，无解 ④若，则 max min ()()3()()3f x f m n f x f n m ==?? ==?，无解 综上，4,0m n =-= 方法二：由2 11()(1)22 f x x =--+ ，知11 3,,26 n n ≤≤，则[,](,1]m n ?-∞，f(x)在[,]m n 上递增． 所以max min ()()3()()3f x f n n f x f m m ==?? ==? 解得4,0m n =-= 评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了． 例7．已知函数2 1sin sin 42 a y x a x =-+- +的最大值为2，求a 的值 ． 解析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题． 令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴2 2 1()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2 a t =， ①当112 a -≤≤，即22a -≤≤时，2 max 1(2)24 y a a = -+=，得2a =-或3a =（舍去）． ②当12 a >，即2a >时，函数221 ()(2) 24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 11 1242 y a a =-+-+=，得103 a =． ③当 1 2 a <-，即 2a <-时，函数2 21 ()(2)2 4 a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减， 由 max 11 12 42 y a a =---+=，得2a =-（舍去）． 综上可得：a 的值为2a =-或103 a =． 二、恒成立问题 此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法． 例14．已知函数 2 ()3f x x ax =++， （1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当[2,2]x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：（1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，即2 30x ax a ++-≥在 R 上恒成立， 因此0?≤得：62a -≤≤． （2）[2,2]x ∈-，()f x a ≥恒成立，即[2,2]x ∈-，min ()f x a ≥． 函数2 ()3f x x ax =++的对称轴为：2 a x =-， ①22a -≤-即4a ≥时，min ()(2)72f x f a a = -=-≥得：73 a ≥故此时 无解； ② 22 a -≥即 4 a ≤-时， m i n ()(2)72f x f a a = =+≥得：7a ≥-故 74a -≤≤-； ③ 222 a -<- <即44a -<<时， 2 m i n () ()324 a a f x f a =-=-+≥得： 62a -≤≤故42a -<≤； 综上可知：72a -≤≤． 例15．不等式 2 (2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：①a=2时，40-<，恒成立； ②2a ≠时，满足 200 a - ? 综上可知：22a -<≤． 例16．当(1,2)x ∈，不等式2 40x mx ++<，求实数m 的范 围． 解析：方法一：令 2 ()4f x x mx =++ ()f x 开口向上故f （x ）在[1,2]上的最大值为(1)f 或(2)f ，故 (1)0 (2)0 f f ≤??≤?得： 5m ≤-． 方法二：参数分离法 (1,2)x ∈时，2 40x mx ++<等价于4 ()m x x <-+（(1,2)x ∈）， 4 5()4x x -<-+<-，（(1,2)x ∈）, 故5m ≤-． 例16．对满足 2 p ≤的所有实数p ，求使不等式 212x px x p ++>+恒成立的x 取值范围． 解析：由题意知，不等2(1)210x p x x -+-+>对[2,2]p ∈-恒成立， 令2 ()(1)21f p x p x x =-+-+，（看作是p 的函数） 由(2)0 (2)0f f ->??>? 得：1x <-或3x >． 三、根的分布 例8．(1)方程2 240x ax -+=的两根均大于1，求实数a 的范围． (2)方程2240x ax -+=的两根一者大于1，一者小于1求实数a 的范围． (3)方程2240x ax -+=的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a 的范围． 解析：令2()24f x x ax =-+ （1）由012(1)0 a f ?≥??? >??>??或 1212 (1)(1)0(1)(1)0 x x x x ?≥?? -+->??-->?得：522a ≤<； （2）由(1)0f <或120(1)(1)0 x x ?>?? -- 2a >； （3）由(0)0 (1)0 (6)0 (8)0 f f f f >?? ??得：101734a <<． 例9．关于x 的方程9(4)340x x a ++?+=有实根，求实数a 的取值范围． 解析：令3x t =（0t >）， 原方程有实根等价于方程2(4)40t a t +++=有正根． 令2()(4)4f t t a t =+++，则()f t 恒过(0,4)点． 方法一：0 402 a ?≥?? ?+->??得：8a ≤- 方法二：要使方程2(4)40t a t +++=有正根，则方程2(4)40t a t +++=的较大根大于0即可； 故由00?≥?>得：8a ≤- 例10．关于x 的方程2 210ax x ++=至少有一个负根，求实数a 的取值范围． 解析：令2()21f x ax x =++，()f x 恒过(0,1)点 方法一： ①0a =时，210x += ?1 02 x =- <成立． ②0a >时，010a ?≥?? ?- ③0a <时，恒成立； 综上可知：1a ≤． 方法二： ①0a =时，210x += ?1 02 x =- <成立． ②0a ≠时，要使方程2210ax x ++=至少有一个负根等价于方程2 210ax x ++=的较小根小于0即可． 故 000a ??>???≥?< 或00 0a ?? ?≥?<得1a ≤； 综上可知：1a ≤． 例11．已知函数2 2 ()(21)2f x x a x a =--+-与非负轴至少有一个交点，求实数a 的取值范围． 解析：方法一： ①方程()0f x =有一个实根是0，则(0)0f = 得：a = ②方程()0f x =有两个正根，则02102 (0)0 a f ?≥??-? >??>?? 94a <≤； ③方程()0f x =有一个正根一个负根，则(0)0f > 得：a << 综上可知：94 a ≤． 方法二： 考虑命题的对立面：方程()0f x =没有实根或两个负根； ①方程()0f x =没有实根，则0?<得：94 a > ； ②方程()0f x =有两个负根，则02102 (0)0 a f ?≥??-? ?? 得a < a <94a >． 因此函数22 ()(21)2f x x a x a =--+-与非负轴至少有一个交点实数a 的取值范围是：94 a ≤≤ ． 例12．关于x 的方程2 10x mx -+=只有较小的根在(1,1)-内，求实数m 的取值范围． 解析：①(1)0f =时，2m =，此时方程为2 210x x -+=，两根121x x ==，不成立； ②由(1)0 (1)0 f f ->?? ； 综上可知：2m >． 例13． 关于x 的方程2 (1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有实根，求实数m 的取值范围． 解析：令2 ()(1)1f x x m x =+-+， ①端点：(0)10f =≠；(2)0f =得：32 m =-； ②在开区间(0,2)上 （i ）在(0,2)上仅有一个实根，则(0)(2)0f f ?<得： 32 m <- ； （ii）在(0,2)上有两个相等的实根，则 1 02 2 m ?= ? ? ?- << ?? 得：1 m=-； （iii）在(0,2)上有两个不等的实根，则 1 02 2 (0)0 (2)0 m f f ?> ? ?- ?<< ? ? ?> ? > ?? 得： 3 1 2 m -<<； 综上可知：1 m≤-． 一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 【经典例题】二次函数根的分布 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()1 2 0,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()1 2 0,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()1 2 0x x << 大致图 象（0 >a ） 得出的 结论 ()00200 b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()0 0 表三：（根在区间上的分布） 分 布情况 两根都在()n m ,内 两根有且仅有 一根在()n m ,内 （图象有两种 情况，只画了一种） 一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<< 大致图 象（0 >a ） 得出的结论 ()()0002f m f n b m n a ?>?? >?? >???<-? ? 或 ()()()()00 f m f n f p f q 二、经典例题 例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程0 24)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的 取值范围。 变式：关于x 的方程0 12)1(2 2 =-+-mx x m 的两个根，一 个小于0，一个大于1，求m 的取值范围。 例2：（动轴定区间）函数3 2)(2 --=ax x x f 在区间[]2,1上 是单调函数，则a 的取值范围是？ 讨论 二次函数根的分布经典练习题及解析 1若不等式(a －2)x 2+2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是() A(－∞,2] B [－2,2] C(－2,2] D(－∞,－2) 2设二次函数f (x )=x 2－x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m －1)的值为() A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 3已知二次函数f (x )=4x 2－2(p －2)x －2p 2－p +1,若在区间［－1，1］内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________ 4二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2) 8一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160－2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元 (1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？ (2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 参考答案 1解析当a －2=0即a =2时,不等式为－4＜0,恒成立∴a =2,当a －2≠0时，则a 满足 ? ? ?0,则f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1), ∴m －1＜0,∴f (m －1)>0 答案A 3解析只需f (1)=－2p 2－3p +9>0或f (－1)=－2p 2+p +1>0即－3＜p ＜2 3或－2 1＜p ＜1∴p ∈(－3,2 3) 答案(－3，2 3） 4解析由f (2+x )=f (2－x )知x =2为对称轴，由于距对称轴较近的点的纵坐标较小， ∴|1－2x 2－2|＜|1+2x －x 2－2|,∴－2＜x ＜0 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 二次函数根的分布 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二：（两根与k 的大小比较） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图 象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 第三讲二次函数 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。 一、“四个二次型”概述 在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”： →a=0 → ↑↑ ↑↑ （一元）二次三项式 →a=0 → ax2+bx+c(a≠0) ↓↓↓↓ ↓↓↓↓ →a=0 →↓ ↓↓ 一元二次不等式 →a=0 → ax2+bx+c>0或 ax2+bx+c<0(a≠0) 观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个 初三数学培优卷：二次函数考点分析 ★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点： 开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． ★★二次函数y=ax 2 +bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0） 一般式：y=ax 2 +bx+c ，三个点 顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，顶点坐标对称轴 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -）． 顶点坐标（h ，k ） ★★★a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－2b a <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－ 2b a >0，即对称轴在y 轴右侧， c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y 轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出． 交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()2 0f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ?? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。则一元二次方k 1x 2x k k k k 2k 1k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x 例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围 例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021> 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） k k k 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 二次函数根的分布 一、简单的三种类型 利用Δ与韦达定理研究)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的分布 （1）方程有两个正根??? ?? ? ??? >=>-=+≥-=??000421212a c x x a b x x ac b （2）方程有两个负根??? ? ? ? ??? >=<-=+≥-=??000421212a c x x a b x x ac b （3）方程有一正一负根0->≥-=??≤ 解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的. 例3.若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围. （2）???? ??? <->≥-=??<≤k a b k af a c b k x x 20)(04221【图例】 解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的. （3）21x k x < 二次函数 教学目标： 1．掌握二次函数的图像及性质 2．能够求出二次函数在某个区间上的最值 3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点： 重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a =-2, 当a >0时，抛物线开口向上 若- ∈b a m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-?b a m n 2[]， 当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a =- 2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时 ??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时 ??? ? ????? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+?? ??? ??，，如图如图212212910 典型例题 一、求二次函数在闭区间上的值域 （一）正向型 已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决 这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动． 1．轴定区间定 例1． 已知函数2 ()2tan 1,[1f x x x x θ=+-∈-，当6 πθ=-时，求函数f(x)的最大值与最小值． 二次函数与函数的零点 一、知识要点 1．二次函数的解析式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． a >0 a <0 图象 定义域 R 值域 ??? ?4ac －b 24a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 24a 单调性 在? ???－∞，－b 2a 上递减，在????－b 2a ，＋∞上递增 在? ???－∞，－b 2a 上递增，在??? ?－b 2a ，＋∞上递减 奇偶性 b ＝0时为偶函数，b ≠0既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 ①对称轴：x ＝－b 2a ；②顶点：????－b 2a ，4ac －b 24a (1)定义： 使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系： 方程f (x )＝0有实数根?函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点?函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条不间断的曲线，且f (a )·f (b )<0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点． 3．函数零点具有哪些性质？ 提示：对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质： (1)当它通过零点且穿过x 轴时，函数值变号； (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 4．二次函数y ＝ax 2 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象 与x 轴的 交点 (x 1,0)，(x 2,0) (x 1,0) 无交点 零点个数 两个 一个 零个 二次函数根的分布 令狐采学 一、知识点 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布 情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论 （不讨论 ） 的大小比较） 表二：（两根与 表三：（根在区间上的分布） 分布 情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论 （不讨论 ） 分布情况 两根都在 内 两根有且仅有一根在 内 （图象有两种情况，只画了 一种） 一根在 内，另一根在 内， 二、经典例题 是方程 ：（实根与分布条件）已知 1例的取值范围。，求实数的两个根，且 ， 0的两个根，一个小于的方程 变式：关于的取值范围。 ，求1一个大于 上是单调 在区间 轴定区间）函数 ：（动2例大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论 （不讨论 ） —————— 的取值范围是？ 函数，则 2 ：函数 变式 在 的 上是增函数，求实数 取值范围。 3 列 在 ：（定轴动区间）求函数 上的值域。 3 变式 在区间 ：已知函数 上有最小值 3 ，求实数 的取值范围。 4 例 ：（定轴动区间）已知二次函数 ，若 在 上的最小值为 ，求 的表达式。 4 变式 ：已知二次函数 满足 ，且 在区间 上的值域是 ，若 的 ，求 值。 5 例 已知函数 ：（恒成立问题） ，若对于任意 成立，求实数 ，都有 的取值范围。 5 变式 ：已知函数 上恒大于 ，求实数 在 的取值范围。 三、课后练习 1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 2、函数在上有最大值5和最小值2，求的值。 3、讨论函数的最小值。 4、已知函数的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 二次函数教学目标： 1．掌握二次函数的图像及性质 2．能够求出二次函数在某个区间上的最值 3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点： 重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用 知识要点： 二次函数最值问题： 二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． ! 设2 ()(0) f x ax bx c a =++≠，求f x()在x m n ∈[] ，上的最大值与最小值． 分析：将f x()配方，得对称轴方程x b a =- 2 当a>0时，抛物线开口向上 若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若 当a>0时，抛物线开口向上，此时函数在[] m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a =- 2 较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a<0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a>0时 ? ? ? ?? ? ? + < - + ≥ - = ) )( ( 2 1 2 ) ( ) )( ( 2 1 2 ) ( ) ( 2 1 max 如图 如图 ， ， n m a b n f n m a b m f x f ? ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≤ - ≤ - > - = ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( 5 4 3 min 如图 如图 如图 ， ， ， m a b m f n a b m a b f n a b n f x f ; 二次方程根的分布情况归纳(完整版) ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期: 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方 程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况) 分 布情况 两个负根即两根都小于０ ()120,0x x << 两个正根即两根都大于０ ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 表二:(两根与k 的大小比较） 分布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象 ( >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 上海高考数学二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） k k k 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13 m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 根的分布练习题 例1、已知二次方程()()2 21210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。 解：由 ()()2100m f +< 即 ()()2110m m +-<，从而得1 12 m -<<即为所求的范围。 例2、已知方程()2 210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。 解：由 专题十一 一元二次方程实根的分布讨论 本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。 一．一元二次方程实根的基本分布——零分布 一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正?△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负?△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 一正一负?1x 2x ＜0。 例1．关于x 的一元二次方程2 8(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ??? +< ??> ?≥ ① ②③ 由①得：2 (1)32(7)0m m +--≥，2 (15)0m -≥，恒成立。 由②得：1 8m +- ＜0，解之，m ＞1-。 由③得：7 8 m -＞0，解之，m ＞7。 综上，m 的取值范围是m ＞7。 例2．若n ＞0，关于x 的方程2 1(2)04 x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n 的 值。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ?= ?? +??> ?① ＞ ②③ 由①得：2 (2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。 二次函数根的分布问题 1、 二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 上的值域和最值问题。 ① 当对称轴2b x m a =-≤时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 是单调递增函数，所以2max ()y f n an bn c ==++，2 min ()y f m am bm c ==++； ② 当对称轴(,]22 b m n x m a +=- ∈时，函数2()(0)y f x a x b x c a ==++>在区间(,]2b m a -上是单调递减函数，在区间(,]2b n a -上是单调递增函数，且||||22b b m n a a --≤--，所以2m a x ()y f n an bn c ==++，2min ()()()222b b b y f a b c a a a =-=-+-+； ③ 当对称轴(,]22 b m n x n a +=-∈时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在区间(,]2b m a -上是单调递减函数，在区间(,]2b n a -上是单调递增函数，且||||22b b m n a a --≥--，所以2m a x ()y f m am bm c ==++，2min ()()()222b b b y f a b c a a a =-=-+-+； ④ 当对称轴2b x n a =-≥时，函数2()(0)y f x ax bx c a ==++>在闭区间[,]m n 是单调递减函数，所以2max ()y f m am bm c ==++，2 min ()y f n an bn c ==++。 其中，值域就是在最大值与最小值之间。 综上所述： 2max 2()()22()()22b m n f n an bn c x a y b m n f m am bm c x a +?=++=≤??=?+?=++=≥?? 22min 2()()2()()()()2222()()2b f m am bm c x m a b b b b y f a b c m x n a a a a b f n an bn c x n a ?=++=-≤???=-=-+-+<=- 二次函数根的分布（教案） 教学目标： 1、进一步理解函数与方程的关系， 2、让学生学会借助图像辅助分析（数形结合法） 教学重点： 借助图像辅助分析（数形结合法） 一、 知识要点 1、 利用Δ与韦达定理研究)0a (0c bx ax 2≠=++的根的分布 1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 ?????????>=>-=+≥-=?>>00040,021212 21a c x x a b x x ac b x x ，则0021<<=<-=+≥-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 2、 借助函数图像研究)0a (0c bx ax 2≠=++的根的分布 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 【定理1】???? ??? >->≥-=?≤ 【定理2】???? ??? <->≥-=?<≤k a b k af a c b k x x 20 )(04221，则 【定理3 】21x k x <<<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或?????????<>><<0 )(0 )(0)(0 )(021 21p f p f k f k f a 【定理6】2211k x x k <≤<，则???????????<-<>>>≥-=?2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或??? ?? ?????? <-<<<<≥-=?212 1220 )(0 )(0 04k a b k k f k f a ac b二次函数根的分布专题
【经典例题】二次函数根的分布
二次函数根分布经典练习题及解析
二次函数根的分布
一元二次方程根的分布情况归纳总结
经典例题二次函数根的分布
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二次函数根的分布总结练习
二次函数及根的分布-
二次函数与根的分布答案
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