编号819第1页共1页浙江大学
2018年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目数学分析编号819
注意:答案必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上均无效。
一、(40分)计算下面各题(1)求极限lim n →∞n ?1∑k =1
(1+k n )sin kπn 2;(2)求lim
x →0ln (1+x +x 2)+arcsin 3x ?5x 3sin 2x +tan 2x ?(e x ?1)5;(3)求
∫∫
∑Rx d y d z +(z +R )2d x d y √x 2+y 2+z
2,其中∑为x 2+y 2+z 2=R 2的下半球面的上侧,R 为一常数;二、(10分)(1)用极限定义叙述lim x →+∞f (x )=+∞.(2)lim x →+∞x sin x √x +1
=+∞.三、(10分)证明有界闭集上的有限覆盖定理.
四、(15分)设函数列{f n (x )}在(a,b )上一致连续,并且f n (x )一致收敛于f (x ).证明f (x )在(a,b )上一
致连续.
五、(15分)构造或者证明是否存在函数f (x ):
(1)f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f (x )在(0,1)内有无数个零点,且对任意的x ∈(0,1)不存在x 使得f (x )=f ′(x )=0.
(2)假如f (0)和f (1)都不等于0,问上述的f (x )是否成立?
六、(15分)设f (y )在[0,1]上连续,且
K (x,y )=
y (1?x ),y ∞∑n =1 na n 收敛,定义x n =a n +1+2a n +2+···+ka n +k +···,(n =1,2,···)(1)问x n 是否有意义? (2)求证lim n →∞ x n =0.八、(15分)设函数集合S ={ f (x ) sup x ∈R x m d k f d x k <+∞,m,n ∈N }.若f (x )∈S ,求证?f (x )∈S ,其中?f (x )=∫+∞?∞f (t )e ?ixt d t,f (x )=∫+∞?∞?f (t )e ixt d t.九、(15分)设f (x )在(0,+∞)上连续可微,且存在L >0,使得对?x,y ∈(0,+∞)都有 |f ′(x )?f ′(y )| 证明:(f ′(x ))2<2Lf (x ). 考试科目:数学分析整理人:lyna ——By Celeste 1 2017浙江大学考研数学分析真题 考试时间:2017.12.25 14:00-17:00 By Celeste 一、(40分) (1)3sin 0)(cos 1lim x x x x -→ (2)?+dx x sin 1 (3) ??≤++142222y x dxdy y x (4)[]上展成余弦级数,在将ππ 02)(x x f -= 二、(10分)极限不存在证明:用n n n 1)1(lim -+-N ∞→ε 三、 (1)、叙述有限覆盖定理 (2)、用有限覆盖定理证明:有上界数集必有上确界 四、上的最大值和最小值在求1)(22≤+-+=y x xy y x x f 五、 .)1()(0)(lim )(),1[)(1时当且证明收敛, 上单调函数,是+∞→==+∞+∞ →+∞ ?x x o x f x f dx x f x f x 六、 一致连续 的解析表达式,并证明求均成立,,有和一切实数对一切)()()!22(1)! 2()1()(10x f x f x n x k x f x n n n k k k +=+≤--∑ 七、?1 01sin 1的一致收敛区间讨论含参量积分dx x x α 八、)(0)()()(',0)0()(R x x f x f x f R x f R x x f ∈≡≤∈?=∈证明: 有上连续,在 九、 {}{}[]B A x x x x B A x x n n n n n n n n n ,的聚点全体恰好构成证明对数列. 0)(lim ,lim lim ,1=-=<=+∞ →∞→∞→ 浙江大学2017年硕士研究生招生考试试题 数学分析 一、(40分)计算下面各题 (1)()3 sin 0cos 1lim x x x x -→;(2) dx x ?+sin 1; (3)() d xdy y x y x ??≤++142222;(4)将()x x f -=2 π在)(π,0上展开成余弦级数.二、(10分)利用N -ε语言证明()??? ?? + -∞→n n n 11lim 不存在.三、(10分)求)(xy y x y x f -+=22,在区域1≤+y x 上的最大值与最小值. 四、(15分)(1)叙述有限覆盖定理; (2)利用有限覆盖定理证明上确界存在性定理. 五、(15分)设()x f 是)(∞+,1上的单调函数,()dx x f ?∞ 1收敛,证明:()0lim =+∞→x f x 并且()?? ? ??=x x f 1ο()+∞→x .六、(15分)设()x f 对任意的自然数n 和任意的)(∞+∞-∈,x 都有 ()()()()10! 221!21+=+≤--∑n n k k k x n x k x f .求()x f 的解析表达式并证明()x f 在 上一致连续.七、(15分)求含参量积分dx x x ?? ? ???1sin 11 0α的一致收敛区间.八、(15分)设()x f 在 上连续可微,()00=f ,并且()()x f x f ≤'对任意的x ∈ 成立.证明:()0≡x f . 九、(15分)设数列{}n x 有界,lim lim n n n n x A B x →∞→∞=<=,并且()0lim 1=-+∞ →n n n a a .证明:数列{}n x 的所有聚点全体恰好是][B A ,. 共2页,第1页 2. 3. 浙江大学 2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目数学分析编号8^ 注意:答案必须写在答题纸上,写在试卷或草稿纸上均无效。计算下列各题(共40分,每小题10分) lim ?一>〇〇 ^j(n + \)(n + 2)■■?(? + ?) n lim x~>0 ex sin x-x(l+x) (cosx-1)ln(l-2x) /T Jo sin(2n + r)x 7 -------------ax sinx,其中n为自然数; 4jjx(l+ye^)^办’其中厶为由曲线;;=尤3,尤=-1,少=1 D 所围成的区域。 二、(共20分,每小题10分) 1.设浼5为非空数集,记五=证明:sup£=max{supd,sup5}_ 2.若;c…>0,且^…?“丄=1,证明:数列收敛. n-^〇〇^ 三、 (15分)利用有限覆盖定理证明:有界数列必有收敛子列? 4 编号g l 7 共页,第j 一页 极限li (15分)设凡〇定义在(f l ,6)上,证明:若对(4)内任一收敛点列W , $/〇〇都存在,则/⑷在^,幻上一致连续. 五、 (15分)设,小[c ,+00)上连续非负函数,/⑷ c M ]上连续。证明:/㈨在[a ,6]上一致收敛. 六、 (15分)求周期为2;r 的周期函数/⑷的F o u r ie r 级数,其中当 xe (-;r ,;r )时,/〇c ) = ;c 3;并求级数文;的和. n=l n 七、 (15分)设/〇)在[a ,6]上有一阶连续导数,记乂 = 7^ —( /{_ x)dx ?b -a Ja 试证明: \\f {x)-Afdx < (b -a )2\b a \f f (x )\2d x . 八、(15分)设炉00在[〇,]上连续,A :〇,〇在[以]x [a ,5]上连续。构造函数列如下:/〇00 =的0,/力,《 = 1,2,…〇 试证明:当W 足够小时,函数列U w }收敛于一连续函数。 浙江大学2015年数学分析 2014浙大数学分析试题 1.(4×10) (1)求lim x→1e x?12?√x ln 2(2x?1) (2)求∫t 2(1?t )2013dt (3)求?e ?(x 2+xy+y 2)dxdy R 2 (4)求?x 3dydz +y 3dzdx +z 3dxdy S ,其中S 为x 2+y 2+z 2=1上半球面下侧。 2.(1)用闭区间套定理证明有限覆盖定理。 (2)用有限覆盖定理证明:对[a,b]上连续函数f (x ),f(x)>0,存在常数c ,c >0,使得 f(x)≥c ,x ∈[a,b]. 3 f(x,y)={xy (x 2+y 2)α, (x,y )≠(0,0)0, (x,y )=(0,0) 求满足条件的α,使得f 在原点满足 (1) 连续 (2)可微 (3)方向导数存在。 4.和函数∑ln (1+n 2x 2) n 3∞i=1,x ∈[0,1].证明其对X 一致收敛并分析其连续性、可积性和可微性。 5.f(x)可微,则f ‘(x)可积的充要条件是:存在可积函数g (x ),st f(x)=f(a)+∫g (t )dt x a 6.空间体积为V 的?,X 0∈?,0<α<3,证明: ∫丨X ?X 0丨 α?3?dX ≤C V α3,其中C 与α有关。 7.f (x )在[0,1]单增,证明: lim y→+∞∫f (x)sinxy x dx 10 = π2f (0+) 8.f (x )在[a,+∞)一致连续,且对任意ξ>0,序列{f (n ξ)}极限存在,求证: lim x→∞f (x )存在。 浙江大学10年数学分析试题第11页,共11页