奥数新讲义-一元二次方程-整数解问题

板块三 一元二次方程的整数解问题

【例 1】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件

的整数k 的值有_______个．

【解析】 5 当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =

-，269x k

=-， 当61,3,9k -=±±±时，1x 是整数，这时7,5,3,15,3k =-；当

91,2,3,6k -=±±±±时，2x 是整数这时10,8,11,7,12,15,3k =综上所述，

3,6,7,9,15k =时原方程的解为整数．

【变式】 已知关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，那么符合条件的整数a

有______个．

【解析】 5．当1a =时，1x =，当1a ≠时，122111

x x a ==--

-．

【例 2】 当m 为整数时，关于x 的方程()()2212110m x m x --++=是否有有理根？如果有，

求出m 的值；如果没有，请说明理由．

【解析】 若2n =△（n 为整数），则22(21)4m n -+= (21)(21)4n m n m +--+=

∵(21)n m +-与(21)n m --奇偶性相同，故只可能有(21)2(21)2n m n m +-=??--=?或(21)2(21)2n m n m +-=-??--=-?，解得210m -=此与m 为整数矛盾，故△不可能为完全平方数，方程不可能有有理根．

【变式】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，

求m 的值及方程的根．

【解析】 4(21)m =+△为完全平方数，又m 为440m <<的整数，则12m =或24。当12

m =时，116x =，226x =；当24m =时，338x =，452x =．

一元二次方程公共根

一元二次方程公共根问题 若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题， 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤： 1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程； 2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式； 3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式． 一、公共根问题 二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根． 二、整数根问题 对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ?=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ 2?= ⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题 先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围 1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围． (2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值． 2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值 3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由． 4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根． 5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和 222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求a b b a b a a a --++的值

含参数的一元二次方程的整数解问题

数学思维的教育 第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题 1

对于一元二次方程ax2+ bx+ c=O(a ≠0)的实根情况，可以用判别式Δ =b2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质. 本讲 结合例题来讲解一些主要的方法. 例1 m是什么整数时，方程 2 2 (m-1)χ -6(3m-1)x + 72= 0 有两个不相等的正整数根. 2 2 解法1首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1. Δ =36(m-3) > 0 ,所以m≠ 3 .用求根公式可得 6 12 Xl = ----------- 7J X i W -------------- 7- m —1 IIl + 1 由于X1, X2是正整数，所以 m1=1, 2, 3, 6, m+1=1, 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 这时X1=6, X2=4. 2 解法2首先，m-1 ≠ 0, m≠± 1.设两个不相等的正整数根为χ1, χ2,则由根与系数的 关系知 6(3m T) 72 m - I m - 1 所以m-1=2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72,即卩 2 m=3, 4, 5, 7, 9, 10, 13, 19, 25, 37, 73, 只有m=4, 9, 25才有可能，即m=±2, ± 3 , ± 5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根. 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话),然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于X的方程 2 2 2 2 a X -(3a -8a)X + 2 a -13a +15=0 2

小学五年级数学思维训练解方程

小学五年级数学思维训练解方程（一）【例1】解方程： （1）x+63= 100 （2）x-127＝2.7 （3）9x=6.3 （4）x÷5=120 【巩固】解方程： （1）x-7.4=8 (2)3+x=18 （3）0.4x=2.4 (4)x÷5=0.016 【例2】解方程： (1)x+3x＝664 （2）4x-x=72 (3)x+7x-4x+x＝(15-5)×4 【拓展】解方程：（1）3x+5-2x=13 (2)5x-8x+6x-10x=15 【3】解方程：(1)8x-15=3x+5 (2)15x+3=28+14x (3)3x-3=2x+2 【巩固】解方程： (1)12x-4=7x+6 (2)15x+5=8x+40 (3)0.1x+0.75=3-0.125x 【拓展】解方程：

(1）x+3x+5+2x+1=840 (2)5x-8+6x=10x+15 (3)11x+42-2x=100-9x-22 (4)8x-3+2x+1=7x+6-5x 【例4】解方程：(1)4x+48=6x-8 (2)46-5x=x-6+4 【拓展】解方程：(1)2x+35-3x=15x-39 (2)0.4x-0.08+1.5=0.7x-0.38 【课后练习】 1、解方程：（1）x-0.52=1.3 (2)x+2.7=14.2 (3)0.5x=3.9 (4)x÷2.5=4 2、解方程：(1)x+3x=160 (2)4x-x=249 (3)3x-2x+x=(11-3) ×4

3、解方程：(1)3.4x-1.02=0.2x+16.9 （2）2x+5=25-8x 4、解方程：(1)x+3x+14=134 (2)x+3x+2+3+2=127 5、解方程：(1)1.5x+0.5＝2.5x-0.5 （2）6x-59=10x-75 6、解方程：(1)60x-40=(60+20)×(x-5) （2）32x+32×0.5-25x+64x=24x+496-49x

中考试题一元二次方程的整数根

学科：数学 专题：一元二次方程整数根 主讲教师：黄炜 北京四中数学教师 重难点易错点辨析 在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。 题一 题面：关于x 的方程()21210a x x a -+--=的根都是整数，求符合条件的a 的整数值. 金题精讲 题一 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围； (2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值. 判别式，考虑参数范围 满分冲刺 题一 题面：已知，关于x 的一元二次方程222(23)41480x m x m m --+-+= ⑴若0m >，求证：方程有两个不相等的实数根； ⑵若1240m <<的整数，且方程有两个整数根，求m 的值． 判别式，整数根

题二 题面：已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0. （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数. 判别式，整数根 讲义参考答案 重难点易错点辨析 题一 答案：当1a =时，1x =； 当1a ≠时，122111 x x a ==-- -，（分离常数）， a ∵为整数 1023a =-∴，，， 综上，a 的整数值为10123-，，，，. 金题精讲 题一 答案：(1)52 k <；(2)k =2. 满分冲刺 题一 答案：⑴证明：[]2 2=2(23)4(4148)84m m m m ?----+=+ ∵0m >， ∴840m +>. ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵(23)x m - 且m 为整数． 又∵1240m <<， ∴252181.m <+< ∴5． 21m +∵为奇数， 7= ∴24m =．

五年级奥数--列方程解应用题的类型

第三讲：列方程解应用题的类型（一）直接设未知数 例1.甲的存款是乙的4倍,如果甲取出110元,乙存入110元,那么乙的存款是甲的3倍, 问甲乙原来各有存款多少元? 解析: 这是一道较复杂的和差倍问题的题目. 但用方程的思维来解, 就好理解了. 解：设乙原来有存款x元,（直接设未知数，求两个量以上的，一般设最小的那个）,那么甲原来的存款数就是4x元（用未知数表示另外的量） 根据题中”现在,乙的存款是甲的3倍”这一数量关系式,我们可以列出方程 （x+110）=（4x-110）X 3 x=40 那甲原来就是：40X 4=160元 （二）间接设未知数 例2.盒子里装有白球的个数是红球的3倍.每次取出3个红球和4个白球,取了若干次以后,红球正好取完,白球还有20个,盒子里原来共有多少个球? 解析:如果直接设未知数，设原来共有X个球，你就无法用未知数表示出白球和红球的数量, 自然也不能用方程列出两种球的数量关系式. 所以直接设对这类型题不合适.从题意中我们发现,如果知道取了多少次,这道题就简单多了 解：设共取了x次,题目中”盒子里白球的个数是红球的3倍”说出了两者的数量关系式, 我们可以列出方程 4x+20=3x X 3 X=4 取了4次,我们就可以求出：红球:4 X 3=12个,白球:4 X 4+20=36个,共48个 (三)?方程在其他题目中的运用

例3.计算 (1+0.12+0.23) X (0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34) X (0.12+0.23) 解析：如 果直接去括号计算，三个数乘以三个数的乘法分配律，还没学.但仔 细观察下,发现,算式中有好多数是相同的.我们可以把这些相同的数当成一个数 这样算式就简化了 解：设0.12+0.23=x，设1+0.12+0.23=y 原式=y X (x+0.34)-(y+0.34) X x =x X y+0.34 X y-x X y-0.34 X x ( 式子中的” X” 号可不写) =0.34y-0.34x =0.34(y-x)=0.34 (提醒:原来,设未知数的目的在于简化计算过程，到最后,含有未知数的全部 抵消掉了) 例4.有一个三位数：十位上的数字是0,其余两位上的数字之和是12。如果 个位数字减2,百位数字加1,所得的新三位数比原三位数的百位数字与个位数字 调换所得的三位数小100,则原三位数是 ________ 。 解析：由于题目中百位上和个位上的数都不知道，我们可以用未知数表示出来 方法（一）. 设这个三位数是a0b , 由题意可知:

讲义一元二次方程讲义

考点一、概念 (1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax （3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。 典型例题： 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。 针对练习： 1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。 2、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。 考点二、方程的解 ⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：①利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。 说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制. 例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。 说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。 例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a 变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则 a b b a +的值为 。 针对练习：

含参数的一元二次方程的整数解问题

第二十六讲含参数的一元二次方程的整数根问 题

对于一元二次方程ax2+ bx + c=O(a丸)的实根情况，可以用判别式A=b 2-4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性 质?本讲结合例题来讲解一些主要的方法? 例1 m是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x + 72 = 0 有两个不相等的正整数根. 解法1首先，m2-1丸,m工± . A=36(m-3) 2> 0,所以m工3.用求根公式可得 6 12 由于x i, X2是正整数，所以 m-仁1 , 2 , 3, 6, m+1=1 , 2, 3, 4, 6, 12, 解得m=2 .这时X1=6 , x2=4 . 解法2首先，m2-1丸,m工± .设两个不相等的正整数根为X1, X2,则由根与系数的关系知 m2= 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,10 ,13, 19,25 , 37 , 73 ,

只有m2=4 , 9, 25才有可能，即m= ±2, ±3, ±5. 经检验，只有m=2时方程才有两个不同的正整数根 说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的.有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法. 例2已知关于x的方程 a2x2-(3a 2-8a)x + 2a2-13a + 15=0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值. 分析至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数根.我们也可以像上题一样，把它的两个根解出来. 解因为a^O,所以 (3a2 - Sa) ±- 8a)2 - 4a2(2a r-13a + 15) B = 2? (3a2 -8a) ±(a2+ 2a) = 2? ， 所以 3a2 -Sa 4-(? 4-2a) 3 ”—W -------------- 弘'-亦+ 5 Sj=------ 否------ =l_； 所以只要a是3或5的约数即可，即a=1 , 3, 5 .

奥数五年级解方程练习题知识讲解

五年级 一、解方程： 0.96χ－0.75χ＝0.42 1.5×4＋3.2χ＝14 3(8＋χ)÷2＝18 12－χ÷2＝8 12χ＝18×1.1＋9χ 1.8×1.5－0.5χ＝0.4χ 2、解方程： 3.2x-9=23 3(5x-4)=45 3x+24=5x-12 58-5x=43 x=2x+15 5(2x+3)=20 3(8+x)÷2=18 1.5x+2x=2.8 8.4－4(X－2)＝7.6＋2.4 5X－1.8＋1.2＝6.4

6.8＋1.2÷X＝10.8 X÷10＋2X÷10X＝0.06X＋3 二、根据题意，写出等量关系式，再列出方程 1. 两列火车同时从相距260千米的两地相向而行，甲车每小时行46千米，乙车每小时行58千米，几小时后两车还相距52千米？ 解：设 列方程： 2. 甲乙两个码头之间的路程是3200米，A、B两艘渡轮分别从这两个码头开出，相向而行。A渡轮先行了380米后，B渡轮再开出。A渡轮平均每分钟行了190米，B渡轮平均每分钟行了210米，B渡轮经过多少时间与A渡轮在途中相遇？ 解：设 列方程： 3. 小胖和小丁丁两家间的路程是2070米，两人同时从家里出发相向而行，途中小胖顺路去银行办了一点事耽误了10分钟，小丁丁15分钟后与小胖在途中相遇，已知小丁丁每分钟行68米，小胖平均每分钟行多少米？ 解：设 列方程： 4. 一条铁路全长288千米，两列火车同时从两地开出相向而行，途中一列火车停靠了约0.5小时，结果两列火车4.5小时后相遇，一列火车平均每小时行40千米，另一列火车平均每小时行多少千米？ 解：设 列方程： 三、列方程解应用题 1. 两列火车从相距400千米的两地相向而行，客车的速度是60千米/时，货车的速度是40千米/时，这两列火车经过几小时还相距100千米？

初三数学培优之一元二次方程的整数根

初三数学培优之一元二次方程的整数根 阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐.. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有： 1．直接求解 若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解. 2．利用判别式 在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解 3．运用根与系数的关系 由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，再通过因式分解和整数性质求解. 4．巧选主元 若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解. 例题与求解 【例1】 已知关于x 的方程032)1280()8)(4(2 =+----x k x k k 的解都是整数，求整数k 的值. （绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定k 的值才能全面而准确. 【例2】 q p ,为质数且是方程0132 =+-m x x 的根，那么 q p p q +的值是（ ） A ．22121 B ．22123 C ．22125 D ．22 127 （黄冈市竞赛试题） 解题思路：设法求出q p ,的值，由题设条件自然想到根与系数的关系

【例3】 关于y x ,的方程2922 2=++y xy x 的整数解),(y x 的组数为（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．无穷多组 解题思路：把2922 2 =++y xy x 看作关于x 的二次方程，由x 为整数得出关于x 的二次方程的根的判别式是完全平方数，从而确定y 的取值范围，进而求出x 的值. 【例4】 试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2 =-+++r x r rx 有根且只有整数根. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当0≠r 时，由根与系数的关系得到关于r 的两个不等式，消去r ，先求出两个整数根. 【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数. （全国初中数学联赛试题） 解题思路：设前后两个两位数分别为y x ,，99,10≤≥y x ，则y x y x +=+100)(2 ，即 0)()50(222=-+-+y y x y x ，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题. 【例6】 试求出所有这样的正整数解a ，使得二次方程0)3(4)12(22 =-+-+a x a ax 至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题） 解题思路：本题有两种解法. 由于a 的次数较低，可考虑“反客为主”，以a 为元，以x 为已知数整理成一个关于a 的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.

第五讲一元二次方程的整数整数解

第五讲一元二次方程的整数整数解 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举， 逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因 数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解. 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】 【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整 数是的值有__________ 个. 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问 题的题设条件，看是否要分类讨论. 【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是() a b 127 A. - 22 125 B. 22 C. 123 22 121 D.—— 22 【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根 【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求 出m的值；如果没有，请说明理由. 注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件. 【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x ? (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因

一元二次方程讲义-绝对经典实用教案.doc

一元二次方程 ●夯实基础 例1 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围_________． 例2 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 1、已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a =______、b =______． 2、若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练 例3 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程． 例4已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． ●练习 1、m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 4、若 2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________ ●夯实基础 (1)2269(52)x x x -+=- 21)x -= (3) 211 063 x x +-= (4) 231y += 板块一 一元二次方程的定义 板块二 一元二次方程的解与解法

一元二次方程的整数整数解(含答案)

竞赛辅导 一元二次方程的整数整数解 在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有： 从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解； 从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解； 从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解； 从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解． 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关． 【例题求解】 【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个． 思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确． 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论． 【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么 b a a b +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、 c 的值． 【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根． 思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根． 【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由． 思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数． 设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性． 注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．

初中一对一精品辅导讲义：一元二次方程应用

课
题
一元二次方程的应用
1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低 率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。
教学目标
重点、难点 考点及考试要求
会运用一元二次方程解决简单的实际问题 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题
教
第一课时
学
内
容
一元二次方程的应用知识梳理
课前检测
1.已知三角形两边长分别为 2 和 9,第三边的长为二次方程 x2-14x+48=0 的一根, 则这个三角形的周 长为( A.11 ) B.17 C.17 或 19 D.19
2.已知两数的积是 12,这两数的平方和是 25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）. (3 ? x)2 ? x2 ? 5 （2）. x2 ? 2 3x ? 3 ? 0
4．若方程（m－2）xm2－5m+8+(m+3)x+5=0 是一元二次方程，求 m 的值

5.已知关于 x 的一元二次方程 x2-2kx+
1 2 k -2=0. 求证:不论 k 为何值,方程总有两不相等实数根. 2
知识梳理
、答 ?步骤：设、列、解、验 ? ?增长率（降低率）问题 ? ? ? ? ?利润问题 1. 一元二次方程的实际应用 ? ? ?常见类型?面积问题 ?数字问题 ? ? ? ? ? ?动点问题 ?
2. 解题循环图：
3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是： （1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。 （2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。
第二课时
一元二次方程的应用典型例题

一元二次方程根与系数的关系各种类型题及训练

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？ 分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：∵方程（1）有两个不相等的实数根， ∴ 解得； ∵方程（2）没有实数根， ∴ 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。 解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。 总结：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出 ，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。

分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若 判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 解：∵，∴△＝—4×2×(—7)＝65＞0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为， ∵＜0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一：把代入原方程，得： 即 解得 当时，原方程均可化为： ，

一元二次方程的整数解(答案)

一元二次方程的整数解 方法1：求根公式，整除性质 1、 若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的 整数k 的值。 解：当6k =时，2x =；当9k =时，3x =-； 当6k ≠且9k ≠时，[(6)9][(9)6]0k x k x ----=， ∴196x k = -，269x k =- ∵12,,k x x 都是整数 ∴k =3，6，7，9，15. 2、 设m 为整数，且440m <<，方程222(23)41480x m x m m --+-+=有两个整数根， 求m 的值及方程的根。 解： ∵222(23)41480x m x m m --+-+= ∴23x m = =-±∵方程有两个整数根，m 为整数，且440m <<，∴1224m =或， ∴当12m =时，116x =，226x =；当24m =时，138x =，252x =。 3、 已知方程2222 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠)至少有一个整数根，求整数a 的值。 解：∵2222 (38)213150a x a a x a a --+-+=(0a ≠) ∴[(5)][(23)]0ax a ax a ----= ∴1551a x a a -==-，2233 2a x a a -==-， ∵方程至少有一个整数根，a 为整数 ∴1a =，3，5，1-，3-，5-。 方法2：从△入手，引入参数 1、 当m 为整数时，关于x 的方程2 (21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有， 求出m 的值；如果没有，请说明理由。 解：∵方程有有理根，m 为整数，∴2 4b ac ?=-为完全平方数 可设2 2 2 (21)4(21)(21)4m m m n ?=+--=-+=（n 为整数） ∴(21)(21)4n m n m +--+=， ∵21n m +-与21n m -+奇偶性相同 ∴212212n m n m +-=?? -+=?，212212 n m n m +-=-??-+=-?， ∴1 2m =，这与m 为整数相矛盾， ∴方程没有有理根。

五年级奥数解方程练习题

五年级奥数解方程练 习题 Revised on November 25, 2020

五年级奥数解方程练习题姓名 一、解方程 5X－ 12×3=2 X+ 12 24÷X =3 7X + 2X = 36×2 5 X－3×5＝10 6 X－ 2X－8 =8 X×( 3+ 6)=18 8 X =6×12 36 －8 X = 4 X 2×(X－6)= 8 二、根据下面的条件，说一说数量之间的相等关系。 1.杨树和杉树一共360棵。 2.白兔比灰兔少28只。 3.甲车比乙车多行45千米。 4.买轿车比面包车多付8万元。 三、在括号里填上含有字母的式子。 （1）小兰家养了x只公鸡，养的母鸡只数是公鸡的4倍。母鸡有（）只。（2）一本故事书的价钱是x元，一本字典的价钱是一本故事书的倍。一本字典（）元，3本故事书和2本字典一共是（）元。 （3）果园里有苹果树x棵，梨树的棵数比苹果树的5倍多12棵，梨树有 （）棵。 （4）学校有老师x人，学生人数是老师的20倍，20x表示（），20x + x表示（）。 四、用方程解应用题 1、王老师在商店买了12枝钢笔，付出100元，找回22元。每枝钢笔多少元 2、体育室有羽毛球86个，比毽子个数的4倍少14个。毽子有多少个 3、水果店要运进水果2820千克，已经运进24筐，每筐重千克，其余每筐重60千克。还要运进几筐

4、粮店里原有2650千克面粉，卖出100袋后，还剩150千克。每袋面粉重多少千克 例1：玲玲今年9岁，父亲39岁，再过多少年，父亲的年龄正好是玲玲的2倍 ①王明今年8岁，妈妈今年32岁，多少年前妈妈的年龄是王明的7倍 ②甲仓的货物是乙的4倍，甲仓运出180件，乙仓运出30件后，剩下两仓的货物相等，甲乙两仓原来各有多少件 ③甲袋面粉有50千克，乙袋有26千克，从两袋中各取出相同的重量后，甲剩下的是乙剩下的3倍。两袋各取出多少面粉 例2：幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分3个，就多出50个，每个小朋友分5个，就少10个，那么有几个小朋友共有多少个糖果 ①学校给三好学生分书，每人5本则多80本，每人7本则多20本。三好学生多少人书多少本 ②妈妈带了一些钱去买肉，买5千克肉就少14元，买4千克肉就少2元，肉多少元一千克妈妈共带了多少钱 ③同学们去春游，每辆车坐60人，那么有15人上不了车，每辆车多坐5人，那么恰好省出一辆车，问有多少辆车有多少个学生 例3：甲、乙共有存书100本，其中甲存书的4倍比乙存书的3倍多120本，甲、乙各有多少本 ①有两块地共160公顷，第一块的3倍比第二块的2倍还多10公顷。这两块地各有多少公顷 ②甲、乙两人共存款1000元，甲取出240元，乙又存入80元，这时甲的存款是乙的3倍，原来甲乙各有存款多少元

5一元二次方程的应用尖子班讲义

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是 （ ） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的 百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均 一个人传染了________________个人．

一元二次方程整数根问题的几种思维策略

一元二次方程整数根问题的几种思维策略 一、利用判别式 例1. 当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。 解：∵方程2440mx x -+=有整数根， ∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1 又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根 ∴⊿=16m 2－4(4m 2－4m －5) ≥0 得54m ≥- . 综上所述，54 -≤m≤1 ∴x 可取的整数值是－1，0，1 当m=－1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。 而m≠0 ∴ m=1 23.（东城） 已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b 1222x x -=，求a ，b 的值； （3）在（2）的条件下，二次函数222y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A 在点C 的左 侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值. 解：(1) ∵ 关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实数根, ∴ Δ=,04)2(2 2≥-b a 有a 2－b 2≥0，（a+b ）（a-b ）≥0. ∵ 0,0>>b a , ∴ a+b ＞0,a －b ≥0. ∴ b a ≥. …………………………2分

（2） ∵ a ∶b ， ∴ 设2,a k b ==(k ＞0). 解关于x 的一元二次方程22430x kx k ++=， 得 -3x k k =-或. 当12,= -3x k x k =-时，由1222x x -=得2k =. 当123,= -x k x k =-时，由1222x x -=得25 k =- （不合题意，舍去）. ∴ 4,a b ==. …………………………5分 （3） 当4,a b ==2812y x x =++与x 轴的交点为、C 的交点坐标分别为A （－6，0）、（－2，0），与y 轴交点坐标为（0，12），顶点坐标D 为（－4，－4）. 设z ＝3x －y ，则3y x z =-. 画出函数2 812y x x =++和3y x =的图象，若直线3y x =平行移动时，可以发现当直线 经过点C 时符合题意，此时最大z 的值等于－6 ……………7分 二、利用求根公式 例2．设关于x 的二次方程2222 (68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数， 求满足条件的所有实数k 的值。 解：△=(2k 2-6k-4)2-4(k 2-4)(k 2-6k+8)=4(k-6)2 由求根公式得222642(6)2(68) k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142 x x k k =--=---- 只有当x≠－1时，则有12244,211k k x x -=- -=-++ 两式相减，得 1224211x x -=++, 去分母，整理得 12(3)2x x +=-

二元一次方程的整数解(含答案).doc

（ 9）二元一次方程的整数解 【知识精读】 1、 二元一次方程整数解存在的条件： 在整系数方程 ax+by=c 中， 若 a,b 的最大公约数能整除 c,则方程有整数解。即如果（ a,b ）|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程 3x+5y=1, 5x －2y=7, 9x+3y=6 都有整数解。 返过来也成立，方程 9x+3y=10 和 4x － 2y=1 都没有整数解， ∵（ 9， 3）＝ 3，而 3 不能整除 10；（ 4， 2）＝ 2，而 2 不能整除 1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（ a,b ）中的 a,b 实为它们的绝对值。 2、 二元一次方程整数解的求法： 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数 k 来表示它的通解（即所有的解）。 k 叫做参变数。 方法一：整除法 ：求方程 5x+11y=1 的整数解 解： x= 1 11y = 1 y 10y 1 y 2 y (1) , 5 5 5 1 y k (k 是整数），则 y=1－5k (2) , 设 5 把（ 2）代入（ 1）得 x=k － 2(1－ 5k)=11k － 2 x 11k 2 ∴ 原方程所有的整数解是 （ k 是整数） y 1 5k 方法二：公式法 ： 设 ax+by=c 有整数解 x x 0 则通解是 x x 0 bk （ x 0,y 0 可用观察法） y y 0 y y 0 ak 3、 求二元一次方程的正整数解： i. 出整数解的通解，再解 x,y 的不等式组，确定 k 值 ii. 用观察法直接写出。 【分类解析】 例 1 求方程 5x － 9y=18 整数解的能通解 解： x= 18 9 y 15 10y 3 y 3 2 y 3 y 5 5 5

五年级奥数解方程资料带答案

五年级解简易方程专题练习 （1）3.4x－9.8＝1.4x＋9 （2）2x＋1＝25－8x （3）5（x＋2）＝2（2x＋7）（4）6（2x－7）＝5（x＋7）（5）5（3x－1.4）＝2（6x－0.5）（6）6－0.6（x－0.6）＝0.6 （7）（3x＋2）÷4＝2x－7 （8）（4x＋14）÷（x＋2）＝5 （9）2x－ x＋0.4 （10）x＋2 2x－1 0.5 0.3 3 4 （11）8:12＝x：45

五年级解简易方程答案 （1）3.4x－9.8＝1.4x＋9 （2）2x＋1＝25－8x 解：2x＝18.8 解：10x＝24 x＝18.8÷2 x＝24÷10 x＝9.4 x＝2.4 （3）5（x＋2）＝2（2x＋7）（4）6（2x－7）＝5（x＋7）解：5x＋10＝4x＋14 解：12x－42＝5x＋35 x＝4 7x＝77 x＝11 （5）5（3x－1.4）＝2（6x－0.5）（6）6－0.6（x－0.6）＝0.6 解：15x－7＝12x－1 解：6－0.6x＋0.36＝0.6 3x＝6 5.76＝0.6x x＝2 x＝9.6 （7）（3x＋2）÷4＝2x－7 （8）（4x＋14）÷（x＋2）＝5 解：3x＋2＝（2x－7）×4 解：4x＋14＝5×（x＋2）3x＝8x－28 4x＋14＝5x＋10 30＝5x x＝4 x＝6 （9）2x－ x＋ 0.4 （10）x＋2 2x－1 0.5 0.3 3 4 解：（2－0.3）×0.3＝0.5×（x＋0.4）解：3（2x－1）＝4（x＋2） 0.6x－0.09＝0.5x＋0.2 6x－3＝4x＋8 0.1x＝0.29 2x＝11 x＝2.9 x＝5.5 （11）8:12＝x：45 解： 12x＝8×45 12x＝360 x＝30