解析几何解答题
1、椭圆G :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的两个焦点为F 1、F 2,短轴两端点B 1、B 2,已知
F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆,且点N (0,3)到椭圆上的点最远距离为.25
(1)求此时椭圆G 的方程;
(2)设斜率为k (k ≠0)的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ,Q 为EF 的中点,问E 、F 两点能否关于
过点P (0,
3
3)、Q 的直线对称?若能,求出k 的取值范围;若不能,请说明理由.
2、已知双曲线2
2
1x y -=的左、右顶点分别为12A A 、,动直线:l y kx m =+与圆2
2
1x y +=相切,且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . (Ⅰ)求k 的取值范围,并求21x x -的最小值;
(Ⅱ)记直线11P A 的斜率为1k ,直线22P A 的斜率为2k ,那么,12k k ?是定值吗?证明你的结论.
3、已知抛物线2
:C y ax =的焦点为F ,点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点,直线l 与抛物线C 相交于A 、
B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (1)求抛物线
C 的方程。
(2)证明:点F 在直线BD 上;
(3)设8
9
FA FB ?=u u u r u u u r ,求BDK ?的面积。.
4、已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上,离心率为1
2
,点P (2,3)、A B 、在该椭圆上,线段AB 的中点T 在直线OP 上,且A O B 、、三点不共线. (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率; (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值.
5、设椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ,直线l :2
a x =
交x 轴于点A ,且122AF AF =u u u r u u u u r
.
(Ⅰ)试求椭圆的方程;
(Ⅱ)过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点
(如图所示),若四边形DMEN
的面积为
27
7
,求DE 的直线方程.
6、已知抛物线P :x 2=2py (p >0).
(Ⅰ)若抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离为3.
(ⅰ)求抛物线P 的方程;
(ⅱ)设抛物线P 的准线与y 轴的交点为E ,过E 作抛物线P 的切线,求此切线方程;
(Ⅱ)设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ,B 两点,连接AO ,BO 并延长分别交抛物线的准线于C ,D
两点,求证:以CD 为直径的圆过焦点F .
7、在平面直角坐标系xOy 中,设点(,),(,4)P x y M x -,以线段PM 为直径的圆经过原点O . (Ⅰ)求动点P 的轨迹W 的方程;
(Ⅱ)过点(0,4)E -的直线l 与轨迹W 交于两点,A B ,点A 关于y 轴的对称点为'A ,试判断直线'A B 是否恒过一定点,并证明你的结论.
8、已知椭圆22
22:1x y M a b
+=(0)a b >>的离心率为3,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形
周长为246+.
(Ⅰ)求椭圆M 的方程;
(Ⅱ)设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点,且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C , 求ABC ?面积的最大值.
9、过抛物线C:22(0)y px p =>上一点2(,)p
M p 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A 、B 两点。 (1)求证:直线AB 的斜率为定值;
(2)已知,A B 两点均在抛物线C :()220y px y =≤上,若△MAB 的面积的最大值为6,求抛物线的方程。
10、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点(,0)F c -是长轴的一个四等分点,点A 、B 分别为椭圆的左、右
顶点,过点F 且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆于C 、D 两点,记直线AD 、BC 的斜率分别为12,.k k (1)当点D 到两焦点的距离之和为4,直线l x ⊥轴时,求12:k k 的值; (2)求12:k k 的值。
11、在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0),其焦点在圆x 2+y 2=1上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A ,B ,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使
cos sin OM OA OB θθ=+u u u u r u u u r u u u r . (i)求证:直线OA 与OB 的斜率之积为定值;
(ii)求OA 2+OB 2.
12、已知圆2
2
222251
:(,:(1616
M x y M N x y ++=
+=
的圆心为圆的圆心为N ,一动圆与圆M 内切,与圆N 外切。
(Ⅰ)求动圆圆心P 的轨迹方程;
(Ⅱ)(Ⅰ)中轨迹上是否存在一点Q ,使得MQN ∠为钝角?若存在,求出Q 点横坐标的取值范围;若不存在,
说明理由.
13、已知点F 是椭圆)0(1122
2
>=++a y a
x 的右焦点,点(,0)M m 、(0,)N n 分别是x 轴、y 轴上的动点,且满足0=?.若点P 满足OM +=2.
(Ⅰ)求点P 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点,直线OA 、OB 与直线a x -=分别交于点S 、T (O
为坐标原点),试判断FS FT ?u u u r u u u r 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
14、在平面直角坐标系xOy 中,已知圆B :22(1)16x y -+=与点(1,0)A -,P 为圆B 上的动点,线段PA 的垂直
平分线交直线PB 于点R ,点R 的轨迹记为曲线C 。 (1)求曲线C 的方程;
(2)曲线C 与x 轴正半轴交点记为Q ,过原点O 且不与x 轴重合的直线与曲线C 的交点记为M ,N ,连结
QM ,QN ,分别交直线(x t t =为常数,且2x ≠)于点E ,F ,设E ,F 的纵坐标分别为12,y y ,求12y y ?的值(用t 表示)。
答案: 1、解:(1)根据椭圆的几何性质,线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分,故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心
…………………1分 故该椭圆中,22c b a ==
即椭圆方程可为22222b y x =+ ………3分
设H (x,y )为椭圆上一点,则
b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222…………… 4分
若30<
||,HN b y 时-=有最大值962
++b b
…………………5分
由25350962
±-==++b b b 得(舍去)(或b 2+3b+9<27,故无解)…………… 6分
若182||,3,32
2
+-=≥b HN y b 有最大值时当…………………7分
由16501822
2
==+b b 得∴所求椭圆方程为
116
322
2=+y x ………………… 8分 (1) 设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ,则由 ???????=+=+11632116
322
2222
121y x y x 两式相减得
0200=+ky x ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为3
3
1+=
x k y 将点Q (00,y x )代入上式得,3
3
100+-
=x k y ……④…………………11分 由③④得Q (
3
3
,332-k )…………………12分 而Q 点必在椭圆内部116
322
20<+∴
y x , 由此得2
9400294,0,2472
<<<<-∴≠<
k k k k 或又,故当 )2
94,0()0,294(?-
∈k 时,E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称 14分 2、解:(Ⅰ)l Q 与圆相切
,1∴=
22
1m k ∴=+ ……①
由22
1
y kx m x y =+??
-=? , 得 222
(1)2(1)0k x mkx m ---+=,
22222222
1221044(1)(1)4(1)8010
1k m k k m m k m x x k ??-≠??
∴?=+-+=+-=>??+??=-?
, 21,k ∴<11k ∴-<<,故k 的取值范围为(1,1)-.
由于1221221mk x x x x k +=
∴-===- 201k ≤ 0k =时,21x x - 取最小值. 6分 (Ⅱ)由已知可得12,A A 的坐标分别为(1,0),(1,0)-, 121212,11y y k k x x ∴= =+-, 121212(1)(1)y y k k x x ∴?=+-1212()()(1)(1) kx m kx m x x ++=+- 22 12121221()()1k x x mk x x m x x x x +++=+- -22 22212m mk k mk m +?-?+= 22222222= 22 = 由①,得 22 1m k -=, 12(3k k ∴?==-+为定值. 12分 3、解:(1) 2 4y x = 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,11(,)D x y -,l 的方程为1(0)x my m =-≠. (2)将1x my =-代人2 4y x =并整理得2 440y my -+=, 从而 12124, 4.y y m y y +== 直线BD 的方程为 21 2221 ()y y y y x x x x +-= ?--, 即 2 22214 ()4 y y y x y y -=?--令120, 1.4y y y x ===得 所以点(1,0)F 在直线BD 上 (3)由①知,2 1212(1)(1)42x x my my m +=-+-=- 1212(1)(1) 1.x x my my =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uu r , 212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ?=--+=-+++=-u u r u u r 故 2 8849 m -= ,解得 43m =± 所以l 的方程为3430,3430x y x y ++=-+= 又由①知 121643 y y m +== 故12111616 22233S KF y y ?=?+=??= 4、解:(I )设椭圆的方程为22 221(0)x y a b a b +=>>, 则22 1 2491a b =? ?+=??,得216a =,212b =. 所以椭圆的方程为 22 11612 x y +=.…………………3分 设直线AB 的方程为y kx t =+(依题意可知直线的斜率存在), 设1122(,),(,)A x y B x y ,则由22 11612x y y kx t ?+ =???=+? ,得 ()2 2 23484480 k x ktx t +++-=,由 ?>,得 22 1216b k <+, 122 2 12283444834kt x x k t x x k ? +=-??+?-?=?+? ,设()00,T x y 00 2243,3434kt t x y k k =- =++,易知00x ≠, 由OT 与OP 斜率相等可得 0032y x =,即1 2 k =-, 所以椭圆的方程为 2211612x y +=,直线AB 的斜率为12 -.……………………6分 (II )设直线AB 的方程为1 2 y x t =- +,即220x y t +-=, 由22 12 1.1612 y x t x y ?=-+????+=??, 得2 2 120x tx t -+-=, 224(12)0t t ?=-->,44t -<<.………………8分 122 12,12. x x t x x t +=???=-? .||AB === 点P 到直线AB 的距离为d = 于是PAB ?的面积为 122PAB S ?= =10分 设3 ()(4)(123)f t t t =-+,2 '()12(4)(2)f t t t =--+,其中44t -<<. 在区间(2,4)-内,'()0f t <,()f t 是减函数;在区间(4,2)--内,'()0f t >,()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为4 (2)6f -=.于是PAB S ?的最大值为18.…………………12分 5、解:(Ⅰ)由题意,2 12||22,(,0)F F c A a ==∴u u u u r -------1分 1222 AF AF F =∴u u u r u u u u r Q 为 1AF 的中点------------2分 2,322==∴b a 即:椭圆方程为.12 32 2=+y x ------------3分 (Ⅱ)当直线DE 与x 轴垂直时,3 4 2||2= =a b DE ,此时322||==a MN , 四边形DMEN 的面积|||| 42 DE MN S ?==不符合题意故舍掉;------------4分 同理当MN 与 x 轴垂直时,也有四边形DMEN 的面积 不符合题意故舍掉; ------------5分 当直线,MN 均与x 轴不垂直时,设DE :)1(+=x k y , 代入消去y 得:.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k ------------6分 设???????+-=+-=+,3263,326),,(),,(22 2122212211k k x x k k x x y x E y x D 则 ------------7分 所以 2 31 344)(||22212 2121++?=-+=-k k x x x x x x , ------------8分 所以 2 2212 32)1(34||1||k k x x k DE ++=-+=, ------------9分 同理2222 11 )1]3(1) ||.1323()2k k MN k k -++==+-+ ------------11分 所以四边形的面积2 22 232)11(3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++?++?=?=13)1(6)21(242222 ++++=k k k k 由22727 S k k =?=?=, ------------12分 所以直线0DE l y -= 或0DE l y += 或20DE l y -= 或20DE l y += ---------13分 6、解:(Ⅰ)(ⅰ)由抛物线定义可知,抛物线上点(,2)M m 到焦点F 的距离与到准线距离相等,即(,2) M m 到2 p y =- 的距离为3; ∴ 232 p - +=,解得2p =. ∴ 抛物线P 的方程为2 4x y =. 4分 (ⅱ)抛物线焦点(0,1)F ,抛物线准线与y 轴交点为(0,1)E -, 显然过点E 的抛物线的切线斜率存在,设为k ,切线方程为1y kx =-. 由241 x y y kx ?=?=-?, 消y 得2440x kx -+=, 6分 216160k ?=-=,解得1k =±. 7分 ∴切线方程为1y x =±-. 8分 (Ⅱ)直线l 的斜率显然存在,设l :2 p y kx =+ , 设11(,)A x y ,22(,)B x y , 由222 x py p y kx ?=??=+?? 消y 得 2220x pkx p --=. 且0?>. ∴ 122x x pk +=,2 12x x p ?=-; ∵ 11(,)A x y , ∴ 直线OA :1 1 y y x x = , 与2 p y =- 联立可得11(,)22px p C y --, 同理得22(,)22px p D y --. 10分 ∵ 焦点(0, )2 p F , ∴ 11(,)2px FC p y =--u u u r ,22(,)2px FD p y =--u u u r , 12分 ∴ 1212(,)(,)22px px FC FD p p y y ?=--?--u u u r u u u r 22 212121212 224px px p x x p p y y y y =+=+ 244222 12222 12120422p x x p p p p p x x x x p p p =+=+=+=- ∴ 以CD 为直径的圆过焦点F . 14分 7、解:(I )由题意可得OP OM ⊥, 2分 所以0OP OM ?=u u u r u u u u r ,即(,)(,4)0x y x -= 4分 即2 40x y -=,即动点P 的轨迹W 的方程为2 4x y = 5分 (II )设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ,则11'(,)A x y -. 由244y kx x y =-??=?消y 整理得24160x kx -+=, 6分 则2 16640k ?=->,即||2k >. 7分 12124,16x x k x x +==. 9分 直线21 2221 ':()y y A B y y x x x x --= -+ 21 22 21 222 2122122 2 212 122 2112 ()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴= -++-∴=-++--∴= -+-∴=+ 12分 即21 44 x x y x -= + 所以,直线'A B 恒过定点(0,4). 13分 8、解:(Ⅰ)因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+, 所以24622+=+c a , 1分 ,即c a = ,所以c = , 2分 所以3a = ,c =分 所以1b =,椭圆M 的方程为19 22 =+y x . 5分 (Ⅱ)方法一:不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->,则AC 的方程为)3(1 -- =x n y . 由22 (3), 1 9 y n x x y =-???+=??得0196)91(2 222=-+-+n x n x n , 6分 设),(11y x A ,),(22y x B ,因为222819391n x n -=+,所以193 27222+-=n n x , 7分 同理可得2 2 19327n n x +-=, 8分 所以1 96 1||2 2 ++=n n BC ,22 2961||n n n n AC ++=, 10分 9 64)1() 1 (2||||2 12+ ++==?n n n n AC BC S ABC , 12分 设21≥+=n n t ,则2223 6464899t S t t t ==≤++, 13分 当且仅当38=t 时取等号,所以ABC ?面积的最大值为8 3 . 14分 方法二:不妨设直线AB 的方程x ky m =+. 由22 , 1,9 x ky m x y =+???+=?? 消去x 得222 (9)290k y kmy m +++-=, 6分 设),(11y x A ,),(22y x B , 则有12229 km y y k +=-+,212299m y y k -=+. ① 7分 因为以AB 为直径的圆过点C ,所以 0CA CB ?=u u u r u u u r . 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-u u u r u u u r , 得 1212(3)(3)0x x y y --+=. 8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式, 得 22 1212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=. 将 ① 代入上式,解得 12 5 m = 或3m =(舍). 10分 所以12 5m =(此时直线AB 经过定点12(,0)5D ,与椭圆有两个交点), 所以121 ||||2 ABC S DC y y ?=- 12== 分 设2 11 ,099 t t k = <≤+, 则ABC S ?=所以当251(0,]2889 t = ∈时,ABC S ?取得最大值83 . 14分 9、解:(1)不妨设22 12 12,),(,)22y y A y B y p p ( 21 122 2 212,122MA MB AB y y k k y y p k y y p p -=-?+=-∴= =--…………………………………5分 (2)AB 的直线方程为:22 1111y-y (),022y y x x y y p p =--+--=即 点M 到AB 的距离d = 。………………………………………7分 2121122112y AB x y y y p y p =-=-=+?-=+……… 9分 又由122y y p +=-且[][]1211,0,2,0,,,y y y p p y t t p p ≤∈-+=∴∈-令 23111 y 422MAB S p t t p ?=?+=-……………………… 11分 设2 3 ()4f t p t t =-为偶函数,故只需考虑[]0,t p ∈, 所以[]2322()4,()420,()0p f t p t t f t p t f t '=-=->在,上递增, 当t p =时,3 32max max 13()3()322 MAB f t p S p p p ?=∴= ?= 23 622 p p ∴=?=。 故所求抛物线的方程为24y x =……………………13分 10、(Ⅰ)解:由题意椭圆的离心率1 2 c e a ==,24a = ,所以2,1,a c b === 故椭圆方程为22 143 x y +=, ┄┄┄┄┄┄3分 则直线:1l x =-,(2,0),(2,0)A B -, 故33(1,),(1,)22C D ---或33(1,),(1,)22 C D ---, 当点C 在x 轴上方时,1233 3122,122122 k k - ==-==--+--, 所以12:3k k =, 当点C 在x 轴下方时,同理可求得12:3k k =, 综上,12:3k k =为所求. ┄┄┄┄┄┄6分 (Ⅱ)解:因为1 2 e = ,所以2a c = ,b =, 椭圆方程为2 2 2 3412x y c +=,(2,0),(2,0)A c B c -,直线:l x my c =-, 设1122(,),(,)C x y D x y , 由2223412,x y c x my c ?+=?=-?消x 得,222 (43)690m y mcy c +--=, 所以12222 2 12222666,2(43)2(43)43669,2(43)2(43)43mc mc mc y y m m m mc mc c y y m m m ?++=+=?+++? ?-+??=?=-?+++? ┄┄┄┄┄┄8分 故12122222 2212121228()2,34 412(),34c x x m y y c m c m c x x m y y mc y y c m ?+=+-=-??+?-??=-++=?+? ① 由 121212(2)(2)k y x c k y x c -=+,及222 33(2)(2)(4)44 c x c x y c x -+=-=,┄┄9分 得2222121121212222 2 122121212(2)(2)(2)42()(2)(2)(2) 42()k y x c c x c x c c x x x x c x c x k y x c c c x x x x ----++===++++++, 将①代入上式得2222 2 2 22212 22222 22 22164124363434916412443434 c c m c c k c m m k c c m c c c m m -++++===--+ ++,┄┄10分 注意到12120,20,20y y x c x c ?<-<+>,得 121212(2) 0(2) k y x c k y x c -=>+,┄┄11分 所以12:3k k =为所求. ┄┄┄┄┄┄12分 11、解:(1)依题意,得 c =1.于是,a b =1. …………………2分 所以所求椭圆的方程为2 212 x y +=. ……………………………… 4分 (2) (i)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则221112x y +=①,2 2 2212 x y +=②. 又设M (x ,y ),因cos sin OM OA OB θθ=+u u u u r u u u r u u u r ,故1212 cos sin , cos sin .x x x y y y θθθθ=+??=+? ……7分 因M 在椭圆上,故2 21212(cos sin )(cos sin )12 x x y y θθθθ+++=. 整理得22 222 212121212()cos ()sin 2()cos sin 1222 x x x x y y y y θθθθ+++++=. 将①②代入上式,并注意cos sin 0θθ≠,得 12 1202 x x y y +=. 所以,12121 2 OA OB y y k k x x = =-为定值. ………………………………10分 (ii)22 2 2222222 121212121212 ()()(1)(1)1()222x x x x y y y y y y y y =-=?=--=-++,故22121y y +=. 又22 22 1212()()222 x x y y +++=,故2212 2x x +=. 所以,OA 2+OB 2=2222 1122x y x y +++=3. ………………………16分 12、解: (Ⅰ)设动圆P 的半径为r,则151 ||,||44 PM r PN r =-=+ 两式相加得|PM|+|PN|=4>|MN| 由椭圆定义知,点P 的轨迹是以M 、N 为焦点,焦距为4的椭圆 其方程为22 141 x y += …………6分 (Ⅱ)假设存在,设Q (x,y ).则因为MQN ∠为钝角,所以0QM QN ? (3,)QM x y =---u u u u r ,(3,)QN x y =--u u u r ,2230QM QN x y ?=+- 又因为Q 点在椭圆上,所以22 141x y += 联立两式得:22 1304x x +--<化简得:283 x <, 解得:13、解:(Ⅰ) Θ椭圆)0(1122 2 >=++a y a x 右焦点F 的坐标为(,0)a , ………(1分) (,)NF a n ∴=-u u u r .(,)MN m n =-u u u u r Q , ∴由0=?NF MN ,得02=+am n . ………… (2分) 设点P 的坐标为),(y x ,由PO ON OM +=2,有(,0)2(0,)(,)m n x y =+--, ?? ???=-=.2,y n x m 代入02=+am n ,得ax y 42=. ……… (4分) (Ⅱ)解法一:设直线AB 的方程为x ty a =+,211(,)4y A y a 、2 22(,)4y B y a , 则x y a y l OA 14:= ,x y a y l OB 2 4:=. ………… (5分) 由?? ? ??-==a x x y a y ,41,得214(,)a S a y --, 同理得22 4(,)a T a y --. ………… (7分) 214(2,)a FS a y ∴=--u u u r ,224(2,)a FT a y =--u u u r ,则42 12 164a FS FT a y y ?=+ u u u r u u u r . ……(8分) 由?? ?=+=ax y a ty x 4, 2 ,得0442 2=--a aty y ,2 124y y a ∴=-. ……… (9分) 则044) 4(1642 22 42 =-=-+=?a a a a a FT FS . …………… (11分) 因此,FS FT ?u u u r u u u r 的值是定值,且定值为0. ……… (12分) 解法二:①当AB x ⊥时, (,2)A a a 、(,2)B a a -,则:2OA l y x =, :2OB l y x =-. 由2, y x x a =??=-? 得点S 的坐标为(,2)S a a --,则(2,2)FS a a =--u u u r . 由2, y x x a =-??=-? 得点T 的坐标为(,2)T a a -,则(2,2)FT a a =-u u u r . (2)(2)(2)20FS FT a a a a ∴?=-?-+-?=u u u r u u u r . …………… (6分) ②当AB 不垂直x 轴时,设直线AB 的方程为()(0)y k x a k =-≠,),4(121y a y A 、),4(22 2y a y B ,同解法一, 得42 12 164a FS FT a y y ?=+u u u r u u u r . … (8分) 由2(),4y k x a y ax =-??=?,得22440ky ay ka --=,2124y y a ∴=-. …………(9分) 则044) 4(1642 22 42 =-=-+=?a a a a a FT FS . ………… (11分) 因此,FS FT ?u u u r u u u r 的值是定值,且定值为0. ………… (12分) ,所以存在。…… 13分 14、解:(1)连接RA ,由题意得,RA RP =,4RP RB +=, 所以42RA RB AB +=>=,…………………………………………………2分 由椭圆定义得,点R 的轨迹方程是22 143 x y +=.……………………………4分 (2)设M 00(,)x y ,则00(,)N x y --,,QM QN 的斜率分别为,QM QN k k , 则002QM y k x = -,0 02 NQ y k x =+,……………………………………………6分 所以直线QM 的方程为00(2)2y y x x = --,直线QN 的方程0 0(2)2 y y x x =-+,8分 令(2)x t t =≠,则001200(2),(2)22 y y y t y t x x = -=--+,……………………10分 又因为00(,)x y 在椭圆2200143x y +=,所以2 200 334 y x =-, 所以2 22 022********(3)(2)34(2)(2)444 x t y y y t t x x --?=-==----,其中t 为常数.…14分 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 圆锥曲线第3讲抛物线 【知识要点】 一、抛物线的定义 平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离相等的点的轨迹叫抛物线,这个定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。 注1:在抛物线的定义中,必须强调:定点F不在定直线l上,否则点的轨迹就不是一个抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线。 注2:抛物线的定义也可以说成是:平面内到某一定点F的距离与它到定直线l(l F?)的距离之比等于1的点的轨迹叫抛物线。 注3:抛物线的定义指明了抛物线上的点到其焦点的距离与到其准线的距离相等这样一个事实。以后在解决一些相关问题时,这两者可以相互转化,这是利用抛物线的定义解题的关键。 二、抛物线的标准方程 1.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有以下四种: (1) px y2 2= ( > p),其焦点为 )0, 2 ( p F ,准线为2 p x- = ; (2) px y2 2- =(0 > p),其焦点为 )0, 2 ( p F- ,准线为2 p x= ; (3) py x2 2= ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F ,准线为2 p y- = ; (4) py x2 2- = ( > p),其焦点为 ) 2 ,0( p F- ,准线为2 p y= . 2.抛物线的标准方程的特点 抛物线的标准方程px y 22±=(0>p )或py x 22±=(0>p )的特点在于:等号的一端 是某个变元的完全平方,等号的另一端是另一个变元的一次项,抛物线方程的这个形式与其位置特征相对应:当抛物线的对称轴为x 轴时,抛物线方程中的一次项就是x 的一次项,且一次项x 的符号指明了抛物线的开口方向;当抛物线的对称轴为y 轴时,抛物线方程中的一次项就是y 的一次项,且一次项y 的符号指明了抛物线的开口方向. 三、抛物线的性质 以标准方程 px y 22 =(0>p )为例,其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 (1)范围:0≥x ,R y ∈; (2)顶点:坐标原点)0,0(O ; (3)对称性:关于x 轴轴对称,对称轴方程为0=y ; (4)开口方向:向右; (5)焦参数:p ; (6)焦点: )0,2(p F ; (7)准线: 2p x - =; (8)焦准距:p ; (9)离心率:1=e ; (10)焦半径:若 ) ,(00y x P 为抛物线 px y 22=(0>p )上一点,则由抛物线的定义,有20p x PF + =; (11)通径长:p 2. 注1:抛物线的焦准距指的是抛物线的焦点到其相应准线的距离。以抛物线 px y 22= 解析几何练习题 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于( ) A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3.若直线,直线与关于直线对称,则直线的斜率为 ( ) A . B . C . D . 4.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O(0,0),A(1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( ) A .y -1=3(x -3) B .y -1=-3(x -3) C .y -3=3(x -1) D .y -3=-3(x -1) 5.直线对称的直线方程是 ( ) A . B . C . D . 6.若直线与直线关于点对称,则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l A . B . C . D . 7.已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y 轴上的截距为3 1,则m ,n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8.直线x-y+1=0与圆(x+1)2+y 2=1的位置关系是( ) A 相切 B 直线过圆心 C .直线不过圆心但与圆相交 D .相离 9.圆x 2+y 2-2y -1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是( ) A.(x -2)2 +(y+3)2 =1 2 B.(x -2)2+(y+3)2=2 C.(x +2)2 +(y -3)2 =1 2 D.(x +2)2+(y -3)2=2 10.已知点在直线上移动,当取得最小值时,过点引圆的切线,则此切线段的长度为( ) A . B . C . D . 11.经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ,使点P 为弦AB 的中点,则 弦AB 所在直线方程为( ) A .50x y --= B .50x y -+= C .50x y ++= D .50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高中数学平面解析几何知识点总结
高中数学解析几何专题之抛物线(汇总解析版)
高中数学解析几何测试题答案版(供参考)
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总