马尔可夫链模型

马尔可夫链

在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。

在贝努利过程(){}

,1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。

在维纳过程(){}

,0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。

在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数

()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进

入商店的顾客无关。 一、马尔可夫过程

定义：给定随机过程

(){},X t t T ∈。如果对任意正整数3n ≥，任意的

12,,1,

,n i t t t t T i n <<<∈=，任意的11,

,,n x x S -∈S 是()X t 的状态空间，总有

()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤==

()()

11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){}

,X t t T ∈为马尔可夫过程。

在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12,

,n t t -是“过

去”。马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122,

,n n X t x X t x --==无关。这就体现了马尔可夫过程具有无后效性。

通常也把无后效性称为马尔可夫性。

从概率论的观点看，马尔可夫过程要求，给定()()1111,,n n X t x X t x --==时，()

n X t 的条件分布仅与()11n n X t x --=有关，而与()()12,

,n X t X t -无关。

二、马尔可夫链及其转移概率

马尔可夫链是参数离散、状态离散的最简单的马尔可夫过程。在马尔可夫链

(){},X t t T ∈中，一般取参数空间{}0,1,2,T =。马尔可夫链的状态空间E 的一般形式

是{}0,1,2,

E =。

1、马尔柯夫链定义：

一个随机序列{X(t), t=1,2,3,…}取值于正整数空间E ={0,1,2,……},或者为E 的子集， 如果有：()()()()1111|,

n n n n P X t x X t x X t x --===

()()()

11|n n n n P X t x X t x --=== x i ∈E ={0,1,2,……} ; i=1,2,…

则称为序列(){}

,X t t T ∈为马尔柯夫(Markov)链。这种序列具有马尔可夫性，也叫无后致性。注意：t 和i 均取整数。 2、马尔柯夫链的含义：

可以这样理解：序列(){}X t 的“将来”只与“现在”有关而与“过去”无关。 3、马尔柯夫链的状态：

马尔柯夫链序列(){

}

X t 中的某一个符号X(t i )的数值一定为E 中的某一个元素x i （或x j ），这时，称x I (或x j )为随机序列的一个状态Si 。 4、马尔柯夫链的一步转移概率

马尔柯夫(Markov)链的统计特性用条件概率（状态转移概率）来描述： 习惯上把转移概率记做

()()()()()()()()(1)

11|1|n n ij ij P X t x X t x P X t j X t i p t p t -+===+====

这称为马氏链的一步转移概率。为马尔柯夫链从状态i 变为状态j 的条件概率。 它满足：(概率的加法公式)

p ij (1)(t)≥0 i j ∈E

()1

ij j E

p t i E ∈=∈∑

5、马尔柯夫链的K 步转移概率：

其k 步转移概率为：为马尔柯夫链从状态i 经过k 步（k 个单位时间）后变为状态j 的条件概率：

()()()()()

|k ij P X t k j X t i p t +===

它满足：

p (k)ij (t)≥0 i j ∈E

()

()1k ij

j E

p

t i E ∈=∈∑

6、平稳马尔柯夫链的性质：

如果马尔柯夫链是平稳的，即与时刻无关，与t 无关，我们讨论的马尔柯夫链只是这种最简

单的情况。这种平稳马氏链称为齐次马氏链。由于这种齐次马尔柯夫链的转移概率与时间无

关，因此去掉其时间变量t ，其中的一步转移概率为()1ij ij p p =，k 步转移概率为()k ij p ，n 步转移概率为()n ij p 。

定义2：向量()12,,,n u u u u =称为概率向量，如果u 满足：

1

0,1,2,

,1n

j i

i u j n

u

=≥==∑

定义3：若方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。

可以证明，如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则,,k k AB A B 也都是概率矩阵(k 为正整数)

由所有一步转移概率组成的矩阵称为一步转移概率矩阵表示为：

11

12121

2221

2

n n n n nn p p p p p p P p p p ?? ?

?

= ? ???

120.80.180.020.80.20.650.250.10.70.3001P P ???? ?== ?

???

???

转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1)()

()1k k P

P P -= 2) ()

k k P

P =

下面主要学习正则链和吸收链

1、正则链：这类马氏链的特点是，从任意状态出发经过有限次转移都能达到另外的任意状态，有如下定义.

定义4 一个有n 个状态的马氏链如果存在正整数N ，使从任意状态i 经过N 次转移都已大于零的概率到达状态(),1,2,

,j i j n =，则称为正则链。

正则链的判断方法：对于概率矩阵P ，若幂次方m

P 的所有元素皆为正数(指m

P 的每一元素大于零)，则矩阵P 称为正规概率矩阵，此时马氏链称为正则链，或者称马氏链具有遍历性。

遍历性的直观含义：一个遍历的马尔可夫链经过相当长的时间后，它处于各个状态的概率趋于稳定，且概率稳定值与初始状态无关。在工程技术中，当马尔可夫链的极限概率分布存在时，它的遍历性表示一个系统经过相当长时间后趋于平衡状态，这时，系统处于各个状态的概率分布即不依赖于初始状态，也不在随时间的推移而改变。

设系统的极限分布(也是稳态分布)用行向量()013,,,

,n πππππ=来表示，

一步转移概

率矩阵为P ，则有

P ππ=，且

1

1n

i

i π

==∑

从而可以解出系统的极限分布(或稳态分布)

从状态i 出发经k 次转移，第一次到达状态j 的概率称为i 到j 的首达概率，记做()ij f n ， 于是

()1

ij ij i nf n μ∞

==∑

为由状态i 第一次到达状态j 的平均转移次数，特别的，ii μ是状态i 首次返回的平均转移次数，ii μ与稳态概率ω有密切关系，即对于正则链，1/ii i μπ=

马尔可夫链模型：

设系统在0k =时所处的初始状态()

()()

()

(

)

000012,,

,n S S S S =为已知，经过k 次转移后

所处的状态向量()

()()

()

(

)()12,,

,1,2,

k k k k n

S

S S S k ==，则

()

()()11121

002122

212

k

n k n k n n nn p p p p p p S

S P S

p p p ??

? ?

== ?

???

此式即为马尔可夫预测模型。

由上式可以看出，系统在经过k 次转移后所处的状态()

k S

只取决于它的初始状态()

0S

和

转移概率P 。因此对于马氏链模型最基本的问题是构造状态()X t 及写出转移矩阵P ，一旦有了P ，那么给定初始状态概率()

0S

就可以用上式计算任意时段的状态概率()

k S

。

2、 吸收链

在马尔可夫链中，称1ij p =的状态i,j 为吸收状态。如果一个马尔可夫链中至少包含一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，都可以到达某个吸收状态，那么这个马尔可夫链称为吸收链。

含有m 个吸收状态和(n-m)个非吸收状态的吸收链，其转移矩阵的标准形式为

()()0

m m n n

n m n m I P R Q ??-?-??

= ? ???

(1)

其中矩阵R 中含有非零元素，m m I ?为m 阶单位矩阵。Q 不是概率矩阵，它至少存在一个小于1的行和，且如下定理成立。

定理1 对于吸收链P 的标准形式(1),()I Q -可逆，()1

s s M I Q Q ∞

-==-=∑，记元素全

为1的列向量()1,1,

,1e '=，则y Me =的第i 分量是从第i 个非吸收态出发，到某个吸收

状态吸收的平均转移次数。

设状态i 是非吸收态，j 是吸收状态，那么首达概率()ij f n 实际上是i 经n 次转移被j 吸收的概率，而()1

ij ij n f f n ∞

==

∑则是从非吸收状态i 出发终被吸收状态j 吸收的概率，记

{}

()ij k r r

F f -?=，下面的定理给出了计算ij f 的方法。

定理2 设吸收链的转移矩阵P 表为标准形式(1),则

F MR =

例1、设马尔可夫链(){}

,0X t t ≥的状态空间{}1,2,3E =，一步转移概率矩阵为

1/43/401/31/31/301/43/4P ?? ?

= ? ???

初始分布为()

()01/4,1/2,1/4S

=，即

()()()()()()111

01,02,03424

P X P X P X ======

则 ()()()220113/576,230/576,233/576P P P == 用Matlab 计算如下：s0=[1/4 1/2 1/4]; P=[1/4 3/4 0;1/3 1/3 1/3;0 1/4 3/4]; S2=s0*P.^2=(0.0712 0.2118 0.1962)

稳态分布 T=(t1,t2,t3),TP=T,变换后 (P ’-E)T ’=0 T=(0.16 0.36 0.48) 附程序：liyiw.m

市场占有率模型

设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的客户。假定在10月末经过市场调查得知，甲、乙、丙三家企业拥有的客户分别是：250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如表所示：

假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去(转移概率不变)，预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。

解：第一步：根据调查资料，确定初始状态概率向量，这里

()

()()()()

()0000

123,,250/1000,300/1000,4

50/1000S

S S S == ()0.25,0.3,0.45=

第二步：确定一次转移概率矩阵，此例由用户可能流动情况调查表可知，其一步转移概

率矩阵为

230/25010/25010/2500.920.040.0420/300250/30030/3000.0670.833

0.130/45010/450410/4500.0670.0220.911P ???? ? ?

== ? ? ? ?????

矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率，如第一行甲企业保持用户

的概率是0.92，转移到乙、丙两企业的概率都是0.04，甲企业失去用户的概率是0.04＋0.04＝0.08。

第三步：利用马尔可夫链模型进行预测。显然，12月份三家企业市场占有率为

()

()()()

()

()222202123,,S

S S S S P ==

()(

)2

0.920.040.04

0.25,0.3,0.450.0670.8330.1

0.2150,0.2088,

0.37690.0670.0220.911?? ?

== ? ???

12月份三个企业市场用户拥有量分别为：

甲：10000.215＝215户 乙：10000.2088＝208.8户 丙：10000.3769＝376.9户

现在，假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去，我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。

易验证P 为正规矩阵，设(),,1,t x y x y =--令tP t =

()()0.920.040.04,,10.0670.8330.1,,10.0670.0220.911x y x y x y x y ??

?

--=-- ? ???

将上式展开，得联立方程式

()()()0.920.0670.06710.040.8330.02210.040.10.91111x y x y x

x y x y y x y x y x y ++--=??

++--=??++--=--?

解之得 0.4558,0.1598,x y == 故()(),,10.4558,0.1598,0.3844x y x y --=

上述结果表明：如果甲、乙、丙三家企业的市场占有率照目前转移概率状态发展下去，

那么经过一段时间后，三企业的市场占有率分别为45.58％、15.98%和38.44%.显然，对于乙、丙两企业而言，必须迅速找出市场占有率下降的原因。

最佳服务地点选择

市汽车出租公司在甲、乙、丙三处开设租车还车处。顾客可在甲、乙、丙三处任意租车和还车。今公司准备在上述三处之一设立汽车维修保养厂。初步确定在汽车集中比较多的一处设置维修保养场。根据统计资料，顾客在上述三处还车的概率如表所示，试确定在何处设汽车维修保养场。

解：由题意可知，该问题的转移概率矩阵P 为：

0.80.2

00.2

00.80.20.20.6P ??

?= ? ??

?，2

0.680.160.160.320.20.480.320.160.52P ?? ?= ? ???

因为2

P 的所有元素都大于零，所以P 为正规矩阵。当甲、乙、丙三处租车、还车业务开展一定时期后，就会达到平衡条件，这样就可以得到一固定概率t ，使得tP t =成立，即

()()0.80.20,,10.200.8,,10.20.20.6x y x y x y x y ??

?

--=-- ? ???

成立

上式展开，得

()0.80.20.21x y x y x ++--= ()0.20.20.21x y x y y ++--= ()0.20.80.611x y x y x y ++--=--

解上述联立方程式，得0.5,0.167x y == 故 ()(),,10.5,0.167,0.333x y x y --=

由上述计算可知，在稳定状态汽车还到甲处得概率为0.5，即向甲处还车得概率占出租

汽车得一半，其余乙、丙处总共也只有一半，因此汽车维修保养场设在甲处是最佳得选择。 变。

钢琴销售的存储策略

一家商店根据以往经验，平均每周只能售出1架钢琴，现在经理制定的存储策略是，每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才定购3架供下周销售；否则，不定购。试估计在这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少？

问题分析

对于钢琴这种商品的销售，顾客的到来是相互独立的，在服务系统中通常认为需求量近似服从泊松分布，其参数可由每周销售1架得到，由此可以算出不同需求量的概率。周末的库存可能是0，1，2，3，周初的库存量只有1，2，3这3种状态，每周不同的需求将导致周初库存状态的变化，于是可用马氏链来描述这个过程。当需求超过库存时就会失去销售机会，可以计算这种情况发生的概率，在动态过程中这个概率每周是不同的，每周的销售量也不同，通常采用的办法是在时间充分长以后，按稳态情况进行分析和计算。

模型假设

1、钢琴每周需求量服从泊松分布，均值为每周1架

2、存储策略是：当周末库存量为零时，定购3架，周初到货；否则不订购

3、以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性。

4、在稳态情况下计算该存储策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量 模型建立

记第n 周的需求量为n D ，由假设1，n D 服从均值为1的泊松分布，即 ()()1

/!0,1,2,

n p D k e k k -=== (1)

记第n 周的库求量为n S ，{}1,2,3n S ∈是这个系统的状态变量，由假设2，状态转移概率为 13

n n n n n n n

S D D S S D S +-

≥? (2)

由(1)式不难算出()()()00.368,10.368,20.184,n n n p D p D p D ======

()()30.061,30.019,n n p D p D ==>=由此计算状态转移概率

()()1111|100.368

n n n p P S S P D +====== ()1212|10n n p P S S +==== ()()1313|110.632n n n p P S S P D +====≥= ()()2111|210.368

n n n p P S S P D +====== ()()2212|200.3

68n n n p P S S P D +=====

= ()()2313|220.264n n n p P S S P D +====≥= ()()3111|320.184

n n n p P S S P D +=====

= ()()3212|310.368n n n p P S S P D +======

()()()3313|3030.448n n n n p P S S P D P D +=====+≥=

得到转移概率矩阵

0.368

00.6320.3680.3680.2640.1840.3680.448P ?? ?

= ? ???

记状态概率()()()()()()()

123,1,2,3,,,,i n a n P S i i a n a n a n a n ====根据状态转移具有无后效性的假设，有()()1a n a n P +=，又易验证P 是正则链，具有稳态分布w ， 由 3

1

,

1i

i wP w w ===∑，可得到()()123

,,0.285,0.263,0.452w w w w ==

该存储策略(第n 周)失去销售机会的概率为()n n P D S >，按照全概率公式有 ()()()3

1

|n n n n

n i P D S P

D i S i P S i

=>=

>==∑ 其中的条件概率()|n n P D i S i >=容易有(1)式计算，当n 充分大时，可以认为

().1,2,3n i P S i w i ===

最终得到

()0.2640.2850.0800.2630.0190.4520.105n n P D S >=?+?+?= 即从长期看，失去销售机会的可能性大约10％。

在计算该存储策略(第n 周)的平均销售量n R 时，应注意到，当需求超过存量时只能销售掉存量，于是

()()()3

111||i n n n n n n i j R jP D j S i iP D i S i P S i -==??

===+≥==????

∑∑

同样的，当n 充分大时用稳态概率i w 代替()n P S i =，得到

0.6320.2850.8960.2630.9770.4520.857n R =?+?+?=

即从长期看，每周的平均销售量为0.857架，这个数值略小于模型假设中给出的每周平均平

均需求量为1架。

基因遗传

豆科植物茎的颜色有绿有黄，生猪的毛有黒有白，有粗有光，人类会出现先天性疾病如色盲等，这都是基因遗传的结果，基因从一代到下一代的转移是随机的，并且具有无后效性，因此马氏链模型是研究遗传学的重要工具之一。本节给出的简单模型属于完全优势基因遗传理论的范畴。

生物的外部表征，如豆科植物茎的颜色，人的皮肤或头发，由生物体内相应的基因决定，。基因分优势基因和劣势基因两种，分别用d 和r 表示，每种外部表征由体内的两个基因决定，而每个基因都可以是d 或者r 中的一个，于是由三种基因类型，即D(dd)，H(dr)，R(rr)，分别称为优种，混种，和劣种，含优种D(dd)和混种H(dr)基因类型的个体，外部表征呈优势，如豆科植物的茎呈绿色，人的皮肤或头发有色素，含劣种R 基因类型的个体，外部特征呈劣势，如豆科植物的茎呈黄色，人的皮肤或头发无色素。

生物繁殖时，一个后代随机地继承父亲两个基因中的一个和母亲两个基因中的一个，，形成它的两个基因，一般的两个基因中哪个遗传下去是等概率的，所以父母的基因类型就决定了每一后代基因类型的概率。父母基因类型，有全是优种DD ，全是劣种RR,一优种一混种DH(父为D,母为H ；或者父为H ，母为D)及DR ，HH ，HR 共6种组合，对每种组合简单的计算可以得到其后代各种基因类型的概率，如表格4所示

表格4 父母基因类型决定后代各种基因类型的概率 下面我们就马氏链为工具讨论两个具体的基因遗传模型，

随机交配 这是自然界中生物群体的一种常见的，最简单的交配方式。假设一个群体中雄性和雌性的比例相同，并且有相同的基因类型分布，即雄性中D,H,R 的比例和雄性中D,H,R 的比例相等。所谓随机交配是指：对于每一个(不论属于D,H 或R)的雌性(或雄性)个体，都以D,H,R 的数量比例为概率，与一个雄性(或雌性)个体交配，其后代则按照前面所说的方式，等概率的继承其父母亲的各一个基因，形成它的基因类型。假定在初始一代的群体中，三种基因类型的数量比例是D(dd):H(dr):R(rr)=a:2b:c,满足a+2b+c=1,记p=a+b,q=b+c ，则群体中优势基因d 与劣势基因r 的数量比例为d:r=p:q ，且p+q=1.

下面讨论随机交配方式产生的一系列后代群体中的基因类型分布。

用1,2,3n X =分别表示第n 代的一个体属于D,H 及R 基因类型，即3种状态，

0,1,2,

n =，()i a n 表示个体属于第i 种状态的概率，1,2,3i =，可视为第n 代的群体属

于第i 种基因类型的比例。转移概率ij p 可用ij p P =(一个后代具有基因类型j|母亲具有基因类型i)来计算。在已知母亲基因类型的条件下，后代的基因类型取决于父亲的基因类型，值得指出的是，在计算ij p 时与其考虑被随机选择为父亲的3种不同基因类型的比例a:2b:c ，不如直接考察从雄性群体中以p:q 的比例获得优势基因d 和劣势基因r ，比如

11p P =(后代为D(dd)|母亲为D(dd))=p

12p P =(后代为D(dr)|母亲为D(dd))=q 13p P =(后代为D(rr)|母亲为D(dd))=0 21p P =(后代为D(dd)|母亲为H(dr))=p/2

因为后代需要以1/2的概率从母体获得d,同时以p 的概率从雄性群体中获得d

22p P =(后代为D(dr)|母亲为H(dr))=p/2+q/2

23/2p q =,同样的方法算出313233,,p p p 后得到转移概率矩阵

0/21/2/20p

q P p q p q ?? ?= ? ???

若初始一代是从3种基因类型比例为a:2b:c 的群体种随机选取的，那么初始状态概率为()()0,2,a a b c =，其中a,2b,c 满足p=a+b,q=b+c, 利用马氏链基本方程可以得到

()()()

22

10,2,a a P p pq q ==

()()()()222210,2,a a P a P p pq q ===

显然这个分布将保持下去，这表明在随机交配方式中第一代继承者的基因类型分布为

22:::2:D H R p pq q =

并永远不变。这个结果在遗传学中称Hardy-Weinberg 平稳定律。

容易判断这是一个正则链，可计算出它的稳态分布为()

22

,2,p pq q π=。表明即使初

始分布不是从群体中随机选取，在随机交配方式下，经过足够长时间后3种基因类型的分布也趋向上述稳定分布。

这个模型得到的结果的正确性已有观察和试验证明。如自然界中通常有p=q=1/2，于是3种基因类型的平稳分布为::1/4:1/2:1/4D H R =，而优种D 和混种H 的外部表征呈优势。据观察，豆科植物茎呈绿色(优势表征)的约占3/4，与上面的结果相一致。

最后考察在随机交配下3种基因类型的首次返回平均转移稀疏，即平均经过多少代每种基因类型首次回到原来的类型。D,H,R 类型的首次返回平均换代数目

221122331/,1/2,1/p pq q μμμ===

即一个群体中基因d 越多(p 越大)，基因类型D(dd)的平均换代数目越小。特别，当p=q=1/2时，D,H,R 的平均换代数目分别为4(代)，2(代)和4(代)。

近亲繁殖：

这是指这样一种繁殖方式，从同一对父母的大量后代中，随机的选取一雄一雌进行交配，产生后代，如此继续下去，考察一系列后代的基因类型的演变情况。

与前面的模型不同的是，那里讨论后代群体中基因类型的分布，只许设置D,H,R 三个

状态即可，这里则需按照随机选取的雄雌配对，分析后代配对中基因类型的变化。于是状态应取雄雌6种基因类型组合，设1,2,3,4,5,6n X =依次定义为DD,RR,DH,DR,HH,HR.

构造马氏链模型的关键是写出转移概率ij p ，它可根据本节开始给出的表看出，显然 ()()1112221,01,1,02j j p p j p p j ==≠==≠，因为父母全为优种D(或劣种R)时，后代全是优种(或劣种)，随机选取的雄雌配对当然也是。

311/4p = 因为配对DH(状态3)的后代中D 和H 各占1/2，所以随即选取得配对为DD(状态1)的概率是1/2×1/2=1/4；

31p P =(后代配对为DH|父母配对为DH)＝P(后代雄性为D ，雌性为H|父母配对为DH)＋P(后代雄性为H ，雌性为D|父母配对为DH)＝1/2×1/2+1/2×1/2=1/2;

同理331/4p =，又因配对DH 的后代中没有R ，故对于含有R 的状态2，4，6，有 3234360p p p === 其他的ij p 可以类似的计算，最后得到转移矩阵为

1

000000100001/401/201/400

000101/161/161/41/81/41/401/4001/41/2P ?? ? ? ?

= ? ? ? ? ???

容易看出，状态1(DD)和状态2(RR)是吸收态，这是一个吸收链。它表明不论最初选取得配

对是哪种基因类型组合，经过若干代近亲繁殖，终将变为DD 或RR ，即变成全是优种或全是劣种，而且一旦如此，就永远保持下去。

为了计算从任一个非吸收态3,4,5,6出发，平均经过多少代就会被吸收状态1,2吸收，我们首先将矩阵P 转化为前面给出的转移矩阵地标准形式，得到

1/201/400

0101/41/81/41/40

01/41/2Q ?? ?

?= ? ???，1/4

0001/161/1601/4R ?? ?

?= ?

?

??

则

()1

8/31/6

4/32/34/34/38/34/34/31/38/34/32/3

1/6

4/3

8/3M I Q -??

? ?

=-=

?

???

52254,6,5,46336y Me '

??== ???

3/41/41/2

1/21/21/21/43/4F MR ??

?

?

== ?

???

M 的第1行至第4行依次代表非吸收态DH,DR,HH 和HR ，由定理对y 的各个分量的解释，从DH 配对的状态出发，在近亲繁殖的情况下平均经过5

4

6

代就会被状态DD 或RR 吸收，即全变成优种或劣种。而根据定理2，被吸收态吸收的概率为矩阵F 的第1行元素，即变成优种和劣种的概率分别为3/4和1/4。从其他状态DR ，HH 和HR 出发，可以得到相应的结论。

上述结果的使用价值在于，在农业＆畜牧业中常常是纯种(优种或劣种)生物的某些品质(如抗病性)不如混种，所以在近亲繁殖情况下大约经过5～6大就应该重新选种，以防品质的下降。

练习

1、某企业根据前一年()0t =统计得知，该企业共有技术人员300名。其中技术员职称的有140名，助理工程师100名，工程师(包括高级工程师)60名。现若规定技术员每年可由30％的人数晋升为助理工程师，又有10%的技术员因各种原因调离该企业，余下60％的技术员留任其原来岗位。而助理工程师每年要有40％留任，30％晋升工程师，30％调离。工程师则每年有60％留任，40％调离或退休。同时，该企业计划每年向社会招聘80名大专学生以补充技术员队伍。现要求预测今后5年内该企业技术人员总的拥有量及各类技术人员的分布情况，假定5年内人员晋升、流动情况按上述比例不变。

2、 将钢琴销售的存储策略修改为：当周末库存量为0或1时，订购，使下周初的库存量达到3架；否则，不订购，建立马氏链，计算稳态下失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。

解：仍以第n 周初的库存量为状态,2,3n n S S =，需求概率不变，容易算出状态转移概率矩阵为

0.3680.6320.3680.632P ??

=

???

稳态概率分布为()0.368,0.632ω=，稳态下失去销售机会的概率p=0.041，每周的平均销售量R=0.947.

3、老K 公司生产的某家电产品与其他两家生产同类产品的A 公司和B 公司相竞争。现计划用加强广告宣传的方法以增加改产品的市场占有率。今拟定了两个广告宣传方案1D 和2D ，公司决策人在两个条件相同(指初始市场占有率和初始转移概率矩阵相同)的地区试

用这两个广告方案，试验结果得到不同的转移概率矩阵。今已知市场占有率的全国水平是：老K 公司产品为28％，A 公司产品为39％，B 公司产品为33％。求解下述问题： (1)用初始转移概率矩阵确定在稳定(平衡)时，该两试验地区市场占有率是否接近全国水平？

(2)假定两个广告宣传方案1D 和1D 成本相同，在稳定(平衡)时哪种广告宣传能有最高的市场占有率？

已知初始转移概率矩阵为： K A B

0.60.30.10.20.70.10.10.10.8K A B ?? ?

? ???

广告1D 推出后的转移概率矩阵为：K A B

0.7

0.20.10.2

0.7

0.10.1

0.1

0.8K A B ??

? ? ???

广告2D 推出后的转移概率矩阵为：K A B

0.80.10.10.10.70.20.20.10.7K A B ??

?

? ???

4、某供应特需商品的商店，每周再周末营业一天，该店对某种不经常有人购买的商品

库存，采用下述订货策略：如结存0件或1件时，则一次定购3件，如结存超过1件时就不定购。凡在周末停止营业时定购的商品是为了准备在下周末出售。这一订货策略保证商品的初始库存量只能是2件、3件或4件。

又根据统计，该商品每周的需求量为0，1，2，3件的概率分别为0.4，0.3，0.2和0.1，试建立一个转移概率矩阵，用以说明由本周初始库存状态转为下周初始状态的概率。在达到稳定条件下，确定库存量为2，3，4的概率。

基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法

第34卷　第4期吉林大学学报(工学版)　Vol.34　No.4 2004年10月Journal of Jilin University(Engineering and Technology Edition)　Oct.2004 文章编号:1671-5497(2004)04-0671-04 基于马尔可夫排队模型的行程时间预测方法 杨志宏1,杨兆升2,于德新2,陈　林2 (1.宝路集团,吉林长春　130022;2.吉林大学交通学院,吉林长春　130022) 摘　要:针对城市交通流诱导系统(U TF GS)亟待解决的综合路段行程时间预测这一关键问题,利用马尔可夫排队模型给出了车辆路段(含信号交叉口)实时行程时间预测的基本公式,并结合实际工程项目对公式中的一些参数进行了简化,提高了模型的实用性。人工调查数据验证表明该模型具有较高的精度。同时给出了相对误差图。 关键词:交通运输工程;城市交通流诱导系统(U TF GS);马尔可夫排队模型;排队等待时间;实时动态行程时间 中图分类号:U491.2 文献标识码:A T ravel time prediction method based on Malcov queuing model YAN G Zhihong1,YAN G Zhaosheng2,YU Dexin2,CHEN Lin2 (1.China B aolu Com pany,Changchun130022,China;2.College of T ransportation,Jilin U niversity,Changchun 130022,China) Abstract:Aiming at the key problem of synthetic Link travel time prediction in Urban Traffic Flow Guidance System(U TF GS).A Vehicle link travel time prediction algorithm based on Malcov Queuing model was presented.With a quantity of traffic measurement data,some model parameters were simplized and confirmed,thus getting a high precision and also making the model more become applicable. K ey w ords:traffic engineering;U TF GS;Malcov queuing model;queuing wait time;real2time dynamic travel time 0　引　言 交通流诱导以交通流预测和实时动态交通分配(D TA)为基础,应用现代通信技术、电子技术、计算机技术等为路网上的出行者提供必要的交通信息,为其指出当前的最佳行驶路线,从而避免盲目出行造成的交通阻塞,到达路网畅通、高效运行的目的[1,2]。交通流诱导的方式一般分为路边显示板式和车内显示屏式两种。前者主要适用于高速公路以及城市路网集体车辆诱导,后者主要适用于城市路网中的个体车辆诱导[2]。 为了准确、快速地给出路网的最佳行驶路线,需要估计路网中各路段的行程时间。路网中的路段均指含一个相邻的下游交叉口(有信号灯控制)的路段。当车辆进入路段后,其行程时间随交通流量的变 收稿日期:2004205219. 基金项目:“十五”国家智能交通重大科技攻关项目(2002BA404A22B). 作者简介:杨志宏(1971-),男,工程师.E2mail:yangzhihong0527@https://www.sodocs.net/doc/7c11025679.html, 通讯联系人:杨兆升(1938-),男,教授,博士生导师.E2mail:yangzs@https://www.sodocs.net/doc/7c11025679.html,

马尔可夫链模型简介

马尔可夫链模型简介 设考察对象为一系统,若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为,}{N N E E E E E E ??????,2,1,2,1,两两互斥,则陈i E 为状态。N i ???=,2,1。称该系统从一种状态i E 变化到另一状态j E 的过程称为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔可夫过程。 定义1 具有下列两个性质的马尔可夫过程称为马尔可夫链： （1）无后效性，即系统的第n 次实验结果出现的状态，只与第1-n 次有关，而与它以前所处的状态无关； （2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。 定义2 向量),,,(21n u u u u ???= 成为概率向量，如果u 满足： ?? ???=???=≥∑=n j j j u n j u 11,,2,10 定义3 如果方阵P 的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。 如果矩阵A 和B 皆为概率矩阵，则AB ，k A ，k B 也都是概率矩阵（k 为正整数）。 定义4 系统由状态i E 经过一次转移到状态j E 的概率记为ij P ，称矩阵 ????????????????????????=32 12222111211N N N N N P P P P P P P P P P 为一次（或一步）转移矩阵。 转移矩阵必为概率矩阵，且具有以下两个性质： 1、P P P k k )1()(-=； 2、k k P P =)(

其中)(k P 为k 次转移矩阵。 定义5 对概率矩阵P ，若幂次方)(m P 的所有元素皆为正数，则矩阵P 称为正规概率矩阵。（此处2≥m ） 定理1 正规概率矩阵P 的幂次方序列P ，2P ，3P ，…趋近于某一方阵T ，T 的每一行均为同一概率向量t ，且满足t tP = 。 马尔可夫链模型如下： 设系统在0=k 时所处的初始状态 ),,() 0()0(2)0(1)0(N S S S S ???=为已知，经过k 次转移后的状态向量 ),,()()(2)(1)(k N k k k S S S S ???=),2,1(???=k ，则 ??????? ?????? ?????????????=NN N N N N k P P P P P P P P P S S 212222111211)0() ( 此式即为马尔可夫链预测模型。 由上式可以看出，系统在经过k 次转后所处的状态)(k S 取决与它的初始状态)0(S 和转移矩阵P 。 马尔可夫引例 例1：市场占有率预测 设有甲、乙、丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新的用户，假定在10月末经过市场调查得知，甲，乙，丙三家企业拥有的客户分别是：250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如下表所示：

基于马尔可夫模型的语言发展趋势预测

基于马尔可夫模型的语言发展趋势预测 发表时间：2019-03-14T15:24:06.727Z 来源：《知识-力量》2019年6月中作者：张浩1 姜晓丽1 朱英豪2 [导读] 为了预测世界语言发展趋势，将语言使用者分为两个部分来分别预测其数量。 （1.华北理工大学建筑工程学院，河北唐山 063210；2.华北理工大学以升教育创新基地，河北唐山 063210）摘要：为了预测世界语言发展趋势，将语言使用者分为两个部分来分别预测其数量。对于母语使用者，根据语言区域的自然增长率和净移民率计算出随时间变化的母语使用者的人数。对于第二或第三语言使用者，将影响使用者人数的三种因子归一化处理，利用层次分析法赋予相应的权重后得到各种语言的发展强度数值。建立马尔可夫预测模型模拟若干年后的第二或第三语言使用者数量，并模拟50年内排名前十四的语言的母语使用者数量的变化趋势。关键词：层次分析法；马尔可夫模型；聚类分析；语言使用者 人类不仅仅只掌握母语这一种语言，越来越多的人开始说第二语言甚至第三语言。在考虑某种语言的总使用人数时，需要在母语使用者人数的基础上加上第二或者第三语言使用者人数。根据可能影响语言的使用的因素，模拟各种语言的使用者随时间变化的分布。建立模型预测在未来50年里，英语的母语使用者的数量和语言的总使用者的数量的变化，并考虑它们是否会被另一种语言替代。 1.模型假设 ●忽略小概率灭绝事件，比如重大自然灾害的影响导致某一语言的灭绝等。 ●在几十年的时间里，各个语言区域都是稳定的发展，不会出现特别大的起伏的情况。 ●假设每个国家的移民一旦定居，他们的子孙都以此国家的官方语言为母语。 2.数量预测模型对于语言使用者数量的预测，我们需要将其分为母语使用者和其它的语言使用者（包括第二和第三语言使用者）两个方向来调查。 2.1母语使用者针对国家而言，母语使用者人数与该国家的居民人数直接相关。根据该国家的移民率，我们可以得到母语使用者人数随时间的变化为： 2.2 总使用者对于一种语言的总使用者人数，我们需要全面考虑它的变化，不仅仅考虑语言区域居民人数的增加或者减少，还需要考虑其它的语言使用者的变化。上文我们已经得知母语使用者的数量随时间的变化，下面我们将解决其它的语言使用者的预测问题。 2.2.1三种影响因子根据上文可得，我们将影响语言发展的因素分为区域的综合实力、商业往来和旅游业的发展状况三个部分。针对这三个部分，我们选取三个指标作为影响因子，分别是区域人均GDP、区域贸易对GDP的贡献度、区域国际游客数量。[1~2] 为进行统一，我们将十种语言的三种影响因子均除以该影响因子中的最大值。将得到的新结果运用层次分析法构造判断矩阵，得出三种影响因子的权重向量分别为0.545、0.272、0.183。我们可以得到关于语言发展强度的方程： 2.2.2马尔科夫模型以其亲代的第二语言作为他的初始状态，余下的九种语言是另外的九种状态，建立马尔科夫预测模型[3]。然后基于语言的发展强度，根据两种语言之间的强度比值来确定一个人的语言从一种状态转移到另一种状态的概率值。定义世界十大母语依次用数字0-9表示其语言状态，由此计算状态转移矩阵。 2.3 模型的应用 2. 3.1英语的语言使用者我们搜集到英语语言区域的平均自然增长率和平均净移民率[4]分别为1.04和0.0039，根据公式1我们可以求解得出英语的母语使用者在五十年以后的数量为：（4）

数学建模之马尔可夫预测

马尔可夫预测 马尔可夫过程是一种常见的比较简单的随机过程。该过程是研究一个系统的 状况及其转移的理论。它通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究,来确定状态的变化趋势,从而达到对未来进行预测的目的。 三大特点： （1）无后效性 一事物的将来是什么状态，其概率有多大，只取决于该事物现在所处的状态如何，而与以前的状态无关。也就是说，事物第n 期的状态，只与第n 期内的变化和第n-1期状态有关,而与第n-1期以前的状态无关。 （2）遍历性 不管事物现在所处的状态如何，在较长的时间内马尔可夫过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。 （3）过程的随机性。 该系统内部从一个状态转移到另一个状态是，转变的可能性由系统内部的原先历史情况的概率值表示。 1.模型的应用， ①水文预测， ②气象预测， ③地震预测， ④基金投资绩效评估的实证分析， ⑤混合动力车工作情况预测， ⑥产品的市场占有情况预测。 2.步骤 ①确定系统状态 有的系统状态很确定。如：机床工作的状态可划分为正常和故障，动物繁殖后代可以划分为雄性和雌性两种状态等。但很多预测中，状态需要人为确定。如：根据某种产品的市场销售量划分成滞销、正常、畅销等状态。这些状态的划分是依据不同产品、生产能力的大小以及企业的经营策略来确定的，一般没有什么统一的标准。在天气预报中，可以把降水量划分为旱、正常和涝等状态。 ②计算初始概率()0i S 用i M 表示实验中状态i E 出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L ③计算一步转移概率矩阵

令由状态i E 转移到状态j E 的概率为()|ij j i P P E E =，则得到一步转移概率矩阵为： 1112121 2221 2n n n n nn p p p p p p P p p p ??????=??????L L M M M M L ④计算K 步转移概率矩阵 若系统的状态经过了多次转移，则就要计算K 步转移概率与K 步转移概率矩阵。 K 步转移概率矩阵为： 11121212221 2()k n n k n n nn p p p p p p P k p p p p ??????==??????L L M M M M L ⑤预测及分析 根据转移概率矩阵对系统未来所处状态进行预测，即： () ()111210212221 2K n K n n n nn p p p p p p S S p p p ??????=??????L L M M M M L 例题： 设某企业生产洗涤剂为A 型,市场除A 型外,还有B 型、C 型两种。为了生产经营管理上的需要,某企业要了解本厂生产的A 型洗涤剂在未来三年的市场占有倩况。为此,进行了两项工作,一是进行市场调查,二是利用模型进行预测。 市场调查首先全面了解各型洗涤剂在市场占有情况。年终调查结果:市场洗涤剂目前总容量为100万件,其中A 型占40万,B 型和C 型各占30万。 再者,要调杏顾客购买各型洗涤剂的变动情况。调查发现去年购买A 型产品的顾客,今年仍购A 型产品24万件,转购B 型和C 型产品备占8万件,去年购买B 型产品顾客,今年仍购B 型产品9万件,转购A 型15万件,转购C 型6万件,去年购买C 型产品的顾客,今年仍购C 型产品9万件,转购A 型15万件,转购B 型6万件。计算各型产品保留和转购变动率。 模型的建立： ①计算初始概率 用i M 表示i E 型产品出现的总次数，则初始概率为 ()()0 1 1,2,i i i n i i M S F i n M =≈= =∑L （1） ②计算各类产品保留和转购变动率

Markov的各种预测模型的原理与优缺点介绍

Markov的各种预测模型的原理与优缺点介绍 建立有效的用户浏览预测模型，对用户的浏览做出准确的预测，是导航工具实现对用户浏览提供有效帮助的关键。 在浏览预测模型方面，很多学者都进行了卓有成效的研究。AZER提出了基于概率模型的预取方法，根据网页被连续访问的概率来预测用户的访问请求。SARUKKAI运用马尔可夫链进行访问路径分析和链接预测，在此模型中，将用户访问的网页集作为状态集，根据用户访问记录，计算出网页间的转移概率，作为预测依据。SCHECHTER构造用户访问路径树，采用最长匹配方法，寻找与当前用户访问路径匹配的历史路径，预测用户的访问请求。XU Cheng Zhong等引入神经网络实现基于语义的网页预取。徐宝文等利用客户端浏览器缓冲区数据，挖掘其中蕴含的兴趣关联规则，预测用户可能选择的链接。朱培栋等人按语义对用户会话进行分类，根据会话所属类别的共同特征，预测用户可能访问的文档。在众多的浏览模型中，Markov模型是一种简单而有效的模型。Markov模型最早是ZUKERMAN等人于1999年提出的一种用途十分广泛的统计模型，它将用户的浏览过程抽象为一个特殊的随机过程——齐次离散Markov模型，用转移概率矩阵描述用户的浏览特征，并基于此对用户的浏览进行预测。之后，BOERGES等采用了多阶转移矩阵，进一步提高了模型的预测准确率。在此基础上，SARUKKAI建立了一个实验系统[9],实验表明，Markov预测模型很适合作为一个预测模型来预测用户在Web站点上的访问模式。 1 Markov模型 1.1 Markov模型 Markov预测模型对用户在Web上的浏览过程作了如下的假设。 假设1（用户浏览过程假设）：假设所有用户在Web上的浏览过程是一个特殊的随机过程——齐次的离散Markov模型。即设离散随机变量的值域为Web空间中的所有网页构成的集合，则一个用户在Web中的浏览过程就构成一个随机变量的取值序列，并且该序列满足Markov性。 一个离散的Markov预测模型可以被描述成三元组，S代表状态空间；A是转换矩阵，表

马尔可夫链模型

马尔可夫链模型 马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] ? 1 马尔可夫链模型概述 ? 2 马尔可夫链模型的性质 ? 3 离散状态空间中的马尔可夫链 模型 ? 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 ? 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建 立 o 5.2 马尔可夫模型的应 用 ? 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能 取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。对于任意i∈s，有 。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处于状态i的概率， 满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X n + 1 | X n) 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

中天会计事务所马尔可夫模型例题(最完整的例题分析)

中天会计事务所马尔可夫模型例题一、问题分析 中天会计事务所由于公司业务日益繁忙，常造成公司事务工作应接不暇，解决该公司出现的这种问题的有效办法是要实施人力资源的供给预测技术。根据对该公司材料的深入分析，可采用马尔可夫模型这一供给预测方法对该事务所的人力资源状况进行预测。 马尔可夫分析法是一种统计方法，其方法的基本思想是：找出过去人力资源变动的规律，用以来推测未来人力变动的趋势。马尔可夫分析法适用于外在环境变化不大的情况下，如果外在环境变化较大的时候这种方法则难以用过去的经验情况预测未来。马尔可夫分析法的分析过程通常是分几个时期来收集数据，然后在得出平均值，利用这些数据代表每一种职位的人员变动频率，就可以推测出人员的变动情况。 二、项目策划 （一）第一步是编制人员变动概率矩阵表。 根据公司提供的内部资料：公司的各职位人员如下表1所示。 表1：各职位人员表 职位代号人数 合伙人P 40 经理M 80 高级会计师S 120 会计员 A 160 制作一个人员变动概率矩阵表，表中的每一个元素表示从一个时期到另一个时期（如从某一年到下一年）在两个工作之间调动的雇员数量的历年平均百分比（以小数表示）。（注：一般以3—5年为周期来估计年平均百分比。周期越长，根据过去人员变动所推测的未来人员变动就越准确。） 表2：历年平均百分比人员变动概率矩阵表 职位合伙人 P 经理M 高级会计师S 会计员A 职位年度离职升为 合伙 人 离职升为经 理 降为 会计 员 离职升为高级 会计师 离职 2005 0.20 0.08 0.13 0.07 0.05 0.11 0.12 0.11 2006 0.23 0.07 0.27 0.05 0.08 0.12 0.15 0.29 2007 0.17 0.13 0.20 0.08 0.03 0.10 0.17 0.20 2008 0.21 0.12 0.21 0.03 0.07 0.09 0.13 0.19 2009 0.19 0.10 0.19 0.02 0.02 0.08 0.18 0.21 平均0.20 0.10 0.20 0.05 0.05 0.10 0.15 0.20

人力供给预测之马尔科夫模型

人力供给预测之马尔科夫模型 马尔科夫模型是根据历史数据，预测等时间间隔点上的各类人员分布状况。此方法的基本思想是根据过去人员变动的规律，推测未来人员变动的趋势。因此，运用马尔科夫模型时假设——未来的人员变动规律是过去变动规律的延续。既是说，转移率要么是一个固定比率，要么可以通过历史数据以某种方式推算出。 步骤： （1）根据历史数据推算各类人员的转移率，得出转移率的转移矩阵； （2）统计作为初始时刻点的各类人员分布状况； （3）建立马尔科夫模型，预测未来各类人员供给状况。 运用马尔科夫模型可以预测一个时间段后的人员分布，虽然这个时间段可以自由定义，但较为普遍的是以一年为一个时间段，因为这样最为实用。在确定转移率时，最粗略的方法就是以今年的转移率作为明年的转移率，这种方法认为最近时间段的变化规律将继续保持到下一时间段。虽然这样很简便，但实际上一年的数据过于单薄，很多因素没有考虑到，一个数据的误差可能非常大。因为以一年的数据得出的概率很难保证稳定，最好运用近几年的数据推算。在推算时，可以采用简单移动平均法、加权移动平均法、指数平滑法、趋势线外推法等，可以在试误的过程中发现哪种方法推算的转移率最准确。尝试用不同的方法计算转移率，然后用这个转移率和去年的数据来推算今年的实际情况，最后选择与实际情况最相符的计算方法。转移率是一类人员转移到另一类人员的比率，计算出所有的转移率后，可以得到人员转移率的转移矩阵。 转移出i类人员的数量 i类人员的转移率 = （3-1） i类人员原有总量 人员转移率的转移矩阵： P11 P12 (1) P21 P22 (2) P = P31 P32 (3) （3-2） ┇┇┇ P K1 P K2 ……P KK 一般是以现在的人员分布状况作为初始状况，所以只需统计当前的人员分布情况即可。这是企业的基本信息，人力资源部门可以很容易地找到这些数据。 建立模型前，要对员工的流动进行说明。流动包括外部到内部、内部之间、内部到外部的流动，内部之间的流动可以是提升、降职、平级调动等。由于推测的是整体情况，个别特殊调动不在考虑之内。马尔科夫模型的基本表达式为：

5马尔可夫链模型

马尔可夫链模型 在考察随机因素影响的动态系统时，常常碰到这样的情况，系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关。这种性质称为无后效性或马尔可夫性。通俗的说就是已知现在，将来与历史无关。 具有马氏性的，时间、状态无为离散的随机转移过程通常用马氏链(Markov Chain)模型描述。 马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域中有着广泛的应用。值得提出的是，虽然它是解决随机转移过程的工具，但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理。 马氏链简介： 马氏链及其基本方程：按照系统的发展，时间离散化为 0,1,2,n = ，对每个n ，系统的状态用随机变量n X 表示，设n X 可以 取k 个离散值1,2,,n X k = ，且n X i =的概率记作() i a n ，称为状态概 率，从n X i =到1 n X j +=的概率记作ij p ，称为转移概率。如果1 n X +的 取值只取决于n X 的取值及转移概率，而与1 2,,n n X X -- 的取值无关， 那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链。 由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为 1 (1)()1,2,,k i j ij j a n a n p i k =+= =∑

并且() i a n 和ij p 应满足 1 1 ()10,1,2,;0 ;1 1,2,,k k j ij ij j j a n n p p i k ====≥==∑∑ 引入状态概率向量和转移概率矩阵 12()((),(),,()) {}k ij k a n a n a n a n P p == 则基本方程可以表为1 (1)()(0)n a n a n P a P ++== 例1：某商店每月考察一次经营情况，其结果用经营状况好与孬表示。若本月经营状况好，则下月保持好的概率为0.5，若本月经营状况不好，则下月保持好的概率为0.4，试分析该商店若干时间后的经营状况。 解：商店的经营状况是随机的，每月转变一次。用随机变量n X 表示第n 个月的经营状况，称为经营系统的状态.1,2 n X =分别表示 好与不好，0,1,n = 。用() i a n 表示第n 月处于状态i 的概率（1,2i =） 即()()i n a n P X i ==，ij p 表示本月处于状态i ，下月转为状态j 的概率。 这里1 n X +无后效性，只取决于n X 和ij p 。 112112220.5,0.4,0.5,0.6p p p p ==∴== 根据全概率公式可以得到： 11112212112222 (1)()()0.50.5(1)()(1)()()0.4 0.6a n a n p a n p a n a n P P a n a n p a n p +=+??? ?+==? ?+=+?? ? 假设这个递推公式存在极限w ，有w w P = ，即()0w P E -=。于 是当经营状况好或孬时，经计算可以得到下面的结果

论述马尔可夫模型的降水预测方法

随机过程与随机信号处理课程论文

论述马尔可夫模型的降水预测方法 摘要：预测是人们对未知事物或不确定事物行为与状态作出主观的判断。中长 期降水量的预测是气象科学的一个难点问题, 也是水文学中的一个重要问题。今年来，针对降水预测的随机过程多采用随机过程中的马尔可夫链。本文总结了降水预测的马尔可夫预测的多种方法和模型，对其中的各种方法的马尔可夫链进行了比较和分析，得出了一些有用的结论。 关键字：降水预测，随机过程，马尔可夫链，模拟 前言：大气降水是自然界水循环的一个重要环节。尤其在干旱半干旱地区, 降 水是水资源的主要补给来源, 降水量的大小,决定着该地区水资源的丰富程度。因此, 在水资源预测、水文预报中经常需要对降水量进行预报。然而, 由于气象条件的变异性、多样性和复杂性, 降水过程存在着大量的不确定性与随机性, 因此到目前为止还难以通过物理成因来确定出未来某一时段降水量的准确数值。在实际的降水预测中，有时不必预测出某一年的降水量，仅需预测出某个时段内降水的状况既可满足工作需要。因此，预测的范围相应扩大，精度相应提高。因此对降水的预测可采用随机过程的马尔可夫链来实现。 用随机过程中马尔可夫链进行预测是一种较为广泛的预测方法。它可用来预测未来某时间发生的变化, 如预测运输物资需求量、运输市场等等。马尔可夫链, 就是一种随机时间序列, 它表示若已知系统的现在状态, 则系统未来状态的规律就可确定, 而不管系统如何过渡到现在的状态。我们在现实生活中, 有很多情况具有这种属性, 如生物群体的生长与死亡, 一群体增加一个还是减少一个个体, 它只与当前该生物群体大小有关, 而与过去生物群体大小无关。] 本文针对降水预测过程中采用马尔可夫链进行模拟进行了综述和总结。主要的方法有利用传统的马尔可夫链的方法模拟；有采用加权的马尔可夫链模拟来进行预测；还有基于模糊马尔可夫链状模型预测的方法；还有通过聚类分析建立降水序列的分级标准来采用滑动平均的马尔可夫链模型来预测降水量；从这些方法中我们可以看出，马尔可夫链对降水预测有着重要的理论指导意义。 1.随机过程基本原理 我们知道，随机变量的特点是，每次试验结果都是一个实现不可预知的，但为确定的量。而在实际中遇到的许多物理现象，实验所得到的结果是一个随时间变化的随机变量，且用一个或多个随机变量我们有时无法描述很多这种现象的的全部统计规律，这种情况下把随时间变化的随机变量的总体叫做随机过程。对随机过程的定义如下：

马尔科夫链模型及其在基因遗传分析中的应用研究

马尔科夫链模型及其在基因遗传分析中的应用研究 内容提要 文中简述了马尔科夫链模型的基本原理，介绍了利用马尔科夫链对农作物基因遗传过程进行的分析研究，从而得出了基因类型的分布情况和农作物种植最适宜的换种代数间隔，使得可以更好的种植农作物。 关键词 马尔可夫链模型 基因遗传 换种间隔 一、引言 对基因遗传的分析一直是人们较为关心的话题。在研究出某物种基因的遗传分布后，对人们今后的对该物种进行的各种改良提供了良好的依据，尤其是对农作物基因类型的研究。在研究出农作物的各代之间基因类型的关系和分布情况之后，我们可以据此改善农作物的种植方法，从而提高产量。本文依据马尔科夫链的两种重要类型对农作物的基因遗传进行了分析研究，同时，分析研究马尔科夫链在一对父母的大量后代中，雌雄随机的配对繁殖，一系列后代的基因类型的演变过程中的应用。 二、马尔科夫链 1.马尔可夫链的基本概念 定义 ①.设{(),0,1,2,}n X X w n ==???是定义在概率空间(,,)F P Ω上，取值在非负整数上的随机变量序列，其表示对每个n 系统的状态。当状态1,2,,(1,2,)n X k n =???=???时表示共有k 个状态；n 时刻由状态n X i =，下一个时刻n+1变到状态1n X j +=的概率记作ij p ，则1(|)i j n n p P X j X i +===表示在事件n X i =出现的条件下，事件1n X j +=出现的条件概率，又称它为系统状态X 的一步转移概率。如果对任意的非负整数121,,,,,n i i i i j -???及一切0n ≥有 1(|,,1,2,,1)n n k k P X j X i X i k n +====???-=1(|)()n n ij ij P X j X i p n p +====， 则称X 是马尔科夫链。 ②.矩阵（ij p ）称为马尔科夫链X 的一步转移概率矩阵。称10()(|)(|)ij n n m m p n P X j X i P X j X i ++======为马尔科夫链X 的n 步转移概率，而（()ij p n ）为X 的n 步转移矩阵。

马尔可夫链

3．5 马尔可夫链预测方法 一、基于绝对分布的马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，用步长为一的马尔可夫链模型和初始分布推算出未来时段的绝对分布来做预测分析方法，称为“基于绝对分布的马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“ADMCP 法”。其具体方法步骤如下: 1．计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准，即确定马尔可夫链的状态空间I ，这可根据资料序列的长短及具体间题的要求进行。例如，可用样本均方差为标准，将指标值分级，确定马尔可夫链的状态空间 I =[1, 2，…，m ]； 2．按步骤1所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3．对步骤2所得的结果进行统计计算，可得马尔可夫链的一步转移概率矩阵1P ，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4．进行“马氏性” 检验； 5．若以第1时段作为基期，该时段的指标值属于状态i ，则可认为初始分布为 (0)(0,,0,1,0,0)P = 这里P (0)是一个单位行向量，它的第i 个分量为1，其余分量全为0。于是第2时段的绝对分布为 1(1)(0)P P P =12((1),(1),,(1))m p p p = 则第2时段的预测状态j 满足：(1)max{(1),}j i p p i I =∈； 同样预测第k ＋1时段的状态，则有 1()(0)k P k P P =12((),(),,())m p k p k p k = 得到所预测的状态j 满足: ()max{(),}j i p k p k i I =∈ 6．进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。 二、叠加马尔可夫链预测方法 对于一列相依的随机变量，利用各种步长的马尔可夫链求得的绝对分布叠加来做预测分析，的方法，称为“叠加马尔可夫链预测方法”，不妨记其为“SPMCP 法’。其具体方法步骤如下: 1) 计算指标值序列均值x ，均方差s ，建立指标值的分级标准(相当于确定马尔可夫链的状态空间)，可根据资料序列的长短及具体问题的要求进行； 2) 按1)所建立的分级标准，确定资料序列中各时段指标值所对应的状态； 3) 对2)所得的结果进行统计，可得不同滞时(步长)的马尔可夫链的转移概率矩阵，它决定了指标值状态转移过程的概率法则； 4) 马氏性检验； 5) 分别以前面若干时段的指标值为初始状态，结合其相应的各步转移概率矩阵即可预测出该时段指标值的状态概率 (6)将同一状态的各预测概率求和作为指标值处于该状态的预测概率，即 ,所对应的i 即为该时段指标值的预测状态。待该时段的指标值确定之后，将其加 入到原序列之中，再重复步骤"(1)一(6)"，可进行下时段指标值状态的预测。 (7)可进一步对该马尔可夫链的特征(遍历性、平稳分布等)进行分析。

马尔可夫链模型

马尔可夫链 在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。 在贝努利过程(){} ,1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。 在维纳过程(){} ,0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。 在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数 ()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进 入商店的顾客无关。 一、马尔可夫过程 定义：给定随机过程 (){},X t t T ∈。如果对任意正整数3n ≥，任意的 12,,1, ,n i t t t t T i n <<<∈=，任意的11, ,,n x x S -∈S 是()X t 的状态空间，总有 ()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤== ()() 11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){} ,X t t T ∈为马尔可夫过程。 在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12, ,n t t -是“过 去”。马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122, ,n n X t x X t x --==无关。这就体现了马尔可夫过程具有无后效性。 通常也把无后效性称为马尔可夫性。 从概率论的观点看，马尔可夫过程要求，给定()()1111,,n n X t x X t x --==时，() n X t 的条件分布仅与()11n n X t x --=有关，而与()()12, ,n X t X t -无关。

马尔可夫模型估计三模冗余可靠性

基础问题：预测系统的可靠性 解决方案：利用马尔可夫模型预测 一、背景知识 1、马尔可夫模型（分为一阶和高阶马尔可夫模型，本文介绍一阶模型） ①基于假设：状态传输的概率仅仅依赖于现在的状态； ②转移矩阵T：用来描述从当前状态转移到下一状态的条件概率； m行n列的元素代表从状态m转换到状态n的可能性 下一状态的概率分布=当前的概率分布X传输矩阵T ③通过一系列的数学变化（比较多但是简单）再加上拉普拉斯变换和逆变换，求得在任意时刻系统的概率分布； ④对于二状态系统，即为在正常和故障两个状态的分布， 可靠性=P(正常)，或者可靠性=1-P(故障) 2、TMR ①当只有一个模块发生错误，表决器还能正确输出；当两个及其以上模块发生错误，可能会导致表决器输出错误； ②对于FPGA：scrubbing周期性刷新FPGA配置存储器 Scrubbing rate：根据期望出现的错误率来调整

二、具有修复功能的TMR 三、“持久性” 处理擦写的FPGA应用程序都会经历由错误诱发的永久性服务中断和暂时性服务中断，分别被称为永久中断持久错误和暂时中断非持久错误。 当一个错误诱发产生非持久错误，应用程序变得暂时不可用。一旦擦写修复了错误，则功能错误就会结束，系统回到正常操作模式。但是，当一个错误诱发产生了持久错误，应用程序变为永久不可用。 传统上，FPGA应用程序故障发生在任何服务中断之后。通过容忍暂时性的服务中断，一个应用程序只会在出现永久性服务中断后发生故障。 为了测量通过容忍暂时性的服务中断对可靠性的提高，建立了一个容忍非持久错误系统的模型。 0：功能正常状态 1：暂时不可用状态（非持久错误） 2：故障状态（持久错误） λ：错误概率p：由敏感状态进入持久错误状态的概率μ：擦写概率

马尔可夫链模型讲解

马尔可夫链模型（Markov Chain Model） 目录 [隐藏] 1 马尔可夫链模型概述 2 马尔可夫链模型的性质 3 离散状态空间中的马尔可夫链模 型 4 马尔可夫链模型的应用 o 4.1 科学中的应用 o 4.2 人力资源中的应用 5 马尔可夫模型案例分析[1] o 5.1 马尔可夫模型的建立 o 5.2 马尔可夫模型的应用 6 参考文献 [编辑] 马尔可夫链模型概述 马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。 时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为 。 马尔可夫链是随机变量的一个数列。这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则 这里x为过程中的某个状态。上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。 马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。 马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程： 1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关； 2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下： 1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。本文中假定S是可数集(即有限或可列)。用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。 2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态 的个数。对于任意i∈s，有。 3）是系统的初始概率分布，q i是系统在初始时刻处 于状态i的概率，满足。 [编辑] 马尔可夫链模型的性质 马尔可夫链是由一个条件分布来表示的 P(X | X n) n+ 1 这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”。二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和马尔可夫性质：

连续隐马尔科夫链模型简介

4.1 连续隐马尔科夫链模型（CHMM） 在交通规划和决策的角度估计特定出行者的确切的出行目的没有必要，推测出行者在一定条件下会有某种目的的概率就能够满足要求。因此本文提出一种基于无监督机器学习的连续隐马尔科夫链模型（CHMM）来识别公共自行车出行链借还车出行目的，根据个人属性、出行时间和站点土地利用属性数据，得到每次借还车活动属于某种出行目的的概率，进一步识别公共自行车出行链最可能的出行目的活动链。 4.1.1连续隐马尔科夫链模型概述 隐马尔可夫链模型（Hidden Markov Model，HMM）是一种统计模型，它被用来描述一个含有隐含未知状态的马尔可夫链。隐马尔可夫链模型是马尔可夫链的一种，其隐藏状态不能被直接观察到，但能通过观测向量序列推断出来，每个观测向量都是通过状态成员的概率密度分布表现，每一个观测向量是由一个具有相应概率密度分布的状态序列产生。 本文将隐马尔科夫链和混合高斯融合在一起，形成一个连续的隐马尔科夫链模型（CHMM），并应用该模型来识别公共自行车出行链借还车活动目的。连续隐马尔科夫链模型采用无监督的机器学习技术，用于训练的数据无需是标记的数据，该模型既不需要标记训练数据，也没有后续的样本测试，如提示-回忆调查。相反，该模型仅利用智能卡和总的土地利用数据。后者为隐藏活动提供额外的解释变量。出行链内各活动的时间和空间信息是从IC卡数据获得，相关土地利用数据是根据南京土地利用规划图和百度地图POI数据获得。 在本文的研究中，一个马尔可夫链可以解释为出行者在两个连续活动状态之间的状态转换，确定一个状态只取决于它之前的状态，一个状态对应一个出行者未知的借还车活动[48-50]。本研究坚持传统的马尔可夫过程的假设，将它包含进无监督的机器学习模型。“隐藏马尔可夫”源于一个事实，即一系列出行链的活动是不可观察的。 对于CHMM，高斯混合模型负责的是马尔可夫链的输入端，每一个活动模式下的隐藏状态都有属于一个特征空间的集群输出概率，每个集群是观察不到的，隐藏状态集群的数量必须事先给出。一些研究者称这些集群为二级隐状态[51]。

马尔可夫链

马尔可夫过程 一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年 A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。 目录 马尔可夫过程 离散时间马尔可夫链 连续时间马尔可夫链 生灭过程 一般马尔可夫过程 强马尔可夫过程 扩散过程 编辑本段马尔可夫过程 Markov process 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。