计量经济学第十章联立方程组模型

第十章 联立方程组模型

第一节 联立方程组模型概述

一、问题的提出

1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。

2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。

3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。

二、联立方程组的概念

1、联立方程组模型的定义。

由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。

联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。

2、联立方程组模型的例子。

（1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。

)

3()2(0

)1(012101110s

i d i i i s i i i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联

立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。 （2）一个凯恩斯宏观经济模型。

011012(4)(5)(6)

t t t t t t t t t t

C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。

三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性）

1、内生解释变量与随机误差项的相关性。

2、直接对联立方程组模型运用OLS 法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。

例如，设凯恩斯收入决定模型为

[][]01)

(11)1()

0)(())(())())(((),cov(1)(11)

1(11)(111)1(1

01

2

21

11

1

1011101

1100110110≠-=-=-==-=--=-=

-∴-+-=-+-+-=-+

-+-=

∴++=-+++=∴+=<<++=βσβββββββββββββββββββββU E U U E U E U Y E Y E U E U Y E Y E U Y U Y E Y I U

E I Y E U I Y U I Y I U Y Y I C Y U Y C t t t t t t t t t t

t t t t t t t t t t

t t t t t

表明内生变量Y 在作解释变量时与随机误差U 相关。

对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+

==++=++==

=-=-=-=---=2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

)1()()0)(()()())((?y

Uy y

Yy y Uy Yy y y y U Y y Cy Y Y y y

y C Cy y y C C Y Y Y Y C C ββββββ求1

?β的数学期望 1

2

11)()?(βββ≠+=∑∑y Uy E E 在上式中，由于∑≠0)(Uy E ，所以，1?β不是1

β的无偏估计。 再看参数估计的一致性。对1

?β的表达式两端同时求概率极限，得 12

12

12

12

12111)lim()lim()lim()?lim(βσβσ

βββββ≠-+=+=+=+=∑∑∑∑∑∑Y n

y n Uy

p y Uy p y Uy p p

表明1?β不是1

β的一致性估计。 下面根据此例用具体的数据（文件名kaiensimx ）加以说明。假定投资I 得数据已知，并且用蒙特卡罗方法生成随机误差U 得数据，再假定

0),cov(04

.0)var(),

0(0)(,

0)(2===≠==-t t t s t t t I U U s U U E U E σ

进一步假定消费函数中得参数真实值已知为8.0,210==ββ。

（1）由8.0,210==ββ和U 的值，根据1

110111ββββ-+-+-=

t

t t U I Y 计算Y 的数值；（2）由8.0,210==ββ、Y 的数值和U 的数值，根据消费函数计算C 的数值。（3）由于用蒙特卡罗方法生成随机误差U 的数据，则样本误差应正好

是“真实”误差，故求C 对Y 的回归，所得的参数估计就应是8.0?,2?10==ββ，与真实值一致。（4）但当Y 与U 相关时，则参数估计的无偏性不再满足。（Gujarati ，计量经济学，第641页）

四、联立方程组模型中的几个概念

1、内生变量。其数值由模型体系所决定的变量称之为内生变量。其特点是：（1）内生变量受模型体系的影响，反之亦然；（2）内生变量是随机变量。

2、前定变量。包括外生变量和滞后内生变量。

外生变量是指，它取的数值不由模型体系所决定。其特点是：（1）外生变量影响模型体系，反之不成立；（2）外生变量是非随机变量。

外生变量与内生变量的关系是：外生变量能够影响内生变量，但内生变量不能影响外生变量。

举例说明，（1）均衡条件下的供需模型；（2）凯恩斯的宏观经济模型。 1、 结构型模型。根据经济学理论或现实经济活动，对某种经济结构或某种经济主体的行为运用数学关系式进行“直接”描述。其过程可表述为 经济原型→数学模型

为了简单起见，下面直接给出联立方程组模型结构型的矩阵形式

(7)BY X U

+Γ=

其中，Y 为内生变量向量，X 为前定变量向量，U 为随机误差向量，B 为内生变量结构参数矩阵，Γ为前定变量结构参数矩阵（向量或矩阵的具体表示见教科书第211页）。

2、 简化型模型。所谓简化型模型是指在联立方程组模型中每一个内生变量只由前定变量和随机误差线性表示，或者说内生变量只是前定变量和随机误差的函数。用矩阵表示的过程如下，假设0B ≠，则

1111(8)(9)

Y B X B U

B V B U Y X V

----+Γ=∏=-Γ==∏+令

有

称（9）式为模型的简化型。

简化型模型与结构型模型的区别是：结构型模型中的方程左端为内生变量，但右端也可能出现内生变量；简化型模型中的方程左端为内生变量，但右端只有前定变量。

注意：在已知前定变量未来值的情况下，利用（9）式的样本估计式可直接对模型中的内生变量进行预测。

3、递归模型。在结构型模型中，如果方程的结构按如下形式，即

111112211

221121122222

331132231132233

k k k k k k y x x x u y y x x x u y y y x x x u γγγβγγγββγγγ=++

++=+++

++=++++

++

则称为递归模型。递归模型的特点是方便估计，无模型的识别问题。

第二节 联立方程组模型的识别问题

一、识别的概念

1、一个例子。设凯恩斯宏观经济模型为

)

3()2()1(210110t

t t t t t t t t I C Y u Y I u Y C +=++=++=ββαα 将（3）式变换为，

)4(t

t t C Y I -=

将（4）式代入（2）式，得

)5(210t

t t t u Y C Y ++=-ββ

将（5）式整理，得到如下模型：

)6()1(210t

t t u Y C --+-=ββ

对比（1）式与（6）式，两个C 的表达式（均表示消费模型），对消费函数来讲表达式不惟一，究竟哪一个才是表达消费的函数，这就是所谓的识别问题。

再例如，同样是上述模型，将（1）式代入（3）式，得

)

7(11

111)1(11

110101101110t

t t t t t t t t t t t t t u I Y u I Y u I Y Y I u Y Y αααααααααα-+-+-=

++=-++=-+++=

比较（3）式与（7）式，国民总收入也有两个表达式，那么哪一个才是国民总收入的函数？不仅如此，（3）式为恒定式，而（7）式为一随机函数。

由凯恩斯宏观经济模型结构可知，该模型具有合理的经济学解释，即式（1）与（2）的参数，在所对应的经济意义解释上应该是惟一的，但经过一定的数

学变换，我们发现事实并非如此。比较式（2）与式（6），可以看出对于样本

数据,,t t t C Y I ，均能得到参数0β与1β的估计0?β与1?β。现在的问题是0?β与1?β究竟是投资函数（2）还是消费函数（6）的参数估计？这也是联立方程组模型的识别问题。

2、识别的定义。总的原则是看方程组中一个方程与另一个方程有无差异，也就是看每一个方程出现的变量是否一致，如果出现在不同方程里的变量不一样，则方程为可识别，否则就不可识别。

关于识别的定义大致有以下几种情况：（1）方程的统计形式是否具有惟一型；（2）零系数规则；（3）结构型与简化型系数之间导出的关系。 本教科书仅从（3）给出识别的含义。

3、模型的识别问题。只有当联立方程组中每一个（结构）方程是可识别的，则该方程组才是可识别的。反之，当方程组模型中有一个方程不可识别，则整个方程组都不可识别。相比较，以此判断方程组不可识别更容易。

4、联立方程组可估计的条件：内生变量的个数=联立方程组中方程的个数。

二、识别的类型

下面通过几个例子来看利用结构型与简化型系数之间导出的关系所表现的识别类型。

1、不可识别。设模型为

)

3()2(0

)1(012101110s

i d i i i s i i i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα )

4(1

1121100210110βαβααβββαα--+

--=

∴++=++∴=i

i i i i i i s

i d i u u P u P u P Q Q

将（4）式代入（1）式或（2）得

1

11121211121111

0111110001

11121111011βαβαβαβαβαβαπβααβπβαβαβαβαβα--=--=--=--=--+

--=

==i

i

i i i i i

i s i d i i u u v u u v u u Q Q Q 令

则简化型模型为

)

6()5(2110i

i i i v Q v P +=+=ππ

由结构型与简化型系数之间的关系可以看出，简化型模型的系数只有两个，而结构型模型的系数有四个，显然要由简化型系数解出结构型系数是不可能的，即每一个结构方程都是不可识别，从而整个方程组不可识别。

如果在此基础上引入前定变量，则识别的状况会发生变化。如在上述模型中的供给方程引入价格P 的滞后一期变量1-t P ，即

s

t d t t t t t s t t

t d t Q Q Q u P P Q u P Q ==+++=++=-21210110βββαα 类似上述的推导，这时能得到需求函数为可识别，而供给函数仍然是不可识别。

2、恰好识别。在上述基础上往需求函数中引入一个前定变量t I （收入），得

s

t d t t t t t s t t t t d t Q Q Q u P P Q u I P Q ==+++=+++=-212101210βββααα 同样道理，可得到结构型参数与简化型参数之间的关系，可以看出，由简化型参数能惟一地解出结构型的参数，这就是恰好识别。

3、过度识别。继续往需求函数里引入前定变量t R （财富），

s

t d t t t t t s t t t t t d t Q Q Q u P P Q u R I P Q ==+++=++++=-2121013210βββαααα

我们仍然能够得到结构型与简化型参数之间的关系，可看出简化型参数个数多于结构型参数个数，把这种情况称为过度识别（详细说明可见教科书第216页

——第219页）。

在以上例子的讨论中，可以看出增加前定变量与改变识别状况的关系，即在有条件的情况下，联立方程组模型随着前定变量的增加，模型总是能够实现可识别。正因为如此，通常在实际建模过程中，往往淡化模型的识别问题。

三、识别的规则

由上述讨论，我们看到通过结构型模型与简化型模型参数之间的关系能够分析模型的识别状况，但从操作的角度讲，不方便判断模型的识别性，因此，需要用专门的方法对联立方程组模型的识别性问题进行判断。

设用矩阵形式表示的联立方程组模型为

+Γ=

BY X U

对于该模型，记

M=整个联立方程组模型中内生变量的个数

m=联立方程组中第i个方程中内生变量的个数

i

K=整个联立方程组模型中前定变量的个数

k=联立方程组中第i个方程

i

1、识别的阶条件（必要非充分）。

（1）设联立方程组模型有M个结构方程，对其中某一个方程进行判断。如果该方程是可识别的，则该方程中没有包含在联立方程组中的变量（包括内生变量和前定变量）个数至少为M-1。

如果该方程没有包含的变量个数恰好为M-1，则该方程为（有可能）恰好识别；如果该方程没有包含的变量个数大于M-1，则该方程为（有可能）过度识别；如果该方程没有包含的变量个数小于M-1，则该方程一定不可识别。

对阶条件的理解需注意以下几点：

（1）阶条件运用的基本前提是：内生变量的个数=联立方程组中方程的个数；

（2）“至少没有包含的变量个数为M-1（包括内生变量和前定变量）”，有两种情况要注意，一是模型中不可能只有前定变量，否则建立联立方程组模型便无任何意义；二是模型中完全有可能只有内生变量，如模型

)

3()2(0

)1(012101110s

i d i i i s i i i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 其中全部变量均为内生变量；最后基于上述两点，模型中至少出现的变量个数应为M 个（每一个方程至少含有一个内生变量），扣除正在判断的方程，考虑方程个数与内生变量个数一致，故为M-1，从而至少出现的变量个数应为M-1个。

（2）根据以上定义，没有包含在第i 个方程的变量个数有如下关系

()()11

i i i i M K m k M K k m +-+≥-?-≥-

当1i i K k m -=-时，该方程有可能是恰好识别；当1i i K k m ->-时，该方程有可能是过度识别；当1i i K k m -<-时，该方程一定不可识别。

（3）由于阶条件是必要非充分，所以对可识别的判断存在局限，但用阶条件判断不可识别（即该命题的逆否命题）则非常方便。

例1，对如下模型运用阶条件判断其识别性

012101212(1)(2)(3)

d t t t t s t t t t d s

t t t Q P I u Q P P u Q Q Q αααβββ-=+++=+++== 该模型所有内生变量个数M=3，对于（1）式有，

11112,

12

2111

K k m K k m ===?-=-=-=

所以方程（1）可能是恰好识别；对于（2）时有，

222,

1,

2K k m ===

所以与方程（1）有相同的结果，即也可能是恰好识别。 例2，设联立方程组为

0123101212(1)(2)(3)

d t t t t t s t t t t d s

t t t Q P I R u Q P P u Q Q Q ααααβββ-=++++=+++== 该方程组模型内生变量个数M=3，对于方程（1）有

11113,

2,2

32121

K k m K k m ===∴-=-=-=-

所以方程（1）有可能恰好识别。对于方程（2）有

22223,

1,1

31111

K k m K k m ===∴-=->-=-

所以方程（2）有可能为过度识别。

例3，设联立方程组模型为

01101212(1)(2)(3)

d t t t

s t t t t d s

t t t Q P u Q P P u Q Q Q ααβββ-=++=+++== 该方程组内生变量个数仍然是M=3，对于方程（2）有

22221,

1,2

11121

K k m K k m ===∴-=-<-=-

所以方程（2）是不可识别，从而方程组不可识别。事实上方程（1）是可识别的。

例4，设结构型模型为

3

3213233212121223u X Y Y Y u X Y Y u X X Y Y +--=++=++-=

其中321,,Y Y Y 为内生变量，即M=3；321,,X X X 为前定变量，即K=3。下面对第三个方程进行识别性的判断。由第三个方程，可知1,333==k m ，根据识别的阶条件，有213121333=-=-==-=-m k K ，则第三个方程有可能为恰好识别。但由下面的秩条件可知第三个方程为不可识别。这说明方程满足识别的阶条件，未必一定是可识别的。

2、识别的秩条件（充分且必要）。

联立方程模型识别的秩条件可以表述为：在有M 个内生变量M 个方程的完整联立方程模型中，当且仅当一个方程中不包含但在其他方程包含的变量（不论是内生变量还是外生变量）的结构参数，至少能够构成一个非零的M —1阶行列式时，该方程是可以识别的。或者表述为，当且仅当一个方程所排斥（不

包含）的变量的参数矩阵的秩等于M —1时，该方程可以识别。

设结构型模型为

U X BY =Γ+

在上式中B 为内生变量的系数矩阵，Γ为前定变量的系数矩阵，记矩阵00(,)B Γ为该方程组中第i 个方程中没有包含的内生变量和前定变量系数所构成的矩阵，如果当00(,)B Γ的秩为1M -时，即只有当至少有一个1M -阶非零行列式时，该方程才是可识别的。

类似阶条件有三种情况，秩条件也有三种情况：当只有一个1M -阶非零行列式时，该方程是恰好识别；当不止一个1M -阶非零行列式时，该方程是过度识别；当不存在1M -阶非零行列式时，该方程是不可识别。

运用秩条件判别模型的识别性，步骤如下：

（1）将结构型模型转变为结构型模型的标准形式，并将全部参数列成完整的参数表（方程中不出现变量的参数以0表示）；

（2）考察第i 个方程的识别问题：划去该方程的那一行，并划去该方程出现的变量的系数（该行中非0系数）所在列，余下该方程不包含的变量在其他方程中的系数的矩阵00(,)B Γ；

（3）计算Rank 00(,)B Γ，检验所余系数矩阵00(,)B Γ的秩，看是否等于M —1，或检验所余系数是否能构成非零M-1阶行列式。

（4）判断：如果Rank 00(,)B Γ=M-1，则该方程为可识别；根据非零行列式个数判别是恰好识别，还是过度识别。

设联立方程组模型

BY X U +Γ=

中第i 个方程有i m 个内生变量和i k 个前定变量，那么该方程可识别的充分必要条件是该方程没有包含的变量（包括内生变量和前定变量）的系数所组成的矩阵的秩为M-1。

秩条件的运用关键是如何构建某个方程不包含变量的系数矩阵，然后计算矩阵的秩。记矩阵00(,)B Γ为第i 个方程中没有包含的其它内生变量和前定变量

之系数所构成的矩阵，Rank 00(,)B Γ=M-1，则该方程可识别；如果有多个非零矩阵的秩为M-1，则该方程为过度识别；如果Rank 00(,)B Γ＜M-1，则该方程为不可识别。

3、联立方程组模型识别的一般做法，即将阶条件与秩条件结合运用（教科书第221页）。

（1）运用阶条件。如果不可识别，则到此为止；如果有可能识别，则运用秩条件。

（2）运用秩条件。如果不可识别，则到此为止；如果可识别，还需进一步判断是恰好识别还是过度识别。

（3）运用阶条件判断可识别的类型，是恰好识别还是过度识别。 例如，设定的联立方程模型为

123112312123(1)(2)(3)(4)

t t t t

t t t t t t t t t t t

Y C I G C Y T u I Y Y u T Y u αααβββγγ-=++=+-+=+-+=++

模型中，M=4个内生变量t Y 、t C 、t I 、t T 分别是收入、消费、投资、税收；

前定变量t G 和1-t Y 分别是政府支出和上年收入。

由给定方程组模型写出其结构性模型的标准形式

123111231212131000(5)000(6)0000(7)0000

(8)

t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t

t t t t t t C I Y T G Y u C I Y T G Y u C I Y T G Y u C I Y T G Y αααβββγγ-----++-+++=-++-+++=-++-+++=--++--=

由结构型的标准形式写出其系数矩阵),(ΓB ，即

??

??

?

?

?

??---------=Γ0101110001000010

0001

),(21321

3

21γγβββαααB 或者将以上一般形式的结构参数列于表1 表1

下面利用秩条件判断该模型的识别性。

（1）分析消费函数方程1的识别问题，划去方程1的那一行，并划去该行中非0系数所在列（即C 、Y 、T 对应的列），余下方程1不包含的变量在其他方程中的系数，构成),(00ΓB ，并列于如下矩阵

???

?

? ??--=Γ01100001

),(300βB

所余系数矩阵),(00ΓB 能构成M-1=3阶行列式：

00

1

100

013

=--β ),(00ΓB 只能构成一个等于零的M —1阶行列式，或者说Rank ),(00ΓB

说明消费函数是不可识别的。值得注意的是，在阶条件的判断中该方程是有可能为恰好识别（见式（11.51）的阶条件判断），这一例子正好说明阶条件只是必要条件，而非充分条件，亦即满足阶条件的未必一定满足秩条件。 （2）分析投资函数方程2的识别问题，同样道理可以划去方程2的那一行，并划去该行中非0系数所在列（即I 、Y 和1-t Y 对应的列），余下方程2不

包含的变量在其他方程中的系数，构成),(00ΓB ，得到),(00ΓB =????

?

?

?--10101

0013

α，其行列式为

01

1

010013

≠--α 只能构成一个不等于零的M —1阶行列式，则说明Rank ),(00ΓB =M-1=3，即表明投资函数为恰好识别。

（3）分析税收函数方程3的识别问题，可以划去方程3的那一行，并划去该行中非0系数所在列（即Y 和T 对应的列），余下方程3不包含的变量在其他方程中的系数，构成),(00ΓB ，得到),(00ΓB 为

=Γ),(00B ????

???

???---01110100001

3β 这是一个三行四列的矩阵，故可构成四个三阶行列式，即

1

11

010

110

1

000

110

011110

1

00133

3

---------βββ

很明显在这四个三阶行列式里只有

00

1

10

1

003=--β

其余三个均为非零行列式，则表明税收函数是过度识别。

最后一个方程为恒定式，可以不需判断其识别性。综上所述，由于消费函数是不可识别，所以，整个方程组为不可识别。

第三节联立方程组模型的估计

一、估计方法的概述

1、单一方程估计法（有限信息估计法）。

该类方法的特点是在估计参数的过程中，只用到该方程自身所带来的信息。

2、系统估计法（完全信息估计法）。

这类方法的特点是在估计参数的过程中，不仅用到该方程所提供的信息，而且还要用到其它方程所提供的信息。

二、递归模型和最小二乘估计法

三、间接最小二乘法

1、运用该方法的条件。

（1）结构型方程组为恰好识别；

（2）每个简化型方程中的随机误差项满足基本假定；

（3）简化型方程中的前定变量无多重共线性。

2、该方法的基本思想。

由于简化型模型符合基本假定，则可用最小二乘法对其求参数的估计，又因为结构型模型是恰好识别，所以可通过结构型与简化型系数之间的关系求解出结构型模型的参数估计。

3、该方法的步骤。

（1）将结构型模型转化为简化型模型；

（2）对简化型模型运用最小二乘法估计其参数；

（3）在模型为恰好识别的条件下，利用简化型方程参数直接求出结构型方程的参数。

4、该方法估计量的性质。

运用间接最小二乘法得到的参数估计是有偏的，但是一致的。

四、两阶段最小二乘估计法

1、运用该方法的条件。

结构型模型为过度识别，其它条件同上。

2、该方法的基本思想。

在结构型模型为过度识别的条件下，用OLS 对其简化型模型求参数的估计，将内生变量的估计值作为它的估计，再代入相应的结构型方程，以避免作解释变量时与随机误差项相关，最后对该结构型方程再用OLS 法求其参数估计。这就是两阶段最小二乘法。

3、该方法的基本步骤。

（1）将结构型模型转化为简化型模型；（2）对简化型模型用最小二乘法

求参数的估计；（3）将简化型模型估计得到的?it y

作为工具变量，替代结构型模型中的内生变量it y ，再用最小二乘法对结构型模型进行估计，从而求出结构型模型的参数估计量。

4、该方法估计量的性质。

参数估计量为有偏估计，但是一致的。

五、三阶段最小二乘估计

1、该方法要求结构型模型为可识别，其它条件见教科书第235页。。

2、基本思路。 例如，设联立方程组为

10112111212202121212(1)(2)

t t t t t t t t t

GDP M INV GCE u M GDP M u ββγγββγ-=++++=+++

利用单一方程估计方法的讨论：（1）只利用了单一方程自身的信息；（2）假定方程组中各方程中的随机误差项是同期不相关，本例中，t u 1与t u 2不相关；（3）从单一方程估计看，尽管参数估计量有偏，但保证了估计的一致性；（4）如果各方程中的随机误差项相关，则单一方程估计方法不能得到参数估计量的有效性。

这样，提出了用系统的方法估计其参数，即系统估计法。 3SLS=2SLS+GLS

3、基本操作步骤（教材第233页）。

第24章-联立方程模型

? 陈强,《高级计量经济学及Stata 应用》课件，第二版，2014 年，高等教育出版社。 第 24 章联立方程模型 24.1 联立方程模型的结构式与简化式 经济理论常常推导出一组相互联系的方程，其中一个方程的解释变量是另一方程的被解释变量，这就是联立方程组。 例农产品市场均衡模型，由需求函数、供给函数及市场均衡条件组成，参见第10 章。 例简单的宏观经济模型，参见第10 章。 1

2 ? 即使我们只关心单个方程，但如果该方程包含内生解释变量， 则完整的模型仍然是联立方程组。 由M 个方程构成的联立方程模型的“结构式”(structural form)： ? γ11 y t 1 + γ 21 y t 2 + + γ M 1 y tM + β11x t 1 + + βK 1x tK = εt 1 ? γ y + γ y + + γ y + β x + + β x = ε ? 12 t 1 22 t 2 M 2 tM 12 t 1 K 2 tK t 2 ? ??γ1M y t 1 + γ 2M y t 2 + + γ MM y tM + β1M x t 1 + + βKM x tK = εtM {y ti }为内生变量，{x tj }为外生变量，第一个下标表示第t 个观测值 (t = 1, , T )，第二个下标表示第i 个内生变量(i = 1, , M )，或第 j 个 外生变量( j = 1, , K )。

内生变量的系数为{γik }，其第一个下标表示它是第i 个内生变量的系数，而第二个下标表示它在第k 个方程中(k =1, , M )。 外生变量的系数为{βjk }，其第一个下标表示它是第j 个外生变量的系数，而第二个下标表示它在第k 个方程中。 结构方程的扰动项为{εtk }，其第一个下标表示第t个观测值(t =1, , T )，而第二个下标表示它在第k 个方程中。 “完整的方程系统”(complete system of equations)要求，内生变量个数等于方程个数M 。 将上述方程组写成更简洁的“横排”矩阵形式 3

计量经济学知识点整理：联立方程

联立方程模型 一、概念： 联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。 由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影 响。一般都是经济变量。每一个内生变量的值都要利用模型中的全 部方程才能决定。 外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是 模型系统研究的元素。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。 外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。 先决变量：外生变量和滞后内生变量 注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程 ：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系 的计量经济学方程系统称为结构式模型。 结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先 决变量和随机干扰项的函数形式 完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程 行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随 机扰动项。例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数 制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的 函数关系，如税收方程。 恒等式：定义方程式和平衡方程。 简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。 参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。

二、识别 方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。 ∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。 1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。 注：识别的定义是针对结构方程而言的。 模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。 如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型 系统是可以识别的。反之不识别。 恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。但是，在判 断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。 恰好识别：某一个随机方程只有一组参数估计量 过度识别：某一个随机方程具有多组参数估计量 方程的线性组合是否得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，决定了方程也是否是可以识别的。 2、如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别 （1）或者在其它方程中增加变量； （2）或者在该不可识别方程中减少变量。 （3）必须保持经济意义的合理性。 3、识 别条件 结构式: B ΓN Y X +=

计量经济学习题第10章 联立方程模型

第10章联立方程模型 一、单选 1、如果联立方程中某个结构方程包含了所有的变量，则这个方程为（） A、恰好识别 B、过度识别 C、不可识别 D、可以识别 2、下面关于简化式模型的概念，不正确的是（） A、简化式方程的解释变量都是前定变量 B、简化式参数反映解释变量对被解释的变量的总影响 C、简化式参数是结构式参数的线性函数 D、简化式模型的经济含义不明确 3、对联立方程模型进行参数估计的方法可以分两类，即：( ) A、间接最小二乘法和系统估计法 B、单方程估计法和系统估计法 C、单方程估计法和二阶段最小二乘法 D、工具变量法和间接最小二乘法 4、在结构式模型中，其解释变量( ) A、都是前定变量 B、都是内生变量 C、可以内生变量也可以是前定变量 D、都是外生变量 5、如果某个结构式方程是过度识别的，则估计该方程参数的方法可用（） A、二阶段最小二乘法 B、间接最小二乘法 C、广义差分法 D、加权最小二乘法 6、当模型中第i个方程是不可识别的，则该模型是( ) A、可识别的 B、不可识别的 C、过度识别 D、恰好识别 7、结构式模型中的每一个方程都称为结构式方程，在结构方程中，解释变量可以是前定变量，也可以是( ) A、外生变量 B、滞后变量 C、内生变量 D、外生变量和内生变量 8. 在完备的结构式模型 A、Y t B.Y t – 1 C.I t D.G t 9. 在完备的结构式模型 A.方程1 B.方程2 C.方程3 D.方程1和2 10.联立方程模型中不属于随机方程的是（） A.行为方程 B.技术方程 C.制度方程 D.恒等式 11.结构式方程中的系数称为（） A.短期影响乘数 B.长期影响乘数 C.结构式参数 D.简化式参数 12.简化式参数反映对应的解释变量对被解释变量的 A.直接影响 B.间接影响 C.前两者之和 D.前两者之差 13.对于恰好识别方程，在简化式方程满足线性模型的基本假定的条件下，间接最小二乘估 计量具备（） A.精确性 B.无偏性 C.真实性 D.一致性 二、多选 1、当结构方程为恰好识别时，可选择的估计方法是（） A、最小二乘法 B、广义差分法 C、间接最小二乘法 D、二阶段最小二乘法 E、有限信息极大似然估计法 2、对联立方程模型参数的单方程估计法包括( ) A、工具变量法 B、间接最小二乘法 C、完全信息极大似然估计法 D、二阶段最小二乘法 E、三阶段最小二乘法

计量经济学：联立方程部分习题以及解析

第六章 经典联立方程计量经济学模型：理论与方法 一、内容提要 联立方程计量经济学模型是相对于单一方程模型提出来的，旨在在讨论多个经济变量相互影响的错综复杂的运行规律，或者说讨论多个内生变量被联立决定的问题。 本章学习内容的一个重点是关于联立方程计量经济学模型区别于单方程模型的若干基本概念，包括内生变量、外生变量、前定变量的概念；结构式模型、简化式模型的概念；随机方程、恒等方程的概念；行为方程、技术方程、制度方程、统计方程、定义方程、平衡方程等相关概念。 本章学习的另一个重点是联立模型的识别问题。需掌握模型识别的基本概念、模型识别的类型（不可识别、恰好识别、过渡识别）、模型的结构式识别条件、模型的简化式识别条件以及实际应用中的经验识别方法。 本章学习的第三个重点是联立模型的估计问题。首先明确联立模型估计时会遇到的三个方面的问题。一是随机解释变量问题，即模型中的某些解释变量也能是与随机扰动项相关的随机解释变量；二是损失变量信息的问题，即以单方程方法估计模型时会损失其他方程变量所提供的信息；三是损失方程之间的相关性信息问题，即以单方程方法估计模型时会损失不同方程随机扰动项间的相关性方面的一些信息。其次，需要掌握联立模型两大类估计方法中的主要估计方法，如单方程估计方法中的狭义工具变量法（IV ）、间接最小二乘法（ILS ）、二阶段最小二乘法（2SLS ），系统估计方法中的三阶段最小二乘法（3SLS ）等。 本章学习中不容忽视的还有联立方程计量经济学模型估计方法的比较，以及联立方程模型的检验问题。前者需要考察大样本估计量特性与小样本估计量的特性；后者包括拟合效果检验、预测性检验、方程间误差传递检验等方面的内容。 二、典型例题分析 1、如果我们将“供给”1Y 与“需求”2Y 写成如下的联立方程的形式：

第六章联立方程计量经济学模型案例

第六章 联立方程计量经济学模型案例 1、下面建立一个包含3个方程的中国宏观经济模型，已经判断消费方程式恰好识别的，投资方程是过度识别的。对模型进行估计。样本观测值见表6.1 01211012t t t t t t t t t t t C Y C u I Y u Y I C G αααββ-=+++?? =++??=++? 表6.1 中国宏观经济数据 单位：亿元 （1） 用狭义的工具变量法估计消费方程 选取方程中未包含的先决变量G 作为内生解释变量Y 的工具变量，过程如下：

结果如下： 所以，得到结构参数的工具变量法估计量为： 012???582.27610.2748560.432124α αα===，， （2） 用间接最小二乘法估计消费方程 消费方程中包含的内生变量的简化式方程为： 1011112120211222t t t t t t t t C C G Y C G πππεπππε--=+++?? =+++? 参数关系体系为：

11121210012012122000 παπαπααππαπ--=?? --=??-=? 用普通最小二乘法估计，结果如下： 所以参数估计量为： 101112???1135.937,0.619782, 1.239898π ππ=== 202122???2014.368,0.682750, 4.511084π ππ=== 所以，得到间接最小二乘估计值为： 12122??0.274856?π α π ==

211121????0.432124α παπ=-= 010120????582.2758α παπ=-= （3）用两阶段最小二乘法估计消费方程 第一阶段使用普通最小二乘法估计内生解释变量的简化方程，得到 1?2014.3680.68275 4.511084t t t Y C G -=++ 用Y 的预测值替换消费方程中的Y ，直接用OLS 估计消费方程，过程如下：

计量经济学 第十章 联立方程组模型

第十章 联立方程组模型 第一节 联立方程组模型概述 一、问题的提出 1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。 2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。 3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。 二、联立方程组的概念 1、联立方程组模型的定义。 由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。 联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。 2、联立方程组模型的例子。 （1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。 ) 3()2(0 )1(012101110s i d i i i s i i i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联

立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。 （2）一个凯恩斯宏观经济模型。 011012(4)(5)(6) t t t t t t t t t t C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。 三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性） 1、内生解释变量与随机误差项的相关性。 2、直接对联立方程组模型运用OLS 法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。 例如，设凯恩斯收入决定模型为 [][]01) (11)1() 0)(())(())())(((),cov(1)(11) 1(11)(111)1(1 01 2 21 11 1 1011101 1100110110≠-=-=-==-=--=-= -∴-+-=-+-+-=-+ -+-= ∴++=-+++=∴+=<<++=βσβββββββββββββββββββββU E U U E U E U Y E Y E U E U Y E Y E U Y U Y E Y I U E I Y E U I Y U I Y I U Y Y I C Y U Y C t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t 表明内生变量Y 在作解释变量时与随机误差U 相关。 对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）

第五章联立方程组模型的估计

第五章 联立方程组模型的估计 第一节 概述 一、联立方程的概念 在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关 系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲， 联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型： ()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??=+??=++? 在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程

和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看） 二、模型中变量的分类 1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。 内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的；第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。 2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。 外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件） 3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。

第十章 凯恩斯模型 答案

第十章凯恩斯模型答案

第十章凯恩斯模型 宏观经济学的核心问题是研究什么因素决定一国的国民收入水平。凯恩斯对古典宏观经济模型的前提和内容做了全面的批判，开创了现代宏观经济学的新篇章。国民收入决定理论所要研究的问题是收入与产出之间相互作用的关系；IS一LM模型将产品市场货币市场联系起来，考察两个市场相互作用的情况，IS 一LM模型是短期宏观经济学的核心，是宏观经济分析的基本工具。 本章重点： （1）消费函数和储蓄函数以及二者的关系 （2）投资、乘数和加速数 （3）二、三、四部门均衡国民收入的决定 （4）IS一LM模型 习题 1、名词解释 萨伊定律、边际消费倾向、边际储蓄倾向、乘数效应、投资乘数、资本边际效率、投资边际效率、加速原理、摩擦失业、非自愿失业、IS曲线、LM曲线、 2、单项选择题 （1）边际消费倾向与边际储蓄倾向之和等于（ D ）

Ａ．大于1的正数Ｂ．小于1的正数Ｃ．零Ｄ．等于1 （2）平均消费倾向与平均储蓄倾向之和等于（ D ）。 Ａ．大于1的正数Ｂ．小于1的正数Ｃ．零Ｄ．等于1 （3）根据消费函数，引起消费增加的因素是（ B ）。 Ａ．价格水平下降Ｂ．收入增加Ｃ．储蓄增加Ｄ．利率提高。 （4）消费函数的斜率取决于（ A ） Ａ．边际消费倾向Ｂ．与可支配收入无关的消费的总量 Ｃ．平均消费倾向Ｄ．由于收入变化而引起的投资总量 （5）如果与可支配收入无关的消费为300亿元，投资为400亿元，边际储蓄倾向为0.1，那么，在两部门经济中，均衡收入水平为（ D ）。（300+400）*（1/0.1）=7000 Ａ．770亿元Ｂ．4300亿元Ｃ．3400亿元Ｄ．7000亿元。 （6）以下四种情况中，投资乘数最大的是

第七章_联立方程模型和两阶段最小二乘法

第七章联立方程模型和两阶段最小二乘法 建立一个OBJECT。确定内外生变量： cc=c(1)+c(2)*PP+c(3)*PP(-1)+c(4)*(WP+WG) ii=c(5)+c(6)*PP+c(7)*PP(-1)+c(8)*KK WP=c(9)+c(10)*XX+c(11)*XX(-1)+c(12)*AA INST WG GG TT AA PP(-1) KK XX(-1) C 回归结果： System: KLEINMODEL Estimation Method: Two-Stage Least Squares Date: 07/13/11 Time: 15:29 Sample: 1921 1941 Included observations: 21 Total system (balanced) observations 63

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C(1) 16.55476 1.467979 11.27725 0.0000 C(2) 0.017302 0.131205

0.131872 0.8956 C(3) 0.216234 0.119222 1.813714 0.0756 C(4) 0.810183 0.044735 18.11069 0.0000 C(5) 20.27821 8.383249 2.418896 0.0192 C(6) 0.150222 0.192534

0.780237 0.4389 C(7) 0.615944 0.180926 3.404398 0.0013 C(8) -0.157788 0.040152 -3.929751 0.0003 C(9) 1.500297 1.275686 1.176070 0.2450 C(10) 0.438859 0.039603

联立方程计量经济模型

第十章联立方程计量经济模型 教学要求及目的： 1、了解联立方程模型产生的背景 2、识记联立方程模型的基本概念及类型 3、理解联立方程模型的识别条件 4、重点掌握联立方程模型的参数估计 第一节联立方程模型的概念 一、联立方程模型的问题提出 我们在研究经济问题时，经常用到经济数学模型，即用数学表达式来模拟、描述经济活动，揭示其本质的规律。计量经济学模型就是我们常用的一种经济数学模型。 在前面的学习中，讨论了单方程计量经济学模型，只能描述经济变量之间的单向因果关系，即若干解释变量的变化引起被解释变量的变化。但经济现象是错综复杂的，其中诸因素之间的关系在很多情况下，不是单一方程模型所描述的简单的单向因果关系，而是相互依存的交错的双向或多向因果关系。如某一农产品的价格，影响着对该农产品的需求和供给；同时，市场对该农产品的需求和供给又影响着该农产品的价格。为了描述变量之间的多向因果关系，就需要建立由多个方程组成的联立方程模型。又如，研究消费函数时，一般认为消费是由收入决定的；但从社会再生产的动态过程来看，消费水平的改变又会导致生产规模的变化，进而影响收入，所以消费又决定收入。因此利用单方程模型很难完整、准确地反映经济系统内的这种复杂关系，只有将多个方程有机地组合起来才能合理地进行经济问题的描述。 联立方程模型就是由多个相互联系得单一方程组成的方程组。由于其包含的变量和描述的经济

关系较多，所以能够较为全面地反映经济系统的运行规律。在联立方程模型中，每个都描述了变量间的一个因果关系，所描述的经济系统中有多少个因果关系，联立方程模型中就对应有多少个方程。 从上面分析来看，就提出了这样一个问题：必须发展新的方法来估计联立方程计量经济学模型，这就从计量经济学方法上提出了联立方程模型问题。 二、联立方程模型中的几个基本概念 （一）变量 在联立方程模型中，某些变量可能是一个方程中的解释变量，同时又是另一个方程中的被解释变量。为了明确起见，需要对变量重新进行分类。 1． 内生变量 内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素。内生变量受模型系统中其他变量的影响，也可能影响其他变量。它一般是被解释变量（在其他方程中也可作为解释变量），且是模型求解的结果。建模时往往要求模型中的方程个数等于内生变量的个数。 一般情况下，因为0),(≠i i Y COV μ，内生变量Y 变量满足：0),(≠i i Y E μ。 由于内生变量是随机变量，如果它在某个方程中作为解释变量，则该方程就存在随机解释变量问题，方程中参数的最小二乘估计量一般是有偏的和不一致的，此时最小二乘法不是一个好的参数估计方法。 2． 外生变量 由模型系统以外的因素决定其取值的变量称为外生变量，或者是没有概率分布的确定变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，它不受模型系统的影响，但它对模型系统有影响。在联立方程组模型中，必须事先给定外生变量值，才能求出内生变量的值。外生变量可分为政策性外生变量和非政策性外生变量。政策性外生变量，如税率、利率、货币供给量、政府支出等；非政策性外生变

第十章 凯恩斯模型 答案

第十章凯恩斯模型 宏观经济学的核心问题是研究什么因素决定一国的国民收入水平。凯恩斯对古典宏观经济模型的前提和内容做了全面的批判，开创了现代宏观经济学的新篇章。国民收入决定理论所要研究的问题是收入与产出之间相互作用的关系；IS一LM模型将产品市场货币市场联系起来，考察两个市场相互作用的情况，IS一LM模型是短期宏观经济学的核心，是宏观经济分析的基本工具。 本章重点： （1）消费函数和储蓄函数以及二者的关系 （2）投资、乘数和加速数 （3）二、三、四部门均衡国民收入的决定 （4）IS一LM模型 习题 1、名词解释 萨伊定律、边际消费倾向、边际储蓄倾向、乘数效应、投资乘数、资本边际效率、投资边际效率、加速原理、摩擦失业、非自愿失业、IS曲线、LM曲线、 2、单项选择题 （1）边际消费倾向与边际储蓄倾向之和等于（ D ） Ａ．大于1的正数Ｂ．小于1的正数Ｃ．零Ｄ．等于1 （2）平均消费倾向与平均储蓄倾向之和等于（ D ）。 Ａ．大于1的正数Ｂ．小于1的正数Ｃ．零Ｄ．等于1 （3）根据消费函数，引起消费增加的因素是（ B ）。 Ａ．价格水平下降Ｂ．收入增加Ｃ．储蓄增加Ｄ．利率提高。 （4）消费函数的斜率取决于（A ） Ａ．边际消费倾向Ｂ．与可支配收入无关的消费的总量 Ｃ．平均消费倾向Ｄ．由于收入变化而引起的投资总量 （5）如果与可支配收入无关的消费为300亿元，投资为400亿元，边际储蓄倾向为0.1，那么，在两部门经济中，均衡收入水平为（ D ）。（300+400）*（1/0.1）=7000 Ａ．770亿元Ｂ．4300亿元Ｃ．3400亿元Ｄ．7000亿元。 （6）以下四种情况中，投资乘数最大的是（ A ）。 A．边际消费倾向为0.6B．边际消费倾向为0.1 C．边际消费倾向为0.4D．边际消费倾向为0.3 （7）如果投资增加150亿元，边际消费倾向为0.8，那么收入水平将增加（ C ）。150*[1/(1-0.8)]=750 Ａ．150亿元B．600亿元Ｃ．750亿元Ｄ．450亿元 （8）已知某个经济充分就业的收入是4000亿元，实际均衡收入是3800亿元。假定边际储蓄倾向为25%，增加100亿元投资将使经济（ C ）。100*(1/0.25)=400, 400-(4000-3800)=200 A．达到充分就业的均衡B．出现50亿元的通货膨胀缺口 C．出现200亿元的通货膨胀缺口D．出现50亿元的紧缩缺口 （9）消费者储蓄增加而消费支出减少则( Ｃ)。 A．储蓄上升，但GDP下降B．储蓄保持不变，GDP下降

联立方程

第一讲联立方程（上）内生外生变量 联立方程概念 案例分析

案例：金融与经济的关系分析 鸡生蛋or蛋生鸡? 经济影响金融？ or 金融影响经济？ 联立方程？

本案例几个关键问题 内生变量如何确定？ 外生变量有哪些？ 联立方程如何估计？ 该案例以我国金融与经济的关系进行分析

（一）联立方程模型概念 1.联立方程模型——描述经济变量间联立依存性的方程体系。一个经济变量在某方程中可能是被解释变量，在另一方程中却是解释变量，如Y 、I 。 2、内生变量——由模型本身所决定的变量。 3、外生变量——由模型外因素决定的变量。 4、先决变量——包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。 ?????++= +++=++=-t t t t t t t t t t t G I C Y u Y Y I u Y C 21210 110βββαα内生变量 先决变量

（二）联立方程的分类 1.结构模型。把内生变量表达为其他内生变量、先决变量与随机误差项的联立方程模型。 2.简化型模型。把内生变量只表示为先决变量与随机误差项函数的的联立方程模型。 ◆消费方程，行为方程??? ??++=+++=++=-t t t t t t t t t t t G I C Y u Y Y I u Y C 21210110βββαα◆投资方程，行为方程◆定义方程，平衡方程?????++=++=++=---t t t t t t t t t t t t v G Y Y v G Y I v G Y C 3321 31222121112111ππππππ先决变量 简化式模型看不出方程中的结构关系，如消费结构、投资结构。

联立方程计量经济学模型案例

联立方程计量经济学模型案例

第六章 联立方程计量经济学模型案例 1、下面建立一个包含3个方程的中国宏观经济模型，已经判断消费方程式恰好识别的，投资方程是过度识别的。对模型进行估计。样本观测值见表6.1 01211012t t t t t t t t t t t C Y C u I Y u Y I C G αααββ-=+++?? =++??=++? 表6.1 中国宏观 经济数据 单位：亿元 年份 Y I C G 年 份 Y I C G 1978 3606 1378 1759 469 1991 21280 7517 10316 3447 1979 4074 1474 2005 595 1992 2586 4 9636 1246 0 3768 1980 4551 1590 2317 644 1993 34501 14998 15682 3821 1981 4901 1581 2604 716 1994 46691 19261 20810 6620 1982 5489 1760 2868 861 1995 58511 23877 26945 7689 1983 6076 2005 318 3 888 1996 68330 26867 3215 2 9311 1984 7164 2469 3675 1020 1997 74894 28458 34855 1158 1

结果如下： 所以，得到结构参数的工具变量法估计量为： 1 2 ???582.27610.2748560.432124α αα===，， （1） 用间接最小二乘法估计消费方程 消费方程中包含的内生变量的简化式方程为：

联立方程计量经济学模型综合练习题

联立方程计量经济学模型：理论与方法 一、内容提要 联立方程计量经济学模型是相对于单一方程模型提出来的，旨在在讨论多个经济变量相互影响的错综复杂的运行规律，或者说讨论多个内生变量被联立决定的问题。 本章学习内容的一个重点是关于联立方程计量经济学模型区别于单方程模型的若干基本概念，包括内生变量、外生变量、前定变量的概念；结构式模型、简化式模型的概念；随机方程、恒等方程的概念；行为方程、技术方程、制度方程、统计方程、定义方程、平衡方程等相关概念。 本章学习的另一个重点是联立模型的识别问题。需掌握模型识别的基本概念、模型识别的类型（不可识别、恰好识别、过渡识别）、模型的结构式识别条件、模型的简化式识别条件以及实际应用中的经验识别方法。 本章学习的第三个重点是联立模型的估计问题。首先明确联立模型估计时会遇到的三个方面的问题。一是随机解释变量问题，即模型中的某些解释变量也能是与随机扰动项相关的随机解释变量；二是损失变量信息的问题，即以单方程方法估计模型时会损失其他方程变量所提供的信息；三是损失方程之间的相关性信息问题，即以单方程方法估计模型时会损失不同方程随机扰动项间的相关性方面的一些信息。其次，需要掌握联立模型两大类估计方法中的主要估计方法，如单方程估计方法中的狭义工具变量法（IV ）、间接最小二乘法（ILS ）、二阶段最小二乘法（2SLS ），系统估计方法中的三阶段最小二乘法（3SLS ）等。 本章学习中不容忽视的还有联立方程计量经济学模型估计方法的比较，以及联立方程模型的检验问题。前者需要考察大样本估计量特性与小样本估计量的特性；后者包括拟合效果检验、预测性检验、方程间误差传递检验等方面的内容。 二、典型例题分析 1、如果我们将“供给”1Y 与“需求”2Y 写成如下的联立方程的形式： 2 222211 11211u Z Y Y u Z Y Y ++=++=βαβα 其中，1Z 、2Z 为外生变量。 （1）若01=α或02=α，解释为什么存在1Y 的简化式？若01≠α、02=α，写出2Y 的简化式。

第八章 联立方程模型

第八章联立方程模型 第1节、联立方程模型的概念 1、什么是联立方程模型 联立方程模型是相对于前面所学的单一方程模型提出的。单一方程模型中只含有一个被解释变量和若干个解释变量，这类方程最大的特征是，它只能描述经济变量之间的单向因果关系，即解释变量是因，被解释变量是果，例如Y=β0+β1X+u表示收入对服装支出的影响，收入是因，服装支出是果，而且这种因果关系是不可逆转的，不能用这个方程又解释服装支出对收入的影响。 但是，经济现象是错综复杂的，许多经济变量之间存在着交错的双向或多向因果关系，是相互依存，互为因果的。例如，收入影响消费，消费反过来也影响收入；价格影响着商品的需求和供给，反过来，商品的需求和供给关系又影响着商品的价格。因此，要想描述清楚一个经济系统中各个变量之间的关系，就需要用一组方程才能描述清楚。 联立方程模型：同时用若干个模型去表示一个经济系统中经济变量相互联立依存性的模型。 例如：由国内生产总值（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、和政府开支（G）等变量构成的简单的宏观经济系统： 如果我们把政府开支（G）有系统外部实现给定，那么，就国内生产总值、居民消费总额、投资总额之间是互相影响并互为因果的。可以建立如下模型： Yt=Ct+It+Gt Ct=a0+a1Yt+u1t It=β0+β1Ytβ2Yt-1+μ2t 其中第一个方程表示国内生产总值由居民消费总额、投资总额和政府开支共同决定，在假定进出口平衡的情况下，是一个衡等方程；第二个方程表示居民消费总额由国内生产总值决定；第三个方程表示投资总额由国内生产总值和前一年的国内生产总值共同决定。这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。 2、联立方程模型的特点 1、模型中不止一个应变量，有M个方程可以有M个应变量； 2、应变量和解释变量之间不仅是单向的因果关系，可能是互 为因果； 3、解释变量有可能是随机的不可控变量，比如上例中，居民 消费总额和投资总额是随机变量，而国内生产总值由他们决 定，因此国内生产总值不是确定性的变量，它作为居民消费的

第五章联立方程组模型的估计

第五章联立方程组模型的估计 第一节概述 一、联立方程的概念 在实际经济活动中，变量之间不仅仅是存在单项的因果关系。还会存在如下的情况：第一，由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。第二，为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。这样的例子比如市场均衡模型（具体内容是什么）宏观经济学中的国民收入模型（具体内容是什么）。这类问题涉及的就是联立方程模型的问题。 简单来讲， 联立方程模型就是描述变量间联立依存性的方程体系。 比如如下的简单的宏观经济模型：

()C Y T I Y Y C I G αβγδ=+-??=+??=++? 在这个模型中，有三个方程，一个消费方程，一个投资方程和一个均衡方程。比较这个由三个方程组成的一个经济模型和前边我们已经学过的由一个方程组成的经济模型。我们能够发现什么呢（1、从变量所处的位置上来看；2、从变量的分类上看；3、从变量之间的经济含义上看） 二、模型中变量的分类 1、内生变量：（由模型内变量所决定的变量）其数值是在所考虑的经济系统模型本身内所决定的，它一般是被解释变量（在其他的方程中也可以作为解释变量出现），且是模型求解的结果。 内生变量的性质：第一、内生变量与随机误差项是相关的； 第二，它的值是在参数估计之后，由方程组所解出来的值 第三，它的值可以是预测结果，也可以是政策后果。

2、外生变量：（由模型外变量所决定的变量）它是由系统外部因素所影响而不由所考虑的模型系统所决定的变量，但他影响模型系统内生变量的值。 外生变量的性质：第一，外生变量必须事先给定；第二，外生变量可以分为政策性外生变量（经济调控的手段）和非政策性外生变量（时间趋势、自然条件） 3、前定变量：外生变量和滞后变量（滞后内生变量和滞后外生变量）的统称。 前定变量的性质：第一，前定变量与模型的随机误差性不相关；第二，在模型中作为解释变量出现。 注意：1、联立方程模型和单一方程的变量的分类有什么差异（联立方程模型的分类、单一方程中的分类） 2、内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。 三、模型中方程的分类 1、行为方程：描述居民、企业和政府的经济行为。这类方程建立在相应的经济理论基础之上。也称之为随机方程（为什么），带有随机误差项。 2、技术方程：表示生产的技术关系。它也是随机方程（为什么），带有随机误差项。

第四章联立方程模型

Chapter4 联立方程模型 本章关注的目标Y 不止一个，而是多个。或者其中关注的某一目标与其它目标有内在联系，如果我们不知道其它的目标，就不可能知道要关注的目标。例如，我们要知道某一商品的市场价格，我们必须要同时知道该商品的供给曲线和需求曲线。自然也就存在多因多果的关系问题。从内生性问题角度看，某一解释变量i X 从另一方面考察可能成为Y 的结果，那么Y 就是原因，因为i X 中有Y 的成分，从而()0i E U X 不成立，产生内生性问题的第3种情形，联立性问题。 在第二章现代观点理念的陈述中，把Y 看成是一个随机向量，所有的语言经过适当的修正，完全可以类似重复。但由于因变量Y 的个数的增加，也就带来了许多“单方程线性回归模型”不曾有的问题。本章主要讨论联立的线性系统。内容有，联立方程模型的表述，各种估计和检验的假设条件，系统的可识别，以及一些专题。其中GMM 方法是本章的特色。它把2SLS 的方法又提高了一步。 一、基本概念和模型 系统：多个变量间的相互联系，一般用方程表述。线性系统则认为它们的联系是线性的。 变量：描述系统状态的基本要素。变量分成两类。一类是内生变量，含义是，一旦系统变量间的相互联系确定，这些变量的值就是完全确立的。内生变量一般是系统要关注的对象。另一类是先决变量，含义是，它们的值不是由系统直接确定。它又分成：（1）外生变量，它的值由系统的外部给定；（2）滞后的内生变量，它的值由内生变量的前期确定。有时，（1）（2）不加区分统称为外生变量。不过这两种内生变量有实质性区别，后一种滞后变量会带来内生性问题。 线性模型：系统中的变量通过线性方程或加上随机误差项联系，称为联立系统的线性模型。 模型分成简约式（reduced formed ）和结构式（structure form ）两种： 1、简约式：每个内生变量由系统的先决变量的线性式加随机项构成，先决变量前的系数称为简约系数。 2、结构式：每个方程由内生变量和先决变量的混合线性式或加随机项构成。结构式有以确定的经济内内涵，它们从理论模型简化而成。一般把结构式分成四类： （1） 行为方程 （2） 技术方程 （3） 平衡方程 （4） 定义方程 每个结构方程中，变量前的系数称为结构参数。 系统的描述： Y 表示内生变量，设共有G 个内生变量：1Y ……G Y X 表示先决变量，设有M 个先决变量：1X ……M X U 表示随机误差，误差项的个数随行为和技术方程的个数来定。 例：简单的宏观消费－投资模型： 可加随机项 不可加随机项

经典联立方程计量经济学模型：理论与方法

t t (β Γ)= ? ? ? t ? ? t 2．一个由两个方程组成的联立模型的结构形式如下（省略 t-下标） P = α 0 + α1N t + α 2 S t + α 3 A t + u t N t = β 0 + β1P + β 2 M t + v t （1）指出该联立模型中的内生变量与外生变量。 （2）分析每一个方程是否为不可识别的，过度识别的或恰好识别的？ （3） 有与 μ 相关的解释变量吗？有与 υ 相关的解释变量吗？ （4）如果使用 OLS 方法估计 α，β 会发生什么情况？ （5）可以使用 ILS 方法估计 α 吗？如果可以，推导出估计值。对 β 回答同样的问题。 （6）逐步解释如何在第 2 个方程中使用 2SLS 方法。 解答： （1）内生变量：P 、N ；外生变量：A 、S 、M （2）容易写出联立模型的结构参数矩阵 P N 常量 S A M ? 1 ? - β1 - α1 1 - α 0 - β 0 - α 2 0 - α 3 0 0 ? - β 2 ? 对第 1 个方程， (β 0Γ0 )= (- β 2 )，因此， 秩(β 0Γ0 )= 1，即等于内生变量个数减 1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，恰等于 该方程内生变量个数减 1，即 4-3=1=2-1，因此第一个方程恰好识别。 对第二个方程， (β 0Γ0 )= (- α 2 - α 3 )，因此， 秩(β 0Γ0 )= 1，即等于内生变量个数 减 1，模型可以识别。进一步，联立模型的外生变量个数减去该方程外生变量的个数，大 于该方程内生变量个数减 1，即 4-2=2>=2-1，因此第二个方程是过渡识别的。 该模型对应于 13.3 届中的模型 4。我们注意到该模型为过渡识别的。综合两个方程的 识别状况，该联立模型是过渡识别的。 （3）S,A,M 为外生变量，所以他们与 μ，υ 都不相关。而 P,N 为内生的，所以他们与 μ，υ 都相关。具体说来，N 与 P 同期相关，而 P 与 μ 同期相关，所以 N 与 μ 同期相关。 另一方面，N 与 v 同期相关，所以 P 与 v 同期相关。 （4）由（3）知，由于随机解释变量的存在，α 与 β 的 OLS 估计量有偏且是不一致的。 （5）对第一个方程，由于是恰也识别的，所以间可用接最小二乘法（ILS ）进行估计。 对第二个方程，由于是过渡识别的，因此 ILS 法在这里并不适用。 （6）对第二个方程可采用二阶段最小二乘法进行估计，具体步骤如下： 第 1 阶段，让 P 对常量，S,M,A 回归并保存预测值 P ；同理，让 N 对常量，S,A,M 回 归并保存预测值 N t 。 第 2 阶段，让 N t 对常量、 P 、 M t 作回归求第 2 个方程的 2SLS 估计值 6-1

第9章 联立方程模型

第9章 联立方程模型 习 题 一、单项选择题 1．关于联立方程组模型，下列说法中错误的是（ B ） A. 结构模型中解释变量可以是内生变量，也可以是前定变量 B. 简化模型中解释变量可以是内生变量， C. 简化模型中解释变量是前定变量 D. 结构模型中解释变量可以是内生变量 2．如果某个结构方程是恰好识别的，估计其参数可用（D ） A. 最小二乘法 B. 极大似然法 C. 广义差分法 D. 间接最小二乘法 3．在联立方程结构模型中，对模型中的每一个随机方程单独使用普通最小二乘法得到的估计参数是（ B ） A. 有偏且一致的 B. 有偏不一致的 C. 无偏但一致的 D. 无偏且不一致的 4．在有M 个方程的联立方程组中，若用H 表示联立方程组中全部的内生变量与 全部的前定变量之和的总数，用表示第i 个方程中内生变量与前定变量之和 的总数时，第i 个方程过度识别时，则有公式( A )成立。 A. B. C. D. 5．在有M 个方程的联立方程组中，若用H 表示联立方程组中全部的内生变量加 上全部的前定变量的总个数，用表示第i 个方程中内生变量与前定变量之和 的个数时，则公式表示( C ) A ．不包含在第i 个方程中内生变量的个数 B ．不包含在第i 个方程中外生变量的个数 C ．不包含在第i 个方程中内生变量与外生变量之和的个数 D ．包含在第i 个方程中内生变量与外生变量之和的个数 6．结构模型中的每一个方程都称为结构方程。在结构方程中，解释变量可以是前定变量，也可以是( C ) A. 外生变量 B. 滞后变量 C. 内生变量 D. 外生变量和内生变量 i N 1i H N M ->-1i H N M -=-0i H N -=1i H N M -<-i N i H N -

第十一章 联立方程模型 案例分析

第十一章 案例分析 一、研究目的和模型设定 依据凯恩斯宏观经济调控原理，建立简化的中国宏观经济调控模型。经理论分析，采用基于三部门的凯恩斯总需求决定模型，在不考虑进出口的条件下，通过消费者、企业、政府的经济活动，分析总收入的变动对消费和投资的影响。设理论模型如下： t t t t t t t t t t u Y I u Y C G I C Y 210110++=++=++=ββαα )83.11() 82.11()81.11( 其中，t Y 为支出法GDP ，t C 为消费，t I 为投资，t G 为政府支出；内生变量为t t t I C Y ,,；前定变量为t G ，即M=3，K=1。 二、模型的识别性 根据上述理论方程，其结构型的标准形式为 t t t t t t t t t t u Y I u Y C G Y I C 2101100=-+-=-+-=-+--ββαα 标准形式的系数矩阵),(ΓB 为 t t t t G Y I C C ? ? ? ?? ??-------=Γ010********),(1010ββααB 由于第一个方程为恒定式，所以不需要对其识别性进行判断。下面判断消费函数和投资函数的识别性。 1、消费函数的识别性 首先，用阶条件判断。这时0,222==k m ，因为,1012=-=-k K 并且 11212=-=-m ，所以122-=-m k K ，表明消费函数有可能为恰好识别。 其次，用秩条件判断。在),(ΓB 中划去消费函数所在的第二行和非零系数所在的第一、二、四列，得 ? ??? ??--=Γ0111),(00B 显然，2),(00=ΓB Rank ，则由秩条件，表明消费函数是可识别。再根据阶条件，消费函数是恰好识别。