(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分 矩阵及其运算作业

（一）选择题(15分)

１．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22

()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E =

２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ）

(A)至多一个等于零 (B)都不等于零

(C) 只有一个等于零 (D) 都等于零

３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（

） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA

=

４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A

５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ）

(A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+

(C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+

（二）填空题(15分)

１．设A ，B 均为3阶矩阵，且1

,32A B ==，则2T B A = 。

2．设矩阵1123A -??

= ???

，232B A A E =-+，则1B -＝ 。

３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。

４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。

５．设101020101A ?

?

?= ? ???

，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。

（三）计算题(５０分)

1． 设010111101A ?? ?=- ? ?--??,112053B -??

?= ? ???

,且X AX B =+，求矩阵X 。

２．设101110012A 骣÷?÷?÷?÷=-?÷?÷?÷÷?桫，301110014B 骣÷?÷?÷?÷=?÷?÷?÷÷?桫

，X 为未知矩阵，且满足：AX B =， 求逆矩阵1A -；并解矩阵方程AX B =。

３．设A 为n 阶正交矩阵，即T A A E =，且0A <，计算A 和E A +的值。

４．设111111111A -?? ?=- ? ?-??

，12A X A X *-=+，求矩阵X 。 ５．1111121113A -?? ?= ? ???

，求1()A *-

（四）证明题(２０分)

１．设A 为n 阶方阵，且2

34A A E O --=，其中E 为n 阶单位矩阵，证明：A 可逆，并求1A -；若2A =，求68A E +的值。

２．设A ，B 为n 阶方阵，A B E +=，证明：AB BA =。

自测题参考答案：

（一）１．(C) ２。 (D) ３． (D) ４．(A) ５．(B)

（二）１．48 2． 10211?? ? ?--?? 3．-8 4．21123n --? 5．000000000?? ? ? ???

（三）１．131()2211X E A B -?? ?=-= ? ???

２．1211221111A -骣--÷?÷?÷?÷=--?÷?÷?÷÷?-桫

1X A B -=＝211301522221110432111014223骣骣骣----鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?--=--珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?鼢?珑?--桫

桫桫 ３．1A =-，0E A += 提示：由于21T T AA A A A E ====，则1A =±，因为0A <，所以1A =-； 因为T T T E A A AA A E A E A E A +=+=+=-+=-+ 所以0E A +=。 ４．11010114101X ?? ?= ? ???

（提示：因为AA A A A E **==，

方程两边左乘A ，1

(2),(2)A E A X E X A E A --==-） ５．1521()22

0101A *---?? ?=- ? ?-??

（提示：AA A A A E **==，11()A A A *-=，由于1111121113A -?? ?= ? ???

，用初等变换可求出 52112202101A --?? ?=- ? ?-??，而12A =，所以1521()220101A *---?? ?=- ? ?-??） （四）１．11(3)4

A A E -=-，2682n A E ++= 提示：因为21334,()44A A E O A A E E --=-=，所以11(3)4

A A E -=-

222268626222n n A E A A A A A ++=+-=== ２．提示：因为,,A B E A E B B E A +==-=-， 于是()()BA E A E B E A B AB AB =--=--+=

(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分　矩阵及其运算作业 （一）选择题(15分) １．设，均为n 阶矩阵，且，则必有（ ）A B 22 ()()A B A B A B +-=-(A) (B) (C) (D) A B =A E =AB BA =B E =２．设，均为n 阶矩阵，且，则和（ ） A B AB O =A B (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零 ３．设，均为n 阶对称矩阵，仍为对称矩阵的充分必要条件是（ ） A B AB (A) 可逆 (B)可逆 (C) (D) A B 0AB ≠AB BA =４．设为n 阶矩阵，是的伴随矩阵，则＝（ ） A A *A A *(A) (B) (C) (D) 1n A -2n A -n A A ５．设，均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ） A B (A) (B) ()T T T AB A B =()T T T A B A B +=+(C) (D) 111()AB A B ---=111 ()A B A B ---+=+（二）填空题(15分) １．设，均为3阶矩阵，且，则= 。 A B 1 ,32A B ==2T B A 2．设矩阵，，则＝ 。 1123A -?? = ???232B A A E =-+1B -３．设为４阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则＝ 。 A A *A 2A =-A *４．设，均为n 阶矩阵，，则＝ 。 A B 2,3A B ==-12A B *-５．设，为整数，则＝ 。 101020101A ? ? ?= ? ??? 2n ≥12n n A A --（三）计算题(５０分) 1． 设,,且，求矩阵。 010111101A ?? ?=- ? ?--??112053B -? ? ? = ? ??? X AX B =+X

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则

简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或． 特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB．

已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵． 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即 ． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和．

矩阵及其运算测试题

第二章 矩阵及其运算测试题 一、选择题 1.下列关于矩阵乘法交换性的结论中错误的是（ ）。 (A)若A 是可逆阵，则1A -与1A -可交换； (B)可逆矩阵必与初等矩阵可交换； (C)任一n 阶矩阵与n cE 的乘法可交换，这里c 是常数； (D)初等矩阵与初等矩阵的乘法未必可交换。 2.设n (2n ≥)阶矩阵A 与B 等价，则必有（ ） (A) 当A a =（0a ≠）时，B a =； (B)当A a =（0a ≠）时，B a =-； (C) 当0A ≠时，0B =； (D)当0A =时，0B =。 3.设A 、B 为方阵，分块对角阵00A C B ??= ??? ，则* C =( )。 (A) **00 A B ?? ??? (B) **||00 ||A A B B ?? ??? (C) **||00||B A A B ?? ??? (D) **||||0 0||||A B A A B B ?? ??? 4.设A 、B 是n (2n ≥)阶方阵，则必有（ ）。 (A)A B A B +=+ (B)kA k A = (C) A A B B =-g (D) AB A B = 5.设4阶方阵 44(),()||,ij A a f x xE A ?==-其中E 是4阶单位矩阵，则()f x 中3 x 的系数为（ ）。 (A)11223344()a a a a -+++ (B)112233112244223344113344a a a a a a a a a a a a +++ (C) 11223344a a a a (D)11223344a a a a +++ 6.设A 、B 、A B +、11A B --+均为n 阶可逆矩阵，则1()A B -+为( )。 (A) 11A B --+ (B) A B + (C) 111()A B ---+ (D)11111()B A B A -----+

求矩阵的基本运算

求矩阵的基本运算 #include #include void jiafa() { int m,n; float a[20][20],b[20][20],c[20][20]; int i,j; printf("请输入矩阵行数："); scanf("%d",&m); printf("请输入矩阵列数："); scanf("%d",&n); printf("请输入第一个矩阵："); for(i=0; i

第二章矩阵及其运算作业及答案

第二部分 矩阵及其运算作业 （一）选择题(15分) １．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E = ２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ） (A)至多一个等于零 (B)都不等于零 (C) 只有一个等于零 (D) 都等于零 ３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（ ） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA = ４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A ５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ） (A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+ (C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+ （二）填空题(15分) １．设A ，B 均为3阶矩阵，且1 ,32A B ==，则2T B A = 。 2．设矩阵1123A -??= ??? ， 232B A A E =-+，则1B -＝ 。 ３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。 ４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。 ５．设101020101A ? ? ?= ? ??? ，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。 （三）计算题(５０分) 1． 设010111101A ?? ?=- ? ?--??,112053B -?? ?= ? ??? ,且X AX B =+，求矩阵X 。

矩阵的基本运算

矩阵的基本运算 （摘自：华东师范大学数学系；https://www.sodocs.net/doc/7c8419949.html,/）§3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减

如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍． §3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B， 结果为 C=×==

即Matlab返回： C = 19 22 43 50 如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与 B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A则完全类似．A B和B A均为np ×mq矩阵，但一般情况下A B B A．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker乘 法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B： A= B= 则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8

矩阵的简单运算公式

矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵

第二章矩阵及其运算

第二章矩阵及其运算 第一节矩阵及其运算 一．数学概念 定义1.1由个数排成m行n列的数表 称为m行n列的矩阵，简称矩阵，记作 二．原理，公式和法则 1．矩阵的加法 (1) 公式 (2) 运算律 2．数乘矩阵 (1) 公式

(2) 运算律 3．矩阵与矩阵相乘 (1) 设, 则其中，且 。 (2)运算符(假设运算都是可行的)： (3)方阵的运算 注意：①矩阵乘法一般不满足交换律。 ②一般 4.矩阵的转置 (1)公式

这里为A的转置矩阵。 (2)运算律 5.方阵的行列式 (1)公式 设A为n阶方阵，为A的行列式。 (2)运算律

6.共轭矩阵 (1)公式设为复矩阵，表示为的共轭复数，则为方阵的共轭矩阵。 (2)运算律(设A,B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的)： 第二节逆矩阵 一.数学概念 定义2.1设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B使，则称矩阵A 是可逆的，并把矩阵称为A的逆矩阵。 1.可逆矩阵又称为非奇异矩阵。 2.不可逆矩阵又称为奇异矩阵。 二.原理，公式和法则 1. 定理 2.1方阵A可逆的充分必要条件是,且，其中 为A的伴随矩阵。 推论若AB＝E(或BA=E)则B＝A-1。 性质逆矩阵是唯一的。 2.运算律

①若A可逆，则A-1亦可逆，且。 ②若A可逆，数,则λA可逆，且。 ③若A,B为同阶矩阵且均可逆，则AB亦可逆，且 ④若A可逆，则A T亦可逆，且 第三节分块矩阵 一.数学概念 分块矩阵：用若干条横线和竖线将矩阵A分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵为分块矩阵。 1.一般分块 2.按行分块

矩阵的基本运算法则

矩阵的基本运算法则 1、矩阵的加法 矩阵加法满足下列运算规律（设A 、B 、C 都是m n ?矩阵，其中m 和n 均为已知的正整数）： （1）交换律：+=+A B B A （2）结合律：()()++++A B C =A B C 注意：只有当两个矩阵为同型矩阵（两个矩阵的行数和列数分别相等）时，这两个矩阵才能进行加法运算。 2、数与矩阵相乘 数乘矩阵满足下列运算规律（设A 、B 是m n ?矩阵，λ和μ为数）： （1）结合律：()λμλμ=A A （2）分配律：()λμλμ+=+A A A （3）分配律：()λλλ+=+A B A B 注意：矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。 3、矩阵与矩阵相乘 矩阵与矩阵的乘法不满足交换律、但是满足结合律和分配率（假设运算都是可行的）： （1）交换律：≠AB BA （不满足） （2）结合律：()()=AB C A BC （3）结合律：()()()λλλλ==其中为数AB A B A B （4）分配律：()(),+=++=+A B C AB AC B C A BA CA 4、矩阵的转置 矩阵的转置满足下述运算规律（假设运算都是可行的，符号()T g 表示转置）： （1）()T T =A A

（2）()T T T +=+A B A B （3）()T T λλ=A A （4）()T T T =AB B A 5、方阵的行列式 由A 确定A 这个运算满足下述运算法则（设A 、B 是n 阶方阵，λ为数）： （1）T =A A （2）n λλ=A A （3）=AB A B 6、共轭矩阵 共轭矩阵满足下述运算法则（设A 、B 是复矩阵，λ为复数，且运算都是可行的）： （1）+=+A B A B （2）λλ=A A （3）=AB AB 7、逆矩阵 方阵的逆矩阵满足下述运算规律： （1）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且()11--=A A （2）若A 可逆，数0λ≠，则λA 可逆，且()111 λλ--=A A （3）若A 、B 为同阶矩阵且均可逆，则AB 亦可逆，且()111---=AB B A 参考文献： 【1】线性代数（第五版），同济大学

matlab中矩阵基本运算命令.docx

1.1矩阵的表示 1.2矩阵运算 1.2.14特殊运算 1．矩阵对角线元素的抽取 函数diag 格式X = diag(v,k)% 以向量 v 的元素作为矩阵 X 的第 k 条对角线元素，当 k=0 时， v 为 X 的主对角线；当 k>0 时，v 为上方第 k 条对角线；当 k<0 时， v 为下方第 k 条对角线。 X = diag(v)% 以 v 为主对角线元素，其余元素为 0 构成 X。 v = diag(X,k)%抽取 X 的第 k 条对角线元素构成向量 v。k=0：抽取主对角线元素； k>0 ：抽取上方第 k 条对角线元素；k<0 抽取下方第 k 条对角线元素。 v = diag(X)% 抽取主对角线元素构成向量 v。 2．上三角阵和下三角阵的抽取 函数tril% 取下三角部分 格式L = tril(X)%抽取 X 的主对角线的下三角部分构成矩阵L L = tril(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的下三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。 函数triu% 取上三角部分 格式U = triu(X)%抽取 X 的主对角线的上三角部分构成矩阵U U = triu(X,k)% 抽取 X 的第 k 条对角线的上三角部分； k=0 为主对角线； k>0 为主对角线以上； k<0 为主对角线以下。3．矩阵的变维 矩阵的变维有两种方法，即用“：”和函数“reshape，”前者主要针对 2 个已知维数矩阵之间的变维操作；而后者是对 于一个矩阵的操作。 （1）“：”变维 （2）Reshape 函数变维 格式 B = reshape(A,m,n)%返回以矩阵 A 的元素构成的 m×n 矩阵 B B = reshape(A,m,n,p,)% 将矩阵 A 变维为 m×n×p× B = reshape(A,[m n p])%同上 B = reshape(A,siz)% 由 siz 决定变维的大小，元素个数与 A 中元素个数 相同。 （5）复制和平铺矩阵 函数repmat 格式 B = repmat(A,m,n)% 将矩阵 A 复制 m×n 块，即 B 由 m×n 块 A 平铺而成。 B = repmat(A,[m n])%与上面一致 B = repmat(A,[m n p]) %B 由 m×n×p× 个 A 块平铺而成 repmat(A,m,n)%当 A 是一个数 a 时，该命令产生一个全由 a 组成的 m×n 矩阵。 1.3矩阵分解 1.3.1Cholesky 分解 函数chol 格式R = chol(X)% 如果 X 为 n 阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足 R'*R = X ；若 X 非正定，则产生错误信息。 [R,p] = chol(X)% 不产生任何错误信息，若X 为正定阵，则p=0 ，R 与上相同；若X 非正定，则p 为正整数， R 是有序的上三角阵。 1.3.2 LU 分解

第三章矩阵与线性代数计算

第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵

三矩阵的基本运算

第三节矩阵的基本运算 §3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．

§3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ， 结果为 C=×== 即Matlab 返回： C = 19 22 43 50 如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法 对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A 则完全类似．A B 和B A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A B B A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ： A= B= 则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D = 1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12 6 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法 在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算． 通常： ???? ??4321???? ??8765???? ???+??+??+??+?8463745382617251???? ??50432219??????? ??=?=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221) 11211 ?????≠?1234?? ???132246?? ???

(完整版)第二章矩阵及其运算练习卷二(参考

练习卷二（A 卷） 第二章 矩阵及其运算 一、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 1．=???? ??--T 764012 241607-?? ? ? ? -?? 2．()= ??? ? ? ??302642406801212018?? ? ? ??? ． 3．已知方阵A 、B 满足22A A B B ==，，则2()A B A B +=+成立的充要条件 是 AB+BA=0 ． 4．设???? ??=3421A ，则=*A 3241-?? ? -?? ，=-1 A 0.60.40.80.2-?? ?-?? ． 二、单项选择题（本大题共2个小题，每小题5分，共10分） 5．设A 、B 为n 阶方阵，则下列选项正确的是（ B ）． (A) ()k k k AB A B =； (B) 若A E =，则AB BA =； (C) 22()()A B A B A B -=-+； (D) 若AB=O ，则A=O 或B=O ． 6．设A 、B 为n 阶方阵，则必有（ A ）． (A) BA AB =； (B) B A B A +=+； (C) 1A A -=； (D) B A B A ?=． 三、求下列矩阵的逆矩阵（本大题共1个小题，共15分） 7．??? ? ? ??---=412112013A ． 解法1：利用伴随矩阵求解。因为|A|=5， * *154114/51/510123212/53/5||01101/51/5A A A A ---???? ? ? =-∴==- ? ? ? ? ????

解法2：利用初等变换求解（第三章）. 四、解答下列各题（本大题共3个小题，每小题15分，共45分） 8．设矩阵111211111A -?? ?=- ? ???，236b ?? ? = ? ??? ，且Ax b =，求x ． 解：由于|A|=6≠0，所以* 1101/31/311/21/31/6,3||1/201/22A A x A b A ---???? ? ?= === ? ? ? ?-???? 9．设方阵A 满足22A A E -=，证明A 及2A E +都可逆，并求1 A -及1(2)A E -+．． 证明：由于2(2)2A A A A E E -=-=两边同时取行列式，得|||2|20||0n A A E A -=≠?≠ 所以A 可逆。由于11 ()2().2 A A E E A A E --=?=- 212121(3) 222)()(2)44 A E A E A A E A E A A A E ---++=?++==-+= Q 可逆且:（ 10．已知??? ?? ??=100110111A ，求)(A f ，其中E A A A f 32)(2+-=． 解： 212322201 2022001002123222300201()0 12022030020001002003002A A f A ???? ? ?== ? ? ? ?? ??? ???????? ? ? ? ?=-= ? ? ? ? ? ? ? ?? ??????? ，2， + 五、证明题（本大题共1个小题，共15分） 11．若O A k =（k 为整数），证明：121)(--++++=-k A A A E A E Λ． 证明：若O A k =，则2 1 ()()k k E A E A A A E A E --++++=-=L 故：E-A 可逆，且121 ) (--++++=-k A A A E A E Λ （选作题）已 知 12212 2A ?- ?= ? ?? ? ，且 6A E =，求

Matlab常用函数、数组及矩阵的基本运算

实验一 Matlab 常用函数、数组及矩阵的基本运算 一、 实验目的 1. 了解Matlab7.0软件工作界面结构和基本操作; 2. 掌握矩阵的表示方法及Matlab 常用函数; 3. 掌握数组及矩阵的基本运算. 二、 实验内容 1. 了解命令窗口(command widow)和变量空间(workspace)的作用,掌握清 除命令窗口(clc )和变量空间(clear)的方法.掌握查询函数(help)的方法. 2. 掌握保存和加载变量的方法. 加载变量:load 变量名. 3. 掌握掌握矩阵的表示方法: 给a,b,c 赋如下数据: ]6,46,23,4,2,6,3,8,0,1[,356838241248 7,278744125431-=??????????--=??????????=c b a 4. 求a+b,a*b,a.*b,a/b,a./b,a^2,a.^2的结果. 5. 将str1=electronic; str2 = information; str3 = engineering; 三个字符串连接 在一起成str = electronic information engineering. 6. 求矩阵a 的逆矩阵a -1，行列式计算。 (inv(a),det(a)) 三、 实验要求 1.上机操作,熟练掌握清除命令窗口和变量空间的方法、查询变量的方法、加载变量的方法。 2.第2道题请写出步骤。 3.对实验内容中第3-6项,写出指令,上机运行. 记录运行结果(数据)。 4.写出实验报告。 四、 实验结果 2. 用save 函数,可以将工作空间的变量保存成txt 文件或mat 文件等. 比如: save peng.mat p j 就是将工作空间中的p 和j 变量保存在peng.mat 中. 用load 函数,可以将数据读入到matlab 的工作空间中. 比如:load peng.mat 就是将peng.mat 中的所有变量读入matlab 工作空间中。

基本矩阵

第五章特征值问题与实二次型 目的要求 学习本章，要求读者掌握特征值、特征向量、相似矩阵、约当型矩阵、二次型的标准形、正定二次型等重要概念，并学会计算特征值和特征向量，掌握化n阶矩阵为对角矩阵的条件和方法，学会将实二次型化为标准形。 §1 方阵的特征值问题 定义设A是n阶方阵，如果和n维非零列向量x使关系式 （1） 成立，那么，这样的数λ称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。 将（1）式改写为 （2） 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 （3） 即 上式称为方阵A的特征方程。 记，则称为方阵A的特征多项式，显然A的特征值就是特征方程的解。 设为其中的一个特征值，则由方程 求得的非零解便是A的对应于特征值的特征向量。 简言之，方阵A的特征值和特征向量的求法如下： 1. 计算A的特征多项式； 2. 求出的全部根，即得A的全部特征值； 3. 对于每一个特征根，求出齐次线性方程组（2）的非零解，即得属于的特征向量。 §2 相似矩阵 一、相似矩阵的定义 设A，B都是n阶方阵，若有可逆方阵P，使 则称B是A的相似矩阵或说矩阵A与B相似。 定理若n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。（证明） 但该定理的逆不一定成立，即特征多项式相同的矩阵不一定是相似的。 例

它们的特征多项式是，但A和B不相似。 推论若n阶方阵A与对角矩阵 相似，则即是A的n个特征值。 那么，我们要问，对于n阶方阵A，如何寻求可逆矩阵P，使 假使已经找到可逆矩阵P，使，那么P应满足什么关系？ 将P用列向量表示为 由得，即 于是有. 可见是A的特征值，而P的列向量就是A的对应于特征值的特征向量。 反之，由上一节知A恰好有n个特征值，并可对应地求得n个特征向量，这n个特征向量可构成矩阵P，使（因特征向量不唯一，矩阵P也不唯一）。 但n个特征向量构成的矩阵P是否可逆？我们说，如果n个特征向量是线性无关的，则P可逆，此时可得，也就是矩阵A与对角阵相似，但对方阵A，不一定能找到n个线性无关的特征向量。 那么，一个方阵具备什么条件才能与对角矩阵相似呢？我们仅讨论A为实对称矩阵的情形。 二、实对称矩阵的相似矩阵 我们知道实阵A的特征值不一定是实数。 例如： 则特征值为。 但是，对于实对称矩阵，则特征值一定为实数。 定理1实对称矩阵的特征值为实数。 定理2设是实对称矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交。 定理3 设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使

线性代数教案 第二章 矩阵及其运算

1 2 m m mn a a a 矩阵。为了表示它是一个整体，总是加一个括号将它界起来，并通常用大写字母表示它。记做 12m m mn a a a ? ?12 m m mn a a a a ??? 。切记不允许使用11 12121 22 212 n n m m mn a a a a a a a a a = A 。 矩阵的横向称行，纵向称列。矩阵中的每个数称为元素，所有元素都是实数的矩阵称为实矩阵，所有元素都是复数的矩阵称为复矩阵。本课中的矩阵除特殊说明外，都指12n n nn a a a ?? 不是方阵没有主对角线。在方阵中，

00nn a ?? 1121 2212000n n nn a a a a a a ?????? （主对角线以上均为零）1122 00000 0nn a a a ????? ???? （既}nn a . 对角元素为1的对角矩阵，记作Ｅ 或001???? ()11a ，此时矩阵退化为一个数矩阵的引进为许多实际的问题研究提供方便。 a x +)1(+?n 矩阵： 12 m m mn m a b a a a b ?? 任何一个方程组都可以用这样一个矩阵来描述；反之，一个矩阵也完全刻划了一个方

1 22 m m m mn mn b a b a b ? +++? ? ? ? ???-=4012B ，计算 B A +。 122 m m m mn mn b a b a b ? ---? 与矩阵n m ij a A ?=}{的乘积（称之为数乘），

12 m m mn a a a λλ?? 以上运算称为矩阵的线性运算，它满足下列运算法则：

计算基本矩阵

FindFundamentalMat 定义 两幅图像中对应点计算出基本矩阵 函数形式 编辑 intcvFindFundamentalMat( constCvMat* points1, constCvMat* points2, CvMat* fundamental_matrix, int method=CV_FM_RANSAC, double param1=1., double param2=0.99, CvMat* status=NULL); 参数 编辑 ?points1 ?第一幅图像点的数组，大小为2xN/Nx2 或3xN/Nx3 (N 点的个数)，多通道的1xN 或Nx1也可以。点坐标应该是浮点数(双精度或单精度)。: ?points2 ?第二副图像的点的数组，格式、大小与第一幅图像相同。 ?fundamental_matrix ?输出的基本矩阵。大小是3x3 或者9x3 ，(7-点法最多可返回三个矩阵). ?method ?计算基本矩阵的方法 o CV_FM_7POINT – 7-点算法，点数目= 7 o CV_FM_8POINT – 8-点算法，点数目>= 8 o CV_FM_RANSAC – RANSAC 算法，点数目>= 8 o CV_FM_LMEDS - LMedS算法，点数目>= 8 ?param1 ?这个参数只用于方法RANSAC。它是点到对极线的最大距离，超过这个值的点将被舍弃，不用于后面的计算。通常这个值的设定是0.5 or 1.0 。 ?param2 ?这个参数只用于方法RANSAC 或LMedS。它表示矩阵正确的可信度。例如可以被设为0.99 。 ?status ?具有N个元素的输出数组，在计算过程中没有被舍弃的点，元素被被置为1；否则置为0。这个数组只可以在方法RANSAC and LMedS情况下使用；在其它方法的情况下，status一律被置为1。这个参数是可选参数。 说明

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 牛晨晖 在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面，矩阵知识已有广泛深入的应用，本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上，简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况，并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵，， 则 简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！ 注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减

法运算才有意义，即加减运算是可行的． 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律； 结合律． 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A，就是将数乘矩阵A中的每一个元素，记为或．特别地，称称为的负矩阵． 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律：(λμ)A=λ(μA)；(λ+μ)A =λA+μA． 分配律：λ(A+B)=λA+λB． 1.2.3典型举例 已知两个矩阵 满足矩阵方程，求未知矩阵．

解由已知条件知 ? 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设，，则A与B的乘积是这样一个矩阵： (1) 行数与（左矩阵）A相同，列数与（右矩阵）B相同，即． (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘，再取乘积之和． 1.3.2典型例题 设矩阵 计算 解是的矩阵．设它为

MATLAB矩阵运算基础练习题

第2章 MATLAB 矩阵运算基础 在MATLAB 中如何建立矩阵?? ?? ??194375，并将其赋予变量a 请产生一个100*5的矩阵，矩阵的每一行都是[1 2 3 4 5] 产生一个1x10的随机矩阵，大小位于（-5 5） 有几种建立矩阵的方法各有什么优点 可以用四种方法建立矩阵： ①直接输入法，如a=[2 5 7 3]，优点是输入方法方便简捷； ②通过M 文件建立矩阵，该方法适用于建立尺寸较大的矩阵，并且易于修改； ③由函数建立，如y=sin(x)，可以由MATLAB 的内部函数建立一些特殊矩阵； ④通过数据文件建立，该方法可以调用由其他软件产生数据。 在进行算术运算时，数组运算和矩阵运算各有什么要求 进行数组运算的两个数组必须有相同的尺寸。进行矩阵运算的两个矩阵必须满足矩阵运算规则，如矩阵a 与b 相乘（a*b ）时必须满足a 的列数等于b 的行数。 数组运算和矩阵运算的运算符有什么区别 在加、减运算时数组运算与矩阵运算的运算符相同，乘、除和乘方运算时，在矩阵运算的运算符前加一个点即为数组运算，如a*b 为矩阵乘，a.*b 为数组乘。 计算矩阵??????????897473535与???? ??????638976242之和，差，积，左除和右除。 求?? ?? ??+-+-+-+-++=i 44i 93i 49i 67i 23i 57i 41i 72i 53i 84x 的共轭转置。 计算???? ??=572396a 与??????=864142b 的数组乘积。 “左除”与“右除”有什么区别 在通常情况下，左除x=a\b 是a*x=b 的解，右除x=b/a 是x*a=b 的解，一般情况下，a\bb/a 。 对于B AX =，如果??????????=753467294A ，???? ??????=282637B ，求解X 。 已知：???? ??????=987654321a ，分别计算a 的数组平方和矩阵平方，并观察其结果。 ??????-=463521a ，?? ????-=263478b ，观察a 与b 之间的六种关系运算的结果。