傅里叶级数系数推导
傅?里叶级数系数推导
傅里叶(Fourier)级数的指数形式与傅里叶变换
傅里叶(Fourier )级数的指数形式与傅里叶变换 专题摘要：根据欧拉（Euler ）公式，将傅里叶级数三角表示转化为指数表示，进而得到傅里叶积分定理，在此基础上给出傅里叶变换的定义和数学表达式。 在通信与信息系统、交通信息与控制工程、信号与信息处理等学科中，都需要对各种信号与系统进行分析。通过对描述实际对象数学模型的数学分析、求解，对所得结果给以物理解释、赋予其物理意义，是解决实际问题的关键。这种数学分析方法主要针对确定性信号的时域和频域分析，线性时不变系统的描述以及信号通过线性时不变系统的时域分析与变换域分析。所有这些分析方法都离不开傅里叶变换、拉普拉斯变换和离散时间系统的z 变换。而傅里叶变换的理论基础是傅里叶积分定理。傅里叶积分定理的数学表达式就是傅里叶级数的指数形式。 不但傅里叶变换依赖于傅里叶级数，就是纯数学分支的调和分析也来源于函数的傅里叶级数。因此，傅里叶级数无论在理论研究还是在实际应用中都占有非常重要的地位。我们承认满足狄里克莱（Dirichlet ）条件下傅里叶级数的收敛性结果，不去讨论和深究傅里叶展式的唯一性问题。 傅里叶级数的指数形式 一个以T 为周期的函数)(t f ，在]2 ,2[T T 上满足狄里克莱条件：1o
)(t f 连续或只有有限个第一类间断点；2o 只有有限个极值点。那么)(t f 在]2 ,2[T T - 上就可以展成傅里叶级数。在连续点处 ∑∞ =++=1 )sin cos (2)(n n n t n b t n a a t f ωω， （1） 其中 T πω2= ， ),2,1,0(,cos )(2 22Λ==?-n dt t n t f T a T T n ω， （2） ),3,2,1(,sin )(2 22 Λ==?-n dt t n t f T b T T n ω， （3） 根据欧拉（Euler ）公式：θθθsin cos j e j +=，（1）式化为 ∑∞=--?? ????-+++=10222)(n t jn t jn n t jn t jn n j e e b e e a a t f ωωωω ∑∞=-?? ? ???++-+=10222n t jn n n t jn n n e jb a e jb a a ωω， （4） 若令 dt t f T c T T ?-=22 0)(1 Λ,3,2,1,)(1 ]sin )[cos (1 sin )(1cos )(1222 2222 22==-=-=-=????-----n dt e t f T dt t n j t n t f T dt t n t f T j dt t n t f T jb a c T T t jn T T T T T T n n n ωωωωω Λ,3,2,1,)(1 22 ==?--n dt e t f T c T T t jn n ω 综合n n c c c -,,0，可合并成一个式子 Λ,2,1,0,)(1 22 ±±==?--n dt e t f T c T T t jn n ω， （5）
傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数通俗解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 ,…构成一个函数集，若这些函数在区间上满足 如果是复数集，那么正交条件是 为函数的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设，,把代入(1)得 当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 再证两个都是正弦的情况 设，,把代入(1)得
当n时 = = =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时 = = 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设，,把代入(1)得 = = =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设，,则把代入(2)得 当n时，根据欧拉公式
= =0 (n,m=1,2,3,…,n) 当n=m时， =1 (n,m=1,2,3,…,n) 所以，复指数函数集也是正交函数集。因为n，m的取值范围是所有整数，所以复指数函数集是完备的正交函数集。 明明是讨论傅里叶级数，为什么第一部分在阐述完备正交函数集呢。因为，在自然界中，没有规则的信号，比如说找一个正弦信号，是完全不可能找到的。有的是一堆杂乱的信号，无规律的波形。我们要研究它，基本的思想是把它拆分，分解成一个一个有规律的可研究的波形，这些波形能用数学表达式准确表达出来。 把一个复杂的信号分解的过程，可以理解成用已知的可以准确表达的函数表示他，比如一个复杂的信号把它分解，就是 其中，…是我们所熟悉的函数， 比如二次函数，一次函数，三角函数，指数函数等等。我们的任务就是求出所分解出来的函数，以及前方的系数n，然后对其研究。那么怎么求呢。完备正交函数集给了我们提供了一种方法。完备正交函数集就像是空间直角坐标系，集合里面的每一个元素相当于坐标系的一条轴，我们知道空间直角坐标系只有3条轴，3条轴，足够表示空间上所有点的位置，不需要再多一条，但是如果只有两条轴，又不能准确地表达立体空间上所有的点，所以3条就是完备的。对于一个函数集的完备性也可以这么理解，表达任意一个周期信号只需要用不多于函数集里面元素的函数就可以表达清楚。再说其正交性，所谓正交，就是函数集里两个不同函数之乘积的积分为0，正交性可以理解成函数集内任意两函数不相关。 既然三角函数集和复指数函数集是完备的正交函数集，那么用其中的一种函数集都可以表达周期信号。 用复指数函数集来表示一个复杂信号： = 其中，(n=1,2,3,…,n)。 用三角函数集表示一个复杂信号：
(整理)傅里叶级数的数学推导
傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦
傅里叶级数课程及习题讲解
第15章 傅里叶级数 §15.1 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{ }1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{} () [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[ ] ,ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01 cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数 2 以2π为周期的傅里叶级数
傅里叶级数的推导
傅立叶级数(Fourier Series) 推导 终于还是在外国人的教材上看到了原来傅立叶级数是大大的有道理的。 这本书名字叫做
对于C=D=0这样的平凡解，我们当然不感兴趣，所以我们还是让βl=nπ A和B是一些确定的常数，这些解的和仍然是一个解，所以任意的有限和是原方程的一个解 呵呵，到此为止，看到傅立叶级数了。接下的任务就是计算A和B。 幸好，我们有以下规律 于是，有以下推导 (2) 有了这个公式以后，方程（1）的解才算是完全地得到了。 接下来，人们自然会想，那么什么样的函数才可以用傅立叶级数来表示呢？经过近一个世纪的争论，才惊讶地知道原来所有函数都可以表示为傅立叶级数（这句
傅里叶级数
傅里叶级数（Fourier Series ） 引言 正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 就是一个以ωπ 2为周期的函数。其中y 表示动点的位置，t 表示时间，A 为振幅，ω为 角频率，?为初相。 但在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，我们也想将这些周期函数展开成由简单的周期函数例如三角函数组成的级数。具体地说，将周期为)2(ωπ =T 的周期函数用一系列以T 为周期的正弦函数 )sin(n n t n A ?ω+组成的级数来表示，记为 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数。 将周期函数按上述方式展开，它的物理意义就是把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。在电工学上，这种展开称为谐波分析。其中常数项0A 称为 )(t f 的直流分量；)sin(11?ω+t A 称为一次谐波（又叫做基波） ；而)2sin(22?ω+t A ， )3sin(33?ω+t A 依次称为二次谐波，三次谐波，等等。 为了下面讨论方便起见，我们将正弦函数)sin(n n t n A ?ω+按三角公式变形，得 t n A t n A t n A n n n n n n ω?ω??ωsin cos cos sin )sin(+=+， 令x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00，则上式等号右端的级数就可以改写成 这个式子就称为周期函数的傅里叶级数。 1.函数能展开成傅里叶级数的条件 （1） 函数)(x f 须为周期函数； （2） 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；（如果0x 是函数)(x f 的间断点，但 左极限)0(0-x f 及右极限)0(0+x f 都存在，那么0x 称为函数)(x f 的第一类间断点） （3） 在一个周期内至多只有有限个极值点。
傅里叶级数
第八节 傅里叶级数 内容分布图示 ★ 引 言 ★ 引 例 ★ 三角函数系的正交性 ★ 傅里叶级数的概念 ★ 狄利克雷收敛定理 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 非周期函数的周期延拓 ★ 例4 ★ 利用傅氏展开式求数项级数的和 ★ 正弦级数与余弦级数 ★ 例5 ★ 例6 ★ 函数的奇延拓与偶延拓 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题11-8 ★ 返回 讲解注意： 一、三角级数 三角函数系的正交性 早在18世纪中叶，丹尼尔. 伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和. 这一事实用数学语言来描述即为：在一定的条件下，任何周期为T )/2(ωπ=的函数)(t f ，都可用一系列以T 为周期的正弦函数所组成的级数来表示，即 ∑∞ =++=1 0)sin()(n n n t n A A t f ?ω (8.1) 其中n n A A ?,,0),3,2,1( =n 都是常数. 十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：“任意”函数都可以展成三角级数. 虽然他没有给出明确的条件和严格的证明，但是毕竟由此开创了“傅里叶分析”这一重要的数学分支，拓广了传统的函数概念. 傅里叶的工作被认为是十九世纪科学迈出的极为重要的第一个大步，它对数学的发展产生的影响是他本人及同时代的其他人都难以预料的. 而且，这种影响至今还在发展之中. 这里所介绍的知识主要是由傅里叶以及与他同时代的德国数学家狄利克雷等人的研究结果. 二、函数展开成傅里叶级数 傅里叶系数 ?????? ?====??--).,3,2,1(,sin )(1 ),,2,1,0(,cos )(1 n nxdx x f b n nxdx x f a n n ππ ππππ (8.5) 将这些系数代入(8.4)式的右端，所得的三角级数 ∑∞=++1 )sin cos (2n n n nx b nx a a (8.6)
傅里叶级数通俗解析
傅里叶级数 本文意在阐述傅里叶级数是什么，如何通过数学推导得出，以及傅里叶级数代表的物理含义。 1.完备正交函数集 要讨论傅里叶级数首先得讨论正交函数集。如果n个函数 φ1t,φ2t,…,φn t构成一个函数集，若这些函数在区间t1,t2上满足 φi tφj t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(1) 如果是复数集，那么正交条件是 φi tφj?t t2 t1dt= 0 ,i≠j K i ,i=j(2) φj?t为函数φj t的共轭复函数。 有这个定义，我们可以证明出一些函数集是完备正交函数集。比如三角函数集和复指数函数集在一个周期内是完备正交函数集。 先证明三角函数集： 设φn t=cos nωt，φm t=cos mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt cos mωt dt t0+T t0 当n≠m时 =1 2 cos n+mωt+cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω +sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 再证两个都是正弦的情况 设φn t=sin nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=sin nωt sin mωt dt t0+T t0 当n≠m时
=1 2 cos n+mωt?cos n?mωt t0+T t0 dt =1 2sin n+mωt (n+m)ω ?sin n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m) 当n=m时 =1 2 cos2nωt t0+T t0 dt =T 2 最后证明两个是不同名的三角函数的情况 设φn t=cos nωt，φm t=sin mωt,把φn t，φm t代入(1)得 φi tφj t t0+T t0dt=cos nωt sin mωt dt t0+T t0 =1 2 sin n+mωt?sin n?mωt t0+T t0 dt =1 2 ?cos n+mωt (n+m)ω +cos n?mωt (n?m)ωt t0+T =0 (n,m为任意整数) 因为两个三角函数相乘只有以上三种情况：两个皆为余弦函数相乘；两个皆为正弦函数相乘；一个为正弦函数，另一个为余弦函数相乘；三种情况皆满足正交函数集的定义，所以三角函数集为正交函数集。至于三角函数集的完备性可以从n，m的取值为任意整数可以得出，三角函数集是完备正交函数集。证毕。 由于三角函数集是完备正交函数集，而根据欧拉公式，我们容易联想到复指数函数集是否也是完备正交函数集呢。 接着是复指数函数集的证明 设φn t=?jnωt，φm t=?jmωt,则φj?t=??jmωt把φn t，φj?t代入(2)得 φi tφj?t t0+T t0dt=?jnωt t0+T t0 ??jmωt dt =?j(n?m)ωt t0+T t0 dt 当n≠m时，根据欧拉公式 =cos n?mωt+j sin?(n?m)ωt t0+T t0 dt =sin n?mωt n?mω?j cos?(n?m)ωt n?mωt t0+T =0 (n,m=1,2,3,…,n≠m)
傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数 §1 傅里叶级数 教学目标 掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理． 教学要求 (1) 基本要求：掌握三角级数和傅里叶级数定义，了解傅里叶级数的收敛定理；能够展开比较简单的函数的傅里叶级数． (2) 较高要求：有关傅里叶级数的逐项求导和逐项求积的问题，向学生介绍引入傅里叶级数的意义 (包括物理意义和数学意义)． 教学建议 (1) 向学生介绍引入傅里叶级数的意义(包括物理意义和数学意义)． (2) 三角级数和傅里叶级数的展开计算量较大，可布置适量习题使学生了解展 开的方法与步骤． 教学程序 一、 Fourier 级数的定义 背景： ⑴ 波的分析：频谱分析 . 基频 T 1 ( ωπ2=T ) . 倍频. ⑵ 函数展开条件的减弱 : 积分展开 . ⑶ n R 中用Descartes 坐标系建立坐标表示向量思想的推广: 调和分析简介: 十九世纪八十年代法国工程师Fourier 建立了Fourier 分析理论的基础. （一） 定义 设()f x 是(,)-∞+∞上以2π为周期的函数，且()f x 在[,]ππ-上绝对可积，称形如 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 的函数项级数为()f x 的 Fourier 级数或三角级数(()f x 的 Fourier 展开式)，其
中 01 ()a f x dx π π π- = ?，1 ()cos ,1,2,n a f x nxdx n π ππ - ==?L ， 1 ()sin ,1,2,n b f x nxdx n πππ - = =?L 称为()f x 的 Fourier 系数，记为0 1 ()~ (cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞=++∑ 定理15.1 若级数∑∞ =++1 0) |||| (2||n n n b a a 收敛 , 则级数 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 在R 内绝对且一致收敛 . 证明： 用M 判别法. （二）说明 1）在未讨论收敛性，证明01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑一致收敛到()f x 之前， 不能将“~”改为“=”；此处“~”也不包含“等价”之意，而仅仅表示 01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑是()f x 的 Fourier 级数，或者说()f x 的 Fourier 级数是01 (cos sin )2n n n a a nx b nx ∞ =++∑. 2) 要求[,]ππ-上()f x 的 Fourier 级数,只 须求出Fourier 系数. 例1 设()f x 是以2π为周期的函数，其在[,]ππ-上可表示为 1,0()0,0x f x x π π≤≤?=? -<
傅里叶级数的推导
傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数：
首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性：
傅里叶级数的推导
傅里叶级数的推导
傅里叶级数的推导 2016年12月14日09:27:47 傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数：
首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn 及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性：
傅里叶系数的推导
傅里叶级数的数学推导 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为： f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。
然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即ψ），当然还有一项常数项（即A0）。要命的是，这个n是从1到无穷大，也就是是一个无穷级数。 应该说，傅里叶是一个天才，想得那么复杂。一般人不太会把一个简单的周期函数弄成这么一个复杂的表示式。但傅里叶认为，式子右边一大堆的函数，其实都是最简单的正弦函数，有利于后续的分析和计算。当然，这个式能否成立，关键是级数中的每一项都有一个未知系数，如A0、An等，如果能把这些系数求出来，那么5式就可以成立。当然在5式中，唯一已知的就是原周期函数f(t),那么只需用已知函数f(t)来表达出各项系数，上式就可以成立，也能计算了。 于是乎，傅里叶首先对式5作如下变形： 这样，公式５就可以写成如下公式６的形式： 这个公式６就是通常形式的三角级数，接下来的任务就是要把各项系数an和bn及a0用已知函数f(t)来表达出来。 ２、三角函数的正交性：
最新傅里叶级数的数学推导
傅里叶级数的数学推 导
傅里叶级数的数学推导 首先，隆重推出傅里叶级数的公式，不过这个东西属于“文物”级别的，诞生于19世纪初，因为傅里叶他老人家生于1768年，死于1830年。 但傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用，这不由得让人肃然起敬。一打开《信号与系统》、《锁相环原理》等书籍，动不动就跳出一个“傅里叶级数”或“傅里叶变换”，弄一长串公式，让人云山雾罩。 如下就是傅里叶级数的公式： 不客气地说，这个公式可以说是像“臭婆娘的裹脚布——又臭又长”，而且来历相当蹊跷，不知那个傅里叶什么时候灵光乍现，把一个周期函数f(t)硬生生地写成这么一大堆东西。单看那个①式，就是把周期函数f(t)描述成一个常数系数a0、及1倍ω的sin和cos函数、2倍ω的sin和cos函数等、到n倍ω的sin
和cos函数等一系列式子的和，且每项都有不同的系数，即An和Bn，至于这些系数，需要用积分来解得，即②③④式，不过为了积分方便，积分区间一般设为[-π, π]，也相当一个周期T的宽度。 能否从数学的角度推导出此公式，以使傅里叶级数来得明白些，让我等能了解它的前世今生呢？下面来详细解释一下此公式的得出过程： １、把一个周期函数表示成三角级数： 首先，周期函数是客观世界中周期运动的数学表述，如物体挂在弹簧上作简谐振动、单摆振动、无线电电子振荡器的电子振荡等，大多可以表述为：f(x)=A sin(ωt+ψ) 这里t表示时间，A表示振幅，ω为角频率，ψ为初相（与考察时设置原点位置有关）。 然而，世界上许多周期信号并非正弦函数那么简单，如方波、三角波等。傅叶里就想，能否用一系列的三角函数An sin(nωt+ψ)之和来表示那个较复杂的周期函数f(t)呢？因为正弦函数sin可以说是最简单的周期函数了。于是，傅里叶写出下式：（关于傅里叶推导纯属猜想） 这里，t是变量，其他都是常数。与上面最简单的正弦周期函数相比，5式中多了一个n，且n从1到无穷大。这里f(t)是已知函数，也就是需要分解的原周期函数。从公式5来看，傅里叶是想把一个周期函数表示成许多正弦函数的线性叠加，这许许多多的正弦函数有着不同的幅度分量（即式中An）、有不同的周期或说是频率（是原周期函数的整数倍，即n）、有不同的初相角（即
傅里叶级数
9.5 傅里叶级数 9.5.1 三角级数 三角函数系的正交性 在自然界和工程技术中周期现象是经常出现的,如振动、电磁波等,当用函数来描述这些现象时出现的就是周期函数.描述简谐振动的正弦函数)sin(?ω+=t A y 是一种简单而又为人们所熟悉的周期函数,其中y 表示动点的位置,t 表示时间,A 为振幅,ω为角频率,?为初相.周期为 ω π 2.现在类似于将函数展开成幂级数,我们也想将周期函数展开成由简单的三角 函数组成的级数.具体的说,希望将以?? ? ? ?= ωπ2T 的周期函数)(t f 表示为 ∑∞ =++ =1 0),sin()(n n n t n A A t f ?ω (1) 其中),3,2,1(,,0 =n A A n n ?都是常数. 在利用三角恒等式,变形为 ∑∞ =++ =1 0);sin cos cos sin ()(n n n n n t n A t n A A t f ω?ω? 令 x t A b A a A a n n n n n n ====ω??,cos ,sin ,2 00,则得到级数 ∑∞ =++ 1 0).sin cos (2 n n n nx b nx a a (2) 称(2)式的级数为三角级数,其中),3,2,1(,,0 =n b a a n n 都是常数. 称三角函数系 ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x (3) 在区间],[ππ-上正交,就是指在三角函数系(3)中任何不同的两个函数的乘积在区间 ],[ππ-上的积分等于零,即 ?- ==π π),3,2,1(0cos n nxdx , ?- ==π π),3,2,1(0 sin n nxdx , ?- ==π π),3,2,1,(0cos sin n k nxdx kx , ?- ≠==π π),,3,2,1,(0 cos cos n k n k nxdx kx ,
傅里叶级数课程及习题讲解
第15章 傅里叶级数 § 傅里叶级数 一 基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中 1 ()n n n f x a x ∞ ==∑，可视为()f x 经函数系 21, , , , , n x x x 线性表出而得．不妨称 2 {1,,,,,}n x x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下 面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积 为 (),()()()d b n m n m a u x u x u x u x x =??， 如果 0 (),() 0 n m l m n u x u x m n ≠=?=? ≠?，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系． 由于 1, sin 1sin d 1cos d 0 nx nx x nx x ππ π π --=?=?=??； sin , sin sin sin d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n π π π-=?=?=?≠?? ； sin , cos sin cos d 0 mx nx mx nx x π π -=?=? ； 2 1, 11d 2x ππ π -==?， 所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 ()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞ =++∑ 称为三角级数，其中011,,, ,,,n n a a b a b 为常数
傅里叶级数
傅里叶级数 一：指数形式 给定一个周期为T的函数f(t)，那么它可以表示为无穷级数： f(t)=∑ k=-∞+∞a k *e ik(2∏/T)t（i为虚数单位）（1） ak=(1/∏)∫ 02∏f(t)*e-ik(2∏/T)t d t 二：正弦形式 1：在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成 f(t)=A0+∑n=1+∞A n sin(nωt+Φ) =A0+∑n=1+∞a n cos(nωt)+b n sin(nωt) （根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ) 其中A n sin(nωt+Φ)=a n cos(nωt)+b n sin(nωt) 是n阶谐波, 我们称上式右端的级数是由f(t) 所确定的傅里叶级数 2：三角函数正交性 设c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三角函数是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有
利用积化和差的三角公式容易证明 还有 我们考察三角函数系 其中每一个函数在长为的区间上定义，其中任何两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零，而每个函数自身平方的积分非零。我们称这个函数系在长为的区间上具有正交性。
三：傅里叶级数 设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f(x)=(a0/2)+Σk=1+∞a k cos(kx)+b k sin(kx),现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a0,a k,b k (k=1,2....n)与f(x) 的关系。将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分，右边级数可以逐项积分，由(1)得到 又设n是任一正整数，对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分，由假定，右边可以逐项积分，由(1)和(2)(3) ，得到 即： 同样可得：
傅里叶级数总结1
傅里叶级数总结 TASK1:(x f 在[-π ,π]上的周期函数，需展开成傅里叶级数，公式： ??--==π π π π nxdx x f b nxdx x f a n n sin )(cos )( 例1：将x x f 4sin )(=展开成傅里叶级数 x x x f x f n xdx x b n n n dx nx x nx x nx nxdx x a dx x x dx x a x x x x n n 4cos 8 1 2cos 2183)(,...) 3,2,1(0sin sin 1 )4(81) 2(2 1 ...)4,2(0)cos 4cos 81cos 2cos 21cos 83(2cos sin 24 3 )4cos 812cos 2183(sin 2 24cos 1412cos 2141)22cos 1(sin :40040 4024+-=∴=== ????????? ==-≠=+-=== +-== +- -=-=???? - ）（，即傅里叶级数收敛于本身处处连续 解 π π πππ π πππ
TASK2:(x f 在[-π ,π]上的奇函数，需展开成傅里叶级数，公式： ,...)3,2,1(sin )(2 ,...) 2,1,0(00 == ==?n nxdx x f b n a n n π π 例2： )(sin sin ..)1(sin 2) () (.)1.(sin 2])cos()[cos(2 sin sin 2 0)()(sin )(1 2 212210 0πππ π ππ π πππ π <<-=--∴--= +--= = ==∴<<-=∑? ? ∞ =++x ax a n nx n a x f a n n ax dx x a n x a n nxdx ax b a a x f x ax x f n n n n n 按展开定理有为奇函数解：展开成傅里叶级数将