高中平面解析几何全一册

高中平面解析几何全一册

第二章圆锥曲线

第二单元圆

一、教法建议

【抛砖引玉】

本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。

在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2+ (y－b)2= r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。

由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。

【指点迷津】

这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。

由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。

圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如：过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2

过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y－b) = r2

圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是

对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式

A x2 +

B xy +

C y2 +

D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件：

(1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0

(2)不含xy项，即B = 0

(3)D2 + E2－4F > 0

才能表示一个圆。

也就是说条件(1)、(2)、(3)总合起来才是二元二次方程表示圆的充要条件。而只具有(1)、(2)两条件是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。

由于圆的标准方程和圆的一般方程中都含有三个独立的参变数，因此确定一个圆需要三个独立条件。用待定系数法求圆的方程时，就要把三个条件转化为三个方程（含a、b、r三个未知数或含D、E、F三个未知数）通过解三元方程组求出未知数而得出圆的方程，一般来说，条件中和圆心有关时用圆的标准方程比较简单。

二、学海导航

【思维基础】

本单元的知识比较单一，它主要研究的就是圆的标准方程和一般方程，因此熟练掌握圆的方程的两种形式是很重要的。而解题又有一定的综合性，它要用到平面几何中有关圆的知识，前一章的直线方程中的有关知识，所以学好本单元还要掌握一定解题方法。

1.求圆的方程

和求直线方程类似，求圆的方程一般也是两种方法，一种是已知或求出圆心坐标和半径长，直接代入圆的标准方程，另一种是用待定系数法：

根据下列条件求圆的方程

1.已知直径的两端点是A（－3，5）和B（1，－3）

2.圆心在A（3，－5）且与直线x－7y + 2 = 0相切

3.经过点A（2、2）和B（4，－2），圆心在y轴上

显然，根据条件很容易求出它们的圆心坐标和半径，代入圆的标准方程即可。

1.圆心为AB中点C（－1，1）半径，圆的方程是(x+ 1)2+ (y－1)2=

20

2.半径r是圆心A（3、－5）到直线x－7y+ 2 = 0的距离4，圆的方程是(x－3)2 + (y + 5)2 = 32

3.圆心是线段AB的垂直平分线与y轴交点，AB的垂直平分线是x－2y －3 = 0，圆心是C（0、－），半径|AC| =，圆的方程是

而第3个题也可以用待定系数法，解法是设圆心是（0、b），圆的方程是x2 + (y－b)2 = r2因为经过点A（2、2）和B（4、－2），所以有解方程组得

此题也可设圆的方程是x2+ y2+ D x+ E y+ F = 0，它的圆心坐标为（），又由于圆心在y轴上，故= 0，即D = 0，圆的方程化为：x2 + y2 + E y + F = 0

因为经过点A（2，2）和B（4，－2），所以有

解方程组得：E = 3，F =－14

圆的方程是x2 + y2 + 3y－14 = 0

配方得

2.求圆的切线的方程

圆的切线是直线和圆的一种重要位置关系，初中平面几何中已经学习了它的定义，判定和性质，在这里我们利用已经学过的知识，求圆的切线的方程，在第一部分教法建议中已指出了在几种不同条件下切线方程的写法，并不要求死记硬背，重要的是掌握求圆的切线方程的方法，切线是直线，因此求切线方程就是求直线方程，要用切线的性质找出列直线方程的条件。

例如：已知圆x2 + y2 = 1求此圆斜率是－1的切线的方程：

设切线方程是y =－x + b即x + y－b = 0

根据圆心到切线的距离等于圆的半径知，圆x2+ y2= 1的圆心（0，0）到切线x + y－b =0的距离等于1，即

切线方程是

3.圆与直线的问题

圆与直线的位置关系，在解析几何中一般由它们的方程组成的方程组的解的情况来研究，是否可以用其他方法呢？

如判断圆和直线3x－4y+ 5 = 0的位置关系。除解方程组外还可以用圆心到直线的距离d与半径r的关系来判定，若d < r，则直线和圆相交；若d = r，则直线和圆相切；若d > r，则直线和圆相离。

配方得

(x－1)2 + (y + 2)2 = 4

它的圆心是(1、－2) 半径r = 2

所以直线和圆相离

4.两个圆的位置关系

我们知道两个圆有五种不同位置关系：即外离、外切、相交、内切、内含，用解方程组的方法讨论时，只能判定相离，相切或相交，但分不出内切还是外切，外离还是内含，若用圆心距与两圆半径之间的关系就能判断出准确的位置关系：如果圆心距用d表示，两圆半径分别是R，r（R > r），若d < R + r，且d > R－r，则两圆相交；若d = R－r，则两圆相内切；若d < R－r，则两圆相内含。

如：已知两圆的方程分别是x2 + y2 = 4和。试判断它们的位置关系。

圆x2 + y2 = 4的圆心是（0，0），半径r = 2

圆，配方化为

，圆心为（3，－4），半径为R = 7

圆心距d = 5，又R－r = 5

即d = R－r

所以两圆相内切

【学法指要】

例1.求圆心是C（2、－1），且截直线x－y－1 = 0所得弦长是的圆的方程。

分析：此题的圆心是已知，列圆的方程只须求出半径长，怎样求半径长呢？如图，弦心距、弦的和半径构成直角三角形，若求出弦心距，可求出半径。

解：如图：圆心C（2，－1）到直线x－

y－1 = 0的距离是

例2.已知一个圆的圆心在直线l1:x－y－1 =

0上，该圆和直线l2:4x+ 3y+ 14 = 0相切，并

且直线l3:3x+ 4y+ 10 = 0截圆所得弦长为6，

试求此圆的方程。

分析：此题直接求圆心坐标和半径比较困

难。一般应选择待定系数法求圆的方程，设标

准方程还是一般程呢？因为已知条件与圆心有关，设标准方程比较好，我们知道三个独立条件确定一个圆的方程，以下的问题是如何将题目中已知的三个条件转化为三个含a、b、r的方程。

解：如图：

设所求圆的圆心是（a、b），半径是r，圆的方程是(x－a)2 + (y－b)2 = r2

由于圆心（a、b）在直线x－y－1 = 0上，有a－b－1 = 0 (1)

由于圆与直线4x + 3y + 14 = 0相切，有

(2)

由l3:3x + 4y + 10 = 0截圆所得弦长为6，有圆

心到l3的距离是

(3)

解由方程(1)、(2)、(3)组成的方程组得

a = 2，

b = 1，r = 5

所求圆的方程是

例3.已知圆x2 + y2－2x－3 = 0，求过点A（5，0）的圆的切线方程分析：首先应判定点A在圆上还是在圆外。想一想，若点在圆上可以有几条切线？若点在圆外有几条切线？怎么求它们的切线方程呢？切线是直线，现已知过一个点，若能求出斜率或直线上另一点即可求出方

程，也可用待定系数法求。

解法一：如图

圆x2 + y2－2x－3 = 0的圆心是（1、0），半径是2

点（5、0）在圆外，设切线方程是

y = k(x－5)即kx－y－5k = 0

因为圆心（1、0）到切线的距离等于半径2

所以

解得

所求圆的切线是：

化简得

为所求切线方程

解法二：如图：

圆x2 + y2－2x－3 = 0的圆心是C（1、0）半径是2。

点A（5，0）在圆外。

设切点为P（x1、y1）

直线AP的斜率为。CP的斜率为

∵AP⊥CP

∴

即 (1)

∵切点P（x1、y1）在圆上

∴ (2)

解(1)、(2)组成的方程组，得两组解

即有两个切点

则两条切线的斜率分别为和，

所求切线方程是

化简得

说明：当求出切点后也可以用两点式写出切线方程

例4.圆x2+ y2= 4，求经过点P（0，－4）且与圆相交的直线的斜率k 的取值范围。

分析：经过点P（0，－4）的直线有多少条？它们的斜率k的取值范围是什么？它们与圆的位置关系有哪几种情况？k取什么样的值时，直线才能和圆相交？下面我们用两种方法解此题。

解法一：

设过点P（0，－4）的直线是y = kx－4

解方程组

把(1)代入(2) 得

因为直线和圆相交，所以△= 16k－48 > 0

解得

解法2：

设过点P（0，－4）的直线是y = kx－4即kx－y－4 = 0

圆x2 + y2 = 4的圆心是（0，0），半径是2，圆心到直线的距离

因为直线与圆相交，所以d < 2，即解得

【思维体操】

例1.求经过点A（－2，3），并与直线4x+ 3y－26 = 0相切于点B（5，2）的圆的方程

解法一：

设所求圆的方程是(x－a)2 + (y－b)2 = r2

直线4x + 3y = 26的斜率为－

经过切点B（5，2）与已知切线垂直直线的斜率为，直线方程是y－2 =(x－5) 即 3x－4y－7 = 0

根据题意：

解得：a = 1，b =－1，r = 5

所求圆的方程是(x－1)2 + (y + 1)2 = 25

说明：方程(1)也可由如下方法得到，切线4x + 3y = 26的斜率为，过切点B（5，2）的半径的斜率为，即

整理得

解法二：

同解法一，过切点B（5，2）与切线垂直的直线方程是3x－4y－7 = 0

线段AB的中点是（），AB的斜率是，AB垂直平分线的斜率是k= 7，方程是即7x－y－8 = 0，解方程组：

所以所求圆心为C（1，－1）

图

半径r = |AC| =

所求圆的方程是(x－1)2 + (y + 1)2 = 25

解法三：

设圆的方程是x2 + y2 + D x + E y + F = 0

圆心是C（）

同解法一，过切点B（5，2）与切线垂直的直线方程是3x－4y－7 = 0

根据题意：

解得：D =－2，E = 2，F =－23

所求圆的方程是：x+ y－2x + 2y + 23 = 0

即(x－1)+ (y + 1) = 25

评析：此题的三种解法中的解法一和解法三用的都是待定系数法。区别是所设方程一个是标准式，一个是一般式，标准式中明确表示了圆心和半径，而一般式经配方后可知其圆心为，记住了可以简化计算，解法二是利用几何性质直接求出圆心和半径。由于我们对圆的性质掌握的比较多，用几何性质解决有关圆的问题也是常用的方法，不可忽视，还要注意的是，求圆的方程要有三个独立条件，此题的条件中与直线4x+ 3y=26相切于点B（5，2）实际是两个条件，一为切线，二为切点，学生作此题时勿认为是一个条件。

例2.已知圆x+ y－2x－4y + 1 = 0，求经过点P（3，6）的圆的切线的方程。

解：经判断点P（3，6）是圆外一点。

设所求切线的方程是y－6 = k(x－3) 即 kx－y－3k + 6 = 0

圆x+ y－2x－4y + 1 = 0的圆心为（1，2）半径

因为圆心到切线的距离等于半径

由于过圆外一点的圆的切线有两条，其中一

条与x轴垂直。

所以所求圆的切线是

评析：前面我们已经给出了求过圆外一点圆的切线的方法，一种是先求出切点。此题同学可以自己用这一方法求，但无论哪种方法都用到了切线的斜率，从图中可知一条切线与x轴垂直，斜率不存在，通过计算方法是不可能得到的。计算结果只能得到一条切线，这显然不全面，就必须根据图形补上一条。

例3.求经过点P（6，1），且斜率K =的直线被圆x2 + y2 = 4所截得的弦长。

解法一：如图，根据题意直线为

解方程组

即直线与圆的交点是A（0，－2），B（）

所得弦长是

|AB| =

解法二：

同解法一，解方程组

由(1)x = 2y + 4 代入(2)得

因为直线与圆的交点是A

所以弦长为|AB| =

解法三：

同解法一，直线方程为x－2y－4 = 0

圆x2 + y2 = 4的圆心为（0、0），半径r = 2，圆心到直线的距离是评析：此题是一个比较简单的问题，在前一单元我们也介绍过求弦长的方法，解法一和解法二都是前面介绍过的方法，解法一和解法二都是前面介绍过的方法。在交点坐标比较简单时，可直接求出交点坐标，再求两点距离得到弦长。若交点坐标比较繁杂时，或采用解法二的方法。而解法三用了圆的性质，解法比较简单，这里又一次提醒大家，解圆的有关问题，一定要考虑是否可用圆的性质。

三、智能显示

【心中有数】

本单元应掌握知识的重点是圆的标准方程和圆的一般方程。要求已知圆的标准方程时，能准确地写出圆心坐标和半径长。要求能把圆的一般方程熟练准确地化为标准方程，还有二元二次方程的一般形式表示圆的充要条件。

另一重点是应掌握一些解题的基本方法，如用待定系数法求圆的方程；根据不同条件求圆的切线的方程及圆和直线的有关问题等。这些方法也为后面学习其他圆锥曲线打下良好的基础

【动脑动手】

解答下列各题：

1.选择题

(1)方程x2 + y2－x + y + m = 0，则m的取值范围是：

A. m＞

B. m＜

C. m＜

D. m≤

(2)自点P（－1，4）向圆x2 + y2－4x－6y + 12 = 0引切线，则切线长是：

A. 3

B.

C.

D. 5

2.求和圆x2 + y2 + 2x = 0相外切，并且和直线相切于点A（－3，－）的圆的方程。

3.求与圆x2 + y2－4y + 3 = 0相外切，且与x轴相切的圆的圆心P的轨迹方程。

4.求圆上与直线4x+ 3y－12 = 0的距离最小的点的坐标，圆的方程是x2 + y2 = 4

解

1.(1) C (2) A

2.解：设所求圆的圆心为B（a、b），半径为r，方程为(x－a)2+ (y －b)2 = r2（如图）

已知圆x2 + y2 + 2x = 0的圆心是C（－1，0），半径是1。

所求的圆的切线的斜率为，过切点的半径AB的斜率为－，又A（－3、－），B（a、b）

得(1)

因为A（－3、－）是所求圆上的点，得

(－3－a)2 + (－－b)2 = r2 (2)

因为所求圆与已知圆相外切，得 |BC| = r + 1

(3)

解(1)，(2)，(3)组成的方程组得

所求圆的方程是：

3.解：如图

已知圆x2 + y2－4y + 3 = 0的圆心是C（0，

2）半径是1。

设点P的坐标为（x、y）根据题意y > 0

根据题意：|CP| = |y| + 1

把坐标代入，得

整理化简得x2－6y + 3 = 0

4.解：

直线4x + 3y－12 = 0的斜率为－。与其垂直直线的斜率是。

过圆x2 + y2 = 4的圆心（0，0）与已知直线垂直的直线方程是y = x，即3x－4y = 0

解方程组得

得到直线与圆交于点A（，），B（－，－）

点A到直线4x +3y－12 = 0的距离是

所以所求距离最小点的坐标是（，）

【创新园地】

1.与圆x2 + y2－2x + 4y + 1 =0关于直线x－y + 2 =0对称的圆的方程。

2.求经过点A（3，2）和两圆x2+ y2= 1，x2+ y2+ 2x= 0的交点的圆。

3.求经过两圆x2 + y2 + 6x－5 = 0和x2 + y2 + 6y－7 = 0的交点，且圆心在直线x－y－4 = 0上的圆的方程。

创新园地解答

1.解：

圆x2 + y2－2x + 4y + 1 = 0的圆心是C（1，－2）半径r = 2

圆心C（1，－2）关于直线x－y + 2 = 0的对称点是C′（－4，3）（过程略）

所求圆的方程是

(x + 4)2 + (y－3)2 = 4，即

x2 + y2 + 8x－6y + 21 = 0

2.解法一：

解方程组

得两圆交点为B（），C（）

设所求圆的方程为x2 + y2 + D x + E y + F = 0

因为圆经过点A（3，2），B（），C（）用待定系数法求得D

所求圆的方程是

解法二：

可以证明，经过两圆x+ y－1 = 0和x+ y+ 2x= 0的交点的圆的方程可以写成

x2 + y2 + 2x + λ(x2 + y2－1) = 0 (λ≠－1)

这个方程不包括圆x2 + y2－1 = 0

因为圆经过点A（3，2）

所以9 + 4 + 6 + λ(9 + 4－1) = 0

λ=－

所求圆的方程为

x2 + y2 + 2x－(x2 + y2－1) = 0整理得

7x2 + 7y2－24x－19 = 0

说明：这一解法比解法一要简单，有的题目交点坐标不易求出，用此法则简单的多，若作选择题或填空题，用此法解很易得出结果，下面第3题，交点不易求出，用此法求要简单的多。

3.解

设所求经过两圆x2 + y2 + 6x－5 = 0和x2 + y2 + 6y－7 = 0的交点的圆为x2 + y2 + 6x－5 +λ(x2 + y2 + 6y－7) = 0(λ≠－1)

化为：

x2 + y2 +

圆心是(，)

因为圆心在直线x－y－4 = 0上，

所以 +－4 = 0解得

λ=－7

所求圆的方程是

x2 + y2 + 6x－5－7(x2 + y2 + 6x－7) = 0化简得

3x2 + 3y2－3x－21y－22 = 0

四、同步题库

一、选择题

1．以点(2,-1)和(2,3)为直径的两个端点的圆的方程是( )

(A) x2+y2-4x+2y+1=0 (B) x2+y2-4x-2y+1=0

(C) x2+y2+4x-2y+1=0 (D) x2+y2+4x+2y+1=0

2.直线4x-3y+11=0与圆(x+2)2+(y-1)2=10的位置关系是( )

(A)相切 (B)相离 (C)过圆心 (D)相交但不过圆心

3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)与x轴相切的充要条件是( )

(A)a=r (B)b=r (C)|a|=r (D)|b|=r

4.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则系数D、E、F满足（ ）

(A)F=0D=0，E=0 (B)F=0，D=0，E≠0

(C)F=0，D≠0，E=0 (D)F≠0，D=0，E≠0

5．若方程x2+y2+4mx-2y+8m2+m+1=0表示圆，则m的取值范围是（ ）

(A)0

6.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2-6x-4y-12=0的位置关系是（ ）

(A)相交 (B)外离 (C)内切 (D)外切

7.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0 的距离等于的点共有( )

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

8.当圆x2+y2+2x+ky+k2=0的面积最大时,圆心的坐标是( )

(A)(0,-1) (B)(1,0) (C)(1,-1) (D)(-1,1)

9.若直线x+2y-1=0与圆x2+y2-4x+6y+3=0相交于A、B两点,则|AB|等于( )

10.动圆x2+y2-2mx+(4m+6)y+5m2+12m=0的圆心的轨迹方程是( )

(A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0

(C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0

二、填空题

1.在x轴上的截距是-1和7,且半径是5的圆的方程是 .

2.直线x=3被圆(x-a)2+y2=4截得的弦长为,则a的值等于 .

3.圆心是(1,-2)且与直线3x-4y=1=0相切的圆的方程是 .

4.过点P(-3,2)且与圆x2+y2=13相切的直线方程是 .

5.过点A(-2,2)的直线与圆x2+y2=2有公共点,则直线l的倾斜角a的取值范围是

.

6.两圆x2+y2-6x+2y+1=0和x2+y2+2x-4y-11=0的位置关系是 .

三、解答题

1.求过0(0,0),A(3,1),B(-1,3)三点的圆关于点M(2,4)对称的圆的方程.

2.已知圆x2+y2-2x+4y+2=0内一点P(2,-1),求过P点的弦中最短的弦所在的直线的方程, 并求这个弦长.

3.如果圆C经过点P(2,-1),圆心在直线y=-2x上,又与直线x-y-1=0相切,求圆C的方程.

4.求圆x2+y2-2ax+2ay+3a2-2a-1=0当半径最大时，截直线所得的弦长。

【参考答案】

动脑动手

1.(1)C; (2)(A)

2.解:设所求圆的圆心为

B(a,b),半径为r,方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(如图)

已知圆x2+y2+2x=0的圆心是

C(-1,0)半径是1.

所求的圆的切线斜率为,

过切点的半径AB的斜率为-

又A(-3,- ),B(a,b)

所以

①

因为A(-3,)是所求圆上的点,

得(-3-a)2+(-b)2=r2 ②

因为所求圆与已知圆相外切,得|BC|=r+1

③

解①、②、③,组成的方程得

所求圆的方程是:

(x+4)2+y2=4和x2+(y+)2=36

3.解:如图

已知圆x2+y2-4y+3=0的圆心是C(0,2),半径是1。

设点P的坐标为(x,y)根据题意,y>0

根据题意,|CP|=|y|+1

把坐标代入,得

整理化简得x2-6y+3=0.

4.解:直线4x+3y-12=0的斜率为.与其垂直直线的

斜率是.

过圆x2+y2=4的圆心(0,0)与已知直线垂直的直线方程是y=x,即3x=4y=0解方程组

创新园地

1.解:圆x2+y2-2x+4y+1=0的圆心是C(1,-2)半径r=2

圆心C(1,-2)关于直线x-y+2=0,的对称点是C(-4,3)(过程略)

所求圆的方程得

(x+4)2+(y-3)2=4,即

x2+y2+8x-6y+21=0

2.解法一:

解方程组

用特定系数法求得

所求圆的方程是

解法二:

可以证明,经过两圆x2+y2-1=0和x2+y2+2x=0的交点的圆的方程可以写成

这个方程不包括圆x2+y2-1=0

因为圆经过点A(3,2)

所以9+4+6+(9+4-1)=0

所求圆的方程为

7x2+7y2-24x-19=0

【说明】

这一解法比解法一要简单,有的题目交点坐标不易求出,用此法则简单的多,若作选择题或填空题,用此法解很易得出结果,下面第3题,交点不易求出,用此求要简单的多.

3.解:设所求经过两圆x2+y2+6x-5=0和x2+y2+6y-7=0的交点的圆为

所求圆的方程是

x2+y2+6x-5-7(x2+y2+6y-7)=0

3x2+3y2-3x-21y-22=0

同步题库

一、选择题

1.(B)提示:圆心是已知直径的中点(2,1),半径为2的圆的方程(x-2)2+(y-1)2=4化简后得.

2.(C)提示:已知圆的圆心是(-2,1),它满足直线方程4x-3y+11=0,所以直线经过圆心.

3.(D)提示:若圆与x 轴相切,则圆心(a,b)到x轴(y=0)的距离等于r,即|b|=r,反之,若

|b|=r,说明圆心到x轴的距离等于半径r,则圆与x轴相切。

4.(B)提示:因为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,所以圆必过原点,且圆心与y轴上(除

去原点),因此F=0,D=0, E0.

5.(B)提示:因为圆x2+y2+4mx-2y+8m2+m+1=0 经过配方后得

(x+2m)2+(y-1)2=-4m2-m,因为方程表示圆，所以-42-m>0解

6.(C)提示:两圆分别配方后化为(x-3)2+y2=9和(x-3)2+(y-2)2=1，圆心分别是O1(0,3)和

O2(3,2)半径分别是r1=3,r2=1,圆心距|O1O2|=2,r1-r2=2,而圆相内切.

7.(C)提示:圆的方程配方后得(x+1)2+(y+2)2=8,因此圆心是C(-1,-2),半径为R=,圆心到直

线x+y+1=0的距离d=是半径长的,因此与直线x+y+1=0垂直的半径的外端点及与直线平行的直径的两个端点到这直线的距离都是,除此三点外圆上没有其他点满足条件.

8.(B)提示:圆x2+y2+2x+ky+k2=0经配方后得因为方程表示圆,所以半径,所以k=0时r有最大

值,当k=0时,圆心为(-1,0).

9.(B)提示:把圆的方程配方后得到圆心为C(2,-3),半径,圆心C(2,-3)到直线x+2y-1=0的距离是，在弦心距半径和弦长的一半组成的直角三角形中，根据勾股定理，弦长等于

10.(C)提示:根据动圆的方程可知动圆的圆心为(m,-2m,-3),即动圆圆心的横纵坐标满足.

二、填空题

1．x2+y2-6x-6y-7=0,提示：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=25,因为圆经过点(-1,0)和(7,0),所以

解方程组得

a=3,b=3,也可以画出图由圆的几何性质得出圆心坐标为(3,3)

2.2或4.提示：把x=3代入圆的方程得(3-a)2+y2=4,y2=4-(3-a)2,解得由于直线x=3垂直到x 轴,所以 解得a1=2,a2=4

3.x2+y2-2x+4y+1=0.提示：圆的半径是点(1,-2)到直线3x-4y-1=0的距离，圆的方程是(x-1)++(y+2)2=4即x2+y2-2x+4y+1=0.

4.3x-2y+13=0,提示:因为点(-3,2)在圆x2+y2=13上, 所以过点(-3,2)与圆x2+y2=13相切的直线方程是-3x+2y=13,即3x-2y+13=0.

5..提示:如图:圆x2+y2=2的圆心在(0,0),半径为,若AB,AC是圆的两条切线,切点分别是B、C,则|OB|=|OC|= RtABO≌RtACO, ∠AOB=∠AOC=60,又OA是第三象限角平分线，所以∠BOD=75，∠BDO=15，切线AB的倾斜角a=15=AC的倾斜角∠CEO=75=此过点A(-2,2)与圆x2+y2=2有公共点的直线l的倾斜角的范围

6.相交,提示:两圆标准方程为(x-3)2+(y+1)2=32和(x+1)2+(y-2)2=42,d=5,

r1+r2=3+4=7,d

三、解答题

1.解:设过已知三点的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0

设点C(1,2)关于点M(2,4)的对称点是C(x0,y0),则

2.解:已知圆x2+y2-2x+4y+2=0,配方后得(x-1)2+(y+2)2=3,它的圆心在C(1,-2),半径

R=.

过点P(2,-1)的弦中以P(2,-1)为中点的弦AB最短,此时CPAB

3.解:设所求圆的圆心为C(a,b),半径为r,圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2

根据题意

或(x-9)2+(y+18)2=338

4.解:圆x2+y2-2ax+2ay+3a2-2a-1=0配方后得(x-a)2+(y+a)2=-a2+2 a+1

其半径为

∵当a=1时,-a2+2a+1有最大值是2

∴半径r的最大值是,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2,即

x2+y2-2x+2y=0

解方程组

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

平面解析几何 经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合．

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3均为锐角，且α2 ＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0.图1

高三数学《平面解析几何》

高三数学《平面解析几何》 单元练习七 （考试时间120分 分值160分） 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 3．已知双曲线x 24－y 2 12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则 p 的值为________． 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值为______． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________． 6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________． 7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 8．已知点A 、B 是双曲线 x 2－ y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________．

9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 2 3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0) 相切，则r ＝________. 10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2 b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ?＝________. 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AF FB =，,AF FB BA BC =?＝48，则抛物线的方程为______________．

平面解析几何直线练习题含答案

直线测试题 一．选择题（每小题 5 分共 40 分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点 P 0（x 0. y 0）的直线都可以用方程 y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点 P 1（ x 1. y 1）、P 2（x 2.y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（ x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 x y 1 表示； ab D.经过定点 A （0. b ）的直线都可以用方程 y =kx +b 表示。 【答案】 B 解析】 A 中过点 P 0（ x 0. y 0）与 x 轴垂直的直线 x =x 0不能用 y －y 0=k （x －x 0）表示.因为其斜率 k 不存在； C 中不过 xy 原点但在 x 轴或 y 轴无截距的直线 y =b （ b ≠ 0）或 x =a （a ≠0）不能用方程 =1 表示； D 中过 A （ 0. b ）的直线 ab x =0 不能用方程 y =kx +b 表示 . 评述：本题考查直线方程的知识 . 应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围 2. 图 1中的直线 l 1、l 2、l 3的斜率分别为 k 1、 k 2、 k 3. 则（ ） A.k 1α3. 所以 k 2> k 3> 0. 因此 k 2> k 3> k 1.故应选 D. 3. 两条直线 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0. A 2x ＋ B 2y ＋ C 2＝ 0 垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋ B 1B 2＝0 B. A 1A 2－ B 1B 2＝ 0 C. A 1A 2 B 1B 2 1 D. B1B2 =1 A 1A 2 答案】 A 解析】法一：当两直线的斜率都存在时 A 1 B 1 （ A 2 ） ＝－ 1. A 1A 2＋ B 1B 2＝ 0. 当一直线的斜率不存在 . 一直线的斜率为 时. B 2 A 1 0或 A 2 0 B 2 0 B 1 0

平面解析几何测试题带答案

1．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切； (2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程． 2．设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜 率为 2 2 ，求椭圆的方程． 3．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线l：y＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C的方程； (2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q， 证明：AQ⊥BQ . 4．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20 3 ，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为 2 2 ，若圆与椭圆相交于A、B， 且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

5．已知m 是非零实数，抛物线)0(2:2 >=p px y C 的焦点F 在直线2 :02 m l x my --=上. （I ）若m=2，求抛物线C 的方程 （II ）设直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，F AA 1?，F BB 1?的重心分别为G,H. 求证：对任意非零实数m,抛物线C 的准线与x 轴的焦点在以线段GH 为直径的圆外。 6． (本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB | ＝8，动点P 满足AP u u u r ＝35 PB u u u r ，设点P 的轨迹为曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一 点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值． 7．(文)有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量各自都是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水、不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y 与x 的函数关系．

高中平面解析几何 全一册

高中平面解析几何全一册 第二章圆锥曲线 第二单元圆 一、教法建议 【抛砖引玉】 本单元共有两小节，主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。 在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质，在这里我们根据圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的轨迹，建立了圆的标准方程：(x－a)2 + (y－b)2 = r2，它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程，又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质，由圆的标准方程研究了圆的切线方程，并由圆的标准方程解决了一些实际问题。 由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程，我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系，得到了圆的一般方程，最后又研究了用待定系数法求圆的方程。 【指点迷津】 这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程，要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程，并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程，要求学生掌握它的特点，会用配方法把一般方程化为标准方程。 由于圆是平面几何中重点学习的图形，学习了圆的很多性质，特别是和圆有关的直线和线段（直线的一部分）的性质，如圆的切线，割线，弦等的性质在这一单元都会用到，教师可概括学习内容适当地复习有关性质，并启发学生在解题中运用性质，可以顺利解决有关问题。 圆的切线也是这个单元的重要内容，它主要研究了过圆上一点的圆的切线，过圆外一点的圆的切线，已知斜率的圆的切线，要求学生掌握求各种条件下切线的方法，在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西，适当记忆，加快解题速度，特别是解选择题和填空题，如： 过圆x2 + y2 = r2上一点(x1，y1)的切线方程是x1x + y1y = r2 过圆(x－a)2 + (y－b)2 = r2上一点(x1、y1)的切线方程是(x1－a)(x－a) + (y1－b)(y －b) = r2 圆x2 + y2 = r2的斜率为k的切线的方程是y kx r k 12 =±+ 对于圆的一般方程应要求学生明确掌握，二元二次方程的一般形式 A x2 + B xy + C y2 + D x + D y + F = 0必须满足如下三个条件： (1)x2和y2项的系数相同，且不等于零，即A＝C≠0 (2)不含xy项，即B = 0

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围000180α≤< （2）经过两点的直线的斜率公式 是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地， 当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=-g 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或，则有A、B、C三点共 线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

高三数学 平面解析几何

平面解析几何（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 212x x y y K AB --= 。 (2) .直线的方程

a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有 且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2200||B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中?? ? ??--22E D ，为圆心F E D 42 122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一 个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是???==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．

高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)

直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的

区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++； （2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标 为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.

高三数学平面解析几何平面解析几何精粹

平面解析几何精粹 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝1 2(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y ′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1 ，解之得? ???? x ＝2 y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1 kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

平面解析几何测试题及答案

平面解析几何测试题 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分） 1.直线3x+4y-24=0在x 轴，y 轴上的截距为 （ ） A.6,8 B.-6,8 C.8,6 D.-8,6 2.x=29y -表示的曲线是 （ ） A.一条直线 B.两条直线 C.半个圆 D.一个圆 3.已知直线x-ay+8=0与直线2x-y-2=0垂直，则a 的值是 （ ） A.-1 B.2 C.1 D.-2 4.已知圆x 2+y 2+ax+by=0的圆心为（-4，3），则a,b 的值分别是 （ ） A.8,6 B.8,-6 C.-8,-6 D.-8,6 5.已知A （3，-6），B （-5，2），C （6，y ）三点共线，则点C 的纵坐标是 （ ） A.-13 B.9 C.-9 D.13 6.已知过点P （2，2）的直线与圆（x-1）2 +y 2 =5相切，且与直线ax-y+1=0 垂直，则a 的值为（ ） A.2 B.1 C.-21 D.2 1 7. 直线2x-y=0与圆x 2+y 2-2x-4y-1=0的位置关系为 （ ） A. 相交但不过圆心 B.相离 C.相切 D.相交过圆心 8.已知双曲线22a x -22b y =1的渐近线的斜率k=±3 4，则离心率等于 （ ）

A.53 B.45 C.34 D.3 5 9.若椭圆22a x +22 b y =1（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆 上一点，若▲AF 1F 2为正三角形，则椭圆的离心率为 ） A. 22 B.21 C.4 1 D.3-1 10.已知双曲线22x -22 b y =1（b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2，其中一条 渐近线方程为y=x ，点P （3，y 0）在双曲线上，则1?2PF 等于 （ ） A.-12 B.-2 C.0 D.4 11.已知椭圆焦点在x 轴上，长轴长为18，且焦点将长轴三等分，则椭圆的方程为（ ） A.812x +722y =1 B.812x +92 y =1 C.812x +452y =1 D.812x +16 2y 12.设点F 为抛物线y 2=3x 的焦点，过点F 且倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，则|AB|等于 （ ） A. 3 30 B.6 C.12 D.37 13.已知圆x 2+y 2-4x-4y=0与x 轴相交于A ，B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为（ ） A.6 π B.3 π C.2 π D. 3 π2 14.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴是短轴的3倍，且过点（-3，1），则椭圆的方程为 （ ）

高中数学平面解析几何知识点梳理范文

平面解析几何 一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转 到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．

高三数学二轮专题平面解析几何复习教案

高三数学二轮专题复习教案――平面解析几何 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 21 2x x y y K AB --=。 (2) .直线的方程 a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式： 1 21121x x x x y y y y --= --； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系

两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2 2 00| |B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中??? ??-- 22 E D ，为圆心 F E D 42122-+为半径， ，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、r 为半径的圆的参数方程是?? ?==θθsin , cos r y r x （其中θ为参数）． 以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为???+=+=θ θsin , cos r b y r a x （θ为参数），θ的几何意义是：以 垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示． 三种形式的方程可以相互转化，其流程图为： 2．二元二次方程是圆方程的充要条件 “A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件． 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ” ，它可根据圆的一般方程推导而得． 3．参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义． 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来， 3.圆锥曲线 (1).椭圆的标准方程及其性质