高中数学平面解析几何
知识点梳理
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
平面解析几何
一.直线部分
1.直线的倾斜角与斜率:
(1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转
到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.
倾斜角)180,0[?∈α
,?=90α斜率不存在.
(2)直线的斜率:
αtan ),(211
21
2=≠--=
k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ).
2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:
)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ).
注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =.
(2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).
(3)两点式:
1
21
121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠).
注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线;
② 方程形式为:0))(())((112112
=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线.
(4)截距式:
1=+b
y
a x (
b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线.
(5)一般式:
0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0).
一般式化为斜截式:B
C x B A y --=,即,直线的斜率:B A
k -=.
注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =.
已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =.
已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为
00()y k x x y =-+或0x x =.
(2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0.
(1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:
l y k x b =+,222:l y k x b =+
① 212121
,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111
=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有
① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l .
5.平面两点距离公式:
(111(,)P x y 、222(,)P x y ),2
212212
1)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:
A
B x x AB -=.
线段21P P 的中点是),(00y x M ,则???
???
?+=+=22
2
10210y y y x x x .
6.点到直线的距离公式:
点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l :的距离:2
2
00B
A C
By Ax d +++=
.
7.两平行直线间的距离:
两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l :,:距离:2
2
21B
A C C d +-=
.
8.直线系方程:
(1)平行直线系方程:
① 直线
y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程..
② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=.
③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为:00()()0A x x B y y -+-=.
(2)垂直直线系方程:
① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.
② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为:00()()0B x x A y y ---=.
(3)定点直线系方程:
① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数. ② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为
00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数.
(4)共点直线系方程:经过两直线0022221111=++=++
C y B x A l C y B x A l :,:交点的直线系方
程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l ),其中λ是待定的系数.
9.曲线1:
(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标?方程组{
(,)0(,)0
f x y
g x y ==的解.
二.圆部分 10.圆的方程:
(1)圆的标准方程:222
)()(r b y a x =-+-(0>r ).
(2)圆的一般方程:)04(02
222>-+=++++F E D F Ey Dx y x .
(3)圆的直径式方程:
若
),(),(2211y x B y x A ,,以线段AB 为直径的圆的方程是:
0))(())((2121=--+--y y y y x x x x .
注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --,F E D r 42
122-+=.
(2)一般方程的特点:
① 2
x 和
2y 的系数相同且不为零;② 没有xy 项; ③ 0422>-+F E D
(3)二元二次方程
022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是:
① 0≠=C A ; ② 0=B
; ③ 0422>-+AF E D .
11.圆的弦长的求法:
(1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为l ,弦心距为d ,半径为r ,
则:“半弦长2
+弦心距2
=半径2
”——222
)2
(
r d l =+;
(2)代数法:设l 的斜率为k ,l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ,,则
||1
1||1||22B A B A y y k
x x k AB -+
=-+= (其中|||,|
2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ,利用韦达定理求解)
12.点与圆的位置关系:点),(00y x P 与圆2
22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-?>?.
②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-?.
③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-?=?
. 【P 到圆心距离
22
00()()d a x b y =-+-】
13.直线与圆的位置关系:
直线
0=++C By Ax 与圆2
22)()(r
b y a x =-+-的位置关系有三种(2
2
B
A C Bb Aa d +++=
):
圆心到直线距离为d ,由直线和圆联立方程组消去x (或
y )后,所得一元二次方程的判别式为?.
0??>相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .
14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ,半径分别为21,r r ,d O O =21
条公切线外离421??+>r r d ; 无公切线内含??-<21r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;条公切线内切121??-=r r d ;
条公切线相交22121??+<<-r r d r r .
15.圆系方程:)04(02222
>-+=++++F E D F Ey Dx y x
(1)过直线0=++C By Ax l :与圆C :02
2=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程:
0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数.
(2)过圆1C :011122
=++++F y E x D y x
与圆2C :022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方
程:0)(2222211122
=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x
λ,λ是待定的系数.
特别地,当1λ
=-时,2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是
121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线.
16.圆的切线方程:
(1)过圆222
r y x
=+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+.
(2)过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200
))(())((r b y b y a x a x =--+-- .
(3)当点),(00y x P 在圆外时,可设切方程为
)(00x x k y y -=-,利用圆心到直线距离等于半径,
即r d =,求出k ;或利用0=?,求出k .若求得k 只有一值,则还有一条斜率不存在的直线
0x x =.
17.把两圆011122
=++++F y E x D y x
与022222=++++F y E x D y x 方程相减
即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D .
18.对称问题: (1)中心对称:
① 点关于点对称:点
),(11y x A 关于),(00y x M 的对称点)2,2(1010y y x x A --.
② 直线关于点对称:
法1:在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标,由两点式求直线方程. 法2:求出一个对称点,在利用21
//l l 由点斜式得出直线方程.
(2)轴对称:
① 点关于直线对称:点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与对称点的中点在直线上.
点 A A '、关于直线l 对称???''?上中点在⊥l A A l A A ?
??'-=?'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1 . ② 直线关于直线对称:(设b a ,关于l 对称)
法1:若b a ,相交,求出交点坐标,并在直线a 上任取一点,求该点关于直线l 的对称点.
若l a //,则l b //,且b a ,与l 的距离相等.
法2:求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点,在由两点式求出直线的方程.
(3)点(a , b )关于x 轴对称:(a ,- b )、关于y 轴对称:(-a , b )、关于原点对称:(-a ,- b )、
点(a , b )关于直线y=x 对称:(b , a )、关于y=- x 对称:(-b ,- a )、
关于y = x +m 对称:(b -m 、a +m )、关于y=-x+m 对称:(-b+m 、- a+m ) .
19.若),(),(),(332211y x C y x B y x A ,,,则△ABC 的重心G 的坐标是
??
?
??++++33321321y y y x x x ,.
20.各种角的范围:
直线的倾斜角 ?<≤?1800α 两条相交直线的夹角 ?≤900α
两条异面线所成的角 ?≤900α
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
教师版高中数学必修+选修知识点归纳 引言 1.课程内容: 必修课程由5个模块组成: 必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。 选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。 选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。 选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。 选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。 选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。 选修4—10:开关电路与布尔代数。 2.重难点及考点: 重点:函数,数列,三角函数,平面向 量,圆锥曲线,立体几何,导数难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用
第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则