高中数学平面解析几何知识点

平面解析几何

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针

方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.

倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在.

（2）直线的斜率：αtan ),(211

212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．

（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式：1

21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：1=+b

y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B

C x B A y --

=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．

已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．

（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．

（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点．

4．两条直线的平行和垂直：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-.

（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有

① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ．

5．平面两点距离公式：

(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．

线段21P P 的中点是),(00y x M ，则???

????+=+=2221

0210y y y x x x ．

6．点到直线的距离公式：

点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A C By Ax d +++=

． 7．两平行直线间的距离：

两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：222

1B A C C d +-=．

8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．

② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．

③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．

② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数． ② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方

程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．

9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标?方程组

{(,)0(,)0f x y g x y ==的解． 10．圆的方程：

（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．

（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．

（3）圆的直径式方程：

若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ． 注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． （2）一般方程的特点：

① 2x 和2

y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D

（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：

① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．

11．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，

则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2

(r d l =+； （2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k

x x k AB -+

=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解） 12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-?>?．

②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-?

③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-?=?． 【P

到圆心距离d =

13．直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22B A C

Bb Aa d +++=):

圆心到直线距离为d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为?． 0相离r d ；0=???=相切r d ；0>???<相交r d ．

14．两圆位置关系:设两圆圆心分别为21,O O ，半径分别为21,r r ，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ； 无公切线内含??-<21r r d ；

条公切线外切321??+=r r d ；条公切线内切121??-=r r d ；

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ．

15．圆系方程：)04(02

222>-+=++++F E D F Ey Dx y x

（1）过直线0=++C By Ax l ：与圆C :022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ,λ是待定的系数．

（2）过圆1C :011122=++++F y E x D y x 与圆2C :02222

2=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ,λ是待定的系数．

特别地，当1λ=-时，2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=就是

121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．

16．圆的切线方程：

（1）过圆222r y x =+上的点),(00y x P 的切线方程为:200r y y x x =+．

（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上的点),(00y x P 的切线方程为:200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ．

（3）当点),(00y x P 在圆外时，可设切方程为)(00x x k y y -=-，利用圆心到直线距离等于半径， 即r d =，求出k ；或利用0=?，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线0x x =．

17．把两圆011122=++++F y E x D y x 与02222

2=++++F y E x D y x 方程相减

即得相交弦所在直线方程:0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．

18．对称问题：

（1）中心对称：

① 点关于点对称：点),(11y x A 关于),(00y x M 的对称点)2,2(1010y y x x A --．

② 直线关于点对称：

法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程． 法2：求出一个对称点，在利用21//l l 由点斜式得出直线方程．

（2）轴对称：

① 点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上． 点 A A '、关于直线l 对称???''?上中点在⊥l A A l A A ?

??'-=?'方程中点坐标满足·l A A k k l A A 1 ． ② 直线关于直线对称：（设b a ,关于l 对称）

法1：若b a ,相交，求出交点坐标，并在直线a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点．

若l a //，则l b //，且b a ,与l 的距离相等．

法2：求出a 上两个点B A ,关于l 的对称点，在由两点式求出直线的方程．

（3）点(a , b )关于x 轴对称：(a ,- b )、关于y 轴对称：(-a , b )、关于原点对称：(-a ,- b )、

点(a , b )关于直线y=x 对称：(b , a )、关于y=- x 对称：(-b ,- a )、

关于y = x +m 对称：(b -m 、a +m )、关于y=-x+m 对称：(-b+m 、- a+m ) ．

19．若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC 的重心G 的坐标是??

? ??++++33321321y y y x x x ，． 20．各种角的范围：

直线的倾斜角 ?<≤?1800α 两条相交直线的夹角 ?≤

两条异面线所成的角 ?≤

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学知识点体系框架超全超完美

高中数学基础知识整合 函数与方程区间建立函数模型 抽象函数复合函数分段函数求根法、二分法、图象法；一元二次方程根的分布 单调性：同增异减赋值法，典型的函数 零点函数的应用 A 中元素在 B 中都有唯一的象；可一对一（一一映射），也可多对一，但不可一对多 函数的基本性质 单调性奇偶性周期性 对称性 最值 1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性。 2.复合函数单调性：同增异减。 1.先看定义域是否关于原点对称，再看f (-x )=f (x )还是-f (x ). 2.奇函数图象关于原点对称，若x =0有意义，则f (0)=0. 3.偶函数图象关于y 轴对称，反之也成立。 f (x +T)=f (x )；周期为T 的奇函数有：f (T)=f (T/2)= f (0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等。 函数的概念 定义 列表法解析法图象法 表示三要素使解析式有意义及实际意义 常用换元法求解析式 观察法、判别式法、分离常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等 定义域 对应关系值域 函数常见的几种变换平移变换、对称变换翻折变换、伸缩变换 基本初等函数正（反）比例函数、一次（二次）函数幂函数 指数函数与对数函数三角函数 定义、图象、性质和应用 函数 映 射 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 退出 上一页 第二部分映射、函数、导数、定积分与微积分 导数 导数概念函数的平均变化率运动的平均速度曲线的割线的斜率 函数的瞬时变化率运动的瞬时速度曲线的切线的斜率 ()()的区别 与0x f x f ' '0 t t t v a S v ==，() 0' x f k =导数概念 基本初等函数求导 导数的四则运算法则简单复合函数的导数()()()()()()()().ln 1ln ln 1 log sin cos cos sin 0''' ' 1' 'x x x x a n n e e a a a x x a x x x x x x nx x c c ==== -====-；；；；；；； 为常数()()()()[]()() ()()[]()()()()()()()()()()()[]2)3()2()1(x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f -=? ? ????+=?±=±是可导的，则有：，设()()[]()() x u u f x g f ' ' ' ?=1.极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点； 2.闭区间一定有最值，开区间不一定有最值。导数应用函数的单调性研究函数的极值与最值 曲线的切线变速运动的速度生活中最优化问题 ()()()(). 00''在该区间递减在该区间递增，x f x f x f x f ?1.曲线上某点处切线，只有一条；2.过某点的曲线的切线不一定只一条，要设切点坐标。 一般步骤：1.建模，列关系式；2.求导数，解导数方程；3.比较区间端点函数值与极值，找到最大（最小）值。 定 积分与微积分 定积分概念 定理应用 性质定理含意微积分基本 定理 曲边梯形的面积变力所做的功 ()的极限 和式i n i i x f ?∑-=1 1 ξ定义及几何意义 1.用定义求：分割、近似代替、求和、取极限； 2.用公式。 ()()()()[]()()()()()()()() c b a dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f dx x g dx x f dx x g x f dx x f k dx x kf c b b a c a a b b a b a b a b a b a b a <<=-=±=±=?????????? .；；；()()()()()() 莱布尼兹公式牛顿则若--==?a F b F dx x f x f x F b a ,'1.求平面图形面积；2.在物理中的应用（1）求变速运动的路程： （2）求变力所作的功； ()?=b a dx x F W ()dt t v s a b ?=

(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总

第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43

2020高一数学知识点总结归纳精选5篇

2020高一数学知识点总结归纳精选5 篇 高一数学是很多同学的噩梦，知识点众多而且杂，对于高一的同学们很不友好，建议同学们通过总结知识点的方法来学习数学，这样可以提高学习效率。下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！ 高一数学知识点总结(一) (1)指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a 大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凹的。 (4)a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴

的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。 (7)函数总是通过(0，1)这点。 (8)显然指数函数无界。 奇偶性 定义 一般地，对于函数f(x) (1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。 (2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。 (3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 高一数学知识点总结(二) 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q 是偶数，函数的定义域是[0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制****于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x0和x0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=． 线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高中数学知识点完整结构图

高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????

高中数学知识点总结超全

高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等 （7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集， 它有2 2n -非空真子集.

【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图 交集A B {|, x x A ∈且 } x B ∈ （1）A A A = （2）A?=? （3）A B A ? A B B ? B A 并集A B {|, x x A ∈或 } x B ∈ （1）A A A = （2）A A ?= （3）A B A ? A B B ? B A 补集 U A{|,} x x U x A ∈? 且 1() U A A=?2() U A A U = 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1）含绝对值的不等式的解法 不等式解集 ||(0) x a a <>{|} x a x a -<< ||(0) x a a >>|x x a <-或} x a > ||,||(0) ax b c ax b c c +<+>> 把ax b+看成一个整体，化成||x a<， ||(0) x a a >>型不等式来求解 判别式 24 b ac ?=- ?>0 ?=0 ?<二次函数 2(0) y ax bx c a =++> 的图象O 一元二次方程 20(0) ax bx c a ++=> 的根 2 1,2 4 2 b b ac x a -±- = （其中 12 ) x x < 122 b x x a ==-无实根 ()()() U U U A B A B = ()()() U U U A B A B =

高三数学《平面解析几何》

高三数学《平面解析几何》 单元练习七 （考试时间120分 分值160分） 一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把正确答案填在题中横线上) 1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是______． 2．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则AB ＝________. 3．已知双曲线x 24－y 2 12＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则 p 的值为________． 4．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2 b 的最小值为______． 5．若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为________． 6．已知曲线上的每一点到点A (0,2)的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，则曲线的方程为________． 7．(2010·淮安质检)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 8．已知点A 、B 是双曲线 x 2－ y 2 2 ＝1上的两点，O 为坐OA 标原点，且满足OA · OB ＝0，则点O 到直线AB 的距离等于________．

9．(2009·全国Ⅱ改编)双曲线x 26－y 2 3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0) 相切，则r ＝________. 10．(2009·四川高考改编)已知双曲线x 22－y 2 b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则12PF PF ?＝________. 11．(2009·天津高考改编)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，BF ＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCF S △ACF ＝________. 12．(2010·南京模拟)已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则 (x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 13．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2 －4y 2 ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 ___________________________________________________________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若 AF FB =，,AF FB BA BC =?＝48，则抛物线的方程为______________．

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合．

高中数学知识点总结大全

高中数学知识点总结 1. 首先对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 要注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? （答：，，）-??? ??? 1013 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==， 4. 请问你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30 555 5015392522 ∈--

若为真，当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真，当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真，当且仅当为假?p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射f ：A →B ，是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()() （答：，，，）022334 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ ( ) 如：，求f x e x f x x +=+1(). 令，则t x t = +≥10 ∴x t =-2 1 ∴f t e t t ()=+--2 1 21 ()∴f x e x x x ()=+-≥-2 1 210

高三数学 平面解析几何

平面解析几何（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1．直线 (1).直线的倾斜角和斜率 直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1 212x x y y K AB --= 。 (2) .直线的方程

a.点斜式：)(11x x k y y -=-； b.斜截式：b kx y +=； c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+b y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系 两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有 且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。 若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则 1l ∥2l ?1k ＝2k ，1l ⊥2l ?1k ·2k ＝－１。 （4）点、直线之间的距离 点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d= 2200||B A C By Ax +++。 两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（ 2. 圆 （1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中?? ? ??--22E D ，为圆心F E D 42 122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一 个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程． 参数式：以原点为圆心、 r 为半径的圆的参数方程是???==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．

高中数学知识点总结精华版

高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A版

一、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合： Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?， 则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子 集，21n -个真子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A Y . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A I . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应 关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完 全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法： (1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. 步骤：取值—作差—变形—定号—判断 格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则： ()()21x f x f -=… (2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数 1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义： 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在 ))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方 程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ；

高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)

直线和圆的方程 一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系 （1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-， 当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的

区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++； （2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径； （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标 为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.

高三数学平面解析几何平面解析几何精粹

平面解析几何精粹 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝1 2(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.1 2 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y ′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则

????? x －12－y ＋12－1＝0y －1x ＋1＝－1 ，解之得? ???? x ＝2 y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1 kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43