平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结

一、向量的基本概念

1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.

注意：不能说向量就是有向线段，为什么 提示：向量可以平移.

举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB u u u r

按向量(1,3)a =-r 平移后得到的向

量是_____. 结果：(3,0)

2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0r

，规定：零向量的

方向是任意的；

3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB u u u r

共线

的单位向量是||

AB AB ±u u u r

u u u r ）；

4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a r

、b r 叫

做平行向量，记作：a r ∥b r

，

规定：零向量和任何向量平行.

注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0r )；

④三点A B C 、、共线 AB AC ?u u u r u u u r 、共线.

6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a r 的相反向量记作a -r .

举例2 如下列命题：（1）若||||a b =r r ，则a b =r

r .

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.

（3）若AB DC =u u u r u u u u r ，则ABCD 是平行四边形. （4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u u r .

（5）若a b =r r ，b c =r r ，则a c =r r .

（6）若//a b r r ，//b c r r 则//a c r r .其中正确的是 . 结果：

（4）（5） 二、向量的表示方法

1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB u u u r

，注意起点在前，终

点在后；

2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a r ，b r

，c r

等；

3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量

,i j

r r

为基底，则平面内的任一向量a r

可表示为

(,)a xi yj x y =+=r r r ，称(,)x y 为向量a r 的坐标，(,)a x y =r 叫做向量a r

的坐标表示.

结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.

三、平面向量的基本定理

定理 设12

,e e r r 同一平面内的一组基底向量，a r

是该平面内任一向量，

则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+r r r

.

（1）定理核心：11

22

a λe λe =+r r r

；

（2）从左向右看，是对向量a r 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a r 的合成.

（3）向量的正交分解：当1

2

,e e r r 时，就说11

22

a λe λe =+r r r

为对向量a r 的正交分

解．

举例3 （1）若(1,1)a =r ，(1,1)b =-r ，(1,2)c =-r ，则c =r . 结果：

1322

a b -r

r .

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B

A.1

(0,0)e =r ，2

(1,2)e =-r B.1

(1,2)e =-r ，2

(5,7)e =r C.1

(3,5)e =r ，2

(6,10)e =r

D.1

(2,3)e =-r ，2

13,24e ??

=- ???

r （3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a =u u u r r ，BE b =u u u r r ,则BC

u u u r

可用向量,a b r r 表示为 . 结果：2433

a b +r

r . （4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =u u u r u u u r ，CD rAB sAC =+u u u r u u u r u u u r

，则r s +=的

值是 . 结果：0. 四、实数与向量的积

实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作a λr ，它的长度和方向规定如

下：

（1）模：||||||a a λλ=?r r ；

（2）方向：当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同，当0λ<时，a λr 的方向与a r 的方向相反，当0λ=时，0a λ=r

r ，

注意：0a λ≠r .

五、平面向量的数量积

1.两个向量的夹角：对于非零向量a r

，b r ，作OA a =u u u r r ，OB b

=u u u r r ，则把

(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a r

，b r 的夹角.

当0θ=时，a r ，b r 同向；当θπ=时，a r ，b r 反向；当2

πθ=时，a r

，b r

垂

直.

2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a r ，b r

，它们的夹角为θ，

我们把数量||||cos a b θr r 叫做a r

与b r 的数量积（或内积或点积），记作：a b ?r

r ，即||||cos a b a b θ

?=?r r r r

.

规定：零向量与任一向量的数量积是0. 注：数量积是一个实数，不再是一个向量.

举例4 （1）ABC △中，||3AB =u u u r ，||4AC =u u u r ，||5BC =u u u r ，则AB BC ?=u u u r u u u r

_________. 结

果：9-.

（2）已知11,2a ??= ???

r ，10,2b ??=- ???r ，c a kb =+r r r ，d a b =-r r r ，c r 与d r 的夹角为4π

，则k = ____. 结果：1.

（3）已知

||2a =r ，||5b =r ，3a b ?=-r

r ，则||a b +=r r ____.

（4）已知,a b r r 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r 的夹角为____.

结果：30o

.

3.向量b r 在向量a r

上的投影：||cos b θ

r ，它是一个实数，但不一定大于

0.

举例 5 已知||3a =r ，||5b =r ，且12a b ?=r

r ，则向量a r 在向量b r 上的投影为

______. 结果：125

.

4.a b ?r r 的几何意义：数量积a b ?r r 等于a r 的模||a r 与b r 在a r

上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a r

，b r ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥??=r r

r r

；

（2）当

a r

、b r 同向时，||||a b a b ?=?r r r r ，特别地，22||||a a a a a =?=?=r r r r r

||||a b a b ?=?r r r r 是a r

、b r 同向的充要分条件；

当a r 、b r 反向时，||||a

b a b ?=-?r r r r ，||||a b a b ?=-?r r r r 是a r

、b r

反向的充要分条件；

当θ为锐角时，0a b ?>r r ，且a r

、b r 不同向，0a b ?>r r 是θ为锐角的必要不

充分条件；

当θ为钝角时，0a b ?

r ，且a r

、b r

不反向；0a b ?

r 是θ为钝角的必要不

充分条件.

（3）非零向量a r

，b r 夹角θ的计算公式：cos ||||

a b a b θ?=r r r r ；④||||a b a b ?≤r r r r .

举例6 （1）已知(,2)a λλ=r ，(3,2)b λ=r ，如果a r

与b r 的夹角为锐角，则λ的

取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13

λ≠； （2）已知

OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ?=u u u r u u u r ，若12S <，则OF u u u r ，FQ u u u r 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ??

???

； （3）已知

(cos ,sin )a x x =r ，(cos ,sin )b y y =r ，且满足|||

ka b a kb +-r

r r r

（其中0k >）.

①用k 表示a b ?r r ；②求a b ?r

r 的最小值，并求此时a r 与b r 的夹角θ的大小.

结果：①2

1(0)4k a b k k +?=>r r ；②最小值为1

2

，60θ=o

. 六、向量的运算

1.几何运算 （1）向量加法

运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则. 运算形式：若

AB a

=u u u r r ，

BC b

=u u u r r ，则向量

AC

u u u r 叫做

a

r 与b r

的和，即

a b AB BC AC +=+=u u u

r u u u r u u u r r r ；

作图：略.

注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法 运算法则：三角形法则.

运算形式：若AB a =u u u r

r ，AC b =u u u r

r

，则a b AB AC CA -=-=u u u r u u u r

u u u r

r

r

，即由减向量的终

点指向被减向量的终点.

作图：略.

注：减向量与被减向量的起点相同.

举例7 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u u r

；③

()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r

. 结果：①AD u

u u r ；②CB u u u r ；③0r

； （2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，AC c =u u u r r ，

则||a b c ++=r r r

. 结果：

（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

，则ABC △的

形状为. 结果：直角三角形；

（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足

PA BP CP ++=u u u r u u u r u u u r r

，设

||||

AP PD λ=u u u r u u u r ，则λ的值为 . 结果：2；

（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=u u u r u u u r u u u r r

，则ABC △的内角C 为 .

结果：120o

.

2.坐标运算：设11(,)a x y =r ，22(,)b x y =r

，则

（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--r

r .

举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R u u u r u u u r u u u r

，

则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12

； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =u u u r ，,(,)22

x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2

π

-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1

(3,4)F =u u r ，2

(2,5)F =-u u r ，3

(3,1)F =u u r

，则合力

123F F F F =++u u r u u r u u r u u r

的终点坐标是 . 结果：(9,1).

（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r

.

（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r

，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13

AC AB =u u u r u u u r

，3AD AB =u u u r u u u r ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3

-. （4）平面向量数量积：1212a

b x x y y ?=+r

r

. 举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =r ，(sin ,sin )b x x =r ，(1,0)c =-r

. （1）若3

x π=，求向量a r 、c r

的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=?r r 的最大值为1

2

，求λ的值.结果：（1）150o

；（2）1

2

或1

.

（5）向量的模：

2222||||a

a x y a ==+?=r r r

举例11 已知,a b r r 均为单位向量，它们的夹角为60o

，那么|3|a b +=

r r

＝ .

结果：

（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y

，则||AB =

举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，

xOy ∠=P 关于斜坐标系

的斜坐标是这样定义的：若1

2

OP xe ye =+u u u r r r

，其中1

2

,e e r r 分别为与x 轴、y 轴同

方向的单

位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .

（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；

（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2

210

x

y xy ++-=.

七、向量的运算律

1.交换律：a b b a +=+r r r r ，()()a a λμλμ=r r ，a b b a ?=?r r

r r ；

2.结合律：()a b c a b c ++=++r r r r r r ，()a b c a b c --=-+r r r r r r ，()()()a b a b a b λλλ=?=?r r r r r r

； 3.分配律：()a a a λμλμ+=+r r r

，

()a b a b λλλ+=+r r r r ，()a b c a c b c +?=?+?r r r r r r r

.

举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ?-=?-?r r r r r r r ；② ()()a b c a b c ??=??r r r r r r

；③ 222

()||2||||||a b a a b b -=-+r r

r r r r ； ④ 若

0a b ?=r

r ，则

0a =r r 或0b =r r ；⑤若a b c b ?=?r r r r 则

a c

=r r ；⑥

22

||a a =r r ；⑦

2a b b a a

?=r r r r r ；

⑧2

22()

a b a b ?=?r r

r r ；⑨2

22()2a b a a b b -=-?+r

r r

r r r .

其中正确的是 . 结果：①⑥⑨.

说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个

向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；

（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ??≠??r r r r r r

，为什么

八、向量平行(共线)的充要条件

221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ???=?-=r r r r

r r r r .

举例14 (1)若向量(,1)a x =r ，(4,)b x =r ，当x =_____时，a r 与b r 共线且方向相同. 结果：2.

（2）已知(1,1)a =r ，(4,)b x =r ，2u a b =+r r r ，2v a b =+r

r r ，

且//u v r r ，则x = . 结果：4.

（3）设(,12)PA k =u u u r ，(4,5)PB =u u u r ，(10,)PC k =u u u r ，则k = _____时，,,A B C 共线. 结

果：2-或11.

九、向量垂直的充要条件

12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=r r r r

r r r r .

特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ????+⊥- ? ? ? ?????

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 举例15 (1)已知(1,2)OA =-u u u r ，(3,)OB m =u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r

，则m = .结果：32

m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点

B

的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；

（3）已知(,)n a b =r 向量n m ⊥r r ，且||||n m =r r ，则m

=r

的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)

b a -.

十、线段的定比分点

1.定义：设点P 是直线12PP 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实

数λ ，使12PP PP λ=u u u r u u u r ，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P u u u u r

所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P u u u u r

的以定比为λ的定比分点.

2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系

（1）P 内分线段12P P u u u u r

，即点P 在线段12PP 上0λ?>；

（2）P 外分线段12P P u u u u r

时，①点P 在线段12PP 的延长线上1λ?<-，②点

P

在线段12PP 的反向延长线上10λ?-<<.

注：若点P 分有向线段12

PP u u u u r 所成的比为λ，则点P 分有向线段21

P P u u u u r

所成的

比为1

λ.

举例16 若点P 分AB u u u r 所成的比为34

，则A 分BP u u u r

所成的比为 . 结果：73

-. 3.线段的定比分点坐标公式：

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P u u u u r

所成的比为λ，则定比分

点坐标公式为12

12

,1(1).1x x x y y y λλλλλ

+?=??

+≠-?

+?=?+?

. 特别地，当1λ=时，就得到线段12PP 的中点坐标公式121

2,2

.

2

x x x y y y +?=???+?=?? 说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，1

1

(,)x y 、2

2

(,)

x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.

（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和

终点，并根据这些点确定对应的定比λ.

举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13

MP MN =-u u u u r u u u u

r ，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3

--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12

y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =u u u u r u u u u r

，则a =

r

. 结果：２或4-.

十一、平移公式

如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =r 平移至(,)P x y ''，则,

.

x x h y y k '=+??

'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =r 平移得曲线(,)0f x h y k --=.

说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

举例18 （1）按向量a r 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a r 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；

（2）函数sin 2y x =的图象按向量a r 平移后，所得函数的解析式是

cos21

y x =+，则a =r ________. 结果：(,1)4

π-. 十二、向量中一些常用的结论

1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+r r r

r r r

.

（1）右边等号成立条件： a b r r 、同向或 a b r r 、中有0r ||||||a b a b ?+=+r r r r ； （2）左边等号成立条件： a b r

r 、反向或 a b r

r 、中有0r

||||||a b a b ?-=+r

r

r r ； （3）当 a b r

r 、不共线||||||||||a b a b a b ?-<+<+r r r

r r r .

3.三角形重心公式

在ABC △中，若

11(,)

A x y ，22(,)

B x y ，33(,)

C x y ，则其重心的坐标为

123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重

心的坐标为 .结果：24,33??

- ???

. 5.三角形“三心”的向量表示

（1）1()3

PG PA PB PC G =++?u u u r u u u r u u u r u u u r

为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G

++=?u u u r u u u r u u u r r 为△ABC 的重心.

（2）PA PB PB PC PC PA P ?=?=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

为△ABC 的垂心.

（3）

||||||0AB PC BC PA CA PB P

++=?u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r

为△

ABC

的内心；向量

(0)||||AB AC AB AC λλ??+≠ ? ???

u u u r u u u r u u u u r u u u u r 所在直线过△ABC 的内心. 6.点P

分有向线段12P P u u u u r

所成的比λ向量形式

设点P 分有向线段12P P u u u u r

所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则

12

1MP MP

MP λλ

+=

+u u u u r u u u u r

u u u r ，特别地P 为有向线段12P P u u u u r 的中点12

2

MP MP

MP +?=u u u u r u u u u r

u u u r .

7. 向量

,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r

中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得

PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r

且1αβ+=．

举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，

若点C 满足1

2

OC OA OB λλ=+u u u r u u u r u u u r

,其中12,λλ∈R 且12

1λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结

果：直线AB .

平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-

为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的

取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B

平面向量知识点归纳

平面向量知识点归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

第一章 平面向量 2.1向量的基本概念和基本运算 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律： a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则 ()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． b a C B A a b C C -=A -AB =B

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．

[高二数学]平面向量的概念及运算知识总结

平面向量的概念及运算 一．【课标要求】 （1）平面向量的实际背景及基本概念 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示； （2）向量的线性运算 ①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义； ②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义 （3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 二．【命题走向】 本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。 预测2010年高考： （1）题型可能为1道选择题或1道填空题； （2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。 三．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点 的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a =+= 。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a |。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 ②零向量 长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜ ＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） ③单位向量 模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1。 ④平行向量（共线向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

平面向量知识点及方法总结总结

平面向量知识点及方法总结总结 一、平面向量两个定理 1、平面向量的基本定理 2、共线向量定理。 二、平面向量的数量积 1、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、 2、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、三坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、（4）平面向量数量积：、（5）向量的模：、 四、向量平行(共线)的充要条件、 五、向量垂直的充要条件、六、七、向量中一些常用的结论 1、三角形重心公式在中，若，，，则重心坐标为、 2、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心； 3、向量中三终点共线存在实数，使得且、 4、在中若D为BC边中点则 5、与共线的单位向量是七、向量问题中常用的方法 （一）基本结论的应用

1、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则（A）8 （B）4 （C）2 （D） 12、已知和点M满足、若存在实数m使得成立，则m= A、2 B、3 C、4 D、 53、设、都是非零向量，下列四个条件中，能使成立的条件是（） A、 B、 C、 D、且 4、已知点____________ 5、平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（） A、 B、 C、 D、6、中,P是BN上一点若则m=__________ 7、o为平面内一点，若则o是____心 8、（xx课标I理）已知向量的夹角为，则、 （二）利用投影定义

9、如图，在ΔABC中，，，，则= （A）（B）（C）（D 10、已知点、、、,则向量在方向上的投影为 A、 B、 C、 D、11设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有则 A、 B、 C、 D、 （二）利用坐标法 12、已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________、 13、（xx课标II理）已知是边长为的等边三角形，为平面内一点，的最小值是（） （三）向量问题基底化 14、在边长为1的正三角形ABC中, 设则____________、 15、（xx天津理）在中，，，、若，，且，则的值为 ___________、 16、见上第11题 （四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1、中,P是BN上一点若则m=__________

高中数学平面向量知识点总结及常见题型x

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB , a ；坐标表示法a =xi ? yj (x, y).向量 的大小即向量的模(长度)，记作| A B |即向量的大小，记作I 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = 0 = I a I = 0"由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件. (注意与0的区别) ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量a0为单位向量二I a0I = 1 ④平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a // b ■由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 亠％ =x2 小相等，方向相同(x「yj = (x2, y2)=」 y2 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法t―4 ―4 设AB 二a, BC =b，贝y a + b =AB BC = AC (1)0 a a，0二a ；( 2)向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： (1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 (2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则?向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ ? QR二AR，但这时必须“首尾相连” ? 3向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) -(-a)=a ； (ii) a+(-a)=( - a)+ a = 0 ； (iii) 若a、b是互为相反向量， 则a=-b,b = -a,a + b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差， 记作：a - b二a ? (-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点) 4实数与向量的积： ①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下： (I) a a ；

平面向量方法总结(带例题)【大全】

平面向量 应试技巧总结 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。如 下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______

（答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等； 3．坐标表示法：在平面建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基 底，则平面的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一 向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =______ （答：1 322 a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24 e e =-=- （答：B ）； （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____ （答：2433 a b +）； （4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→ ??→ ?=DB CD 2，?→ ??→ ??→ ?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ （答：0） 四．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

2019年人教版及高中数学平面向量知识点易错点归纳

§5.1 平面向量的概念及线性运算 三角形法则 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD → 且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ； 若AB →∥BC → ，则A 、B 、C 三点共线．

失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. 其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)， λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范 1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况． 2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1 y 2 ，因为x 2，y 2有可能等 于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.

高中数学平面向量知识点总结[1]

高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜ a ｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即 自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法

平面向量方法总结大全

平面向量应试技巧总结一．向量有关概念：：既有大小 又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，．向量的概念1。如：注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）rruuua （答：_____＝（－1,3按向量已知A（1,2），B（4,2），则把向量）平移后得到的向量是AB）（3,0）0；，注意：长度为2．零向量0零向量的方向是任意的的向量叫零向量，记作：ruuu ruuu AB共线的单位向量是：长度为一个单位长度的 向量叫做单位向量(与)；3．单位向量AB ruuu?||AB相等向量：长度相等且 方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；4．baba，、记作：：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥5．平行向量（也叫共线向量）。规定零向量和任何向量平行：提醒①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线平行不包含两条直线重合；r0)；（因为有③平行向 量无传递性！ruuuuuur、ACAB?共线共线；④三点C、B、A aa。如：长度相等 方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－6．相反向量rrrr）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终2，则）若。（（下列命题： 1ba?ba?ruuuuuuruuruuruu。）若（是平行四边形。，则43点相同。（）若是平行四边形，则DCDCAB??ABABCDABCD． rrrrrrrrrrrr_______）若（5，则。（6）若，则。其中正确的是cb//a//a?b,b?cb,ca?ca// 4（答：（）（5））二．向量的表示方法：1，注意起点在前，终点在后；．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ABcab，．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，2等；i为轴、轴方向相同的两个单位向量，3．坐标表示法： 在平面内建立直角坐标系，以与y x jrrr????aaa yx,＝为向量基底，则平面内的 任一向量，称可表示为的坐标，yx,?axi?yj???a y,x的坐标表示。如果向量的起 点在原点，叫做向量那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的：如果和三．平面向量 的基本定理21?aeea。如=任一向量，有且只有一对实数、＋，使???212211rrrr，则若______（1）1,2)(1,(??1),c?a?(1,1),b??crr31）；（答：ba?22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruururuur A. B. (5,7)??1,2),2)ee?(?e(0,0),e?(1,?2112uruurruruu13 C. D.

高中平面向量知识点总结

平面向量 1、 向量的定义：既有大小又有方向的量叫向量 2、 向量的表示方法 （1）几何表示：以A 为起点，以B 为终点的有向线段记作AB u u u r ，如果有向线段AB u u u r 表示 一个向量，通常我们就说向量AB u u u r . （2）字母表示：印刷时 粗黑体字母 a ， b ， c …向量 手写时 带箭头的小写字母 a ，b r … 3、向量点的长度（模） 向量的大小叫做向量的长或模，记作|AB u u u r |、｜a ｜ 4、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 a ＝0 ｜a ｜＝0 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量称为平行向量，也叫共线向量 记作a ∥b 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 即大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 6、 对于任意非零向量的单位向量是 . 7、向量的加法 （1）三角形法则 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r 对于零向量与任意向量a 的和有a a a 00 （2）平行四边形法则 已知两个不共线的向量a ，b r ，做,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则A 、B 、D 三点不共线，以 AB 、AD 为邻边作平行四边形ABCD ，则对角线上的向量AC u u u r =a +b r .

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平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： a b c a + b A A A B B B C C a +b a + b a a b b b a a

1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?a a a =+=+00 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：+=+ 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 五：实数与向量的积（强调：“模”与“方向”两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量a ρ的积，记作：λa ρ 定义：实数λ与向量a ρ的积是一个向量，记作：λa ρ 1?|λa ρ|=|λ||a ρ | 2?λ>0时λa ρ与a ρ方向相同；λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ = 2．运算定律：结合律：λ(μa ρ)=(λμ)a ρ ① 第一分配律：(λ+μ)a ρ=λa ρ+μa ρ ② 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)=λa ρ +λb ρ ③ 3.向量共线充要条件：

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平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：

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平面向量知识点专题 知识点梳理： 一、向量的基本概念 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如（其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 二、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b a ==,，则向量叫做向量a 和b 的和（或和向量），即b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 三、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 平面向量基本定理： 2.1. 如果21,e e 是同一平面内不共线的两个向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数21λλ，，使得2211e e a λλ+=。 2.2. 基底：我们把不共线的向量21,e e 叫做表示该平面内所有向量的一组基底，记为{21,e e }。2211e e λλ+叫做向量a 关于基底{21,e e }的分解式。 2.3. 平面向量基本定理又叫做平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量坐标表示的基础。 3. 线段定比分点的向量表达：如图，在△ABC 中，若点D 是边BC 上的点，且)1(-≠=λλDC BD ，则向

平面向量知识点归纳

平面向量 一．向量有关概念： 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如： 2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向 量和任何向量平行。 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0 )； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如 下列命题：（1）若a b = ，则a b = 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若 AB DC = ，则A B C D 是平行四边形。（4）若A B C D 是平行四边形，则AB DC = 。（5）若,a bb c == ，则a c = 。 （6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的 任一向量可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。 如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有 一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如 （1）若(1,1),a b == (1,1),(1,2)c -=- ，则c = ______（答：1322 a b - ）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24 e e =-=- （答：B ）； （3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b == ,则BC 可用向量,a b 表示为 _____（答：2433 a b + ）； （4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→ ?=DB CD 2，?→ ??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___ （答：0） 四．实数与向量的积：实数 λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下： ()()1,2a a λλ= 当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反， 当λ＝0时，0a λ= ，注意：λ≠0。