一元二次方程的根的性质

一元二次方程的根的性质

一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c为给定的实数，且a ≠ 0。解一元二次方程的

过程中，我们可以发现一些根的性质，对于解方程以及理解方程的含

义有着重要的帮助。本文将从根的判别式、根的个数以及根与系数的

关系等几个方面来论述一元二次方程的根的性质。

一、根的判别式

在解一元二次方程时，我们可以通过判别式Δ = b² - 4ac来判断方程

的根的情况。根据判别式的值，我们可以将根的情况分为三种：

1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。这意味着方程表示的

曲线与x轴在两个不同的点处相交，且有两个实数解。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。这意味着方程表示的曲

线与x轴在同一个点相切，且有两个相等的实数解。

3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。这意味

着方程表示的曲线与x轴没有交点，且方程没有实数解。

通过根的判别式，我们可以更好地理解一元二次方程的解的特点与

性质，对解题有着重要的指导意义。

二、根的个数与系数的关系

在一元二次方程中，根的个数与方程的系数之间存在着一定的关系。根据这个关系，我们可以推导出一元二次方程根的性质。

1. 当a ≠ 0时，如果方程有两个不相等的实数根x₁和x₂，则有以下关系成立：

- x₁ + x₂ = -b/a

- x₁ * x₂ = c/a

这意味着方程的根与系数之间具有一定的线性关系，可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。

2. 当方程有两个相等的实数根x₁=x₂时，即Δ = 0时，有以下关系成立：

- x₁ + x₂ = -b/a

- x₁ * x₂ = c/a

这说明方程的两个根相等，也可以通过根的和与积来确定方程的系数的值。

综上所述，一元二次方程的根的性质包括根的判别式、根的个数与系数的关系等。通过了解这些性质，我们可以更好地理解并解决一元二次方程相关的问题。同时，对于理解数学中的其他概念与应用也有着积极的促进作用。

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一元二次方程的根的判定

一元二次方程的根的判定 一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知常数，且a ≠ 0。解一元二次方程的关键在于判定方程是否有实根，即方程的解是否存在于实数范围内。 要判定一元二次方程的根的情况，可以通过计算方程的判别式来进行推断。方程的判别式Δ = b^2 - 4ac，其中b、a、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。根据判别式的值，可以得到以下结论： 1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根。判别式大于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和大于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有两个不同的交点，即有两个实根。 2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根。判别式等于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和等于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴有一个重合的交点，即有两个相等的实根。 3. 当Δ < 0时，方程没有实根。判别式小于零意味着方程的平方项和一次项的系数平方之和小于二次项系数与常数项的乘积的四倍，表明方程的图像与x轴没有交点，即没有实根。

通过判别式的计算和分析，可以确定一元二次方程的根的情况。根据判别式的正负与零的关系，可以得到方程的解的个数和性质。 举例来说，对于方程x^2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1。计算判别式Δ = 2^2 - 4*1*1 = 4 - 4 = 0。由于Δ = 0，所以方程有两个相等的实根。解方程得到x = -1为方程的解。 再举例来说，对于方程2x^2 + 3x - 4 = 0，其中a = 2，b = 3，c = -4。计算判别式Δ = 3^2 - 4*2*(-4) = 9 + 32 = 41。由于Δ = 41大于零，所以方程有两个不相等的实根。解方程可以使用求根公式或其他方法得到方程的解。 需要注意的是，判别式只能判断方程的解的情况，而不能直接求解方程的根。求解方程的根需要使用求根公式或其他解方程的方法。判别式的作用在于帮助判断方程是否有实根以及实根的性质。 在实际问题中，一元二次方程的根的判定常用于求解抛物线的顶点、解决物理问题中的运动方程以及经济学中的成本、收益等相关问题。对于这些问题，通过判别一元二次方程的根的情况，可以得到解的个数和性质，进而对问题进行分析和求解。 一元二次方程的根的判定是通过计算方程的判别式来推断方程的解的情况。根据判别式的值与零的关系，可以确定方程的解的个数和性质。判别式大于零时，方程有两个不相等的实根；判别式等于零时，方程有两个相等的实根；判别式小于零时，方程没有实根。判

一元二次方程的解与根的区别

一元二次方程的解与根的区别 一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，它的解和根是我们在解题过程中经常遇到的概念。虽然这两个概念有些相似，但在数学上却有着明显的区别。下面我们将详细探讨一元二次方程的解与根的区别。 一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知系数，x为未知数。解指的是方程的解集，即所有使方程成立的x的取值。根是指方程所对应的函数的自变量取值为x时，函数值为0的点。在解与根的概念中，解更偏重于方程的解集，而根则更偏重于函数与坐标轴的交点。 我们来看一元二次方程解的概念。解是指方程的解集，即所有满足方程的取值。对于一元二次方程而言，它可能有两个不同的解、一个重根或无实数解。解的个数与方程的判别式有关，判别式的值为b^2 - 4ac。当判别式大于0时，方程有两个不同的实数解；当判别式等于0时，方程有一个重根；当判别式小于0时，方程无实数解。 我们来看一元二次方程根的概念。根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点。一元二次方程可以表示一个抛物线，根即为抛物线与x 轴的交点。根的个数与抛物线与x轴的交点数有关。当抛物线与x 轴有两个交点时，方程有两个不同的实数根；当抛物线与x轴有一

个交点时，方程有一个重根；当抛物线与x轴没有交点时，方程无实数根。 一元二次方程的解与根在数学上有着明显的区别。解是指方程的解集，它的个数与方程的判别式有关；根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点，它的个数与抛物线与x轴的交点数有关。解更偏重于方程本身，根更偏重于函数与坐标轴的几何性质。 在解题过程中，我们常常需要求解一元二次方程的解或根。通过求解方程的解，我们可以得到方程的解集，从而求得方程的一些性质，如方程的零点、顶点等；通过求解方程的根，我们可以得到抛物线与x轴的交点，从而求得抛物线的开口方向、最值等。因此，对于一元二次方程的解与根的概念的理解是解题过程中的关键。 总结起来，一元二次方程的解与根是我们在高中数学中经常遇到的概念。解是指方程的解集，根是指方程所对应的函数与坐标轴的交点。解更偏重于方程的解集，根更偏重于函数与坐标轴的几何性质。在解题过程中，我们需要根据问题的要求来求解方程的解或根，从而得到问题的答案。对于解与根的概念的理解，能够帮助我们更好地理解和应用一元二次方程。

初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲

初三数学一元二次方程根与系数的关系及其应用知识精讲 一元二次方程根与系数的关系及其应用 一元二次方程ax bx c a 2 00++=≠()的根x x 12、是由系数a 、b 、c 决定的，它们之 间有密切的关系。 x x b a x x c a 1212+=- =， 这就是根与系数的关系，也称为韦达定理。 反之，一元二次方程的两根也制约着这个方程的系数，当a =1时，有()b x x =-+12， c x x =12，从而有以两个数x x 12、为根的二次项系数为1的一元二次方程是 ()x x x x x x 212120-++=。 需要指出，韦达定理应该是在判别式大于等于零的前提下使用，即在保证一元二次方程有实数根的条件下使用。 一元二次方程的韦达定理，揭示了根与系数的一种必然联系，利用这个关系，我们可以解决诸如已知一根求另一根，求根的代数式的值，构造方程，确定系数等问题，它是中学数学中的一个有用的工具。 例（2002·南京）已知：关于x 的方程x kx 2 20--= （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为x x 12、，如果()21212x x x x +>，求k 的取值范围。 解： （1）证明： ∆=-=+>b ac k 2 2 480 ∴原方程有两个不相等的实数根 （2） x x k x x 12122+==-， 又() 21212x x x x +> ∴>-∴>-22 1 k k 说明：本题侧重考察对基本知识点的掌握，难度不大，可以说是中考中的送分题，同学们应该把这类题的分数拿到手。 例（2000上海） 已知关于x 的一元二次方程()mx m x m m 2 21200--+-=>() （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根； （2）如果这个方程的两个实数根分别为x x 12、，且()()x x m 12335--=，求m 的值。 解： （1）证明：()[] ()∆=----21422 m m m =-+-+=+4414841 22m m m m m

一元二次方程有一正一负根的条件

一元二次方程有一正一负根的条件 一元二次方程有一正一负根的条件 引言 •一元二次方程是数学中的基础知识，常用于解决与二次函数相关的问题。 •一元二次方程的根对于解题至关重要，其中有一正一负根的情况特别引人注目。 定义 •一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为实数且a不等于0。 •根是指使方程成立的未知数值，称为方程的解。 一元二次方程根的分类 •一元二次方程的根可分为三种情况：两个相等的实根、两个不相等的实根和无实根。 有一正一负根的条件 •一元二次方程有一正一负根的条件为：判别式b^2 - 4ac大于0。•判别式为方程根的相关性质，它判断了根的情况。

判别式的意义 •判别式大于0说明方程有两个不相等的实根，且它们的乘积为负数。 •一正一负的根使得方程的图像在x轴上方和下方各有一个交点。 经典案例 •举例说明一元二次方程有一正一负根的条件： 1.方程x^2 - 4x + 3 = 0，的判别式为：(-4)^2 - 413 = 16 - 12 = 4，大于0。 2.由判别式大于0可知该方程有两个不相等的实根，即一个 正根和一个负根。 总结 •一元二次方程有一正一负根的条件是判别式大于0。 •这种情况下，方程的图像与x轴相交于两个不同的点，一个在上方，一个在下方。 •这种情况下，方程有两个不相等的实根，一个为正数，一个为负数。 •一元二次方程有一正一负根的条件是根据判别式来确定的，判别式为b^2 - 4ac。

•判别式大于0说明方程有两个不相等的实根，且它们的乘积为负数。 •当判别式等于0时，方程有两个相等的实根，此时方程的图像与x轴相切于某一点。 •当判别式小于0时，方程无实根，方程的图像与x轴没有交点，完全位于x轴的上方或下方。 •一元二次方程根的分类涉及到方程图像与x轴的关系。 •有一正一负根的情况是一种特殊的根的情况，它在解题过程中可能具有重要的意义。 注意事项 •在解一元二次方程时，首先需要判断方程的根的分类。 •判别式是判断方程有一正一负根的重要条件之一，需要根据实际问题进行判断。 结语 •一元二次方程有一正一负根的条件是判别式大于0。 •这种情况下，方程的图像与x轴相交于两个不同的点，一个在上方，一个在下方。 •了解一元二次方程的根的分类及其条件，有助于解决与二次函数相关的问题。

一元二次方程判别式以及根与系数关系

一元二次方程判别式以及根与系数关系知识总结 1．一元二次方程的根的判别式 (1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况由b 2－4ac 来确定．我们把b 2 －4ac 叫做 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“Δ”来表示，即Δ＝b 2 －4ac . 注意：要想利用根的判别式求解方程，首先要将方程化为一元二次方程的一般式ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，以便确定a ，b ，c 并代入b 2－4ac 计算． (2)一元二次方程的根的情况与根的判别式的关系 ①利用根的判别式判定根的情况． 一般地，方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根． ②根据方程根的情况，确定Δ的取值范围．当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0. 注意：①如果说一元二次方程有实数根，那么应该包括有两个不相等实数根或有两个相 等的实数根两种情况，此时b 2 －4ac ≥0，切勿丢掉等号． ②当b 2 －4ac ＜0时，方程在实数范围内无解(无实数根)，但在复数范围内方程仍有两个解，这将在高中阶段学习． 【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况： (1)2x 2＋3x －4＝0；(2)3x 2＋2＝26x ；(3)ax 2＋bx ＝0(a ≠0)；(4)ax 2 ＋c ＝0(a ≠0)． （3）利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围 若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2 －4ac ＞0；若一元 二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个相等的实数根，则b 2 －4ac ＝0.从而根据关于字母系数的方程或不等式求出字母系数的值或取值范围．在运用时应注意前提条件：必须是一元二次方程且符合其一般形式． 【例2】已知关于x 的方程kx 2 －4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值，并解这个方程． 【例3】当k 取何值时，关于x 的一元二次方程kx 2 ＋9＝12x ， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 2．一元二次方程的根与系数的关系 （1）如果方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根为x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .这个关系通常称为韦达定理． (1)在实数范围内运用根与系数的关系时，必须注意两个条件： ①方程必须是一元二次方程，即二次项系数a ≠0； ②方程有实数根，即Δ≥0.因此，解题时要注意分析题中隐含条件Δ≥0和a ≠0. (2)如果方程x 2 ＋px ＋q ＝0的两根是x 1，x 2，这时韦达定理应是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q . 【例4】不解方程，说明一元二次方程2x 2 ＋4x ＝1必有实数根，并求出两根之和与两根之积． （2）利用根与系数的关系确定一元二次方程 若x 1，x 2满足x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a ，那么x 1，x 2是一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的两根． 注意：(1)利用这一性质比较容易检验一元二次方程的解是否正确． (2)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2 －(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0. 【例5】已知一个关于x 的一元二次方程，它的两根为2和6，请你写出这个一元二次方程．

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别 式 Ting Bao was revised on January 6, 20021

一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1.根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为:(x+)2= 因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2.判别式的应用 (1)不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3)证明方程的根的性质； (4)运用于解综合题。 二、重点与难点

一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1不解方程，判断下列方程根的情况 (1)2x2－5x+10=0 (2)16x2－8x+3=0 (3)(－)x2－x+=0 (4)x2－2kx+4(k－1)=0(k为常数) (5)2x2－(4m－1)x+(m－1)=0(m为常数) (6)4x2+2nx+(n2－2n+5)=0(n为常数) 解：(1)⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0∴方程没有实数根 (2)⊿=(－8)2－4×16×3=0∴方程有两个相等的实数根 (3)⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0∴方程有两个不相等实根 (4)⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0∴方程有实数根 (5)⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8

一元二次方程性质

一元二次方程性质 一元二次方程是高中数学中的重要内容之一，具有广泛的应用领域。本文将从方程的定义、一元二次方程的性质以及解法等方面进行论述。 1. 方程的定义 方程是一个等式，其中含有未知数。而一元二次方程指的是只有一 个未知数，并且该未知数的最高次数为二的方程。一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，且a ≠ 0。 2. 一元二次方程的性质 一元二次方程具有以下几个重要的性质： 2.1 平方差公式 平方差公式是一元二次方程中的重要成立式，它可以用来将完全平 方的一元二次式转化为一个二次项与某个常数之差的形式。平方差公 式的具体形式为：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 和 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2。 2.2 解的性质 一元二次方程的解可以分为三种情况：实根、重根和虚根。实根指 的是方程的解为实数，重根指的是方程有两个相同的实数解，虚根指 的是方程的解为复数。解的性质与一元二次方程的判别式有关，判别 式Δ = b^2 - 4ac 的值决定了方程的解的性质。 2.3 方程与图像

一元二次方程与二次函数之间有着密切的联系。对于一元二次方程 y = ax^2 + bx + c而言，其对应的二次函数图像是一个抛物线。当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。抛物线的顶点坐 标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。 3. 解法 解一元二次方程的常用方法有以下几种： 3.1 因式分解法 当一元二次方程可以通过因式分解得到两个一次因式相乘时，可以 直接得到方程的解。例如：x^2 + 5x + 6 = 0可以因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，解得x = -2或x = -3。 3.2 公式法 一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √Δ) / 2a，其中Δ = b^2 - 4ac。通过将方程的系数代入公式，可以直接计算出方程的解。 3.3 完全平方公式 完全平方公式是一种将一元二次方程转化为一个平方量与一个常数 之和的方法。对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以通过完全平方 公式x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0得到方程的解。 4. 应用领域 一元二次方程在现实生活中具有广泛的应用。例如，抛物线的形状 在物理学中用于描述抛体的运动轨迹；在经济学中，一元二次方程常

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1. 根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其 变形为: (x+b 2a )2=b 2–4ac 4a 2 因为a≠0，所以4a 2＞0，这样一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可由b 2－4ac 来判定。 我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b 2－4ac 。 一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)， 当⊿=b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac ＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用 (1) 不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3) 证明方程的根的性质； (4) 运用于解综合题。

二、重点与难点 一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。 三、例题解析 例1 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2－5x+10=0 (2) 16x2－83x+3=0 (3) (3－2)x2－5x+10=0 (4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数) (5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数) (6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数) 解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0 ∴方程没有实数根 (2)⊿=(－83)2－4×16×3=0 ∴方程有两个相等的实数根 (3) ⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0 ∴方程有两个不相等实根 (4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0 ∴方程有实数根

一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=b²4ac 若△＞0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△＜0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 3、一元二次方程根的判别式的多种应用： 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 三、证明方程根的性质。 例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 五、判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z 七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。

一元二次方程共轭虚根

一元二次方程共轭虚根 一元二次方程是初中数学的一个重要内容，其中最基本的是 ax²+bx+c=0的形式。在解这种方程时，我们会发现有些方程根据系数 会出现“共轭虚根”的情况。那么，什么是共轭虚根呢？它和实根有 什么不同呢？下面我们来一起探讨一下。 一、共轭虚根的定义 我们先来回忆一下，二次方程ax²+bx+c=0的根可以通过求解公式 x1,2=[-b±√(b²-4ac)]/2a来得到。当判别式(b²-4ac)小于零时，根 为虚数，此时方程称为“无实根”，也就是说没有实数解。但是，我 们可以发现，在这种情况下，方程的两个根是成对出现的，它们相互 呈轴对称关系，且虚部相反，这两个根称为方程的“共轭虚根”。 二、共轭虚根的性质 1. 共轭虚根是成对出现的，它们呈轴对称关系。 2. 共轭虚根的虚部相反。 3. 一元二次方程的所有根的和等于-b/a，而共轭虚根的和是实数，也 就是说，它们的实部之和等于-b/a。 三、共轭虚根的解法 我们来看两个例子： 例1. 解方程x²+2x+5=0 根据公式x1,2=[-b±√(b²-4ac)]/2a，我们可以求得x1=-1+i√4， x2=-1-i√4，它们是一对共轭虚根，可以用a+bi的形式表达为-1±i2。

例2. 解方程2x²+4x+7=0 同样地，根据公式x1,2=[-b±√(b²-4ac)]/2a，我们可以求得x1=- 1+i√3.5，x2=-1-i√3.5，它们也是一对共轭虚根，可以用a+bi的形 式表达为-1±i√3.5。 从这两个例子中我们可以看出，解决一元二次方程的共轭虚根并不难，只需要按照公式计算，并把答案写成a+bi的形式即可。 综上所述，共轭虚根是二次方程在无实根的情况下，出现成对的虚数根。它们的性质和解法都可以以公式的形式呈现出来，同学们只需要 多加练习，就可以掌握相关的知识点，从而更好地应对各种形式的数 学问题。

一元二次方程的基本概念及性质

一元二次方程的基本概念及性解法 1、 一般式：____________，a 为____________，b 为___________，c 为________。 即时巩固: 1．方程（m 2－1）x 2 ＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2.方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2 (0)x a a =≥ 解为:________ ②2 ()(0)x a b b +=≥ 解为:__________ ③2 ()(0)ax b c c +=≥ 解为:_______ ④22 ()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:_______ 1．方程x 2 －2＝0的解是x ＝ ； (2)配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示： 2220()()022P P x Px q x q ++=⇔+-+=示例：222 33310()()1022 x x x -+=⇔--+=②二次项 的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠+ +=⇒-⇒++= (3)公式法：一元二次方程2 0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 222 4()24b b ac x a a -+=①当____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根： ② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________ ③ 当__________________时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ∆=-，并判断方程解的情况。③代公式：1,2x =(4)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如：2 0(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠⇔+= 适合用提供因式，而且其中一个根为0 24120(6)(2)0x x x x --=⇔-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=⇔-+= 课堂巩固： 1、若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 22 12x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．

一元二次方程的根的性质与解的唯一性讲解

一元二次方程的根的性质与解的唯一性讲解一元二次方程是代数学中的重要概念，它涉及到根的性质和解的唯 一性问题。本文将详细讲解一元二次方程的根的性质以及解的唯一性，帮助读者更好地理解和应用该知识。 一、一元二次方程的定义与一般形式 一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是已 知常数，而x是未知数，且a ≠ 0。一般形式的一元二次方程包括三个 系数。 二、一元二次方程的解的定义 一元二次方程的解即满足方程的x值，也就是能够使方程两边等于 0的x值。解可以是实数解或者复数解。 三、一元二次方程的根的性质 1. 实根与复根 一元二次方程的根可以分为实根和复根两种情况。 实根是指方程的解为实数，能够在实数范围内找到对应的x值，使 得方程成立。例如，x^2 - 4x + 3 = 0的解x = 3和x = 1即为实根。 复根是指方程的解为复数，无法在实数范围内找到对应的x值，使 得方程成立。例如，x^2 + 4 = 0的解x = ± 2i即为复根，其中i为虚数 单位。

2. 根的数量 一元二次方程的根的数量与方程的判别式有关，判别式Δ = b^2 - 4ac。 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根； 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根； 当Δ < 0时，方程有两个共轭的复根。 3. 根的性质 一元二次方程的根具有以下特点： （1）有理根和无理根 根可以分为有理根和无理根两种。 有理根是指能够表示为两个整数的比的根，例如1、2、-3等都为有理根。 无理根是指不能表示为两个整数的比的根，例如√2、√3等都为无理根。 （2）根的和与根的积 设方程的两个根为α和β，则有以下关系： α + β = -b/a α * β = c/a

一元二次方程求根公式中加减根号下的加减

一元二次方程求根公式中加减根号下的加减 加减根号下的加减是一元二次方程求根公式中的重要部分。一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是已知的实数，a不等于0。求解一元二次方程的根是代数学中的基本问题之一，而求根公式则是解决这一问题的关键。 一元二次方程的求根公式是通过对方程进行变形和推导得到的。根据求根公式，一元二次方程的根可以表示为： x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a) 在这个公式中，加减根号下的加减起到了重要的作用。根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ=b^2-4ac。判别式的值决定了方程的根的性质。 首先考虑加号的情况。如果Δ大于0，即b^2-4ac大于0，那么方程有两个不相等的实根。这是因为判别式大于0意味着方程的平方项和常数项的影响相对较小，导致方程的图像与x轴相交于两个不同的点。 接下来考虑减号的情况。如果Δ小于0，即b^2-4ac小于0，那么方程没有实根。这是因为判别式小于0意味着方程的平方项和常数项的影响较大，导致方程的图像与x轴没有交点。 最后考虑判别式等于0的情况。如果Δ等于0，即b^2-4ac等于0，

那么方程有两个相等的实根。这是因为判别式等于0意味着方程的平方项和常数项的影响相互抵消，导致方程的图像与x轴相交于同一个点。 通过以上分析，我们可以看出加减根号下的加减在一元二次方程求根公式中的重要性。它决定了方程的根的性质，即方程有两个不相等的实根、没有实根还是有两个相等的实根。这对于解决实际问题、解析几何以及其他数学领域的研究都具有重要意义。 除了求根公式之外，还有其他方法可以求解一元二次方程，例如配方法、因式分解和图像法等。但是求根公式是一种通用的方法，适用于任意给定的一元二次方程，而且可以直接得到方程的根的具体值。 在实际应用中，一元二次方程求根公式经常被用于解决各种问题。例如，在物理学中，可以利用一元二次方程求根公式来计算抛体运动的轨迹和落点；在经济学中，可以利用一元二次方程求根公式来求解供需平衡和利润最大化等问题。 加减根号下的加减在一元二次方程求根公式中起到了关键作用。它决定了方程的根的性质，即方程有两个不相等的实根、没有实根还是有两个相等的实根。求根公式是解决一元二次方程的通用方法，具有广泛的应用价值。通过掌握和理解求根公式，我们可以更好地解决实际问题，提高数学和科学的应用能力。

谈整系数一元二次方程根的性质

谈整系数一元二次方程根的性质 谈整系数一元二次方程根的性质 _________________________________________________________________ 一元二次方程是最基础的数学方程，它可以用来表达一个问题或者描述一个事件的发展趋势。求解一元二次方程的根，有助于我们对于数学问题或者事件进行有效的分析。 一、整系数一元二次方程的定义 一元二次方程是指满足ax²+bx+c=0的一元二次方程，其中a、b、c是常数，a≠0，它们称为方程的系数。 二、整系数一元二次方程根的性质 1. 如果a>0，则方程有两个不同实根； 2. 如果a<0，则方程有两个不同虚根； 3. 如果a=0，则方程有一个重根。 三、整系数一元二次方程根的特征

1. 一元二次方程的根可以由一元二次方程的根的性质来判断：如果a>0，则有两个不同实根；如 果a<0，则有两个不同虚根；如果a=0，则有一个重根。 2. 求解一元二次方程的根可以用判别式来判断：如果D=b²-4ac>0，则有两个不同实根；如果 D=b²-4ac=0，则有一个重根；如果D=b²-4ac<0，则有两个不同虚根。 3. 一元二次方程的根可以用一元二次方程的根公式来求解：x1=(-b+√D)/2a,x2=(-b-√D)/2a；当 D>0时，x1和x2是两个不同实根；当D=0时，x1和x2是相同的重根；当D<0时，x1和x2 是两个不同虚根。 四、整系数一元二次方程根的应用 1. 整系数一元二次方程根的性质和特征可以用来解决多元函数的最大值和最小值问题。因为当函数在定义域内取得最大值或最小值时，它的一阶导数和二阶导数都会变成0；而一阶导数和二阶导数之间的关系可以表述为一元二次方程。因此，可以通过求解这个方程来得出函数在定义域内取得最大值或最小值的情况。 2. 整系数一元二次方程根的性质和特征也可以用来解决复杂的物理问题。例如：圆周运动中的半径、圆心速度、加速度之间的关系也可以表述为一元二次方程；而由此可以得出圆周运动中物体所受的加速度、圆心速度和半径之间的关系。 五、总结 从上述分析可以看出，整系数一元二次方程是最基础的数学方程，它可以用来表达一个问题或者描述一个事件的发展趋势。它有特定的性质和特征：如果a>0，则有两个不同实根；如果a<0，则 有两个不同虚根；如果a=0，则有一个重根。此外，它还可以用来解决多元函数的最大值和最小值

一元二次方程的解集和根与系数的关系

一元二次方程的解集及其根与系数的关系 丹东市教师进修学院宋润生 只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是 2 (二次)的整式方程叫做一 元二次方程.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c = 0(a#0),其中ax2是二次项，a是 二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项. 一、一元二次方程的解集 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.一元二次方程的解(根)的集合叫做一元二次方程的解集. 设一元二次方程ax2+bx+c =0(a #0)的解集为M , A=b2—4ac. b .,?b2 -4a c -b：b2 _4ac (1)当A>0 时，M =4 % —止，%—^ac}. 2a 2a , …-b (2)当4=0 时，M =W 二b 2a (3)当A<0 时，M =0 . 例1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x-4=0； (2) ax2+bx =0(a #0) ； x2-bx+b2+1 = 0 例2.已知关于x的方程kx2—2 (k+1) x+k —1=0有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k,使此方程的两个根是互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解： (1)(-1矶(0,~), 3 2 “+x2 =0,所以2(k+1)=0, k = —1 ,不满足△A0,所以不存在实数k,使此k 方程的两个根是互为相反数. 二、一元二次方程根与系数的关系

当A>0时，一元二次 方程有ax 2 +bx+c = 0(a¥0)有两个不相等的实数根 -b b -4ac -b - . b -4ac b = --------------------------------------------- 十 ----------------------------------------------- =—— 2a 以二次项系数所得的商的相反数； 两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商 .这就是 元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理(法国数学家弗朗索瓦・韦达( Fran? ois Vi e te , 1540—1603)). 韦达定理的应用 (1)不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 x i 、见的对称式的值.此时，常常涉 及代数式的一些重要变形； 例如： ① x 12 +x 22 =(x 1 +x 2)2 -2x 1x 2. x i x 2 ③ x 1x 22 +x 12x 2 =x 1x 2(x 1 +x 2). ④泡土 国 x 2)2 -2. x i x 2 ⑤(x 1 -x 2)2 =(x 1 +x 2)2 -4x 1x 2. x1 = -b b 2 -4ac 2a -b - b 2 -4ac F”, ,x 2 = ------------------------------------------ .那么 2a X i X i X 2 = -b . b 2 -4ac -b - . b 2 -4ac (-b)2 -(, b 2 -4ac)2 2a 2a 4a 2 △ =0时，一元二次 方程有ax 2 + bx +c =0(a #0)有两个相等的实数根 x 1 =x 2=——.那么 x 1 +x ? = 2a a .2 b 4a c c xi x2 = 2 - 2"—— 4a 4a a 如果 2 一 一 .................... 一次万程 ax +bx+c = 0(a #0)的两个实数根是 xjx 2, b x 1 x 2 =—— 那么 a c x i x 2 - - a 也就是说，对于任何一个有实数根的 二次方程, 两根之和等于方程的一次项系数除 2a x 1 x 2 x 1x 2

一元二次方程△和根及系数关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【教学目标】 目标一：一元二次方程的判别式 目标二：一元二次方程根与系数的关系 【课程教授】 目标一：一元二次方程的判别式 【知识讲解】 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 中，ac b 42 -叫做一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 知识点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42 -的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002 ≠=++a c bx ax 中， （1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42 -﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42 -=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42 -﹤0. 【例题讲解】 例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：

(1) 2x 2+3x-4=0 (2)ax 2 +bx=0(a≠0) 例2、不解方程，判别方程根的情况：2 210x ax a -++= 例3、若关于x 的一元二次方程2 210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）． A ．1k >- B ．1k >-且0k ≠ C ．1k < D ．1k <且0k ≠ 【堂上练习一】 1. 下列方程，有实数根的是( ) A ．2x 2 +x+1＝0 B ．x 2 +3x+21＝0 C ．x 2 -0.1x-1＝0 D ．2 2230x x -+= 2．一元二次方程2 0(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是 （ ） A ．2 40b ac -= B ．2 40b ac -> C ．2 40b ac -< D ．2 40b ac -≥ 3．关于x 的一元二次方程2 620x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．92k ≤ B ．92k < C ．92k ≥ D ．9 2 k > 4．已知关于x 的方程x 2 -2x+k ＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 5．已知一元二次方程x 2 -6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __． 6.m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2 -（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.