函数概念、单调性、奇偶性
§2.1.1函数的概念与图象
[自学目标]
1．体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数的概念； 2．了解构成函数的要素有定义域、值域与对应法则； [知识要点]
1．函数的定义：)(x f y =，A x ∈.
2．函数概念的三要素：定义域、值域与对应法则. 3．函数的相等. [预习自测]
例1．判断下列对应是否为函数： （1）2
,0,;x x x R x
→
≠∈ （2）,x y →这里2
,y x =,.x N y R ∈∈
练习：（1）,{A R B x ==∈R ︱0x >}，:f x y x →=；
（2）,:3A B N f x y x ==→=-；
（3）{A x R =∈︱0}x >
，,:B R f x y =→=
（4）{0A x =≤x ≤6},{0B x =≤x ≤3},:2
x
f x y →=
分析：判断是否为函数应从定义入手，其关键是是否为单值对应，单值对应的关键是元素对应的存在性和唯一性。
例2． 下列各图中表示函数的是------------------------------------------[
]
]
x
C ．2
x y =与2)1(+=x y D ．)(x f =∣x ∣，)(x g =2
x
[课内练习]
1．下列四组函数中，表示同一函数的是----------------------------------( ) A
．y 32y x =-
B ．2
y x =和y x x = C ．y x =和y = D ．y x =和2
y =
2．下列四个命题
（1）f(x)=x x -+-12有意义; （2）)(x f 表示的是含有x 的代数式 （3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；
（4）函数y=?????<-≥0
,0
,2
2x x x x 的图象是抛物线，其中正确的命题个数是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
3.下列函数中，不满足(2)2()f x f x =的是( )
A. ()||f x x =
B. y x x =-
C. ()1f x x =+
D. ()f x x =-
４．设=
)(x f 1,1
1
±≠-+x x x ，则)(x f -等于--------------------------------[ ] A ．
)
(1
x f
B ．)(x f -
C ．)
(1
x f -
D ． )(x f
5.已知f(x)=23,12
3,25
x x x x ?--≤≤?-<
6．已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f
=
7. 10．若12)(
2
+=
x x f ，1)(-=x x
g ，求)]([x g f ，)]([x f g .
§2.1.1函数的概念与图象（2）
[自学目标]
掌握求函数定义域的方法以及步骤； [知识要点]
1、函数定义域的求法：
(1)由函数的解析式确定函数的定义域； (2)由实际问题确定的函数的定义域；
(3)不给出函数的解析式，而由)(x f 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域。 [预习自测]
例1．求下列函数的定义域：
（1）()1f x x x =+- （2）)(x f =
x x -1（3）1
()21f x x
=+ （4）)(x f =+-x 5x -21
分析：如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母0≠的实数的集合；如果()f x 是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的表达式≥0的实数的集合。★注意定义域的表示可以是集合或区间。
例2．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架
围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出其定义域
例3．若函数=y )(x f 的定义域为[]1,1-,求函数(1)f x +的定义域；
变式训练：⑴已知)(x f 的定义域为[2,2-]，求)21(x f -的定义域； ⑵若函数(1)f x +的定义域为[]1,1-，求函数(1)f x -的定义域.
[课内练习]
１．函数()1
f x x x
=-的定义域是―――――――――――――――――（ ） Ａ．(),0-∞
Ｂ．()0,+∞
Ｃ．[0,)+∞
Ｄ．Ｒ
２．函数f(x)的定义域是[
1
2,1]，则y=f(3-x)的定义域是―――――――――（ ） A ［0,1］ B ［2，52］ C ［0，5
2
］ D (),3-∞
３．函数()f x =()0
11x x -+-的定义域是：
[归纳反思]
１．函数定义域是指受限制条件下的自变量的取值； ２．求函数的定义域常常是归结为解不等式和不等式组； [巩固提高]
1．函数y =2
1x -+12
-x 的定义域是----------------------------[ ] A ．[1-，1] B ．（),1[]1,+∞-∞-Y C ．[0，1] D ．{1,1-}
2．已知)(x f 的定义域为[2,2-]，则)21(x f -的定义域为------------[ ] A ．[2,2-] B ．[]23,21-
C ．[]3,1-
D ．[,2-]2
3 3．函数0
1x y x x
+=
-的定义域是------------------------------------[ ]
A ．{}
0x x > B ．{}0x x < C ．{}0,1x x x <≠- D ．{}
0,1x x x ≠≠-
4．函数y =
x
x 1
+的定义域是 5．函数)(x f =1+x 的定义域是 ；值域是 。 6．函数1
1y x
=-的定义域是：
§2.1.2 函数的表示方法
[自学目标]
1.了解表示函数有三种基本方法:图象法、列表法、解析法;理解函数关系的三种表示方法具有内在的联系，在一定的条件下是可以互相转化的.
2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式.
3.了解简单的分段函数的特点以及应用. [知识要点]
1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法.
在表示函数的基本方法中,列表法就是直接列表表示函数,图象法就是直接作图表示函数,而解析法是通过函数解析式表示函数.
2.求函数的解析式,一般有三种情况 ⑴根据实际问题建立函数的关系式; ⑵已知函数的类型求函数的解析式; ⑶运用换元法求函数的解析式; 3．分段函数
在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数; 注意:
①分段函数是一个函数,而不是几个函数;
②分段函数的定义域是x 的不同取值范围的并集;其值域是相应的y 的取值范围的并集
[例题分析]
例1． 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示
x({}1,2,3,4x ∈)成的函数，并指出该函数的值域．
例2．（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)的表达式；
（2）已知f(2x-3)= 2
x +x+1，求f(x)的表达式；
例3．画出函数()f x x =的图象，并求(3)f -，(3)f ，(1),f -(1)f ，((2))f f -
变式⑴ 作出函数()1f x x =+ ()2f x x =-的图象；
⑵作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象,探究：是否存在0x 使得f(0x
)=
例4．已知函数2
5,1,(),11,2, 1.x x f x x x x x +≤-??=-<
(1)求f(-3)、f[f(－3)] ； （2）若f(a)=
1
2
,求a 的值．
[课堂练习]
1.若f(f(x))=2x －1，其中f(x)为一次函数，求f(x)的解析式．
2.已知f(x-3)＝221x x ++，求f(x+3) 的表达式．
3．如图，根据y=f(x) (x R ∈)的图象，写出y=f(x)的解析式．
[归纳反思]
1. 函数关系的表示方法主要有三种: 解析法,列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺点,千万不能
误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数;
2. 函数的解析式是函数的一种常用的表示方法,要求两个变量间的函数关系,一是要求出它们之间的对
应法则,二是要求出函数的定义域;
3. 无论运用哪种方法表示函数,都不能忽略函数的定义域;对于分段函数,还必须注意在不同的定义范
围内,函数有不同的对应关系,必须先分段研究,再合并写出函数的表达式. [巩固提高]
1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是-------------------------------( )
2．已知()223f x x =+,则()f x 等于---------------------------( ) A.32x +
B.3x +
C.32
x
+ D.23x + 3．已知一次函数的图象过点()1,0以及()0,1，则此一次函数的解析式为------（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．1y x =- D ．1y x =--
4．已知函数()()()2
21122(2)x x y f x x x x x +≤-??==-<?
，且()3f a =，则实数a 的值为---（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．3-
D ．3
5．若函数()2
,(),(1)1,f x x mx n f n m f =-+==-则()5f -=
6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（kg ）与其运费（元） 由如图的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为 7．画出函数2
x 0,f(x)=x
0,
x x ≥??
f(32+)+f(32-)的值．
8．画出下列函数的图象
(1) y=x －︱1－x ︱ (2)
21,02,0x x y x x ?+≤=?->?
9．求函数y=1－︱1－x ︱的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积．
10．如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，它沿着折线 BCDA 由点B （起点）向A （终点）运动．设点P 运动的路程为x ， △APB 的面积为y.
(1)求y 关于x 的函数表示式，并指出定义域； （2）画出y=f(x)的图象．
函数的单调性（一）
[自学目标]
1．掌握函数的单调性的概念
2．掌握函数单调性的证明方法与步骤 [知识要点]
1．会判断简单函数的单调性（1）直接法 （2）图象法 2．会用定义证明简单函数的单调性：（取值 ， 作差 ， 变形 ， 定号 ， 判断） 3．函数的单调性与单调区间的联系与区别 [预习自测]
1．画出下列函数图象，并写出单调区间：
⑴ 22
+-=x y ⑵ )0(1≠=x x
y
2．证明x x f -=)(在定义域上是减函数
[课内练习]
1．判断1)(2-=x x f 在（0，+∞）上是增函数还是减函数 2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞，0）上是增函数还是减函数 3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A ）y=
x 1 （B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2
)12(-x 4． 函数y=x
1
-1的单调递 区间为
5．证明函数 f （x ）=-2x +x 在（
2
1
，+∞）上为减函数
[归纳反思]
1．要学会从“数”和“形”两方面去理解函数的单调性
2．函数的单调性是对区间而言的，它反映的是函数的局部性质 [巩固提高]
1．已知f （x ）=（2k+1）x+1在（-∞，+∞）上是减函数，则（ ） （A ）k ＞
21 （B ）k ＜21 （C ）k ＞-21 （D k ＜-2
1 2．在区间（0，+∞）上不是增函数的是 （ ） （A ）y=2x+1 （B ）y=32x +1 （C ）y=
x
2
（D ） y=32x +x +1 3．若函数f （x ）=2x +2（a-1）x+2在区间（-∞，4）上为增函数，则实数a 的取值范围是 （ ） （A ） a ≤ -3 （B ）a ≥-3 （C ）a ≤ 3 （D ）a ≥3 4．如果函数f （x ）是实数集R 上的增函数，a 是实数，则 （ ） （A ）f （2a ）＞f （a+1） （B ）f （a ）＜ f （3a ） （C ）f （2a +a ）＞f （2a ） （D ）f （2a -1）＜f （2a ） 5．函数y=
1
1
+x 的单调减区间为 6．函数y=1+x +x -2的增区间为 减区间为 7．证明：21
)(x
x f =在（0，+∞）上是减函数
8．证明函数x
x x f 1
)(+=在（0，1）上是减函数
9．定义域为R 的函数f （x ）在区间（ —∞，5）上单调递减，对注意实数t 都有)5()5(t f t f -=+，那么f （—1），f （9），f （13）的大小关系是
10．若f （x ）是定义在[]1,1-上的减函数，f （x-1）＜f （2x -1），求x 的取值范围
函数的单调性（二）
[自学目标]
1．理解函数的单调性，最大（小）值及其几何意义 2．会求简单函数的最值 [知识要点]
1．会用配方法，函数的单调性求简单函数最值 2．会看图形，注意数形语言的转换 [预习自测]
1．求下列函数的最小值 （1）x
y 1
= ，[]3,1∈x （2）)0(,1≠+=a ax y ，[]3,1∈x
2．已知函数1)(2
-+=mx x x f ，且f(-1)= -3，求函数f(x)在区间[2，3]内的最值。
[课内练习]
1．函数f(x)=-2x+1在[-1，2]上的最大值和最小值分别是 （ ） （A ）3，0 （B ）3，-3 （C ）2，-3 （D ）2，-2 2．x
y 1
=
在区间(]1,2--上有最大值吗？有最小值吗？ 3．求函数[]0,2,322
-∈+-=x x x y 的最小值
4．已知f(x)在区间[a,c]上单调递减，在区间[c,d]上单调递增，则f(x)在[a,d] 上
最小值为
5．填表已知函数f(x),的定义域是F ，函数g(x)的定义域是G ，且对于任意的G x ∈，F x g ∈)(，试
[归纳反思]
1．函数的单调形是函数的重要性质之一，在应用函数的观点解决问题中 起着十分重要的作用
1． 利用函数的单调性来求最值是求最值的基本方法之一 [巩固提高]
1．函数y=-x 2
+x 在[-3,0]的最大值和最小值分别是 （ ） （A ）0，-6 （B ）
41 ，0 （C ）4
1
，-6 （D ）0，-12 2．已知二次函数f(x)=2 x 2
-mx+3在(]2,-∞-上是减函数，在[)+∞-,2上是增函数， 则实数m 的取值是 （ ）
（A ） -2 （B ） -8 （C ） 2 （D ） 8
3．已知函数f(x)=a x 2
-6ax+1 (a ＞0)，则下列关系中正确的是 （ ）
（A ） f(2) ＜f(3) （B ） f(5)＜ f(3) （C ）f(-1)＜ f(1) （D ）f(2) ＞ f(3) 4． 若f(x)是R 上的增函数，对于实数a,b,若a+b ＞0,则有 （ ） （A ） f(a)+ f(b) ＞f(-a)+ f(-b) （B ）f(a)+ f(b) ＜f(-a)+ f(-b) （C ） f(a)- f(b) ＞f(-a)- f(-b) （D ）f(a)- f(b) ＜f(-a)-f(-b) 5．函数y=-x
2
+1在[1，3]上的最大值为 最小值为
6．求函数y=-2 x 2
+3x-1在[-2，1]上的最值
7．求 []2,0,12)(2
∈--=x ax x x f 上的最小值
8．已知函数f(x)是R 上的增函数，且f(x 2
+x) ＞ f(a-x)对一切x ∈R 都成立， 求实数a 的取值范围
9．已知二次函数c bx x x f ++=2
)((b 、c 为常数)满足条件：f(0)=10，且对任意实数x ，都有f(3+x)=f(3-x)
（1）求f(x)的解析式；
（2）若当f(x)的定义域为[m ，8]时，函数y=f(x)的值域恰为[2m ，n]，求m 、n 的值.
函数的奇偶性
[自学目标]
1．掌握奇函数、偶函数的定义 2．会判断和证明函数的奇偶性 [知识要点]
1．奇、偶函数的定义
2．奇偶函数的图象与性质（等价性） 3．函数奇偶性的判断方法和步骤 [预习自测]
例1．判断下列函数是否具有奇偶性
(1) x x f 2)(= (2)2
)1()(-=x x f （3）0)(=x f (4)()1,0,1)(2
∈-=x x x f
（5）x x x f -+-=11)( (6)x x x x f 32)(35++=
例2．已知函数x
x x f 1)(-= ⑴判断奇偶性 ⑵判断单调性 ⑶求函数的值域
例3．若f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2| ,求x<0时f(x)的表达式.
变式：若f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2| ,求x<0时f(x)的表达式. [课内练习]
1．奇函数y=f(x),x ∈R 的图象必经过点 （ ）
A ．（a,f （-a ））
B ．（-a,f （a ））
C ．（-a, -f （a ））
D ．（a, f （
a
1）） 2．对于定义在R 上的奇函数f(x)有 （ ）
A ．f(x)+f(-x)＜0
B ．f(x) -f(-x)＜0
C ．f(x) f(-x)≤0
D ．f(x) f(-x)＞0 3．已知8)(3
5
-++=bx ax x x f 且f(-2)=0，那么f(2)等于
4．奇函数f(x)在1≤x ≤4时解吸式为54)(2
+-=x x x f ，则当-4≤x ≤-1时，f(x)最大值为
5．f(x)=nx mx x ++2
3
为奇函数，y=32
++nx x 在（-∞，3）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数，则m= n= [归纳反思]
1．按奇偶性分类，函数可分为四类：（1）奇函数 （2）偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数 （4）既非奇函数又非偶函数 2．在判断函数的奇偶性的基本步骤：（1）判断定义域是否关于原点对称 （2）验证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x) 3．可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性 [巩固提高]
1．已知函数f(x)在[-5，5]上是奇函数，且f(3) ＜f(1),则 （ ） （A ）f(-1) ＜f(-3) （B ）f(0) ＞f(1) （C ）f(-1) ＜f(1) （D ）f(-3) ＞f(-5)
2．下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 （ ）
（A ）y=x 1 （B ）y=1
12+x （C ）y=0 , x ∈[-1，2] （D ）y=1
2+x x
3．设函数f(x)=
2
11x
a x ---是奇函数，则实数a 的值为 （ ）
（A ） -1 （B ） 0 （C ） 2 （D ） 1
4．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是 （ ） （A ）增函数且最小值为-5 （B ）增函数且最大值为-5 （C ）减函数且最大值为-5 （D ）减函数且最小值为-5
5.若偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1
(21)()3
f x f -<的x 的取值范围是（ ）
A ．12(,)33 B. 12[,)33 C . 12(,)23 D. 12[,)23
6.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则(1)g =（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 7．如果二次函数y=ax 2
+bx+c (a ≠0)是偶函数，则b=
8．若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则 f(0)= 9．已知函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，且为偶函数，则f(-π)，f(-3
1
), f(3)之间的大小关系是
10．f(x)为R 上的偶函数，在（0，+∞）上为减函数，则p= f(4
3
-
)与q= f(12+-a a ) 的大小关系为
11.已知函数(1)f x -为奇函数，(3)f x +为偶函数，(0)1f =，则(8)f = .
12.若函数2
()(2)31f x m x mx =--+为偶函数，则()f x 的单调递增区间为 .
13．已知函数f(x) 为R 上的偶函数，在[0，+∞）上为减函数，f(a)=0 (a>0) 求xf(x)<0的解集
高一函数单调性奇偶性经典练习
函数单调性奇偶性经典练习 一、单调性题型 高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法： 121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>??> 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21()3 x f x x -= +在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法） 练习2 证明函数2()f x x =-2()3 -∞，上为增函数（定义法、快速判断法） 练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法) 练习4 求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法） （复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习） （二） 函数单调性的应用 例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2 (2)(3)f x x f a +>+恒成立，求实数a 的范围。 练习1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2()(3)f x f a >-恒成立，求实数a 的范围 练习2 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2()(32)f a f a >+恒成立，求实数a 的范围 例2 若函数()f x 是定义在[]22-，上的减函数，且2(23)()f m f m +>恒成立，求实数m 的取值范围. 练习1 若函数()f x 是定义在[]13-，上的减函数，且(23)(54)f m f m +>-恒成立，求实数m 的取值范围.
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 函数的单调性与奇偶性综合 【课时目标】 1、能准确判断函数的单调性与奇偶性 2、会灵活利用函数的单调性与奇偶性求参数或参数的取值范围 3、能够解决抽象函数的单调性与奇偶性的问题 【基础训练】 1、单调性： （1）函数||2x x y +-=，单调递减区间为 （2）函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的取值范围是 （3）已知函数2()(3)2f x ax a x =+++在区间[1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 ___ （4）已知()f x 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是____________ — 2、奇偶性： （1）下列函数具有奇偶性的有 ①x x y 13+= ②x x y 2112-+-= ③x x y +=4 ④?? ???<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y （2）函数1()f x x x =-的图像关于__________对称 （3）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =__________ （4）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则_______ 【例题精讲】 例1、已知()f x 是偶函数，而且在0(,)+∞上是减函数．判断()f x 在0(,)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明 例2、()f x 是定义在R 的奇函数，且()f x 在0(,)+∞上是增函数，10()f =，则不等式0()()f x f x x --<的解集为_________________ } 练习：已知()f x 是定义在(3,3)-上的偶函数，当0 x ≤< ()f x 的图象如右图，则不等式(1)()0x f x -?≤ 变：()f x 是定义在22[,]-的奇函数，且()f x 在02[,]上单调递减，若1()()f m f m -<，则实数m 的取值范围是________________ … 例3、已知函数()1).f x a =≠ （1）若0a >，则()f x 的定义域是 (2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是______________ 例4：（1）函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x · （2）函数()y f x =的图象关于点(1,1)对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x 专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性 一、典例分析 1.求函数值 例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ） （A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5. 例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。 2、比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(1998 1x x f =试比较)1998( f 、)17101(f 、)15 104(f 的大小. 3、求函数解析式 例 4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当 0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，. 4)3(2)(2 +--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 4、判断函数奇偶性 例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 5、确定函数图象与x 轴交点的个数 例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在 函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D. 抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 高一数学必修1-函数的单调性和奇偶性的综 合应用 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN - 1 - 高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用（第一课时） 对称有点对称和轴对称： 数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。 1、函数的单调性：应用：若()y f x =是增函数，12()()f x f x > ? 1x 2x 应用：若()y f x =是减函数，12()()f x f x > ? 1x 2x 相关练习：若()y f x =是R 上的减函数，则(1)f 2(22)f a a ++ 2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b =+、k y x = 、2y ax bx c =++ 相关练习：若()f x ax =，()b g x x =-在(,0)-∞上都是减函数，则2()f x ax bx =+在(0,)+∞上是 函数（增、减） 3、函数的奇偶性： 定义域关于原点对称，()()f x f x -= ? ()f x 是偶函数 定义域关于原点对称，()()f x f x -=- ? ()f x 是奇函数 O 点对称：对称中心O 轴对称： - 2 - （当然，对于一般的函数，都没有恰好()()f x f x -=±，所以绝大部分函数都不具有奇偶性） 相关练习：（1）已知函数21()4f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的奇函数，且(1)5f =，求a 、b (2)若2()(2)(1)3f x K x K x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 。 (3)若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)f = 。 (4)函数()y f x =的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像 4、单调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】 相关练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数()y f x =在(,0)-∞上是减函数，则()f x 在(0,)+∞上是 函数（增、减） (2) 已知()f x 为奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则当0x <时，()x = (3)R 上的偶函数在(0,)+∞上是减函数，3()4 f - 2(1)f a a -+ (4)设()f x 为定义在（(,)-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞为增函数，则(2)f -、()f π-、 偶函数奇函数奇函数奇函数 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3．函数11y x x = +--的值域为（ ） A ．( ]2,∞- B ．(] 2,0 C ．[ ) +∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2 80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . d d 0 t 0 t O A ． d d 0 t 0 t O B ． d d 0 t 0 t O C ． d d 0 t 0 t O D ． （一）函数的单调性 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 教学容概要 教学容 【知识精讲】 一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型：()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=??? ? ??。 ⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+= +1。 如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。 二、奇偶函数的性质： 奇函数：（1）()()f x f x -=-； （2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =； （3）图像关于原点对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）()()f x f x -=； （3）图像关于y 轴对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相反； 三、函数单调性的逆用： 若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x .(1x 2,x D ∈). 四、不等式恒成立问题的解法 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。 【经典例题】 函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用 例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线2 1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性 解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n = 因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n = 从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0 例2、（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22 c f f ==<0，∴c a b <<，选D. 例3、（安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 解析：由()()12f x f x +=得()() 14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-==--+。 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一 般都比较灵活。本题应直观理解()() 12f x f x += “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。 例4、设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （）等于（ ） A.0.5 B.－0.5 D.－ 高中数学：函数单调性和奇偶性的综合练习及答案 1.下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的函数是（） A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2－|x| 2.f（x）＝x2＋|x|（） A.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 B.是偶函数，在（－∞，＋∞）上是减函数 C.不是偶函数，在（－∞，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）是增函数 3.已知函数f（x）＝3x－（x≠0），则函数（） A.是奇函数，且在（0，＋∞）上是减函数 B.是偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数 C.是奇函数，且在（0，＋∞）上是增函数 D.是偶函数，且在（0，＋∞）上是增函数 4.定义在R上偶函数f（x）在[1,2]上是增函数，且具有性质f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）（） A.在[－1,0]上是增函数 B.在[－1，－]上增函数，在（－，0]上是减函数 C.在[1,0]上是减函数 D.在[－1，－]上是减函数，在（－，0]上是增函数 5.f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（） A.f（x）＋f（－x）是偶函数且是增函数 B.f（x）＋f（－x）是偶函数且是减函数 C.f（x）－f（－x）是奇函数且是增函数 D.f（x）－f（－x）是奇函数且是减函数 6.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上的解析式为f（x）＝x＋1，下列大小关系正确的是（） A.f（1）>f（2） B.f（1）>f（－2） C.f（－1）>f（－2） D.f（－1） 7.已知f（x）是偶函数，对任意的x1，x2∈（－∞，－1]，都有（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]<0，则下列关系式中成立的是（） A.f 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (ｋ≠0) f(x+y)＝f(x)＋ｆ（y) 幂函数 ｆ（ｘ)=x n f(xy)=f （x)f(y) ［或) y (f )x (f )y x (f = ] 指数函数 f(ｘ）=a x (a>０且a ≠1） ｆ(x+y ）=f(x ）ｆ(ｙ) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x ）=lo ｇa ｘ (a 〉0且ａ≠1) f(xy)=f(x ）+ｆ(y) ［)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x ）=si ｎx f （ｘ)=cosx f(ｘ+T ）=f(x ） 正切函数 f(x ）＝ｔanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(ｘ)＝co ｔx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 1。已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠，求证()f x 为偶函数。 证明：令x =0， 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y ＝0则2(0)f =２(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =１∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。 ２．奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2 (1)(1)0f m f m -+-<得2 (1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2 (1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在（—1，1)内递减,∴2 21111110111m m m m m -<--? 3。如果()f x =2 ax bx c ++(a 〉0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2 ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f （2）最小，f （1)=f (3)∵在［２,+∞）上,()f x 为增函数 ∴f （3）〈f （4),∴f (2）〈f (1）〈f (4） 4。 已知函数f (x ）对任意实数ｘ,y ,均有ｆ(x +y )＝f (x )＋f (y ),且当x >0时，f (ｘ)＞０，f (－1）=－2,求f (x )在区间［－2，1]上的值域。 分析:由题设可知，函数f (x )是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域,关键在于研究它的单调性。 解：设，∵当 ,∴ ， ∵, ∴ ，即,∴f （x )为增函数. 在条件中,令y ＝－x ,则，再令x ＝ｙ=０,则f (０）=２ f (0)，∴f （0）＝0,故ｆ（－ｘ)＝f (x ）,ｆ(x )为奇函数， ∴f (1）=－f （－1）＝2,又f （－２)＝２ f （－1）=-４， ∴ｆ(x ）的值域为［－4，2]。 专项5函数单调性、奇偶性、周期性、对称性综合 有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像的综合问题，历来都是一个难点，并且几乎是必考的重点内容，它考察的 内容应该说是非常多的，综合性也是非常强的，而且不易想，因而，对很多同学來说，十分头疼，在这一章节内容上, 我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路，基于此，我们从以下几个方面讲这部分内容。 第一个问题，就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式，求另一段的解析式”这样的问题，最为基础题，同学 们一定要知道怎么解决这种问题，但是对于求确切的/(G )的问题，这里的。代指一个确切的常数，我们可以不求出另 一 ?段上的解析式，我们采取“进/退周期”的方式，什么意思呢？就是如果讣我们求的于(G )中的。不在己经解析式的 定义域上，对于比定义域右端点值大的，要根据周期定义每次减一个周期，逐步将其转化到已知解析式的定义域之上, 比如，题目让我们求/(13),我们通过分析发现该函数的周期为2,而我们只知道XG (0,2).上的解析式，那么我们就 可以“退周期”，即/(13) = /(2x6+l) = /(l),即只需要求出这个/(I)就是了，同理，对于比定义域小的，我们用 同样方法，可以“进周期”，求解相关问题。 第二个问题，我们必须要说这个周期的问题，周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了，但是函数中却经 常出现，而且不算是超纲内容，这一点需要大家知道，不能因为函数教材屮没有讲就认为不需要掌握，但是有一点需 要大家知道，那就是对于周期性，我们更多的是记住一些结论，推到这些结论是不要求的，因此，我们在这里总结这 些结论，希望大家都记住。 如果一个函数满足= + 则这个函数就是以。为一个周期的函数，这里要强调“一个周期”，事实上，弦/都 是这个函数的周期，也就是说/(x) = f(ka + x), /(x) = f(ka-x), /(x) = f(x-a),还有一?些有关周期的拓展定义: 第三个问题，是有关于图像的问题，特别是图像的做法，有很多是需要掌握对称性规律的，相关的对称性规律结论请 回顾复习专项4,专项4屮有比较基础的对称性总结函数关于兀轴、y 轴、坐标原点对称的规律；特别强调下列三种函 数l.f(x)l,/(lg(x)l),/(g(lxl))，这三种绝对值加到不同地方的函数图像本身的对称性规律要掌握好。 奇函数、偶函数、反函数和一些常见的函数，如对号函数等的对称性 对于耍求函数有几个零点或者两个函数有几个交点的问题，作图是最主耍的方法，作图的吋候，一定要按照我们学过 的函数图像的三种变换进行画图，从授基本的图形开始画，通过平移、对称一步一步的得到我们想要的函数图像，做 图的过程小，如果有带有绝对值，一定要想着使丿IJ 相应带有绝对值的作图规律，坚决不允许通过描点连线的方式进行 作图。 下面开启做题Z 旅，下面的这些题，淘汰、更换历经了很长时间，不论简单还是难度稍微大些，都是非常好的试题， 一定要认认真真完成，对于错题，还要进行总结分析。 1. /⑴为奇函数,g ⑴= /(x) + 9,g(2) = 3,则/(2)= _______________ 2. .f(x)为定义在/?上的奇函数，当xhO 时，/(Q = 2" + 2x + b ，则/(-1)= _____________ ①弘+沪_卍)；②弘+沪命；③弘+沪 1 /(x ) ,则函数/(兀)的周期为2a 。 函数的单调性与奇偶性 1．若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 A.))(,(a f a -- B. ))(,(a f a - C. ))(,(a f a - D. ))(,(a f a --- 2．下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 A. x y = B. x y -=3 C. x y 1= 42+-=x y 3．下列判断中正确的是 A ．2)()(x x f =是偶函数 B ．2)()(x x f =是奇函数 C ．1)(2-=x x f 在[-5，3]上是偶函数 D ．23)(x x f -=是偶函数 4．若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 5．已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|<1的解集是 A ．(－1,2) B ．(1,4) C ．(－∞,－1]∪[4,+ ∞) D ．(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 6.已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0函数的单调性与奇偶性综合
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