巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性

反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙．

一、求代数式的值 例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数6y x =

的图象交于A 11()x y 、，22()x y 、 两点，那么2121()()x x y y --的值为

方法一 设正比例函数的解析式是y kx =，与反比例函数6y x =

联立方程，消去y 得到260kx -=

由韦达定理，可知121260,x x x x k

+==

又1122.,y kx y kx ==

∴2121()()x x y y -- 2121()()x x kx kx =--

221()k x x =-

21212()4k x x x x ??=+-?? 604k k ??=- ?-?

? =24

方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，

12x x =-且，12y y =-

∴2121()()x x y y --

2222()()x x y y =++

22424x y ==

这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的

对称性不可忽视．

反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y x =的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来

体验一下．

二、求比例系数k

例2 如图1，已知直线2y x =-+分别与x 轴y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k y x =

交于E ，F 两点，若AB =2EF ，则k 的值是

方法一 将直线2y x =-+与反比例函数k y x =

联立方程，得到220x x k -+-= 由韦达定理，可知12122,x x x x k +==

又EF = 12

AB 2122x - 得244411

b a

c k a --== 解得34

k = 方法二 由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数2y x =-+都关于直线y x =

对称，又AB =2EF ，故有BF =FM =ME =AE ．

而A (2，0)，B (0，2)，

所以F 13(,)22，易得34k =

． 三、图形面积问题

例3 如图2，过点O 作直线与双曲线(0)k y k x

=≠交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点c ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴，y 轴上分别取点E ，F ，使点A ，E ，F 在同一条直线上，且AE =AF 设图中矩形OCBD 的面积为1s ，△EOF 。的面积为2s ，则1s ，2s 的数量关系是

解析 设A (m ，一n )，过点O 的直线与双曲线k y x

=

交于A ，B 两点，则A ，B 两点关于原点对称，则B (一m ，n )．

矩形OCBD 中，易得

OD =n ，OC =m ，

则1s =mn ．

在Rt △EOF 中，AE =AF ，

故A 为EF 中点，

OF =2n ，OE =2m ，

则2s =12

×OF ×OE =2mn ， 故21s =2s ．

例4如图3，反比例函数(0)k y k x

=>的图象与以原 点(0，0)为圆心的圆交于A ，B 两点，且A (13)，

图中阴影部分的面积等于 ．(结果保留π)

解析 由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB 的面积．再利用图形关于直线y x =对称，可知B 31)，所以，

∠BOX =30°，∠AOX =60°，

易得3

S ππ=2扇形AOB 302=360． 从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数y x b =+或y x b =-+相

结合的问题，利用轴对称比较方便；而当反比例函数与正比例函数y kx =y 或圆相结合的时 候，中心对称必然能发挥作用．总之，利用反比例函数的对称性，要先观察，再计算(数形 结合)，这样会比直接代数运算方便很多．

专题14反比例函数图像的对称性

专题14反比例函数图像的对称性 方法技巧：①当k1+k2=0时， 反比例函数与的图像关于x 轴，y 轴对称；②反比例函数的图像既是轴对称也是中心对称图形，它的对称轴是直线y= 一、妙用反比例函数的图像的轴对称性 1、如图 l 1是反比例函数在第一象限的函数图象， 且过点A （2,1），l 1与l 2关于x 轴对称，那么图像l 2的 函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿（x ＞0） 2、双曲线的对称轴的对称轴有（ ） A 、0条 B 、1条 C 、2条 D 、3条 3、如图以O 为圆心，半径为2的圆与双曲线（x ＞0）交于 A 、 B 两点，若AB 的长度为 ，则k=＿＿＿＿＿＿ 4、如图直线y=x-1交x 轴D ，交双曲线 （x ＞0）于B ，直线y=2x 交双曲线（x ＞0）于A ，若OA=OB ，求k 的值。 二、妙用反比例函数的图像的中心对称性 5、若直线y= -2x 与双曲线交于（1，-2），则另一个交点坐标为＿＿＿＿＿＿ 6、已知直线y=kx （k ＜0）与双曲线 交于A （x 1,y 1），B （x 2，y 2）两点，则3x 1y 2-8x 2y 1=＿＿＿＿＿＿ 7、如图点P （3a ，a ）是双曲线（x ＞0）与圆O 的一 个交点，图中阴影部分的面积为10π。 （1）k=＿＿＿＿＿＿； （2）某同学在圆O 内做随机扎针实验，针头落在阴影区域 内的概率为＿＿＿＿＿＿ 8、如图点A （3,5）关于原点O 的对称点为点C ，分别过点A 、C 作y 轴的平行线，与双曲线（0＜k ＜15）交于点B 、D ，连接AD 、BC ，AD 与x 轴交于点E （-2,0）。 （1）k=＿＿＿＿＿＿；（2）阴影部分的面积之和是＿＿＿＿＿＿

第26章 反比例函数的图象及双曲线的对称性(含详细答案解析及考点分析)

第26章反比例函数的图象及双曲线的对称性 一．选择题（共14小题） 1．（2015?黔东南州）若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（） A．B．C．D． 2．（2015?兰州）在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（） A．B．C．D． 3．（2015?柳州）下列图象中是反比例函数y=﹣图象的是（） A．B．C． D． 4．（2015?温州模拟）在同一坐标系中（水平方向是x轴），函数y=和y=kx+3的图象大致是（）

A．B．C．D． 5．（2015?广东模拟）函数y=﹣x+1与函数在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C． D． 6．（2015秋?龙安区月考）函数y=kx+b与函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象正确的是（） A．B．C． D． 7．（2015?上海模拟）下列函数的图象中，与坐标轴没有公共点的是（） A．B．y=2x+1 C．y=﹣x D．y=﹣x2+1

8．（2015?泰兴市校级二模）已知反比例函数，当x＞0时，它的图象在（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2015?江宁区二模）如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 10．（2014?宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（） A．（2，3）B．（3，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3） 11．（2014?兴化市二模）反比例函数y=和正比例函数y=mx的图象如图．由此可以得到方程=mx的实数根为（） A．x=﹣2 B．x=1 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=1，x2=﹣2 12．（2014?江东区模拟）对于反比例函数y=﹣图象对称性的叙述错误的是（） A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称 C．关于直线y=﹣x对称D．关于x轴对称 13．（2014秋?宝安区期末）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB、两点，分别以AB、两点为圆心，画与x轴相切的两个圆，若点A的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）

2019中考数学专题练习-反比例函数图像的对称性(含解析)

2019中考数学专题练习-反比例函数图像的对称性（含解析） 一、单选题 1.如图，直线y=-x与双曲线y=相交于A（-2，1）、B两点，则点B坐标为( ) A. (2,-1) B. (1,-2) C. (1,-) D. (,-1) 2.如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y= （k2≠0）的图象交于M，N两点．若点 M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（） A. （﹣1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （1，﹣2） D. （﹣2，﹣1） 3.如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y＝的图象交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（) A. -3 B. -2 C. -1 D. -4 4.如图，反比例函数y＝的图象与直线y=kx（k＞0）相交于A、B两点，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC 的面积等于（）个面积单位．

A. 4 B. 5 C. 10 D. 20 5.已知直线y=kx（k＞0）与双曲线y= 交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（） A. ﹣6 B. ﹣9 C. 0 D. 9 6.关于双曲线的对称性叙述错误的是（） A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于直线y=﹣x对称 7.如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） A. y= B. y= C. y= D. y= 8.如图，有反比例函数，的图象和一个圆，则S阴影=（） A. π B. 2π C. 3π D. 无法确定 9.如果正比例函数y=ax（a≠0）与反比例函数y= （b≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（﹣3，﹣2），那么另一个交点的坐标为（） A. （2，3） B. （3，﹣2） C. （﹣2，3） D. （3，2）

反比例函数图像的对称性

数学实验：反比例函数图像的对称性 教学背景： 《反比例函数》是苏科版数学八年级下学期的重要内容之一，对于反比例函数图像对称性的学习，学生往往局限于初步的感性认识，对称性结论的了解，缺乏推理证明和深入的思考，一方面是教材中没有对应的教学内容，可以不花过多精力学习；另一方面证明有一定的难度，需要一定的教学时间，所以教学时往往是一带而过。这就导致学生对反比例函数图像的对称性只能停留在了解的层面上，遇到问题很难与对称性相结合，快速简便的解决问题。 数学实验的意义： 数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物。数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所 学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。借助于计算机的技术和数学软件包的应用，为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容，使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算，促进了数学同其他学科之间的结合，从而使学生有时间去做更多的创造性工作。 教学目标： 借助于透明纸片和几何画板软件，验证反比例函数图像的对称性，发展几何直观。 教学重点难点： 借助于几何画板软件和平面直角坐标系内对称点的坐标的特点证明反比例 函数图像的对称性。 教学用具： 透明纸片、大头针（或图钉）、剪刀、几何画板软件的多媒体教学一体机、 苏科版八年级数学《实验手册》. 教学过程： 1.提出问题：反比例函数图像具有对称性吗？ 2.数学实验：苏科版八年级数学《实验手册》P39 （1）验证反比例函数图像的中心对称图形； （2）验证反比例函数图像是轴对称图形. 3.几何画板验证中心对称性：

4.推理证明： （1）为什么反比例函数的图像是中心对称图形？ （2）为什么反比例函数的图像是轴对称图形？ 5.结论： 反比例函数既是中心对称图形，又是中心对称图形. 6.实验感受： 遇到问题时，要敢于提出问题，经历大胆猜想，操作验证，理论证明等探 索过程，最终解决问题. 7.典型应用 例题1：求点的坐标 如图，直线与双曲线的一个交点A是（3，2），则它们的另一个交点B的坐标是. 例题2：求面积 如图，正比例函数和反比例函数的图像相交于A、B两点.分别以A、B为圆心紧挨着x轴画圆，点A的坐标为（2，1）,求图中两个阴影部分面积的和是.

知识点196 反比例函数图象的对称性(填空题)

一、填空题（共50小题） 1、（2011?西宁）反比例函数的图象的对称轴有2条． 考点：反比例函数图象的对称性。 分析：任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条． 解答：解：沿直线y=x或y=﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条．故答案为：2． 点评：此题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴． 2、（2011?乌鲁木齐）正比例函数y=kx的图象反比例函数y=的图象有一个交点的坐标是（﹣ 1，﹣2），则另一个交点的坐标是（1，2）． 考点：反比例函数图象的对称性。 专题：探究型。 分析：根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可． 解答：解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（﹣1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（1，2）． 故答案为：（1，2）． 点评：本题考查的是比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键． 3、（2011?黔南州）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图象上，则图中阴影部分的面积等于π（结果保留π）． 考点：反比例函数图象的对称性。 专题：计算题。 分析：根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为一个圆的面积来解． 解答：解：由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积． ⊙A和x轴y轴相切， 因而A到两轴的距离相等，即横纵坐标相等， 设A的坐标是（a，a）， 点A在函数y=的图象上，因而a=1． 故阴影部分的面积等于π．

巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性 反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙． 一、求代数式的值 例1 如果一个正比例函数与一个反比例函数6y x = 的图象交于A 11()x y 、，22()x y 、 两点，那么2121()()x x y y --的值为 方法一 设正比例函数的解析式是y kx =，与反比例函数6y x = 联立方程，消去y 得到260kx -= 由韦达定理，可知121260,x x x x k +== 又1122.,y kx y kx == ∴2121()()x x y y -- 2121()()x x kx kx =-- 221()k x x =- 21212()4k x x x x ??=+-?? 604k k ??=- ?-? ? =24 方法二 反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以， 12x x =-且，12y y =- ∴2121()()x x y y -- 2222()()x x y y =++ 22424x y == 这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的

对称性不可忽视． 反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y x =的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来 体验一下． 二、求比例系数k 例2 如图1，已知直线2y x =-+分别与x 轴y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k y x = 交于E ，F 两点，若AB =2EF ，则k 的值是 方法一 将直线2y x =-+与反比例函数k y x = 联立方程，得到220x x k -+-= 由韦达定理，可知12122,x x x x k +== 又EF = 12 AB 2122x - 得244411 b a c k a --== 解得34 k = 方法二 由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数2y x =-+都关于直线y x = 对称，又AB =2EF ，故有BF =FM =ME =AE ． 而A (2，0)，B (0，2)， 所以F 13(,)22，易得34k = ． 三、图形面积问题 例3 如图2，过点O 作直线与双曲线(0)k y k x =≠交于A ，B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点c ，作BD ⊥y 轴于点D ．在x 轴，y 轴上分别取点E ，F ，使点A ，E ，F 在同一条直线上，且AE =AF 设图中矩形OCBD 的面积为1s ，△EOF 。的面积为2s ，则1s ，2s 的数量关系是 解析 设A (m ，一n )，过点O 的直线与双曲线k y x = 交于A ，B 两点，则A ，B 两点关于原点对称，则B (一m ，n )． 矩形OCBD 中，易得 OD =n ，OC =m ，

反比例函数对称性研究

反比例函数对称性研究 万安中学 侯来合 2011/11/1 反比例函数既是轴对称图形又是中心对称图形，深刻理解反比例函数对称性，可以更好地运用反比例函数对称性解决问题。 【反比例函数中心对称性研究】 中心对称：将一个图形上的各点与一个定点O 的连线延长一倍，延长线的端点所组成的图形，叫做与原图形关于点O 成中心对称，点O 叫做对称中心。 在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于原点的中心对称点坐标为N （-a,-b ）即平面直角坐标系中关于原点的中心对称点坐标，横坐标互为相反数，同时纵坐标也互为相反数。 在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上任意一点M （a,b ），那么它关于原点的 中心对称点坐标为N （-a,-b ）也一定在反比例函数y=x k (k ≠0)的图象上，由中心对称定义可知，反比例函数y=x k (k ≠0)的图象双曲线关于点O 成中心对称， 对称中心是坐标原点o, 【例1】已知反比例函数y=x k (k ﹥0)的图象与y=mx 和 y=nx 相交与A B C D 四点，那么四边形ABCD 是（ ） A 梯形 B 平行四边形 C 矩形 D 正方形 分析：因为反比例函数y=x k (k ﹥0)，y=mx ，y=nx 均关于点O 成中心对称，所以交点A 与C ， B 与D ，关于点O 成中心对称，所以AO=OC OB=OD ，所以 四 边形ABCD 是平行四边形 故选（B ）

【例2】已知：反比例函数y=x k 1与直线y=k 2x 相交与A （-1，m ）B(n,3) 求： (1) mn (2) 反比例函数和正比例函数的解析式 解：∵y=x k 1与y=k 2x 均关于原点O 中心对称 ∴ A 关于原点O 中心对称与B ∴m=-3 n=1 ∴mn=-3 ∴A(-1,-3) ∴-3= 1 1 k -3=k 2x(-1) ∴k 1=k 2=3 ∴两函数的解析式为y=x 3和y=3x 【反比例函数轴对称性研究】 现证明一个结论的正确性，然后再利用该结论说明反比例函数轴对称性。 在平面直角坐标系中，任意一点M （a,b ）关于y=x 的对称点坐标为N(b,a) 关于y=-x 的对称点坐标为H (-b,-a) 证明如下：如图，连接OM ON 并过M 做MP ⊥Y 轴 MQ ⊥X 轴 在⊿OPM 和 ⊿OQN 中 OP=OQ=b PM=NQ=a ∠ MPO = ∠NQO=900 ∴⊿OPM ≌⊿OQN ∴OM=ON ∠ MOP = ∠NOQ 又因为Y=X 平分∠XOY 所以∠XOR=∠YOR=45度 所以∠MOR=∠NOR 由等腰三角形三线合一性质 可知 直线y=x 垂直平分MN 所以点M 点N 关于直线y=x

反比例函数的对称性

1、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上 的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等如果 存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图2，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行 四边形OPCQ 周长的最小值． 2、如图1，已知双曲线y ＝x k （k ＞0）与直线y ＝k ′ x 交于A ，B 两点，点A 在第一象限．试解答下列问题： （1）若点A 的坐标为（4，2）则点B 的坐标为_____________；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为_____________； （2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y ＝x k （k ＞0）于P ，Q 两点，点P 在第一象限． ①说明四边形APBQ 一定是平行四边形； ②设点A ，P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m ，n 应满足的条件；若不可能，请说明理由． 变式：已知反比例函数y= x k （k >0),与直线y=2 1 x 交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4，过原点O 的另一直线与双曲线交于P 、Q 两点，若由A 、P 、B 、Q 组成的平行四边形面积 为24，求点p 的坐标？

3.如图，A 、B 是函数2 y x = 的图像上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ．S =2 B ．S =4 C ．2＜S ＜4 D ．S ＞4 4．如图，点A 、B 是函数y ＝x 与 x y 1= 的图象的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四 边形ACBD 的面积为( )． 5如图,已知直线 12y x = 与双曲线(0)k y k x =>交A ，B 两点，且点A 的横坐标为4. （1）求k 的值； （2）若双曲线 (0)k y k x = >上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线 (0)k y k x = >于P ，Q 两点（P 点在第一象限） ，若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．

初三数学反比例函数定义图像对称性

反比例函数 定义、图像、对称性 一、反比例函数的定义： 1、（2018玄武区期末）下列关系中，两个变量之间为反比例函数关系的是（ ） A 、长40米的绳子减去x 米，还剩下y 米 B 、买单价3元的笔记本x 本，花了y 元 C 、正方形的面积为S ，边长为a D 、菱形的面积为20，对角线的长分别为x,y 2、（2018玉林）等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是（ ） A 、正比例函数 B 、一次函数 C 、反比例函数 D 、二次函数 3、（2018郴州模拟）下列函数中，表示y 与x 的反比例函数的是（ ） A 、11-= x y B 、x y 2= C 、x y 2= D 、x y 2= 4、（2018庆阳期中）下列函数中，是反比例函数的是（ ） A 、x k y = B 、023=+y x C 、02=-xy D 、12-= x y 5、（2018万山区月考）已知函数52)2(--=m x m y 是反比例函数，则m 的值为（ ） A 、2 B 、-2 C 、2或-2 D 、任意实数 6、（2017宝丰县期末）若函数22)1(--=m x m y 是反比例函数，则m 的值为（ ） A 、1或-1 B 、-1 C 、1 D 、0

二、反比例函数的图像： 1、（2018铜仁市模拟）在同一坐标系中，正比例函数x y 2=与反比例函数x y 2 - =的图像大致是（ ） 2、（2018孟津县期中）函数x m y - =与)0(≠-=m m mx y 在同一平面直角坐标系中的大致图像是（ ） 3、（2018牡丹江三模）在同一直角坐标系中，函数x k y = 与k kx y +=的大致图像是（ ） 4、（2018江都区期末）一次函数n mx y +=与反比例函数x n m y -=，其中n m mn ,,0<均为常数，它们在同一坐标系中的图像可以是（ ） 5、（2018上城区二模）y 关于x 的函数)0,0(<>+= m n m x n y 的图像可能是（ ）

巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性 反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而 且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙. 一、求代数式的值 6 例1如果一个正比例函数与一个反比例函数y —的图象交于A(x,、％), (x2、y2) x 两点，那么(x2 xj(y2 yj的值为_______________________ 方法一设正比例函数的解析式是y kx，与反比例函数y 6联立方程，消去y得 x 到kx2 6 0 由韦达定理，可知％ x20,x,g2— k 又y! kx「y2 kx2, ???(X2 xj(y2 y i) (X2 X i)(kx2 kx i) kg X i)2 k (N x2)24x i x2 6 k 0 4g k =24 方法二反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以， X i x且，y i y2 ??? (X2 x i)( y2 y i) (X2 X2)(y2 y2) 4x2y224

这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的

对称性不可忽视. 反比例函数的对称有两种?一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y x的 轴对称?其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来体验一下. 二、求比例系数k k 例2 如图1,已知直线y x 2分别与x轴y轴交于A, B两点，与双曲线y — x 交于E, F两点，若AB=2EF,则k的值是 _______________ k 2方法一将直线y x 2与反比例函数y —联立方程，得到x2 2x k 0 3 解得k - 4 对称，又AB=2EF,故有BF=FM=ME=AE. 而A(2, 0), B(0, 2), 1 3 3 所以F(1,-)，易得k -. 2 2 4 三、图形面积问题 例3如图2,过点O作直线与双曲线y -(k x 0）交于A,B两点，过点B作BC丄x 轴于点c,作BD丄y轴于点D.在x轴，y轴上分别取点E, F,使点A, E, F在同一条直线上，且AE=AF设图中矩形OCBD的面积为$ , △ EOF。的面积为勺，则S1, S2的数量关系是 解析设A（m, 一n ），过点O的直线与双曲线y 于原点对称，则B（一m, n）. 矩形OCBD中，易得 OD= n , OC=m ,k 一交于A, B两点，贝U A, B两点关x ￥ 由韦达定理，可知x-i x22,X i gx2 k 又EF= 1 AB= 2 --.2 = J2 X!X2 4 4k 1 方法二由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数y x 2都关于直线y x

知识点196 反比例函数的图象的对称性(选择题)

一、选择题（共30小题） 1、（2010?深圳）如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（） A、y= B、y= C、y= D、y= 考点：反比例函数图象的对称性。 专题：转化思想。 分析：根据P（3a，a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式． 解答：解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积， 则圆的面积为10π×4=40π． 因为P（3a，a）在第一象限，则a＞0，3a＞0， 根据勾股定理，OP==a． 于是π=40π，a=±2，（负值舍去），故a=2． P点坐标为（6，2）． 将P（6，2）代入y=， 得：k=6×2=12． 反比例函数解析式为：y=． 故选D． 点评：此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式． 2、（2010?江西）如图，反比例函数图象的对称轴的条数是（） A、0 B、1

考点：反比例函数图象的对称性。 分析：任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条． 解答：解：沿直线y=x或y=﹣x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条． 故选C． 点评：本题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴． 3、（2009?乌鲁木齐）如图，正比例函数y=mx与反比例函数y=（m、n是非零常数）的图象交于A、B两点．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（） A、（﹣2，﹣4） B、（﹣2，﹣1） C、（﹣1，﹣2） D、（﹣4，﹣2） 考点：反比例函数图象的对称性。 分析：此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标． 解答：解：∵正比例函数y=mx与反比例函数y=的两交点A、B关于原点对称， ∴点A（1，2）关于原点对称点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选C． 点评：本题考查了反比例函数图象的对称性．函数知识的考查是每年中考必考知识，解决这类题目关键是平时要多积累规律． 4、（2009?贵阳）已知正比例函数y=2x与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，若A点的坐标为（1，2），则B 点的坐标为（） A、（1，﹣2） B、（﹣1，2） C、（﹣1，﹣2） D、（2，1） 考点：反比例函数图象的对称性。 分析：解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可． 解答：解：由已知可得，解这个方程组得，x1=1，x2=﹣1，则得y1=2，y2=﹣2， 则这两个函数的交点为（1，2），（﹣1，﹣2）， 因为已知A点的坐标为（1，2），故B点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选C． 点评：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，同学们要熟记才能灵活运用． 5、（2008?临沂）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=交于A，B两点，若A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B （x2，y2），则x1y2+x2y1的值为（）

反比例函数的对称性与性质-中考题.doc

一、选择题（共30小题） 1、（2010?深圳）如图所示，点P （3a, a ）是反比例函数y 二左（k>0）与O0的一个交点, X ） B 、y=5 C 、y=— X X 2、（2010*江西）如图，反比例函数异图象的对称轴的条数是（ ） X 3、（2008*临沂）如图，直线y 二kx （k>0）与双曲线y=2交于A, B 两点，若A, B 两点的坐 X B （X2，y2），则 X1Y2+X2Y1 的值为（ ） A 一 I T B 、1 C 、2 D 、3 图中阴影部分的面积为10e 则反比例函数的解析式为（ A 、y=- X D> y=— X B 、4 C 、 -4 D 、0 B 、（ - 2, 4） C 、（ -4, - 2） D 、（2, -4） 》、0 -8

4、（2006?贵港）已知正比例函数y二kx的图象与反比例函数尸工^的图彖的一个交点坐标 x 是（1, 3）,则另一个交点的坐标是（） A、（?1,?3） B、（?3,?1） C、（?1,?2） D、（?2,? 3） 5、（2005?宿迁）如图，直线y=2x与双曲线y注的图象的一个交点坐标为（2, 4）,则它们

6、（2008*西宁）已知函数y 二-上屮，x>0吋，y 随x 的增大而增大，则y=kx - k 的大致图 象为（ ） 7、 （2008*茂名）已知反比例函数y 二卫（曲0）的图彖，在每一象限内，y 的值随x 值的增大 x 而减少，则一次函数尸?ax+a 的图象不经过（ ） A 、第一?象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 8、 （2008*怀化）设反比例函数y=?上（kHO ）中，y 随x 的增大而增大，则一次函数y 二kx ? x k 的图象不经过（ ） A 、第一象限 B 、第二彖限 C 、第三彖限 D 、第四彖限 9、（2003*山西）己知反比例函数尸上（30）,当x>0时，y 随x 的增大而增大，那么一次 x 函数y=kx - k 的图象经过（ ） A 、第一、第二、三象限 C 、第一、三、四象限 4 ? /? / / 0 / < X A. A B. C B 、第一、二、四象限 D 、第二、三、四彖限 10、（2020?宁德）反比例函数y 二丄 （x>0 ）的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值（ B 、减小C 、不变 D 、先减小后增 11、（2010?黑河）已知函数y 二丄的图象如图, 当 x> - 1 H't ，y 的取值范围是（ ）

知识点196反比例函数图象的对称性(解答题)

一、解答题（共2小题） 1、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于π． 考点：反比例函数图象的对称性。 分析：根据反比例函数的对称性，阴影部分的面积正好构成圆，利用圆的面积公式即可求解．解答：解：阴影部分的面积正好构成圆，圆的半径r=1， 则面积S=πr2=π． 故答案是：π． 点评：本题主要考查了反比例函数的对称性，理解阴影部分的面积正好构成圆是关键． 2、（1）点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣3，6）． （2）反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为 y=﹣． （3）求反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式． 考点：反比例函数图象的对称性；关于x轴、y轴对称的点的坐标。 专题：计算题。 分析：（1）此题只需根据“两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数”即可得到对称点的坐标； （2）此题只需根据“两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数”即可求得关于y 轴对称的函数的解析式； （3）此题只需根据“两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数”即可求得关于x 轴对称的函数的解析式． 解答：解：（1）由于两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数； 则点（3，6）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，6）； （2）由于两反比例函数关于y轴对称，比例系数k互为相反数； 则k=﹣3， 即反比例函数关于y轴对称的函数的解析式为y=﹣； （3）由于两反比例函数关于x轴对称，比例系数k互为相反数； 则反比例函数（k≠0）关于x轴对称的函数的解析式为：y=﹣．

故答案为：（﹣3，6）、y=﹣． 点评：本题考查了反比例函数的对称性，要求同学们熟练掌握．