全同粒子体系
全同粒子
本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念
1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、
质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：
由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧
H 的交换对称性
考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r
与自旋变量i S ，)
,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧
H 写为
∑∑<++?-=j
i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧
H 显然是不变的，记为
),,,(?21t q q q q q H P N
j i ij ∧
),,,(?21t q q q q q H N
i j = ),,,(?2
1
t q q q q q H
N
j
i
= （2） ij P ∧
称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为
0,=??
?
???∧∧H P ij （3）
1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧
对波函数的作用
设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i Φ描述，则有
),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij Φ=Φ∧
（4）
根据全同性原理，Φ∧
ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即
Φ=Φ∧
λij P （5） 上式用ij P ∧
再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即
Φ=Φ=Φ=Φ∧
∧
22λλij ij
P P （6）
由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性
当λ＝+1时，则Φ=Φ∧
ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为
对称波函数，记为S Φ 。
当λ＝-1时，则Φ-=Φ∧
ij P ，表示交换两个粒子后波函数变号，这时的波函数称为
反对称波函数，记为A Φ 。
可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。
另外，由于0,=??
?
???∧∧H P ij ，可见ij P ∧
是守恒量，即全同粒子体系波函数的交换对称性不隨
时间而变化。
1.5 全同粒子的分类
实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。 （1）凡是自旋为 整数倍的粒子),2,1,0( =s 所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例如，π介子)0(=s ，α粒子（S ＝0），基态的He(S=0)，光子（S ＝1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose)—爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。
（2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子),2/3,2/1( =s ，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称的。例如，电子、质子、中子等，S ＝1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi ）—狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。
2 全同粒子体系的波函数
介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数
2.1 两个全同粒子体系的波函数
假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为0
?H , 归一化本征函数为i ?, 本征值为i ε，则应有
)
()()()()()(?22201
110q q q H q q q H j j j i i i ?ε??ε?==∧ （8）
对于全同粒子，)(),(?2
010q H q H ∧
在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为
)(?)(??2
010q H q H H += （9） 相应的本征方程
),(),(?2
121q q E q q H Φ=Φ （10） 式中的),(21q q Φ可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）。 当第一个粒子处于i 态，第二个粒子处于j 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q j i ??=Φ （11） 它是满足（10）式的解， 对应的本征能量 j i E εε+= 。 当第一个粒子处于j 态，第二个粒子处于i 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q i j ??=Φ （12）
它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 j i E εε+= 。（交换简并）
注意：),(21q q Φ是否具有交换对称性？
当j i =时，),(21q q Φ具有交换对称，对应玻色子
当j i ≠时，（11）与（12）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件。
（1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当j i ≠时，归一化的对称波函数构成如下
)]()()()([2
1),(122121q q q q q q j i j i S ????+=
Φ （13）
当j i =时 )()(),(2121q q q q i i S ??=Φ （14）
（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下
)
()()()(21)]
()()()([2
1),(2121122121q q q q q q q q q q j j i i j i j i A ????????=
-=
Φ （15）
由上式可以看出，当j i =时，则0=ΦA ，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态
2.2 N 个全同粒子体系的波函数
设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量0?H 不显含时间，以i ε 和i ?表示0
?H 的第i 个本征值和本征函数，则N 个全同粒子体系的哈密顿量为
∑=∧
∧
=+++=N
i i
N q H q H q H q H H 1
002010)()()(?)(?? （16） 对应本征值 N j i E εεε+++= 的本征态
)()()(),,(2121N k j i N q q q q q q ??? =Φ （17） 体系的本征方程为 Φ=Φ∧
E H （18）
由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。
但),,(21N q q q Φ并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。 （1）对于N 个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是 N 个单粒子态的一种排列，用∑P
P 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为!N ，所
以玻色子系统的对称波函数是
∑=ΦP
k j i N S N P N q q q )()2()1(!1
),,(21??? （19） 但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有1n 个粒子处于i 态，2n 个粒子处于j 态，l n 个粒子处于k 态，且N n n n l =+++ 21，则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数
!
!
!!!!)!(!)!()!(!)!()!(!!
2111112121111
12
11l l l l l l l n n n N n n N n N n N n n n N n n n N n n n N n n N n n N n N n N C C C l l ∏=
=
-------?---?-=
-------
所以N 个玻色子体系的对称波函数为
[][]
[])()()()()(!!
211111N k P
n n j n j n i i l l S q q q q q P N n ????? ∑++?∏=
Φ )91(' 这里的P 只对处于不同状态的粒子进行对换。
例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。 解：设三个单粒子态分别为321,,???，
（1）若三个粒子各处于不同状态 6!3!==N （共6项），则
)]()()()()()()()()()()()()()()()()()([6
1132231331221233211231231133221332211q q q q q q q q q q q q q q q q q q S ??????????????????+++++=Φ （2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，如0,1,2321===n n n
则 3!1!2/!3=? （共3项），有
)]()()()()()()()()([3
1
122131223111322111q q q q q q q q q S ?????????++=Φ 也可以是 1,0,2321===n n n 或1,2,0321===n n n 等，这样的对称波函数共有六个。 （3）三粒子都处于相同的单粒子态，如0,0,3321===n n n ，则 )()()(312111q q q S ???=Φ
也可以是 0,3,0321===n n n 或3,0,0321===n n n 这样的对称波函数共有三个。
（2）对于N 个费米子，若它们分别处于k j i ,,态，则反对称的波函数为
)]()()([)1(!1
)
()()()
()()()()()(!
121212121k k P
j i P N k k k N j j j N i i i A q q q P N q q q q q q q q q N ????????????
∑-=
=
Φ （20）
式中P )1(-规定了求和号下每一项的符号，若把)()()(21N k j i q q q ??? 作为基本排列（第一项），则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换
P )1(-为正，奇次对换P )1(-为负。在!N 项中，奇偶次对换各占一半。
注意：a 如果N 个粒子中有两个粒子处于相同的状态，如j i =，则行列式两行相同，
因而值为零。这表明不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，此即泡利不相容原理。
b 任何二列交换，相当二个粒子交换，行列式变号，表示是交换反对称。
C 对于N 个非独立的全同粒子，由于粒子间的相互作用，使体系的哈密顿量及波函
数都不能写成（16）（17）式的形式，但Φ=Φ∧
E H 仍成立，全同粒子对波函数对称性的要求依然存在，体系的对称及反对称波函数可由Φ的线性组合得出。
3 氦原子
多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的应用。
氦的原子核带电e 2+，不考虑核的运动，即视为两个全同粒子的体系。以11,s r 和22,s r
分别表示两个电子的坐标和自旋，系统的哈密顿量为
12
2
22122222122222r e r e r e H s s s +--?-?-=∧
μμ （21）
等式右边最后一项表示两个粒子的相互作用能量，∧
H 中不含自旋变量，即粒子的轨道和自旋是相互独立的。所以，氦原子的定态波函数可以写成坐标与自旋分离变量的形式 ),(),(),,,(21212121z z z z S S r r S S r r χψ
=Φ （22）
可见，在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，问题归结为两电子体系的轨道运动和两电子体系的自旋运动，但由于电子属于费米子，故Φ必须是反对称的，这就要求 （1）ψ是对称的，χ是反对称的；或 （2）ψ是反对称的，χ是对称的。
3.1 两个电子的自旋函数
（1）从角动量耦合理论考虑。单粒子态只有>21,21|和>-2
1
,21|。现在的问题是
2
1
,212211====s j s j ，故耦合后的总角动量
??
???
==-=-=--==+=+=+=0
,021
211,0,1,1212121212121
m s s j j m s s j j j 可见，对应1=j 的耦合态矢有三个：
>1,1,21,21|， >0,1,21,21|， >-1,1,2
1
,21| （23） 对应0=j 的耦合态矢有一个： >0,0,2
1
,21| （24）
大家可以参照角动量一讲由（14）式写出以上四态对应单粒子态乘积的展开式。
（2）从全同粒子波函数的要求出发。由于单粒子态只有2/12/1,-χχ，忽略二个电
子自旋之间相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数四个： 21212121)()(22/112/11=
=z z S S χχχ，2
1
212121)()(22/112/12-==-z z S S χχχ，
2
1
212121)()(22/112/13-==-z z S S χχχ，21212121)()(22/112/14--==--z z S S χχχ。
它们是正交归一完备系，是无耦合表象基矢：2211s s m S m S 。任意二个电子体系波函数都
可以用它们展开。41,χχ是对称自旋波函数，但32,χχ它们不是二个电子体系对称或反对
称自旋波函数。
用它们构成的两电子自旋函数分别为
???
?
??
???-=+===------)]()()()([21)]()()()([21
)()()()(12/122/122/112/112/122/122/112/1)3(22/112/1)
2(22/112/1)
1(z z z z A
z z z z S z z S z z S S S S S S S S S S S S S χχχχχχχχχχχχχχχχ （25）
现在证明以上自旋函数都是自旋总角动量平方2
?S 与其在z 轴上的投影Z
S ?的共同本征函数，因
)(22
32)??(?2121212
2122
212
2
12
z z y y x x S S S S S S S S S S S S S ∧∧∧∧∧∧∧
∧∧∧
+++=?++=+= （26） z z z S S S 21∧
∧
∧
+= （27） 由电子自旋一讲中例一可知
)(2)(2121z z x s s S -∧=χχ )(2)(2
12
1z z x s s S χχ
=-∧
)(2)(2121z z y S i S S -∧
=χχ )(2)(2
12
1z z y S i S S χχ
-=-∧
以上关系适用于每一个电子，但各自算符只对自身波函数有作用，所以
)1(2)1(2)1(222/1212/1122/1212/1122/1212/11)
1(2)1(2
24
1223)]()()()()()([223S S S z z z z z y z y z x z x S S
S S S S S S S S S S S S S χχχχχχχχχχχ
=?+=
+++=∧
∧
∧
∧
∧∧∧ （28） )1()1()1(22/1212/122/112/11)1(2121)
()()()(S
S S z z z z z z S z S S S S S S S χχχχχχχχ
=+=+=∧
∧∧
（29） 即)1(S
χ是2?S
，Z
S ?的共同本征函数，相应的本征值为22 和 （相应的量子数为1=s ，1=s m ）。其它同理可得，将结果列表如下
z
J J ∧
∧,2
本征函数 本征值 量子数
∧
2
J
z J ∧
s s m
对称 )1(S χ 22 1 1 自旋 三重态 )2(S χ
- -1 )3(S χ
0 0 反对称 A χ
自旋单态
3.2 氦原子的轨道运动
采用微扰法，将两电子间的库仑作用视为微扰，即
2
12
122r r e r e H s s -=='∧
（30）
则 ∧
∧∧'+=H H H 0 其中
)22()22(?2
2222122120r e r e H s s -?-+-?-=μμ （31）
（1）坐标波函数的零级近似
由（31）可见，∧
0H 是两个类氢原子哈密顿量之和，所以它的本征值是二者能量和，本征函数是两个类氢原子波函数之积，则
m n E εε+=)0( （32）
归一化的对称本征函数为
)()(),(2121)0(r r r r m n S
ψψψ= )]()()()([21),(122121)0(r r r r r r m n m n S
ψψψψψ+= （33） 归一化的反对称本征函数为
)]()()()([21),(122121)0(r r r r r r m n m n A
ψψψψψ-= （34） 它们可作为∧
H 的本征函数的零级近似。 （2）基态能量的一级修正 因为两个电子都处于基态，所以
)(2
302
30
2
30
2100110021)0(2102010
811)()(),(r r a r a Z
r a Z S e a e a Z e a Z r r r r +---=???
? ???
???
?
??=
=πππψψψ （35）
能量的一级修正为
2
202
2112)(4
2
302
112
221002110021)
0(122
)*0()1(0
45451
8)()(210
s s
r r a s s s S S S e a e d d r e
a e d d r r e r e d d r e E μττπττψψττψψ==?
???
? ??=?==??????+- （36）
上式说明，基态能量的一级修正是电荷密度分布为2
1100)(r e ψ-的电子与电荷密度分布为
2
2100)(r e ψ-的电子相互作用的库仑能量。这样氦原子基态能量的一级近似为 eV e e e E
E
E s s s 83.744114522222222)1(0
)0(0
0-=-=+???
? ??-=+= μμμ （37） （3）激发态能量的一级修正)(m n ≠
J
K d d r r r r r e r r r r E m n m n s m n m n ±=±±=??2112211221*2*2*1*)
1()}()()()({)}
()()()({21ττψψψψψψψψ
（38）
式中 ??
-?-=2112
02
2214]
)([])([ττμεψψd d r r e r e K m n ??
-?-=2112
02
2214]
)([])([ττπεψψd d r r e r e n m （39） 是平均电荷密度为2
1,)(r e n n n ψρ-=的电子与平均电荷密度为22,)(r e m m m ψρ-=的电子
间的相互作用库仑能。而
??=2112
0122*1*4)
()()()(ττπεψψψψd d r r r r r J m n m n
??=21120211*2*4)
()()()(ττπεψψψψd d r r r r r m n m n （40）
称为两电子的交换能。
最后写出激发态能量的一级近似
?
??
-++=+++=J K E J K E m n A m n S εεεε （41）
它们分别对应零级近似的对称和反对称波函数。尽管K 和J 实质上都属于两电子的库仑作用，但交换能没有简单的经典对应，它完全属于波函数的对称性所导致的一种量子效应。交换能的大小，主要依赖于两个电子波函数的重叠程度。
3.3 氦原子的反对称波函数
由（22）直接可得
)
,(),(2121)0(z z A s ⅠS S r r χψ
=Φ
)
,(),(2121)
0(z z S A ⅡS S r r χψ =Φ
由于A χ只有一个，故ⅠΦ是独态，这样的氦又称仲氦。而S χ有三个态，故ⅡΦ是三重
态，这样的氦又称正氦。
例如 氦原子基态的二个电子波函数，忽略二个电子的相互作用，氦原子基态是1s1s
组态，基态波函数只有一个，)
2,1()()(210011001A r r χψψ
=ψ 氦原子第一激发态的二个电子波函数。
氦原子第一激发态是1s2s 组态，第一激发态波函数有四个，
)2,1())1()2()2()1((2
112001002001001
2S χψψψψ-=ψ
)
2,1())1()2()2()1((2
12
20010020010022S χψψψψ-=
ψ )
2,1())1()2()2()1((2
13
20010020010032S χψψψψ-=ψ )
2,1())1()2()2()1((2
120010020010042A χψψψψ+=ψ ),,(3
22212ψψψ是三重态，（1s2s ）13S
4
2
ψ是单态，（1s2s ）
1
S
全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(2 2 =y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。 2．求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ，得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件，得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ
常州大学量子力学名词解释
1.黑体：一个物体能全部吸收投射在他上面的辐射而无反射，就称为黑体。 2.普朗克假设（黑体辐射提出的假设）：黑体以hv为能量单位不连续的发射和吸收频率为v的辐射，而不是像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 3.三个实验说明了什么问题：黑体辐射，平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和能量只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状与组成的物质无关。光电效应，证明了光的波动性。康普顿效应，证明了光的粒子性。 4.玻尔假设：定态假设，频率假设，量子化条件。 5.态叠加原理：设是体系的可能状态，那么这些态的线性叠加，也是体系的一个可能状态。 6.波函数的三个条件：有限性，连续新，导致可测量的单值性。 7.算符：是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 8.对易：有组成完全系的共同本征态。 9.表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。 10.弹性碰撞：一个粒子与另一个粒子碰撞过程中，有动能的交换，粒子内部状态并无改变。非弹性碰撞：碰撞中粒子内部状态有所改变（原子被激发或电离）。 11.泡利不相容原理：全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于完全相同的状态。 12.玻色子：由光子（自旋为1）、处于基态的氦原子（自旋为0）、a 粒子（自旋为0）以及其他自旋为0或为h的整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色-爱因斯坦统计，被称为玻色子。费米子：由电子、质子、中子这些自旋为h/2的粒子以及其他自旋为h/2的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数 是反对称的，这类粒子服从费米-狄拉克统计，被称为费米子。 13.塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。 14.全同粒子：称质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物质状态的改变。 15.厄米算符的性质：本征值为实数；量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符；对于两任意函数和，如果算符满足，则称为厄米算符；如果为厄米算符。 16.薛定谔方程满足的条件：含时；线性的；不含有状态参量。
全同粒子体系
第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ
全同粒子体系习题解
全同粒子体系习题解-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ 01?102x S ??= ??? ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?2 222 121 =???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 =??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求4)()(2 22 2z y x S S S ≥?? 16)()(422 =??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ??
第七章-自和全同粒子
第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S
它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 s z =± 12 η； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =- e m S , (7. 2) μμs e B z e m =± =±η 2, (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电
子的质量，μB ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） μs e s e z z s e m g e m =- =2, (7. 4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数, 是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为
1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述
ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这 两个变量，s z只能取 ±η/2这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2, (7. 5) 讨论： ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2 ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；
(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)
g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数
复习大纲_量子力学
第二章薛定谔方程 基本要求： 1、了解光和微观粒子的波粒二象性，熟悉德布罗意关系； 2、理解波函数的表达形式及其物理意义； 3、掌握薛定谔方程的基本公式 4、理解波函数的标准条件和态叠加原理，并能应用到薛定谔方程的求解中； 5、什么是定态薛定谔方程，它的解有什么特点？ 6、熟练应用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱中的粒子； 7、理解一维线性谐振子波函数的形式及能量的量子化，并能进行简单计算； 8、了解微观粒子遇到方势垒的反射与透射。为什么在粒子能量小于势垒时，仍可以部分透射？ 第三章力学量的算符 基本要求： 1、什么是力学量的算符，掌握常见物理量的算符表达式； 2、什么是本征方程，算符的本征值和本征函数指的是什么？能够通过本征 方程求解算符的本征值； 3、熟悉算符的基本运算规则； 4、什么是线性厄米算符，它有哪些性质？会判断哪些算符是厄米算符； 5、厄米算符本征函数的正交性和完全性指的是什么？ 6、不同力学量同时有确定值的条件是什么？ 7、熟悉量子力学的不确定关系。 第四章氢原子和类氢离子的波函数和能级 基本要求： 1、了解有心力场中电子的特征； 2、理解库仑有心力场中电子波函数的描述方法，理解量子数的概念； 3、理解库仑有心力场中电子能级的量子化，理解简并度的概念； 4、理解轨道角动量的概念，能够证明轨道角动量各分量以及L2与各分量间 的相互关系； 5、理解核外电子的径向几率分布和角几率分布，会求简单系统的径向几率 分布和角几率分布。 第五章定态微扰论原子的能级 基本要求：
1、什么是微扰，采用定态微扰论近似求解能量本征算符H ∧ 本征方程的基本要求是什么？ 2、熟悉无简并定态微扰论中能量和波函数的一级修正，会求简单系统的一级近似； 3、了解有简并定态微扰论中波函数的零级近似和能量的一级近似； 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、什么是全同粒子？ 2、电子的自旋指的是什么？ 3、自旋角动量算符有哪些性质，其本征值是多少？若计入电子自旋，氢原子波函数需要哪些量子数描述，才能完整描述其电子的运动状态？ 4、全同粒子的不可区分性指的是什么？全同粒子体系的H ∧ 交换不变性是什么意思？ 5、由全同粒子组成的体系，若全同粒子是自旋为半整数的费米子，其波函数为反对称波函数；若全同粒子是自旋为零或整数的波色子，则波函数为对称波函数。全同粒子体系的波函数，除了满足标准条件外，还须满足对称或反对称。 6、泡利不相容原理指的是什么？ 7、对于具有多个电子的原子，受泡利不相容原理的限制，原子中的电子如何排列？ 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、了解电子在周期性微扰下的跃迁几率，在什么条件下，跃迁几率最大？ 2、原子与光子的相互作用有哪几种？其跃迁几率主要受那些因素影响？ 3、在有心力场情况下，状态间允许跃迁的选择定则是什么？
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m ，电荷q ，磁矩M ，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为 全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H 算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S = ，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： ()()()122211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 1 2 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12,,i j N q q q q q ψ
量子力学所有简答题答案
简答题 1．什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。 光电效应规律如下： 1．每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。 2．光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。 3．光电效应的瞬时性。实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。 4.入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。 爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成： 22 1 mv A h + =ν这就是爱因斯坦光电效应方程。其中，h 是普朗克常数；f 是入射光子的频率。 2．写出德布罗意假设和德布罗意公式。 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。 德布罗意公式：νωh E == λ h k P = = 3．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。几率波满足的条件。 波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。因为它能根据现在的状态预知未来的状态。波函数满足归一化条件。 4．以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是
全同粒子体系
全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）
量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习
第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)
(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为
其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合
第六章自旋与全同粒子
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
(完整word版)量子力学名词解释全集
1．波粒二象性 ： 一切微观粒子均具有波粒二象性（2分），满足νh E =（1分），λh P =（1分），其中E 为能量，ν为 频率，P 为动量，λ为波长（1分）。 2、测不准原理 ： 微观粒子的波粒二象性决定了粒子的位置与动量不能同时准确测量（2分），其可表达为：2/P x x η≥??，2 /P y y η≥??，2/P z z η≥??（2分），式中η（或h ）是决定何时使用量子力学处理问题的判据（1 分）。 3、定态波函数 ： 在量子力学中，一类基本的问题是哈密顿算符不是时间的函数（2分），此时，波函数)t ,r (ρψ可写成r ρ函数和t 函数的乘积，称为定态波函数（3分）。 4、算符 使问题从一种状态变化为另一种状态的手段称为操作符或算符（2分），操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等（1分），简言之，算符是各种数学运算的集合（2分）。 5、隧道效应 在势垒一边平动的粒子，当动能小于势垒高度时，按经典力学，粒子是不可能穿过势垒的。对于微观粒子，量子力学却证明它仍有一定的概率穿过势垒（3分），实际也正是如此（1分），这种现象称为隧道效应（1分）。 6、宇称 宇称是描述粒子在空间反演下变换性质的相乘性量子数，它只有两个值 ＋1和－1 （1分）。如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换(r→－r)下改变符号，该粒子具有奇宇称(P ＝－1 )（1分），如果波函数在空间反演下保持不变，该粒子具有偶宇称(P ＝＋1) （1分），简言之，波函数的奇偶性即宇称（2分）。 7、Pauli 不相容原理 自旋为半整数的粒子（费米子）所遵从的一条原理，简称泡利原理（1分）。它可表述为全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于相同的单粒子态（1分）。泡利原理又可表述为原子内不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的4个量子数n 、l 、ml 、ms ，该原理指出在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子，即一个原子中不可能有电子层、电子亚层、电子云伸展方向和自旋方向完全相同的两个电子（3分）。 8、全同性原理： 全同粒子的不可区分性（1分）使得其组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变（4分）。 9、输运过程： 扩散（1分）、热传导（1分）、导电（1分）、粘滞现象（1分）（系统内有宏观相对运动，动量从高速区域向低速区域的传递过程）统称为输运过程，这是一个不可逆过程（1分） 10、选择定则： 偶极跃迁中角量子数与磁量子数（1分）需满足的选择定则为1±=?l （2分）， 1 ,0±=?m （2分） 11、微扰理论 在量子力学中求近似解（1分）的一种方法，核心是先求解薛定谔方程（2分），再引入微小附加项来修正
全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解 1.求在自旋态)(2 1z S χ中,x S ?与y S ?的不确定关系:?)()(2 2 =y x S S ?? 解:在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论:由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?,y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中,2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。 2.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值与所属的本征函数。 解:x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值 2η 的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ,得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ,得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件,得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ
量子力学第九章习题
第九章 多粒子系的量子力学 9-1 两个质量为m 的全同粒子，在弹性势场中运动，2222112 1,21kx V kx V ==，忽略粒子间的相互作用。（1）写出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。 （2）将H ?用质心坐标X 和相对坐标x 表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。 9-2 下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？ （1）)2()1()()(21ααr g r f ，（2）[])2()1()2()1()()(21αββα-r f r f （3）[][])2()1()2()1()()()()(2121αββα--r f r g r g r f （4）)(21221r r e r +-α （5）)(21r r e --α 9-3 设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？ 9-4 设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是222 1)(r m r U ω=。如果电子之间的库仑能和U （r ）相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 9-5 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？ 9-6 考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是γβαψψψ和,，试写出体系的所有可能状态波函数。 9-7 考虑在无限深势阱（0 第6章自旋与全同粒子 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。 §6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点 一．实验事实 1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验： 现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。 解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向 如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。 2．碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它 是由很靠近的两条谱线组成 3．反常塞曼(Zeeman)效应 1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。 二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设 1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是 为玻尔磁子 这个比值称为电子自旋的回转磁比率. 轨道运动的回转磁比率是 三．电子自旋的特点 乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。 特点： 1．电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。 2．电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。 3．电子自旋值是，而不是的整数倍。 4．，而两者在差一倍。 自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系 §6.2 电子的自旋算符和自旋函数 一．自旋角动量算符 在空间任意方向上的投影只能取值（由实验所得假设） 本征值都是 , 第七章例题剖析 1求自旋角动量在任意方向n [方向余弦是(cos α，cos β，cos γ)]的投影γβαc o s c o s c o s z y x n s s s s ++=的本征值和本征矢。 [解] 自旋算符的矩阵表示为 ??? ? ??-=???? ??-=???? ??=10012;002;01102 z y x s i i s s ?????????? ??-+???? ??-+???? ??=∴γβαcos 10 01 cos 00cos 01102i i s n ???? ??-+-=γβαβ αγ c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2i i 令s n 的本征矢为 ???? ??=ηξψ 它必然是一个两行两列的矩阵，s n 的本征方程为 λψψ2 =n s 则 ???? ??=???? ?????? ?? -+-ηξληξγβαβ αγ2cos cos cos cos cos cos 2 i i 就有 ???=+-+=-+-) 2(0)(cos )cos (cos ) 1(0)cos (cos )(cos ηλγξβαηβαξλγi i ηξ,不同时为零的条件是其系数行列式为零，即 0)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβ αλγi i 展开得： 0)c o s (c o s )(c o s 2222=+---βαλγ 1012±==-∴λλ 因此 n S 的本征值为2 ± 下面求本征矢： （1）当2 =n S 时，即1=λ时，由①式得 ηβαξγ)cos (cos )1(cos i --=- ηγβ αξcos 1cos cos --=i ??? ? ? ??--=ηηγβαψcos 1cos cos i 利用归一化条件第6章自旋与全同粒
第七章-自旋与全同粒子 lt