第六章全同粒子体系
第六章全同粒子体系
6.1 全同粒子体系
之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。
1、全同粒子
我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。
全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。
2、量子力学基本假设
全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性）
量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。
3、全同粒子体系?H算符的交换不变性
粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,
i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q
来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋）
，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12
,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋）
，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也
还是在(1,2,
)i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以
i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为：
()
()()12
2211
??,,,1,,22i j
N N
N
i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1)
显然交换两个粒子，全同体系的?H
不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij
P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1
2
12
?,,,,i j
N i j
N q q
q q q H q q q q q ≡
(6.1.2)
全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H
具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。
4、全同粒子体系波函数的交换对称性
考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数
()12
,,i j
N q q q q q ψ
描述，?ij
P 表示第i 个粒子与第j 个粒子交换的算符，即 ()()12
12
??,,,,ij i j
N i j
N P H q q q q q q q q q q ψ≡
(6.1.3)
由全同性原理可知，?ij
P 与ψ描述的是同一量子状态，在量子力学中，它们最多只能相差一个常数因子λ，即
()()12
12
?,,
,,
ij i j
N i j
N P q q q q q q q q q q ψλψ=
(6.1.4)
用?ij P 在运算一次，得2????ij ij ij ij P P P P ψλψλψλψ?=?==，所以得22?ij
P ψλψ=，说明,i j 交换两次等价于不变换，2ψλψ=，因而1λ=±。这样，全同粒子的波函数必须满足下列关系式之一：
()()()121212?,,
,,
,,
ij i j
N i j
N i j
N P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==+波函数交换对称；
()()()12
12
12
?,,
,,
,,
ij i j
N i j
N i j
N P q q q q q q q q q q q q q q q ψψψ==-波
函数交换反对称。
即全同性原理要求，全同粒子波函数要么是交换对称的，要么是交换反对称的，而且这种交换对称性不随时间改变。在这里，我们把交换对称与交换反对称统称为波函数的交换对称性。
5、全同粒子体系波函数的交换对称性取决于粒子的自旋
迄今为止的一切实验事实表明，对于每一类全同粒子，它们波函数的交换对称性是确定的，但到底是波函数交换对称，还是交换反对称与粒子的自旋有确定的关系。凡自旋为整数倍的粒子（0,1,2
S =），波函数对于交换两粒子总是
对称的。例如，π介子（0S =），光子（S =）。它们在统计上遵守Bose 统计法，故称波色子。凡自旋为半奇数倍的粒子（35
2
22,,,
S =
），波函数对于
交换两粒子总是反对称的。例如，电子、质子及中子等。它们遵守Fermi 统计法，故称费米子。
由基本粒子组成的复杂粒子，如α粒子（氦核），31H （氚核），21H （氘核）
。复杂粒子究竟是费米子还是波色子取决于其中费米子的个数，而与波色子个数无关。由N 个波色子构成的复杂粒子仍然是波色子（总自旋为的整数倍），其波
函数满足交换对称；由偶数个费米子构成的复杂粒子是波色子（总自旋为的整
数倍），其波函数满足交换对称；由奇数个费米子构成的复杂粒子是费米子（总自旋为的半整数倍），其波函数满足交换反对称。
Equation Chapter 6 Section 2§6.2全同粒子体系的波函数 全同性原理对全同粒子体系的波函数加上了新的限制，或者说条件，只能交换对称或反对称，这节讨论全同粒子体系对称性波函数的具体形式。从2个粒子推广到N 个粒子的情况。
为方便先不考虑粒子间的相互作用，则两全同粒子组成的体系?H
可写为
()()()2
010201
????i
i H H q H q H q ==+=∑ (6.2.1)
?H 是单粒子哈密顿算符，因为全同粒子，所以在同一体系中两粒子的哈密顿算符形式是相同的，只是变量不同。当?H
不显含时间t ，体系定态薛定谔方程为：
()()1212
?,,H q q E q q Φ=Φ (6.2.2)
先看单粒子的状态，两全同粒子满足的是同一个单粒子的定态薛定谔方程，设第
1个单粒子处于0?H 的第i 个本征态1()i q φ，解量本征值为i q ；第2个单粒子处在第j 个0?H 的本征态2()j q φ上，解量本征值为j q 。单粒子定态薛定谔方程为0?,(1,2,3)i i i H i φεφ==，i φ为单粒子解量本征态，则第一个粒子的本征值和本征态为1(),i i q φε，第二个粒子的本征值和本征态为2(),j j q φε，则
0111
0222?()()()?
()()()
i i i j j j H q q q H q q q φεφφεφ?=???=??? (6.2.3)
体系的波函数为()1212,()()i j q q q q φφΦ=，能量为i j E εε=+，
如果交换1，2两个粒子，即2号粒子在i φ态上，1号粒子在j φ态上，重复上述过程可得
()2121,()()
i j i j q q q q E φφεεΦ=???
=+??
(6.2.4)
它也是体系定态薛定谔方程的解。显然同一解量对应两个定态波函数，因此该体
系的解量是简并的，该简并是由于交换波函数中1，2粒子引起的，?H 的本征函数为
()()12122121,()()
,()()i j i j q q q q q q q q φφφφΦ=???
Φ=??
(6.2.5)
称为交换简并。我们可以得出如下结论，两无相互作用的全同粒子体系，其定态薛定谔方程的解量本征值等于两单粒子本征解量之和，体系哈密顿量的本征函数等于两单粒子哈密顿量本征函数积，且是交换简并的。
上面的讨论可以推广到N 个全同粒子体系（不考虑粒子间的相互作用），则体系的本征函数及本征值分别为
()1212
12,,()()()i j N N i j k N E q q q q q q εεεεεφφφ=++++?
?Φ=? (6.2.6)
是交换简并的。上述理论上交换简并的波函数解是不是自然界中实际能够存在的两粒子体系的波函数呢？全同粒子体系的波函数要满足交换对称性，费米子满足波函数交换反对称，波色子满足波函数交换对称。
下面我们分两种情况进行讨论： 1、费米子体系
如果所讨论的全同粒子体系由费米子组成，则体系的波函数满足交换反对称。首先讨论两费米子系，(6.2.5)两式的简并波函数显然不是交换反对称的，我们必须将波函数反对称化，可以将这些简并的，不满足波函数交换反对称的波函数(6.2.5)两式通过适当的线性组合构造出满足交换反对称的波函数。如：对两费米子体系，我们可以利用(6.2.5)两式构造出如下的反对称的波函数
()()()121221,,,A A q q N q q q q Φ=Φ-Φ????，该波函数在考虑粒子间的相互作用仍然
可用，其中A N 为归一化常数，
(
)()(
)12122112211212,,,()()()()()()()()
A i j i j i i j j q q q q q q q q q q q q q q φφφφφφΦ=
Φ-Φ??????=-??=
(6.2.7)
显然()12,A q q Φ也还是体系?H 的本征函数，本征解量为i j
E εε=+。 推广到N 费米子体系，其交换反对称的?H 的本征函数为，（它应为N 个单粒
子波函数乘积的各不同交换形式线性组合）
(
)1212121212()()
()()()
(),,
()()
()()()()
i i i N j i i N A N k k k N P i i k N P
q q q q q q q q q q q q P q q q φφφφφφδφφφΦ=
=
?? (6.2.8)
1P δ=+，p 为偶排列，1P δ=-，p 为奇排列。如果每个粒子占一列，波函数为
反对称，交换任意两粒子后得到的状态相当于交换行列式的两列，则行列式变号，这就自动保证了波函数是反对称波函数。若每个单粒子解量本征态占一行，之前假定,i j
k 单粒子态上各有一个粒子，共有N 个单粒子态，共N 个粒子，有两
个单粒子态相同，则行列式中有两行相同，因而行列式等于零。这表示不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，这一结果称为泡利不相容原理。也就是说
同一个单粒子态上有2个粒子或3，4…个粒子的状态是不存在且不允许的。
N 个费米子体系的反对称波函数()12,,A N q q q Φ中的每一项都是N 个单粒子波函数
φ的乘积，A Φ是N 个单粒子波函数乘积的各种不同交换形式的线性组合，共有
!N 项。
利用归一化条件2
2
1
1A
A N N dq dq Φ=?（对1N dq dq 中不连续变量的积
分为求和）可求出归一化常数，由于i φ为单粒子本征态，具有正交归一性，归一化公式中不同的交叉项都是互相互交的为零，不必考虑，只有()*11()1i i q d φφεε=?，不为零。这样的项有!N 项，（即N 个单粒子波函数乘积的各种不同交换形式）因此2
!1A N N ?=即A N =2、波色子体系
对波色子体系，波函数满足交换对称性。首先讨论两波色子体系。
前面讨论过当i j E εε=+，波函数为()()()()()()
12122121,,i j i j q q q q q q q q φφφφΦ=????Φ=???，其对费米子系是
反对称的，我们已经构成出的反对称波函数；那么对两波色子体系，?H
的本征态满不满足交换对称性呢？分两种情况来讨论。
a)若i=j ，即两波色子处在同一状态上。则()()()()
122112,,,i i q q q q q q φφΦ=Φ=满足交换反对称。即两个全同波色子处在同一个状态上时，?H
本征态满足交换反对称。显然没有限制要求两个波色子不能同时处于在同一状态上。即波色子体系不受泡利不相容原理限制，那么()()()1212,s i i q q q q φφΦ=()1,2i =∞，波函数
是归一化的。
b)i j ≠,则波函数都不是交换对称的，我们可以象费米粒子一样，将(6.2.5)两式通过适当的线性组合，构造出满足交换对称性的波函数，两波色子体系的对称波函数，可构造成如下形式。
()()()121221,,,s s q q N q q q q Φ=Φ+Φ????
(6.2.9)
其中s N 为归一化函数。考虑两粒子之间的相互作用后仍可用此式。即：
(
)()(
)()()()()1212211221,,,,s i j i j q q q q q q q q q q φφφφΦ=
Φ+Φ???=+?
(6.2.10)
若i φ态上有一个粒子，j φ态上有一个粒子，
体系的?H 本征态为上式，s Φ显然是?H 本征方程的解，解量本征值为i j E εε=+
推广到N 波色子体系，也分两种情况讨论： a)i j k ==
=，即N 个波色子处于同一状态上，波函数为
()()()()1212,,,s N i i i N
q q q q q q φφφΦ=，满足交换对称性。 b) i j k ≠≠
≠，其波函数不是对称的，我们要构造满足交换对称的波函数。对
于波色子体系，不受泡利不相容原理的限制，可以有多个粒子处于同一单粒子态
上。设N 个波色子，其中有
1n 个粒子处于i φ态， 2n 个粒子处于j φ态， ……
则121
N
i i n n n N =++
==∑（i n 可以为零，也可大于一，0,1,2
1i n N =-）
。此时， 体系对称化波函数可构造为：
()()()1212
1!!!
,'!N s N i k N p
n n n q q q p q q N φφΦ=
?????∑
(6.2.11)
其中P 表示N 个粒子在N 个单粒子态上的一种排列，（可以有零个粒子），'p
∑表示对所有不同排列（只对处于不同单粒子态上的粒子进行交换求和）求和；归一化常数s N 。显然，把N 个粒子置换加起来共有!N 项，但其中，考虑到处在i φ态上的1n 个粒子共有1!n 个交换方式，而且这1!n 项是完全相同的；同样j φ态上的2n
个粒子有2!n 项完全相同的排列，故总排列中有
12!
!!!
N N n n n ?项是不同的。利用归
一化条件1
1s N dq dq Φ=?，可得s N =
，i n 也以为0。
特例：设N 个单粒子在都不相同，即每个单粒子态上只有一个粒子，则
1221
(,)'()()()!s N i i j k N p
q q q p q q q N φφφ??Φ=
???
∑
共!N 项，由不同排列所构成的两项至少有两个因子不同，即至少有两个粒子处于不同的单粒子态上。
例1：由三个波色子构成的全同粒子体系，若其中两个粒子处于1态，一个粒子处于3态，2态上无粒子（即1232,0,1n n n ===）则体系的对称波函数为：
[]12112233
(,)'()()()s N p
q q q p q q q φφφΦ=
?? ]112233112332122331()()()()()()()()()q q q q q q q q q φφφφφφφφφ=
??+??+??
如将相同单粒子态上的粒子进行置换，如上式将1态上的两粒子置换（第一项中）
则为121133()()()q q q φφφ??与原第一项完全一样，不直接写出来就可以保证s Φ的交
换对称性。
'p
∑为对不同单粒子态上的粒子交换求和。
例2.两个波色子组成的体系，波色子间无相互作用，若体系的单粒子态分别为i φ及j φ，求体系的可能波函数怎样由单粒子态构成。 解：2N = ,i j φφ
两个单粒子态
i φ j φ()i j ≠
2个粒子 0个粒子 ??→201212(,)()()s i i q q q q φφΦ= 0个粒子 2个粒子 ??→ 021212(,)()()s j j q q q q φφΦ= 1 个粒子 1个粒子 ??→11121221(,)()()()()s i j i j q q q q q q φφφφ??Φ=
+?? 体系共3个可能状态，200211
,,s s s ΦΦΦ。
例3.（练习）三个无相互作用波色子组成的体系，单粒子态分别为,,i j k φφφ，求体系可能的对称波函数。 解：i φ j φ k φ
3 0 0 ??→300123()()()s i i i q q q φφφΦ= 0 3 0 ??→030123()()()s
j j j q q q φφφΦ=
0 0 3 ??→003123()()()s k k k q q q φφφΦ= 2 1 0 ??→
2 0 1 ??→ 1 2 0 ??→ 0 2 1 ??→ 1 0 2 ??→ 0 1 2 ??→ 1 1 1 ??→ 共10种可能状态。 3、全同粒子体系的总波函数
不考虑自旋—轨道耦合作用时，全同粒子体系的总波函数，可以写成坐标空间表象与自旋表象波函数的乘积，即：
11221212(,,)(,,)(,,)N N N N r s r s r s r r r s s s φχΦ=?
对波色体系Φ为交换对称的，费米体系Φ为交换反对称的，那么,φχ的交换对称性如何呢？显然
对称波函数?对称波函数=对称波函数 对称波函数?反对称波函数=反对称波函数 对称波函数?反对称波函数=反对称波函数
,φχ的对称性如下
当0=?S L ,0,=j i q q W 时,即可忽略自旋-轨道的相互作用,又可忽略粒子间的
210123132231()()()()()()()()()s
i i j i i j i i j q q q q q q q q q φφφφφφφφφ?Φ=++?123132213111
231312321()()()()()()()()()
()()()()()()()()()i j k i j k i j k s i j k i j k i j k q q q q q q q q q q q q q q q q q q φφφφφφφφφφφφφφφφφφ++?Φ=?
+++??
]201123132231()()()()()()()()()s
i i k i i k i i k q q q q q q q q q φφφφφφφφφΦ++120123132231()()()()()()()()()s i j j i j j i j j q q q q q q q q q φφφφφφφφφ?Φ++?021*********()()()()()()()()()s j j k j j k j j k q q q q q q q q q φφφφφφφφφ?Φ++?102123132231()()()()()()()()()s k k j k k j k k j q q q q q q q q q φφφφφφφφφ?Φ++?012123132231()()()()()()()()()s k k j k k j k k j q q q q q q q q q φφφφφφφφφ?Φ++?
两体相互作用,这时体系的波函数还可以写为(最常见的原子体系是费米体系,以
费米子为例)()()()()N k j i N q q q q q q φφφ 2121,,=Φ，其中()()()j i j i j i S r q χψφ?=
，()j i r ψ是单体粒子0?H 的本征函数，()j i S χ是z S ?的本征函。如果对于一个总能量E ,可以构成不止一个波函数,则该能级简并。
例:求锂原子的基态波函数(三个电子处于S S 212态) S 1上2个 S 2上1个 解:
1001ψ→S (2个) 2002ψ→S (1个) (总空间波函数是对称的,但不用此法考虑)
单粒子态为:()(),s nlm i m z i r S ?ψχ=，是单粒子()i
q H 0?的本征态，且2
1±=s m 可能的单粒子态为:
()()()i z i i S r q ,10012
1χψφ
=
()()()i z i i S r q ,10022
1-=χψφ
可知100ψ上的两个电子空间态一样,所以自旋态一定不同,对应能量1ε,共为12ε
必有其一: ()()()i z i i S r q ,20032
1χψφ
=
()()()i z i i S r q ,20041-=χψφ
可知200ψ态上一个电子自旋可能向上也可能向下,对应能量2ε,共为2ε 三电子对应能量212εε+=E 可能以S S 212波函数为反对称的: (1)取321,,φφφ单粒子态
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()?
????
?
??=Φ---332211332211332211!31,,2121211112
12121200200200100100100100100100321χψχψχψχψχψχψχψχψχψq q q A
(2)取421,,φφφ的可能单粒子态,则
()()()()()()()()()()????
?
??=Φ321321321!31,,4442
22111321φφφφφφφφφq q q A 将代入即可求出。
Equation Chapter 6 Section 36.3 两个电子的自旋波函数
讨论两个电子体系的状态，就牵涉到两电子的自旋状态，若0L S ?=，这时
只讨论体系的自旋波函数，如果体系的?H 中没有电子相互作用项，即12
0S S ?=，两电子自旋函数是单电子自旋函数的乘积，即()121212,()()z z ms z ms z s s s s χχχ=，1z s 与
2z s 为力学量完全集。
1、两电子体系自旋交换对称性波函数
单个电子自旋可能的状态有2个，自旋向上，或向下，共有2个电子，所以可能组成的满足交换对称或反对称的两电子自旋态有4个。由于两电子体系中波函数是反对称，φχΦ=；两电子自旋波函数χ可对称也可反对称。当两个电子都处于自旋向上的状态或自旋向下的状态，体系波函数是对称的，当一个电子处于一个自旋向上的状态另一个电子处于自旋向下的状态，则体系波函数要么是对称的要么是反对称的。
(1)112
2
(1)(2)s χχχ=
(6.3.1) (2)112
2
(1)(2)s χχχ--=
(6.3.2)
(3)
11112222(1)(2)(2)(1)s
χ
χχχχ--?
?=+????
(6.3.3)
1111
2222(1)(2)(2)(1)A χχχχχ--??=
+??
(6.3.4)
在交换两电子时，(1)s χ，(2)s χ，(3)s χ均不变号，而A χ变号。除了这四个函数外，体系波函数不能再构成其他独立的对称或反对称自旋函数。 2、两电子总自旋角动量
设两电子的自旋算符分别为1?S ，2?S ，则12???
S S S =+表示两个电子自旋算符之
和，其中，121??2S S ==，1?S ，2?S 的自旋量子数都为12
，因为1?S ，2
?S 分别属于两个电子，是不同的自由度，分别作用在各自的自旋波函数上，所以12??0S S ??=????
，。又因为
12(,,)i i i S S S i x y z =+=
(6.3.5)
()2
2
2
222212
1
2
1
2
??????????2x
y
z
S S S S S S S S S S =+=++?=++
(6.3.6)
对电子两自旋量子数121
2S S ==
，则222111
3(1)4
S S
S =+=，
22
2
2223(1)
4
S S S =+=
，不难证明2??,0i S S ??=??（,,i x y z =），2??,0z S S ??=?
?， 对于两粒子组成的体系自旋自由度为2，可以选择两个对易的自旋力学量构
成自旋力学量的完全集。我们选2??,z S S 为力学量完全集，则它们的共同自旋本征函数系是什么呢？可以证明前面的4个交换对称及反对称的两电子自旋波函数
就是2??,z
S S 的共同本征态。 3、两电子2??,z
S S 的共同本征态(1)(2)(3),,,s s s A χχχχ 首先，我们知道222
12
3??==4
S S ，所以
()
2222121212
2
1212123???????2224
3??????22
x x y y z z
S S S S S S S S S S S S S =++?=?+?=+++
(6.3.7)
12???z z z
S S S =+ (6.3.8)
则1?z
S ，2?z S 分别作用于第1和第2个电子的自旋波函数上。容易证明 ()
()
2(1)2(1)(1)1212122(0)(1)(1)1212122(1)
3???????22
3??????222
2S S x x y y z z S
S x x S y y z z S S
S S S S S S S S S S S S S χχχχχχχ=+++=+++= (6.3.9) ()
(0)(1)(2)(1)(2)(1)121112112
2
2
2
?????z z z S z z S
S S S S S χχχχχχ+=+=
(1)(1)(2)(1)(2)1212111121
2
2
2
2
2
(1)12
??????011011100100224
x x S x x x x S S S S S S χχχχχχ-==?????????
=? ??? ???????????
=
?
(6.3.10)
单位算符只作用在相应的单位子态。同理可做其它！ 同理可求得：
2(1)2(1)2(1)?2(1)S S S S s s χχχ==+， 总自旋量子数为1s = 2(2)2(2)2(1)?2(1)S S S S s s χχχ==+， 总自旋量子数为1s = 2(3)2(3)2(1)?2(1)S S S S s s χχχ==+， 总自旋量子数为1s = 22(1)?00(1)A A S S s s χχχ=?==+， 总自旋量子数为0s = (1)(1)(1)?z S S s S S m χχχ==， 总自旋磁量子数为1s m = (2)(2)(1)?z S S s S
S m χχχ=-=， 总自旋磁量子数为1s m =- (3)(3)?00z S S s S S m χχχ=?==， 总自旋磁量子数为0s m = 2(1)?00A A s S
S m χχχ=?==， 总自旋磁量子数为0s m = 令21s s m χ+，3(1)1s χχ≡，3(2)1s χχ-≡，3(3)0s χχ≡，00A χχ≡，当1,1,0,1s s m ==-为自旋三重态，0s =，0s m =为自旋单态。我们将上述结论可以总结到下列表格中
两个电子的自旋态（2??,z
S S 的共同本征函） ）
)
)2
0)0
交换
对称
答：0S =（0z z S m ==?），0s m =，只有00s Sm =这一个自旋态：即
0000(1)(2)χχχ=为对称波函数
而对于两电子0011112222(1)(2)(2)(1)χχχχχ--??=-??是反对称的
4、两电子体系的总波函数
当?0L S ?→且两电子间无相互作用时，1212(,)(,)z z r r S S φχΦ=?，则体系可能态有如下形式
12121122112211112222(,)(,)
(1)(2)(2)(1)(1)(2)2(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)A A s z z i j i j i j i j i j i j r r S S φχ????χχ????χχ????χχχχ----Φ=????-?????
?=-????
????--?
?? (6.3.11)
i j ≠
121211112222(,)(,)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)A A A z z i j i j r r S S φχ????χχχχ--Φ=??
??=
+-????
(6.3.12)
练习1：证明两电子系的四个自旋函数(1)(2)(3),,,s s s A χχχχ互相正交
练习2：三个电子体系的对称自旋函数，可能的状态有几个？
练习3：设两个自旋量子数分别为3
2
的全同粒子组成的体系，求体系对称的自旋
波函数有几个？（4+6=10）反对称的自旋波函数有几个？（6）
练习4：具有自旋1s =的三个全同波色子，处在相同的空间状态，电波函数()r ψ描写考虑到自旋自由度，写出体系的可能状态的归一化波函数，体系的不同状态数如何？（10=3+6+1）
例1：考虑在一维无限深势阱()0x a <<中运动的两电子体系，略去电子间的相
互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量。
解：
一维无限深势阱：222
2,1,22,1,2n n n E n a n x n a πμπψ?==??
?
?==?
?
两电子体系，总波函数为反对称的
○
1基态： 2222
1122
22E a a
ππμμ=?= 空间部分波函数为：1111(1)(2)ψψψ= 为对称的
自旋部分波函数必为反对称的：0011112222(1)(2)(2)(1)χχχχχ--?
?=-??
总基态波函数为：1100ψχΦ= 不简并
○
2第一激发态： 222222
12222
45222E a a a πππμμμ=+=
总波函数为反对称，所以空间部分波函数可为对称或反对称，自旋部分波函数也可为对称或反对称。则空间部分波函数为：
),1212(1)(2)(2)(1)S A ψψψψψ=
±
自旋部分波函数：112211221111
2222(1)(2)(1)(2)
(1)(2)(2)(1)s χχχχχχχχχ----??
?
?
?
=??
???-??
1111
2222(1)(2)(2)(1)A χχχχχ--?
?=
-??
二电子体系的总波函数为：
)
)1122121211221111
2222121211112222(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)A s S A χχψχψψψψχχχχχχψχψψψψχχχχ------??
??
??
?
?
?
??=-??
???
Φ=?
???
?+?????
?
??=+-????
?反 能级四重简并
例2.两个自旋1
2
，质量为m 的无相互作用的全同费米子同处线性谐振子场中，
写出基态和第一激发态的能量本征值和本征函数，指出简并度。
解：12n E n ω?
?=+ ??
?
()221
2
x n n n N H x e
αψα-=??
0,1,2n α=
=
二费米子体系总波函数是反对称的
○1基态：11
22
E ωωω∞
=+= 空间0000(1)(2)
ψψψ=对称，自旋部分则为反对称
11112222(1)(2)(2)(1)A χχχχχ--?
?=-??
因此，总波函数：00A ψχΦ=?不简并
○2第一激发态：01
13
222
E ωωω
=+=
))01011111222211220101112211112222(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(1)s A A s ψχψψψψχχχχχχψχψψψψχχχχχχ------??
?=+-????
???????Φ=??
??
?=-?????
????+?????
例3.某个特殊的一维势阱具有下列束缚态单粒子能量本征函数：
123(),(),()x x x ψψψ其中123
εεε<<，两个没有相互作用的粒子置于该势阱中，
求下列三种情形体系可能达到的两个最向总能量值和相应的间并度，以及与上述
两能级相应的体系总波函数:
(1) 两个自旋为1
2的可区分粒子；（质量相同）
(2) 两个自旋为1
2的全同粒子；
(3) 两个自旋为0的全同粒子。
解：两粒子之间没有相互作用，单粒子的空间波函数满足的定态Schr?dinger 方程分别为：
2211121()()()2i i i U x x x x ψεψμ???-+=?????，1,2i
=
2222222()()()2j j j U x x x x ψεψμ???-+=?????
，1,2j =
则222
2121222
12()()()()22i j U x U x x x x x ψψμμ????--++???????
()12()()i j i j x x εεψψ=+? （1）两自旋为
1
2
的可区分粒子体系，波函数没有对称性，（不必对称化） 基态：总能量：112E ε=
波函数：111200111011()()2x x E ψψψχχε-=??
=??
?
空间部分，自旋部分，，
总波函数：()()11120011121()(),0,0()(),1,1,0,1s
s m s x x s m x x s m ψψχψψχ==???==-??，为4重简并
第一激发态：总能量：212E εε=+
总波函数：00112210012211()()()()s s m m x x x x χψψχχψψχ??????
???
????
??????
，为8重简并
（2）两自旋为
1
2
的全同粒子体系（总波函数反对称）
基态：112E ε=
波函数空间部分为1112()()x x ψψ是对称的，则空间部分为反对称的取为00χ 总波函数为：111200()()x x ψψχ?，是非简并 第一激发态：212E εε=+
总波函数：
]]1122122111122122100
()()()(),1,0,1()()()()s A s m s s A x x x x m x x x x ψχψψψψχψχψψψψχ?
=-?=-????=+???
（3）两自旋为0的全同粒子体系（总波函数为对称的） 基态：112E ε=
波函数的自旋部分:1212120,,
0,0s s s s s s s s m ===--==
所以0000(1)(2),(0,0)s s m χχχ===，是对称的
空间部分波函数也必为对称的，即1122()()x x ψψ 总波函数为：112200()()x x ψψχ?，非简并 第一激发态：212E εε=+
波函数的自旋部分为：00χ，对称的，所以空间部分也为对称的
]1122122100()()()()x x x x ψψψψχ+?，非简并 6.4 氦原子
了解概念及意义
1. 正氦：处于三重态的氦
2. 仲氦：单态的氦（基态的氦）
3. K 的物理意义：两电子相互作用的库伦能
4. J 的物理意义：两电子交换能
6.5 氢分子、化学键
了解概念
异级键（或离子键）同级键（或共价键）P
237
全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(2 2 =y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。 2．求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ，得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件，得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ
全同粒子体系
第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ
全同粒子体系习题解
全同粒子体系习题解-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ 01?102x S ??= ??? ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?2 222 121 =???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 =??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求4)()(2 22 2z y x S S S ≥?? 16)()(422 =??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ??
第七章-自和全同粒子
第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S
它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 s z =± 12 η； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =- e m S , (7. 2) μμs e B z e m =± =±η 2, (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电
子的质量，μB ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） μs e s e z z s e m g e m =- =2, (7. 4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数, 是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为
1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述
ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这 两个变量，s z只能取 ±η/2这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2, (7. 5) 讨论： ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2 ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；
(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)
g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数
复习大纲_量子力学
第二章薛定谔方程 基本要求： 1、了解光和微观粒子的波粒二象性，熟悉德布罗意关系； 2、理解波函数的表达形式及其物理意义； 3、掌握薛定谔方程的基本公式 4、理解波函数的标准条件和态叠加原理，并能应用到薛定谔方程的求解中； 5、什么是定态薛定谔方程，它的解有什么特点？ 6、熟练应用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱中的粒子； 7、理解一维线性谐振子波函数的形式及能量的量子化，并能进行简单计算； 8、了解微观粒子遇到方势垒的反射与透射。为什么在粒子能量小于势垒时，仍可以部分透射？ 第三章力学量的算符 基本要求： 1、什么是力学量的算符，掌握常见物理量的算符表达式； 2、什么是本征方程，算符的本征值和本征函数指的是什么？能够通过本征 方程求解算符的本征值； 3、熟悉算符的基本运算规则； 4、什么是线性厄米算符，它有哪些性质？会判断哪些算符是厄米算符； 5、厄米算符本征函数的正交性和完全性指的是什么？ 6、不同力学量同时有确定值的条件是什么？ 7、熟悉量子力学的不确定关系。 第四章氢原子和类氢离子的波函数和能级 基本要求： 1、了解有心力场中电子的特征； 2、理解库仑有心力场中电子波函数的描述方法，理解量子数的概念； 3、理解库仑有心力场中电子能级的量子化，理解简并度的概念； 4、理解轨道角动量的概念，能够证明轨道角动量各分量以及L2与各分量间 的相互关系； 5、理解核外电子的径向几率分布和角几率分布，会求简单系统的径向几率 分布和角几率分布。 第五章定态微扰论原子的能级 基本要求：
1、什么是微扰，采用定态微扰论近似求解能量本征算符H ∧ 本征方程的基本要求是什么？ 2、熟悉无简并定态微扰论中能量和波函数的一级修正，会求简单系统的一级近似； 3、了解有简并定态微扰论中波函数的零级近似和能量的一级近似； 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、什么是全同粒子？ 2、电子的自旋指的是什么？ 3、自旋角动量算符有哪些性质，其本征值是多少？若计入电子自旋，氢原子波函数需要哪些量子数描述，才能完整描述其电子的运动状态？ 4、全同粒子的不可区分性指的是什么？全同粒子体系的H ∧ 交换不变性是什么意思？ 5、由全同粒子组成的体系，若全同粒子是自旋为半整数的费米子，其波函数为反对称波函数；若全同粒子是自旋为零或整数的波色子，则波函数为对称波函数。全同粒子体系的波函数，除了满足标准条件外，还须满足对称或反对称。 6、泡利不相容原理指的是什么？ 7、对于具有多个电子的原子，受泡利不相容原理的限制，原子中的电子如何排列？ 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、了解电子在周期性微扰下的跃迁几率，在什么条件下，跃迁几率最大？ 2、原子与光子的相互作用有哪几种？其跃迁几率主要受那些因素影响？ 3、在有心力场情况下，状态间允许跃迁的选择定则是什么？
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m ，电荷q ，磁矩M ，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为 全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H 算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S = ，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： ()()()122211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 1 2 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12,,i j N q q q q q ψ
全同粒子体系
全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）
全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解 1.求在自旋态)(2 1z S χ中,x S ?与y S ?的不确定关系:?)()(2 2 =y x S S ?? 解:在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论:由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?,y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中,2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。 2.求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值与所属的本征函数。 解:x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值 2η 的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ,得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ,得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件,得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ
量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习
第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)
(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为
其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合
第六章自旋与全同粒子
第六章：自旋与全同粒子 [1]在x σ ?表象中，求x σ?的本征态 （解） 设泡利算符2 σ，x σ，的共同本征函数组是： ()z s x 2 1 和()z s x 2 1 - （1） 或者简单地记作α和β，因为这两个波函数并不是x σ ?的本征函数，但它们构成一个完整系，所以任何自旋态都能用这两个本征函数的线性式表示（叠加原理），x σ ?的本征函数可表示： β αχ21c c += (2) 21,c c 待定常数，又设x σ ?的本征值λ，则x σ?的本征方程式是： λχχσ =x ? (3) 将（2）代入（3）： ()()βαλβασ 2121?c c c c x +=+ (4) 根据本章问题6（P ．264），x σ ?对z σ?表象基矢的运算法则是： βασ =x ? αβσ=x ? 此外又假设x σ?的本征矢（2）是归一花的，将（5）代入（4）： βλαλαβ2111c c c c +=+ 比较βα,的系数（这二者线性不相关），再加的归一化条件，有： ) 6()6() 6(12221 1 221c b a c c c c c c ------------------------------------??? ??=+==λλ 前二式得12 =λ，即1=λ，或1-=λ 当时1=λ，代入（6a ）得21c c =,再代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12=
δ 是任意的相位因子。 当时1-=λ，代入（6a ）得 21c c -= 代入(6c)，得： δi e c 2 11= δi e c 2 12- = 最后得x σ ?的本征函数： )(21βαδ+= i e x 对应本征值1 )(2 2βαδ-= i e x 对应本征值-1 以上是利用寻常的波函数表示法，但在2 ??σσ x 共同表象中，采用z s 作自变量时，既是坐标表象，同时又是角动量表象。可用矩阵表示算符和本征矢。 ??????=01α ?? ? ???=10β ??????=21c c χ （7） x σ ?的矩阵已证明是 ?? ? ???=0110?x σ 因此x σ ?的矩阵式本征方程式是： ?? ????=?????????? ??21211010c c c c λ （8） 其余步骤与坐标表象的方法相同，x σ ?本征矢的矩阵形式是： ??????=1121δi e x ?? ? ???-=1122δi e x [2]在z σ表象中，求n ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn 是) ,(?θ方向的单位矢。 （解） 方法类似前题，设n ?σ算符的本征矢是： βα21c c x += (1)
第6章自旋与全同粒
第6章自旋与全同粒子 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。 §6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点 一．实验事实 1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验： 现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。 解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向 如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。即自旋磁矩。 2．碱原子光谱的双线结构 如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它 是由很靠近的两条谱线组成 3．反常塞曼(Zeeman)效应 1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。 二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设 1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值 2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是
为玻尔磁子 这个比值称为电子自旋的回转磁比率. 轨道运动的回转磁比率是 三．电子自旋的特点 乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。但把电子的自转看成机械的自转是错误的。设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。电子自旋及相应的磁矩是电子本身的内禀属性。 特点： 1．电子具有自旋角动量这一特点纯粹是量子特性，它不可能用经典力学来解释。它是电子的本身的内禀属性，标志了电子还有一个新自由度。 2．电子自旋与其它力学量的根本区别为，一般力学量可表示为坐标和动量的函数，自旋角动量与电子坐标和动量无关，不能表示为，它是电子内部状态的表征，是一个新的自由度。 3．电子自旋值是，而不是的整数倍。 4．，而两者在差一倍。 自旋角动量也具有其它角动量的共性，即满足同样的对易关系 §6.2 电子的自旋算符和自旋函数 一．自旋角动量算符 在空间任意方向上的投影只能取值（由实验所得假设） 本征值都是 ,
第七章-自旋与全同粒子 lt
第七章例题剖析 1求自旋角动量在任意方向n [方向余弦是(cos α，cos β，cos γ)]的投影γβαc o s c o s c o s z y x n s s s s ++=的本征值和本征矢。 [解] 自旋算符的矩阵表示为 ??? ? ??-=???? ??-=???? ??=10012;002;01102 z y x s i i s s ?????????? ??-+???? ??-+???? ??=∴γβαcos 10 01 cos 00cos 01102i i s n ???? ??-+-=γβαβ αγ c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2i i 令s n 的本征矢为 ???? ??=ηξψ 它必然是一个两行两列的矩阵，s n 的本征方程为 λψψ2 =n s 则 ???? ??=???? ?????? ?? -+-ηξληξγβαβ αγ2cos cos cos cos cos cos 2 i i 就有 ???=+-+=-+-) 2(0)(cos )cos (cos ) 1(0)cos (cos )(cos ηλγξβαηβαξλγi i ηξ,不同时为零的条件是其系数行列式为零，即 0)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβ αλγi i 展开得： 0)c o s (c o s )(c o s 2222=+---βαλγ 1012±==-∴λλ 因此 n S 的本征值为2 ± 下面求本征矢： （1）当2 =n S 时，即1=λ时，由①式得 ηβαξγ)cos (cos )1(cos i --=- ηγβ αξcos 1cos cos --=i ??? ? ? ??--=ηηγβαψcos 1cos cos i 利用归一化条件
量子力学第九章习题
第九章 多粒子系的量子力学 9-1 两个质量为m 的全同粒子，在弹性势场中运动，2222112 1,21kx V kx V ==，忽略粒子间的相互作用。（1）写出体系的总能量算符及单粒子状态的基态和第一激发态（作为一维问题）。 （2）将H ?用质心坐标X 和相对坐标x 表示，讨论质心运动和相对运动的特征。（3）如一个粒子处于基态，一个粒子处于第一激发态，写出体系的对称和反对称的轨道波函数，并用质心坐标和相对坐标表示。 9-2 下列波函数中，哪些是完全对称的？哪些是完全反对称的？ （1）)2()1()()(21ααr g r f ，（2）[])2()1()2()1()()(21αββα-r f r f （3）[][])2()1()2()1()()()()(2121αββα--r f r g r g r f （4）)(21221r r e r +-α （5）)(21r r e --α 9-3 设有一体系由两个自旋量子数为3/2的全同粒子组成。问体系对称的自旋波函数有几个？反对称的自旋波函数有几个？ 9-4 设两个电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是222 1)(r m r U ω=。如果电子之间的库仑能和U （r ）相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。 9-5 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构造？ 9-6 考虑由3个玻色子组成的全同粒子体系。限定单粒子状态只能是γβαψψψ和,，试写出体系的所有可能状态波函数。 9-7 考虑在无限深势阱（0 第七章 自旋与全同粒子 第一部分: 基本概念和基本思想题目 1. 描述全同粒子的波函数应具什么性质? 2. 玻色子是否受泡利原理的限制? 为什么? 3. 描述全同粒子体系的波函数有什么特征? 4. 电子的自旋可用 ()z S a X b ??= ??? 表示,试说明|a|2 与|b|2的物理意义。 5. 当单电子处于任一自旋态时，测量S x 、S y 各可能测到哪些值？ 6. 费米子与玻色子体系对描述其状态的波函数有什么要求？ 7. 提出电子有自旋的实验根据是什么？ 8. 斯特恩－盖拉赫实验中为什么要选用基态氢原子？ 9. 考虑电子自旋后，电子波函数在形式上有什么特点？ 10. 说明积分2 |(,,,,) x y z t d ψτ??? 的物理意义。 11. 古德斯米特－乌伦贝克关于电子自旋的基本假设是什么？ 12. 电子自旋磁矩与自旋角动量之间的关系是什么？ 13. 电子自旋是如何表示的？ 14. 无耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 15. 耦合表象中，哪些力学量是对角矩阵？ 第二部分：基本技能训练题 1. 试求泡利算符?x σ 的本征值和本征函数。 2. y z ??? i 证明＝x σ σσ 3. 221y 2 ??X ()S S (S )(S )? 求在自旋态中，与的测不准关系：z x x y s ???= 4. 求下列状态中J z 的本征值 1112 1101 112 2 1211() ()(,) () ()(,)()(,)] z z z X S Y S Y X S Y ψθ?ψθ?θ?- == + 5. 01021020 求及的本征函数与本征值。 x y i S S i -?? ?? == ? ????? 6. 求自旋角动量在（cosα，cosβ，cosγ）的投影 ????cos cos cos n x y z S S S S αβγ=++的本征值和本征函数。 在这些本征态中，测量S z 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？ 7. 下列波函数中，哪些是完全对称的？ 哪些是反对称的？ 1212211122 2 2111211122 2 2 2 12341() 2121() () f(r )()()() () r () f(r )()[()()()()] () z z r r z z z z r r g r X s X s e f r X s X s X s X s e αα-+----- 8. 设氢原子的状态是 21112110122z z L S R Y R Y ψ?? ? ?= ?- ??? 求＝？＝？ 9. (1)(2)(3)(4) s s s A X ,X ,X X 证明和组成正交归一系。 10. 在1z 2 X (s )态中测量S z 可得到哪些可能值？可能值的几率分别是多 《量子力学》题库 一、简答题 1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： ων ==h E k n h p ==?λ 其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒 子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。 3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。 4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。 答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态， 又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。 在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2 1c 和2 2c 。 5 什么是定态？定态有什么性质？ 答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。 6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 两者的关系是由全同性原理出发，推论出全同粒子体系的波函数有确定的交换对称性，将这一性质应用到费米子组成的全同粒子体系，必然推出费米不相容原理。 7 试简述波函数ψ的标准条件。 答：波函数在变量变化的全部区域应满足三个条件：有限性、连续性和单值性。 8 为什么表示力学量的算符必须是厄米算符？ 答：因为所有力学量的数值都是实数。而表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值， §7-6 全同粒子的特性 一、全同粒子 1．全同粒子：所有固有（内禀）性质（静止质量、电荷、寿命、自旋、同位旋、内禀磁矩等）完全相同的微观粒子。 例如：电子偶素（由一个正电子和一个电子所组成的一种束缚系统）中的电子、金属中的电子、氢原子中的电子和氦原子中的电子等，不论它处于何种物质中，在什么地方，内禀性质都一样，故所有电子是全同粒子；而质子和中子，正负电子，内禀性质不完全相同，如带电状态不同，它们不是全同粒子。 2．全同粒子体系：由两个或两个以上的全同粒子组成的体系。如金属中的电子；氦原子中的电子；核中的质子或中子的集合。 3．全同粒子的不可区分性 经典力学中，尽管两个全同粒子的固有性质完全相同，仍可区分这两个粒子。因为都有自己确定的位置和轨道，即任一时刻它们都有确定的坐标和速度，可判定哪个是第一粒子，哪个是第二个粒子。例如同一牌子的解放牌汽车，它们不能在同一时刻处于同一位置，由初始状态和运行轨道的记录可以区分它们（建立档案）。 微观全同粒子不可区分，同一时刻它们可以处于同一位置。两个全同粒子可用两个波函数表示，在运动过程中，空间中发生重叠，此区域无法区分。只有当波函数完全不重叠时，才可区分。 二、全同性原理 由全同粒子的不可区分性导致全同性原理的假设。 以氦原子为例：氦原子中有两个电子，假设一个处于基态，而另一个处于第一激发态。 02212a e Z E s -= 202222 2a e Z E s -= 体系的能量为21E E E +=。若把两个电子的位置和自旋交换，能量E 的状态不变。于是得到量子力学中的全同性原理，即 全同粒子组成的体系中，任意交换两个全同粒子，体系的物理状态保持不变。 三、全同粒子体系的波函数与哈密顿及其特性 1．全同粒子体系的波函数与哈密顿 有一由N 个全同粒子组成的体系，以(,)i i iz q r S =代表第i 个粒子的坐标和自旋，波函数可写成 ),,...,,(21t q q q N Φ=Φ 体系的哈密顿可以表述为 ∑∑=≠+??????+?-=N i j i j i i i N q q W t q U t q q q H 12221),(21),(2),,...,,(?μ ),(t q U i 是第i 个粒子在外场中的势能，),(j i q q W 是第i 个粒子与第j 粒子之间的相互作用能。 2．全同粒子体系的特性（全同性原理的特性） 定义交换（置换）算符ij P ?： ),,...,,...,,...,(),,...,,...,,...,(?11t q q q q t q q q q P N i j N j i ij Φ≡Φ ),,...,,...,,...,(?),,...,,...,,...,(??11t q q q q H t q q q q H P N i j N j i ij ≡第七章-自旋与全同粒子-习题 y
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量子力学32