全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解
1．求在自旋态)(2
1z S χ中，x
S ?和y S ?的不确定关系：?)()(2
2
=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2
1z S χ、x
S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2
1z S χ 01?102x S ??= ???h ???
? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2
1z S χ态中
00101102)0 1(2
12
1
=???
?
??????
??==
+ηχχx x S S 4
010*********)0 1(?2222
121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+
χχx x
S S 4
)(22
22
η=-=?x
x
x S S S 001002)0 1(?2
121=???
? ?????? ??-==+
i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222
121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+
i i i i S S y
y
χχ 4
)(22
22
η=-=?y
y
y S S S 16
)()(4
2
2
η=??y x S S
讨论：由x
S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z
S i ?η= 要求4
)()(2
2
2
2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ①
在)(2
1z S χ态中，2
η
=
z S ∴ 16
)()(4
2
2
η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。
2．求???
?
??--=???? ??=002?01102?i i S S y x
ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x
S ?的久期方程为
02
2=--λ
λ
ηη
20)2(22ηη±=?=-λλ
∴ x
S ?的本征值为2
η±。 设对应于本征值的本征函数为 ???
?
??=112/1b a χ
由本征方程 2/12
/12
?χχη
=x S ，得 ????
??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =????
? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11*
1*1=???
?
??a a a a 即 122
1
=a ∴ 2
1 2
111=
=
b a
对应于本征值
2η的本征函数为 ???
?
??=11212/1χ 设对应于本征值2η
-
的本征函数为 ???
? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??-
=--222/12/12?b a S x χχη
222222 a b b a a b -=????
? ??--=???? ??? 由归一化条件，得 1),(22*
2*
2=???
?
??--a a a a 即 122
2=a ∴ 2
1 2
122-
==
b a
对应于本征值2η-
的本征函数为 ???
? ??-=-11212/1χ
同理可求得y
S ?的本征值为2
η
±。其相应的本征函数分别为 ???? ??=
i 1212
1χ ???
? ??-=-i 12121χ 3．求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影
γβαcos ?cos ?cos ??z
y x n S S S S ++= 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？的平均值是多少？
解：在z S ? 表象，n
S ?的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102????? ??-+???? ??-+???? ??=ηηηi i S n ???
?
??
-+-=γβ
αβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η 其相应的久期方程为
0cos 2
)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγηηηηi i 即0)cos (cos 4
cos 42222
22
=+--βαγληη
04
2
2
=-ηλ )1cos cos cos (222=++γβα利用
? 2
η
±=λ
所以n
S ?的本征值为2
η±。 设对应于2η
=n S 的本征函数的矩阵表示为???? ??=b a S n )(21χ，则 ???
?
??=???? ?????? ??
-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβ
αβαγ
b b i a =-+?γβαcos )cos (cos γ
β
αcos 1cos cos ++=
i b
由归一化条件，得2
2*
*
),(12
121b a b a b a +=???
? ??==+
χχ 1cos 1cos cos 2
2
2
=+++a i a γ
βα
1cos 122
=+a γ
??????
??+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(2
1γβαγχi S n ?????
?
??+++=)
cos 1(2cos cos 1cos 1)(2
1γβαγχi S n
21
2
1)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012
cos 1)(2
1-++++=
???
?
??+++
???? ??+=
χγβ
αχγγβαγχi i S n
2
1
21)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012
cos 1)(2
1
-++++=
???
? ??+++???? ??+=
χγβ
αχγγβαγχi i S n
可见， z
S ?的可能值为 2
2ηη- 相应的几率为 2
cos 1γ
+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++
γγγcos 2
2cos 122cos 12η
ηη=--+=z S
同理可求得 对应于2
η
-=n S 的本征函数为
?
???
?
?
??-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(2
1γβαγχi S n
在此态中，z
S ?的可能值为 2 2ηη- 相应的几率为 2cos 1γ- 2
cos 1γ
+
γcos 2
η
-=z S
讨论：算符z
S ?的本征值为2
η±，而z 方向为空间的任意方向。现在把z 方向特别选为沿n ρ方向（这相当于作一个坐标旋转），则n S ?
ρ的本征值也应为2
η±。另外我们知道，本征值
和表象的先取无关。这样选择n z ρ
ρ//并不影响结果的普遍性。 同理y
x S S ??和的本征值也都是2
η±。 我们也可以在n
S ?为对角矩阵的表象中（n S 表象）求本征矢。显然这时n
S ?ρ的知阵为
??????
?
?-2002ηη
所以本征矢为???
? ?????? ??1001及
注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在n S ?
ρ表象，而上面算出的
z S 是在2
ηψ表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。
4．在z σ表象中，求n ρ
ρ?σ的本征态，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θn ρ是)
,(?θ方向的单位矢。
（解） 方法类似前题，设n ρ
ρ?σ算符的本征矢是：
βα21c c x += (1)
它的本征值是λ。又将题给的算符展开：
z y x n σθσ?θσ
?θσ?cos ?sin sin ?cos sin ++=?ρ
ρ (2) 写出本征方程式：
()()()βαλβασθσ
?θσ?θ2121?cos ?sin sin ?
cos sin c c c c z y x
+=+++ (3) 根据问题（6）的结论，x σ
?,y σ?对2
??σσz 的共同本征矢α，β，运算法则是 βασ
=x ? ， αβσ=x ? ， βασi y =? ， αβσ
i y =? ， αασ=z ? ， ββσ-=z ? （4） 将这些代入（3），集项后，对此两边α，β的系数：
?
?
?=-+=++221
1cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθ?θ?θλ?θ?θθ （5）
或 ?
??=+-?=?+--0)(cos sin 0
sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθ?
? （6） （6）具有非平凡解（平凡解01=c ，02=c ）条件是久期方程式为零，即
0cos sin sin cos =----λ
θθθλθ?
?i i e e 它的解12
=λ （7） 1=λ 时，代入（6）得：
122
c e tg
c i ?=?θ
（8）
（1） 的归一化条件是： 12
2
2
1=+c c
将（8）代入（9），得： 2cos )
(1θ?δ-=i e
c 2
sin 2θ
δi e c =
归一化本征函数是： ?
????
?+=--βθαθχ?
δ
2sin 2cos 1i i e e
（10） 1-=λ时，21,c c 的关系是：
122
c e ctg
c i ?-=-?θ
归一化本征函数是：
?
???
??
+-=-βθαθχ?δ2cos 2
sin 2i i e e （11）
δ是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解：运用矩阵算符：
?
??
???=0110?x σ ，??????-=00?i i y σ ，??
?
???-=1001?z σ （12） ??
?
???-=?-θθθθσ?
?cos sin sin cos i i e
e n ρρ (13)
本征方程式是：
??????=????????????--2222cos sin sin cos c c c c e
e i i λθθθθ?
? (14) n ρ
ρ?σ的本征矢是：
??????????=-δ?δθθi i e e 2sin 2cos 1)( , ?
???
??????-=-δ?δθθi i e e 2cos 2sin 2)( (15)
补白：本征矢包含一个不定的 相位因式δ
i e ，由于δ可以取任意值，因此21,χχ的形
式是多式多样的，但（15）这种表示法是有普遍意义的。
5.若???,,x y z σ
σσ为泡利矩阵，证明：i z y x =σσσ???，并求： （1）在z σ表象中z y x σσσ,,的归一化本征函数； （2）在x σ表象中,y z σσ的归一化本征函数；
证：由对易关系z x y y x i σσσσσ
?2????=- 及 反对易关系0????=+x y y x σσσσ
， 得 z y x i σσσ???= 上式两边乘z σ
?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ ∴ i z y x =σσσ??? （1）在z σ表象中，z σ的矩阵是???? ??-=1001
z σ 因此z σ的本征值是1，而本征矢为???
? ?????
?
??01,
10都已归一化。
在z σ表象中???
?
??=0110x σ；设其本征值为，本征矢为???? ??=???? ?????? ??????
??2121210110,a a a a a a λ则 容易求得1±=λ相应的归一化本征函数为
???
?
??-???? ??11211121和 同理，在z σ表象中，???? ?
?-=00
i
i y σ，设其本征值为μ，本征矢为???
?
??21b b ，则 ???
? ??=???
? ?????? ??-212100b b b b i i μ 可求得：1±=μ相应归一化本征函数为
???
? ??-???? ??i i 121121和 （2）求在x σ表象中。算符x σ
?，z y σσ??和的矩阵形式： 在z σ
?表象中，算符x σ?，z y σσ??和的矩阵形式为 ???
?
?
?-=???
?
??=???
?
??-=00;
0110;
1001i
i y y z σσσ 对坐标轴作一旋转，把原来的z 轴换成x 轴，x 轴换成y 轴，y 轴换成z 轴。根据轮换
关系，容易得出在x σ表象中，算符x σ
?，z y σσ??和的矩阵形式为： ????
??-=???
?
??=???? ??-=00;
0110;
1001i i z y x σσσ
在x σ表象中y σ?的本征值和本征矢：设本征值是????
??21,a a 本征矢是λ，则
???
?
??=???? ?????? ?????
? ??=???? ??212121210110,a a a a a a a a y λ
λσ即 就有 ??????=+-=-→==00
21212
112a a a a a a a a λλλλ a a 和1具有非零解的条件是
10
11
±=∴=--λλ
λ 当 1=λ时：????
??=∴-=+111112a a a ψ
归一化后得：2
1,12,
111)1,1(12121=
∴==???
? ??=*
a a a ψψ
???
?
??=
∴
+112
11ψ
???
?
??-==-=-111111
2a a a ψλ时
进行归一化得21
,111)1(12
1==???
?
??--=*a a a ψψ ???
? ??-=
∴
-112
1
1F 在z x σσ?,表象中的本征值和本征矢：设z σ?的本征值为???
?
??21,b b 本征矢为μ，则
???==-∴???? ??=????
?????? ??-21
1211,00b b i b ib b b b b i i μμμ 21b b 和具有非零解的条件是
10,022±=∴=--∴=-μμμ
μi i i
当 1=μ时，???? ??=∴=+i b ib b 1,1112ψ，归一化后得???? ??=+i 1211ψ 当 1-=μ时，???? ??-=∴-=-i b ib b 1,1112ψ，归一化后得????
??-=-i 1211ψ 讨论：①大家知道，在z σ表象中，y x σσ
?,?和z σ?的本征值都是1，现在又证明了，在x σ表象中，算符x σ
?，y σ?和z σ?的本征值仍然是1，这个结果充分说明了算符的本征值不随表象变换而改变的规律。
②在求x σ表象中，y σ
?，z σ?的矩阵表示时，我们是利用x ，y ，z 方向本来是任意选择的，可以经过轮换而得出。除此以外，还可以利用第四章第5题的方法，通过表象
变换的方法来求出y σ
?和z σ?在x σ表象中的矩阵表示，结果是完全一致的。 ③由于泡利矩阵x σ，y σ，z σ的本征值是1，而σ?
η?z
s =
，因此容易推得，自旋算符y x s s
?,?和z s ?的本征值是2
η
±，它们也不随表象变换和改变。 6．设矩阵ABC 满足12
2
2
===C B A ，iA CB BC =- (1) 求证0=+=+CA AC BA AB
(2) 在A 表象中，求出B ，C 得矩阵（设无简并）。 【解】将iA CB BC =-式左乘B ，利用12
=B ，得 iBA BCB C =- 同式右乘B ，利用12
=B ，得
iAB C BCB =-
相加得0=+BA AB ，同样，将C 左乘、右乘前述一式，可得 0=+CA AC
在用A 表象时，A 的本征矢ψ是基矢，它满足本征方程式：
λψψ=A
? (1) 但λ是本征值，从复用A
?运算于（1）得： ψλψλψ2?)?(?==A A A
但ψψ?=12
A ，所以12
=λ
1,1-=λ；假定A
?没有简并态，A ?仅有两个本征值，在A
?自身表象中，其矩阵是对角的，矩阵元是本征值1和-1 ??
?
?
??-=1001A （2） 设B 的矩阵 ?
?
?
?
??=d c b a B ，将它代入等式0=+BA AB 010011001=??
????-??????+????????????-d c b a d c b a 简化为02002=??
????-d a ，得00==d a
因此B 是反对角矩阵： ??
?
?
??=00c b B （3） 代入条件1?2
=B
，有： ??
????=??????=????????????010*******bc bc c b c b 得1=bc 即b
c 1
=
得到含有一个待定常数的矩阵
???
?
????=010b b B 关于另一矩阵C 也有类似的计算，由于C 满足12
=C 和0=+CA AC ，因此C 的矩阵（含有一个未定常数的）写作：
???
?
????''=010e e C （5） 待定常数b 和e 之间尚需满足题给的约束条件iA CB BC =-，将它列成矩阵：
?????
?-=????????????????''-????????''????????i i b b e e e e b b 00010010010010 即
i b
e e b ='
-',或022='-'=e i e b b 解出e 用b 的项表示：
b e b i
e 6)2
23(π
=+±='
或 6
5i
be
e π='
7．满足下列条件的n 维矩阵,称为n SU 矩阵
1=+=+UU U U 1det =U
试求2SU 的一般表示式。 【解】设:
??????=d c b a U 则??
?
???=+
**
**d c
b a U 代入题给的第一个条件
??
?
???=?????????????1001****d c b a d c b a 化成等效的条件???????----=+----=+----=+----=+)
4(1)
3(0)
2(0)
1(1***
**
***dd cc db ca bd ac bb aa 同理，代入第二个条件
??
????=?????????????1001**
**
d c b a d c b a ???????----=+----=+----=+----=+)
4(1)3(0)
2(0)1(1***
**
***d d b b c d a b d c b a b b a a 前列出的八个方程式并非完全独立。
容易看出（2）与(3)是复共轭，（6）（7）也是复共轭式，；因此只有六个不相关方程式，因
2
**a aa a a ==
等，又（1）（5）相减，（1）（8）相减，得两个关系式：
2
2
22d
a c
b == (9)
(10) 根据（1）：12
2
=+b
a ，因此在不失普遍性的情况下，可以设定以下形式：
ω22
cos =a αωi e a cos = （11） ω22
sin =b βωi e b sin = (12)
式中ω必是实数，而α，β任意实数得相因子，根据（9）和（10），同样可设：
γωi e c sin = （13） δωi e d cos = （14）
这四个元素满足（1）（4）（5）（8）和（9）（10），但对于（2）或（3），对于（6）或（7）这两个条件的满足，给初相位α，β，γ，δ一些限制，将a ,b ,c ,d 的表达式代入(2)得：
0)()(=+--δβγαi i e e （15）
如果使用（3）、(6)、(7)诸式，实际上得不到新的关系，又将（15）遍乘)
(βα+i e
得：
0)()(=+++γβδγi i e e (16)
其次我们使用题给得第三个独立条件1det =U ，有
1sin cos )
(2)(2=-=-=?
?
????++γβδαωωi i e e bc ad d c b a （17） 将（16）的关系代入（17）得：
1}sin {cos 22)(=++ωωδαi e
即 1)
(=+βαi e
因而有 αδ
i i e e
-=
又从（16）得 1)()
(-=-=++δαγβi i e e
，
γβi i e e -=- （19）
由此看来α
i e ，β
i e ，γ
i e ，δi e 只有两个独立，我们若选用αi e 和β
i e 表示各元素，有
???
?
????-=??????=--αβ
βα
ωωωωi i i i e e e e d c b a U cos sin sin cos 8．
9．设氢的状态是 ?????
?
??-=),()(23),()(2
110211121?θ?θψY r R Y r R ①求轨道角动量z 分量z
L ?和自旋角动量z 分量的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ??2?ρ
ρρμ
μ--=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。
解：ψ可改写成???
? ??-???? ??=
10),()(23
01),()(2110211121?θ?θψY r R Y r R
211112110122
1()(,)()()(,)()2z z R r Y S r Y S θ?χθ?χ-=
从ψ的表达式中可看出z
L ?的可能值为 η 0 相应的几率为
41 43 4
η=?z L 的可能值为
2η 2η- 相应的几率2
i C 为 41 4
3
4
4324122
ηηη-=?-?==∑zi i z S C S )4(422ηη-?-?-=--
=μμμμe e S e L e M z z z B M e 4
142=?=ημ 10．0t =时氢原子处于态
100021112110211,11
()(,)()(,)4
4(,,0)2
()(,)()(,)44z R r Y R r Y r S R r Y R r Y θ?θ?ψθ?θ?-??+????=??+????
r
忽略自旋——轨道相互作用，（1）求能量E ，轨道角动量2
L ，z L 即自旋角动量z S 的可能取值，相应几率及平均值；（2）写出t 时刻波函数。
解：容易验证，波函数是归一化的
?1249(,,0)(,,0)116161616
z z r S r S d ψψτ=
+++=?
r r
42
221
1;(1);;22
s n z z
e E L l l L m S n μ=-
=+==±h h h （1）能量的可能取值
11．证明)
3()2()1(,,S S S χχχ和A χ组成的正交归一系。 解：)]()([)]()([22/112/122/112/1)
1()1(z z z z S S
S S S S χχχχχχ++= )()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S χχχχ++=
1
)()(22/122/1==+z z S S χχ
)]()([)]()([22/112/122/112/1)
2()1(z z z z S S S S S S --++=χχχχχχ
)()()()(22/112/112/122/1z z z z S S S S --++=χχχχ
=0
)]()()()([)]()([2
122/112/122/112/122/112/1)3()1(z z z z z z S S S S S S S S χχχχχχχχ--+++??
=
)]
()()()( )()()()([2
1
22/112/112/122/122/112/112/122/1z z z z z z z z S S S S S S S S χχχχχχχχ-++-++++
=
]0)()([2
122/122/1+=
-+z z S S χχ
同理可证其它的正交归一关系。
)]
()()()([)]()()()([2
1
22/112/122/112/122/112/122/112/1)3()3(z z z z z z z z S S S S S S S S S S χχχχχχχχχχ--+--++??
+=
)]()([)]()([21
22/112/122/112/1z z z z S S S S -+-=χχχχ )]()([)]()([21
12/122/122/112/1z z z z S S S S -+-+χχχχ )]()([)]()([2
1
12/112/112/122/1z z z z S S S S -+-+χχχχ
)]()([)]()([21
12/122/112/122/1z z z z S S S S -+-+χχχχ 12
10021=+++=
15．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态1φ和2φ，相应的能量为1ε和2ε。写出体系所有可能的波函数和能量 解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为1φ，2φ，则体系可能的状态为
1111213()()()q q q φφφΦ= 能量13ε 2212223()()()q q q φφφΦ= 能量23ε
3111223111322121321()()()()()()
()()()]q q q q q q q q q φφφφφφφφφΦ=
++ 能量 122εε+
4212213212312222311()()()()()()
()()()]
q q q q q q q q q φφφφφφφφφΦ=
++ 能量 122εε+ 附：（20分）已知氢原子在0=t 时处于状态
21310112(,,0)()()()010333x x x x ψ????????=-+
? ? ???????
其中，)(x n ?为该氢原子的第n 个能量本征态。求能量及自旋z 分量的取值概率与平均值，写出0>t 时的波函数。
解 已知氢原子的本征值为
422
1
2n e E n μ=-
h ， Λ,3,2,1=n （1）
将0=t 时的波函数写成矩阵形式
(
)()()231133(,0)23x x x x ?ψ???+ ? ?= ?
- ???
（2） 利用归一化条件
(
)()()(
)()()232**
*
2
31122
1123d 3332312479999x x c x x x x x c c
????∞
-∞??+ ??? ?+-? ? ? ??
?- ???
??=++= ???
? （3）
于是，归一化后的波函数为
(
)()(
)(
)(
)()232311133(,0)23x x x x x x x ?ψ???+?+???=
=
??- ??????
（4） 能量的可能取值为123,,E E E ，相应的取值几率为
()()()123412
,0;,0;,0777
W E W E W E === （5）
能量平均值为
()1234422
4120777
4111211612717479504E E E E e e μμ=
++=??-?+?+?=-????h h （6）
自旋z 分量的可能取值为,22
-h h
，相应的取值几率为
1234,0;,0277727z z W s W s ???
?==+==-= ? ????
?h h （7）
自旋z 分量的平均值为
()340727214
z s ??=?+?-=- ???h h h
（8）
0>t 时的波函数
(
)(
)()223311i i exp exp (,)i exp x E t x E t x t x E t ψ?????-+-??????????= ??? ?- ???????
h h h （9）
全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(2 2 =y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。 2．求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ，得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件，得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ
线性规划经典例题及详细解析
一、 已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ???≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22x y +的最小值就是 。 3. 已知变量x,y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤??≥??+≤? ,则 y x 的取值范围就是( )、 A 、 [95,6] B 、(－∞,95 ]∪[6,＋∞) C 、(－∞,3]∪[6,＋∞) D 、 [3,6] 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 与y 须满足约束条件?? ???≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值 就是 。 四、 已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥??-+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为( ) A. －3 B 、 3 C 、 －1 D 、 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥??+-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 ( ) A. 4 B 、 1 C 、 5 D 、 无穷大
线性规划典型例题
例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)
工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，
小粒子与大宇宙专题复习
2019中考复习专题《小粒子与大宇宙》 一、微观世界： 1、自然的尺度：我们周围的一切都市由物质组成的，从无垠的宇宙到微笑的基本粒子，物质以各种各样的形态展现着。 目前人类观测到的范围：1026 m——10—15 m 2、物质的组成：物质是由分子或原子组成的。 分子是报纸物质化学性质不变的最小微粒，是由意大利物理学家阿伏伽德罗命名的。 3、微观粒子： （1）分子是由原子组成的，按分子所含原子的个数可分为单原子分子和多原子分子。 （2）原子是由居于原子中心的原子核和核外电子组成的；原子核又是由质子和中子组成的，其中质子带正电，中子不带电。质子和中子是由夸克组成的。 二、分子的运动： 1、分子动理论： （1）物质是由大量分子构成的。 （2）一切物质的分子都在永不停息底做无规则运动。（扩散现象说明分子是运动的）（3）水与酒精混合时，总体积减小的现象说明：物质的分子之间存在着间隙。 （4）物体不一被压缩和拉伸说明：分子间存在相互作用的引力和斥力。 2、物质中的分子状态： （1）在固体中，分子力的作用比较强，因而固体有一定的体积和形状。 （2）在液体中，分子力的作用较弱，分子在一定的限度内可以运动，因而液体没有确定的形状，但有一定的体积。 （3）在气体中，分子力的作用更弱，因此气体分子可以自由地沿各个方向运动，因而气体没有固定的形状，也没有确定的体积。 三、探索宇宙： 1、探索的历程 （1）最初人们主要依靠肉眼观察，简单猜测与推理来认识宇宙。 （2）托勒密的“地心说”：认为地球居于中心，太阳和其他行星围绕地球转动。 （3）1543年，哥白尼提出了“日心说”，
（4）1632年，伽利略利用望远镜探索宇宙。 （5）1687年，牛顿发表了《自然哲学的数学原理》，为探索宇宙奠定了理论基础。 （6）1957年，第一颗人造卫星发射成功。 （7）1961年，人类乘飞船进入太空。 （8）1969年，人类首次踏上月球。 （9）2003年，中国首位航天员杨利伟乘“神舟五号”飞船进入太空。 2、浩瀚的星空： 太阳系是以太阳为中心的星系，包括八大行星66颗卫星，2000多小行星和彗星、流星。太阳系是银河系中的一个群体，宇宙中有很多象银河系这样的星系。 二：重点、难点突破 1、物质的结构： 例1、通常情况下，原子呈中性，这是因为（） A、组成原子的所有微粒都不带电 B、原子核带负电 C、中子不带电 D、原子核内质子所带的正电荷数与核外所有电子所带的负电荷数相等。 解析：原子是由位于中心的原子核和核外带负电的电子组成的，原子核是由带正电的质子和不带电的中子组成的。通常情况下，由于原子核中质子所带的正电荷数与河外电子所带的负电荷数相等，所以原子呈中性，不带电。 答案：D 小练习： 1、关于卢瑟福提出的原子结构的核式模型，下列说法中错误的是（） A．原子由质子和中子组成 B．原子由原子核和电子组成 C．原子的质量几乎集中在原子核内 D．原子核位于原子中心，核外电子绕原子核高速旋转 2、下列说法中正确的是（） A、空气中细小的灰尘就是分子 B、大雾中，我们看到空气中许多极小的水珠就是一个个小分子 C、把一块铜块锉成极细的铜屑就是铜分子
全同粒子体系
第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ
六种经典线性规划例题
线性规划常见题型及解法 求线性目标函数的取值范围 2 2 2 x y A D y 2 O x x=2 求可行域的面积 y y M 5 2 x y 2 y x y 2 x y 2 x y x (3,5] y =2 ( 13 例1 x+2y 时 6 的点 C 、 x ， 个 y 6 y 3 2 x + y —3 = 0 C 、 5 A 、 4 B 、 1 D 、无穷大 () 0,将 有 最小值 故选A .B A --- 作出可行域如右图 点个数为13个，选D x + y =2 则z=x+2y 的取值范围是 () 旦y =2 0 0表示的平面区域的面积为 三、求可行域中整点个数 解：|x| + |y| <2等价于 解：如图，作出可行域，作直线I : I 向右上方平移，过点A ( 2,0 ) 2,过点B ( 2,2 )时，有最大值 [2,6] B 、[2 ,5] C 、[3,6] 解：如图，作出可行域，△ ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的 面积即可，选B 例 3、满足 |x| + |y| <2 A 、9 个 B 、10 个 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性 目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 (x 0,y 0) (x 0,y p 0) (xp 0,y 0) (xp 0,y p 0) 是正方形内部(包括边界)，容易得到整 y)中整点(横纵坐标都是整数)有() D 、 14 个 2x 例2、不等式组x x 若x 、y 满足约束条件 y O C V —? x 2x + y —6= 0
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若x、y满足约束条件 2 2 2 x y x y ≤ ? ? ≤ ? ?+≥ ? ，则z=x+2y的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A 二、求可行域的面积 例2、不等式组 260 30 2 x y x y y +-≥ ? ? +-≤ ? ?≤ ? 表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|x|＋|y|≤2等价于 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) 2(0,0) x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥ ? ?-≤≥ ? ? -+≤≥? ?--≤ ? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D
四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x、y满足以下约束条件 5 50 3 x y x y x +≥ ? ? -+≤ ? ?≤ ? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、1 解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x、y满足以下约束条件 220 240 330 x y x y x y +-≥ ? ? -+≥ ? ?--≤ ? ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（） A、13，1 B、13，2 C、13，4 5 D 、 解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为4 5 ，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（） A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3） 解：|2x－y＋m|＜3等价于 230 230 x y m x y m -++>? ? -+- ? ? -< ? ,故0＜m＜3，选 C
新课标沪科版八年级物理第十一章小粒子与大宇宙教案
新课标沪科版八年级物理第十一章小粒子与大宇宙 科学内容： 1．知道物质是由分子和原子组成的。 2．了解原子的核式模型。了解人类探索微观世界的历程，并认识到这种探索将不断深入。 3．大致了解人类探索太阳系及宇宙结构的历程，并认识到人类对宇宙的探索将不断深入。 4．对物质世界从微观到宏观的尺度有大致的了解。 5．能从生活、自然中的一些简单热现象推测分子的热运动。初步认识宏观热现象和分子热运动的联系。 6．能举例说明自然界存在多种多样的运动形式。知道世界处于不停的运动中。 全章概述 自然界中的一切都是由物质组成。本章主要从微观的角度去探究物质的结构与物体的尺度，使学生能简单说明物质是由分子和原子组成的，了解原子的核式模型；大致了解人类探索微观世界的历程，并认识到这种探索将不断深入；了解分子动理论的基本观点，同时将微观世界和宇宙联系在一起，给出物质世界从微观到宏观的尺度的数量级；并将目前人类探索宇宙的过程展现给学生，使学生大致了解人类探索太阳系及宇宙结构的历程，而这种探索也是渐进的。 本章教材的重点是： 物质是由分子和原子组成的；分子动理论的基本观点；物质世界从微观到宏观的尺度的大致数量级概念；人类对微观世界和宇宙的探索将永无止境。 本章教材中包含两条科学探究主线:一是以文献资料为主的科学发展史的科学探究过程，主要在第一节“走进微观”、第三节“探索宇宙”中体现。另一个是以学生实验为主的科学探究过程，主要在第二节“看不见的运动”中体现。 课时安排：4课时 课时划分 第一节走进微观1课时 第二节看不见的运动1课时 第三节探索宇宙l课时 章节复习l课时 教学设计 教师活动备注 第一节走进微观 教学目标 知识与技能 能简单的说明物质是由分子和原子组成的，了解分子运动理论的基本观点。 过程与方法 对物质世界从微观到宏观的尺度有大致的数量级的概念。 情感态度与价值观 了解原子的核式模型，大致了解人类探索微观世界的历程，并认识到这种探 索将不断深入。 教学重点 1、物质是由分子和原子组成的。 2、原子的核式结构模型。 教学难点
全同粒子体系习题解
全同粒子体系习题解-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ 01?102x S ??= ??? ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?2 222 121 =???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 =??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求4)()(2 22 2z y x S S S ≥?? 16)()(422 =??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ??
高中数学线性规划经典题型
高考线性规划归类解析 一、平面区域和约束条件对应关系。 例1、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥?? +≤??≤≤? (C) 003x y x y x -≤?? +≤??≤≤? (D) 0003x y x y x -≤?? +≥??≤≤? 解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围 成一个三角形区域（如图4所示）时有0 003x y x y x -≥?? +≥??≤≤? 。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。 例2：在平面直角坐标系中，不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域的面积是（） (A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20 200x y x y y +-≤??-+≥??≥? 表示的平面区域是一个三角形。容 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： 11 ||||42 4.22 S BC AO =?=??=从而选Ｂ。 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 二、已知线性约束条件，探求线性截距——加减的形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的形式)目标关系最值问题（重点） 例3、设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则 ①y x 32+的最大值为 。（截距） 解析：如图1，画出可行域，得在直线 2x-y=2与直线x-y=-1 的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ②则2 2 x y +的最小值是 . ③1y x =+的取值范围是 . 图1
复习大纲_量子力学
第二章薛定谔方程 基本要求： 1、了解光和微观粒子的波粒二象性，熟悉德布罗意关系； 2、理解波函数的表达形式及其物理意义； 3、掌握薛定谔方程的基本公式 4、理解波函数的标准条件和态叠加原理，并能应用到薛定谔方程的求解中； 5、什么是定态薛定谔方程，它的解有什么特点？ 6、熟练应用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱中的粒子； 7、理解一维线性谐振子波函数的形式及能量的量子化，并能进行简单计算； 8、了解微观粒子遇到方势垒的反射与透射。为什么在粒子能量小于势垒时，仍可以部分透射？ 第三章力学量的算符 基本要求： 1、什么是力学量的算符，掌握常见物理量的算符表达式； 2、什么是本征方程，算符的本征值和本征函数指的是什么？能够通过本征 方程求解算符的本征值； 3、熟悉算符的基本运算规则； 4、什么是线性厄米算符，它有哪些性质？会判断哪些算符是厄米算符； 5、厄米算符本征函数的正交性和完全性指的是什么？ 6、不同力学量同时有确定值的条件是什么？ 7、熟悉量子力学的不确定关系。 第四章氢原子和类氢离子的波函数和能级 基本要求： 1、了解有心力场中电子的特征； 2、理解库仑有心力场中电子波函数的描述方法，理解量子数的概念； 3、理解库仑有心力场中电子能级的量子化，理解简并度的概念； 4、理解轨道角动量的概念，能够证明轨道角动量各分量以及L2与各分量间 的相互关系； 5、理解核外电子的径向几率分布和角几率分布，会求简单系统的径向几率 分布和角几率分布。 第五章定态微扰论原子的能级 基本要求：
1、什么是微扰，采用定态微扰论近似求解能量本征算符H ∧ 本征方程的基本要求是什么？ 2、熟悉无简并定态微扰论中能量和波函数的一级修正，会求简单系统的一级近似； 3、了解有简并定态微扰论中波函数的零级近似和能量的一级近似； 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、什么是全同粒子？ 2、电子的自旋指的是什么？ 3、自旋角动量算符有哪些性质，其本征值是多少？若计入电子自旋，氢原子波函数需要哪些量子数描述，才能完整描述其电子的运动状态？ 4、全同粒子的不可区分性指的是什么？全同粒子体系的H ∧ 交换不变性是什么意思？ 5、由全同粒子组成的体系，若全同粒子是自旋为半整数的费米子，其波函数为反对称波函数；若全同粒子是自旋为零或整数的波色子，则波函数为对称波函数。全同粒子体系的波函数，除了满足标准条件外，还须满足对称或反对称。 6、泡利不相容原理指的是什么？ 7、对于具有多个电子的原子，受泡利不相容原理的限制，原子中的电子如何排列？ 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、了解电子在周期性微扰下的跃迁几率，在什么条件下，跃迁几率最大？ 2、原子与光子的相互作用有哪几种？其跃迁几率主要受那些因素影响？ 3、在有心力场情况下，状态间允许跃迁的选择定则是什么？
线性规划经典例题及详细解析
1 / 6 一、 已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 1. 设变量x 、y 满足约束条件?? ? ??≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 。 二、 已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题 2. 已知1,10,220x x y x y ≥??-+≤??--≤? 则22 x y +的最小值是 。 3. 已知变量x ，y 满足约束条件+201-70x y x x y -≤?? ≥??+≤? ,则 错误! 的取值范围是（ )。 A 。 ［错误!，6] B.（－∞，错误!］∪［6，＋∞） C.（－∞，3］∪［6，＋∞） D 。 ［3，6］ 三、 研究线性规划中的整点最优解问题 4. 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件?? ? ??≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大 值是 。 四、 已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题 5. 已知变量x ，y 满足约束条件14 22x y x y ≤+≤?? -≤-≤? 。若目标函数z ax y =+(其中0a >）仅在点(3,1)处 取得最大值，则a 的取值范围为 。 6. 已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ,使z=x+a y (a >0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的 值为（ ） A. －3 B. 3 C 。 －1 D. 1 五、 求可行域的面积 7. 不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A. 4 B. 1 C. 5 D 。 无穷大
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m ，电荷q ，磁矩M ，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为 全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H 算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S = ，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： ()()()122211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 1 2 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12,,i j N q q q q q ψ
2015简单线性规划典型例题
良好的开端是成功的一半 1. “平面区域”型考题 1．不等式组?? ? ??-≥≤+<31y y x x y ，表示的区域为D ，点P 1（0，-2），P 2（0，0），则 （ ） A ．D P D P ??21且 B ．D P D P ∈?21且 C ． D P D P ?∈21且D ．D P D P ∈∈21且 2．已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则 （ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0 C ．82300<+y x D ．82300>+y x 3．已知点P （1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012>+-by x 表示的平面区域内，则b 的取值范围是 ． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集{} 221 (,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则A B 所表示的平 面图形的面积为 A 34π B 35π C 47π D 2 π 2.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域 {(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 （ ）A ．2 B ．1 C ．12 D ．1 4 3、若A 为不等式组002x y y x ≤?? ≥??-≤? 表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫 过A 中的那部分区域的面积为 . 4、 若不等式组0 3434 x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ） 73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 高 5、若0,0≥≥b a ，且当?? ? ??≤+≥≥1,0, 0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面 区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组10 1010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2， 则a 的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件?? ???≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ） A ． 21 B ．1 C ．2 3 D ．2 3、设二元一次不等式组2190802140x y x y x y ?+-? -+??+-? ，，≥≥≤所表示的平面区域为M ，使函数(01)x y a a a =>≠，的图 象过区域M 的a 的取值范围是（ ）A ．[1，3] B ．[2，10] C ．[2，9] D ．[10，9] 4.设m 为实数，若{250 (,)300x y x y x mx y -+≥??-≥??+≥? }22 {(,)|25}x y x y ?+≤，则m 的取值范围是___________. 4. “截距”型考题 1. ,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) ()A 12()B 11 ()C 3()D -1 2.设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 3.若,x y 满足约束条件1030330 x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。 4.设函数ln ,0 ()21,0 x x f x x x >?=?--≤?，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成
第0小粒子与大宇宙全章知识点
10知识点 合理利用机械能 机械能：动能+势能 实验： 1）小球在光滑的斜面上由静止开始下滑，到达斜面底端的速度只与起点的高低有关，起点越高，到达底端的速度越大 2）不同质量的小球分别从光滑的斜面上由静止下滑，并撞击平面上的木块，被撞木块的运动距离越长，运动小球所具有的动能越大 3）重物下落撞击平放在沙上的物体时，物体陷入沙中的越深，说明重物原来具有的势能越大。 ★动能大小跟哪些因素有关： 研究物体质量对物体动能的影响，控制速度不变（或物体从同一高度滑下），改变物体质量, 观察________________得出结论1：速度相同时，质量越大的物体具有的动能越大。 研究速度对物体动能的影响，控制物体质量不变，改变物体速度（或物体从不同高度滑下）, 观察________________得出结论2：质量相同时，速度越大的物体具有的动能越大。 结论： 质量相同时，速度越大的物体具有的动能越大 速度相同时，质量越大的物体具有的动能越大 物体的动能与物体的质量和速度有关，质量越大、速度越大，物体具有的动能就越大 一、走进微观-原子结构 1.物质是由分子或原子组成 2.分子由原子组成的 3.原子是由更小的微粒——带负电的电子和带正电的原子核组成的。 4. 原子核是由不带电的中子和带正电的质子组成的。 5. 质子和中子是由被称为夸克的更小的粒子组成。 6. 原子半径10-10，原子核半径10-15. 7、科学家与贡献 道尔顿发现原子 汤姆生研究阴极射线时发现电子，电子带负电，他提出枣糕模型。 卢瑟福研究α粒子散射实验，提出原子核式模型:原子是由原子核和电子构成，原子核位于原子的中心，电子在原子核外，并围绕原子核做高速运动。 二、 1、分子间有空隙 2、分子的运动 扩散：不同的物质相互接触时彼此进入对方的现象叫扩散，温度高时扩散得快。 扩散现象说明：①分子间存在间隙。②分子都在永不停息地作无规则运动。 3、分子间的作用力分子间存在相互作用的引力和斥力
全同粒子体系
全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）