全同粒子体系解析
全同粒子
本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
1. 全同粒子的基本概念
1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、
质子，中子等。
在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。
1.2 全同性原理：
由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。
1.3哈密顿算符∧
H 的交换对称性
考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r
与自旋变量i S ，),(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧
H 写为
∑∑<++?-=j
i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧
H 显然是不变的，记为
),,,(?21t q q q q q H P N
j i ij ∧
),,,(?21t q q q q q H N
i j = ),,,(?2
1
t q q q q q H
N
j
i
= （2） ij P ∧
称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为
0,=??
?
???∧∧H P ij （3）
1.4 全同粒子波函数的交换对称性 （1）ij P ∧
对波函数的作用
设N 个全同粒子体系用波函数),,,,,(21t q q q q q N j i Φ描述，则有
),,,,,(),,,,,(2121t q q q q q t q q q q q P N i j N j i ij Φ=Φ∧
（4）
根据全同性原理，Φ∧
ij P 与Φ所描述的是同一量子态，而量子力学中描述同一量子态的波函数之间最多只能相差一个常数因子λ，即
Φ=Φ∧
λij P （5） 上式用ij P ∧
再作用一次，相当于Φ中的交换复原，即
Φ=Φ=Φ=Φ∧
∧
22λλij ij
P P （6）
由此得12=λ，所以交换算符的本征值为 1±=λ （7） （2）波函数的交换对称性
当λ＝+1时，则Φ=Φ∧
ij P ，表示交换两个粒子后波函数不变，这时的波函数称为
对称波函数，记为S Φ 。
当λ＝-1时，则Φ-=Φ∧
ij P ，表示交换两个粒子后波函数变号，这时的波函数称为
反对称波函数，记为A Φ 。
可见，描述全同粒子体系的波函数对于任何两个粒子的交换，或者是对称的，或者是反对称的。这一性质称为全同粒子波函数的交换对称性。不具有交换对称性的波函数是不能描述全同粒子体系的。
另外，由于0,=??
?
???∧∧H P ij ，可见ij P ∧
是守恒量，即全同粒子体系波函数的交换对称性不隨
时间而变化。
1.5 全同粒子的分类
实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒子的自旋有确定的联系。 （1）凡是自旋为 整数倍的粒子),2,1,0( =s 所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例如，π介子)0(=s ，α粒子（S ＝0），基态的He(S=0)，光子（S ＝1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose)—爱因斯坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。
（2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子),2/3,2/1( =s ，所组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对称的。例如，电子、质子、中子等，S ＝1/2，它们在统计物理中遵从费米（Fermi ）—狄拉克(Dirac)统计规律，称为费米子。
2 全同粒子体系的波函数
介绍如何由单粒子波函数来组成全同粒子体系的具有交换对称性的波函数
2.1 两个全同粒子体系的波函数
假设两个全同粒子组成的体系，其中单个粒子的哈密顿算符为0?H , 归一化本征函数为i
?, 本征值为i ε，则应有
)
()()()()()(?22201
110q q q H q q q H j j j i i i ?ε??ε?==∧ （8）
对于全同粒子，)(),(?2
010q H q H ∧
在形式上是完全相同的，不考虑两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为
)(?)(??2
010q H q H H += （9） 相应的本征方程
),(),(?2
121q q E q q H Φ=Φ （10） 式中的),(21q q Φ可以分离成两个单粒子波函数的乘积（因为不考虑相互作用）。 当第一个粒子处于i 态，第二个粒子处于j 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q j i ??=Φ （11） 它是满足（10）式的解， 对应的本征能量 j i E εε+= 。 当第一个粒子处于j 态，第二个粒子处于i 态时，波函数为 )()(),(2121q q q q i j ??=Φ （12）
它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 j i E εε+= 。（交换简并）
注意：),(21q q Φ是否具有交换对称性？
当j i =时，),(21q q Φ具有交换对称，对应玻色子
当j i ≠时，（11）与（12）虽是本征方程的解，但不具有交换对称性，不满足全同粒子波函数的条件。
（1）对于玻色子，波函数要求对于交换两个粒子是对称的，所以当j i ≠时，归一化的对称波函数构成如下
)]()()()([2
1),(122121q q q q q q j i j i S ????+=
Φ （13）
当j i =时 )()(),(2121q q q q i i S ??=Φ （14）
（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对称的，归一化的反对称波函数构成如下
)
()()()(21)]
()()()([2
1),(2121122121q q q q q q q q q q j j i i j i j i A ????????=
-=
Φ （15）
由上式可以看出，当j i =时，则0=ΦA ，所以两个费米子处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态
2.2 N 个全同粒子体系的波函数
设粒子间相互作用可以忽略，单粒子哈密顿量0?H 不显含时间，以i ε 和i
?表示0?H 的第i 个本征值和本征函数，则N 个全同粒子体系的哈密顿量为
∑=∧
∧
=+++=N
i i
N q H q H q H q H H 1
002010)()()(?)(?? （16） 对应本征值 N j i E εεε+++= 的本征态
)()()(),,(2121N k j i N q q q q q q ??? =Φ （17） 体系的本征方程为 Φ=Φ∧
E H （18）
由此可见，在粒子无相互作用的情况下，只要求得单粒子的本征值和本征函数，多粒子体系的问题就可以迎刃而解了。
但),,(21N q q q Φ并不满足全同粒子体系波函数交换对称性的要求，还须作变换。 （1）对于N 个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒子态，则组合中的每一项都是 N 个单粒子态的一种排列，用∑P
P 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为!N ，所
以玻色子系统的对称波函数是
∑=ΦP
k j i N S N P N q q q )()2()1(!1
),,(21??? （19）
但若单粒子态的个数小于粒子数，譬如有1n 个粒子处于i 态，2n 个粒子处于j 态，l n 个粒子处于k 态，且N n n n l =+++ 21，则因相同单粒子态的交换不会产生新的结果，故所有可能排列的总项数等于下列组合数
!
!
!!!!)!(!)!()!(!)!()!(!!
2111112121111
12
11l l l l l l l n n n N n n N n N n N n n n N n n n N n n n N n n N n n N n N n N C C C l l ∏=
=
-------?---?-=
-------
所以N 个玻色子体系的对称波函数为
[][]
[])()()()()(!!
211111N k P
n n j n j n i i l l S q q q q q P N n ????? ∑++?∏=
Φ )91(' 这里的P 只对处于不同状态的粒子进行对换。
例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。 解：设三个单粒子态分别为321,,???，
（1）若三个粒子各处于不同状态 6!3!==N （共6项），则
)]()()()()()()()()()()()()()()()()()([6
1132231331221233211231231133221332211q q q q q q q q q q q q q q q q q q S ??????????????????+++++=Φ （2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，如0,1,2321===n n n
则 3!1!2/!3=? （共3项），有
)]()()()()()()()()([3
1
122131223111322111q q q q q q q q q S ?????????++=Φ
也可以是 1,0,2321===n n n 或1,2,0321===n n n 等，这样的对称波函数共有六个。 （3）三粒子都处于相同的单粒子态，如0,0,3321===n n n ，则 )()()(312111q q q S ???=Φ
也可以是 0,3,0321===n n n 或3,0,0321===n n n 这样的对称波函数共有三个。
（2）对于N 个费米子，若它们分别处于k j i ,,态，则反对称的波函数为
)]()()([)1(!1
)
()()()
()()()()()(!
121212121k k P
j i P N k k k N j j j N i i i A q q q P N q q q q q q q q q N ????????????
∑-=
=
Φ （20）
式中P )1(-规定了求和号下每一项的符号，若把)()()(21N k j i q q q ??? 作为基本排列（第一项），则任一种排列都是基本排列经过每两个粒子的若干次对换而得到，对于偶次对换
P )1(-为正，奇次对换P )1(-为负。在!N 项中，奇偶次对换各占一半。
注意：a 如果N 个粒子中有两个粒子处于相同的状态，如j i =，则行列式两行相同，
因而值为零。这表明不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态，此即泡利不相容原理。
b 任何二列交换，相当二个粒子交换，行列式变号，表示是交换反对称。
C 对于N 个非独立的全同粒子，由于粒子间的相互作用，使体系的哈密顿量及波函
数都不能写成（16）（17）式的形式，但Φ=Φ∧
E H 仍成立，全同粒子对波函数对称性的要求依然存在，体系的对称及反对称波函数可由Φ的线性组合得出。
3 氦原子
多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的应用。
氦的原子核带电e 2+，不考虑核的运动，即视为两个全同粒子的体系。以11,s r 和22,s r
分别表示两个电子的坐标和自旋，系统的哈密顿量为
12
2
22122222122222r e r e r e H s s s +--?-?-=∧
μμ （21）
等式右边最后一项表示两个粒子的相互作用能量，∧
H 中不含自旋变量，即粒子的轨道和自旋是相互独立的。所以，氦原子的定态波函数可以写成坐标与自旋分离变量的形式 ),(),(),,,(21212121z z z z S S r r S S r r χψ
=Φ （22）
可见，在不考虑轨道和自旋相互作用的情况下，问题归结为两电子体系的轨道运动和两电子体系的自旋运动，但由于电子属于费米子，故Φ必须是反对称的，这就要求 （1）ψ是对称的，χ是反对称的；或 （2）ψ是反对称的，χ是对称的。
3.1 两个电子的自旋函数
（1）从角动量耦合理论考虑。单粒子态只有>21,21|和>-2
1
,21|。现在的问题是
2
1
,212211====s j s j ，故耦合后的总角动量
??
???
==-=-=--==+=+=+=0
,021
211,0,1,1212121212121
m s s j j m s s j j j 可见，对应1=j 的耦合态矢有三个：
>1,1,21,21|， >0,1,21,21|， >-1,1,2
1
,21| （23） 对应0=j 的耦合态矢有一个： >0,0,2
1
,21| （24）
大家可以参照角动量一讲由（14）式写出以上四态对应单粒子态乘积的展开式。 （2）从全同粒子波函数的要求出发。由于单粒子态只有2/12/1,-χχ，忽略二个电
子自旋之间相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数四个： 21212121)()(22/112/11=
=z z S S χχχ，2
1
212121)()(22/112/12-==-z z S S χχχ，
2
1
212121)()(22/112/13-
==-z z S S χχχ，21212121)()(22/112/14--==--z z S S χχχ。
它们是正交归一完备系，是无耦合表象基矢：2211s s m S m S 。任意二个电子体系波函数都
可以用它们展开。41,χχ是对称自旋波函数，但32,χχ它们不是二个电子体系对称或反对
称自旋波函数。
用它们构成的两电子自旋函数分别为
???
?
??
???-=+===------)]()()()([21)]()()()([21
)()()()(12/122/122/112/112/122/122/112/1)3(22/112/1)
2(22/112/1)
1(z z z z A
z z z z S z z S z z S S S S S S S S S S S S S χχχχχχχχχχχχχχχχ （25）
现在证明以上自旋函数都是自旋总角动量平方2
?S 与其在z 轴上的投影Z
S ?的共同本征函数，因
)(22
32)??(?2121212
2122
212
2
12
z z y y x x S S S S S S S S S S S S S ∧∧∧∧∧∧∧
∧∧∧
+++=?++=+= （26） z z z S S S 21∧
∧
∧
+= （27） 由电子自旋一讲中例一可知
)(2)(2121z z x s s S -∧=χχ )(2)(2
12
1z z x s s S χχ
=-∧
)(2)(2121z z y S i S S -∧
=χχ )(2)(2
12
1z z y S i S S χχ
-=-∧
以上关系适用于每一个电子，但各自算符只对自身波函数有作用，所以
)1(2)1(2)1(222/1212/1122/1212/1122/1212/11)
1(2)1(2
24
1223)]()()()()()([223S S S z z z z z y z y z x z x S S
S S S S S S S S S S S S S χχχχχχχχχχχ
=?+=
+++=∧
∧
∧
∧
∧∧∧ （28） )
1()1()1(22/1212/122/112/11)1(2121)
()()()(S
S S z z z z z z S z S S S S S S S χχχχχχχχ
=+=+=∧
∧∧
（29） 即)1(S
χ是2?S
，Z
S ?的共同本征函数，相应的本征值为22 和 （相应的量子数为1=s ，1=s m ）。其它同理可得，将结果列表如下
3.2 氦原子的轨道运动
采用微扰法，将两电子间的库仑作用视为微扰，即
2
12
122r r e r e H s s -=='∧
（30）
则 ∧
∧∧'+=H H H 0 其中
)22()22(?2
2
222122120r e r e H s s -?-+-?-=μμ （31）
（1）坐标波函数的零级近似
由（31）可见，∧
0H 是两个类氢原子哈密顿量之和，所以它的本征值是二者能量和，本征函数是两个类氢原子波函数之积，则 m n E εε+=)0( （32）
归一化的对称本征函数为
)()(),(2121)0(r r r r m n S ψψψ= )]()()()([21),(122121)0(r r r r r r m n m n S ψψψψψ+= （33） 归一化的反对称本征函数为
)]()()()([21),(122121)0(r r r r r r m n m n A ψψψψψ-= （34） 它们可作为∧
H 的本征函数的零级近似。 （2）基态能量的一级修正 因为两个电子都处于基态，所以
)(2
302
30
2
30
2100110021)0(2102010
811)()(),(r r a r a Z
r a Z S e a e a Z e a Z r r r r +---=???
? ???
???
?
??=
=πππψψψ （35）
能量的一级修正为
2
2022112)(4
2
302112
221002110021)
0(122
)*0()1(045451
8)()(210
s s
r r a s s s S S S
e a e d d r e a e d d r r e r e d d r e E μττπττψψττψψ==????
? ??=?==??????+- （36）
上式说明，基态能量的一级修正是电荷密度分布为2
1100)(r e ψ-的电子与电荷密度分布为
2
2100)(r e ψ-的电子相互作用的库仑能量。这样氦原子基态能量的一级近似为
eV e e e E E E s s s 83.74411452222
2222)1(0
)0(0
0-=-=+???
? ??-=+= μμμ （37）
（3）激发态能量的一级修正)(m n ≠
J
K d d r r r r r e r r r r E m n m n s m n m n ±=±±=??2112211221*2*2*1*)
1()}()()()({)}
()()()({21ττψψψψψψψψ
（38）
式中 ??
-?-=2112
02
2214]
)([])([ττμεψψd d r r e r e K m n ??
-?-=2112
02
2214]
)([])([ττπεψψd d r r e r e n m （39） 是平均电荷密度为21,)(r e n n n ψρ-=的电子与平均电荷密度为2
2,)(r e m m m ψρ-=的电子
间的相互作用库仑能。而
??=2112
0122*1*4)
()()()(ττπεψψψψd d r r r r r J m n m n
??=21120211*2*4)
()()()(ττπεψψψψd d r r r r r m n m n （40）
称为两电子的交换能。
最后写出激发态能量的一级近似
?
??
-++=+++=J K E J K E m n A m n S εεεε （41）
它们分别对应零级近似的对称和反对称波函数。尽管K 和J 实质上都属于两电子的库仑作用，但交换能没有简单的经典对应，它完全属于波函数的对称性所导致的一种量子效应。交换能的大小，主要依赖于两个电子波函数的重叠程度。
3.3 氦原子的反对称波函数 由（22）直接可得
),(),(2121)0(z z A s Ⅰ
S S r r χψ =Φ ),(),(2121)0(z z S A Ⅱ
S S r r χψ =Φ 由于A χ只有一个，故ⅠΦ是独态，这样的氦又称仲氦。而S χ有三个态，故ⅡΦ是三重
态，这样的氦又称正氦。
例如 氦原子基态的二个电子波函数，忽略二个电子的相互作用，氦原子基态是1s1s
组态，基态波函数只有一个，)2,1()()(210011001
A r r χψψ
=ψ 氦原子第一激发态的二个电子波函数。
氦原子第一激发态是1s2s 组态，第一激发态波函数有四个，
)2,1())1()2()2()1((2
112001002001001
2S χψψψψ-=ψ
)
2,1())1()2()2()1((2
12
20010020010022S χψψψψ-=
ψ )
2,1())1()2()2()1((2
13
20010020010032S χψψψψ-=ψ )
2,1())1()2()2()1((2
120010020010042A χψψψψ+=ψ ),,(3
22212ψψψ是三重态，（1s2s ）13S
42
ψ是单态，（1s2s ）01
S
全同粒子体系习题解
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(2 2 =y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(2 1z S χ 01?102x S ??= ???h ??? ? ??-=002?i i S y η ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2 12 1 =??? ? ?????? ??== +ηχχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 η=-=?x x x S S S 001002)0 1(?2 121=??? ? ?????? ??-==+ i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(?2222 121ηηη=???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 η=-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 η=??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ?η= 要求4 )()(2 2 2 2z y x S S S η≥?? 16)()(422η=??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 η = z S ∴ 16 )()(4 2 2 η≥y x S S ??
可见①式符合上式的要求。 2．求??? ? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x ηη及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的久期方程为 02 2=--λ λ ηη 20)2(22ηη±=?=-λλ ∴ x S ?的本征值为2 η±。 设对应于本征值的本征函数为 ??? ? ??=112/1b a χ 由本征方程 2/12 /12 ?χχη =x S ，得 ???? ??=???? ?????? ??1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =???? ? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得 1),(11* 1*1=??? ? ??a a a a 即 122 1 =a ∴ 2 1 2 111= = b a 对应于本征值 2η的本征函数为 ??? ? ??=11212/1χ 设对应于本征值2η - 的本征函数为 ??? ? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??- =--222/12/12?b a S x χχη 222222 a b b a a b -=???? ? ??--=???? ??? 由归一化条件，得 1),(22* 2* 2=??? ? ??--a a a a 即 122 2=a ∴ 2 1 2 122- == b a 对应于本征值2η- 的本征函数为 ??? ? ??-=-11212/1χ
常州大学量子力学名词解释
1.黑体：一个物体能全部吸收投射在他上面的辐射而无反射，就称为黑体。 2.普朗克假设（黑体辐射提出的假设）：黑体以hv为能量单位不连续的发射和吸收频率为v的辐射，而不是像经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。 3.三个实验说明了什么问题：黑体辐射，平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和能量只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状与组成的物质无关。光电效应，证明了光的波动性。康普顿效应，证明了光的粒子性。 4.玻尔假设：定态假设，频率假设，量子化条件。 5.态叠加原理：设是体系的可能状态，那么这些态的线性叠加，也是体系的一个可能状态。 6.波函数的三个条件：有限性，连续新，导致可测量的单值性。 7.算符：是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 8.对易：有组成完全系的共同本征态。 9.表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式。 10.弹性碰撞：一个粒子与另一个粒子碰撞过程中，有动能的交换，粒子内部状态并无改变。非弹性碰撞：碰撞中粒子内部状态有所改变（原子被激发或电离）。 11.泡利不相容原理：全同费米子体系中不可能有两个或两个以上的粒子同时处于完全相同的状态。 12.玻色子：由光子（自旋为1）、处于基态的氦原子（自旋为0）、a 粒子（自旋为0）以及其他自旋为0或为h的整数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是对称的，这类粒子服从玻色-爱因斯坦统计，被称为玻色子。费米子：由电子、质子、中子这些自旋为h/2的粒子以及其他自旋为h/2的奇数倍的粒子组成的全同粒子体系的波函数 是反对称的，这类粒子服从费米-狄拉克统计，被称为费米子。 13.塞曼效应：氢原子和类氢原子在外磁场中，其光谱线发生分裂的现象。 14.全同粒子：称质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子称为全同粒子。全同性原理：全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物质状态的改变。 15.厄米算符的性质：本征值为实数；量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符；对于两任意函数和，如果算符满足，则称为厄米算符；如果为厄米算符。 16.薛定谔方程满足的条件：含时；线性的；不含有状态参量。
高中数学平面解析几何知识点总结
平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
全同粒子体系
第六章全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m，电荷q，磁矩M，自旋S等固有属性完全相同的微观粒子为全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2, i N =），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋） ，第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12 ,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋） ，但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也 还是在(1,2, )i q i N =各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S =，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： () ()()12 2211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 12 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12 ,,i j N q q q q q ψ
综合应用能力D类重要知识点(背诵)
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 1. 素质教育：素质教育是与应试教育相对的一种教育观。素质教育是依据人的发展和社会发展的实际需要，以全面提高全体学生的基本素质为根本目的，以尊重学生主体性和主动精神、注重开发人的智慧潜能、形成人的健全个性为根本特征的教育。 2. 素质教育的基本内涵： （一）素质教育以提高国民素质为根本宗旨。 （二）素质教育是面向全体学生的教育。 （三）素质教育是促进学生全面发展的教育。 （全面发展是国家教育方针的核心部分，全面发展不等于平均的发展，二是和谐的全面发展） （四）素质教育是促进学生个性发展的教育。 （五）素质教育是以培养学生的创新精神和实践能力为重点的教育。 3. 2006年6月29日，第十届全国人民代表大会常务委员会第22次会议修订的《中华人民共和国义务教育法》明确规定：“义务教育必须贯彻国家的方针，实施素质教育”。这标志着素质教育上升到法律层面，成为国家意志。 4.素质教育的目标与要求： 目标： ①促进学生身体的发育 ②促进学生心理的成熟化 ③造就平等的公民 ④培养个体的生存能力和基本素质。 ⑤培养学生自我学习的习惯、爱好和能力。 ⑥培养学生的法律意识。 ⑦培养学生的科学精神和态度。 要求： ①面向全体 ②促进学生全面发展 ③促进学生创新精神和实践能力的培养 ④促进学生生动、活泼、主动地发展。 ⑤着眼于学生的终身可持续发展。 5.我国当前的教育目的：以培养学生创造精神和实践能力为重点，造就“有理想，有道德，有文化，有纪律”的德、智、体、美等全面发展的社会主义事业的建设者和接班人。 6.马克思关于人的全面发展学说是我国确立教育目的的理论依据；教育与生产劳动相结合是实现人的全面发展的唯一方法。 7.全面发展教育的构成及其关系： 全面发展教育由德育、智育、体育、美育和劳动技术教育构成，它们相互依存、相互促进、相互制约，构成一个有机整体共同促进人的全面发展。 8.素质教育与人的全面发展的关系： ①人的全面发展是素质教育的目的。 ②素质教育是实现人的全面发展的重要途径。 9.新课程改革的任务： 基本任务：全面贯彻党的教育方针，调整和改革基础教育的课程体系、结构、内容，构建符合素质教育要求的新的基础课程体系。 核心任务：促进每个学生得到最大限度的发展，其根本途径是转变教师的教学模式，教育理念来转变学生的学习方式，为学生搭建一个自主、合作、探究、交往的学习平台。 10.新课程改革的具体目标： ①实现课程功能转变。（核心）
高中平面解析几何知识点总结
高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合．
第七章-自和全同粒子
第七章自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、自旋角动量(内禀角动量)S
它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 s z =± 12 η； (7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： μs e =- e m S , (7. 2) μμs e B z e m =± =±η 2, (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电
子的质量，μB ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁矩/自旋角动量） μs e s e z z s e m g e m =- =2, (7. 4) g s = – 2是相应于电子自旋的g 因数, 是对于轨道运动的g 因数的两倍。 强调两点： ● 相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程??狄拉克方程，运动的粒子必有量子数为
1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。二电子自旋态的描述
ψ( r, s z )：包含连续变量r和自旋投影这 两个变量，s z只能取 ±η/2这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2, (7. 5) 讨论： ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2 ●若已知电子处于s z=η/)2，波函数写为 ψ ψ ψ (,) (,/) (,/) r r r s z= - ? ? ? ? ? η η 2 2
如何建立自己的知识体系(整理)
如何建立自己的知识体系 Collected by: Stern Chan 如何建立自己的知识体系?这个问题问得相当宽泛，其实大家都不算陌生了，通俗点的解释就是”把一些零碎的、分散的、相对独立的知识概念或观点加以整合,使之形成具有一定联系的知识系统”。这种系统就像是一棵树,每片叶子都是独立的,但树干把它们联系在一起,形成了体系,最典型的例子就是我们学生时代做的那些教辅资料，它们的每章末都会有自己的章末小结，对前一章的知识点进行整合，即是最常见的知识体系的构建了。 然而，原理大家固然都懂，真正实施起来又谈何容易，世界上的各类知识成千上万，又赶上互联网数据大爆炸的时代，知识早已不再是以“点状”或者“树状”的形态呈现,而是变成了一张密密麻麻纵横交错的“网”，以个人的能力将它们内化成知识体系几乎成了一种“吃力不讨好”的行为。 所谓的方法,既不能说得太空泛,又要有切实的可行性. 本文目录 一纠正个人知识管理的两个误区 1 纠正“以知识的收集为中心”的学习观念 2 纠正“囫囵吞枣、不求甚解”的学习方法 二谈谈建立知识体系的一般方法 1 明确知识体系的主题和用途 2 找到获取知识的途径 3 知识的整理与分类 4 知识的输出与运用 5 把握学术动态，更新知识体系 三如何构建文史类的知识体系？ 1 思路一：从传统文学史入手，搭构框架，形成体系 2 思路二：从你喜欢的作者入手，按图索骥，遵循轨迹 3 思路三：从你喜欢的类别入手，循序渐进，逐渐深入 4 思路四：从你的“共鸣点”入手，剑走偏锋，另辟蹊径 四总结
正文 一纠正个人知识管理的两个误区 早些年曾流传过这样一张图，用于描述我们日常生活中最常见低效的知识管理现象。 图中描述的现象是不是很熟悉，其中很多流程循环都是我们在日常生活中经常遇到的——每天热衷于各类知识的收集，比如在知乎上看到好的回答就想点收藏，但收藏之后又不会多看一眼，潜意识里不愿花较多的时间在知识的消化上，又偏偏是收集成瘾，最终导致采集的知识总量越来越大，逐渐产生一种时间不够用的错觉，最终在知识的海洋里迷失自我，整日忙忙碌碌、碌碌无为。而这也是低效知识管理模式的典型，不但会影响个人知识体系的建立，长远看还会打击人的自信心，徒增焦虑感，那么我们要怎样做才能很好地解决这个问题呢？我觉得最重要的，还是在思维上纠正我们在个人知识管理的两个误区。 1 纠正“以知识的收集为中心”的学习观念
第七章-自旋和全同粒子
第七章 自旋和全同粒子 §7 - 1 电子自旋 一 电子自旋的概念 在非相对论量子力学中，电子自旋的概念是在原子光谱的研究中提出来的。实验研究表明，电子不是点电荷，它除了轨道运动外还有自旋运动。 描述电子自旋运动的两个物理量： 1 、 自旋角动量(内禀角动量)S 它在空间任一方向上的投影s z 只能取两个值 21±=z s ；
(7. 1) 2、 自旋磁矩(内禀磁矩)μs 它与自旋角动量S 间的关系是： S e s m e -=μ, (7. 2) B e s 2μμ±=±=m e z , (7. 3) 式中(- e )：电子的电荷，m e ：电 子的质量，B μ：玻尔磁子。 3、电子自旋的磁旋比（电子的自旋磁 矩/自旋角动量） e s e s 2m e g m e s z z =-=μ, (7. 4)
g s = –2是相应于电子自旋的g因数,是对于轨道运动的g因数的两倍。 强调两点： ●相对论量子力学中，按照电子的 相对论性波动方程 狄拉克 方程，运动的粒子必有量子数为 1/2的自旋，电子自旋本质上是 一种相对论效应。 ●自旋的存在标志着电子有了一个 新的自由度。实际上，除了静质 量和电荷外，自旋和内禀磁矩已 经成为标志各种粒子的重要的 物理量。特别是，自旋是半奇数 还是整数(包括零)，决定了粒子 是遵从费米统计还是玻色统计。
二 电子自旋态的描述 ψ ( r , s z )：包含连续变量r 和自旋投 影这两个变量， s z 只能取 ±2/ 这两个离散值。 电子波函数（两个分量排成一个二行一列的矩阵） ?? ? ??-=)2/,()2/,(),( r r r ψψψz s , (7. 5) 讨论： ● 若已知电子处于/2z s = ，波函数 写为 (,/2)(,) 0z s ψψ??= ??? r r ● 若已知电子处于/2z s =- ，波函数
XXX知识库专家系统
知识库专家系统 一、产品聚焦：知识创造未来 1、助力于汇集群体智慧 2、助力于提高知识收集参与热情 3、助力于提高知识点实用化水平 4、助力于降低培训成本，提升服务效率 5、助力于为各种服务渠道机器人提供支撑 二、产品简介 该产品采用一流的体系架构，先进的检索技术，深度融合电力行业的专业知识应用，以使用者便捷的应用为导向，形成知识从收集、分类、推荐、共享、检索、更新、删除全生命周期的知识管理体系。是95598座席人员、业务人员、管理人员工作不可或缺的工具，是相关人员培训和学习的得力帮手，是智能机器人的后台支撑。 三、产品特点 ■信息全面、与营销业务无缝融合 信息覆盖供电企业的各个领域，专业全面，实现与营销业务应用系统数据集成与业务协作，充分实现数据共享与工作协同。 ■技术先进、使用便捷 采用B/A/S多层分布式体系结构和Lucene全文检索引擎技术，提供先进的搜索算法，创建高效的企业级海量数据搜索引擎。 ■地图式知识管理、智能化知识推理 支持使用者自行设定板块知识结构地图或者不同岗位设置知识岗位地图，可自定义知识推理模型，实现知识应用智能化。 ■强大的知识分类，高速的知识共享交流 依托深厚的电力营销业务行业应用背景，合理进行知识分类，贴近使用者的思维习惯，形成知识收集、知识更新、知识推荐、知识共享、知识交流于一体的知识管理体系，支持多种文档格式相同的展现方式。 ■流程化、规范化、制度化管理 采用流程化的知识管理流程，规范化的知识结构设计，创新的积分激励策略，形成一套知识收集覆盖面广而又精准高效、知识分类科学合理、知识应用方便快捷的制度化知识管理体系。 四、应用效果
说明：通过知识门户，根据知识分类、知识关键字全文检索快速搜索定位知识；快速获取热点知识，最新知识；可对知识进行评价和回复，可提出知识诉求。 说明：通过统一全文检索浏览界面，按关键字对知识进行全文检索，并按知识更新先后顺序、知识热点先后顺序排序展示。 五、产品功能
全同粒子体系习题解
全同粒子体系习题解-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(2 1z S χ中，x S ?和y S ?的不确定关系：?)()(22=y x S S ?? 解：在z S ?表象中)(2 1z S χ、x S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ 01?102x S ??= ??? ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2 1z S χ态中 00101102)0 1(2121=??? ? ?????? ??==+ χχx x S S 4 010*********)0 1(?2222 121 =???? ?????? ?????? ??==+ χχx x S S 4 )(22 22 =-=?x x x S S S 001002)0 1(?212 1=??? ? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?2 222 121 =???? ?????? ??-???? ??-==+ i i i i S S y y χχ 4 )(22 22 =-=?y y y S S S 16 )()(4 2 2 =??y x S S 讨论：由x S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z S i ? = 要求4)()(2 22 2z y x S S S ≥?? 16)()(422 =??y x S S ① 在)(2 1z S χ态中，2 = z S ∴ 16 )()(4 2 2 ≥y x S S ??
复习大纲_量子力学
第二章薛定谔方程 基本要求： 1、了解光和微观粒子的波粒二象性，熟悉德布罗意关系； 2、理解波函数的表达形式及其物理意义； 3、掌握薛定谔方程的基本公式 4、理解波函数的标准条件和态叠加原理，并能应用到薛定谔方程的求解中； 5、什么是定态薛定谔方程，它的解有什么特点？ 6、熟练应用定态薛定谔方程求解一维无限深势阱中的粒子； 7、理解一维线性谐振子波函数的形式及能量的量子化，并能进行简单计算； 8、了解微观粒子遇到方势垒的反射与透射。为什么在粒子能量小于势垒时，仍可以部分透射？ 第三章力学量的算符 基本要求： 1、什么是力学量的算符，掌握常见物理量的算符表达式； 2、什么是本征方程，算符的本征值和本征函数指的是什么？能够通过本征 方程求解算符的本征值； 3、熟悉算符的基本运算规则； 4、什么是线性厄米算符，它有哪些性质？会判断哪些算符是厄米算符； 5、厄米算符本征函数的正交性和完全性指的是什么？ 6、不同力学量同时有确定值的条件是什么？ 7、熟悉量子力学的不确定关系。 第四章氢原子和类氢离子的波函数和能级 基本要求： 1、了解有心力场中电子的特征； 2、理解库仑有心力场中电子波函数的描述方法，理解量子数的概念； 3、理解库仑有心力场中电子能级的量子化，理解简并度的概念； 4、理解轨道角动量的概念，能够证明轨道角动量各分量以及L2与各分量间 的相互关系； 5、理解核外电子的径向几率分布和角几率分布，会求简单系统的径向几率 分布和角几率分布。 第五章定态微扰论原子的能级 基本要求：
1、什么是微扰，采用定态微扰论近似求解能量本征算符H ∧ 本征方程的基本要求是什么？ 2、熟悉无简并定态微扰论中能量和波函数的一级修正，会求简单系统的一级近似； 3、了解有简并定态微扰论中波函数的零级近似和能量的一级近似； 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、什么是全同粒子？ 2、电子的自旋指的是什么？ 3、自旋角动量算符有哪些性质，其本征值是多少？若计入电子自旋，氢原子波函数需要哪些量子数描述，才能完整描述其电子的运动状态？ 4、全同粒子的不可区分性指的是什么？全同粒子体系的H ∧ 交换不变性是什么意思？ 5、由全同粒子组成的体系，若全同粒子是自旋为半整数的费米子，其波函数为反对称波函数；若全同粒子是自旋为零或整数的波色子，则波函数为对称波函数。全同粒子体系的波函数，除了满足标准条件外，还须满足对称或反对称。 6、泡利不相容原理指的是什么？ 7、对于具有多个电子的原子，受泡利不相容原理的限制，原子中的电子如何排列？ 第六章 电子自旋 全同粒子 原子中电子的能级排列 基本要求： 1、了解电子在周期性微扰下的跃迁几率，在什么条件下，跃迁几率最大？ 2、原子与光子的相互作用有哪几种？其跃迁几率主要受那些因素影响？ 3、在有心力场情况下，状态间允许跃迁的选择定则是什么？
人类知识的分类
人类知识的分类 展开全文 作者：董海发 所谓知识，就是指人类关于自然、社会、思维的认知体系。根据知识的不同属性大致可以把人类知识划分为四大类型: 一是人类自古以来在生产实践中总结出来的经验性知识，也叫技能，技艺。例如，农耕技能、织布技能、手工业技能、中医技能以及中国古代四大发明等等； 二是人类自古以来在社会实践中总结出来的感悟性知识，也叫人文科学。例如，中华优秀传统文化，古希腊古罗
马文化等等。 三是人类在经验性知识、感悟性知识基础上概括出来的抽象性知识，也叫哲学；所谓哲学，就是指理论化、系统化的世界观，是自然知识、社会知识、思维知识的概括和总结,是世界观和方法论的统一。 四是人类近现代在科学实验中计算出来的实验性知识，也叫自然科学。例如，物理、化学、生物、医学等分门别类的科学。 由此可见， 自然科学仅占人类知识的四分之一，自然科学是近四、五百年才出现的新知识，因此，不能把人类所有知识都往自然科学一个框子里装，凡是装不进去的就认为是伪科学，例如，中医为中华儿女生命健康呕心沥血服务五千多年，却被有些人污蔑成伪科学，原因是用科学手段找不到人体经络和穴位，这是科学手段无能，怎能怪中医呢？ 技能是人人都能学会的经验性知识。经验性知识是人类生存、发展的基础！ 人文科学是学问家才能总结出来的感悟性知识。感悟性知识是人类生存、发展的灵魂！ 哲学是哲学家才能总结出来的抽象性知识。抽象性知识是人类生存、发展的指导！ 自然科学是科学家才能发现的实验性知识。实验性知识是
人类生存、发展的工具！所以，我们说在工业文明时代科学技术是第一生产力，科技人才是第一推动力，能工巧匠是第一劳动者！ 中华民族5000光辉历史虽然没有产生以实验性知识为基础上的自然科学，但以经验性知识为基础的各种技能、技艺，以感悟性知识为基础的人文科学，以抽象性知识为基础的哲学还是比较发达的。否则，怎么可能创造连续5000年不中断的中华文明呢？
全同粒子体系
第六章 全同粒子体系 6.1 全同粒子体系 之前所讨论的问题都是单粒子问题，在自然界中经常碰到由多个粒子所组成的体系，称为多粒子体系，这些体系或者由非全同粒子构成或者由全同粒子构成，而我们关注是由全同粒子构成的体系。首先研究由全同粒子组成的多粒子体系的特性。 1、全同粒子 我们称质量m ，电荷q ，磁矩M ，自旋S 等固有属性完全相同的微观粒子为 全同粒子。其中，固有属性又叫内禀属性，如所有的电子，所有的质子系都是全同粒子系，在相同的物理条件下，全同粒子体系中的全同粒子的行为应该是相同的。 全同粒子体系有个重要的特点，就是我们量子力学第5个基本假设给出的。 2、量子力学基本假设 全同性原理假设（不能由量子力学中的基本假设推出）：全同粒子具有不可区分性，交换任何两个粒子不引起体系物理状态的改变。（不可区分性与交换不变性） 量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的，如果描述两个粒子的波没有重叠，例如：把两个粒子分别置于两个不同的容器中，自然可以区分哪个是1粒子，哪个是2粒子；但如果描述两个粒子的波发生重叠，例如：氢原子中的两个电子，这两个全同电子就无法区分了，因为一切测量结果都不会因为交换而有所改变。由于全同粒子的不可区分性，每个粒子都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒子并不形成新的状态。在自然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒子体系的一些重要性。 3、全同粒子体系?H 算符的交换不变性 粒子不可区分，单体算符形式一样。在量子力学情况下，微观粒子不存在严
格意义的轨道，对于粒子的坐标，我们仅知道粒子在某处出现的几率，设有两个全同粒子在不同时刻给它们照相，根据照片上的位置，在某一时刻把它两个粒子编号，则在后一时刻的照片上没有任何根据能指出哪个是第一号，哪个是第二号，即使两次的照片时间间隔再短，也无法分辨。但我们又必须给粒子的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N = ），因为不可能把各个粒子的不同坐标的哦要用一个变量q 来表示，这样，12,N q q q 代表第一个位置（含自旋），第二个位置，……各有一个粒子，不能规定是哪一个粒子；于是，12,N q q q 表示粒子的坐标（含自旋），但每一个坐标q 都不专属于某一个粒子，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N = 各有一个粒子。假设有一由N 个全同粒子组成的体系，以 i q 表示第i 个粒子的坐标和自旋的(),i i i q r S = ，(),i U q t 表示第i 个粒子在外场中的能量，(),i j W q q 表示第i 个粒子与第j 个粒子之间的相互作用能量，则体系的Hamilton 量算符可写为： ()()()122211 ??,,,1,,22i j N N N i i i j i i j H H q q q q q t U q t W q q μ=≠==??=-?++????∑∑ (6.1.1) 显然交换两个粒子，全同体系的?H 不变，即交换对称性。这里我们引入：交换算符?ij P ：它表示交换第i 个粒子与第j 个粒子的运算 ()()1 2 1 2 ?,,,,i j N i j N q q q q q H q q q q q ≡ (6.1.2) 全同性原理中，全同粒子的不可区分性使得体系?H 具有交换不变性，同样全同性原理要求体系具有交换不变性，即交换任意两粒子，体系物理状态不变。 而量子力学中状态用波函数来描述，所以全同性原理对多粒子体系的波函数提出了新的限制，除了满足其它条件外（单位、连续、有限），还必须具有交换对称性。 4、全同粒子体系波函数的交换对称性 考虑由N 个全同粒子组成的多体系，其状态用波函数 ()12,,i j N q q q q q ψ
量子力学所有简答题答案
简答题 1．什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：光照射到某些物质上，引起物质的电性质发生变化，也就是光能量转换成电能。这类光致电变的现象被人们统称为光电效应。或光照射到金属上，引起物质的电性质发生变化。这类光变致电的现象被人们统称为光电效应。 光电效应规律如下： 1．每一种金属在产生光电效应时都存在一极限频率（或称截止频率），即照射光的频率不能低于某一临界值。当入射光的频率低于极限频率时，无论多强的光都无法使电子逸出。 2．光电效应中产生的光电子的速度与光的频率有关，而与光强无关。 3．光电效应的瞬时性。实验发现，只要光的频率高于金属的极限频率，光的亮度无论强弱，光子的产生都几乎是瞬时的。 4.入射光的强度只影响光电流的强弱，即只影响在单位时间内由单位面积是逸出的光电子数目。 爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。逸出电子的动能、光子能量和逸出功之间的关系可以表示成： 22 1 mv A h + =ν这就是爱因斯坦光电效应方程。其中，h 是普朗克常数；f 是入射光子的频率。 2．写出德布罗意假设和德布罗意公式。 德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性。 德布罗意公式：νωh E == λ h k P = = 3．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。几率波满足的条件。 波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。因为它能根据现在的状态预知未来的状态。波函数满足归一化条件。 4．以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是
全同粒子体系
全同粒子 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本原理。首先从全同粒子的基本概念出发，根据全同性原理，给出描述全同粒子体系的波函数；最后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。 1. 全同粒子的基本概念 1.1 全同粒子：静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。例如，电子、 质子，中子等。 在经典力学中，粒子是用坐标和动量来描述，可以根据各自的运动轨迹来区分。而在 量子力学中，微观全同粒子的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一区域各粒子波函数重迭，对粒子无法加以区分；另外，对全同粒子体系进 行测量时，关心的是在空间某点附近粒子出现的概率（或数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有不可区分性，这是微观粒子的 基本性质之一。 1.2 全同性原理： 由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系中，任意两个全同粒子相互交换后并不会引起整个体系物理状态的改变，即不会出现任何可观测的物理效应，该论断称为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。 1.3哈密顿算符∧ H 的交换对称性 考虑N 个全同粒子组成的体系，i q 表示第i 个粒子的空间坐标i r 与自旋变量i S ，) ,(t q u i 表示 第i 个粒子在外场中的能量，),(j i q q w 表示第i 、j 粒子的相互作用能量，则体系的哈密顿算符∧ H 写为 ∑∑<++?-=j i j i i i i N j i q q w t q u t q q q q q H ),()],(2[),,,(?2221μ （1） 任何两个粒子（如第i 个与第j 个）相互交换后，∧ H 显然是不变的，记为 ),,,(?21t q q q q q H P N j i ij ∧ ),,,(?21t q q q q q H N i j = ),,,(?2 1 t q q q q q H N j i = （2） ij P ∧ 称为交换算符，它同时交换两个粒子的坐标和自旋，哈密顿算符的这种交换对称性又可记为 0,=?? ? ???∧∧H P ij （3）
知识体系
知识体系 人类所有的知识划分为五大门类：自然科学，农业科学，医药科学，工程与技术科学，人文与社会科学。 我国高等学校本科教育专业设置的学科分类，我国高等教育划分为13个学科门类：哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、理学、工学、农学、医学、军事学、管理学、艺术学。 经济学：理论经济学是和应用经济学。 理论经济学具有6个二级学科：政治经济学、经济思想史、经济史、西方经济学、世界经济以及人口资源与环境经济学。 应用经济学它大体上可分为如下几个分支： ①以国民经济个别部门的经济活动为研究对象的学科，如农业经济学、工业经济学、建筑经济学、运输经济学、商业经济学等等。 ②以涉及国民经济各个部门而带有一定综合性的专业经济活动为研究对象的学科，如计划经济学、劳动经济学、财政学、货币学、银行学等等。 ③以地区性经济活动为研究对象的学科，如城市经济学、农村经济学、区域经济学（经济地区规划、生产力布局）等等。 ④以国际间的经济活动为研究对象的学科，如国际经济学及其分支：国际贸易学、国际金融学、国际投资学等等。 ⑤以企业经营管理活动为研究对象的学科，如企业管理、企业财务、会计学、市场（销售）学等等。 ⑥与非经济学科交叉联结的边缘经济学科，如与人口学相交叉的人口经济学；与教育学相交叉的教育经济学；与法学相交叉的经济法学；与医药卫生学相交叉的卫生经济学；与生态学相交叉的生态经济学或环境经济学；与社会学相交叉的社会经济学；与自然地理学相交叉的经济地理学、国土经济学、资源经济学；与技术学相交叉的技术经济学等等。这些边缘经济学科主要研究这些非经济领域发展变化的经济含义、经济效益、社会效益，从中找出它们的规律性。 管理学：管理科学与工程（可授管理学、工学学位）、工商管理、农林经济管理、公共管理、图书情报与档案管理。 管理科学与工程学科下设管理信息系统、工程管理、项目管理、管理科学、工业工程、物流供应链管理、物流工程等专业方向。 工商管理是研究工商企业经济管理基本理论和一般方法的学科，主要包括企业的经营战略制定和内部行为管理两个方面。工商管理专业的应用性很强，它的目标是依据管理学、经济学、会计学等基本理论，通过运用现代管理的方法和手段来进行有效的企业管理和经营决策，保证企业的生存和发展。工商管理学是研究盈利性组织经营活动规律以及企业管理的理论、方法与技术的学科。这个专业的范围比较广，所学课程也较多，涵盖了经济学、管理学的很多课程。
量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习
第七章自旋与全同粒子 本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系． 根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程． 真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统． 本章的主要知识点有 1．电子自旋 (1)泡利算符 泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为 由此可以推出 ζ i ζ j =iε ijk ζ k +δ ij (7-3)
(2)电子自旋角动量 借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为 (3)电子自旋状态 (4)有关力学量 (5)自旋状态的演化 在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s z ，t)：(ψ + (r，t)，ψ - (r，t))T，随 时间的演化仍然由薛定谔方程 决定，但是哈密顿算符要修正为
其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为 2．角动量耦合 (1)角动量的一般性质 其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值． (2)自旋轨道耦合