代数式的变形竞赛题

代数式的变形竞赛题

Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

代数式的变形（整式与分式）

在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.

1．配方

在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.

例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.

解mn=(a2+b2)(c2+d2)

=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd

=(ac+bd)2+(ad-bc)2

=(ac-bd)2+(ad+bc)2,

所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.

例2 设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-

2y)2+(x+y-2z)2.

求的值.

解将条件化简成

2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0

∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0

∴x=y=z,∴原式=1.

2.因式分解

前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.

例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.

解∵a为x2-3x+1=0的根,

∴ a2-3a+1=0,,且=1.

原式

说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.

3.换元

换元使复杂的问题变得简洁明了.

例4 设a+b+c=3m,求证:

(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.

证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则

p+q+r=0.

P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0

∴p3+q3+r3-3pqr=0

即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0

例5 若,试比较A、B的大小.

解设则

.

∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,

可知∴A＞B.

4.设参

当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.

例6 若求x+y+z的值.

解令

则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,

∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.

例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,

,求a+b+c的值. 解设 a+b+c=k

则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.

由条件知

即

∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,

∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.

∵a2+b2+c2=1,

∴k=a3+b3+c3-3abc

=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc

=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),

∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),

∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,

∴k(-ab-bc-ac)=0.

若K=0, 就是a+b+c=0.

若-ab-bc-ac=0,

即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,

∴(a+b+c)2=1,

∴a+b+c=±1

综上知a+b+c=0或a+b+c=±1

5.“拆”、“并”和通分

下面重点介绍分式的变形：

（1）分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.

例8 证明对于任意自然数n，分数皆不可约.

证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.

而

显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.

（2）表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.

(3)通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.

例9 已知

求证:.

证明

6.其他变形

例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______. 解 x2=x(x+1)-x

或 x2=x(x-1)+x

例11 设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.

解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故

19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)

解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757

强化练习

1.选择题

（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（）

（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8

（2）已知则的值是（）.

(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3

（3）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（）.

（A）p% (B)% (C)% (D)% (E)%

2.填空题

（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________,

b+c+d+e=_______.

(2)若=_____.

(3)已知y

1=2x,y

2

=,则y

1

y

1986

=______

3.若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.

4.把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.

5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.

6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证

7.已知a2+c2=2b2,求证

8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:

如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.

9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.

参考答案

2.(1)-32,210 (2) (3)2

3.略.

4.

5. 6.略, 7.略.

8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0,

∴f(x)

=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2

=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x

=[2x2-px-(m+1)]2.

9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为

pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),

展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,

即(cp-bq)(dp-aq)=0.

于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.

代数式恒等变形及答案

代数式恒等变形 A 卷 1、若3265122-+ -+=+--x b x a M x x x ，a 、b 是常数，则（ ） A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、6=++b a M D 、10=-+M b a 答案：C 解答：由已知等式得：()()6522656512222+---+++-+=+--x x b M x b a M Mx x x x ∴()()b M x b a M Mx x 226522--+++-+= ∴?? ???-=--=++-=1 236051b a M b a M M ，解得：??? ??=-==831 b a M 提示：利用待定系数法解决问题。 2、（2002年重庆市初中竞赛题）若012192=+- x x ，则=+441 x x （ ） A 、411 B 、16121 C 、1689 D 、4 27 答案：C 解答：∵0≠x ∴2191= + x x ，411 122=+x x ∴16892112 2244 =-??? ? ?+=+x x x x 提示：本题的关键是利用2112 22 -??? ? ?+=+x x x x 进行化简。 3、（2001年全国初中数学竞赛）若143=-x x ，则552128234+--+x x x x 的值是（ ） A 、2 B 、4 C 、6 D 、8 答案：D 解答：∵143=-x x ∴()()8523252434255212833234=+-+=+--+-=+--+x x x x x x x x x x x x 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。

初中奥数恒等变形知识点及习题2019

初中奥数恒等变形知识点及习题2019 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个. 反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r 例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立

设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6 再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得出

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初中奥数恒等变形知识点归纳整理 恒等概念是对两个代数式来说，如果两个代数式里的字母换成任意的数 值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等. 表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式. 如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式. 将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换). 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种 形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变. 如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法. 1.如果两个多项式的同次项的系数都相等，那么这两个多项式是恒等的. 如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项). 2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的. 如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立. x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ① 解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立 设x=1，代入①，得 12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+c c=6

再设x=2，代入①，因为已得c=6，故有 22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6 b=5 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 解二：将右边展开 x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c =x2-2x+1+bx-b+c =x2+(b-2)x+(1-b+c) 比较两边同次项的系数，得 由②得b=5 将b=5代入③得 1-5+c=2 c=6 ∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6 这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.

1—1代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧 一、代数式恒等的一般概念 定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。 定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。 两个代数式恒等的概念是相对的。同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但 x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。 定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。 代数式的变形，可能引起定义域的变化。如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，2lgx 的定义域是 (0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。由lgx 2变形为2lgx 时， 定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。 例1：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222 (4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤ ???? ≥??+-≤≥?? ? 222(4)8(2) 44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44 048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是4 03p ≤≤ 。这时，原方程有惟一实根x =。 二、恒等变换的方法与技巧 恒等变换的目的是使问题变得简单，便于求解。因此，式的恒等变换是根据需要进行的，根据不同问题的特点，有其不同的规律性。 1．分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。

代数式的恒等变形

代数式的恒等变形 一、常值代换求值法——“1”的妙用 例1 、 已知ab=1，求2 211 11b a +++的值 [解] 把ab=1代入，得 22 11 11b a +++ =22 b ab ab a ab ab +++ =b a a b a b ++ + =1 例2 、已知xyzt=1，求下面代数式的值： 分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变． 解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分母变为与第四个相同． 同理 练习：1 111,1=++++++++=c ca c b b c b a ab a abc 证明：若 二、配方法 例1、 若实数a 、b 满足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求b a a b + 之值。 [解] ∵a2b2+a2+b2-4ab+1 =(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2) =(ab-1)2+(a-b)2 则有(ab-1)2+(a-b)2=0 ∴?? ?==-.1,0ab b a 解得?? ?==;1,1b a ?? ?-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，b a a b + =1+1=2 当a=-1，b=-1时， b a a b +=1+1=2 例1 设a 、b 、 c 、 d 都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn 也可以表示成两个整数 的平方和，其形式是______. 解mn=(a2+b2)(c2+d2) =a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd =(ac+bd)2+(ad-bc)2

整式恒等变形

第8讲整式恒等变形 模块一恒等变形→降幂迭代与换元 基础夯实 题型一降幂迭代法与大除法 【例1】(第14届“希望杯”邀请赛试题)如果x2＋x－1＝0，那么x3＋2x2＋3＝__________． 【练1】(1990年第一届希望杯初二第一试) 已知3x2＋4x－7＝0，求6x4＋11x3－7x2－3x－7的值．

题型二 整体代入消元法 【例2】(第14届希望杯1试)若x ＋y ＝－1，求x 4＋5x 3y ＋x 2y ＋8x 2y 2＋xy 2＋5xy 3＋y 4的值． 【练2】当x －y ＝1时，求x 4－xy 3－x 3y －3x 2y ＋3xy 2＋y 4的值． 题型三 换元法 强化挑战 【例3】化简(y ＋z －2x )2＋(z ＋x －2y )2＋(x ＋y －2z )2－3(y －z )2－3(x －y )2－3(x －z )2． 【练3】已知x ，y ，z 为有理数(y －z )2＋(z －x )2＋(x －y )2＝(y ＋z －2x )2＋(x ＋z －2y )2＋(x ＋y －2z )2，求()()() ()()()222111111yz zx xy x y z ++++++的值． 模块二 恒等变形→因式分解与不定方程 题型一 因式分解 基础夯实 【例4】(1)已知a 5－a 4b －a 4＋a －b －1＝0，且2a －3b ＝1，则a 3＋b 3的值等于________． (2)若a 4＋b 4＝a 2－2a 2b 2＋b 2＋6，则a 2＋b 2＝________． 【练4】(1)若x 满足x 5＋x 4＋x ＝－1则x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＝__________． (2)已知15x 2－47xy ＋28y 2＝0，求x y 的值． 强化挑战 【例5】已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且a 2＋4ac ＋3c 2－3ab －7bc ＋2b 2＝0，求证：2b ＝a ＋c ． 【练5】(1)在三角形ABC 中，a 2－16b 2－c 2＋6ab ＋10bc ＝0，其中a ，b ，c 是三角形的三边，求证：a ＋c ＝2b ．

2代数式恒等变形

代数式的恒等变形 代数式的恒等变形是初中代数的重要内容，它涉及的基础知识较多，主要有整式、分式与根式的基本概念及运算法则，因式分解的知识与技能技巧等等，因此代数式的恒等变形是学好初中代数必备的基本功之一． 两个代数式，如果对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，则称这两个代数式恒等．把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等变形．恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等． 证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷．一般可以把恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件的恒等式的证明．对于后者，同学们要善于利用附加条件，使证明简化．在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，代数式的基本变形有配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法。下面结合例题介绍恒等式证明中的一些常用方法与技巧． 一．设参数法 如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．如果题中的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k ，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式． 例1．已知x y z a b b c c a == ---，求x+y+z 的值。 例2．已知 ()() 23a b b c c a a b b c c a +++==---，a ,b ,c 互不相等， 求证：8a+9b+5c=0． 二．由繁到简和相向趋进 恒等式证明最基本的思路是“由繁到简”(即由等式较繁的一边向另一边推导)和“相向趋进”(即将等式两边同时转化为同一形式)． 例3．已知x+y+z=xyz ，证明： x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz ．

分式的恒等变形(一)

分式的恒等变形（一） （1）已知2202010a a -+=，则代数式2220202403911a a a -+++的值是__________。 【答案】由已知可得12020a a + =，原式()212202012120202019a a a a =-+++=-++= （2）已知2410a a ++=，则代数式42321912192a a a a a ++++的值是__________。 【答案】由已知可得14a a +=-，22114a a +=，原式22119333211219a a a a + +===++ （3）已知4x y +=-，12xy =-，则1111 y x x y +++++的值是__________。 【答案】由已知可得2240x y +=，原式()()()()()()22 11402423411412115y x x y ++++?-+===-++-+-+ （4）已知4ab x a b = +，则2222x a x b x a x b +++--的值是__________。 【答案】由已知可得()4ab a b x =+， 原式()()()()()()()()() 222222222228222224x a x b x b x a x a b x x ab x a x b x a b x ab x a b x +-++--+-====---++-+ （5）已知612ab a b bc b c ?=??-??=?-?，则ac a c -的值是_________。 【答案】取倒数后两式相加得 14a c ac -=，所以4ac a c =- （6）解方程： ()()()()()111333669218 x x x x x x x ++=++++++ 【答案】裂项相消，111339218x x x ??-= ?++??，解得2x =

200道代数式的恒等变形练习题

代数式的恒等变形 1.已知x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=O ，则(x-y-z)2009= 2.设x ，y 满足(x-1)3+2004y=1002，(y-1)3+2004x=3006，则x+y= ． 3.分解因式：1)()(22++-+b a b a ab = 6.已知m 、n 为整数,且满足2m 2 + n 2 +3m + n - 1 = 0. 则m + n= 9.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，且满足a 4+b 4+21 c 4=a 2c 2+b 2c 2．则△ABC 的形状是 ． 10.若ax+by=7，ax 2+by 2=49，ax 3+by 3=133，ax 4+by 4=406，则()()17 199562x y xy a b ++-+= . 11.已知非零实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=1，111111 ()()()3+++++=-a b c b c a c a b ， 则a+b+c= . 12.若x ，y 是实数，且m=x 2-4xy+6y 2-4x-4y ，则m 的最小值为 ．

13.已知17b a -=，2124a a +=，则b a a - 14.已知a ，b ，c 都是整数，且24a b -=， 210ab c +-=，求a b c ++= 15.实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，求x y z ++= 16. a 、b 、c 为三角形的三条边长，满足 ac 2+b 2c-b 3 =abc ．若三角形的一个内角为100°，则三角形的另两个角之差的正弦等于 17.若a 、b 、C 为实数，222,1,3a b c a b c a b c >>++=++=,则b c +的取值范围是 18.已知xyz=1，x+y+z=2，x 2+y 2+z 2=16．则111222xy z yz x zx y ++=+++ 19.已知x 、y 为正整数，且满足2x 2+3y 2=4x 2y 2+1．则x 2+y 2= 20.已知y x z z y x x z y y x z z y x x z y -+-+=-+-+=++-+=p ．则p 3+p 2+p= ． 21.若正数m ，n 满足 43,+=m n = ． 22.已知a+b=8，ab=c 2 +16，则a+2b+3c= ． 23.已知x 、y 满足22524x y x y ++=+，则代数式xy x y +的值为 ． 24.若2x y -=，224x y +=，则20042004x y +的值是 。

代数式的恒等变换

代数式的恒等变换方法与技巧 例：设p x =有实根的充要条件，并求出所有实根。 由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。这样可避免增根和遣根的出现。 解： 原方程等价于222(0,0 x p x x x ?-=-??-≥≥?? 2 22222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ?-=??=+--?????≤≤?≤????≥??+-≤≥??? 222(4)8(2)44,043p x p p x x ?-=??-??-?≤≤≥?? 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件 24(4)44048(2)33 p p p p --≤≤?≤≤- 这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤ 。 这时，原方程有惟一实根x =。 一、分类变换 当式的变换受到字母变值的限制时，可对字母的取值进行分类，然后对每一类进行变换，以达到求解的目的。分类变换方法适用于式的化简与方程（组）的化简、求解。 例1：当x 取什么样的实数值时，下列等式成立： （a =； （b 1=； （c 2=。 解： (0)m m =≥ 记方程左边为f(x)， 则()f x =

1 |1|1|1 1 2 x x ≥ == ≤≤ 由此可知， 当m=时，原方程的解集为 1 [,1] 2 ； 当m∈时，解集为?； 当) m∈+∞ m =，解得2 1 (2) 4 x m =+。 即当) m∈+∞时，原方程的解集为2 1 {(2)} 4 m+。 例2：在复数范围内解方程组222 555 3, 3, 3. x y z x y z x y z ++= ? ? ++= ? ?++= ? 解：考虑数列* , n n n n a x y z n =++∈N。不难证明此数列满足递推式321 ()() n n n n a x y z a xy yz zx a xyza +++ =++-+++，其中 125 3,3 a a a ===。 利用基本恒等式，得2 12 1 ()3 2 xy yz zx a a ++=-=， 3123 11 [()] 33 xyz a a a xy yz zx a =--++=， ∴{} n a的递推式化为* 3213 1 33, 3 n n n n a a a a a n +++ =-+?∈N 由此得 432313543323 11 3349,331027 33 a a a a a a a a a a a a =-+?=---+?=- 由 5 3 a=，得 3 10273 a-=，∴ 3 3 a=。∴ 3 1 1 3 xyz a ==。 综上所述知，原方程组等价于 3, 3, 1. x y z xy yz zx xyz ++= ? ? ++= ? ?= ? 由韦达定理知，x，y，z是关于t的三次方程33 3310 t t t -+-=的三根， 此三次方程即3 123 (1)0,1 t t t t -=∴===， 这说明原方程组在复数范围内的解集为{（1，1，1）}。 注：此题还可以利用三次单位根 1 2 ω=-+的性质来解。 二、利用对称性 对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，x2y+y2z+z2x是轮换 式，但不是对称式。由轮换的特点，在解题中，为方便起见，可指定变元中x 1最大（或最小）。

初高中衔接第四讲 《代数式的恒等变形》

第四讲 代数式的恒等变形 姓名 基础知识呈现 1、 恒等式与条件等式： 如果一个等式中字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式就叫做恒等式。如：()a b b a a a b ab a b a +=+-=+-=-,,2222 等都是恒等式。而12=x 不是恒等式， 因为只有当2 1 = x 时，等式才成立。因此称为条件等式。 2、 恒等变形 把一个式子变形为与原式恒等的另外不同形式的式子，这种变形叫恒等变形，例如y z z x y x -+-=-就是恒等变形。 两个多项式恒等的充要条件是它们的对应项系数相等，即： ?++++=++++----01110111b x b x b x b a x a x a x a n n n n n n n 001111,,,b a b a b a b a n n n n ====--。 实际上，待定系数法的依据就是多项式的恒等的性质。 3、 代数式恒等变形是解决初等数学乃至高等数学问题的一种重要方法，是研究函数和方程的重要 工具。代数式的恒等变形包括：代数式化简，求代数式的值，证明恒等式或条件等式等等。 例题讲解 例1、 证明恒等式()()()() 22222 2 y x b a ay bx by ax ++=++-。 例2、 证明恒等式()() bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2 2 2 3 3 3 3。 例3、 证明恒等式() () ()2 2 2 2 111 1 1 1 ?? ? ??-+-+-=-+ -+ -a c c b b a a c c b b a 例4、 证明恒等式()()()()()a c c b b a b c a c b a a b c b a c c a b a c b -+ -+-=---+---+---2 22)( 例5、 已知11 ,11=+=+ z y y x ，求证：11=+x z 。

代数式恒等变形

代数式的恒等变形 模块一 基本代数式变形 知识导航 若已知x +y =5,xy =3,以此为基本量，可以求出一系列齐次式的值： ()2222x +y x y xy =+- ()()224x y x y xy -=+- ()24422222x y x y x y +=+- ||x y -= ()()()()233223x y x y x xy y x y x y xy ??+=+-+=++-?? 若已知x 2－5x +1=0，可得x ＋ 1x =5，由此可以求出一些典型代数式的值： x 2＋21x =212x x ??+- ?? ? 22114x x x x ????-=+- ? ????? 24242112x =x x x ??++- ??? 1x x -= 刻意练习 1．若x ﹣y ＝﹣4，xy =12,求22x y +，()2 x y +，x y +，22x y -，22x xy y -+，44x y +的值． 2．已知14x =x -，求221x x +，1x x +，221x x -，441x x +的值．

（2016—2017六中八上月考） 若0＜x ＜1，1 3x =x +，则221 x =x -________． 练习 （2016—2017汉阳区八上期末） 已知a ＋b ＝5，ab ＝3，则11b a a b +++的值为（ ） A ．2 B ．8 3 C ．4 D ．349 例2 （1）已知13x x +=，求2 42________1x x x =++ （2）已知2410a a ++=，且42321 33a ma a ma a ++++＝5，求m ． 练习 已知2421x x x ++＝14，则4225155 _________3x x x -+=．

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形附答案

初中数学竞赛专项训练之代数式、恒等式、恒等变形 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 2 22+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿ 2、已知-1＜a ＜0，化简4)1(4)1(22+-+-+a a a a 得＿＿＿＿＿＿＿

代数式与恒等变形

第5讲 爹代数式与恒等变形 在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类 是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）． 恒等式证明的一般方法： 1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向． 2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式． 3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边 左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路， 本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍， 题1 求证 ：=-+?+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n 对同底数幂进行合并整理， 解 方法一： 左边)222()33(55221n n n n n -+-+++??=++ )22(2)13(35103121+-++?=-+n n n 11210310510-+?-?+?=n n n )235(1011-+-+=n n n =右边， 方法二： 左边)12(2)13(352222+-++?=+n n n .25310522n n n ?-?+?=+ 右边11210310510-+?-?+?=n n n .25310522n n n ?-?+?=+ 故 左边=右边． 方法一中受右边 ”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、 +与12-n 为主元合并，迅速便捷． 读一题，练3题，练就解题高手

分式的恒等变形

第二讲 分式的恒等变形 【专题知识点概述】 分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。 分式的恒等变形涉及到的主要容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。 一：基本知识 1.分式的运算规律 （1）加减法： )(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd ac c d b a ±=± （2）乘法：bd ac d c b a =? （3）除法：bc ad d c b a =÷ （4）乘方：n n n b a b a =)( 2.分式的基本性质 （1）)0(,≠÷÷==m m b m a b a bm am b a （2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 3.比例的重要性质 （1）如果e f b a e f c d c d b a ===那么,（传递性） （2）如果bd ac c d b a ==那么（项积等于外项积） （3）如果)(合比性质那么 c d c b b a d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么 d b d b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m d c b a 且 那么 )(等比性质b a n d b m c a =++++++

4.倒数性质 （1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。 （2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。 （3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。 二、有关分式的运算求值问题 乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。 ? 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足 a c b a b c b a c c b a ++-= +-=-+， 又abc a c c b b a x ) )()((+++=，且0

代数式恒等变形及答案.doc

精心整理 代数式恒等变形 A 卷 2 b ，a 、b 是常数，则（） 1、若 2 x 1 M a x 5x 6 x 2 x 3 A 、M 是一个二次多项式 B 、M 是一个一次多项式 C 、 M a b 6 D 、 a b M 10 答案： C 解答： 由已知等式得： x 2 1 Mx 2 5M a b x 6M 2 2b x 2 5x 6 x 2 5 x 6 ∴ x 2 Mx 2 5M a b x 6M 2 2b M 1 M 1 ∴ 5M a b 0 ，解得： a 3 6M 3a 2b 1 b 8 提示： 利用待定系数法解决问题。 2、（2002 年重庆市初中竞赛题）若 x 2 19 4 1 （） 2 x 1 0 ，则 x 4 x A 、 11 B 、 121 C 、 89 D 、 27 4 16 16 4 答案： C 解答： ∵ x 0 ∴ x 1 19 ， x 2 x 2 ∴ x 4 1 x 21 x 4 x 2 1 11 2 x 4 2 89 2 16 1 1 2 提示： 本题的关键是利用 x 2 x 2 进行化简。 x 2 x 3、（2001 年全国初中数学竞赛）若 3 4 3 2 的值是（） 4x x 1 ，则 8x 12x 2 x 5 x 5 A 、2 B 、4 C 、6 D 、8

精心整理 答案： D 解答：∵4 x 3x 1 ∴ 8x 412x3 2 x25x 5 2 x 4x 3x 3 4 x 3x 2 x 5 2x 3 2x 58 提示：本题利用添项与拆项进行分解整体代入，本题也可以利用已知逐步降次解决问题。 4、（全国竞赛题）如果 a b 2 a 1 4 b 2 3 c c ，则 a b c 的值是（） 35 2 A、6 B、8 C、20 D、24 答案： C 解答：∵ a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 c 5 2 ∴ a 1 2 a 1 1 b 2 4 b 2 4 1 c 3 6 c 3 9 2 3 5 0 2 2 2 1 c 2 ∴ a 1 1 b 2 2 2 3 3 ∴ a 1 1 0 ， b 2 2 0 ， c 3 3 0 ∴a 2 ， b 6 ， c 12 ∴a b c 20 提示：本题利用添项构造完全平方式解决问题。 5 、（第1 6 届“希望杯”初二年级竞赛题）已知 a 是整数， x、 y 是方程x 2 xy ax ay 1 0 的整数解，则x y __________或. 答案： 1 解答：原方程可以变形为：x x y a x y 1 即 x y x a 1 ∵a、x、y 都是整数 ∴ x y 1 或x y 1 x a 1 x a 1

恒等证明-第九讲代数式的恒等变形学生版

第九讲 代数式的恒等变形 一、化简 例1 化简 ()()() ()()()()32112121234123123412112n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++++++ ++++++++???++???+ 例2 已知221mn x n =+，且m ＞0,0＜n ＜1,化简()()()()2122 1122.m n m x m x m x ++-+-- 例3 10,x -<<若化简221111 1.1111x x x x x x x x ????+-+-+ ? ? ? ?+---+-??? ? 化简问题应根据题目本身特点运用分解因式、分式、根式等基本概念和运算法则，作适当的恒等变形简化运算过程。

二、求值问题 例1 37271333 +-32求1+的值。3 。 例2设a 、b 、c 均为大于1的整数，且a b c <<，若()()()111ab bc ca ---能被abc 整除，求符合条件a 、b 、c 的值。 三、证明问题 例1 已知a 、b 、c 、d 为四边形的四条边，且4444 a 4 b c d abcd +++=。 求证 这四边形是菱形。 例2 关于χ的方程2()()()()0a b c d m χχχχ-----=中，m 是质数，a 、b 、c 、d 是互不相等的整数，且方程有整数解。 求证 a b c d +++可被4整除。

例3 已知312123123123.()n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ====、、、、、都是正数 求证 112233n n a b a b a b a b ＋＋＋＋＋＋＋＋ 123123(n n a a a a b b b b ＝＋＋＋＋）（＋＋＋＋） 。 四、解方程 例 解方程2 2(1013)(58)(1)1χχχ+++=. 五、练习题 1.化简 2 3 2()a a b b b a a a b b -++++33ab b a b --

中考体系-15.整式的恒等变形(最全,含答案)

整式的恒等变形 一、配方思想 二、因式分解思想 三、整体思想 四、赋值法 五、降次思想 六、应用题与技巧题 一、配方思想 1. 【易】（10年北京西四期中）用配方法解方程2670x x ++=,下面配方正确的是 （ ） A ．2(3)2x +=- B ．2(3)2x += C ．2(3)2x -= D ．2(3)2x -=- 【答案】B 2. 【易】（广东深圳中考）用配方法将代数式245a a +-变形，结果正确的是（ ） A ．()2 21a +- B ．()2 25a +- C ．()224a ++ D ．()2 29a +- 【答案】D 3. 【易】（朝外初二章测）若2 2 12x ax x b ? ?+=++ ?? ?，则a 、b 的值是（ ） A ．1 14a b ==， B ．1 14a b ==-， C ．102 a b ==-， D ．2a =，1 2 b = 【答案】B 4. 【易】（2011年顺义区一摸）代数式221x x --的最小值是（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】D 5. 【易】（怀柔区2011二模）将方程221x x -=进行配方，可得（ ） A ．2(1)2x += B ．2(2)5x -= C ．2(1)2x -= D ．2(1)1x -= 【答案】C

6. 【易】（朝外初二章测）若2222220a b c ac bc +++-=，则a b +的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．不确定 【答案】A 7. 【易】（2011莲花中学初一下期中）已知3x y -=，1xy =，则22x y +的值为（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ．5 【答案】A 8. 【易】（2010石厦中学初一下期末）已知：7a b +=，3ab =-，则22a b +的值是 （ ） A ．55 B ．43 C ．20 D ．13 【答案】A 9. 【易】（2010深圳外国语初一下测试）已知222450a b a b +-++=，则a ，b 的值分 别是（ ） A ．1-，2 B ．1，2- C ．1-，2- D ．1，2 【答案】B 10. 【易】（2010深圳外国语分校初一下期末）已知7x y +=，8xy =-，下列各式计算结 果不正确的是（ ） A ．()2 81x y -= B ．2265x y += C ．()()1116x y --=- D ．2263x y -= 【答案】A 11. 【中】（2003年山西省太原市初中数学竞赛试卷）已知a 、b 是实数， 2220x a b =++，()42y b a =-．则x 、y 的大小关系是（ ） A ．x y ≤ B ．x y ≥ C ．x y ＜ D ．x y ＞ 【答案】B 12. 【中】（2009年全国初中数学联赛）设1a ，则22312612a a a +--=（ ） A ．24 B ．25 C ．10 D ．12 【答案】A 13. 【中】（2012年全国初中数学联赛）已知实数,a b 满足221a b +=，则44 a a b b ++的最小值为（ ）

2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练_代数式、恒等式、恒等变形(含详解)

初中数学竞赛专项训练 （代数式、恒等式、恒等变形） 一、选择题：下面各题的选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填在括号内。 1、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ） A. m(1+a%)(1-b%)元 B. m·a%(1-b%)元 C. m(1+a%)b%元 D. m(1+a%b%)元 2、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为 （ ） A. 0 B. 1或-1 C. 2或-2 D. 0或-2 3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c ++ +的值为 （ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 1 D. 2 4、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为 （ ） A. 3 B. 6 C. 2 D. 3 5、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca 的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6、设a 、b 、c 为实数，2 26 23 2222 π π π + -=+ -=+-=a c z c b y b a x ，，，则x 、y 、z 中，至少有一个值 （ ） A. 大于0 B. 等于0 C. 不大于0 D. 小于0 7、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 2 22+ +的值是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8、若13649832 2 ++-+-=y x y xy x M （x 、y 是实数），则M 的值一定是 （ ） A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 整数 二、填空题 1、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿